浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷)

2014年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题共有13题，满分52分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）＝．2．（4分）不等式的解是．3．（4分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n﹣1+3，（n≥2，n∈N*），则a n＝．4．（4分）已知tanα、tanβ是方程x2+6x+7＝0的两根，则tan（α+β）＝．5．（4分）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是．6．（4分）已知函数的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（12）＝．7．（4分）已知复数z1＝2+i，z2＝a+3i（a∈R），z1•z2是实数，则|z1+z2|＝．8．（4分）二项式的展开式中，含x3的项的系数是．9．（4分）在锐角△ABC中，AC＝4，BC＝3，三角形的面积等于，则AB 的长为．10．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．11．（4分）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．12．（4分）用|S|表示集合S中的元素的个数，设A、B、C为集合，称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A、B、C满足|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1，且A ∩B∩C＝∅，则称有序三元组（A，B，C）为最小相交．由集合{1，2，3，4}的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为．13．（4分）已知函数y＝f（x），x∈N*，y∈N*，对任意n∈N*都有f[f（n）]＝3n，且f（x）是增函数，则f（3）＝．二、选择题（本大题共有4题，满分24分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.14．（6分）设a，b∈R，a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．a2＞ab D．2a＞2b 15．（6分）方程log5x＝|sin x|的解的个数为（）A．1B．3C．4D．516．（6分）已知函数，则＝（）A．2010B．2011C．2012D．2013 17．（6分）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，若，则（）A．0＜m+n＜1B．m+n＞1C．m+n＜﹣1D．﹣1＜m+n＜0三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝2（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角C﹣SA﹣D的大小．19．（14分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D（分贝）由公式D＝algI+b（a、b为非零常数）给出，其中I（W/cm2）为声音能量．（1）当声音强度D1，D2，D3满足D1+2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为10﹣13W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10﹣12W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．20．（14分）如图，设是单位圆上一点，一个动点从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B，t秒时动点到达点P．设P（x，y），其纵坐标满足．（1）求点B的坐标，并求f（t）；（2）若0≤t≤6，求的取值范围．21．（16分）已知实数a＞0，函数．（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；（2）当a＝1时，判断f（x）的单调性，并说明理由；（3）求实数a的范围，使得对于区间上的任意三个实数r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．22．（18分）设项数均为k（k≥2，k∈N*）的数列{a n}、{b n}、{c n}前n项的和分别为S n、T n、U n．已知集合{a1，a2，…，a k，b1，b2，…，b k}＝{2，4，6，…，4k﹣2，4k}．（1）已知，求数列{c n}的通项公式；（2）若（1≤n≤k，n∈N*），试研究k＝4和k≥6时是否存在符合条件的数列对（{a n}，{b n}），并说明理由；（3）若，对于固定的k，求证：符合条件的数列对（{a n}，{b n}）有偶数对．2014年上海市浦东新区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有13题，满分52分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）＝．【解答】解：∵，∴原式＝＝．故答案为：．2．（4分）不等式的解是0＜x＜1（或（0，1））．【解答】解：∵，∴或，解得0＜x＜1，∴不等式的解是0＜x＜1（或（0，1））．故答案为：0＜x＜1（或（0，1））．3．（4分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n﹣1+3，（n≥2，n∈N*），则a n＝3n﹣2．【解答】解：在数列{a n}中，由，得，∴数列{a n}是以3为公差的等差数列，又a1＝1，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．故答案为：3n﹣2．4．（4分）已知tanα、tanβ是方程x2+6x+7＝0的两根，则tan（α+β）＝1．【解答】解：∵tanα、tanβ是方程x2+6x+7＝0的两根，∴由一元二次方程根与系数的关系，得tanα+tanβ＝﹣6，tanα•tanβ＝7．由此可得tan（α+β）＝＝＝1．故答案为：15．（4分）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是30．【解答】解：∵甲校，乙校，丙校的学生的人数之比为：3600：5400：1800＝2：3：1，∴抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数为：，故答案为：30．6．（4分）已知函数的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（12）＝log23．【解答】解：＝1×4x﹣（﹣1）×2x＝4x+2x，令f（x）＝12，即4x+2x＝12，即（2x﹣3）（2x+4）＝0，解得：2x＝3即x＝log23，根据f（a）＝b，则f﹣1（b）＝a，可知f﹣1（12）＝log23．故答案为：log23．7．（4分）已知复数z1＝2+i，z2＝a+3i（a∈R），z1•z2是实数，则|z1+z2|＝．【解答】解：z1•z2＝（2+i）（a+3i）＝2a﹣3+（6+a）i是实数，∴6+a＝0，解得a＝﹣6．∴z2＝﹣6+3i．∴z1+z2＝（2+i）+（﹣6+3i）＝﹣4+4i．∴|z1+z2|＝|﹣4+4i|＝＝．故答案为：．8．（4分）二项式的展开式中，含x3的项的系数是﹣126．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•x18﹣2r•（﹣1）r•x ﹣r＝（﹣1）r••x18﹣3r，令18﹣3r＝3，求得r＝5，故含x3的项的系数是﹣＝﹣126，故答案为：﹣126．9．（4分）在锐角△ABC中，AC＝4，BC＝3，三角形的面积等于，则AB的长为．【解答】解：∵在锐角△ABC中，AC＝b＝4，BC＝a＝3，三角形的面积等于3，∴ab sin C＝3，即sin C＝，∵C为锐角，∴cos C＝＝，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝16+9﹣12＝13，解得：AB＝c＝．故答案为：10．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于15π．【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h＝4，∴圆锥的母线长l＝，∴圆锥的侧面积S＝πrl＝3×5π＝15π，故答案为：15π．11．（4分）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．【解答】解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，当ξ＝0时，表示没有选到女生；当ξ＝1时，表示选到一个女生；当ξ＝2时，表示选到2个女生，∴P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，∴Eξ＝0×＝．故答案为：12．（4分）用|S|表示集合S中的元素的个数，设A、B、C为集合，称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A、B、C满足|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1，且A ∩B∩C＝∅，则称有序三元组（A，B，C）为最小相交．由集合{1，2，3，4}的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为96．【解答】解：∵|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1，∴设A∩B＝{x}，B∩C＝{y}，C∩A＝{z}，∵A∩B∩C＝∅，且x，y，z∈{1，2，3，4}，∴①集合{1，2，3，4}中的子集含有4个元素时，∴从1，2，3，4四个元素选3个有＝4种方法，将3个元素进行全排列有＝3×2＝6种，剩余的一个元素可以分别放入集合A，B，C，有3种，∴此时共有3×4×6＝72种．②集合{1，2，3，4}中的子集含有3个元素时，满足集合A，B，C中都只有一个元素．∴从1，2，3，4四个元素选3个有＝4种方法，将3个元素进行全排列有＝3×2＝6种，∴此时共有4×6＝24种．综上共有72+24＝96个．故答案为：96．13．（4分）已知函数y＝f（x），x∈N*，y∈N*，对任意n∈N*都有f[f（n）]＝3n，且f（x）是增函数，则f（3）＝6．【解答】解：令f（1）＝a，∵对任意n∈N*都有f[f（n）]＝3n，故有a≠1，否则，可得f[f（1）]＝f（1）＝1，这与f[f（1）]＝3×1＝3矛盾．从而a＞1，而由f（f（1））＝3，即得f（a）＝3．∵f（x）是增函数，∴f（a）＞f（1）＝a，即a＜3，于是得到1＜a＜3．又a∈N*，从而a＝2，即f（1）＝2．而由f（a）＝3知，f（2）＝3．于是f（3）＝f（f（2））＝3×2＝6，故答案为：6．二、选择题（本大题共有4题，满分24分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.14．（6分）设a，b∈R，a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．a2＞ab D．2a＞2b【解答】解：考察指数函数y＝2x在R上单调递增，∵a＞b，∴2a＞2b．故选：D．15．（6分）方程log5x＝|sin x|的解的个数为（）A．1B．3C．4D．5【解答】解：∵log5x＝|sin x|，∴设函数y＝log5x和y＝|sin x|，在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：∵当log5x＝|sin x|＝1，∴x＝5，∴由图象可知两个函数的交点个数为3个．故方程根的个数为3．故选：B．16．（6分）已知函数，则＝（）A．2010B．2011C．2012D．2013【解答】解：∵已知函数，∴f（）＝＝，∴f（x）+f（）＝1．则＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）+…+[f（2014）+f（）]＝+1+1+…+1＝+2013×1＝2013，故选：D．17．（6分）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，若，则（）A．0＜m+n＜1B．m+n＞1C．m+n＜﹣1D．﹣1＜m+n＜0【解答】解：∵点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，∴不妨取∠AOB＝120°，∠AOC＝∠BOC＝60°，此时四边形AOBC为菱形，则＝+，又∵，∴m＝n＝1，则m+n＝2，从而可排除A，C，D选项，故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝2（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角C﹣SA﹣D的大小．【解答】（1）证明：连接BD，∵SD⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD∴AC⊥SD…（4分）又四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD∴AC⊥平面SBD∴AC⊥SB．…（6分）（2）解：设SA的中点为E，连接DE、CE，∵SD＝AD，CS＝CA，∴DE⊥SA，CE⊥SA．∴∠CED是二面角C﹣SA﹣D的平面角．…（9分）∵SD＝AD＝2，∴DE＝，CE＝，CD＝2，∴CD⊥DE，∴，∴∴所求二面角的大小为．…（12分）19．（14分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D（分贝）由公式D＝algI+b（a、b为非零常数）给出，其中I（W/cm2）为声音能量．（1）当声音强度D1，D2，D3满足D1+2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为10﹣13W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10﹣12W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．【解答】解：（1）∵D1+2D2＝3D3，∴algI1+b+2（algI2+b）＝3（algI3+b），∴lgI1+2lgI2＝3lgI3，∴I1•＝；（2）由题意得，解得：，∴100＜10lgI+160＜120，解得：10﹣6＜I＜10﹣4，答：当声音能量I∈（10﹣6，10﹣4）时，人会暂时性失聪．20．（14分）如图，设是单位圆上一点，一个动点从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B，t秒时动点到达点P．设P（x，y），其纵坐标满足．（1）求点B的坐标，并求f（t）；（2）若0≤t≤6，求的取值范围．【解答】解：（1）当t＝2时，，∴∴，点B的坐标是（0，1）…（2分）又t秒时，…（4分）∴．…（6分）（2）由，B（0，1），得，又，∴，…（8分）∴＝＝…（10分）∵0≤t≤6，∴，∴…（12分）∴，的取值范围是…（14分）21．（16分）已知实数a＞0，函数．（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；（2）当a＝1时，判断f（x）的单调性，并说明理由；（3）求实数a的范围，使得对于区间上的任意三个实数r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（﹣1，1），且f（x）为偶函数．（1）a＝1时，…（2分）∴x＝0时，最小值为2．…（4分）（2）a＝1时，∴x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（﹣1，0]时，f（x）递减；…（6分）由于f（x）为偶函数，∴只对x∈[0，1）时，说明f（x）递增．设0≤x1＜x2＜1，∴，得∴x∈[0，1）时，f（x）递增；…（10分）（3）设，则∵，∴，∴从而原问题等价于求实数a的范围，使得在区间上，恒有2y min＞y max．…（11分）①当时，在上单调递增，∴，由2y min＞y max得，从而；…（12分）②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴，由2y min＞y max得，从而；…（13分）③当时，在上单调递减，在上单调递增，∴y min＝2，y max＝a+1，由2y min＞y max得，从而；…（14分）④当a≥1时，在上单调递减，∴，由2y min＞y max得，从而；…（15分）综上，．…（16分）22．（18分）设项数均为k （k ≥2，k ∈N *）的数列{a n }、{b n }、{c n }前n 项的和分别为S n 、T n 、U n ．已知集合{a 1，a 2，…，a k ，b 1，b 2，…，b k }＝{2，4，6，…，4k ﹣2，4k }． （1）已知，求数列{c n }的通项公式；（2）若（1≤n ≤k ，n ∈N *），试研究k ＝4和k ≥6时是否存在符合条件的数列对（{a n }，{b n }），并说明理由； （3）若，对于固定的k ，求证：符合条件的数列对（{a n }，{b n }）有偶数对． 【解答】解：（1）已知，当n ＝1时，c 1＝U 1＝4． 当n ≥2时，，经验证c 1＝4不适合上式， 故；（2），当n ＝1时，a 1﹣b 1＝S 1﹣T 1＝4，当n ≥2时，a n ﹣b n ＝（S n ﹣S n ﹣1）﹣（T n ﹣T n ﹣1）＝（S n ﹣T n ）﹣（S n ﹣1﹣T n ﹣1）＝2n +2n ﹣2（n ﹣1）﹣2n ﹣1＝2+2n ﹣1， 当k ＝4时，a 1﹣b 1＝4，a 2﹣b 2＝4，a 3﹣b 3＝6，a 4﹣b 4＝10， {a 1，a 2，a 3，a 4，b 1，b 2，b 3，b 4}＝{2，4，6，8，10，12，14，16} 数列{a n }、{b n }可以为（不唯一）： ①6，12，16，14；2，8，10，4； ②16，10，8，14；12，6，2，4． 当k ≥6时，＝＝（k﹣1）（k﹣4）+4k＞4k此时a k不存在．故数列对（{a n}，{b n}）不存在；（3）令d n﹣e n＝（4k+2﹣b n）﹣（4k+2﹣a n）＝a n﹣b n＝2n，又{a1，a2，…，a k，b1，b2，…，b k}＝{2，4，6，…，4k}，得{4k+2﹣a1，4k+2﹣a2，…，4k+2﹣a k，4k+2﹣b1，4k+2﹣b2，…，4k+2﹣b k}＝{2，4，6，…，4k}，∴数列对（{a n}，{b n}）与（{d n}，{e n}）成对出现．假设数列{a n}与{d n}相同，则由d2＝4k+2﹣b2＝a2及a2﹣b2＝4，得a2＝2k+3，b2＝2k﹣1，均为奇数，矛盾．故符合条件的数列对（{a n}，{b n}）有偶数对．。

上海市浦东新区2014年高考预测（二模）数学（理）试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知全集{}U=1,2,3,4,5，若集合{}A=2,3，则U A ð=__{}1,4,5___2. 双曲线221916x y -=的渐近线方程为 43y x =± .3.函数()31cos 4sin x x x f =的最大值为__5_____4.已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a =13. 5.函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y f x -=+的图像一定过点___(2,3)-___.6. 已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项的和n S =__23522n n -___.7.π，则球的体积为 __323π__ ． 8.(理) 一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为_____0.989.设a R ∈，8(1)ax -的二项展开式中含3x 项的系数为7，则2lim()nn a a a →∞+++=L __13-__． 10.(理)在平面直角坐标系xoy 中,若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆3cos C :2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点,则常数a =_3__.11.(理)已知随机变量ξ的分布列如右表，若3E ξ=，则D ξ=__1 ．12.在ABC ∆中, 角B 所对的边长6b =,ABC ∆的面积为15,外接圆半径R 5=，则A B C ∆的周长为_____6+13．抛物线24(0)y mx m =>的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(,0)m -，则PF PA的最小值为2. 14.(理)已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3，值域为集合{}1,2,3,4的非空真子集，设点()A 1,(1)f ，()B 2,(2)f ，()C 3,(3)f ，ABC ∆的外接圆圆心为M ，且MA MC MB()R λλ+=∈uuu r uuu r uuu r，则满足条件的函数()f x 有＿12＿个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. “1x >”是“11x<”的( A ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16. （理）已知z x yi =+，,x y R ∈， i 是虚数单位.若复数+1zi i+是实数，则z 的最小值为( D )（A ）0 （B ）52（C ） 5 （D 17.能够把椭圆2214x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是．．椭圆的“可分函数”为（ D ） （A ）3()4f x x x =+（B ）5()ln 5x f x x -=+（C ）()arctan 4x f x =（D ）()x xf x e e -=+ 18. （理）方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ B ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.（理）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，4ABC π∠=，D 、M 、N 分别是1CC 、11A B 、BC 的中点.（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小；（2）求点M 到平面ADN 之间的距离.解：（1）设AB 的中点为E ，连接EN ，则//EN AC ，且12EN AC =，所以MNE ∠或其补角即为异面直线MN 与AC 所成的角。

小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导 /wxxlhjy QQ:157171090
无锡新领航教育特供：浦东新区2012学年度第一学期期末质量
测试
高三数学试卷（理科） 2013.1
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．若集合{}{}{}0,,0,2,0,1,2
A m
B A B ===U ，则实数=m . 【答案】1
【解析】因为{}0,1,2A B =U ，所以1A ∈，即1m =.
2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的增广矩阵是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-311111，则此方程组的解是 【答案】2
.1x y =⎧⎨=⎩
【解析】由题意可知方程组为1
3x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得2.
1x y =⎧⎨=⎩.
3．函数)2(log 2-=x y 的定义域为 .
【答案】),3[+∞
【解析】要使函数有意义，则有2log (2)0
x -≥，即21x -≥，所以3x ≥，即函数
)2(lo g 2-=x y 的定义域为),3[+∞. 4．已知,x y R ∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 【答案】1
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【解析】因为41x y +=≥116xy ≤，当且仅当142x y ==，即11,28
x y ==时取等号，所以
x y ⋅的最大值为116. 5
．函数1y =+0≥x ）的反函数是 .。