高中数学第二章基本初等函数Ⅰ疑难规律方法学案苏教版必修

2。

1 函数的概念和图象2.1。

1 函数的概念名师导航知识梳理1.函数的概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有__________的数f （x)和它对应,那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的函数，记作y=f （x)，x ∈A.其中x 叫__________，x 的取值范围A 叫做函数y=f （x ）的__________;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{f(x ）|x ∈A ｝(⊆B ）叫做函数y=f(x ）的__________。

函数符号y=f （x)表示“y 是x 的函数"，有时简记作函数__________。

（1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f:A →B ，这里A ，B 为__________的数集.（2)A:定义域；{f(x ）|x ∈A}：值域,其中｛f(x ）｜x ∈A}__________B ；f ：对应法则，x ∈A,y ∈B.(3）函数符号：y=f （x ）↔y 是x 的函数，简记f(x).2。

已学函数的定义域和值域(1)一次函数f （x ）=ax+b(a ≠0):定义域为__________，值域为__________;(2）反比例函数f(x ）=xk （k ≠0）：定义域为__________，值域为__________； （3）二次函数f （x)=ax 2+bx+c （a ≠0）:定义域为__________，值域:当a 〉0时,为__________；当a 〈0时，为__________。

3。

函数的值:关于函数值f(a ）例：f （x)=x 2+3x+1，则f(2)= __________.4。

函数的三要素：对应法则f 、定义域A 和值域{f(x ）|x ∈A}.只有当这三要素__________时,两个函数才能称为同一函数。

疑难突破有关函数概念的理解剖析:(1)如果一个函数需要几条限制时，那么定义域为各限制所得x 的范围的交集。

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函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性和周期性（一)一、考点突破1。

判断函数的奇偶性和周期性；2。

函数性质的综合应用。

二、重难点提示重点：结合函数图象理解函数的奇偶性、周期性；难点:函数性质的综合应用。

函数的奇偶性和周期性（二)一、考点突破1. 函数奇偶性、周期性的重要特征与性质；2。

函数性质的综合应用。

二、重难点提示重点：函数奇偶性、周期性的判断，及它们之间的关系；难点：利用数形结合思想解决函数的综合问题.函数的奇偶性和周期性（一）奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf-=-,那么函数f(x）就叫做奇函数。

都有)()(xfxf=-，那么函数f（x)就叫做偶函数.图象描述图象是关于原点对称的图象是关于y轴对称的注意1。

判断函数的奇偶性时，先判断函数的定义域；重要提示:函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.2. 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

思考:若函数)(x f 是奇函数，且在0=x 处有定义,则=)0(f ____,为什么？解析：∵0与0互为相反数,又∵函数)(x f 为奇函数,∴)0()0(f f -=，∴0)0(2=f ，∴0)0(=f 。

2。

3 映射的概念名师导航知识梳理1.映射的概念映射f:A→B的定义是：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的__________一个元素，在集合B中都有__________的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作__________。

2.象与原象在映射f:A→B中，如果a∈A，b∈B，且元素a和元素b对应，那么，元素b叫做元素a的__________，元素a叫做元素b的__________，记作__________.3.一一映射如果映射f:A→B再满足_________________，那么这个映射叫做A到B上的一一映射.4.用映射的概念定义函数，函数的定义域、值域如果A、B都是__________,那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)(x∈A，y∈B）.原象的集合A叫做函数y=f（x)的__________;象的集合C(C B）叫做函数y=f(x)的__________.__________、__________和__________,通常称为函数的三要素.疑难突破怎样理解映射概念？(1）映射是一种特殊的对应。

教科书上介绍了一些不同的对应，如一对多、一对一、多对一等，而且集合A、B中元素个数也注意了多样化，集合B中有的元素没有得到对应。

（2)映射定义中的两个集合A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射是不同的.(3）映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的.（4）在一个映射中，在对应法则f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B中的元素b,b叫a(在f下）的象，并且a的象是唯一的，a叫做b的原象，b的原象不要求唯一。

B中的每一个元素不要求都有原象.(5）记号“f：A→B"表示集合A到集合B的映射,其中对应法则f的具体内容在教材中是用汉字叙述的，如“求正弦”“乘以2再加5”等.在专业教材中，一般用比较抽象的符号来表示。

2．2．2 函数的奇偶性1．了解函数奇偶性的含义．2．会判断一些简单函数的奇偶性． 3．了解奇函数和偶函数图象的特点．1．奇函数和偶函数(1)一般地，设y ＝f (x )的定义域为A ，如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么称函数y ＝f (x )是偶函数．(2)如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么称函数y ＝f (x )是奇函数．【做一做1】有下列函数：①y ＝2x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝x 2；④y ＝x 3＋x ；⑤y ＝x 2－x ；⑥y ＝－3x；⑦y ＝2x 2－1；⑧y＝2|x |＋2．其中奇函数有__________，偶函数有__________． 答案：①④⑥ ③⑦⑧ 2．奇偶性(1)如果函数f (x )是奇函数或偶函数，就说函数f (x )具有奇偶性． (2)偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称．(1)在奇函数和偶函数的定义中，都要求x ∈A ，－x ∈A ，这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称．(2)根据函数奇偶性的定义，函数可分为：①是奇函数但不是偶函数；②是偶函数但不是奇函数；③是奇函数又是偶函数；④既不是奇函数也不是偶函数．【做一做2－1】已知f (x )＝ax 3＋bx －3中，f (－2)＝3，则f (2)＝__________． 解析：因为f (－x )＋f (x )＝－6， 所以由f (－2)＝3，得f (2)＝－9． 答案：－9【做一做2－2】函数f (x )＝－x ＋1x的奇偶性是__________．答案：奇函数如何判断函数的奇偶性？剖析：(1)根据函数奇偶性定义判断，其基本步骤为：①先看定义域是否关于原点对称，若函数没有标明定义域，应先找到使函数有意义的x 的集合，因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数．如函数f (x )＝x 4＋1，x ∈［－1,2］．由于它的定义域不关于原点对称，当1＜x ≤2时，－x 不在函数的定义域中，所以它不符合奇、偶函数的定义，故f (x )＝x 4＋1，x ∈［－1,2］是非奇非偶函数．②再看f (－x )与f (x )的关系，这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇函数或偶函数．如f (x )＝x 2＋x ，g (x )＝x 3＋1，它们的定义域都是R ，因为f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ≠±f (x )，所以它是非奇非偶函数．同理可证g (x )＝x 3＋1也是非奇非偶函数．③然后得出结论．(2)定义域关于原点对称，满足f (－x )＝－f (x )＝f (x )的函数既是奇函数也是偶函数，如f (x )＝0(x ∈R )．应注意：既是奇函数又是偶函数的函数有无数个．(3)分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x 与－x 的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．(4)判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式f (－x )±f (x )＝0或f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)来代替．(5)有时可以直接借助函数的图象与相关性质，如奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称等，从而直观地判断函数的奇偶性．题型一 判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(2)f (x )＝x 3－2x ； (3)f (x )＝a (x ∈R )；(4)f (x )＝⎩⎨⎧x (1－x )，x ≥0，x (1＋x )，x ＜0.分析：按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可． 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，不关于原点对称， 所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝2x －x 3＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)函数的定义域为R ，关于原点对称， 当a ＝0时，f (x )既是奇函数又是偶函数；当a ≠0时，f (－x )＝a ＝f (x )，即f (x )是偶函数． (4)函数的定义域为R ，关于原点对称，当x ＞0时，－x ＜0，此时f (－x )＝－x ［1＋(－x )］＝－x (1－x )＝－f (x )； 当x ＜0时，－x ＞0，此时f (－x )＝－x ［1－(－x )］＝－x (1＋x )＝－f (x )； 当x ＝0时，－x ＝0，此时f (－x )＝0，f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )．综上，f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 反思：根据奇函数以及偶函数的定义，判断是不是有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )，前者是偶函数，后者是奇函数；如果这两个都不成立，则是非奇非偶函数．说一个函数是非奇非偶函数，有时只要说明它的定义域不合要求即可，而不必套用作差法进行检验．有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一．题型二 求函数解析式【例2】设f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋1，求f (x )的解析式．解：当x ＜0时，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋1＝x 2＋2x ＋1． 又f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝x 2＋2x ＋1．所以f (x )＝－x 2－2x －1．当x ＝0时，因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以一定有f (0)＝0．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋1，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －1，x <0.反思：本题中x ∈R ，容易遗漏x ＝0的情况，对于定义在R 上的奇函数一定有f (0)＝0，这是一个重要的结论，要引起重视．【例3】已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )－g (x )＝x 2＋2x ＋3．求f (x )和g (x )的解析式．分析：充分利用奇、偶函数的性质，利用方程思想求其解析式．解：由条件得f (－x )－g (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝x 2－2x ＋3．又f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．∴－f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋3．∵f (x )－g (x )＝x 2＋2x ＋3， 两式相减得f (x )＝2x ，两式相加得g (x )＝－x 2－3．反思：对于基本初等函数，大致有三类：其一是奇函数，其二是偶函数，其三是非奇非偶函数，但此类函数均可表示为奇、偶函数的和或差．题型三 函数奇偶性的应用【例4】画出函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值． 分析：函数的图象关于y 轴对称，先画出y 轴右侧的图象，再对称到y 轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间．解：函数图象如图所示．由图象，得函数的图象在区间(－∞，－1］和［0,1］上是上升的，在［－1,0］和［1，＋∞)上是下降的，最高点是(±1,4)，故函数在(－∞，－1］，［0,1］上是增函数；函数在［－1,0］，［1，＋∞)上是减函数，最大值是4．反思：本题中，已知函数满足f (－x )＝f (x )，说明f (x )是偶函数，它的图象关于y 轴对称，由此可先作出函数在y 轴右侧的图象，再将其沿y 轴翻折即可．1函数f (x )＝x (x 2－1)的大致图象是__________．解析：因为f (－x )＝－x ［(－x )2－1］＝－f (x )， 所以原函数是奇函数．排除③④．又当x ＝12时，y ＝12×114⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－38＜0，说明点13,28⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．排除②．答案：①2函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 是奇函数，函数g (x )＝3x 2＋(c －2)x ＋5是偶函数，则b ＝____，c ＝____．解析：由条件得f (－x )＋f (x )＝2bx 2＝0，∴b ＝0． 由条件得g (－x )＝g (x )，且g (－x )＝3x 2－(c －2)x ＋5， g (x )＝3x 2＋(c －2)x ＋5，∴c ＝2． 答案：0 23判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2x 2－7；(2)f (x )＝2x 3＋5x ； (3)f (x )＝5x －3．解：(1)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝2(－x )2－7＝2x 2－7＝f (x )，所以f (x )＝2x 2－7为偶函数；(2)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝2(－x )3＋5(－x )＝－(2x 3＋5x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x 3＋5x 为奇函数； (3)f (x )的定义域是R ．因为f (－1)＝5×(－1)－3＝－8≠－2＝－f (1)， 故f (x )＝5x －3不是奇函数．又f (－1)＝5×(－1)－3＝－8≠2＝f (1)， 故f (x )＝5x －3不是偶函数．综上所得f (x )＝5x －3为非奇非偶函数．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－7xx 2＋x ＋1．求当x ＜0时，f (x )的解析式．解：令x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝－7×(－x )(－x )2＋(－x )＋1＝7xx 2－x ＋1． 又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )＝7xx 2－x ＋1(x ＜0)．5已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，在［2,6］上是减函数，试比较f (－5)与f (3)的大小．分析：利用单调性比较大小．解：∵函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－5)＝f (5)．又∵函数y ＝f (x )在［2,6］上是减函数，且5＞3， ∴f (5)＜f (3)．∴f (－5)＜f (3)．。

第二章数列1数列的表示法对于刚接触数列的同学来说，理解数列的概念与表示法，是理解数列的关键一步，也可以为以后的学习奠定良好的基础，下面对数列的四种表示方法作简单的分析．一、通项公式法例1试写出数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式．解数列的各项可记为21＋1,＋1,23＋1,24＋1,25＋1，…，所以数列的通项公式为a n＝2n＋1. 点评这类问题关键在于观察各项与对应序号之间的关系，建立合理的联想、转换．写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．通项公式法是数列最重要的一种表示方法．二、列表法例2数列{a n}如下表所示，试归纳其通项公式．n 12345…a n 1223344556…解数列{a n}中各项的分子依次为1,2,3，…，恰好是序号n；各项的分母为2,3,4，…，可看成n＋1，所以数列的通项公式为a n＝nn＋1.点评由于数列可看成特殊的函数，所以数列也可用列表法表示，列表法具有直观、清晰的特点．三、图象法数列是一类特殊的函数，数列的序号可看成自变量，数列的项可看成函数值，数列的通项公式也就是相应函数的解析式，所以数列可用图象法表示，如数列{n＋2}的图象如图．由图可看出，数列可用一群孤立的点表示，从数列的图象中可以直观地看出数列的变化情况．把数列与函数进行比较，数列特殊在定义域是正整数集或其子集．四、递推公式法例3将正整数数列1,2,3,4，…的各项按照上小下大、左小右大的原则排成如下图的三角形数表，123456……(1)分别写出数表中第4行、第5行的各数；(2)将数表中每行的第一个数组成一个数列，观察规律，给出此数列的一个递推关系式．解(1)由题意知，第4行的各数为7,8,9,10；第5行的各数为11,12,13,14,15；(2)由数表得，每行的第一个数组成的数列为1,2,4,7,11，…，观察得a2－a1＝2－1＝1，a3－a2＝4－2＝2，a4－a3＝7－4＝3，a5－a4＝11－7＝4，….所以a n－a n－1＝n－1，故此数列可表示为a1＝1，a n－a n－1＝n－1.点评数列的递推公式是数列的一种表示形式，体现了数列的一种递推关系，一种递推规律．2数列中的数学思想数学思想在数列的学习中起着重要的作用．若能根据问题的题设特点，灵活地运用相应的数学思想，往往能迅速找到解题思路，从而简便、准确求解． 一、方程思想例1在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求通项a n .分析欲求通项a n ，需求出a 1及q ，为此根据题设构造关于a 1与q 的方程组即可求解． 解方法一∵a 1a 3＝a 22，∴a 1a 2a 3＝a 32＝8，∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝4或a 1＝4，a 3＝1.当a 1＝1时，q ＝2；当a 1＝4时，q ＝12.故a n ＝2n －1或a n ＝23－n.方法二由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2，代入已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，a 1·a 1q ·a 1q 2＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＋q2＝7，a 31q 3＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＋q 2＝7，①a 1q ＝2， ②将a 1＝2q 代入①，得2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，由②得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12.∴a n ＝2n －1或a n ＝23－n.二、分类讨论思想例2已知{a n }是各项均为正数的等差数列，且lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若b n ＝1a 2n，n ＝1,2,3，…，证明：{b n }为等比数列．证明由于lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列， 所以2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4， 则a 22＝a 1·a 4.设等差数列{a n }的公差为d ， 则有(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 整理得d 2＝da 1，从而d (d －a 1)＝0.(1)当d ＝0时，数列{a n }为常数列，又b n ＝1a 2n，则{b n }也是常数列，此时{b n }是首项为正数1a 2，公比为1的等比数列．(2)当d ＝a 1≠0时，则a 2n ＝a 1＋(2n－1)d ＝d ＋(2n－1)d ＝2nd ，所以b n ＝1a 2n ＝1d ·12n ， 这时{b n }是首项b 1＝12d ，公比为12的等比数列．综上，{b n }为等比数列． 三、特殊化思想 例3在数列{a n }中，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，n ∈N *，则称{a n }为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为0.其中正确的判断是________． 分析本题为新定义题，且结论具有开放性，解决本题可借助新定义构造特殊数列，排除不正确的判断，从而简捷求解．解析数列a ，a ，…，a (a ≠0)既是等差数列，又是等比数列，但不满足a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k ，即不是等差比数列，故②、③不正确．故选①④正确． 答案①④四、整体思想例4在等比数列{a n }中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________. 分析根据题设条件可知a 19＋a 20a 9＋a 10＝q 10＝ba， 而a 99＋a 100a 9＋a 10＝q 90，故可整体代入求解．解析设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 19＋a 20a 9＋a 10＝q 10＝ba， 又a 99＋a 100a 9＋a 10＝q 90＝(q 10)9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 9，故a 99＋a 100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 9(a 9＋a 10)＝b 9a 8.答案b 9a83求数列通项的四大法宝一、公式法题设中有a n 与S n 的关系式时，常用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2来求解．例1已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－2，求其通项公式a n . 解当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n－2－(3n －1－2)＝3n －3n －1＝2×3n －1，又a 1＝1≠2×31－1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.二、累加法若数列{a n }满足a n －a n －1＝f (n －1)(n ≥2)，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)可求，则可用累加法求通项．例2已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2)，求其通项公式a n .解由已知，得a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝32，a 4－a 3＝33，…，a n －a n －1 ＝3n －1.以上各式左右两边分别相加，得a n －a 1＝3＋32＋33＋…＋3n －1，所以a n ＝31－3n －11－3＋1＝3n－12(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝1＝31－12.所以a n ＝3n－12(n ∈N *)．三、叠乘法 若数列{a n }满足a na n －1＝f (n －1)(n ≥2)，其中f (1)·f (2)·…·f (n －1)可求，则可用叠乘法求通项．例3已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝3n －43n －1a n －1(a n ≠0，n ≥2)，求其通项公式a n .解由a 1＝3，a n ＝3n －43n －1a n －1，得a n a n －1＝3n －43n －1，所以a 2a 1＝25，a 3a 2＝58，a 4a 3＝811，a 5a 4＝1114，…，a n a n －1＝3n －43n －1(n ≥2)，以上各式左右两边分别相乘，得a n a 1＝23n －1，所以a n ＝63n －1(n ≥2)．又a 1＝3＝63×1－1，所以a n ＝63n －1(n ∈N *)．四、构造法当题中出现a n ＋1＝pa n ＋q (pq ≠0且p ≠1)的形式时，把a n ＋1＝pa n ＋q 变形为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，即a n ＋1＝pa n ＋λ(p －1)，令λ(p －1)＝q ，解得λ＝qp －1，从而构造出等比数列{a n ＋λ}．例4数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝14a n ＋3(n ∈N *)，求其通项公式a n .解设a n ＋1＋t ＝14(a n ＋t )，则a n ＋1＝14a n －34t ，与已知比较，得－34t ＝3，所以t ＝－4，故a n ＋1－4＝14(a n －4)．又a 1－4＝1－4＝－3≠0，故数列{a n －4}是首项为－3，公比为14的等比数列，因此a n －4＝－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即a n ＝4－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1(n ∈N *)．4函数思想在等差数列中的妙用对比等差数列的通项公式和一次函数的解析式，等差数列的前n 项和公式和二次函数的解析式，可以得出等差数列以下三点性质．性质1：在等差数列{a n }中，通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，变形为a n ＝dn ＋(a 1－d )，知a n 是n 的函数，且点(n ，a n )均在直线y ＝dx ＋(a 1－d )上．例1在等差数列{a n }中，a 12＝21，a 45＝153，那么5是第几项？ 解由a n ＝dn ＋a 1－d ，知点(n ，a n )在直线：y ＝dx ＋a 1－d 上， 所以a 45－a 1245－12＝5－a 45n －45＝d ，代入数据得153－2145－12＝5－153n －45，得n ＝63，即5是这个数列中的第63项．性质2：在等差数列{a n }中，其前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ，变形为S n n ＝d 2n ＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2，知S n n 是n 的函数，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 均在直线y ＝d 2x ＋a 1－d 2上．例2在等差数列{a n }中，S 10＝20，S 50＝200，则S 2 010的值为________． 解析由S n ＝An 2＋Bn ，知S n n＝An ＋B ， 所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝Ax ＋B 上．于是点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，S 1010，⎝ ⎛⎭⎪⎫50，S 5050，⎝ ⎛⎭⎪⎫2 010，S 2 0102 010三点共线，∴S 5050－S 101050－10＝S 2 0102 010－S 50502 010－50成立． 把S 10＝20，S 50＝200代入上式，解得S 2 010＝205 020. 答案205 020性质3：在等差数列{a n }中，其前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ，变形为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若设A ＝d 2，B ＝a 1－d2，则S n ＝An 2＋Bn ，且点(n ，S n )均在曲线y ＝Ax 2＋Bx 上．例3已知等差数列{a n }中，S m ＝S n (m ≠n )，则S m ＋n ＝______.解析由S n ＝An 2＋Bn ，知点(n ，S n )在抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上，又S m ＝S n ，所以点P 1(m ，S m )与点P 2(n ，S n )关于抛物线的对称轴对称，而对称轴方程为x ＝m ＋n2，不妨设A <0，如图所示x C ＝m ＋n ，从而S m ＋n ＝0.答案0例4设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1>0，S 12>0，S 13<0，指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由？解∵{a n }是等差数列，∴S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，∵S 12>0，S 13<0.∴a 13＝S 13－S 12<0， ∵a 1>0，a 13<0，∴d <0.∴点(n ，S n )分布在开口方向向下的抛物线y ＝d2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的图象上．设二次函数y ＝d2x2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的对称轴为n 0，则2n 0是二次函数的一个零点．∵S 12>0，S 13<0，∴12<2n 0<13，∴6<n 0<6.5.易知n ＝6对应的A (6，S 6)与对称轴的距离比n ＝7对应的B (7，S 7)与对称轴的距离更小． ∴A 点为最高点，S 6最大．由上述例子可见，解等差数列问题时，若能灵活运用函数的思想与方法，可以简化运算过程，开拓解题思路，收到事半功倍的效果．5判断等比数列的四种方法等比数列在生产实践和自然科技中应用广泛，许多问题可拟合为等比数列模型来解决或预测，那么，如何判定等比数列呢，请看以下方法： 一、定义法a n ＋1a n＝q (其中q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 例1数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)，证明：{S nn}是等比数列． 证明由a n ＋1＝n ＋2n S n ，得S n ＋1－S n ＝n ＋2nS n ， 整理得S n ＋1n ＋1＝2×S nn， 又S 11＝a 11＝1≠0， 故{S n n}是公比为2的等比数列．点评本题需借助a n ＋1＝S n ＋1－S n 对a n ＋1进行转化．二、等比中项法a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n a n ＋1a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．例2已知a ，b ，c 是三个均不为1的正数，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且a x ＝b y ＝c z，1x ＋1z＝2y，证明：a ，b ，c 成等比数列．证明令a x＝b y＝c z＝k ，则k >0，且k ≠1， 则x ＝log a k ，y ＝log b k ，z ＝log c k ， 由1x ＋1z ＝2y，得log k a ＋log k c ＝2log k b ， 所以b 2＝ac ，又a ，b ，c 都不为0，故a ，b ，c 成等比数列．点评将x ，y ，z 用以k 为底的对数表示，由此产生关于a ，b ，c 的等式，建立已知与未知的联系是关键所在． 三、通项公式法a n ＝a 1q n －1(a 1，q 均不为零，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．例3已知数列{a n }的通项a n ＝2n，以下关于该数列的说法中错误的是________．①{a n }是等差数列；②484不是{a n }中的项；③{a n }是等比数列；④{a n }的前8项的和为510. 解析由a n ＝2n＝2·2n －1，可知数列{a n }是首项、公比均为2的等比数列，易得②③④正确，①错误． 答案①点评根据通项公式判断出数列为等比数列，问题迎刃而解． 四、前n 项和公式法当q ≠0且q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1q －1·q n －a 1q －1＝kq n－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝a 1q －1，n ∈N *，则{a n }是等比数列．例4已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________. 解析易知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，∴{a 2n }也是等比数列，a 21＝1，公比为4. ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝13(4n－1)．答案13(4n－1)点评在S n 中，令n ＝1即得到首项a 1，解决此类问题应有赋值求值的意识．以上四种方法是判断数列的常用方法，同学们在解题时应根据具体题目选用恰当的方法.6计算等比数列的三个原则解答等比数列计算题，通常以其通项公式和前n 项和公式为基本工具，或直接代入求解，或列方程(组)求解，此外，还有一些特殊要求，同学们要准确快捷地解答等比数列问题，以下三点必须知道． 一、公式选择要恰当例1在等比数列{a n }中，已知首项a 1＝3，a n ＝3128，公比q ＝12，求前n 项和S n .分析把已知量代入等比数列的前n 项和公式S n ＝a 1－a n q1－q即可求解． 解S n ＝a 1－a n q1－q ＝3－3128×121－12＝765128.点评若用S n ＝a 11－q n 1－q 解本题，需先求出n ，而用S n ＝a 1－a n q1－q ，直接代入即可．求和公式S n ＝a 1－a n q1－q，适用于已知a 1，q ，a n 求S n 或已知a 1，q ，S n 求a n 的题型，因其不如S n ＝a 11－q n1－q使用频率高，易被忽视．二、运算技巧要掌握例2在等比数列{a n }中，已知a 3＋a 5＝3，a 7＝4，求其公比． 分析根据等比数列的通项公式列方程组求解．解设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋q 4＝3，a 1q 6＝4，又a 1≠0，q ≠0，二式相除得1＋q2q4＝34， 整理得3q 4－4q 2－4＝0，解得q 2＝－23(舍去)或q 2＝2，所以q ＝± 2.点评因等比数列的计算问题中，积与幂较多，故把相关式作商是个常用技巧，这样可以去掉无关量，突出待求量．此外，等比数列计算题还常用整体代入、整体变形等技巧． 三、分类讨论勿忽视例3已知等比数列{a n }的各项都是正数，其前n 项和为S n ，a 3＝2，S 4＝5S 2，求通项a n . 分析依据等比数列的通项公式和前n 项和公式列方程组，先求出a 1和q ，再求a n . 解设数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，a n ＝2，S 4＝8，S 2＝4，不满足S 4＝5S 2， 故q ≠1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2，a 11－q 41－q＝5×a 11－q 21－q ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2，q 4－5q 2＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，q ＝±2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝±1，依题意，又有q >0且q ≠1，所以q ＝2，a 1＝12，则a n ＝12×2n －1＝2n －2.点评解答本题时容易忽视对公比q 的讨论．同学们要牢记：当q ＝1与q ≠1时，等比数列的求和公式是不同的，所以当公比不确定时，一定要注意对公比的讨论．7如何研究数列的单调性和最大(小)项研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．例1已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n (79)n ＋1，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由． 解当n >3时，f (n ＋1)－f (n )<0； 当1≤n ≤3时，f (n ＋1)－f (n )>0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增； 在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减． 所以存在最大项， 且第4项为最大项．点评之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数的单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1－a n ，证明难度是不一样的． 例2数列{a n }中，a n ＝n － 2 006n － 2 007，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是________．分析可以先把a n ＝n － 2 006n － 2 007用分离常数进行化简，然后再研究函数f (x )＝1＋2 007－ 2 006x － 2 007的性质，得出该数列前100项中的最大项与最小项．解a n ＝n － 2 006n － 2 007＝1＋ 2 007－ 2 006n － 2 007.考察函数f (x )＝1＋2 007－ 2 006x － 2 007，在区间(－∞， 2 007)与( 2 007，＋∞)上都是减函数， 因为44< 2 007<45，故数列{a n }在n ≤44上递减，在n ≥45上递减， 借助f (x )＝1＋2 007－ 2 006x － 2 007的图象知，数列{a n }的最大项为a 45，最小项为a 44. 答案a 45，a 44点评本题考查根据数列的单调性求数列的最大项与最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．8数列求和的方法和技巧求和是数列的主要问题之一，数列求和方法多，技巧性强，是培养创新能力的好素材，也是高考考查的重要内容．现结合例子把数列求和的主要方法列举如下： 1．应用公式求和方法要领：等差、等比数列的前n 项和公式是数列中应用最为广泛、使用频率最高的求和公式．在每种数列中均有两个求和公式可供选择．尤其是利用等差数列的前n 项和公式时，首先要确定公比q 是否为1，以确定选用哪一个公式来求和，否则要通过分类讨论进行解答． 例1求数列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前n 项和． 解所求数列的前n 项和中共有1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12个连续的奇数，这些奇数组成等差数列，首项为1，公差为2.故该数列的前n 项和S n ＝n n ＋12×1＋12×n n ＋12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋12－1×2 ＝n n ＋12＋n n ＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋12－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122＝n 2n ＋124.点评本题实际上是求从1开始的连续奇数的和，奇数的个数共有1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.最后一个奇数为1＋2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋12－1＝n 2＋n －1.因此前n 项和也可以这样求得S n ＝n n ＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋n 2＋n －12＝n 2n ＋124.例2求数列1，a ＋a 2，a 3＋a 4＋a 5，a 6＋a 7＋a 8＋a 9，…(a ≠0)的前n 项和．解所求数列的前n 项和可以看成是由等比数列1，a ，a 2，a 3，a 4，…取出前1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12项后再求和得到，且取出的最后一项为an n ＋12－1，故所求数列的前n 项和为S n ＝1＋a ＋a 2＋a 3＋…＋a n n ＋12－1；当a ＝1时，S n ＝n n ＋12；当a ≠1时，S n ＝1－an n ＋12－1·a 1－a＝1－an n ＋121－a.点评题目中所给数列实际上并不是等比数列，求和时需要灵活转化为求一个等比数列的前n n ＋12项的和，由于公比为字母a ，需要分类讨论．2.分组转化求和方法要领：分组转化求和是将通项变形拆分为几个数列的和与差，分组进行求和、拆分后的数列多为等差数列或等比数列．例3已知数列{a n }的通项为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n n 为奇数，2n2n 为偶数，S n 为数列{a n }的前n 项和，求S n .解由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n n 为奇数，2n2n 为偶数可知，数列{a n }的奇数项成等差数列，公差d ＝2；偶数项成等比数列，公比q ＝2，所以当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )＝[1＋3＋…＋(n －1)]＋(21＋＋ (2)2)＝n 24＋2n ＋22－2；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝n －124＋2n ＋12－2＋n ＝n ＋124＋2n ＋12－2.例4数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋a n －1＋2n －1＝0 (n ∈N *且n ≥2)． (1)求a 2、a 3的值；(2)证明：数列{a n ＋n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)解∵a 1＝3，a n ＋a n －1＋2n －1＝0 (n ∈N *且n ≥2)， ∴a 2＝－a 1－4＋1＝－6，a 3＝－a 2－6＋1＝1. (2)证明∵a n ＋a n －1＋2n －1＝0， ∴a n ＋n ＋[a n －1＋(n －1)]＝0， ∴a n ＋n ＝－[a n －1＋(n －1)]； ∴a n ＋na n －1＋n －1＝－1 (n ≥2)．∴数列{a n ＋n }是首项为a 1＋1＝4，公比为－1的等比数列． ∴a n ＋n ＝(a 1＋1)·(－1)n －1＝4·(－1)n －1，即a n ＝4×(－1)n －1－n .(3)解∵a n ＝4×(－1)n －1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝[4×(－1)0－1]＋[4×(－1)1－2]＋[4×(－1)2－3]＋…＋[4×(－1)n －1－n ]＝4×[(－1)0＋(－1)1＋…＋(－1)n －1]－(1＋2＋3＋…＋n )＝2[1－(－1)n ]－n n ＋12.点评通过对通项公式恒等变形化成几个基本数列求和，这是数列求和的一个基本思想． 3．裂项相消求和方法要领：常见的拆项公式有 ①1n n ＋1＝1n －1n ＋1；②1nn ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ； ③12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ； ⑤1n n ＋1n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1nn ＋1－1n ＋1n ＋2；⑥2n2n－12n ＋1－1＝12n －1－12n ＋1－1. 例5已知S n ＝112·32＋232·52＋352·72＋…＋n2n －12·2n ＋12，求证：19≤S n <18.证明设a n ＝n2n －12·2n ＋12＝18⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －12－12n ＋12， 所以S n ＝112·32＋232·52＋352·72＋…＋n2n －12·2n ＋12＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫112－132＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫132－152＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫152－172＋… ＋18⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －12－12n ＋12＝18⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12n ＋12.∵12n ＋12>0，∴S n <18.又∵S n ≥S 1＝19.∴19≤S n <18.例6等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960. (1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝6＋d q ＝64，S 3b 3＝9＋3d q 2＝960，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403(舍去)．故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)．所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n n ＋2＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2.点评拆项成差的目的在于大量抵消中间的项，使前n 项和S n 的表达式得以简化．对于一些拆项的方法不要死记硬背，关键是观察通项a n 的特征结构进行代数恒等变形． 4．奇偶并项求和方法要领：当通项中含有符号因子(－1)n或(－1)n ＋1时，数列中相邻两项的符号异号，邻项合并后若规律明显，易于求和，可以考虑相邻两项合并后求和．由于并项的需要，常常对n 的奇偶性进行分类讨论．例7已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2当n 为奇数时，－n 2当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100.解由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－－＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－1＋101＝100.例8等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解(1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18. 所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．(2)因为b n ＝a n ＋(－1)nln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n[ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3. 所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n1－3＋n 2ln 3＝3n＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1， n 为奇数.点评求数列{a n }的前n 项和S n 时，若含有符号因子(－1)n，一般要对n 按奇数、偶数两种情况讨论．5．错位相减求和方法要领：一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和．在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式． 例9化简：S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×＋…＋2×2n －2＋2n －1.解S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×＋…＋2×2n －2＋2n －1两边同时乘以2得到，2S n ＝n ×2＋(n －1)×＋…＋3×2n －2＋2×2n －1＋2n∴S n ＝－n ＋(21＋＋…＋2n －1＋2n)＝21－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2.例10已知＝⎩⎪⎨⎪⎧85n －35n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1当n 为奇数时，－85n －35n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1当n 为偶数时，S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋，求S n .解当n 为奇数时，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85－2×85＋3×85－4×85＋…＋85n －35[1×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1]＝4n ＋15－35[1×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1]； 当n 为偶数时，S n ＝[85－2×85＋3×85－4×85＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－85n ]－35[1×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1] ＝－4n 5－35[1×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1]．令T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，①则23T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋…＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，② ①－②，得13T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n1－23－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n＝3－(3＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，∴T n ＝9－(9＋3n )⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.因此S n＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －235＋9n ＋35⎝ ⎛⎭⎪⎫23n当n 为奇数时，－4n ＋275＋9n ＋35⎝ ⎛⎭⎪⎫23n当n 为偶数时.点评利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分q ＝1和q ≠1两种情况分别求和．9提高运算速度的七个妙招数列问题的灵活性、技巧性较强，因此，在解数列问题时必须研究技巧与策略，以求做到：选择捷径、合理解题，本文归纳了七种常见策略． 第一招活用概念数列的概念是求解数列问题的基础，灵活运用数列的概念，往往能出奇制胜．例1已知{a n }是公差为2的等差数列，若a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝100，那么a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝________.解析若先求出a 1，再求和，运算较为烦琐．注意到两个和式中的项数相等，且均是等差数列．由于(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98)－(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97)＝(a 2－a 1)＋(a 5－a 4)＋(a 8－a 7)＋…＋(a 98－a 97)＝33d ＝66，所以a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝100＋66＝166. 答案166点评活用等差、等比数列的概念，沟通有关元素间的内在联系，使运算得以简化． 第二招巧用性质数列的性质是数列的升华，巧妙运用数列的性质，往往可以使问题简单明了，解题更快捷方便．例2各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 7a 8＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 14＝________.解析若设出a 1和q ，利用基本量法求解，显然运算量较大．若利用性质a 1a 14＝a 2a 13＝…＝a 7a 8＝9，则a 1a 2…a 14＝(a 7a 8)7＝97，所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 14＝log 397＝14.答案14点评数列的性质是对数列内涵的揭示与显化，是求解数列问题的有力武器． 第三招灵用变式在求解数列问题过程中，可以利用等差或等比数列的变形公式来处理有关问题． 例3已知等差数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝388，则该数列的通项a n ＝________.解析利用等差数列的变形公式求得公差，再结合等差数列的变形公式求得通项．设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 10－a 310－3＝388－37＝55，a n ＝a 3＋(n －3)d＝3＋(n －3)×55＝55n －162. 答案55n －162点评常规方法是联立方程组，求出首项与公差，再由数列的通项公式求解．而利用变形公式可以回避求解数列的首项，直接求解公差，再结合变形公式求得通项． 第四招整体考虑通过研究问题的整体形式、整体结构，避免局部运算的困扰，达到简捷解决问题的目的． 例4设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，且S 9＝18，S n ＝240，若a n －4＝30，试求n 的值． 解常规解法是设出基本量a 1，d ，列方程组求解，但较烦琐；若能利用整体思维，则可少走弯路，使计算合理又迅速．由S 9＝18，即9a 1＋a 92＝18，则a 1＋a 9＝4＝2a 5，故a 5＝2，又S n ＝n a 1＋a n2＝n a 5＋a n －42＝n 2＋302＝240，所以n ＝15.点评本题解法不在a 1，d 上做文章，而是将S n 变形整理用a 5＋a n －4表示，使解题过程大大简化．第五招数形结合数列是一类特殊的函数，所以可以借助函数的图象，通过数形结合解数列问题． 例5在公差d <0的等差数列{a n }中，已知S 8＝S 18，则此数列的前多少项的和最大？ 解用数形结合法解等差数列问题应抓住两个方面：①通项a n 联系一次函数，对于等差数列的有关问题通过构造点共线模型，可简化解题过程；②前n 项和S n 联系二次函数，利用二次函数的对称性及最值． 设f (x )＝xa 1＋x x －12d ＝d 2x 2＋(a 1－d2)x ，则(n ，S n )在二次函数的图象上，由于S 8＝S 18，d <0，所以y ＝f (x )的对称轴是x ＝8＋182＝13，且开口向下，故当x ＝13时，f (x )取得最大值， 故数列{a n }的前13项的和最大．点评从直观性角度研究数列问题，可使问题变得生动形象，易于求解． 第六招分解重组在处理数列求和问题时，若数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分，则对数列的前n 项和进行重新分解，分别求和．例6在数列{a n }中，已知a 1＝56，a 2＝1936，且{b n }是公差为－1的等差数列，b n ＝log 2(a n ＋1－13a n )，{}是公比为13的等比数列，＝a n ＋1－12a n ，求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .解由已知条件，事先无法估计a n 解析式的结构，因此不能用待定系数法求a n .但是利用等差数列{b n }和等比数列{}可以得出关于a n ＋1和a n 的两个等式，消去a n ＋1，即可得a n .再根据a n 求解对应的前n 项和． 因为a 1＝56，a 2＝1936，所以b 1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1936－13×56＝－2， c 1＝1936－12×56＝132，又{b n }是公差为－1的等差数列，{}是公比为13的等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧b n ＝－n －1，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－13a n＝－n －1，a n ＋1－12a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1－13a n ＝12n ＋1，an ＋1－12a n ＝13n ＋1，得a n ＝32n －23n ，所以S n ＝3·(12＋1＋…＋12n )－2·(13＋132＋…＋13n )＝2－32n ＋13n .点评通项虽不是等比数列，但可拆为两个等比数列的和的形式，再分别利用等比数列的求和公式求和． 第七招合理化归化归意识是把待解决的问题转化为已有知识范围内问题的一种数学意识，包括将复杂式子化简、为达某一目的对数学表达式进行变形、从目标入手进行分析等． 例7数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3，…)，证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列． 证明要证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，必须把问题化成与S n n这个整体有关的问题，通过等比数列的定义加以证明．由于a n ＋1＝n ＋2nS n ，a n ＋1＝S n ＋1－S n ，则(n ＋2)S n ＝ n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，即S n ＋1n ＋1＝2S nn .又S n ≠0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项、2为公比的等比数列．点评将数列中的复杂问题进行转化，关键是找准方向，再利用已知等差或等比数列的相关知识求解．10公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2在解数列综合题中的重要应用由数列前n 项和S n 的含义可知，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，从而得到公式a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)对任意数列都成立．在数列一章中，这是一个不太起眼的小公式，但是就是这样一个微不足道的小公式在求解数列综合题中发挥着重要的作用，也是近几年考试中高频考查的公式之一．下面结合例子谈一下该公式的重要用途． 1．已知S n ＝f (n )，求a n例1数列{a n }的前n 项和S n 满足关系lg (S n ＋1)＝n (n ＝1,2,3，…)，试证数列{a n }是等比数列．分析先由lg (S n ＋1)＝n ，求出S n ，再由公式a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求出a n ，最后利用等比数列定义证明．证明由已知可得S n ＝10n－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(10n－1)－(10n －1－1)＝9·10n －1.又当n ＝1时，a 1＝S 1＝9也满足上述通项公式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝9·10n －1.而当n ≥2时，a n a n －1＝9·10n －19·10n －2＝10，为一常数，∴数列{a n }是以9为首项， 10为公比的等比数列． 2．已知S n ＋1＝f (S n )，求a n 或S n例2已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N *. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式以及S n .分析注意到S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，得到S n ＝2S n －1＋n ＋4，然后两式相减就会得到a n ＋1与a n 的递推关系，从而使问题(1)获证，在第(1)问结论的基础上易求a n 及S n . (1)证明由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N *， 可得当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4. 两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1， 即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5， 所以a 2＋a 1＝2a 1＋6， 又a 1＝5，所以a 2＝11， 从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N *， 又a 1＝5，a 1＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2， 即数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列． (2)解由(1)得a n ＋1＝6·2n －1，所以a n ＝6·2n －1－1，于是S n ＝6·1－2n1－2－n ＝6·2n－n －6.3．已知S n ＝f (a n )，求a n 或S n例3设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n ＝32(a n －1) (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)将数列{a n }、{b n }的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{d n }，证明数列{d n }的通项公式为d n ＝32n ＋1(n ∈N *)．分析(1)一般地，当已知条件中含有a n 与S n 的混合关系时，常需要运用关系式a n ＝S n －S n －1，先将已知条件转化为只含a n 或S n 的关系式，然后再求解．(2)一般地，一个等差数列与一个等比数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺序构成一个新的等比数列．(1)解由已知A n ＝32(a n －1) (n ∈N *)．当n ＝1时，a 1＝32(a 1－1)，解得a 1＝3.当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝32(a n －a n －1)，由此解得a n ＝3a n －1，即a na n －1＝3 (n ≥2)． 所以数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列， 故a n ＝3n (n ∈N *)．(2)证明由计算可知a 1，a 2不是数列{b n }中的项．因为a 3＝27＝4×6＋3，所以d 1＝27是数列{b n }中的第6项．设a k ＝3k是数列{b n }中的第m 项，则3k＝4m ＋3 (k ，m ∈N *)， 因为a k ＋1＝3k ＋1＝3·3k＝3(4m ＋3)＝4(3m ＋2)＋1，所以a k ＋1不是数列{b n }中的项． 而a k ＋2＝3k ＋2＝9·3k＝9(4m ＋3)＝4(9m ＋6)＋3，所以a k ＋2是数列{b n }中的项．由以上讨论可知d 1＝a 3，d 2＝a 5，d 3＝a 7，…，d n ＝a 2n ＋1. 所以数列{d n }的通项公式是d n ＝a 2n ＋1＝32n ＋1(n ∈N *)．4．已知a n ＝f (S n )，求a n 或S n例4已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项的和为S n ，对任意的自然数n ≥2，a n 是3S n －4与2－32S n －1的等差中项．(1)求通项a n ； (2)求S n . 分析由已知能推出a n ＋1a n ＝－12，但是a n ＋1a n ＝－12成立的前提是n ≥2，只能说明数列从第2项起为等比数列，至于整个数列{a n }是否为等比数列还需验证a 2a 1是否等于－12，这种在解答过程中忽视数列“定义域”限制而致错的题目频率是非常高的，应引起足够的重视． 解(1)由已知，得当n ≥2时，2a n ＝(3S n －4)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32S n －1，① 又a n ＝S n －S n －1，②得a n ＝3S n －4(n ≥2)，a n ＋1＝3S n ＋1－4， 以上两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ＋1， ∴a n ＋1a n ＝－12，∴a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列， 其中a 2＝3S 2－4＝3(1＋a 2)－4. 即a 2＝12，q ＝－12，∴当n ≥2时，a n ＝a 2qn －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， 即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1，－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1n ≥2.(2)当n ≥2时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 2＋…＋a n ) ＝1＋12[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1]1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.当n ＝1时，S 1＝1＝1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－120也符合上述公式．即S n ＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.11盘点数列中的易错问题1．对数列的概念理解不准而致错例1已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．[错解]因为a n ＝n 2＋λn 是关于n 的二次函数，且n ≥1，所以－λ2≤1，解得λ≥－2.[点拨]数列是以正整数N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数，因此它的图象只是一些孤立的点．[正解1]设f (x )＝x 2＋λx ，则其图象的对称轴为x ＝－λ2，因为a n ＝n 2＋λn ，所以点(n ，a n )在f (x )的图象上，由数列{a n }是单调递增数列可知，若－λ2≤1，得λ≥－2；如图所示，当2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ2>－λ2－1，即当λ>－3时，数列{a n }也是单调递增的．故λ的取值范围为{λ|λ≥－2}∪{λ|λ>－3}＝{λ|λ>－3}． 即λ>－3为所求的取值范围． [正解2]因为数列{a n }是单调递增数列， 所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立． 又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立， 即2n ＋1＋λ>0，所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而当n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(当n ＝1时)，所以λ>－3即为所求的取值范围．温馨点评利用函数观点研究数列性质时，一定要注意数列定义域是{1，2，3，4，…，n ，…}或其子集这一特殊性，防止因扩大定义域而出错.2．忽视数列与函数的区别而致错例2设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6， x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．[错解]因为数列{a n }是递增数列，且点(n ，a n )在函数f (x )的图象上，所以分段函数f (x )是递增函数，故实数a 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，73－a －3<a ，解得94<a <3.[点拨]上述解法，把数列单调递增完全等同于所在的函数单调递增，忽视了二者的区别，事实上，数列单调递增，所在函数不一定单调． [正解]由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，ax －6， x >7的图象上．因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增，还需a 7<a 8. 故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f 7<f 8，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)．温馨点评数列单调递增，所在函数不一定单调递增，防止知识混淆而导致解题结果错误. 3．公式使用条件考虑不周全而致错例3已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n＋2n ＋1，求a n . [错解]a n ＝S n －S n －1＝(3n＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.[点拨]公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1 n ≥2是分段的，因为n ＝1时，S n －1无意义．在上述解答中，应加上限制条件n ≥2，然后验证当n ＝1时的值是否适合当n ≥2时的表达式． [正解]a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.由于a 1不适合此式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n ＝1，2·3n －1＋2 n ≥2.。

对称变换对称变换都有哪些内容？【答】 对称变换主要有①y =f (－x )与y =f (x )的图象关于y 轴对称;若f (－x )=f (x ),则函数自身的图象关于y 轴对称.②y =－f (x )与y =f (x )的图象关于x 轴对称.③y =－f (－x )与y =f (x )的图象关于原点对称;若f (－x )=－f (x ),则函数自身的图象关于原点对称.④y =f －1(x )与y =f (x )的图象关于直线y =x 对称.⑤y =－f －1(－x )与y =f (x )的图象关于直线y =－x 对称.⑥y =f (2a －x )与y =f (x )的图象关于直线x =a 对称；若f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))则函数自身的图象关于直线x =a 对称.⑦y =2b －f (x )与y =f (x )的图象关于直线y =b 对称.⑧y =2b －f (2a －x )与y =f (x )的图象关于点(a ,b )对称.［案例1］证明函数y =11--ax x (a ≠1)的图象关于直线y =x 对称. 本题考查对函数图象本身关于直线对称的理解.【分析】 利用函数解析式与它的反函数的解析式若为同一个函数，则函数图象关于直线y =x 对称，也可利用函数图象上任意点关于直线的对称点也在已知函数的图象上，则函数图象关于直线y =x 对称.【证法一】 ∵a ≠1,y =a 1 (1＋ax a a11--) ∴y a 1≠ 由y =11--ax x 得x (ay －1)=y －1,x =11--ay y ∴y =11--ax x (a ≠1)的反函数是y =11--ax x ∴y =11--ax x 的图象关于直线y =x 对称. 【证法二】 设点P (x ′,y ′)是这个函数图象上任一点，则x ′≠a 1且y ′=11-'-'x a x ① 易知点P 关于直线y =x 的对称点P ′的坐标为(y ′,x ′)由①得y ′(ax ′－1)=x ′－1② 即x ′(ay ′－1)=y ′－1如果ay ′－1=0,则y ′=a 1,代入①得a 1=11-'-'x a x . 解得a =1,与已知矛盾.于是ay ′－1≠0,∴由②得x ′=11-'-'y a y 这说明点P ′(y ′,x ′)也在已知函数的图象上.因此，这个函数的图象关于直线y =x 成对称图形.【评注】 要分清函数本身关于直线y =x 对称与两个函数关于直线y =x 对称的区别.1.已知函数y =f (x )的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( )A.y =|f (x )|B.y =f (|x |)C.y =f (－x )D.y =－f (x )【解析】 y =f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称. 【答案】 B8.设函数y =2x 的图象为C ，某函数的图象C ′与C 关于直线x =2对称，那么这个函数是( )A.y =2－xB.y =22－xC.y =24－xD.y =2x －4【解析】 ∵y =f (x )的图象与y =f (4－x )的图象关于直线x =2对称，设f (x )=2x ,则f (4－x )=24－x .【答案】 C10.设函数y =f (x )的定义域是R ，且f (x －1)=f (1－x ),那么f (x )的图象有对称轴( )A.直线x =0B.直线x =1C.直线y =0D.直线y =1【解析】 设x －1=t ,则f (t )=f (－t )，函数为偶函数，关于y 轴对称. 【答案】 A12.已知函数f (x )=21-+x x (x ≠2),那么函数f (x ＋1)的图象关于直线y =x 成对称图形的函数是( )A.y =13-x x (x ≠1)B.y =12-+x x (x ≠1) 图2—3C.y =112-+x x (x ≠1)D.y =xx 32+(x ≠0) 【解析】 ∵f (x ＋1)=y =12-+x x =1＋13-x (x ≠1) ∴x =1＋13-y ,即上式的反函数是y =12-+x x (x ≠1). 【答案】 B 13.函数y =12--x x 的图象关于点_____对称. 【解析】 y =12--x x =－1＋11-x ,y =12--x x 的图象是由y =x 1的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1). 【答案】 (1，－1)16.定义在R 上的函数y =f (x )、y =f (－x )、y =－f (x )、y =－f (－x )的图象重合，它们的值域为_____.【解析】 函数y =f (x )与y =f (－x )的图象重合，说明函数y =f (x )的图象关于y 轴对称；y =f (x )与y =－f (x )图象重合，说明y =f (x )的图象关于x 轴对称；y =f (x )与y =－f (－x )的图象重合，说明y =f (x )的图象关于原点对称.即若y =f (x )上任一点(x ,y ),则也有点(－x ,y )、(x ,－y )、(－x ,－y );根据函数的定义，对于任一x ∈R ,只能有惟一的y 与之对应，从而y =－y ,即y =0，故函数的值域为{0}.①y =f (x )为偶函数，则y =f (x ＋2)的图象关于y 轴对称.②y =f (x ＋2)为偶函数，则y =f (x )关于直线x =2对称.③若f (x －2)=f (2－x ),则y =f (x )关于直线x =2对称.④y =f (x －2)和y =f (2－x )的图象关于x =2对称.【解析】 ①y =f (x )是偶函数，而f (x ＋2)是将f (x )的图象向左平移2个单位得到的，则对称轴左移2个单位为x =－2,所以f (x ＋2)图象关于直线x =－2对称.②y =f (x ＋2)为偶函数，则f (x ＋2)=f (2－x ),所以y =f (x )图象关于直线x =2对称.③令x －2=t ,则2－x =－t ,得f (t )=f (－t ),y =f (x )的图象关于y 轴对称.④f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，将f (x )与f (－x )的图象分别向右平移2个单位，分别得到f (x －2)与f (2－x )的图象，对称轴右移2个单位为直线x =2. 【答案】 ②④18.若函数y =f (x )=bx ax -+212的图象关于直线y =x 对称，求a ,b 应满足的条件. 【解】 由y =f (x )= b x ax -+212(x ≠2b ),得2xy －by =2ax ＋1 ∴2(y －a )x =by ＋1,∴x =ay by 221-+ ∴y =f (x )的反函数是f －1(x )= a x bx 221-+ (x ≠a ) ∵y =f (x )的图象关于直线y =x 对称，则函数y =f (x )反函数就是它本身. ∴b x ax -+212=ax bx 221-+，比较系数得b =2a .即为a ,b 所满足的条件.20.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)=－f (x ),又当－1≤x ≤1时，f (x )=x 3.(1)证明直线x =1是函数f (x )的图象的一条对称轴；(2)当x ∈［1,5］时，求f (x )的解析式.【解】 (1)设(x 0,y 0)是f (x )的图象上任意一点，它关于x =1对称的点为(x 1,y 1),则y 0=y 1,x 0=2－x 1,∴y 1=f (2－x 1)=－f (－x 1)=f (x 1)(2)∵f (x )的图象关于x =1对称，故当1≤x ≤3时，f (x )=(2－x )3又当3<x ≤5时，－1<x －4≤1,此时f (x )=(x －4)3∴f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-)53(,)4()31(,)2(33x x x x。

2.2.1 函数的单调性(二)学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．知识点一函数的最大(小)值思考在如图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？梳理设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为y max＝f(x0)．如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为y min＝f(x0)．知识点二函数的最大(小)值的几何意义思考函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如下：试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值．梳理函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点．知识点三函数的单调性与最值若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是单调增函数，则函数的最小值为y min＝f(a)，最大值为y max ＝f(b)；若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是单调减函数，则函数的最小值为y min＝f(b)，最大值为y max＝f(a)．即单调函数在闭区间上必有最大值、最小值．类型一借助单调性求最值例1 已知函数f(x)＝xx2＋1(x>0)，求函数的最大值和最小值．反思与感悟(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上为单调增函数，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上为单调减函数，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)．函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的．(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．跟踪训练1 已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)画出f(x)的图象；(2)根据图象写出f(x)的最小值．类型二求二次函数的最值例2 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；(3)已知函数f(x)＝x－2x－3，求函数f(x)的最值；(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1 m)?反思与感悟(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．(2)图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题．跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值；(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；(3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h＝－x2＋2x＋54，x∈[0，52]，求水流喷出的高度h的最大值是多少？类型三 函数最值的应用例3 已知x 2－x ＋a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 引申探究若将本例中“x ∈(0，＋∞)”改为“x ∈(12，＋∞)”，再求a 的取值范围．反思与感悟 恒成立的不等式问题，任意x ∈D ，f (x )>a 恒成立，一般转化为最值问题：f (x )min >a 来解决．任意x ∈D ，f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a .当最值不存在时，可求值域，但要注意a 的取值的变化．跟踪训练3 已知ax 2＋x ≤1对任意x ∈(0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．1．函数y ＝－x ＋1在区间[12，2]上的最大值是________．2．函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上的最大值为________．3．函数f (x )＝x 2，x ∈[－2,1]的最大值，最小值分别为________．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，，则f (x )的最大值，最小值分别为________．5．若不等式－x ＋a ＋1≥0对一切x ∈(0，12]恒成立，则a 的最小值为________．1．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得．即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a )． 2．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．答案精析问题导学 知识点一思考 最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A 中的元素与之对应，不是函数值． 知识点二思考 x ＝±1时，y 有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x ＝0时，y 有最小值0，对应的点为图象中的最低点． 题型探究例1 解 设x 1，x 2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1x 22＋－x 2x 21＋x 21＋x 22＋＝x 2－x 1x 2x 1－x 21＋x 22＋.当x 1<x 2≤1时，x 2－x 1>0，x 1x 2－1<0，f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(0,1]上为单调增函数； 当1≤x 1<x 2时，x 2－x 1>0，x 1x 2－1>0，f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为单调减函数． ∴f (x )max ＝f (1)＝12，无最小值．跟踪训练1 解 (1)f (x )的图象如图．(2)由图知，f (x )在(－∞，－1]上为单调减函数，在[－1,1]上为常函数，在[1，＋∞)上为单调增函数， ∴f (x )min ＝2.例2 解 (1)∵函数f (x )＝x 2－2x －3开口向上，对称轴x ＝1，∴f (x )在[0,1]上为单调减函数，在[1,2]上为单调增函数，且f (0)＝f (2)． ∴f (x )max ＝f (0)＝f (2)＝－3，f (x )min ＝f (1)＝－4.(2)∵对称轴x ＝1， ①当1≥t ＋2即t ≤－1时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3， f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.②当t ＋t ＋22≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4.③当t ≤1<t ＋t ＋22，即0<t ≤1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4.④当1<t ，即t >1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －t ，t 2＋2t －t，φ(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －t ≤－，－－1<t，t 2－2t －t(3)设x ＝t (t ≥0)，则x －2x －3＝t 2－2t －3.由(1)知y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上为单调减函数，在[1，＋∞)上为单调增函数． ∴当t ＝1即x ＝1时，f (x )min ＝－4，无最大值．(4)作出函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18的图象(如图)．显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．由二次函数的知识，对于函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，我们有：当t ＝－14.7－＝1.5时，函数有最大值h ＝－－14.72－≈29.于是，烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m. 跟踪训练2 解 (1)设x 2＝t (t ≥0)，则x 4－2x 2－3＝t 2－2t －3.y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上为单调减函数，在[1，＋∞)上为单调增函数．∴当t ＝1即x ＝±1时，f (x )min ＝－4，无最大值． (2)∵函数图象的对称轴是x ＝a ，∴当a <2时，f (x )在[2,4]上是单调增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是单调减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. ∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.(3)由函数h ＝－x 2＋2x ＋54，x ∈[0，52]的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点．此时函数取得最大值．对于函数h ＝－x 2＋2x ＋54，x ∈[0，52]，当x ＝1时，函数有最大值h max ＝－12＋2×1＋54＝94.于是水流喷出的最高高度是94 m.例3 解 方法一 令y ＝x 2－x ＋a ，要使x 2－x ＋a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，只需y min ＝4a －14>0，解得a >14.∴实数a 的取值范围是(14，＋∞)．方法二 x 2－x ＋a >0可化为a >－x 2＋x . 要使a >－x 2＋x 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 只需a >(－x 2＋x )max ， 又(－x 2＋x )max ＝14，∴a >14.∴实数a 的取值范围是(14，＋∞)．……………………………………………………………名校名师推荐………………………………………………… 11 引申探究解 f (x )＝－x 2＋x 在(12，＋∞)上为单调减函数， ∴f (x )的值域为(－∞，14)， 要使a >－x 2＋x 对任意x ∈(12，＋∞)恒成立， 只需a ≥14， ∴a 的取值范围是[14，＋∞)． 跟踪训练3 解 ∵x >0，∴ax 2＋x ≤1可化为a ≤1x 2－1x. 要使a ≤1x 2－1x对任意x ∈(0,1]恒成立， 只需a ≤(1x 2－1x)min . 设t ＝1x，∵x ∈(0,1]，∴t ≥1. 1x 2－1x ＝t 2－t ＝(t －12)2－14. 当t ＝1时，(t 2－t )min ＝0，即x ＝1时，(1x 2－1x)min ＝0， ∴a ≤0.∴a 的取值范围是(－∞，0]．当堂训练1.122.13.4,04.10,65.－12。

第2章 复习与小结（3）复习重点：函数的模型及其应用．复习过程：一、函数的零点1．已知在(a ，b )(a ＜b )上连续函数f (x )满足f (a )f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )上 零点．变式 已知二次函数f (x )在(a ，b )(a ＜b )上满足f (a )f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )上 零点．2．若关于x 的方程3tx 2＋(3－7t )x ＋4＝0的两个实根a 、b 满足0＜a ＜1＜b＜2，求实数t 的取值范围．3．已知(12)x ＝2a －15a ＋2，试求实数a 的取值范围，使得（1）方程有解；（2）方程有正根；（3）方程有不小于1的解．二、函数模型曙光公司为了打开某种新产品的销路，决定进行广告促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系式是Q ＝)0(113≥++x x x ．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需投入32万元，若每件售价是“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，当年产销量相等．试将年利润y （万元）表示为年广告费x 万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，该公司是亏损还是盈利？练习：（1）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车就增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(i)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？(ii)当每辆车的月租金为多少元时，公司的月收益最大?最大月收益是多少元？（2）某企业生产的新产品必须靠广告来打开销路．该产品的广告效应是产品的销售额与广告费之间的差．如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行调查显示：每付出100元的广告费，所得的销售额为1000元．问该企业应该投入多少广告费，才能获得最大的广告效应？三、作业课本第94页练习16，21，28．。

2．1.2 函数的表示方法学习目标 1.理解函数的三种表示方法.2.能根据需要选择恰当的函数表示方法.3.了解分段函数，并能进行简单应用．知识点一解析法思考一次函数如何表示？梳理用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．知识点二图象法思考要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？梳理用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法．知识点三列表法思考在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？怎样表示这种对应关系？梳理 用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法． 三种表示法的优缺点：知识点四 分段函数思考 某市规定出租车收费标准：起步价(不超过2 km)为5元．超过2 km 时，前2 km 依然按5元收费，超过2 km 部分，每千米收1.5元．按此规定乘坐出租车行驶任意一段路程，是否都有一个唯一的收费额与之对应？收费额y 元是行驶里程x km 的函数吗？当x ∈[0,2]时的计费方法与x ∈(2，＋∞)时计费方法一样吗？梳理 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．类型一 解析式的求法例1 根据下列条件，求f (x )的解析式． (1)f (f (x ))＝2x －1，其中f (x )为一次函数； (2)f (x ＋1x )＝x 2＋1x2；(3)f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x .反思与感悟 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．(2)如果已知f (g (x ))的表达式，想求f (x )的解析式，可以设 t ＝g (x )，然后把f (g (x ))中每一个x 都换成t 的表达式．(3)如果条件是一个关于f (x )、f (－x )的方程，我们可以用x 的任意性进行赋值．如把每一个x 换成－x ，其目的是再得到一个关于f (x )、f (－x )的方程，然后消元消去f (－x )． 跟踪训练1 根据下列条件，求f (x )的解析式． (1)f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9； (2)f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1； (3)2f (1x)＋f (x )＝x (x ≠0)．类型二 列表法及函数表示法的选择例2 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．反思与感悟函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．跟踪训练2 若函数f(x)如下表所示：则f(f(1))＝________.类型三分段函数命题角度1 建立分段函数模型例3 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．反思与感悟 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．跟踪训练3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．命题角度2 研究分段函数的性质例4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤2，x 2＋2，x >2.(1)求f (f (32))；(2)若f (x 0)＝8，求x 0的值； (3)解不等式f (x )>8.反思与感悟 已知函数值求变量x 取值的步骤 (1)先对x 的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出x 的解．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．(5)若解不等式，应把所求x 的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x 的值并起来．跟踪训练4 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象；(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围；(3)求f (x )的值域．1．已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________.2.，则此二次函数的解析式为______________．3．已知正方形的边长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为________． 4．如图所示，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为________．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值； (2)画出函数f (x )的图象．1．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．2．如何用函数图象常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题．3．对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．答案精析问题导学 知识点一思考 y ＝kx ＋b (k ≠0)． 知识点二思考 一图胜千言． 知识点三思考 对于任一个x 的值，都有一个他写的数字与之对应，故x ，y 之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x 的值与y 的值之间的对应关系． 知识点四思考 因为任一行驶里程x 都对应唯一的收费额y ，故y 是x 的函数；但由于起步价的规定，x ∈[0,2]时，y ＝5，x ∈(2，＋∞)时，y ＝5＋(x －2)×1.5.计费方法不一样．题型探究例1 解 (1)由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，ab ＋b ＝－1，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1＋ 2.∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－2或 f (x )＝－2x ＋1＋ 2.(2)∵f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＝(x ＋1x)2－2，∴f (x )＝x 2－2.又x ≠0，∴x ＋1x ≥2或x ＋1x≤－2，∴f (x )中的x 与f (x ＋1x )中的x ＋1x取值范围相同，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，∴联立以上两式消去f (－x )， 得3f (x )＝x 2－6x ， ∴f (x )＝13x 2－2x .跟踪训练1 解 (1)由题意， 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2. (3)∵f (x )＋2f (1x )＝x ，将原式中的x 与1x互换，得f (1x )＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )的方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f1x＝x ，f1x＋2f x ＝1x，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．例2 解 (1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜． 在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高． 跟踪训练2 1例3 解 过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H.因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ，所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ，又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm.(1)当点F 在BG 上，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上，即x ∈(2,5]时， y ＝x ＋x －22×2＝2x －2； (3)当点F 在HC 上，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt△CEF＝12(7＋3)×2－12(7－x )2 ＝－12(x －7)2＋10. 综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈，5]，－12x －2＋10，x ，7].图象如图所示：跟踪训练3 解 设票价为y 元，里程为x 公里，定义域为(0,20]．由题意得函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图象如图所示：例4 解 (1)∵32≤2，∴f (32)＝2×32＝3，∴f (f (32))＝f (3)．∵3＞2，∴f (3)＝32＋2＝11，即f (f (32))＝11.(2)当x 0≤2时，由2x 0＝8，得x 0＝4，不符合题意；当x 0>2时，由x 20＋2＝8，得x 0＝6或x 0＝－6(舍去)，故x 0＝ 6.(3)f (x )>8等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤2，2x >8，①或⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，x 2＋2>8，②解①得x ∈∅，解②得x > 6.综合①②，f (x )>8的解集为{x |x >6}．跟踪训练4 解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f (±12)＝14，结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是(－∞，－12]∪[12，＋∞)．(3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1.所以f (x )的值域为[0,1]．当堂训练1．1 2.f (x )＝(x －1)2－1 3.y ＝22x4．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ≤1，－x 2＋4x －2，1<x <3，x －2，x ≥35．解 (1)因为5>4，所以f (5)＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1.因为0<1<4，所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1.(2)f (x )的图象如图：本文档仅供文库使用。