第 2 章-单输入单输出系统时域分析
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第二章 信号与系统的时域分析
17
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
《信号与系统》第2章
确定 P：将 yp(t) = P 代入微分方程
5 P 10 P 2
特解： y p ( t ) 2 全解： y ( t ) Ae t cos( 2 t ) 2 确定 A 和 θ ： y ( 0 ) A cos 2 3
y ( t ) Ae
t
t
t
y p ( t ) P1 e
( P1 t P1 P0 ) e
t
( P1 t 2 P1 P0 ) e
t
t
( P1 t 2 P1 P0 ) e
3 ( P1 t P1 P0 ) e
2 ( P1 t P0 ) e
t
t
bm f
( t ) b m 1 f
( t ) b1 f
b0 f (t )
或缩写为
i0
n
ai y
(i)
j0
m
bj f
( j)
ai 和 bj 均为常数， an = 1。
3
微分方程的全解的组成
•由齐次解和特解组成； •由自由响应和强迫响应组成； •由稳态响应和瞬态响应组成；
( Pr t Pr 1 t
r r 1
P1 t P0 ) e
t
9
微分方程经典解小结
• 关于齐次解：
– 解的一般形式为指数函数； – 若有多重特征根，则解为多项式与指数函数相乘； – 复根与实根的本质是相同的。
• 关于特解：
– 激励的形式主要有两种：指数函数与多项式； – 相应的响应也有两种形式：指数函数与多项式； – 当与特征根相重时，乘一多项式。
( n 1 )
( t ) a1 y
5 P 10 P 2
特解： y p ( t ) 2 全解： y ( t ) Ae t cos( 2 t ) 2 确定 A 和 θ ： y ( 0 ) A cos 2 3
y ( t ) Ae
t
t
t
y p ( t ) P1 e
( P1 t P1 P0 ) e
t
( P1 t 2 P1 P0 ) e
t
t
( P1 t 2 P1 P0 ) e
3 ( P1 t P1 P0 ) e
2 ( P1 t P0 ) e
t
t
bm f
( t ) b m 1 f
( t ) b1 f
b0 f (t )
或缩写为
i0
n
ai y
(i)
j0
m
bj f
( j)
ai 和 bj 均为常数， an = 1。
3
微分方程的全解的组成
•由齐次解和特解组成； •由自由响应和强迫响应组成； •由稳态响应和瞬态响应组成；
( Pr t Pr 1 t
r r 1
P1 t P0 ) e
t
9
微分方程经典解小结
• 关于齐次解：
– 解的一般形式为指数函数； – 若有多重特征根，则解为多项式与指数函数相乘； – 复根与实根的本质是相同的。
• 关于特解：
– 激励的形式主要有两种：指数函数与多项式； – 相应的响应也有两种形式：指数函数与多项式； – 当与特征根相重时，乘一多项式。
( n 1 )
( t ) a1 y
第二章 连续信号的时域分析
第二章连续信号的时域分析所谓信号的时域分析，指的是整个分析过程都在时间域内进行，分析过程中所有的信号都用以时间t为自变量的时间函数表达式或时间波形图表示。
本章首先介绍几个典型的连续时间信号，以及对这些信号的基本运算。
此外，连续信号的卷积积分也是信号与系统时域分析中的基本运算，本章将详细介绍卷积积分的定义及其运算方法。
2.1 基本要求1．基本要求♦了解基本的连续信号及其相关参数和描述；♦了解信号的基本运算；♦掌握阶跃信号和冲激信号的定义、性质及作用；♦掌握卷积积分的定义、性质及计算。
2．重点和难点♦冲激信号的定义及性质♦含有阶跃和冲激函数的信号的求导和求积分运算♦卷积积分的计算2.2 知识要点1．基本的连续信号了解正弦信号、实指数信号、复简谐信号、门信号及抽样函数信号的函数表达式、时间波形及其相关参数。
2．信号的基本运算从数学意义上看，系统对信号的处理和变换就是对信号进行一系列的运算。
一个复杂的运算可以分解为一些基本运算的组合。
本章主要了解信号的加减乘除运算、翻转平移和尺度变换、微积分等几种基本的运算。
所有运算既可以利用信号的时间函数表达式进行，也可以在时间波形图上进行运算。
注意与数学上相关运算的区别。
这里强调，作为信号基本运算之一的积分运算，运算结果得到的是一个新的以t 为自变量的函数，具体表示符号和定义为⎰∞--=tf t fττd )()()1( （2-1）3．阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号是对实际系统中的某类信号进行理想近似后得到的两个特殊信号，这两种信号用于描述一类特殊的物理现象，对于信号特性和系统性能的分析，起着十分重要的作用。
阶跃信号和冲激信号的时间波形如图2-1所示。
在信号与系统的分析过程中，经常利用阶跃函数将分段信号的时间函数表达式统一为一个解析表达式，以简化信号的运算。
利用阶跃函数还可以方便地表示因果、非因果信号等。
由于阶跃函数和冲激函数是两个特殊的函数，因此在进行求导和求积分等运算时，必须根据其定义和性质对函数表达式进行分析，以便化为普通函数的运算。
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
《信号与系统》第2章1
信号与系统讲稿
二. 系统模型的建立是有一定条件的：
1. 对于同一物理系统在不同条件之下，可以得到不 同形式的数学模型。（参考书中P29） 2. 对于不同的物理系统，经过抽象和近似有可能得到 形式上完全相同的数学模型。（参考书中P29）
建立数学模型
解数学模型
对解加于物理解释
三. 时域分析方法
时域分析：在分析过程中，所涉及到的函数都是时间的 函数。 （1） 经典方法：求解微分方程 （2） 卷积积分。（重点内容）
在 t = 0 时刻换开关，由于电感的电流不能跳变，所以： i( 0+ ) = i( 0 ) = 0 A
di(t ) 而i (0 ) dt
L 1 1 u ( t ) u L (t ) u L (0 ) L t 0 t 0 t 0 L
且u L (0 ) 20 u C (0 )
信号与系统讲稿
对于电阻，有信号就有可能发生跳变。 第一种情况：在没有冲激电流（或阶跃电压）强迫 作用于电容的情况下，电容两端电压uC( t )不发生跳变； 在没有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于电感的情 况下，流过电感的电流iL( t )不发生跳变。 即： uC( 0+ ) = uC( 0 )、iL( 0+ ) = iL( 0 ) 第二种情况：在有冲激电流（或阶跃电压）强迫作 用于电容以及有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于 电感时， uC(0)和iL( 0 )发生跳变，这种情况只能借助 于对微分方程在[ 0，0+ ]内取积分或用奇异函数平衡 法来决定。 （2） 利用方程和起始条件uC( 0 )、iL( 0 )，通过奇异 函数平衡法决定初始条件。
1 i R (t ) u R (t ) 或 u R (t ) R i R (t ) R
第2章连续系统的时域分析
信号与线性系统 令 t 0 ，可得
2.2 LTI连续系统的响应
1 uC (0 ) uC (0 ) C
0
0
iC ( )d 0
如果 iC ( t ) 为有限值，则
此时
0 0
iC ( )d 0
uC (0 ) uC (0 )
如果 iC ( t ) ( t ) ，则
y( t ) 2e
2 t
e
3 t
2 cos( t
4
),
t 0
瞬态响应
2-13
稳态响应
信号与线性系统
二、初始条件的确定
(1) t = 0＋与t = 0－的概念
认为换路在 t=0时刻进行
x(0 ) x(0 )
x(t)
0－ 0＋
：换路前一瞬间 ：换路后一瞬间
x(0 ) x(0 )
2-18
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
(3)初始条件的确定
这里我们介绍用冲激函数匹配法来确定 0 状态的
值，它的基本原理根据 t 0 时刻微分方程左右两端
的 ( t ) 及其各阶导数应该平衡相等。
2-19
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
例2-2：如果描述系统的微分方程为 y ( t ) 3 y ( t ) 3 ( t ) ，给 定 0 状态起始值为 y(0 ) ，确定它 0 的状态 y(0 ) 。
2-4
激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)
信号与线性系统 (1)齐次解是齐次微分方程
2.2 LTI连续系统的响应 的解。
y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
信号与线性系统分析第2章
t r ( Pmt m Pm1t m1 P 0的特征根） 1t P 0 )(有r重为
e t
cos t sin t
Pe t (不等于特征根） t （P t P )e (等于特征单根） 1 0
（Pr t r Pr 1t r 1 P0 )e t (等于r重特征根）
例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1) f1(t)* f2(t) = 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1) –2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1) 由于ε (t)* ε (t) = tε (t) 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1) –2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2)
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为t 的函数。
y zs (t )
f ( )h(t ) d f (t ) * ) d
▲ ■ 第 13 页
2 .任意信号作用下的零状态响应
f ( t) 根据h(t)的定义： δ(t)
LTI系统 零状态
yzs(t) h(t) h(t -τ) f (τ) h(t -τ)
由时不变性：
e t
cos t sin t
Pe t (不等于特征根） t （P t P )e (等于特征单根） 1 0
（Pr t r Pr 1t r 1 P0 )e t (等于r重特征根）
例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1) f1(t)* f2(t) = 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1) –2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1) 由于ε (t)* ε (t) = tε (t) 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1) –2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2)
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为t 的函数。
y zs (t )
f ( )h(t ) d f (t ) * ) d
▲ ■ 第 13 页
2 .任意信号作用下的零状态响应
f ( t) 根据h(t)的定义： δ(t)
LTI系统 零状态
yzs(t) h(t) h(t -τ) f (τ) h(t -τ)
由时不变性：
信号与系统第二章
2 B2 14 B1 6
解得
B1
21 50
, B2
3 50
u2(t)的特解为： u2 p t 21 cos 2t 3 sin 2t
50 50
全响应u2(t)为
u2 t u 2 h t u 2 p t A1e t A2 e 6t 21 3 cos 2t sin 2t 50 50
微分方程的建立
对于电系统，当结构参数已知时，可通过基尔霍夫电流 定律KCL和基尔霍夫电压定律KVL及元部件的伏安特性VAR 来建立方程。
VAR
电阻
iR (t )
R
uR (t ) RiR (t )
uR (t )
iR (t )
uR (t ) R
电感
iL (t )
L
uL (t )
diL (t ) uL (t ) L dt
对于连续时间系统，最常用的数学模型为高阶微分方程。
连续时间系统
微分方程
如果系统为单输入、单输出LTI系统，则可用下面的高阶常 n m 微分方程来描述 i j
C r t E e t
i 0 i j 0 i
式中，e(t)为输入激励量，又称强迫量；r(t)为输出响应 变量，是待求量；n是系统的阶数。这种描述系统的方法只 关心系统的输入信号和输出信号，而对系统内部的其他信号 的变化不关心，故称为输入－输出法。
特解的形式 系统微分方程的特解rp(t)就是系统的强迫响应，它只与激励 函数的形式有关。 几种典型激励函数e(t)及其所对应的特解rp(t)如表所示。选定 特解后，将其代入原微分方程，求出特解函数式中的待定系 数，就可得出特解rp(t)。 P46 表2-2
解得
B1
21 50
, B2
3 50
u2(t)的特解为： u2 p t 21 cos 2t 3 sin 2t
50 50
全响应u2(t)为
u2 t u 2 h t u 2 p t A1e t A2 e 6t 21 3 cos 2t sin 2t 50 50
微分方程的建立
对于电系统，当结构参数已知时，可通过基尔霍夫电流 定律KCL和基尔霍夫电压定律KVL及元部件的伏安特性VAR 来建立方程。
VAR
电阻
iR (t )
R
uR (t ) RiR (t )
uR (t )
iR (t )
uR (t ) R
电感
iL (t )
L
uL (t )
diL (t ) uL (t ) L dt
对于连续时间系统，最常用的数学模型为高阶微分方程。
连续时间系统
微分方程
如果系统为单输入、单输出LTI系统，则可用下面的高阶常 n m 微分方程来描述 i j
C r t E e t
i 0 i j 0 i
式中，e(t)为输入激励量，又称强迫量；r(t)为输出响应 变量，是待求量；n是系统的阶数。这种描述系统的方法只 关心系统的输入信号和输出信号，而对系统内部的其他信号 的变化不关心，故称为输入－输出法。
特解的形式 系统微分方程的特解rp(t)就是系统的强迫响应，它只与激励 函数的形式有关。 几种典型激励函数e(t)及其所对应的特解rp(t)如表所示。选定 特解后，将其代入原微分方程，求出特解函数式中的待定系 数，就可得出特解rp(t)。 P46 表2-2
第二章 时域离散信号和系统(数字信号处理)
第二章 时域离散信号和系统
6. 复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n 式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚 部表示如下式： x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于n取整数，下面等式成立： e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
第二章 时域离散信号和系统
图1.2.5 正弦序列
第二章 时域离散信号和系统
则要求N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的取
值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列 才是以N为周期的周期序列。
正弦序列有以下三种情况：
(1)当2π/ ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ ω0 为周期的周期序列。例如sin(π/8)n， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16,该正弦序列周期为16。
例 设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。
解 按照公式，
y (n )
m
R ( m) R ( n m)
4 4
上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩
形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非
令n-k=m，代入上式得到
u( n )
n
( m)
n
第二章 时域离散信号和系统
u(n) 1 „ n 0 1 2 3
单位阶跃序列
第二章 时域离散信号和系统
3. 矩形序列RN(n) 1, RN(n)= 0， 0≤n≤N-1 其它n
上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的
第二章 时域离散信号和系统
第2章 时域离散信号和系统
实验二-MATLAB用于时域分析
实验二 MATLAB用于时域分析一、实验目的通过使用MATLAB完成系统的输出响应分析、稳定性分析、求动态性能指标以及稳态误差分析等工作。
二、实验原理在MATLAB中，可以通过单输入单输出系统的传递函数，进行系统的脉冲响应，阶跃响应以及一般输入响应等时域分析。
用到以下函数：单位阶跃响应 step(num,den,t)单位脉冲响应impluse(num,den,t)一般输入响应 y=Isim(num,den,u,t)时间t是事先定义的矢量，u为输入信号。
此外，还可以求出系统的超调量，调节时间以及稳态误差。
SIMULINK是MATLAB的一个附加组件，用来提供一个系统的建模、动态仿真及综合分析的工作平台。
SIMULINK模型可以用来模拟线性或非线性、连续或离散，或者两者混合的系统，即可用它来模拟几乎所有的动态系统。
三、实验内容通过MATLAB以及其中的SIMULINK完成系统的输出响应分析、稳定性分析、求动态性能指标以及稳态误差分析等工作。
四、实验代码1、一阶系统响应sys1=tf([100],[1 0]);sys2=tf([0.1],[1]);sys=feedback(sys1,sys2);step(sys)2、二阶系统响应wn=1t=0:0.1:12;num=[1];zeta1=0;den1=[1 2*zeta1 1];zeta3=0.3;den3=[1 2*zeta3 1];zeta5=0.5;den5=[1 2*zeta5 1];zeta7=0.7;den7=[1 2*zeta7 1];zeta9=1.0;den9=[1 2*zeta9 1];[y1,x,t]=step(num,den1,t);[y3,x,t]=step(num,den3,t);[y5,x,t]=step(num,den5,t);[y7,x,t]=step(num,den7,t);[y9,x,t]=step(num,den9,t);plot(t,y1,t,y3,t,y5,t,y7,t,y9)grid on;3、稳定性分析den=[1 1 2 24];roots(den)4、求动态性能指标t=0:0.01:2;num=[1000]';den=[1 34.5 1000];[y,x,t]=step(num,den,t);plot(t,y);maxy=max(y);yes=y(length(t));pos=100*(maxy-yes)/yesfor i=1:1:201if y(i)==maxy,n=i;endendtp=(n-1)*0.01for i=1:1:201if(y(i)<1.05&y(i)>0.95),n=i;endbreak;endts=(n-1)*0.015、稳态误差分析t=0:0.1:15;[num1,den1]=cloop([1],[1 1]);[num2,den2]=cloop([1],[1 1 0]);[num3,den3]=cloop([4 1],[1 1 0 0]);y1=impulse(num1,den1,t);y2=impulse(num2,den2,t);y3=impulse(num3,den3,t);subplot(311);plot(t,y1);subplot(312);plot(t,y2);subplot(313);plot(t,y3);er1=0-y1(length(t))er2=0-y2(length(t))er3=0-y3(length(t))6、求单位阶跃响应及其稳态误差t=0:0.1:20[num1,den1]=cloop([1],[1 1]);[num2,den2]=cloop([1],[1 1 0]);[num3,den3]=cloop([4 1],[1 1 0 0]);y1=step(num1,den1,t);y2=step(num2,den2,t);y3=step(num3,den3,t);subplot(311);plot(t,y1);subplot(312);plot(t,y2);subplot(313);plot(t,y3);er1=1-y1(length(t));er2=1-y2(length(t));er3=1-y3(length(t));7、求单位斜坡响应及其稳态误差t=0:0.1:20;t1=0:0.1:100;[num1,den1]=cloop([1],[1 1]);[num2,den2]=cloop([1],[1 1 0]);[num3,den3]=cloop([4 1],[1 1 0 0]);y1=step(num1,[den1 0],t1);y2=step(num2,[den2 0],t);y3=step(num3,[den3 0],t);subplot(311);plot(t1,y1,t1,t1);subplot(312);plot(t,y2,t,t);subplot(313);plot(t,y3,t,t);er1=t1(length(t1))-y1(length(t1))er2=t(length(t))-y2(length(t))er3=t(length(t))-y3(length(t))8、实例分析kp=[0.11 6];t=[0:0.01:1];num1=303.03*kp(1);den1=[0.00001 0.00633 0.20167 21.21*kp(1)+1];y1=step(num1,den1,t);num2=303.03*kp(2);den2=[0.00001 0.00633 0.20167 21.21*kp(2)+1];y2=step(num2,den2,t);subplot(211);plot(t,y1);subplot(212);plot(t,y2);gtext('kp=0.11');gtext('kp=6');9、SIMULINK用于系统仿真五、实验结果1、一阶系统响应2、二阶系统响应3、稳定性分析4、求动态性能指标5、稳态误差分析6、求单位阶跃响应及其稳态误差7、求单位斜坡响应及其稳态误差8、实例分析9、SIMULINK用于系统仿真六、实验总结通过本次实验实现了用MATLAB完成系统的输出响应分析、稳定性分析、求动态性能指标以及稳态误差分析等工作。
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1 t e 2
1 t 2
3 3 3 3 sin( t ) c2 cos( t )u (t ) c1 (t ) c1 2 2 2 2
3 3 t ) c 2 sin( t )u (t ) c1 cos( 2 2
3c2 c1 c2 3c1 3 3 cos( t) sin( t )u(t ) c1 (t ) 2 2 2 2
y(t ) yzi (t ) yzs (t ) yzi (t ) x(t ) * h(t )
•求解齐次微分方程得到零输入响应
•利用卷积积分可求出零状态响应
3.变换域法: Laplace变换
2.2 经典时域分析法
s
y(t ) y n (t ) y f (t )
2.2 经典时域分析法 系统的自由响应yn(t)就是微分方程式的通解，即由
为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入响应和零
状态响应。仅由初始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程 得到；零状态响应可以按经典法求解初始条件为0的非齐次微分方程。
单位冲激响应和单位样值响应：连续系统和离散系统中非常重要的零状
态响应，在求解系统响应和系统特性分析是具有十分重要的作用。 为了求解系统的零状态响应，希望能够将任意复杂信号分解为简单激励
( 1 )( 2 )...( m )( c1 ) k1 ( c 2 ) k 2 ...( cp ) kp ( i ) ( j ) kj
i 1 j 1 m p
m
k
j 1
p
j
n
2.2 经典时域分析法：典型激励的特解形式
特征根的不同形式可以确定微分方程的通解。
（2-4）
这是个一元n次代数方程有n个根。根据微分方程式的
2.2 经典时域分析法：通解的常用形式
(1) 特征根为单实根α, 齐次解中应包括
s
Ae
t
(2) 特征根为 k 阶重实根,并令其等于α，即 α1= α 2== α k= α
( At 1
k 1
A2t
s
输入信号 E（常数） tm e (α 不是特征根)
αt
特解 A（常数） Amtm+ Am-1tm-1+…+ A1t+ A0 A e αt (A1t +A0)eαt (Amtm +Am-1tm-1+…+A1t +A0)eαt AsinΩ t+ BcosΩ t
特例
e (α 是单阶特征根)
αt
e (α 是 m 阶特征根)
2.2 经典时域分析法：不足之处
s
•若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。
•若激励信号发生变化，则须全部重新求解。
•若初始条件发生变化，则须全部重新求解。
•这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响
应的物理概念。
2.2 全响应
s
y (t ) y zi (t ) y zs (t )
系统的零输入响应是外加激励信号为零，仅由系统 的初始状态引起的响应。 当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产 生的响应称为系统的零状态响应。
2.2 连续系统响应求解方法
y ( n ) (t ) an1 y ( n1) (t ) a1 y (t ) a0 y(t ) bm x ( m) (t ) bm1 x ( m1) (t ) b1 x (t ) b0 x(t )
s
1. 经典时域分析方法: 2. 系统全响应=零输入响应+零状态响应
2 2A2 3(2A2t A1 ) 2( A2t 2 At A ) 2 t t 1 0
y(0 ) y(0 ) 1, y(0 ) y(0 ) 0
将初始值代入有
c1 c2 2 1
3c1 2c2 2 0
以上两式联立求解得 c1 4, c 2 7 ，故系统的响应 为：
y(t ) 4e
3t
7e
2t
2e
t
k 2
...Ak 1t Ak )e
t
(3) 特征根为一对共轭复根
t
j j
e (C cos t D sin t )
(4) 特征根为 k 阶共轭复根
(B1t k 1 B2t k 2 ...Bk 1t Bk )et (C cos t D sin t )
s
（2-3） d n yn (t ) d n 1 yn (t ) dyn (t ) an 1 a1 a0 yn (t ) 0 n n 1 dt dt dt
微分方程式的特征根来确定。
根据（2-3）式可以写出微分方程的特征方程：
n an1 n1 an2 n2 a1 a0 0
y n (t ) c1e 3t c2 e 2t
式中c1和c2为待定系数。
因为微分方程的右边为 e t ，故设微分方程的特解为： y f (t ) Aet
2.2
例
题
s
Ae 5 Ae 6 Ae 2 Ae
t t t t
将特解代入微分方程：
4e
t
4e
t
信号，单独激励后叠加得到复杂信号的响应。从而引出卷积概念。学习
了卷积运算后，可用卷积方法求解零状态响应。 在此基础上，通过类比的方法，建立离散时间系统的常系数差分方程，
并求解。
2.2 连续系统时域分析
d n y (t ) d n 1 y (t ) dy(t ) an 1 a1 a0 y (t ) n n 1 dt dt dt d m x(t ) d m 1 x(t ) dx(t ) bm b b b0 x(t ) m 1 1 m m 1 dt dt dt
有：
A 2
y (t ) y n (t ) y f (t )
于是微分方程的全解为：
c1e 3t c 2 e 2t 2e t
所以
dy(t ) 3c1e 3t 2c2 e 2t 2e t dt
2.2
例
题
s
因为在微分方程的右边没有冲激项，所以系统不会跳 变，即有
例
题
1 t 2
s
yn (t ) e 3 3 c cos u (t ) 2 t c2 sin 2 t 1
1
则微分方程的通解为：
式中c1和c2为待定系数。因为
1 2t y (t ) e 2
e
2.2
s
yzi (t ) ci e
i 1 m
it
d j ,l t
j 1 l 1
p
kj
k j l j t
e
m
k
j 1
p
j
n
待定系数的求解如前所述。
零状态响应yzs(t)是零初始条件下非齐次微分方程的全 解，这时微分方程的全解仍分为齐次解和特解两部分来求 解，其解法与前述方法相同，只是初始值为零。 零状态响应的求解还可以用卷积方法。
求系统的响应
2.2 例题
解：将已知条件（激励信号）代入微分方程得：
d 2 y (t ) dt 2 5 dy(t ) 6 y (t ) 4e t dt
s
2 由此可得特征方程： 5 6 0
这个特征方程有两个单阶实根，即 1 3 2 2 ，则 微分方程的通解为：
1 c 3c1 1 2 t 3c2 c1 3 3 y (t ) e cos( t ) 2 sin( t )u(t ) c1 (t ) 2 2 2 2 2
1 t e 2
3 2
3c2 c1 3c2 c1 3 3 c2 3c1 3 sin( t ) cos( t )u(t ) (t ) 2 2 2 2 2 2
整理后： c1 (t )
3c2 c1 (t ) (t ) (t ) 2
比较等式两边同类同次项系数得： c1 1, 于是系统的单位冲激响应为：
y(t )
1 t 2 e cos
3 c2 3
3 3 3 t sin t u(t ) 2 2 3
2.2 例
d 2 y (t ) dt 2
题
dy(t ) dx(t ) y (t ) x (t ) dt dt
s
（例2-2） 若系统的微分方程为：
求系统的单位冲激响应。 解：系统的冲激响应就是系统输入为单位冲激信号时系统
的输出（响应），既有 x(t ) (t ) ，微分方程可以写成：
ai和bi均为常数。
s
（2-1）
式中x(t)为系统输入激励，y(t)为系统的输出响应，n为微分方程的阶数，系数
y (t ) an1 y
(n)
( n 1)
(t ) a1 y (t ) a0 y(t )
bm x
( m)
(t ) bm1 x
( m 1)
(t ) b1 x (t ) b0 x(t )
3c2 c1 c2 3c1 3 3 cos( t ) sin( t )u(t ) c1 (t ) 2 2 2 2
将以上各式代入微分方程：
1 t e 2
1 t e 2
1 t 2 e c1 cos
3 3 t c2 sin t u(t ) (t ) (t ) 2 2
1 t 2
3 3 3 3 sin( t ) c2 cos( t )u (t ) c1 (t ) c1 2 2 2 2
3 3 t ) c 2 sin( t )u (t ) c1 cos( 2 2
3c2 c1 c2 3c1 3 3 cos( t) sin( t )u(t ) c1 (t ) 2 2 2 2
y(t ) yzi (t ) yzs (t ) yzi (t ) x(t ) * h(t )
•求解齐次微分方程得到零输入响应
•利用卷积积分可求出零状态响应
3.变换域法: Laplace变换
2.2 经典时域分析法
s
y(t ) y n (t ) y f (t )
2.2 经典时域分析法 系统的自由响应yn(t)就是微分方程式的通解，即由
为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入响应和零
状态响应。仅由初始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程 得到；零状态响应可以按经典法求解初始条件为0的非齐次微分方程。
单位冲激响应和单位样值响应：连续系统和离散系统中非常重要的零状
态响应，在求解系统响应和系统特性分析是具有十分重要的作用。 为了求解系统的零状态响应，希望能够将任意复杂信号分解为简单激励
( 1 )( 2 )...( m )( c1 ) k1 ( c 2 ) k 2 ...( cp ) kp ( i ) ( j ) kj
i 1 j 1 m p
m
k
j 1
p
j
n
2.2 经典时域分析法：典型激励的特解形式
特征根的不同形式可以确定微分方程的通解。
（2-4）
这是个一元n次代数方程有n个根。根据微分方程式的
2.2 经典时域分析法：通解的常用形式
(1) 特征根为单实根α, 齐次解中应包括
s
Ae
t
(2) 特征根为 k 阶重实根,并令其等于α，即 α1= α 2== α k= α
( At 1
k 1
A2t
s
输入信号 E（常数） tm e (α 不是特征根)
αt
特解 A（常数） Amtm+ Am-1tm-1+…+ A1t+ A0 A e αt (A1t +A0)eαt (Amtm +Am-1tm-1+…+A1t +A0)eαt AsinΩ t+ BcosΩ t
特例
e (α 是单阶特征根)
αt
e (α 是 m 阶特征根)
2.2 经典时域分析法：不足之处
s
•若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。
•若激励信号发生变化，则须全部重新求解。
•若初始条件发生变化，则须全部重新求解。
•这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响
应的物理概念。
2.2 全响应
s
y (t ) y zi (t ) y zs (t )
系统的零输入响应是外加激励信号为零，仅由系统 的初始状态引起的响应。 当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产 生的响应称为系统的零状态响应。
2.2 连续系统响应求解方法
y ( n ) (t ) an1 y ( n1) (t ) a1 y (t ) a0 y(t ) bm x ( m) (t ) bm1 x ( m1) (t ) b1 x (t ) b0 x(t )
s
1. 经典时域分析方法: 2. 系统全响应=零输入响应+零状态响应
2 2A2 3(2A2t A1 ) 2( A2t 2 At A ) 2 t t 1 0
y(0 ) y(0 ) 1, y(0 ) y(0 ) 0
将初始值代入有
c1 c2 2 1
3c1 2c2 2 0
以上两式联立求解得 c1 4, c 2 7 ，故系统的响应 为：
y(t ) 4e
3t
7e
2t
2e
t
k 2
...Ak 1t Ak )e
t
(3) 特征根为一对共轭复根
t
j j
e (C cos t D sin t )
(4) 特征根为 k 阶共轭复根
(B1t k 1 B2t k 2 ...Bk 1t Bk )et (C cos t D sin t )
s
（2-3） d n yn (t ) d n 1 yn (t ) dyn (t ) an 1 a1 a0 yn (t ) 0 n n 1 dt dt dt
微分方程式的特征根来确定。
根据（2-3）式可以写出微分方程的特征方程：
n an1 n1 an2 n2 a1 a0 0
y n (t ) c1e 3t c2 e 2t
式中c1和c2为待定系数。
因为微分方程的右边为 e t ，故设微分方程的特解为： y f (t ) Aet
2.2
例
题
s
Ae 5 Ae 6 Ae 2 Ae
t t t t
将特解代入微分方程：
4e
t
4e
t
信号，单独激励后叠加得到复杂信号的响应。从而引出卷积概念。学习
了卷积运算后，可用卷积方法求解零状态响应。 在此基础上，通过类比的方法，建立离散时间系统的常系数差分方程，
并求解。
2.2 连续系统时域分析
d n y (t ) d n 1 y (t ) dy(t ) an 1 a1 a0 y (t ) n n 1 dt dt dt d m x(t ) d m 1 x(t ) dx(t ) bm b b b0 x(t ) m 1 1 m m 1 dt dt dt
有：
A 2
y (t ) y n (t ) y f (t )
于是微分方程的全解为：
c1e 3t c 2 e 2t 2e t
所以
dy(t ) 3c1e 3t 2c2 e 2t 2e t dt
2.2
例
题
s
因为在微分方程的右边没有冲激项，所以系统不会跳 变，即有
例
题
1 t 2
s
yn (t ) e 3 3 c cos u (t ) 2 t c2 sin 2 t 1
1
则微分方程的通解为：
式中c1和c2为待定系数。因为
1 2t y (t ) e 2
e
2.2
s
yzi (t ) ci e
i 1 m
it
d j ,l t
j 1 l 1
p
kj
k j l j t
e
m
k
j 1
p
j
n
待定系数的求解如前所述。
零状态响应yzs(t)是零初始条件下非齐次微分方程的全 解，这时微分方程的全解仍分为齐次解和特解两部分来求 解，其解法与前述方法相同，只是初始值为零。 零状态响应的求解还可以用卷积方法。
求系统的响应
2.2 例题
解：将已知条件（激励信号）代入微分方程得：
d 2 y (t ) dt 2 5 dy(t ) 6 y (t ) 4e t dt
s
2 由此可得特征方程： 5 6 0
这个特征方程有两个单阶实根，即 1 3 2 2 ，则 微分方程的通解为：
1 c 3c1 1 2 t 3c2 c1 3 3 y (t ) e cos( t ) 2 sin( t )u(t ) c1 (t ) 2 2 2 2 2
1 t e 2
3 2
3c2 c1 3c2 c1 3 3 c2 3c1 3 sin( t ) cos( t )u(t ) (t ) 2 2 2 2 2 2
整理后： c1 (t )
3c2 c1 (t ) (t ) (t ) 2
比较等式两边同类同次项系数得： c1 1, 于是系统的单位冲激响应为：
y(t )
1 t 2 e cos
3 c2 3
3 3 3 t sin t u(t ) 2 2 3
2.2 例
d 2 y (t ) dt 2
题
dy(t ) dx(t ) y (t ) x (t ) dt dt
s
（例2-2） 若系统的微分方程为：
求系统的单位冲激响应。 解：系统的冲激响应就是系统输入为单位冲激信号时系统
的输出（响应），既有 x(t ) (t ) ，微分方程可以写成：
ai和bi均为常数。
s
（2-1）
式中x(t)为系统输入激励，y(t)为系统的输出响应，n为微分方程的阶数，系数
y (t ) an1 y
(n)
( n 1)
(t ) a1 y (t ) a0 y(t )
bm x
( m)
(t ) bm1 x
( m 1)
(t ) b1 x (t ) b0 x(t )
3c2 c1 c2 3c1 3 3 cos( t ) sin( t )u(t ) c1 (t ) 2 2 2 2
将以上各式代入微分方程：
1 t e 2
1 t e 2
1 t 2 e c1 cos
3 3 t c2 sin t u(t ) (t ) (t ) 2 2