线性代数第三章练习题演示教学

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320;(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132. 解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------10105663008840034311 (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110 2．在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的1-r 阶子式?有没有等于0的r 阶 子式?解 在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的1-r 阶子式,也可能存在等 于0的r 阶子式.例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000010000100001α3)(=αR 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,问B A ,的秩的关系怎样? 解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ， 故而)()(B R A R ≥.4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(- 解 设54321,,,,ααααα为五维向量,且)0,0,1,0,1(1=α,)0,0,0,1,1(2-=α,则所求方阵可为,54321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααααA 秩为4,不妨设⎪⎩⎪⎨⎧===)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,,0,0,0(55443αααx x 取154==x x 故满足条件的一个方阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100000100000011001015．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131213123； (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812. 解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131223123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r r r r r 200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----r r .二阶子式71223-=-． (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~rr r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------02301024205363071210 131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000010000712100231秩为3 三阶子式07023855023085570≠=-=-．6．求解下列齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 (1) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3410013100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x (3) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4) 对系数矩阵实施行变换:即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x xx x 7．求解下列非齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有 2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解． (2) 对系数的增广矩阵施行行变换:即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x8．λ取何值时,非齐次线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1) 0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2) )()(B R A R <由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ 得2-=λ时,方程组无解.(3) 3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ, 得1=λ时,方程组有无穷多个解. 9．非齐次线性方程组当λ取何值时有解？并求出它的解．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)2)(1(000)1(321101212111212112~2λλλλλλB 方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x10．设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解．解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------154224521222λλλλ 当0≠A ,即02)10()1(2≠--λλ 1≠∴λ且10≠λ时，有唯一解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(≠--λλ，即10=λ时，无解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(=--λλ，即1=λ时，有无穷多解.此时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000001221原方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023. 解 （1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------1061263111010421112．(1) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231,113122214B A ,求X 使B AX =;(2) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=132321,433312120B A ,求X 使B XA =.解(1) ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231113122214B A 初等行变换~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--412315210100010001 (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫⎝⎛132321433312120B A 初等列变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---474112100010001 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==∴-4741121BA X ．。

线性代数第三章布置的作业详细做题步骤P75:3(3)321422221x y z w x y z w x y z w +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩、用消元法解下列非齐次线性方程组（3）2131113212212-+21-22111142212211112111100010000201111122220001000000111102220001000000r r r r r r r r r r A -⨯-⨯⨯⨯-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤⎢⎥−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）解：行最简型121212112(A)R(A)24111=++()2220=,,(,R)1111++22221==000R x y z y z w y c z c c c x c c y c c z c w ==<∴⎧-⎪⎨⎪=⎩=∈⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎣ （未知量的个数）非齐次线性方程组有无穷多个解.由增广矩阵的行最简型可写出原线性方程组的同解方程组和是自由未知量取则原非齐次线性方程组的通解为：212112200++,(,R)1000c c c ⎡⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥∈⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦123123212361x x x x x x x x x λλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩、取何值时，下列非齐次线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其解.（1）1321313222223222321111111110110111110110021r r r r r r r r A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ↔--⨯+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→---⎢⎥⎢⎥---+-⎣⎦解：（1）式2i (A)R(A)3=3201-2.11-24ii =-2=0-33-6(A)R(A)00031111iii =1=00000000(A)R(A)13R R R λλλλλλ==--≠≠≠⎡⎤⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦==< （）当（未知量的个数）时，非齐次线性方程组有唯一解.即时，即当且时，有唯一解（）当时，（1）式，，非齐次线性方程组无解.（）当时，（1）式（2）式行最简型，（未知量的12323=--+1x x x x x 个数），非齐次线性方程组有无穷多解.原非齐次线性方程组的同解方程组为：（，为自由未知量）21321211221121232=,--+1-1-11==1+0+0,(,R)010x c x c c c R x c c x c c c c c x c =∈⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦取（，）原非齐次线性方程组的通解为：12321231231235.1+110=1=1+=1=.111+,,,,,,λααλαβλλλλβαααβαααβααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦设有向量，，，试问当取何值时，（1）可由线性表示，且表达式唯一？（2）可由线性表示，且表达式不唯一？（3）不能由线性表示？132131112233123222+2=k k k (1),,(1)(A)R(A)=31+11011+1111+111+11+11+110111+0--0--2-r r r r r r R A λβαααβαααλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ↔--⨯++⇔=⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦−−−−→ （1）解：设式（i ）如可由唯一线性表示，即式对应的非齐次线性方程组有唯一解（未知量的个数）322232+2223--111+0--(2)0-3--2-r r λλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦式2123-3-00-3(A)R(A)=3,,.R λλλλβααα≠≠≠= 分析(2)式可知，当，即当且时，（未知量的个数）可由线性表示，且表达式唯一123=0=0(2)11100000(3)0000(A)R(A)=1<3(1),,=-3=-3(2)11-290-33-12(4)0006(A)R(A)(1)ii A R iii A R λλβαααλλ⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴=⇔⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴≠⇔ （）当时，将代入式式（未知量的个数）式对应的非齐次线性方程组有无穷多解，即可由不唯一线性表示.（）当时，将代入式式式对应的非齐次线性方程组无解，123,,βααα即不能由线性表示.P85:2131231231122331232.11=1==111,,0.(A)3,,1111A 11111111r r a a a a R a a a a a a αααααααααααα↔⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦++=⇔⇔<-⎡⎤⎢⎥=-−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦取何值时，下列向量组线性相关：，，，解：设线性相关,则k k k 有非零解齐次线性方程组有无穷多个解（未知量的个数，即向量组中向量的个数）2131322221231111011011011002+2+=0(A)32-1,,.r r r a r r r a a a a a a a a a a a a R a a ααα--⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→+--−−−→+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦∴-<==当时，即当或时，线性相关P109:521312312311223312311-110-45.===20-812,,0.(A)3,,11-110-4A 20-812r r r k R k αααααααααααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦++=⇔⇔<⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦已知向量组，，，线性相关，求k.解：设线性相关,则k k k 有非零解齐次线性方程组有无穷多个解（未知量的个数，即向量组中向量的个数）21324142(1)221231111110130130260000110022=0(A)232,,.r r r r r r r r k k k R k ααα--+----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦∴-=<=当时，即当时，线性相关P89:3(2)12123412343.21381115====.1719110211A ,,,.213811111521A =1719171102111r r αααααααα↔-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.（2），，，解：设向量组:则矩阵2131412232421221(1)()2331511153803121906241021109364131115103303120112330000000000000000r r r r r r r r r r r r r r ----⨯⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦行最简型（1）式01200001212343124122111==17110:,A ,,,.41132==+.3333A A A A A αααααααααααααα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-设向量组为，，R()=2(中包含的向量的个数)故线性无关,向量组是向量组:的一个极大线性无关组由（1）式分析得出，P101:4(2)221313212341234123415224.52311536 1.24261523111523111A 536110284145602421601427280r r r r r r r x x x x x x x x x x x x ----+-=⎧⎪++-=-⎨⎪+++=-⎩-----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--−−−→--−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 求下列非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.（2）解：21215145231114272800009123721511101111101201272720000000000r r r +-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→--−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦行最简型123412341343423491+0172110++=27291=++17211=272x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--⎪⎩⎧-⎪⎪⎨⎪--⎪⎩原非齐次线性方程组的同解方程组为：（1）式变形为（，为自由未知量）（2）式123434134334423412==0=0091=+1072=1101=72x x x x x x x x x x x x x x x x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎧-⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪-⎪⎩取0，，则原非齐次线性方程组的一个特解为原非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组为：（，为自由未知量）（3）式，取，代入（3）式1212917211==720110.ξξξξ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得，，即，是原非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的一个基础解系P159答案也是对的，只是把基础解系中的向量中的分量都放大了。

第三章 矩阵的初等变换和线性方程组一 重点内容1 初等变换和初等矩阵∙ 初等矩阵左乘矩阵A ，相当于对A 作相应的初等行变换. 初等矩阵右乘矩阵A ，相当于对A 作相应的初等列变换. 2 初等变换法求逆矩阵 设A 为可逆矩阵，),( ),(1-−−−−→−A E E A 仅用行变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A 仅用列变换),( ),(1B A E B A -−−−−→−仅用行变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1BA E B A 仅用列变换3 矩阵的秩∙ 矩阵的秩 = 矩阵的非零子式的最高阶数∙ 行阶梯形矩阵(或行最简形矩阵、矩阵标准形)的秩 = 非零行的行数 ∙ 矩阵的秩的性质①},m in{)(0n m R n m ≤≤⨯A② )()(TR R A A =③ 初等行/列变换不改变矩阵的秩 [若A ~B ，则R (A )=R (B ) ]④ 若 P , Q 可逆，则R (PAQ ) = R (PA ) = R (AQ ) = R (A ) ⑤)()(),()}(),(m ax{B A B A B A R R R R R +≤≤⑥ )()()(B A B A R R R +≤+⑦ )}(),(m in{)(B A AB R R R ≤⑧ 若AB =O ，则nR R ≤+)()(B A(其中n =A 的列数=B 的行数)4 线性方程组解的判定 ∙ 对于齐次线性方程组Ox A =⨯n m ，① 方程组只有零解 ⇔n R =)(A ② 方程组有非零解 ⇔nR <)(A∙ 对于非齐次线性方程组bx A =⨯n m ， ① 方程组有解 ⇔),()(b A A R R =；等价命题：方程组无解 ⇔ ),()(b A A R R ≠② 方程组有唯一解 ⇔nR R ==),()(b A A ③ 方程组有无穷多解 ⇔nR R <=),()(b A A5 关于可逆矩阵的结论对于n 阶方阵A ，以下条件等价(即互为充要条件)：◎ A 是可逆矩阵(或非奇异矩阵、满秩矩阵) ◎≠A ◎ nR =)(A◎ A 可表示为若干初等矩阵的乘积◎ A 可通过初等行变换化为单位矩阵(即EA r~，或A 的标准形为单位矩阵)◎ 齐次线性方程组Ax =O 只有零解 亦可表述为−−对于n 阶矩阵A ，以下条件等价：◎ A 是不可逆矩阵(或奇异矩阵、降秩矩阵)； ◎=A ◎ nR <)(A◎ A 不能表示为若干初等矩阵的乘积◎ A 不能通过初等行变换化为单位矩阵(或A 的标准形不是单位矩阵)◎ 齐次线性方程组Ax =O 有非零解二 典型题型：1 初等变换和初等矩阵 例1 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，则B 等于 ( )(A) 21P AP (B) 12P AP (C)AP P 21 (D)AP P 12解Br r r r A2113↔+第一次初等行变换13r r +对应的初等矩阵是P 2；第二次初等行变换21r r ↔对应的初等矩阵是P 1，故有BA P P =21，选项(C)正确.例2 将可逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=023111021A 分解为初等矩阵的乘积.分析 可逆矩阵A 的标准形是单位矩阵，故能通过初等变换化为单位矩阵。

习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。

3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。

（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。

习题三A 组1 •填空题.(1)设口 = (1,1,1), 6 = (-1,-1,-1),则ah x= _____________ , a vh= _________ro o>1 ](3)若么=(1, 2, 3), B — 1, —, — , A — a}d ,则 A n =I 2 3丿‘1 0⑷设A= 0 2J o解0.(5)设 a = (l, 0, -if ，矩阵 A=aa l \ 斤为正整数，贝 i\kE - A n解 k 2(k-2n ).(6)设昇为斤阶矩阵，且A =2,贝ij AA T= _________ , AA ： = _______2(2)设八1-3 2),B =-3丿1 -13 1 3>则AB = (0 0丿(—3 -3丿2 13232 3 1 1)0 ,正整数 /7 > 2 ,则 A n -2A ,l ~' =2“+i2".(cos& -sin&\(7)、sin& cos& 丿cos& sin&\、一sin& cos& 丿0 0、2 0 ,则(A*y =4 5,解討丫2(10)设矩阵/二,矩阵B满足BA = B + 2E,则B二，B<-1 2(2 0(11)设/，〃均为三阶矩阵，AB = 2A + B f B= 0 4,2 0‘0 0 P解0 1 0b o oj(12)设三阶矩阵/满足|力|二*, (3A)~l-2A* =1627(13)设/为加阶方阵,B为兀阶方阵,同=Q,\B\ = b, C =°, 则\c\ =(8)设…®?工0 ,则、\Z曾丿1)a n1%■■1 1■色丿丿a lP(9)设A= 22、0 ,贝=2丿/0、0 ,矩阵〃满足关系式ABA =2BA ^E,其屮才'为力的伴随矩阵，则|B | =解*•解0.解一3・是nxp 矩阵，C 是pxm 矩阵，加、n 、p 互不相等，则下列运算没有(B) ABC ；解D.(2)设/是mxn 矩阵(m n), B 是nxm 矩阵，则下列解(一l)〃5b ・(15)设4阶矩阵/的秩为1,则其伴随矩阵/的秩为 (14)设三阶矩阵/ =R(4)解1.(17)设矩阵力'a 、b\ a }b 2■ ■a 2b 2 ■ • ■a n b2,其中匕・工0, (Z=l,2,•••,/?),则力的秩，且7?(J) = 3,则丘=0、 -2i,则将/可以表示成以下三个初等矩阵的乘积(D) AC T .的运算结果是n 阶力•阵.(A) AB ；解B.(B) A YBT；(C) B r A T ；(D) (4B)T.(16 )设？1 = •咕、 ・仇 ・ a n b n)解2.选择题.(1)设/是mxn 矩阵,(3) 设力」是斤阶方阵，AB = O,贝I 」有 ________ • (A) A = B = Ox(B) A + B = O ； (C)同=0或|同=0；(D)同 + 圖=0・解C ・(4) 设力，〃都是斤阶矩阵，则必有 _______ . (A) \A + B\ = \^ + \B\； (B) AB = BA ； (C) \AB\ = \BA\ ；(D) (/1 + B)T M /T + BT ・解C ・(5) 设/,B 是斤阶方阵，下列结论正确的是 __________ ・ (A)若均可逆，则A^B 可逆； (B)若力，〃均可逆，则力〃可逆； (C)若A + B 可逆，则A-B 可逆；(D)若A + B 可逆，则4〃均可逆.解B.(6) 设斤阶方阵A,B,C 满足关系式 ABC = E ，则必有 ___________ ・ (A) ACB = E ； (B) CBA = E ；(C) BAC = E ；(D) BCA = E .解D.(7) 设昇，B,力 + B, /T+BT 均为斤阶可逆矩阵，贝等于 ________________________ (A)(B) A + B ；(C) (D) g + 3)".解C.(8) 设£B,C 均为兀阶矩阵，若B = E + MB , C = A^CA.则B-C 为 ________________ . (A) E\ (B) —E ； (C) ； (D) —A.. 解A.(9) 设矩阵A = (a i .} 满足才其中才是/的伴随矩阵，川为昇的转置矩阵.若\ "3x3。

习题三（A ）1. 用矩阵的初等变换把下列矩阵A 化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵及标准形矩阵：(1) 112332141022-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）1111131320461135-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）24512122111212136363--⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-- ⎪---⎝⎭2.设A 123012425⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，010(1,2)100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E ，100(3,2(5))010051⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E .试求(1,2)E A ；(1,2)AE ；(3,2(5))E A .3.用初等变换求下列方阵的逆矩阵：(1) A 101110012⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）A 211124347--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（3）A1111022200330004⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭4.用初等变换解下列矩阵方程：(1) 设A 101110120⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，102102-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，且AX =B ，求X .（2）设A 220213010⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且+AX =A X ，求X .5.设矩阵A 122324111222-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，计算A 的全部三阶子式，并求()R A .6.在秩为r 的矩阵中，有没有等于0的1r -阶子式？有没有等于0的r 阶子式？请举例说明.7.从矩阵A 中划掉一行得到矩阵B ，问A ，B 的秩的大小关系怎样? 请举例说明.8.求下列矩阵A 的秩：(1) 310211311344⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）1121224230610304-⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭（3）12211248022423336064--⎛⎫⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭(4) 112205123λλλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ (5)111111λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭9. 设有矩阵A101110112111022264μμ-⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，若()3R=A，求μ的值.10.判断下列命题是否正确．(1) 如果线性方程组AX=0只有零解，那么线性方程组AX=B有唯一解；(2) 如果线性方程组AX=B有唯一解，那么线性方程组AX=0只有零解．11. 解下列齐次线性方程组：（1）12312312325502303570x x xx x xx x x+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩（2）1234123412342202220430x x x xx x x xx x x x+++=⎧⎪+--=⎨⎪---=⎩（3）31243124312431242530420476023950xx x xxx x xxx x xxx x x-+-=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩（4）3124312412431242350240347045530xx x xxx x xx x xxx x x-+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨--=⎪⎪-+-=⎩12. 解下列非齐次线性方程组：（1）123123123343322323x x xx x xx x x-+=⎧⎪+-=-⎨⎪-+-=-⎩（2）12341234123443222333244x x x xx x x xx x x x+-+=⎧⎪++-=-⎨⎪---+=⎩（3）3124312431243124235324434733749xx x xxx x xxx x xxx x x+++=⎧⎪++-=⎪⎨+++=⎪⎪++-=⎩（4）31231231231224523438214496xx xxx xxx xxx x-+=-⎧⎪++=⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩13. 确定λ的值，使下列齐次线性方程组有非零解，并求其一般解．（1）123123123x x xx x xx x xλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2）123123123240356020x x xx x xx x x-+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩λ14.讨论下列非齐次线性方程组，当λ取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出一般解:（1）12312321231x x xx x xx x xλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2）212312312313422321x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩λλ15. 设有方程组112223334445551x axx axx axx axx ax-=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩，证明方程组有解的充分必要条件是51iia==∑.（B ）1.设A 是n 阶可逆阵，互换A 的第i 行与第j 行（i j ≠）得到矩阵B ，求1-AB .2. （研2007数一、二、三）设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为___ ____. 3. （研2010数一）设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，若AB =E ，则正确的是（ ）(A) ()R m =A ，()R m =B (B) ()R m =A ，()R n =B(C) ()R n =A ，()R m =B (D) ()R n =A ，()R n =B4. （研2015数一、二、三）设矩阵A 21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合={1,2}Ω，则线性方程组Ax =b 有无穷多解的充分必要条件是（ ）(A) a ∉Ω，d ∉Ω (B) a ∉Ω，d ∈Ω (C) a ∈Ω，d ∉Ω (D) a ∈Ω，d ∈Ω5. （研2016数二、三）设矩阵111111a a a --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭与110011101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭等价，则a =____ ____.6.证明：()()R R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A O AB O B . 7.设A ，B 是n 阶非零矩阵，证明：若=AB O ，则()R n <A 及()R n <B .8.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且n m <.证明：||0=AB .。

第三章 向量组的线性相关性1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 求21v v -及32123v v v -+.解 21v v -T T )1,1,0()0,1,1(-=T )10,11,01(---=T )1,0,1(-=32123v v v -+T T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=T )01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯= T )2,1,0(=2．设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=,T a )1,1,1,4(3-=,求a解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61T T T --+=T )4,3,2,1(=3．举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示. (2)若有不全为0的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关. (3)若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.(4)若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数, m λλλ,,,21 使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ 同时成立.解 (1) 设)0,,0,0,1(11 ==e a 032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关,但1a 不能由,,,2m a a 线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ ) m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关 取021====m a a a 取m b b ,,1 为线性无关组满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21 线性无关的.(4) T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2= ⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.4．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组 4321,,,b b b b 线性相关.证明 设有4321,,,x x x x 使得 044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k , 411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相 关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001=知此齐次方程存在非零解 则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.5．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组 r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关. 证明 设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k因为0110011011≠= 故方程组只有零解则021====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---140113130********211.解 (1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r --- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53105310321043173125 2334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00003100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1401131302151201221114132~r r rr --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122114323~r r r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000222001512012211， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组．7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=82423a ; (2) )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta . 解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000032198204121~ 秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000189903121~ 秩为2,最大线性无关组为TT a a 21,. 8．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能 由它们线性表示,证明n a a a ,,,21 线性无关. 证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关不妨设:nnn n n n nn nn a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++= 22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2121222211121121 两边取行列式，得 T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2121222211121121=由002121≠⇒≠TnTTT n T T a a a e e e即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n 故n a a a ,,,21 线性无关.9．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一n 维向量都可由它们线性表示.证明 设n εεε,,,21 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量 T n k k k a ),,,(21 =则有n n k k k a εεε+++= 2211即任一n 维向量都 可由单位向量线性表示.必要性⇒n a a a ,,,21 线性无关，且n a a a ,,,21 能由单位向量线性表示，即 nnn n n n nn nn k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++=22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n T T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121 两边取行列式，得T nT T nnn n n n Tn TTk k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121=由0021222211121121≠⇒≠nn n n n n TnTTk k k k k k k k k a a a令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A212222111211则 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T TT n T T T n T T T n T T a a a A A a a a εεεεεε 212112121 即n εεε,,,21 都能由n a a a ,,,21 线性表示，因为任一n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n a a a ,,,21 线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21 线性表示，则单位向量组：n εεε,,,21 可由n a a a ,,,21 线性表示，由8题知n a a a ,,,21 线性无关.10．设向量组A :s a a a ,,,21 的秩为1r ,向量组B :t b b b ,,,21 的秩2r 向量组C : r s b b b a a a ,,,,,,,2121 的秩3r ,证明 21321},max{r r r r r +≤≤证明 设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,,含有的向量个数 (秩)分别为221,,r r r ,则C B A ,,分别与C B A ''',,等价,易知B A ,均可由C 线性表示,则秩(C )≥秩(A ),秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤设A '与B '中的向量共同构成向量组D ,则B A ,均可由D 线性表示,即C 可由D 线性表示,从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D ), D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.11.证明()()()B R A R B A R +≤+.证明:设T n a a a A ),,,(21 = T n b b b B ),,,(21 =且B A ,行向量组的最大无关组分别为T r T T ααα,,,21 Ts T T βββ,,,21 显然,存在矩阵B A '',,使得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T T T n T T A a a a ααα 2121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T T T n T T B b b b βββ 2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+∴T n T n T T T T b a b a b a B A 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T T B A βββααα 2121 因此 ()()()B R A R B A R +≤+12．设向量组:B r b b ,,1 能由向量组:A s a a ,,1 线性表示为K a a b b s r ),,(),,(11 =，其中K 为r s ⨯矩阵，且A 组线性无关。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：10 2 12 3 1(1); (2);2 03 1 0 34 3 3434711 1 3 4 323 1 3 7(3) 32 3 2 5 3 4 2 1 0 ; (4) 13 2 2 08 2 3 4 0. 33 421237 43121r ( 22) r1211解 (1)2 30 0 3 413 r 3~( 3)r10 0 0 0 1 2 3 0r2( 1)rr1 02 1321 0 21r3~( 2) 0 0 0 0 1 1 03 ~ 0 0 0 0 1 033r33123 3 021rr121~~0 0 1 3 0 0 1 0 00 0 1 01r 1 ( 2)r1 0 02r1~0 1 0 r 30 01231r 2 ( 32) r 0 2 311(2)0 0 3 44 73 1r 3~(2 )r10 0 0 0 1 313r 3r2r2 2 0 1011 0 5r 1~ 3r20 0 0 01 03 0 ~ 0 0 0 0 1 0 3 0(3)13213235344231r2r33r1~2r1113434863863 3 42 1r43r10 0 5 10 10rr23(~(43))11311422322r1 3r2~r3r21112232r4( 5)0122r4r20 0 0 0 0(4)2133221832374r1r32~3r2r211281812914122 3 74 3r42 r20 7 7 8 11rr232~8r1r1111211124r1r2~(r21)112111214r 74r114r4r30 0 0 0 0r2~r3112112340 0 0 0 02．在秩是r 的矩阵中,有没有等于0 的r 1 阶子式?有没有等于0 的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的r 1 阶子式,也可能存在等于0 的r 阶子式.1 0 0 00 1 0 0例如，0 0 1 00 0 0 00 0 0 0R 同时存在等于0 的3 阶子式和 2 阶子式. ( ) 33．从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B ,问A, B的秩的关系怎样?解R(A)R(B )设R (B)r ，且B 的某个r 阶子式 D r 0 .矩阵B 是由矩阵 A 划去一行得到的，所以在 A 中能找到与D 故而R ( A)R ( B ) . r相同的r阶子式D r，由于D r D 0 ，r4．求作一个秩是 4 的方阵,它的两个行向量是(1,0,1,0 ,0 ),(1, 1,0 ,0 ,0 )解设1, , , , 为五维向量,且 1 (1,0 ,1, 0, 0),2 3 4 5122 ,则所求方阵可为 A , 秩为4,不妨设(1, 1,0 ,0 ,0 )3453 ( 0,0,0, x,04) ( 0,0,0 ,0 , x )4 5 取 1 x4 x5(0,0,0,0,0) 51 0 1 0 01 1 0 0 0故满足条件的一个方阵为0 0 0 1 00 0 0 0 10 0 0 0 05．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：3 1 0 2 3 2 1 3 1(1) ; (2)；1 12 1 2 13 1 31 3 4 4 7 0 5 1 82 1 83 7(3) 23325785.1 0 32 03 1 0 21 12 1rr12解 (1)1 12 1 ~3 1 0 2 13441344r3 r21 ~ r r3 11 0 0 4 4 12 6 6 1 5 5 rr 3 2 ~ 10 0 1 4 0 2 6 0 150 秩为 23 1 二阶子式 411．3 2 2 1 1 3 3 1 2 3 r 1 2rr 2 ~2 r 11 0 3 7 4 11 4 9 1(2)57 r r70 5 18 021 33 27 153113441r.3r秩为23 0 7 11 9 5 2~3 2 二阶子式721．(3)2 2 31 32 8 0 53 7 87 5 0r1r22 ~2r4r40 0 01 32 2 6 4 13 2 7 51 0 3 2r 3 3 r 4 10 3 2 0r 2r 3 3 r112171614r1r4r3r2r1~1411322171~2 r1秩为 31 0 32 0 0 0 0 0 0r 164r r4 30 7 55 8三阶子式70 05 8 0 53 23 2 0．6．求解下列齐次线性方程组:x1x2x x0234,x2x x x12340,(1) 2x x x x0,1234(2) 3x6x x3x12340,2x12xx2x2340;5x110x2x35x40;2x3x x5x0,3x4x5x7x0, 12341234 3x x2x7x0,2x3x3x2x0, 12341234 (3) (4)4x x3x6x0,4x11x13x16x0, 12341234 x2x4x7x0;7x2x x3x0.12341234解(1) 对系数矩阵实施行变换:1 2 2112211112101~0131即得40013xxx1234343x3x4x44x x44x1x2x3k4343故方程组的解为x 43 1(2) 对系数矩阵实施行变换:x2x x1241 3 52610111135121~即得0010xxx234x2x4x 12 1故方程组的解为x2x3k11k2x41(3) 对系数矩阵实施行变换:x 0 2 3 1 5 1 0 0 013 4 1123760 1 0 0~ 即得0 0 1 0xx231 2 4 7 0 0 0 1 x 04x1故方程组的解为xx230 x 04(4) 对系数矩阵实施行变换:3 4 5 7 1 0317131723311130 0 0 0 7 2 1 321920~0 141617170 0 0 0x 1317x 31317x4即得x 2 1917x 32017x4x3 x3x x4 4x 13171317故方程组的解为x 2x 3x4k119 171 0 1k22017 07．求解下列非齐次线性方程组 :4 x 1 x 1 x 3 11 1 2 x2 x2 x1 32 x 23 x 3 8;2,10 , (2)2 x34 x x x 2 3 y 8 y y y 4 9 z z 2 z z 4 , 5, 136;(1),2 x y z w 1, 2 x y z w 1,(3) (4)4 x 2 y 2 z w 2, 3 x 2 y z 3w4,2 x y z w 1; x 4 y3 z 5 w 2;解(1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有4 2 1 2 1 3 3 8~3 1 2 10 0 10 11 3411 3 0 8 0 0 0 6R 而R(B ) 3 ,故方程组无解．( A) 2(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:2 3 1 4 1 0 2 11 3 28 42513~ 01124 1 9 6 0 0 0 0x 2 z 1 x 2 1即得亦即y z 2 y k 1 2z z z 1 0(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:2 1 1 1 1 2 1 1 1 1~4 2 2 1 2 0 0 0 1 02 1 1 1 1 0 0 0 0 0即得xyzyz12y12z12即xyzk1211k212112w0 0 0w 0(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:1 4 3 52 21 1 1 13 14 2 1 35 3 4 2 ~ 0 0 10 5 7 0 97 0 5 71 0 171767~ 0 1 5797570 0 0 0 0x 17z17w67 x171767即得y 57z97w57即yzk51k7297571 0 0z zw0 1 0w w8．取何值时,非齐次线性方程组x 1 x x 1,2 3x x x ,1 2 32x x x1 2 3(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?1 1解(1) 0,即1, 2 时方程组有唯一解. 111 1(2) R(A)R ( B )21 1 11 1~B 1 1 0 1 1 (1 )21 1 0 0 (1 )(2 ) (1 )(2 1)2由(1 )( 2 ) 0,(1)( 1) 0得 2 时,方程组无解.2 ,(3) R(A)R ( B ) 3 ,由(1 )( 2 ) (1 )( 1) 0得 1 时,方程组有无穷多个解.9．非齐次线性方程组82 x x x 2,1 2 3x 2 x x ,1 2 32x x 2 x1 2 3当取何值时有解？并求出它的解．1 2 1 21 1 2解B 11 21 12 2~ 011(2(31 )(1 )2)方程组有解，须(1 )( 2)0 得1, 2x11 1当 1 时,方程组解为x k 1 02x 1 03x 1 21当 2 时,方程组解为x k 1 22x 1 03( 2) x 2 x 2 x1 2 31,10．设2x( 5) x 4 x1 2 32,2 x 4 x (5 ) x1 2 31,问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解．2 2 2 1解 2 5 4 22 4 5 151 2 12 初等行变换~ 00 1 1 1(1 )( 10 ) (12)( 4)2 2(1 ) (10 )当 A 0 ,即02 1且10 时，有唯一解.(1 )( 10 )当02(1)( 4 )且02，即10 时，无解.(1 )( 10 )当0 2(1 )( 4 )且 02 ，即1 时，有无穷多解 .12 2 1 此时，增广矩阵为0 0 0 0 0x122 1 原方程组的解为 x2k11 k0 0 2(k 1 , kR )2x3111．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：3 3 32 1 21 5 3; (2)3 0 1 02 2 2 10 2 3 21 12 1(1) .3 2 1 1 0 0 3 2 1 1 0 0 解 （1）~3 1 5 0 1 0 0 14 1 1 0 323 01211~ 3 0 0 2 1 0 0 0 2 3 2 1 1 0 1 0 1 2 2 1 ~3 0 0 0 1 0 0 0 1 7 2 1 1 2 21 09 2 2127 2 3 1 00 6 3 2~ 01 00 1 1 1 2 1 0 2 1 272 3 故逆矩阵为6 1 3 1 2 21 21 23 2 0 1 1 0 0 0 (2)1 2 2 2 3 12 00 1 00 10 00 1 2 10 0 1 1232 01~0 0 1 4 2 9 1 5 01 00 0 3 10 2 2 10 10 0 1232 01~0 0 1 0 2 1 1 1 01 00 0 3140 0 2 1 0 1 0 2 1232 01~0 0 1 0 2 1 1 1 01 00 0 3140 0 0 1 2 1 6 10 120 01 122~0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1` 1 03 160 1 2 16101 0 01 12 4 ~0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 3 160 0 01 2 1 6 101 12 4 故逆矩阵为0 1 1 10 3 1 6 2161041 2 1312．(1) 设 A,求 X 使 AXB ;2 2 1 , B2 231131(2) 设0 2 11 2 3A ,求X 使XAB .2 13 , B2 3 13 3 4解4 1 2 1 3 1 0 0 10 2初等行变换(1) ~A B 2 2 1 2 2 0 1 0 15 33 1 1 3 1 0 0 1 12 410 21X A B 15 312 40 2 1 1 0 0(2)AB2 13 0 1 0初等列变换3 34 0 0 1~1 23 2 112 3 1 4 7 42 1 1 1X BA ．4 7 4。

习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵1.用初等行变换化矩阵102120313043A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为行最简形.2.用初等变换求方阵321315323A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.3.设412221311A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,32231-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1B=,求X使AX B=.4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B.(1) 证明B可逆(2)求1AB-.习题 3-2 矩阵的秩1.求矩阵的秩:(1)310211211344A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠⎡⎤⎢⎥=⎣⎦L2.设12312323k A k k -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 ..()()a R A R B = .()()b R A R B <；.()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥-4. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4.5. 设n (n ≥3)阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 11-n .6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证:()()R A R A E n +-=习题 3-3线性方程组的解1. 选择题(1)设A 是m n ⨯矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).A. 若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解B. 若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解C. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解D. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解,(2)对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=,设()R A r =,则( ).A.r m =时,方程组Ax b =有解B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解D.r n <时,方程组Ax b =有无穷多解（3）设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵为A ,且存在三阶方阵B ≠0,使AB =0,则 .2.-=λa 且0=B ; 2.-=λb 且0≠B ;C. 1=λ且0=B ; d . 1=λ且0≠B .（4）设非齐次线性方程组AX=b 的两个互异的解是21,X X ，则 是该方程组的解.121212121.;.;.();..22X X a X X b X X c X X d -+-+2.解下列方程组: (1)12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩(2)21 422221x y z wx y z wx y z w+-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩3.设123123123(2)2212(5)42 24(5)1x x xx x xx x xλλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问λ为何值时,此方程组有唯一解,无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.4. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000222z c y b x a cz by ax z y x(1) a,b,c 满足何种关系时,方程组仅有零解?(2) a,b,c 满足何种关系时,方程组有无穷多解?求出其解.5.设,,,,,515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x =-=-=-=-=-证明这个方程组有解的充分必要条件为051=∑=j j a,且在有解的情形,求出它的一般解.。