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《用二分法求方程的近似解》教学设计一．教学目标情感态度和价值观目标：培养探索问题的能力和合作交流的精神，体会数学在实际生活中的应用价值，感受精确与近似的相对统一。
知识与技能目标：能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解二分法的步骤和思想。
过程与方法目标：进一步体会方程和函数的转化思想，在应用二分法求解方程的近似解的过程中，体会算法的思想和“逐步逼近”的思想。
二．教学重点掌握用二分法求给定方程的近似解三．教学难点二分法的概念，精确度的概念，二分法实施步骤中的算法思想四．教学准备（前置作业）五．教学过程精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
高一《用二分法求方程的近似解》数学教案高一《用二分法求方程的近似解》数学教案通过本节课的学习，使学生在知识上学会用二分法求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的绘制新函数功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作。
下面和一起看看有关高一《用二分法求方程的近似解》数学教案。
教学目标知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备.情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一.教学重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.教学难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.教材分析本节课注重从学生已有的基础（一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质）出发，从具体（一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系）到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的二分法，并在总结用二分法求函数零点的步骤中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在阅读与思考中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.教学媒体分析多媒体微机室、Author）.2.给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，，验证0，给定精确度；（2）求区间，的中点；（3）计算：1若=，则就是函数的零点；2若0，则令=（此时零点）；3若0，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精确度；即若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2-4.结论: 由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.思考：为什么由，便可判断零点的近似值为（或）?师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤.师：分析条件0、精确度、区间中点及的意义.生：结合求函数在区间（2，3）内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理.AuthorA2+2*A2-6，得到与A2相应的函数值.第八步:然后双击（或拖动）B2的填充柄，得到与第一列相应的函数值.生：观察所得函数值，所以零点在区间（2.5，3）内.第九步：重复上述操作：将A1、B1、C1复制到A7、B7、C7，把精确度设为0.25，在A8、B9分别输入2.5、2.75，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动填充柄到单元格内出现填充值3.25时为止，完成自动填充.复制B2到B8，得到与A8相应的函数值，然后双击（或拖动）B8的填充柄，得到与第一列相应的函数值.生：观察所得函数值，所以零点在区间（2.5，2.75）内.Microsoft Excel软件环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用结论：借助信息技术求方程近似解（函数零点）的步骤如下：1.利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间；2.利用然后用Microsoft Excel软件逐步计算解答.第十步：重复上述过程，将精确度设为上次操作的一半，直到小于0.01为止，特别地，这时可以将区间端点作为零点的近似值.生：观察所得函数值，并且精确度为0.00781250.01，所以零点在区间（2.53125 ，2.5390625）内，*=2.53125可以为函数的零点.生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程近似解的方法，并进行讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论.Microsoft Excel软件例题：借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确度0.1）解：（略）. 打开几何画板打开Excel尝试练习：1. 借助计算器或计算机，用二分法求函数的零点（精确度0.1）2. 借助计算器或计算机，用二分法求方程的近似值（精确度0.01）师：首先利用几何画板4.06中文版软件画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间，然后用Microsoft Excel软件逐步计算解答.生：独立完成解答，并进行交流、讨论、评析.Authorternet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识.3.谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识?将你这节课的收获与感受写成一篇小报告或小论文的形式，发表在学校的数学论坛上.师：继续激发学生学习数学的热情；感受数学文化方面的熏陶；充分地利用学校资源进行后续学习和交流.Authorware7.02课件展示。
2019-2020年高中数学用二分法求方程的近似解教案1(I)新课标人教版必修1(A)教学目的：引导学生探究发现求一元方程近似解的常用方法，鼓励学生能够应用二分法来解决有关问题，在教学过程中注重培养学生探究问题的能力，让学生能够初步理解算法思想。
教学过程：一、提出问题能否求解方程式 lgx=3-x ;x2-2x-1=0,x3+3x-1=0; 能否解出这个方程的近似解？（创设问题情景，激发学生探究热情）二、探究解法不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1）？（探究离不开问题，问题式教学有赖于教师对问题情景的创设，以及对问题的呈现方式）让学生先自行探求，并进行组织交流。
（倡导学生积极主动，勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性。
）（2）师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)=x2-2x-1的图象，能够缩小根所在区间，并根据f(x)<0,f(3)>0,可得出根所在区间为(2,3)。
（3）引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间（4）共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，将有助于问题的解法。
（5）用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解。
2．让学生简述上述求方程近似解的过程，（通过自己的语言表达，有助于学生对概念、方法的理解）3．揭示二分法定义三、自行探究问题：利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解（精确到0.1）（本例鼓励学生自行尝试，即能否利用二分法来求解本例，此处教师仅仅是引导学生如何把问题进行有效转化。
要让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐，感受数学学习的乐趣。
）四、归纳总结在求解上述两类不同类型方程近似解的基础上，引导学生归纳二分法求解方程f(x)=0(或g(x)=h(x))近似解的基本步骤：寻找解所在区间图像法函数状态法不断二分解所在的区间根据精确度得出近似解（通过归纳总结，能够完善学生的认知结构）五、知识拓展介绍如何利用excel来帮助研究方程的近似解？（教师现场示范，既体现了信息技术与数学课程的有效整合，也有助于学生认识数学的本质）六、思考题从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？（此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识）七、课堂小结1．引导学生回顾二分法，明确它是一种求一元方程近似解的通法。
《用二分法求方程的近似解》教学设计1. 引言1.1 背景介绍二分法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于计算机科学、数学和工程领域。
它通常用于寻找数值解的逼近值，特别是在无法准确求解的情况下。
二分法的基本原理是将求解区间逐步缩小，直到满足精度要求为止。
在实际应用中，我们常常需要解决一些复杂的方程，例如非线性方程、传统解法求解困难的方程等。
这时候，二分法就成为了一种简单而有效的求解方法。
通过不断缩小求解区间，逐步逼近方程的解，我们可以快速得到一个近似解。
在本次教学设计中，我们将重点介绍二分法的原理、算法步骤和示例演示，帮助学生更好地理解和掌握这一数值计算方法。
通过本次教学，我们旨在引导学生掌握二分法的基本思想和应用技巧，提高他们的数值计算能力，为进一步学习和研究相关领域打下坚实的基础。
1.2 问题提出问题提出：在数学中，求解方程是一个常见的问题。
特别是对于非线性方程，往往无法用代数方法得到精确解析解。
我们需要借助数值计算方法来求得近似解。
二分法是一种简单且常用的数值计算方法，可以用来求解单调函数的根。
在实际应用中，我们经常遇到需要求解方程的情况，比如物理问题中的牛顿定律、化学问题中的化学反应速率等等。
掌握二分法求方程的近似解有着重要的意义。
本教学设计将重点介绍二分法的原理及应用，帮助学生掌握这一实用的数值计算方法。
1.3 目的本教学设计的目的是帮助学生了解和掌握二分法求解方程的基本原理和方法，通过实际的示例演示和练习，培养学生解决实际问题的能力和思维。
通过本教学设计，学生将能够掌握二分法的具体步骤，理解其优缺点，掌握其应用范围，并能将所学知识运用到实际生活和工作中。
通过本教学设计的学习，学生将不仅能够提高数学解题的能力，还能培养逻辑思维和分析问题的能力，为将来深入学习数学和相关领域打下扎实的基础。
本教学设计也旨在培养学生的团队合作和沟通能力，鼓励学生通过合作学习和讨论来促进自身的学习效果。
通过本教学设计，学生将不仅能够学会求解方程的方法，还能够培养自主学习和解决问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生结合具体的函数图象能够借助计算机或计算器用二分法求相应方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，它既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，在教学过程要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步。
二、学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题．三、设计思想倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合.四、教学目标知识与技能目标：（1）了解二分法是求方程近似解的一种方法。
（2）体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。
（3）根据具体函数的图像，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。
过程与方法目标：（1）通过经历“用二分法求方程近似解”的探索过程，初步体会数形结合思想、逼近思想等。
（2）通过设置数学学习环境，让学生了解更多的获取知识的手段和途径。
情感态度与价值观目标：（1）在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一。
（2）在探究解决问题的过程中，培养学生合作的态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神。
五、教学重、难点：重点：二分法基本思想的理解，用二分法求方程近似解的步骤。
难点：求方程近似解一般步骤的理解和概括。
六、教学过程设计（一）设置情景，导入新课问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子．10km长，大约有200多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？学生独立思考，可能出现的以下解决方法：思路1：直接一个个电线杆去寻找．思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点．（二）引导探究，获得新知问题2：假设电话线故障点大概在函数()ln26=+-的零点位置，请同学f x x x们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？我们已经知道，函数()ln26ff x x x=+-在区间（2，3）内有零点，且(2)＜0，(3)f＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点？合作探究：学生先按四人小组探究.（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性）生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.师：如何有效缩小根所在的区间？生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？师：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.引导学生分析理解求区间(,)a b的中点的方法合作探究：（学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程．四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果．）步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)0.0840f≈-<.由(3)f f⋅<，所以零点在区间(2.5，3)内。
《利用二分法求方程的近似解》教学设计1.了解求方程近似解的方法，会用二分法求具体方程的近似解．2.体会函数在解方程中的作用．重点：利用二分法求方程的近似解． 难点：求方程近似解的精确度的把握．一、情境导入情境：怎样工作最合理？在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条长10 km 的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10 km 大约有200多根电线杆呢．如何迅速查出故障所在？想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？首先从整条线路AB 的中点C 查起，用随身带的话机向两端测试时，发现AC 段正常，断定故障在BC 段；再到BC 段中点D ，这次发现BD 段正常，可见故障在CD 段；再查CD 中点E …每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50 m 左右，即两根电线杆附近，要查多少次？答案：只要8次就够了．设计意图：通过实际情境，让学生在轻松愉快的环境下开始本节课的学习，在问题情境中感悟数学有用，增加学习兴趣，为引入二分法的原理做准备．二、新知探究问题1：我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有求解公式，如ln x +2x −6=0，那么如何确定方程ln x +2x −6=0的解呢？设计意图：教师提出问题，引发学生的思维，造成悬念；再通过以下问题的探究，引导学生展开思考．方程ln x +2x −6=0一定有解吗？为此，需先确定实数解的存在性． 追问1：怎样确定方程有实数解？答案：方程f (x )=0有实数解⇔函数y =f (x )有零点⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有公共点．所以，函数y =f (x )的零点就是y =f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，即方程f (x )=0的◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程实数解．若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)•f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解．追问2：能否找出方程ln x+2x−6=0的一个实数解的存在区间呢？答案：设f(x)=ln x+2x−6，容易得出f(2)=ln2+4−6=ln2−2<0，f(3)=ln3>0，结合零点存在定理，可知f(x)=ln x+2x−6在区间(2，3)内存在零点，即方程ln x+2x−6=0的一个实数解的存在区间为(2，3)．追问3：我们已经知道， ln x+2x−6=0在区间(2，3)内存在实数解，其准确值无法求出，能否求这个实数解的近似值呢？答案：一个直观的想法是：如果能将实数解所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的实数解的近似值．（精确度是指近似值与其准确值的接近程度）设x̂是方程f(x)=0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0−x̂|<ε，就称x0是满足精确度ε的近似解．追问4：如果要获得精确度为0.5的近似解，你能找到一个符合要求的区间吗？答案：已知ln x+2x−6=0在区间(2，3)内存在实数解，即函数f(x)=ln x+2x−6在区间(2，3)内存在零点，这个区间长度为1．要获得精确度为0.5的实数解的近似值，至少需将包含零点的区间长度缩小为原来的一半．考虑区间(2，3)的中点2.5，又f(2.5)= ln2.5−1<0，f(3)=ln3>0，则f(2.5)f(3)<0．根据函数零点存在定理可知，函数f(x)= ln x+2x−6在区间(2.5，3)内存在零点，即ln x+2x−6=0在区间(2.5，3)内存在实数解，区间长度为0.5，因此，区间[2.5，3]内任意一个数都是满足精确度的近似解．追问5：如果要获得精确度为0.01的近似解，你将采取什么办法来逐步缩小区间？答案：当精确度为0.01时，借助函数的零点存在定理，至少需要将零点存在的区间长度缩小到0.01．在一定精确度的要求下，通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可以作为函数零点的近似值．追问6：给定精确度ε，为什么当|a－b|<ε时，区间[a，b]中任意一个值x0都是满足精确度ε的近似值？答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x0与其准确值x̂的接近程度．近似值x0的误差不超过某个数ε，即|x0−x̂|<ε，就说它的精确度是ε．所以当|a－b|<ε时，x̂所在的区间[a，b]中任意一个值x0与x̂的误差都不超过|a－b|，当然也就不超过ε．区间[a，b]中任意一个值x0都是满足精确度ε的近似值．追问8：你给出ln x+2x−6=0的精确度为0.01的近似解吗？答案：由|2.53125－2.5390625|=0.0078125<0.01知，区间(2.53125，2.5390625)内任意一点都可以作为解的近似值．如：取x=2.532作为函数f(x)=ln x+2x−6零点的近似值，也即方程ln x+2x−6=0的近似解．问题2 上面这种求方程ln x+2x−6=0的近似解的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于哪些方程？答案：这种方法的总体思路是，通过不断把函数f(x)=ln x+2x−6的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值．取区间(a，b)的中点a+b2，若f(a+b2)·f(b)<0，则区间(a+b2，b)内有方程的解．再取区间(a+b2，b)的中点……这样操作下去（如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)=0，那么x0就是所求的解；如果区间中点x0的函数值不等于0，且区间某个端点的函数值与f(x0)异号，那么x0与这个端点组成新的区间的端点），经过有限次操作，就得到一串区间，其端点的函数值符号相反，且每次操作都使区间长度减小二分之一，随着操作次数的增加，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程f(x)=0的解，从而得到近似解．像这样，对于一般的函数y=f(x)，x∈[a，b]，若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．总结：只要方程所对应的函数图象是连续的曲线，而且有实根，就可用二分法借助于计算器或计算机求出方程根的近似值．二分的次数越多，近似值就越精确．二分法体现了无限逼近（极限）的数学思想．追问：你能提炼出给定精确度ε，用二分法求方程f(x)=0的近似解x0的一般步骤吗？答案：二分法求方程近似解的思想来源于零点存在定理．利用二分法求方程近似解的过程可以用下图所示：其中：初始区间是一个两端点函数值异号的区间；新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号．在用二分法求方程近似解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试算．初始区间选的不同，虽然不影响最终计算结果，但可能影响计算量的大小．若方程f(x)=0有多个解，则需要选取不同的初始区间来求得不同解的近似值．三、应用举例例1:求方程2x3+3x−3=0的一个近似解．（精确度为0.01）解：考察函数f(x)=2x3+3x−3，基于零点存在定理，从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在区间．经试算，f(0)=−3<0，f(1)=2>0．所以方程f(x)=0在区间(0，1)内有解．取区间(0，1)的中点0.5，f(0.5)=−1.25<0，所以方程f(x)=0在区间(0.5，1)内有解．如此下去，得到方程f(x)=0的解所在的区间，如下表：至此，可以看出，区间[0.734375，0.7421875]的区间长度为0.0078125，它小于0.01．而方程的解就在这个区间内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解，例如，0.74 就是方程2x3+3x−3=0精确度为0.01的一个近似解．四、课堂练习1．思考辨析(1)任何函数的零点都可以用二分法求得．()(2)用二分法求出的方程的根都是近似解．()(3)当方程的有解区间[a，b]的区间长度b−a≤ε(精度)时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．()2．用二分法求函数f(x)=3x−7的零点时，初始区间可选为()A．(－1，0)B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)3．若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A．1.25B．1.375C．1.40625D．1.5参考答案：1.(1)只有当函数图象在区间[a，b]是连续的曲线，且与x轴有交点时（即f(a)·f(b)<0），才可用二分法求函数的零点．故错误；(2)使用二分法时，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)=0，那么x0就是所求的解，不是近似解．故错误；(3)正确．2.解：f(−1)=3−1−7=13−7=−203<0，f(0)=30−7=1−7=−6<0，f(1)=31−7=−4<0，f(2)=32−7=9−7=2>0，故函数f(x)的零点在区间(1，2)上，故初始区间可选为(1，2)．选C．3.解：根据题意知函数的零点在1.40625至1.4375之间，又|1.437 5－1.406 25|=0.031 25<0.1，故方程的一个近似解为1.40625，故选C．五、课堂小结1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，直至找到解附近足够小的区间，根据所要求的精度，区间的任意数值即为近似解．2.并非所有函数都可以用二分法求出其零点，只有满足：(1)函数图像在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)<0．上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．六、布置作业教材第132页练习第1题．。
用二分法求方程的近似解教案教案：用二分法求方程的近似解一、教学目标：1.理解二分法的基本原理。
2.掌握二分法在求解方程中的应用方法。
3.能够运用二分法求解方程的近似解。
二、教学准备：1.教师准备：（1）多个方程，例如x^2 - 2 = 0，x^3 - 5x + 3 = 0等，以便学生进行求解练习。
（2）计算器或电脑，帮助学生验证最终的近似解是否正确。
2.学生准备：（1）理解二分法的基本概念。
（2）掌握求解一元方程的基本方法。
三、教学过程：步骤一：导入1.引入二分法的概念：二分法是一种在有序数列中寻找特定元素的搜索算法，它通过将问题分为两个子问题，并逐渐缩小搜索范围，最终找到目标元素或近似解。
2.提问：你对二分法有什么了解？步骤二：讲解二分法的基本原理1.展示二分法示意图，并解释其基本原理。
例如：对于一个有序数列，假设我们想找到该数列中值为x的元素，我们可以先求出数列的中间值mid，然后根据mid与x的比较结果，将搜索范围减半，再在剩余部分中执行同样的步骤，直到找到x或搜索范围足够小。
2.举例说明：假设要在数列1, 2, 3, 4, 5中查找值为3的元素，首先计算中间值mid = 3，因为mid与目标值相等，所以找到了3这个元素。
若要在数列1, 2, 3, 4, 5中查找值为6的元素，计算中间值mid = 3，因为mid小于6，所以在数列4, 5中继续查找，计算中间值mid = 4，最终找到值为6的元素。
步骤三：应用二分法求解方程1.提问：我们可以将二分法用于求解方程吗？2.解释：是的，我们可以将要求解的方程转化为一个函数的零点问题。
例如：对于方程f(x) = x^3 - 5x + 3 = 0，我们可以尝试寻找函数的零点，即找到f(x) = 0的解。
3.讲解求解步骤：（1）根据给定方程确定搜索区间[a, b]，确保f(a)和f(b)异号，否则不能保证方程在[a, b]范围内有解。
（2）计算中间值mid = (a + b) / 2，并计算f(mid)。
“用二分法求方程的近似解”教案一、教学目标1．让学生掌握二分法，并能利用计算器或计算机用二分法求方程的近似解；2．培养和加强函数与方程思想和数形结合思想的运用．二、教学重点通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根的联系，初步形成用函数的观点处理问题的意识．三、教学难点１．理解方程实根的本质及几何意义；２．对方程近似解精确度的把握．四、教具以几何画板课件为主．五、教学过程１．问题情境（旨在引导学生感知寻求新方法解方程之必要性——为什么）【问题１】求方程323310x x x -+-=的实根．【解析】由配方可得3(1)0x -=，所以1x =．【问题２】解方程321109140x x x ++-=...．教师：方程左边无法配方，所以我们暂时还无法解此方程．以前数学家也有像解一元二次方程那样去寻找一元三次方程的求根公式，但因其推导过程比较复杂且公式不易记忆，所以中学课本 图1一般都不作介绍．当然，我们现在可以利用几何画板来求解．在几何画板上绘出函数321109140x x x ++-=...的图象，在图象上选取一个点并度量其横坐标以及纵坐标．当移动该点时，函数值就会相应地改变．当函数值为0或接近0时，这个横坐标的值（0.67066）就是此方程的（近似）解（见图1）．学生：这方法简单，又易操作，很好！教师：此法虽简单，但其精度无法估算．能否寻找一种比较通用的、特别是可以利用程序让计算机自动求解的其它方法呢？【问题３】孔子（前551－前479），名丘，字仲尼，鲁国人．中国春秋末期伟大的思想家和教育家，儒家学派的创始人．全世界300万姓孔的人都可能被认为是孔子的后代．孔子的族人传承2550年至今，已繁衍有82代．假设三代同堂的话，那么一个父母每个世代平均繁衍的数量是多少？【解析】设一个父母每代平均繁衍的数量为x 个，则7980813000000x x x ++=．此方程现在我们也无法解．类似地，我们用几何画板先绘出函数798081y x x x =++的图 图2象，然后利用度量功能，估算出当函数值等于或接近3000000时方程的近似解 1.18836x ≈（见图2）．由于指数太大，曲线几乎是垂直上升，所以操作起来很不方便．为了使移动点更方便些，也可把点选在x 轴上，而不是在曲线上，然后再计算其函数值．一般地，高于4次的一元高次方程就不再有求根公式可寻了，（有兴趣的学生可以自己去阅读有关高次方程解的书籍或上网查找相关的网页）这就更加使得寻找一种新的求解方程方法的必要．（利用二分法解此方程，可得 1.1883x ≈个）２．新课引入（旨在引导学生怎样寻求一种恰当的方法——怎么样）【问题１】人们常说“天下乌鸦一般黑”，如果有人对此有怀疑，想要否定它，他该如何做？教师：当结论只有成立或不成立两种情形时，可用反证法．譬如，我们找到了一只或几只（换句话说就是至少有一只）白乌鸦，那么就可以否定“天下乌鸦一般黑”．【问题２】当电灯不亮的时候，若要寻找原因，我们是如何做的？教师：我们一般会检查电灯或开关是否坏了，抑或是保险丝烧了、外部线路坏了，等等．如果是外部线路坏了，而线路又很长（譬如几千米甚至几十千米以上），我们要进一步确定线路究竟坏在那里时，一般有经验的电工总是先根据停电的范围来确定断路的可能区间，再采用对分法来逐段排除，从而很快地找到线路究竟坏在何处．这种方法叫做分类归缪法．引导：解决问题的途径一般有两种，一是从已知条件→结论（演绎推理），二是从问题的结论→已知信息→与已知条件矛盾．后一种方法又常采用归缪法，它又可细分为：（１）反证法．当结论只有成立或不成立两种情形时．譬如，我们要说明平面内两条直线的位置关系——平行或相交时，即可用反证法．譬如，两直线不相交，它们就必平行；反之，如果它们不平行，它们就必相交．（２）选择法．供选择的结论不多．【例】下列那一项是三次方程3247100x x x +--=的解？A ．－2B ．－5C ．4D ．3（３）分类归缪法．供选择的结论很多．譬如，要证明有关三角形的某个定理，我们并不是对每个三角形进行论证的，而是分别从锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形等三种情形加以证明．思考：分类归缪法与方程的解有关系吗？（类比法难在要找出似乎毫无关联的两类事物之间的相同之处）引导：从前一节我们了解了方程的根与函数零点的关系，事实上，零点就是对应方程的实根，它是方程的精确解．但在实际问题中，这个解一般不易求出，在应用上，我们更多地是求满足一定精确度的近似解．很显然，要找到零点，就像电工师傅一样，可用分类归缪法来寻找，即在一个单调区间内，若两端点处的函数值同号，那么区间内对应方程必定无实根；反之，若两端点处的函数值异号，那么区间内对应方程必定有一实根（为方便起见，一般取其中点作为近似解）．通过逐个排除，从而逐渐缩小区间的范围，直到找出满足精确度的近似解．为了便于计算机计算，在求方程的近似解时，可采用二分法．（其实，如果我们借助几何画板寻找零点时就不一定要用二分法）３．新课（怎么做）让学生陈述课前预习时所掌握的二分法的原理以及解题步骤．教师在黑板上作纪录，并逐步补充完整．注意：（１）从几何上看，求方程的解其实是找相应函数图象与x 轴交点或两个函数图象交点的横坐标，而二分法并不是直接寻找交点，而是寻找函数值变号的一个尽可能小的区间中的某个值；（２）求方程的近似解时，精确解（m ）是未知的．当相邻两个近似解满足1||(*)i i x x i N ε--≤∈时，由1()()0i i f x f x -<，说明精确解介于1i x -和i x 之间，故有1||(*)i x m i N ε--≤∈或||(*)i x m i N ε-≤∈，所以1i x -和i x 都已满足精确度，均可作为近似解．所以通过比较相邻两个的近似解可以确定精确度；（３）如果方程有整数解，那么用二分法解方程反而有可能得不到此解；同样地，如果方程有重根，即相应函数在区间端点的函数值不变号，曲线与x 轴相切时，这个解也可能求不出．【例１】用二分法求方程321109140x x x ++-=...在0与1之间的实根的近似值，使误差不超过0.001．为方便起见，可借助几何画板的计算功能进行演示（见图3）．操作过程：①根据精确度要求，通过参数选项选择精确度（如万分之一）；②绘制函数图象；③利用函数计算函数值，同时计算区间中点的值；④计算误差，并确定近似解．由计算可知，此方程的近似解为0.670x ≈或0.671x ≈．（事实上，从函数值来看，0.671x ≈会更精确些．显然，要得到一个比较精确的值，其计算次数是比较大的．（说明其收敛速度慢，所以在实际应用中比较少用）练习：（１）求方程ln 260x x +-=的近似解，使误差不超过001.．（为了减少计算量，可先作出函数ln y x =和26y x =-+的图象，确定其交点横坐标的大概值． 图3练习时，可让同桌同学合作，一个计算，另一个纪录）（２）借助计算器用二分法求方程237x x +=的近似解（精确度0.1）．４．拓展探究（从几何画板方面）【例２】利用几何画板求方程237x x +=的近似解（精确度0.0001）．【解析】几何画板中用解析式绘制的函数图象与坐标轴不能构造交点，但利用不是用解析式绘制的图形，那是可以构造交点并度量其坐标的．既然是求方程的近似解，所以我们可以在零点附近构造一条线段（弦），然后构造弦与x 轴的交点并度量其横坐标．接着，一端固定（此点的选择与函数的单调性以及凹性有关，如此题的A 点），另一端在曲线上找一点（其横坐标等于交点的横坐标），两端点连成新的弦，再构造交点，依次进行下去，直到求出满足精确度的近似解为止（见图4）．显然， 1.4332x ≈满足要求．５．课堂小结（１）二分法是分类归谬法的一种具体表现形式（体现方法的通性）；（２）引导学生回顾二分法，明确它是一种求一元方程近似解的通法（仅适用于单调区间上端点函数值异号的情形）；（３）利用估值或根据函数图象（简图）确定初始区间；（４）近似解精确度的估算：1||(*)i i x x i N ε--≤∈； 图4（５）揭示算法定义，了解算法特点．算法定义：算法一般是指求解某个问题的长度有限的指令序列，每条指令都是确定的、简单的，机械的，可执行的．对于任一属于这个问题的实例的有效输入，应在有限步（一步执行一条指令）内给出结果（输出），并中止．算法语言就是比较高级的程序设计自动化语言，它与数学公式非常接近而与计算机的内部逻辑结构无关．用二分法求方程的近似解，由于计算量较大，而且都是程式化的步骤，因此二分法可以利用计算机程序，借助计算机解题．６．布置课外作业（１）精选课本上的习题；（２）收集并阅读有关资料，写一篇古今中外数学家关于方程求解问题探索历程的文章．报名表。
课题：用二分法求方程的近似解全日制普通高级中学教科书数学必修1第三章第一节第三课时一、教材背景分析1.教材的地位和作用以及学情本节内容位于数学必修1第三章第一节“函数与方程”，共分三个课时。
第一课时学习了“方程的根与函数零点的关系”，第二课时学习了“函数零点的存在性”，学生通过前面两节的学习，对方程的根的存在性以及函数零点和方程的根的关系有了一定的认识。
掌握了基本初等函数的图像和性质并具有了一定的数形结合的思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此基础上介绍用二分法求函数零点近似值，也就水到渠成。
本节是第三课时，二分法是求方程近似解的常用方法，它体现了函数的思想以及函数与方程的联系。
为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，为数学3中算法内容的学习做了铺垫。
二分法体现了数学的逼近思想，对学生以后学习圆周的计算，球的面积体积公式的由来等微积分的知识起了奠基的作用。
因此决定了它的重要地位。
2.教学重点与难点重点：渗透二分法思想；理解二分法的原理；掌握用二分法求给定方程近似解。
难点：二分法的原理；零点所在区间的判断；精确度的理解。
[理论依据]学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，然而不管他们从事什么工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时随地发生作用，使他们受益终身。
因此数学思想方法的渗透是重点之一。
二、教学目标（1）知识与技能：1.体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的一般步骤。
2.会用二分法求方程的近似解，并能用计算机辅助求解。
3.会用二分法思想解决其他的实际问题。
（2）过程与方法：1.通过对二分法原理的探索，引导学生用联系的观点理解函数与方程，形成用函数的观点处理问题的意识。
2.通过求具体方程近似解介绍二分法并总结其步骤，体现了从具体到一般的认知过程。
3.利用逼近求解，渗透从有限到无限的数学思想。
（3）情感与态度：1.通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感。
