《线性代数》第一节矩阵
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《线性代数》第1章线性方程组与矩阵
当 a1 a2 L an 1 时，这个数量矩阵就称为 n 阶单位矩阵，简称为单位阵，
记为 En 或 E即，
1 0 L 0
E
0
1L
0
.
L L O M
0
0L
1
定义2 两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.
如果两个同型矩阵
A (aij )mn 和 B (bij )mn 中所有对应位置的元素都相等， 即 aij bij ，其中
该线性方程组由常数 aij i 1,2,L ,m ; j 1,2,L ,n 和 bi i 1, 2,L , m完全确定， 可以用一个 mn 1 个数排成的 m 行 n 1列的数表
a11 a12 L
°A
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n b1
a2n
b2
M M
amn bm
一、矩阵的定义
得到的 n m 矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵，记为 AT ，即
a11 a21 L
AT
a12
L
a22 L LL
a1n
a2n L
am1
am 2
.
L
anm
矩阵的转置满足下面的运算规律（这里 k 为常数， A 与 B 为同型矩阵）：
数 aij 位于矩阵aij 的第 i 行第 j 列，称为矩阵的i, j 元素， 其中 i 称为元素 aij 的行标， j 称为元素 aij 的列标.
一般地，常用英文大写字母 A, B,L 或字母, , ,L 表示矩阵.
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 6
元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵 称为复矩阵. 本书除特别指明外，都是指实矩阵.
记为 En 或 E即，
1 0 L 0
E
0
1L
0
.
L L O M
0
0L
1
定义2 两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.
如果两个同型矩阵
A (aij )mn 和 B (bij )mn 中所有对应位置的元素都相等， 即 aij bij ，其中
该线性方程组由常数 aij i 1,2,L ,m ; j 1,2,L ,n 和 bi i 1, 2,L , m完全确定， 可以用一个 mn 1 个数排成的 m 行 n 1列的数表
a11 a12 L
°A
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n b1
a2n
b2
M M
amn bm
一、矩阵的定义
得到的 n m 矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵，记为 AT ，即
a11 a21 L
AT
a12
L
a22 L LL
a1n
a2n L
am1
am 2
.
L
anm
矩阵的转置满足下面的运算规律（这里 k 为常数， A 与 B 为同型矩阵）：
数 aij 位于矩阵aij 的第 i 行第 j 列，称为矩阵的i, j 元素， 其中 i 称为元素 aij 的行标， j 称为元素 aij 的列标.
一般地，常用英文大写字母 A, B,L 或字母, , ,L 表示矩阵.
一、矩阵的定义
第1章 线性方程组与矩阵 6
元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵 称为复矩阵. 本书除特别指明外，都是指实矩阵.
线性代数第一讲 逆矩阵
补充例题 首页 上页 返回 下页 结束 铃
矩阵 A 可逆|A|0 若 A 可逆 则 A1
1 A* | A|
1 2 3 例 2 求方阵 A 2 2 1 的逆阵 3 4 3 解 由|A|20 得知A1存在 因为 2 6 4 A* 3 6 5 2 2 2
定理：AA*A*A|A|E
An1 An2 Ann
A A 当 A 0时, AA A A A E A A E , A A 按逆矩阵的定义得 A 1 A . A
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补充例题
逆矩阵的定义 对于n阶矩阵A 如果存在n阶矩阵B 使得 ABBAE 则称矩阵A是可逆的 并称B为A的逆矩阵 简称逆阵 逆阵的唯一性 如果矩阵A是可逆的 那么A的逆阵是唯一的
所以
1 2 2 6 4 3 3 5 1 A* 1 3 6 5 3 1 A 2 | A| 2 2 2 2 2 1 1 1
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补充例题
例3 设
1 2 3 1 3 A 2 2 1 B 2 1 C 2 0 5 3 3 4 3 3 1 求矩阵X使其满足AXBC
推广
A1 A2 Am A A A .
1
1 m
1 2
1 1
当A可逆, m为正整数时, A 亦可逆,且 若规定 A m
补充例题 首页
m
(A ) (A ) . m 1 m 1 m (A ) , 则 (A ) A .
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m 1
1 m
矩阵 A 可逆|A|0 若 A 可逆 则 A1 例 1 求二阶矩阵 A a b 的逆阵 c d d b 解 因为|A|adbc A* c a 所以当|A|0时 有
矩阵 A 可逆|A|0 若 A 可逆 则 A1
1 A* | A|
1 2 3 例 2 求方阵 A 2 2 1 的逆阵 3 4 3 解 由|A|20 得知A1存在 因为 2 6 4 A* 3 6 5 2 2 2
定理：AA*A*A|A|E
An1 An2 Ann
A A 当 A 0时, AA A A A E A A E , A A 按逆矩阵的定义得 A 1 A . A
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补充例题
逆矩阵的定义 对于n阶矩阵A 如果存在n阶矩阵B 使得 ABBAE 则称矩阵A是可逆的 并称B为A的逆矩阵 简称逆阵 逆阵的唯一性 如果矩阵A是可逆的 那么A的逆阵是唯一的
所以
1 2 2 6 4 3 3 5 1 A* 1 3 6 5 3 1 A 2 | A| 2 2 2 2 2 1 1 1
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补充例题
例3 设
1 2 3 1 3 A 2 2 1 B 2 1 C 2 0 5 3 3 4 3 3 1 求矩阵X使其满足AXBC
推广
A1 A2 Am A A A .
1
1 m
1 2
1 1
当A可逆, m为正整数时, A 亦可逆,且 若规定 A m
补充例题 首页
m
(A ) (A ) . m 1 m 1 m (A ) , 则 (A ) A .
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m 1
1 m
矩阵 A 可逆|A|0 若 A 可逆 则 A1 例 1 求二阶矩阵 A a b 的逆阵 c d d b 解 因为|A|adbc A* c a 所以当|A|0时 有
线性代数 第一章 第一节
在生活中存在很多数表：例 1.1 1.1.1 矩阵的概念某城市有4个县城, 所示为公路网中各段公路的城E 1, E 2,E 3, E 4,线的数字表示两地公路的总里程．市政府决定修建公路网．图1.1里程数(单位: km); 其中五个圆分别表示城市O 与四个县图中两圆连E 1E 2E 3E 4O 615455.3图1.1图1.1可用下面的矩形数表表示：O E1E2E3E4O E1 E2 E3 E4061101635461063.5648410163.5055.3102636455.30575484102570E1E2E3E4O615455.3图1.1n m ⨯()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==111212122212n n m m mna a a a a a a a a L L M M M L 称为m 行n 列矩阵,简称m ⨯n 矩阵.排成的m 行n 列的数表个数由定义1.1111212122211,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L简记为n m A A ⨯=实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.(),ij m n a ⨯=记作这m ×n 个数称为A 的元素,简称元素.例如⎪⎭⎫ ⎝⎛-34695301是一个2×4实矩阵.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222222613i 是一个3×3复矩阵.()4是一个1×1实矩阵.11112211211222221122,,.n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L ij a 111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L 系数矩阵11121121222212n n m m mn m a a a b a a a b B a a a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L LL 增广矩阵例1.3线性方程组12nx x x其中为常数.下面介绍几种特殊矩阵1) 方阵行数与列数都等于n 的矩阵A ,称为n 阶方阵,.n A 记作例如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2222222613A 是一个3 阶方阵.2) 行矩阵、列矩阵只有一行的矩阵(),,,,21n a a a A =称为行矩阵(或行向量).,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a B 只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001000100单位矩阵==n E E 全为110001⎛ ⎪⎝⎭=3E 0010⎝⎭不为单位阵0的方阵, 称为定义1.2称为对角矩阵(或对角阵).⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ00000021形如4) 对角矩阵00如果12λλλ==L .记作数量矩阵.diagonal的方阵,()1diag ,,,.λλλL =L 000000λλλ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭L L L L L L L 定义1.31112122200n n nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭L L M M L ML11212212000n n nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M L M L元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n O ⨯5) 零矩阵()00013O ⨯=000000⎛⎫ ⎪⎝⎭23O ⨯=6) 三角形矩阵称为上三角形矩阵与下三角形矩阵.零矩阵记作或m n ⨯.O 定义1.4形如与两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为例如125637⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1.1.2 矩阵的加法与数量乘法同型矩阵.1438439⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭与为同型矩阵.两个矩阵()()ij ij A a B b ==与(),,,2,1;,,2,1n j m i b a ij ij ===则称矩阵A 与B 相等, 记作A = B .任意两个零矩阵都相等吗?答: 不一定.0000⎛⎫ ⎪⎝⎭≠对应元素相等, 即为同型矩阵, 并且()00.定义1.5例如1110,02,233a A b B c --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知A = B , 求a , b , c .解a = 1,b = 2,c = 2.引例某公司为两个单位供三种货物如下：甲货Ａ货Ｂ货Ｃ数量(千)138金额(万)864乙货Ａ货Ｂ货Ｃ数量(千)224金额(万)1642问：总数量总金额是多少？351224106定义1.6111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b C A B a b a b a b +++⎛⎫ ⎪+++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭L L L L L LL 设有两个只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算.令矩阵m n ⨯()(),,ij ij A a B b ==则称矩阵C 为矩阵A 与B 的和,记作A+B .说明:例1.4 求1235189190654.368321-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= .98644741113⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112+83+95+-61+59+-40+33+26+18+解原式矩阵加法的运算规律;A B B A +=+()().A B C A B C ++=++111212122212n nm m mn a a a aa a A a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪-=⎪⎪---⎝⎭ ();A A O +-=(),ijm na ⨯=-称为矩阵A 的负矩阵.(1) 交换律(2) 结合律(3) 零矩阵的特性A O O A A+=+=().A B A B -=+-(4) 存在负矩阵－A ，满足(5) 矩阵减法定义 1.7数与矩阵相乘设矩阵(),ij m n A a ⨯=λ是一实数或复数，规定111212122212(),n n ij m n m m mn a a a a a a A a a a a λλλλλλλλλλλ⨯⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭L L M M ML 称此矩阵为数λ与矩阵A 的数量乘积, 简称为矩阵的数乘.()()()A A A (3);==λμλμμλ()A A A (1);+=+λμλμ()(2);A B A B λλλ+=+数乘矩阵运算满足下述规律:（设A ,B 为m ×n 矩阵，μλ,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.(4)1,0.A A A O ⋅=⋅=为数）例1.5 设231,121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭111,201B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭求矩阵X , 使得42.A X B +=解24X B A =-111201-⎛⎫=⎪-⎝⎭2314121⎛⎫- ⎪-⎝⎭111201-⎛⎫=- ⎪-⎝⎭8124484⎛⎫ ⎪-⎝⎭7133.685---⎛⎫= ⎪--⎝⎭从而713312685X ---⎛⎫= ⎪--⎝⎭7/213/23/2.345/2---⎛⎫= ⎪--⎝⎭称为一个从变量12,,,m y y y 12,,n x x x 变换.11111221221122221122,,.n n n n m m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ ()ijm nA a ⨯=(a ij 为常数)称为线性变换的系数矩阵.1.1.3 矩阵与矩阵的乘法n 个变量12,,,n x x x L 与m 个变量12,,,m y y y L 的关系式之间到变量的线性引例设有两个线性变换11111221332211222233,(1),y a x a x a x y a x a x a x =++⎧⎨=++⎩111112222112223311322,, (2),x b t b t x b t b t x b t b t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩求出从12,t t 到12,y y 的线性变换.221112221233112112222223322()().y a b a b a b t a b a b a b t =+++++111111221133111112122213322()(),y a b a b a b t a b a b a b t =+++++线性变换(3)称为线性变换(1)与(2)的乘积.(3)把(3)所对应的矩阵定义为(1)与(2)所对应的矩阵的乘积.记作11111221332211222233, (1),y a x a x a x y a x a x a x =++⎧⎨=++⎩111112222112223311322,, (2),x b t b t x b t b t x b t b t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩221112221233112112222223322()().y a b a b a b t a b a b a b t =+++++111111221133111112122213322()(),y a b a b a b t a b a b a b t =+++++(3)111213212223a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭111112211331111212221332211122212331211222222332a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++⎛⎫=⎪++++⎝⎭111221223132b b b b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1,pik kj k a b =∑=ij c (),,,2,1;,2,1n j m i ==(),p n ij p n B b ⨯⨯=+j i b a 11+j i b a 22+ ip pj a b =()ij m n C c ⨯=矩阵与矩阵相乘的定义()m p ij m p A a ⨯⨯=给定矩阵与矩阵定义1.9 111121212p i i ip m m mp a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M M L M M L M L 111121221j n j n p pj pn b b b b b b B b b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭L L L L M M L M L L 记则称C 为A 与B 的乘积.,AB =例1.6222263422142⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C 22⨯⎪⎭⎫⎝⎛=16-32-816设101221300514A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭034211432B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭例1.7?第i 行第j 列c ij注意:AB =?无意义行数时, 两个矩阵才能相乘.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的注意:.AB BA ≠()31,2,321⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()132231⨯+⨯+⨯=().10=例1.8()321231⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭369246,123⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭m k ⨯的矩阵的矩阵相乘k n ⨯与m n⨯k n ⨯的矩阵与m k ⨯的矩阵相乘当n =m 时k k⨯当n ≠m 时不能相乘矩阵不满足交换律，即.AB BA ≠故矩阵乘法的运算规律()();AB C A BC =();C A B CA CB +=+();A B C AC BC +=+性质1 性质2 下证:();A B C AC BC +=+设(),ij m n A a ⨯=(),ij m n B b ⨯=(),ij n s C c ⨯=则证明A B +(),ij ij m n a b ⨯=+()A B C +1().n ik ik kj k m s a b c =⨯⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑AC 1,n ik kj k m s a c =⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭∑BC 1,nik kj k m sb c =⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭∑AC BC +1().n ik ik kj k m sa b c =⨯⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑故().A B C AC BC +=+而()()()AB A B A B λλλ==（其中λ为数）;;m n n m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯==.AB BA ≠;;m n n s m s p m m n p n A O O O A O ⨯⨯⨯⨯⨯⨯==性质3 性质412m b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例1.911112211211222221122,,.n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 请把线性方程组写成矩阵相乘形式.线性方程组=111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭12 n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭b=Ax系数矩阵Ax b=线性变换11111221221122221122,,.n n n nm m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 12m y y y ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 12n x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ Y AX=系数矩阵可记作(1) AB BA≠（无交换律）.(2) 000.AB A B=⇒==/或？000.AB A B=⇒==或例如1000, .0001 A B⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=AB10000001⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭,0=AB但,0≠A0.B≠矩阵乘法应注意的几点：(3) ,AB AC =(无消去律), 0.AB AC A B C =≠⇒=？例如1000,,0001A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭00.00C ⎛⎫= ⎪⎝⎭=AB 00,00⎛⎫ ⎪⎝⎭00.00⎛⎫⎪⎝⎭=AC AC AB =且,0≠A 但.B C ≠0.A B C ≠⇒=/若若下面介绍矩阵的方幂.若A 是n 阶方阵,则A k 为A 的k 次幂，kA A A A =L ,)(km kmAA A +=1()(2) ,km mk AA =即方幂的运算规律(),m m mAB A B ≠,)(mm m B A AB =？=mAB )()(AB )(AB )(ABmm B A ≠m 个注意:m, k 为正整数.定义1.10k 个例如11,2A ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎝⎭21,5B ⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭求AB .解AB 112⎛⎫ ⎪=- ⎪⎝⎭215⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭200001-0010-一般地,若1212diag(,,,),diag(,,,),n n A B k k k λλλ== 则1122= diag(,,,).n n k k k λλλ AB2012(),nn f x a a x a x a x =++++A 是n 阶方阵, 记nn A a A a A a a A f ++++= 2210 )(E 矩阵多项式若12diag(,,,),n A λλλ= 12diag(,,,)nλλλ =mA m m m()12diag (),(),,()n f f f λλλ ()=A f 设则(3)222()2A B A AB B±=±+⨯22B A B A B A -=-+))((⨯E A E A E A -=-+2))((√???x 的1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 1110(),nn n n f A a A a Aa A a E --=++++ 若A 是n 阶方阵,称为方阵A 的n 次多项式.方阵A 的n 次多项式：设注意：f (A )是一个方阵而不是一个数.定义 1.11 n 次多项式,例如1021A ⎛⎫= ⎪⎝⎭3223A A A E -+-2,A 方阵A 的2次多项式.方阵A 的3次多项式.例1.10求矩阵的方幂A n :0241)003.000A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭2024*******03000000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解006000000⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3006024000003000000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= O .(3).nA O n ≥⇒=。
线性代数第一章复习及例题
方阵：Ann ,
an
bn
，
T Βιβλιοθήκη b1 b2,bn
三角阵：A
a11 0
a12 a22
0 0
B
a11 a21
0 a22
an1 an2
a1n a2n
,
上三角阵；
ann
0
0
,
下三角阵 .
ann
a1
对角阵
：
a2
diag a1
a2
an
1
单位阵：I
1
.
1
2
例3 已知矩阵A=PQ，其中
1 P 2
Q 2
1
2
1
求矩阵A，A2，A100.
【分析】 计算矩阵的高次幂是一种常见题型，除用数 学归纳法外，还应根据矩阵本身的特点进行讨论. 本题的关键是注意PQ为矩阵，而QP为一数，利用 乘法结合律A2=PQ·PQ=P(QP)Q来简化计算.
解：
A
PQ
1 2
aij
, 且 AT A , 则
nn
A 2 A A A A T
B
bij
,
nn
bii
ai12
ai
2 2
ain2 i 1, 2,
,n ,
A2 O ,
bii
ai12
ai
2 2
ain2 0 i 1, 2,
,n ,
A是实矩阵, aij 0 i , j 1, 2, , n .
A0.
1 0
1 1
1 1 1 1 1 0
且矩阵X满足 AXA+BXB=AXB+BXA+I，其中I是3
阶单位矩阵，试求矩阵X.
an
bn
，
T Βιβλιοθήκη b1 b2,bn
三角阵：A
a11 0
a12 a22
0 0
B
a11 a21
0 a22
an1 an2
a1n a2n
,
上三角阵；
ann
0
0
,
下三角阵 .
ann
a1
对角阵
：
a2
diag a1
a2
an
1
单位阵：I
1
.
1
2
例3 已知矩阵A=PQ，其中
1 P 2
Q 2
1
2
1
求矩阵A，A2，A100.
【分析】 计算矩阵的高次幂是一种常见题型，除用数 学归纳法外，还应根据矩阵本身的特点进行讨论. 本题的关键是注意PQ为矩阵，而QP为一数，利用 乘法结合律A2=PQ·PQ=P(QP)Q来简化计算.
解：
A
PQ
1 2
aij
, 且 AT A , 则
nn
A 2 A A A A T
B
bij
,
nn
bii
ai12
ai
2 2
ain2 i 1, 2,
,n ,
A2 O ,
bii
ai12
ai
2 2
ain2 0 i 1, 2,
,n ,
A是实矩阵, aij 0 i , j 1, 2, , n .
A0.
1 0
1 1
1 1 1 1 1 0
且矩阵X满足 AXA+BXB=AXB+BXA+I，其中I是3
阶单位矩阵，试求矩阵X.
线性代数 第一章、矩阵
张一 98 90 87 72 李二 89 90 86 98 王三 97 84 75 87 刘六 85 88 85 88
解： 用矩阵表示为
98
89
90 90
87 86
72
98
97 84 75 87
85 88 85 88
11
几种比较特殊的矩阵：
行矩阵：只有一行的矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
L
L L L
称为线性变换的系数矩阵。
am1
am 2
0 0 3
14
数量矩阵：对角矩阵中当 1 2 n时
例如：
5 0 0 0
0
5
0
0
就是一个数量矩阵
0 0 5 0
0
0
0
5
也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例
15
单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为1，
称为单位矩阵，用字母 E 或 En 表示
1 0 L 0
即
M M O M
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
称为由变量x1 ,x2 , ... ,xn到变量y1 ,y2 , ... ,ym的
变换为线性变换。线性变换由 m 个 n元函数
组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称
之为线性变换。
17
a11 a12 L
其中,由系数构成的矩阵
A
a21
a22
0
0
L
1
特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上
的元素都是1，其他元素都是0。
16
定义1.4
线性变换：
如果变量y1 ,y2 ,... ,ym可由变量x1 ,x2 ,... ,xn线性表示,
线性代数教案-线性方程组与矩阵
线性代数教学教案
第一章线性方程组与矩阵
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
参考教材
第一章 第一节 矩阵的概念及运算 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 矩阵的定义、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、矩 阵的转置 同济版《线性代数》
课的类型 教学手段 教学难点
作业布置
新知识课 黑板多媒体结合 矩阵的乘法、矩阵的转置
kaij
.
mn
4. 矩阵的数乘运算满足的运算规律：
(1) k A B kA kB ；
(2) (k l) A kA lA ；
(3) (kl) A k(lA) l(kA) ；
(4) 1A A ；
(5) 1 A A ；
(6) 0 A Omn .
三、矩阵乘法：
1. 矩阵乘法的定义：设矩阵 A (aij ) 是一个 m p 矩阵，矩阵 B (bij ) 是一个 p n 矩阵，定义矩阵 A 与 B
的乘积是一个 m n 矩阵 C (cij ) ，其中矩阵 C (cij ) 的第 i 行第 j 列元素 cij 是由矩阵 A 的第 i 行元素
ai1, ai2, , aip 与矩阵 B 的第 j 列相应元素 b1j , b2 j , , bpj 乘积之和，即
p
cij = aikbkj ai1b1 j ai2b2 j aipbpj . k 1
a12 a22
a1n a2n
x1 x2
a11x1 a12 x2 a1n xn a21x1 a22 x2 a2n xn
.
am1
am2
amn xn
am1 x1
am2
x2
amn xn
再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示： Ax .
第一章线性方程组与矩阵
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
参考教材
第一章 第一节 矩阵的概念及运算 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 矩阵的定义、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、矩 阵的转置 同济版《线性代数》
课的类型 教学手段 教学难点
作业布置
新知识课 黑板多媒体结合 矩阵的乘法、矩阵的转置
kaij
.
mn
4. 矩阵的数乘运算满足的运算规律：
(1) k A B kA kB ；
(2) (k l) A kA lA ；
(3) (kl) A k(lA) l(kA) ；
(4) 1A A ；
(5) 1 A A ；
(6) 0 A Omn .
三、矩阵乘法：
1. 矩阵乘法的定义：设矩阵 A (aij ) 是一个 m p 矩阵，矩阵 B (bij ) 是一个 p n 矩阵，定义矩阵 A 与 B
的乘积是一个 m n 矩阵 C (cij ) ，其中矩阵 C (cij ) 的第 i 行第 j 列元素 cij 是由矩阵 A 的第 i 行元素
ai1, ai2, , aip 与矩阵 B 的第 j 列相应元素 b1j , b2 j , , bpj 乘积之和，即
p
cij = aikbkj ai1b1 j ai2b2 j aipbpj . k 1
a12 a22
a1n a2n
x1 x2
a11x1 a12 x2 a1n xn a21x1 a22 x2 a2n xn
.
am1
am2
amn xn
am1 x1
am2
x2
amn xn
再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示： Ax .
线性代数目录
线性代数⽬录第⼀章 线性⽅程组与矩阵 1第⼀节 矩阵的概念及运算 1 ⼀、矩阵的定义 1 ⼆、矩阵的线性运算 3 三、矩阵的乘法 4 四、矩阵的转置 6习题1-1 7第⼆节 分块矩阵 8 ⼀、分块矩阵的概念 8 ⼆、分块矩阵的运算 10习题1-2 13第三节 线性⽅程组与矩阵的初等变换 14 ⼀、矩阵的初等变换 14 ⼆、求解线性⽅程组 18习题1-3 22第四节 初等矩阵与矩阵的逆矩阵 23 ⼀、⽅阵的逆矩阵 24 ⼆、初等矩阵 25 三、初等矩阵与逆矩阵的应⽤ 26习题1-4 29本章⼩结 31拓展阅读 32测试题⼀ 33第⼆章 ⽅阵的⾏列式 35第⼀节 ⾏列式的定义 35 ⼀、排列 35 ⼆、ｎ 阶⾏列式 37 三、⼏类特殊的ｎ 阶⾏列式的值 39习题2-1 41第⼆节 ⾏列式的性质 41 ⼀、⾏列式的性质 41 ⼆、⾏列式的计算举例 45 三、⽅阵可逆的充要条件 48习题2-2 50第三节 ⾏列式按⾏(列)展开 51 ⼀、余⼦式与代数余⼦式 52 ⼆、⾏列式按⾏(列)展开 52习题2-3 57第四节 矩阵求逆公式与克莱默法则 58 ⼀、伴随矩阵与矩阵的求逆公式 58 ⼆、克莱默法则 59习题2-4 62本章⼩结 63拓展阅读 64测试题⼆ 65第三章 向量空间与线性⽅程组解的结构 67第⼀节 向量组及其线性组合 67 ⼀、向量的概念及运算 67 ⼆、向量组及其线性组合 69 三、向量组的等价 71习题3-1 74第⼆节 向量组的线性相关性 74⼀、向量组的线性相关与线性⽆关 75⼆、向量组线性相关性的⼀些重要结论 77习题3-2 80第三节 向量组的秩与矩阵的秩 81 ⼀、向量组秩的概念 81 ⼆、矩阵秩的概念 82 三、矩阵秩的求法 83 四、向量组的秩与矩阵的秩的关系 85习题3-3 87第四节 线性⽅程组解的结构 88 ⼀、线性⽅程组有解的判定定理 88 ⼆、齐次线性⽅程组解的结构 90 三、⾮齐次线性⽅程组解的结构 94习题3-4 96第五节 向量空间 97 ⼀、向量空间及其⼦空间 97 ⼆、向量空间的基、维数与坐标 99 三、基变换与坐标变换 101习题3-5 103本章⼩结 105拓展阅读 106测试题三 107第四章 相似矩阵及⼆次型 109第⼀节 向量的内积、长度及正交性 109 ⼀、向量的内积、长度 109 ⼆、正交向量组 110 三、施密特正交化过程 112 四、正交矩阵 113习题4-1 115第⼆节 ⽅阵的特征值与特征向量 115 ⼀、⽅阵的特征值与特征向量的概念及其求法 116 ⼆、⽅阵的特征值与特征向量的性质 119习题4-2 121第三节 相似矩阵 122 ⼀、⽅阵相似的定义和性质 122 ⼆、⽅阵的相似对⾓化 123习题4-3 124第四节 实对称矩阵的相似对⾓化 125 ⼀、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 125 ⼆、实对称矩阵的相似对⾓化 126习题4-4 129第五节 ⼆次型及其标准形 129 ⼀、⼆次型及其标准形的定义 130 ⼆、⽤正交变换化⼆次型为标准形 131 三、⽤配⽅法化⼆次型为标准形 134习题4-5 135第六节 正定⼆次型与正定矩阵 136 ⼀、惯性定理 136 ⼆、正定⼆次型与正定阵 137习题4-6 138本章⼩结 139拓展阅读 140测试题四 141第五章 线性空间与线性变换 143第⼀节 线性空间的定义与性质 143 ⼀、线性空间的定义 143 ⼆、线性空间的性质 145 三、线性空间的⼦空间 146习题5-1 147第⼆节 维数、基与坐标 147 ⼀、线性空间的基、维数与坐标 147 ⼆、基变换与坐标变换 149习题5-2 150第三节 线性变换 151 ⼀、线性变换的定义 151 ⼆、线性变换的性质 153 三、线性变换的矩阵表⽰式 154习题5-3 158本章⼩结 161拓展阅读 162测试题五 163部分习题答案 165。
线性代数第二章第一节-矩阵的概念
矩阵的元素按照行优先或列优先的顺序排列，并用 逗号或空格隔开。
矩阵的基本性质
01
02
03
04
矩阵的加法
两个矩阵相加时，对应位置的 元素相加。
矩阵的数乘
一个数与一个矩阵相乘时，该 数与矩阵的每个元素相乘。
矩阵的乘法
两个矩阵相乘时，必须满足左 矩阵的列数等于右矩阵的行数 。
矩阵的转置
将矩阵的行列互换得到转置矩 阵，记作A^T。
性质
逆矩阵是唯一的；如果A可逆，则A的逆矩阵也唯一；如果A和B都可 逆，则(A+B)-1=A-1+B-1；如果A可逆，k为非零常数，则kA1=(k-1)-1KA。
行列式的定义与性质
定义
n阶方阵A的行列式记为det(A)，即由n个 数a1,a2,...,an组成的n阶方阵A的行列式是 a1*a2*...*an。
规则
矩阵的加法满足交换律和结合律，即$A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
例子
考虑两个矩阵$A=begin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 end{bmatrix}$和$B=begin{bmatrix}5 & 6 7 & 8 end{bmatrix}$，则$A+B=begin{bmatrix}6 & 8 10 & 12 end{bmatrix}$。
特殊类型的矩阵
01
02
03
04
对角矩阵
除了主对角线上的元素外，其 他元素都为零的矩阵。
上三角矩阵
主对角线以下的元素都为零的 矩阵。
下三角矩阵
主对角线以上的元素都为零的 矩阵。
矩阵的基本性质
01
02
03
04
矩阵的加法
两个矩阵相加时，对应位置的 元素相加。
矩阵的数乘
一个数与一个矩阵相乘时，该 数与矩阵的每个元素相乘。
矩阵的乘法
两个矩阵相乘时，必须满足左 矩阵的列数等于右矩阵的行数 。
矩阵的转置
将矩阵的行列互换得到转置矩 阵，记作A^T。
性质
逆矩阵是唯一的；如果A可逆，则A的逆矩阵也唯一；如果A和B都可 逆，则(A+B)-1=A-1+B-1；如果A可逆，k为非零常数，则kA1=(k-1)-1KA。
行列式的定义与性质
定义
n阶方阵A的行列式记为det(A)，即由n个 数a1,a2,...,an组成的n阶方阵A的行列式是 a1*a2*...*an。
规则
矩阵的加法满足交换律和结合律，即$A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
例子
考虑两个矩阵$A=begin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 end{bmatrix}$和$B=begin{bmatrix}5 & 6 7 & 8 end{bmatrix}$，则$A+B=begin{bmatrix}6 & 8 10 & 12 end{bmatrix}$。
特殊类型的矩阵
01
02
03
04
对角矩阵
除了主对角线上的元素外，其 他元素都为零的矩阵。
上三角矩阵
主对角线以下的元素都为零的 矩阵。
下三角矩阵
主对角线以上的元素都为零的 矩阵。
线性代数 第一章矩阵 参考答案
0 A2
0 A1
0 I A11r1 , A21r2 I 0 I 0 0 I
0 A11
A2 1 0
P31 习题 1.4 1.按上课要求做，则此题中行阶梯形答案不唯一，行最简形和标准形答案唯一
1 1 1 （1） 0 2 1 0 0 0
法一
2 1 1 B ( A 2 I ) A ，求出 ( A 2 I ) 1 1 1 4 3 4 2 3 3 8 B 1 5 3 1 1 0 2 9 1 6 4 1 2 3 2 12
4.解： 4 X
4 0 0 4 8 (3) 2 14 2 (4) 3 11 5 11 5 4 10 1 1 0 1 7.解: AB ; BA 1 2 0 0 1 2
1 0 （2） 0 0 1 0 （3） 0 0 1 0 （4） 0 0
1 1 0 0 3 2 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 3 1 1 0 2 1 0 0
1 0 1 ，0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 ， 0 0 0 1 0 0 0 0 7 0 1 5 1 , 0 1 1 0 0 0 0 2 1 1 0 5 1 ，0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
（法二）
A1 X1 X 2 的逆阵为 B ，则有 0 X 3 X4 A1 X 1 X 2 I 0 0 X X I 0 4 3
A21 。 0
I 0 r1 r2 A2 0 I 0 0 A21 1 所以 A 1 0 A1 A1 0
线性代数 第1节 二次型及其矩阵
(2)对称性：若A ~B ，则有 B ~A ；
(3)传递性：若 A ~B ,且 B ~ C,则有 A ~C . 证明 只证(3)，其余留作练习.
B C AC1 , C C BC2 ,
T 1
T 2
T T C C2 (C1 AC1 )C2 (C1C2 )T A(C1C2 ) ,
由于 C1 , C2 均可逆，所以C1C2 也可逆.
5
f ( x1 , x2 ,, xn )
2 a11 x1 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a22 x 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn
2 2
f ( x1 , x2 ,, xn ) 2 a11 x1 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
C 称为该线性替换的矩阵.
X CY .
若 | C | 0 ，则此线性变换称为可逆线性替换.
如果C 为正交矩阵，则此线性替换称为正交替换.
x x cos y sin 容易验证，转轴公式 y x sin y cos 是一个正交替换.
13
三、矩阵的合同关系
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX ,
A称为二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵.
7
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX ,
T
A称为二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵. A的秩称为该二次型的秩. A是一个实对称矩阵. 事实上， 由一个实对称矩阵也可构造唯一的实 二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是互相 唯一确定的，所以，研究二次型的性质可以转化为 研究它的矩阵A所具有的性质.
《线性代数》第1章-矩阵(张小向2014黑白打印版)
c 3
同型
20 16
50 20
30 16
与
20 50 30
16 20 16
不同型
5. 两个矩阵相等(equal)
大前提: 同型
A = (aij)m×n与B = (bij)m×n相等:
对∀1≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n, aij = bij都成立 记为A = B.
第一章 矩阵
§1.1 矩阵的基本概念
0 0
0 0
2
3
10 1 0
从i市经一次中转到达j市航线的条数=?
bij = ai1a1j + ai2a2j + ai3a3j + ai4a4j .
1
21 1 0
i
2
j
B = (bij) =
01 10
1 0
1 0
3 4
02 1 1
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
2. 定义: A = (aij)m×s与B = (bij)s×n的乘积(product)
a1
列向量(row vector):
a2 …
n–维
(n–dimensional)
an
第i分量 (ith component): ai (i = 1, …, n)
第一章 矩阵
§1.1 矩阵的基本概念
4. 同型(same-sized): 行数相等, 列数也相等
20 16
50 20
30 16
与
a 1
b 2
注: ① 设矩阵A = (aij)m×n , 记−A = (−aij)m×n , ——A的负矩阵(additive inverse of A).
② 设A, B是同型矩阵, 则它们的差
线性代数—1.1矩阵及其运算
a2n M
amn
矩阵是一个整体, 总是加一括号.
称为 mn 矩阵, 并称 mn 为矩阵的型.
• aij : 矩阵的第 i 行第 j 列的元素, 简称 (i, j) 元. • 用粗体大写字母表示矩阵, 以上矩阵记为 A (aij).
• 当标明矩阵 A 的行列数时, 表示为 Amn , 或 (aij)mn .
§1.1 矩阵及其运算
一、矩阵及其线性运算 二、矩阵的乘法运算 三、矩阵的转置运算
一、矩阵及其线性运算
❖ mn 矩阵 由 mn 个数 aij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 排成的
m 行 n 列的矩形数表
a11 a12 L
a21 M
am1
a22 M
am 2
L L
a1n
称矩阵 C (cij )mn 为矩阵 A 与 B 的乘积, 记为 C AB.
• AB 中的(i, j)元为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.
b1 j cij (ai1,L , ail ) M ai1b1 j L ailblj
blj
• 乘积 AB 存在时, 要求 A 的列数与 B 的行数相等.
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j L ailblj (i 1,L , m; j 1,L , n)
• 线性变换(1)(3)的系数矩阵依次记为 A,B,C, 定义C AB.
❖ 两矩阵的乘积
设 A (aik )ml , B (bkj )ln , 记 cij ai1b1 j ai2b2 j L ailblj (i 1,L , m; j 1,L , n)
推导:
zi ai1(b11 x1 b12 x2 L b1n xn ) (ai1b11 ai2b21 L ailbl1 ) x1
大学线性代数第五章第一节矩阵的特征值与特征向量
通过找到一个矩阵的特征值和特征向量，我们可以了解该矩阵所代表的线性变换的性质，例如对称性、 旋转、缩放等。
在解决实际问题时，特征值和特征向量可以帮助我们理解数据的变化趋势和模式，例如在图像处理、信 号处理等领域有广泛应用。
在矩阵分解中的应用
01
矩阵分解是将一个复杂的矩阵 分解为几个简单的、易于处理 的矩阵，例如三角矩阵、对角 矩阵等。
矩阵的分解，如三角分解、 QR分解等，都涉及到特征值 和特征向量的应用，它们是构 造这些分解的基础。
02
矩阵的特征值与特征向量的定义
特征值的概念
特征值是指一个矩阵在某个非零常数倍下的不变性，即当矩阵A 乘以一个非零向量x得到0时，称该非零向量x为矩阵A的对应于 特征值λ的特征向量。
特征值可以通过求解矩阵的特征多项式得到，即|λE-A|=0。
密切的关系。
02
特征值和特征向量的关系可以通过矩阵的行列式、转
置、共轭等运算得到进一步的理解。
03
特征值和特征向量的关系性质在解决实际问题中具有
广泛的应用，如信号处理、控制系统等领域。
05ห้องสมุดไป่ตู้
矩阵特征值与特征向量的应用
在线性变换中的应用
矩阵特征值与特征向量是线性变换的一个重要工具，它们可以描述一个线性变换对一个向量空间的影 响。
特征值和特征向量在解决线性方程组、矩阵的相似变换、矩阵的 分解等领域有广泛应用。
矩阵特征值与特征向量的重要性
在解决线性方程组时，特征值 和特征向量可以提供一种有效 的解法，特别是对于一些特殊 类型的线性方程组。
在矩阵的相似变换中，特征值 和特征向量是确定相似变换的 关键，有助于理解矩阵的性质 和行为。
大学线性代数第五章第一节矩 阵的特征值与特征向量
在解决实际问题时，特征值和特征向量可以帮助我们理解数据的变化趋势和模式，例如在图像处理、信 号处理等领域有广泛应用。
在矩阵分解中的应用
01
矩阵分解是将一个复杂的矩阵 分解为几个简单的、易于处理 的矩阵，例如三角矩阵、对角 矩阵等。
矩阵的分解，如三角分解、 QR分解等，都涉及到特征值 和特征向量的应用，它们是构 造这些分解的基础。
02
矩阵的特征值与特征向量的定义
特征值的概念
特征值是指一个矩阵在某个非零常数倍下的不变性，即当矩阵A 乘以一个非零向量x得到0时，称该非零向量x为矩阵A的对应于 特征值λ的特征向量。
特征值可以通过求解矩阵的特征多项式得到，即|λE-A|=0。
密切的关系。
02
特征值和特征向量的关系可以通过矩阵的行列式、转
置、共轭等运算得到进一步的理解。
03
特征值和特征向量的关系性质在解决实际问题中具有
广泛的应用，如信号处理、控制系统等领域。
05ห้องสมุดไป่ตู้
矩阵特征值与特征向量的应用
在线性变换中的应用
矩阵特征值与特征向量是线性变换的一个重要工具，它们可以描述一个线性变换对一个向量空间的影 响。
特征值和特征向量在解决线性方程组、矩阵的相似变换、矩阵的 分解等领域有广泛应用。
矩阵特征值与特征向量的重要性
在解决线性方程组时，特征值 和特征向量可以提供一种有效 的解法，特别是对于一些特殊 类型的线性方程组。
在矩阵的相似变换中，特征值 和特征向量是确定相似变换的 关键，有助于理解矩阵的性质 和行为。
大学线性代数第五章第一节矩 阵的特征值与特征向量
线性代数(第二版)第一节矩阵的概念
定义 1.1 设 F 是由一些数组成的集合，其中包
含 0 和 1 . 如果 F 中的任意两个数(这两个数也可以 相同)的和、差、积、商(除数不为零)仍然是 F 中的数
则 F 就称为一个数域.
根据上面的定义，全体整数组成的集合不是一个 数域，因为任意两个整数的商(除数不为零)不一定是 整数. 而由全体有理数组成的集合Q、全体实数组成 的集合 R 和全体复数组成的集合 C 都是数域，分别 称为有理数域、实数域和复数域. 在本书中主要涉及 的数域是实数域 R，故若无特别说明，各章中所涉及 的数均为实数. 若是指任意数域，则用 F 表示.
为零矩阵， m n 零矩阵记为 Ｏm n ，在不会引 起混淆的情况下，也可记为 Ｏ．
(3) 方阵
行数和列数相同的矩阵称为方阵．例如
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2
n
.
an1 an2 ann
A 称为 n n 方阵，常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵， 常简记为 A= ( aij )n .
(4) 对角矩阵 主对角线上的元不全为零，其余的元全都为 零的方阵称为对角矩阵，如
a11
A
a22
.
ann
主对角线
为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元全为零, 即 aij = 0 , i j , i, j = 1, 2, … , n ,
对角矩阵常记为 A = diag( a11 , a22 , … , ann ). 例如
1 .1 所 示 .
成绩 学生
课程
表 表 1 1 .. 1 1 数学
期 期 末 末 考 考 试 试 成 成 绩 绩 表 表语文英语 Nhomakorabea甲
含 0 和 1 . 如果 F 中的任意两个数(这两个数也可以 相同)的和、差、积、商(除数不为零)仍然是 F 中的数
则 F 就称为一个数域.
根据上面的定义，全体整数组成的集合不是一个 数域，因为任意两个整数的商(除数不为零)不一定是 整数. 而由全体有理数组成的集合Q、全体实数组成 的集合 R 和全体复数组成的集合 C 都是数域，分别 称为有理数域、实数域和复数域. 在本书中主要涉及 的数域是实数域 R，故若无特别说明，各章中所涉及 的数均为实数. 若是指任意数域，则用 F 表示.
为零矩阵， m n 零矩阵记为 Ｏm n ，在不会引 起混淆的情况下，也可记为 Ｏ．
(3) 方阵
行数和列数相同的矩阵称为方阵．例如
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2
n
.
an1 an2 ann
A 称为 n n 方阵，常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵， 常简记为 A= ( aij )n .
(4) 对角矩阵 主对角线上的元不全为零，其余的元全都为 零的方阵称为对角矩阵，如
a11
A
a22
.
ann
主对角线
为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元全为零, 即 aij = 0 , i j , i, j = 1, 2, … , n ,
对角矩阵常记为 A = diag( a11 , a22 , … , ann ). 例如
1 .1 所 示 .
成绩 学生
课程
表 表 1 1 .. 1 1 数学
期 期 末 末 考 考 试 试 成 成 绩 绩 表 表语文英语 Nhomakorabea甲
实用线性代数课件第一章
线性代数
第一章 矩阵与行列式 1 矩阵及其运算 2 n阶行列式 3 可逆矩阵 4 分块矩阵
线性代数
线性代数是研究离散变量之间线性关系的基础理论之一， 矩阵与行列式是线性代数中重要且应用广泛的两个概念，两者 之间既有区别又有联系。矩阵是一个数表，它的行数与列数可 以不同；行列式是一种代数运算公式，可将其视为方阵的函数； 同时，行列式又是方阵特性的一个重要标志。
A 150 180
70 40
而表
1-2
的数据组成了一个
2×3
矩阵
B
2 3.5
0.9 0.5
00.2.35
例 1.3 中确定二元线性方程组（1.1）的数表是一个 2×3 矩阵
a11 a21
a12 a22
b1 b2
，通常称之为方程组（1.1）的增广矩阵；
而由方程组中未知量的系数构成的矩阵
a11 a21
a12 a22
，称为方
程组（1.1）的系数矩阵。
线性代数
元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩 阵。本书中的矩阵都指实矩阵。
若两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称它们是同型矩阵。
定义1.2 设矩阵 A (aij )mn 和 B (bij )mn 是同型矩阵，
0 1
0 2
A
B
2 1
2 1
.
线性代数
线性代数
矩阵的线性运算满足如下规律：
设 k, l, 为数， A, B,C 为同型矩阵，则有： （1） 加法结合律 (A B) C A (B C) （2） 加法交换律 A B B A （3） 数乘结合律 k(lA) (kl) A （4） 数乘分配律 k(A B) kA kB (k l)A kA lA
第一章 矩阵与行列式 1 矩阵及其运算 2 n阶行列式 3 可逆矩阵 4 分块矩阵
线性代数
线性代数是研究离散变量之间线性关系的基础理论之一， 矩阵与行列式是线性代数中重要且应用广泛的两个概念，两者 之间既有区别又有联系。矩阵是一个数表，它的行数与列数可 以不同；行列式是一种代数运算公式，可将其视为方阵的函数； 同时，行列式又是方阵特性的一个重要标志。
A 150 180
70 40
而表
1-2
的数据组成了一个
2×3
矩阵
B
2 3.5
0.9 0.5
00.2.35
例 1.3 中确定二元线性方程组（1.1）的数表是一个 2×3 矩阵
a11 a21
a12 a22
b1 b2
，通常称之为方程组（1.1）的增广矩阵；
而由方程组中未知量的系数构成的矩阵
a11 a21
a12 a22
，称为方
程组（1.1）的系数矩阵。
线性代数
元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩 阵。本书中的矩阵都指实矩阵。
若两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称它们是同型矩阵。
定义1.2 设矩阵 A (aij )mn 和 B (bij )mn 是同型矩阵，
0 1
0 2
A
B
2 1
2 1
.
线性代数
线性代数
矩阵的线性运算满足如下规律：
设 k, l, 为数， A, B,C 为同型矩阵，则有： （1） 加法结合律 (A B) C A (B C) （2） 加法交换律 A B B A （3） 数乘结合律 k(lA) (kl) A （4） 数乘分配律 k(A B) kA kB (k l)A kA lA
线性代数1——矩阵的基本运算
简单来说，矩阵是充满数字的表格。
A 和B 是两个典型的矩阵， A 有2行2列，是2×2矩阵； B有2行3列，是2×3矩阵； A 中的元素可用小写字母加行列下标表示，如a 1,2 = 2, a 2,2 = 4矩阵加减法两个矩阵相加或相减，需要满足两个矩阵的列数和行数一致。
加法交换律： A + B = B + A矩阵乘法两个矩阵 A 和 B 相乘，需要满足 A 的列数等于 B 的行数。
矩阵乘法很容易出错，尤其是两个高阶矩阵相乘时。
矩阵乘法不满足交换律，但仍然满足结合律和分配律：单位矩阵单位矩阵是一个n×n矩阵，从左到右的对角线上的元素是1，其余元素都为0。
下面是三个单位矩阵：如果 A 是n×n矩阵， I 是单位矩阵，则 A I = A , IA = A单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数字1。
逆矩阵矩阵 A 的逆矩阵记作 A -1 ， A A -1 = A -1 A = I ，I是单位矩阵。
对高于2阶的矩阵求逆是一件很崩溃的事情，下面是一种求3阶矩阵的方法：这种操作还是交给计算机去做吧，下面是在python中使用numpy计算逆矩阵的代码：《线性代数5——平面方程与矩阵》中也介绍了如何用消元法求逆矩阵。
奇异矩阵当一个矩阵没有逆矩阵的时候，称该矩阵为奇异矩阵。
当且仅当一个矩阵的行列式为零时，该矩阵是奇异矩阵。
当ad-bc=0时| A |没有定义， A -1不存在， A 是奇异矩阵。
如是奇异矩阵。
矩阵的转置简单地说，矩阵的转置就是行列互换，用A T 表示A的转置矩阵。
转置运算公式：对称矩阵如果一个矩阵转置后等于原矩阵，那么这个矩阵称为对称矩阵。
由定义可知，对称矩阵一定是方阵。
对称矩阵很常见，实际上，一个矩阵转置和这个矩阵的乘积就是一个对称矩阵：证明很简单：两个对称矩阵相加，仍然得到对称矩阵：。
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相反，非零元只出现在对角线及其下（或左） 方的方阵为下三角[形矩]阵(lower triangular matrix)
记作 L ( left ).
1
0 0
如
L 2 1 0
3
1 5
1
是个 3 阶下三角阵
一般而言，对n阶矩阵A=[aij]，当且仅当 i>j 且
aij =0时A为上三角阵；而当且仅当 i< j 且aij = 0 时 A为下三角阵；
矩阵概念
1 m n常个用元大，写排黑成斜m体行字n母列如（A横、称B、行C，， ·····记之，
纵称列必）要的时矩也型可阵以列以（下表标）来区别不同的矩阵，
a11
如Aa112，A2，
·····
a1n
a
21
在书a2写2 矩阵时a，2n也 有将(2-1)
am1
称为维是
简称为m
mamn2[aan型1n11的]矩矩a阵阵mnaa. 1n(nnma或triaax1n)11
就向量而言，称其元为分量，分量的个数即 为向量的维。故所谓n维向量就是 n 维数组，即 n个数的一个有序数组，亦即是个n×1的列矩阵 或 1 × n的行矩阵. 这样, 称（2-3）是二维向量。
今后凡未作特别说明，讲到向量均指列向量。
概念 在用同一个字母代表不同向量时，常以下标区别，
n 个元，如排：成a1m, a行2 ,··n··列··（横称行，
而 diag (δ1 ,δ2 ,·····,δn ) 表示一组对角元分 别为δ1 ,δ2 ,·····,δn的 n 阶对角阵， 详细写出就是
diag ( 1 , 2 , , n ) def
01
0
2
0
0
（2-4）
0
0
n
当然允许某些δ 等于零。
(5) 标量阵
当一对角阵的对角线元全相等，等于某个常
（shop）中，单位量的售价可用以下矩阵给出：
F1 F2 F3 F4
17 7 11 21 S1 15 9 13 19 S2 18 8 15 19 S3
（2-5）
这里的行表示商店，列为食品，例如第 2 列 3 个
分量就是第 2 种食品在 3 家商店中的 3 个售价。 涉及两个集合 (上面分别是 a 省城市与 b 省
(4) 对角阵 一个既是上三角又是下三角的矩阵称为对角
[矩]阵（diagonal matrix）, 亦即对角阵是非零元 只能在主对角线上出现的方阵.
12 0 0
如
D
0
3 0
是个 3 阶的对角阵.
0 0 4
显然，由对角线元就足以确定对角阵本身，
故常将这对角阵记作 D = diag ( 12 , 3 , 4 ) .
为m n [型]矩阵.
对于方阵，主对角线是自左上角到右下角的那 根连线。
一般称元 ai,i+1 位于 A 的上对角线上, 而元 ai,i-1 在 A 的下对角线上。
在下列这个 4 阶矩阵中,δ 表明其主对角线， 而μ及λ分别标示上、下对角线：
(3) 上三角阵与下三角阵 对于方阵，若其非零元只出现在对角线及其
的m n矩阵写作
a1n ann
11
12
1n
另外,a在21 不致a2引2 起混淆a时2n还 常将(2-1)
a m 1
a
A=
m2
[aij
]
a mn
简记作
称这为里维的是aijm是矩n阵的A矩的阵第 (im行at第rixj)列的代表性元 (今后简简称称为为m该矩n阵[型的]i矩- 阵j 元. )
矩阵的元常用与矩阵符号相应的“白体”小写 字 母表示，而所带的两个下标则分别示明该元在矩阵
CH4 H2O H2 CO CO2 C C2H6 C 1 0 0 1 1 1 2 H 4 2 2 0 0 0 6 O 0 1 0 1 2 0 0
例4 （赢得矩阵） 一个称为对策论或竞赛论的数
学分支，是研究社会现象的一种特定数学方法.
我国古代“齐王赛马”的故事，就是一个对策问题， 故事说战国时代齐王与其大将田忌赛马，双方约
上（或右）方，就称为上三角[形矩]阵（upper triangular matrix）, 有时用 U 或 R ( right ) 表示。
5 2 1 4
如： U 0 7 0 3
0 0 13 2 0 0 0 0
是 4 阶上三角阵。
值得注意的是，对角线下（或左）方的元必为零，
而其他元可以是零也可以不是零。
城市，食品与商店) 且其元素间由某数（上面
分别是通路数目，价格）相关联的场合，常会出 现这样的矩阵.
例3 （原子矩阵）在复杂化学反应系统中，涉及众
多的化学物，为了定量地研究反应、平衡等问题，
可引进表示这种系统的原子矩阵. 如在合成氨生 产的甲烷与水蒸气生成合成气的阶段，系统内除 一些惰性气体外，还存在以下7种化学物： CH4，H2O，H2，CO，CO2，C，C2H6. 这时可写出原子矩阵：
第一节 基本概念
矩阵概念 一些特殊的矩阵 矩阵问题的例
一、矩阵概念
定义 1 m n 个元，排成 m 行 n 列（横称行，
纵称列）的矩型阵列（表）
a11 a12 a1n
a
21
a22
a2n
a m 1
am2
a mn
(2-1)
称为维是 m n 的矩阵 (matrix) 简称为m n [型]矩阵.
如 A = ( a11 a12 … a1n ).
只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量).
a11
如
B
a21
.
am1
作为列向量，常用小写黑体字母a，b,····记之，
而行向量则常被记作aT，bT,····或a´，b´,····。
如
cos
sin
（2-3）
是个2×1的列矩阵，也可以当作列向量
a
2n
矩阵
(2-1)
的元可以是实数也可以出现复数，
a或m一n者、元矩本身阵就概是念个矩阵或其他更一般的数学对象。
n 的矩我阵定们(m义分at别1rix称) m这种n矩个阵元为，实排矩成阵m、行复矩n 列阵（、横超称矩行阵，等。
型]矩阵. 本书主纵要称在列实）数的范矩围型内阵展列开（，表除）预先作说明
外,一般涉及的a1总1 是a实12矩阵。 a1n
从矩阵的 a形21 状看a2，2 遇到最a多2n的 是在(2-1) 中
m=n
的情形，am此1 时a称m之2 为n
阶方阵 或 amn
n
阶矩阵。
(1) 方阵 行数和列数相同的矩阵称为方阵．例如
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
即以中、上、下顺序出马，则比赛结束时齐王的
净赢得数为 –100 金。
若将这 6 种策略依次从1到6编号，则可写出 齐王的赢得矩阵。
田忌策略
齐 王
3 1 1 1 1 1
1
3
1 1 1
1
1 1 3 1 1 1
策
1
1 1 3
1
1
P
略
1 1 1 1 3 1
1 1 1 1 1 3
例如，这里的 p32= –1，意即齐王采用策略 3， 即以下、中、上顺序出马，而田忌采用策略 2，
图 2-1
现有
4 1 3 a1 C 0 2 2 a2
b1 b2 b3 通路矩阵 C 的行表示 a 省的城市， 列是 b 省的
城市， 而 cij 表示 ai 与 bj 间的通路数。 工厂中常用管道联结各种设备，于是也可
用一矩阵表明各设备间的连通情况.
例2 （价格矩阵） 四种食品（food）在三家商店
an1 an2 ann
（2-2）
A 称为 n n 方阵，常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵，
今后，常将 1 阶矩阵作为数对待， 当然，
决不可将数看做 1 阶矩阵。
另外，只有一列（即 n = 1）或一行（即
m = 1）的矩阵也常碰到.
(2) 行矩阵和列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量).
第二章 矩 阵
在上一章已经看到，方程组解的情况实质上 由一张长方形的系数表确定，与变量（未知数） 的符号并无过多的关系，本章专门讨论这样的长 方形的数表即矩阵，建立一些概念与运算；通过 示例、练习、习题等说明其性质及由来；对在解 决问题、解释概念与结果中有用的一些技巧做了 介绍；讨论了用途很广的矩阵初等变换及初等矩 阵。
称列）的矩型阵从列矩（阵表中）元零的分布看，也可区分出定义。
a 21
a2定2 义2
a
2
n
对于
(2-1)
的 m n 矩阵 A，记
m1
a
m
k
2
=mina{
m
mn
,
n}
,
称元 a11 , a22 ，···，构成 A 的[主]
维是 m 对n角的线矩，阵并(称maatriii为x) A 的第 i 个对角元。
量δ 时称为标量[矩]阵(scalar matrix) , 特别称
δ=1 的标量矩阵为单位[矩]阵, 或称幺[矩]阵 (identity matrix), 以 I 或 E 来记。
必要时在其下角标明阶数， 如
1 0 0 I 3 0 1 0
0 0 1
（2-4´）
三、矩阵问题的例
在对许多实际问题作数学描述时，都要用到 矩阵的概念，这里讨论几个简单的例子。
定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛，
这样共赛马3次，每次比赛的败者付给胜者一百金
已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可稳操胜 券，但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中、 下等级的马。