2.2.1向量的加法

③当两个非零向量a与b反向且|a|<|b|时(如图2),则a+b与b方向相同 (与a方向相反),且|a+b|=||a|-|b||. ④当两个向量a与b中至少有一个为0时,则必有|a+b|=|a|+|b|=||a||b||. 综上可知任意两个向量a,b恒有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
uuur uuur 则飞机飞行的路程指的是| AB |+| BC |;
uuur uuur uuur 两次飞行的位移的和指的是 AB + BC = AC .
uuur uuur 依题意,有| AB |+| BC |=800+800=1 600(km), 又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,
新知导学 课堂探究
新知导学·素养养成
1.向量加法的定义 定义:求两个向量 和 的运算,叫做向量的加法. 对于零向量与任一向量a,规定0+a=a+ 0 = a .
2.向量求和的法则
三角形 法则
法则
前提 作法
结论
已知非零向量a,b,在平面内任取一点A
uuur uuur
uuur
作 AB =a, BC =b,再作向量 AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (1)解析:a=( AB + CD )+( BC + DA )= AB + BC + CD + DA =0, 所以 0∥b,①正确;0+b=b,③正确;|0+b|=|0|+|b|,⑤正确.故选 C.
uuur uuur uuur (2)化简:① AB + CD + BC ;

【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.

DC a, BC b
AC AB BC a b AC AD DC b a
A a B D
b a+b
b
a C
a b b a
探究
结合律： (a b) c a (b c)
b A B
a
c
O
C
例如：
(a b) (c d ) (b d ) (a c) a b c d e [d (a c) (b e)]
上海
台北
香港
O
上海
OA+AB=OB a
台北
a + b = OB
B
b A 香港
向量的加法
定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
a b
C
作法： 1在平面内任取一点A
a+b A B
2作AB a, BC b
3则向量AC a b
a+b=AB+BC=AC 首 两个向量的和仍然是一个向量 尾 顺 三角形法则 次 相 作平移,首尾连，由起点指终点 连
海里到达B处,再由B处沿正北方向行驶40海里到达 C处.求此时轮船与A港的相对位置.
解：如图，设AB、 BC分别表示轮船的两次位 移， 则 AC表示 轮船的合位移 ，AC AB BC。 在Rt△ ADB中, ADB 90, ADB 30, | AB | 40 n mile，
b a D b A a+b a C b A a+b C a a
B
B
D
两个向量的和仍然是向量，那么它的大小和方向怎样呢？
探究
a， b 与 a b 的关系：
A a b

课后训练1．已知非零向量a ，b ，c ，则向量(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(b ＋a )，c ＋(a ＋b )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 2．若AB ＝8，AC ＝5，则BC 的取值范围是( )．A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)3．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )．A ．AB CD = ，BC AD = B ．AD OD DA += C ．AO OD AC CD +=+ D ．AB BC CD DA ++= 4．向量a ，b 皆为非零向量，下列说法中不正确的是( )．A ．向量a 与b 反向，且|a |＞|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．向量a 与b 反向，且|a |＜|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同5．若正方形ABCD 的边长为1，AB ＝a ，BC ＝b ，AC ＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( )． A ．0 B ．3C D ．6．向量()()AB MB BO BC OM ++++ 化简后等于________． 7．已知OA OB = ＝1，且∠AOB ＝60°，则OA OB + ＝________．78．已知P 为△ABC 所在平面内一点，当PA PB PC += 成立时，点P 位于________．①△ABC 的AB 边上 ②△ABC 的BC 边上 ③△ABC 的内部 ④△ABC 的外部9．如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC ． 求证：AB AC AP AQ +=+ ．10．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h ．(1)若此船沿着与水流垂直的方向行驶，你知道船的实际航行速度的大小与方向吗？(2)如果此船实际向南偏西30°方向行驶2 km ，然后又向西行驶2 km ，你知道此船在整个过程中的位移吗？参考答案1答案：D2答案：C3答案：C4答案：B5答案：D6答案：AC7答案：38答案：4答案：49答案：略10答案：(1)船的实际航行速度的大小为km/h，方向与水流方向成45°角(2)方向是南偏西60°，位移的大小为km。