高二数学复习思想方法
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《数学周报》大纲版高二第19-26期2006年11月运用数学思想方法 指导期末综合复习广东省陆丰市启恩中学(516500)林敏燕数学思想是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，只有掌握了数学思想方法，才算真正掌握了数学，所以数学思想应是学生必备的基本素质之一。
在数学复习的过程中,我们如果能及时地去归结一些常用的数学思想,就能提高数学复习的效率，提高自身的数学能力，就能为在高考中取得良好成绩打下坚实的基础。
本文结合典型例题，分类解析各种数学思想方法的运用，为同学们的复习提供指导作用。
一、数形结合的数学思想数形结合的思想是借助图形的性质来研究数量关系，或借助数量关系来研究图形性质，即利用“数”和“形”的相互转化来解决数学问题的常用方法. 它是一种重要且应用广泛的数学思想方法，它为代数问题和几何问题的相互转化架起一座桥梁，它具有直观性、灵活性、形象性等特点.例１(06陕西卷)已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(0<a<3),若x 1<x 2,x 1+x 2=1－a,则( ) A.f(x 1)<f(x 2) B.f(x 1)=f(x 2) C.f(x 1)>f(x 2) D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定解：函数f (x )=ax 2+2ax +4(0<a <3)，二次函数的图象开口向上，对称轴为1x =-，0<a <3，∴ x 1+x 2=1－a∈(－2，1)，x 1与x 2的中点在(－1，21)之间，x 1<x 2，∴ x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离，∴ f (x 1)<f (x 2) ，选A ．点评:判断二次函数的函数值的大小,一般要根据自变量到对称轴的距离的大小来比较.我们在处理二次函数的有关问题时,常常要借助它的图像来解决.例２（06湖南卷）已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .解：由⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，画出可行域，得交点，2)，B(3，4)，22y x +看22y x +的最小值是5.成是可行域内任意一点到原点的距离的平方,则点评:若出现形如22()()x a y b -+-的式子,可以看成是点(x,y)到点(a,b)的距离的平方,解题时不要忘了把距离平方.(备)例3设222x y +≤，则x y +的取值范围是 ．解:令a x y =+，把a x y =+看作是直角坐标系内的直线，则a 恰是该直线在y 轴上的截距．而222x y +≤的几何意义是点(,)x y 在圆域222x y +≤上移动．因此问题变为：当直线a x y =+经过圆域222x y +≤时，它在y 轴上的截距是什么？如图1，显然，当直线a x y =+与圆222x y +=相切时，它在y 轴上的截距分别取得最大值2和最小值2-，从而x y +的取值范围是[2,2]-．点评:令a x y =+，a 的几何意义是解题的关键，这种方法是解决线性规划问题的主要方法．但是要确保在使用时搞清楚不等式（组）的几何意义．例4(06上海卷)若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点， 则k 、b 分别应满足的条件是 ．解：作出函数21,0||11,0x x y x x x +≥⎧=+=⎨-+<⎩的图像，如右图所示：所以，0,(1,1)k b =∈-；点评:本题利用数形结合,巧妙地把一个代数问题转化为一个几何问题.若我们用纯代数方法来解方程,难度相当大.二、分类讨论的数学思想分类讨论思想是中学数学中较常用的思想方法,分类讨论思想在解决数学问题中随处可见，树立分类讨论思想,应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准应当统一，分类应不重复、不遗漏”。
例5（06山东卷）设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞）(C)（1，2）⋃ （10 ，+∞） (D)（1，2） 解：令12x e ->2（x <2），解得1<x <2;令23log (1)x ->2（x ≥2）解得x ∈（10，+∞）故选C点评:关于分段函数的不等式解法,必须进行分类讨论来解决.在分类讨论时,不要忘了前提条件. 例6经过点A （1，2），并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解：设直线在x 轴，y 轴上的截距分别为a 、b ，则|a|=|b|，即a=±b 若a=b=0，则直线方程为y=kx. ∵直线过A （1，2），∴k=2，∴直线方程为y=kx.若a ≠0，b ≠0，则直线方程为1=+bya x .∵直线过A （1，2），∴121=+ba ，若a=b ，则a=b=3，∴直线方程为x+y-3=0；若a=-b ，则a=-1，b=1，∴直线方程为x-y+1=0. ∴满足条件的直线有3条，故答案选C.点评：本题引起分类讨论的因素有两方面：一是直线是否过原点；二是|a|=|b|，则a=±b.容易漏解的原因是忽视直线过原点的情况。
(备)例7.设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围。
解：M ⊆［1，4］有2种情况：其一是M =∅，此时Δ＜0；其二是M ≠∅，此时Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围.设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2－a －2). (1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =∅［1，4］.(2)当Δ=0时，a =－1或2.当a =－1时M ={－1} ［1，4］；当a =2时，m ={2}［1，4］.(3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M =［x 1，x 2］，M ⊆［1，4］⇔1≤x 1＜x 2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0,410)4(,0)1(且且a f f . 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<>>->+-21071803a a a a a 或，解得：2＜a ＜718，∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718). 点评：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；M =∅是符合题设条件的情况之一，易遗漏；构造关于a 的不等式要全面、合理，防止出错.三、化归转化的数学思想化归转化思想是指运用某种手段或方法把待解决的较为生疏或较为复杂的问题转化归结为熟悉的规范性的问题来解决的思想方法。
在解题实践中，大部分试题的条件与目标的联系不明显，能否根据问题的特点和解题中出现的具体情况“随机应变”，调整思路，转换策落，是我们能否顺利解题的一个关键因素，也是思维灵活性的一个重要体现，强化解题过程中的应变能力，有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧。
例8（06四川卷）如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于12345,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ;解：如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，12,F F 分别是椭圆的两个焦点，则根据椭圆的对称性知，11711112||||||||2PF P F PF PF a +=+=，同理其余两对的和也是2a ，又41||P F a =， ∴ 1234567PF P F PF P F PF P F P F ++++++=7a =35 点评:本题把距离之和转化为一个椭圆的第一定义,巧妙地把一个陌生的问题转化为一个熟悉的问题,从而轻松地解决了问题.例9（2005天津卷理第20题）某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为 a ,tana=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大（不计此人的身高）解:由平面几何知识可知,过B,C 且与l 相切时,切点为此人所占位置观看塔的视角∠BPC 最大.延长PA 交CB 的的延长线于D,因为 tana=1/2, OA=200（米）,所以OD=100(米),设点P 距水平地面的高度为h,则AP=由圆幂定理可得:DP 2=DB ·DC,即:2)320400=⨯,∴h=60(米)点评:本题把一个复杂的应用题转化为一个简单的平面几何问题,大大地减少了计算量. (备)例10 (06重庆卷)若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为( ) （A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2解：若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=- 所以243a a b a b c+++-，22222114(44422)(4442)44a ab ac bc a ab ac bc bc a ab ac bc b c -=+++=+++++++++≤∴222)(2)a b c ++≤，则(2a b c ++)≥2，选D.点评:本题利用拆项,化归为基本不等式的证明.四、函数与方程的数学思想 函数思想，就是要善于用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数关系式或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题,转化问题和解决问题. 方程是已知量与未知量构成的矛盾统一体，是从已知探求未知的桥梁。
方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系.在处理不等式问题时，可以建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,从而使问题获得解决.在解决最值问题及求变量的取值范围时,常常要用到函数与方程的思想.例11过已知点)0,3(的直线l 与圆03622=+-++y x y x 相交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（其中O 为原点），求直线l 的方程.解：设直线l 的方程为03=-+ay x ，则点),(11y x P ，),(22y x Q 的坐标满足方程组⎩⎨⎧=-+=+-++.03,03622ay x y x y x 消去y 得0336)3(22=+-⋅-+-+axx a x x ， ∴191832221++-=⋅a a a x x . ①由方程组消去x ，得036)3()3(22=++-++-y ay y ay ， ∴115221+=a y y . ② 依题意知OQ OP ⊥，∴12211-=⋅x y x y ，即02121=+x x y y 由①、②知011519183222=++++-a a a a . 得0862=+-a a ， 解得2=a 或4=a .所求直线l 的方程为032=-+y x 或034=-+y x .点评：本题巧用根与系数的关系，列出02121=+x x y y ，进而求得方程.另外，在设方程时，过)0,3(的直线方程为03=-+ay x 可避免讨论.(备)例12直线m ：1+=kx y 和双曲线 122=-y x 的左支交于A 、B 两点，直线l 过点P （-2，0）和线段AB 的中点M ，求直线l 在y 轴上的截距b 取值范围．解：由⎩⎨⎧=-+=1122y x kx y （)1-≤x 消去y ，得022)1(22=++-kx x k ， ① ∵直线m 与双曲线的左支有两个交点， ∴方程 ①有两个不相等的负实数根．∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=<-=+>-+=∆0120120)1(8422122122k x x k k x x k k ∴ 1＜k ＜2 设Ｍ（),00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=200221011112k kx y k k x x x ，由Ｐ（－２，０），Ｍ)11,1(22k k k --， Ｑ（０，b ）三点共线，不难得出，2222++-=k k b 设817)41(222)(22+--=++-=k k k k ϕ∴)(k ϕ在（１，2）上为减函数， )1()()2(ϕϕϕ<<k 且)(k ϕ≠０ ∴－（２－2）＜)(k ϕ＜０或０＜)(k ϕ＜１ ，∴b ＜－２－2或b ＞２ 即l 在y 轴上的截距b 的取值范围为),2()22,(+∞---∞ ．点评:根据函数思想建立k 与b 的函数关系，根据方程思想求出b 的表达式，是解此题的两个关键问题．例13（06福建卷） 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。
