士兵考军校数学模拟试题(2020年整理).pdf

军考真题数学完整版大学生士兵考军校，军考数学，军考资料一、单项选择 ( 每小题 4 分，共 36 分) ．1. 设集合 A = { y | y=2 x ，x ∈R } ， B = { x | x 2 ﹣ 1 ＜ 0 } ，则A ∪B = ( )A ．(﹣ 1 ， 1 )B ．( 0 ， 1 )C ．(﹣ 1 ，+∞ ) D．( 0 ，+∞ )2. 已知函数 f ( x ) =a x + log a x ( a ＞ 0 且 a ≠1 ) 在 [ 1 ， 2 ] 上的最大值与最小值之和为( log a 2 ) + 6 ，则 a 的值为( )A ．B ．C ． 2D ． 43. 设是向量，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4 ．已知，则( )A ． b<a<cB ． a<b<cC ． b<c<aD ． c<a<b5. 设 F 为抛物线 C ： y 2 =3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A ， B 两点， O 为坐标原点，则 △ OAB 的面积为( )6. 设数列 { a n} 是首项为 a 1 、公差为 -1 的等差数列， S n 为其前 n 项和，若 S 1 ， S 2 ， S 4 成等比数列，则 a 1 = ( )7. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球， 5 个红球．从袋中 任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球的概率为( )A ．B ．C ．D ． 18. 已知 A ， B ， C 点在球 O 的球面上， ∠ BAC=90° ， 平面 ABC 的距离为 1 ，则球 O 的表面积为( )A ． 12πB ． 16πC ． 36πD ． 20πAB=AC=2 ．球心 O 到 ，则 = ( )A. B.1 C.C ．﹣ 2 A ． 2D ．﹣B ． A ． D ．C ． B ． .D 9. 已知，二、 填空题 ( 每 小题 4 分 ， 共 32 分)11 . 设 tan α ， tan β 是方程 x 2 ﹣ 3x +2=0 的两个根，则 tan ( α + β )的值 为 ．12 . 已知 A 、 B 为双曲线 E 的左右顶点，点 M 在 E 上， △ ABM 为等腰三角形， 且顶角为 120° ，则 E 的离心率为 ．15 . 我国第一艘航母 “辽宁舰 ” 在某次舰载机起降飞行训练中，有 5 架 “歼 ﹣ 15” 飞机准备着舰，如果甲、 乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么 不同的着舰方法数是 _______ 。

武警士兵考军校军考模拟题：数学部分（六）武警士兵考军校军考模拟题：数学部分（六）关键词：武警考军校军考模拟题京忠教育军考数学武警考试资料x2y231（2021-21）（12分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率是，直线l:y?x?2ab3与原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左焦点为F1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹方程.x2y2??1一个焦点的最短弦长为 2（2021-14）过椭圆43x2y2??1，3（2021-7）已知椭圆E的方程为左焦点为F1，如果椭圆E上的一点P到F1的259距离为2，M是线段PF1的中点，O为坐标原点，则OM= （） A.4 B.2 C.223 D.8 24（2021-12）以双曲线x?4y?4的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是 5（2021-14）抛物线的顶点坐标在坐标原点，焦点是椭圆x?2y?8的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为6（2021-13）顶点在原点，准线方程是x=2的抛物线的方程是7（2021-20）（11分）已知双曲线16x?9y?144，F1,F2是两个焦点，点P在双曲线上，且满足PF1PF2的值. 1?PF2?32，求?F2222x2y2?1过点(?32,2)，则该双曲线的焦点为 8（2021-15）若双曲线2?a49（2021-22）（13分）双曲线C的中心在坐标原点，顶点为A(0,2)，A点关于一条渐近线的对称点为B(2,0)，斜率为2且过点B的直线L交双曲线C与M，N两点. （1）求双曲线C的方程；（2）计算MN的值.10（2021-10）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为x?5，离心率e?5，则5该曲线的标准方程为（）x2?y2?1 A.4x?y?1 B.422y2?1 C.x?4y?1D.x?4222x2y2x2y2611（2021-8）已知双曲线2?2?1(a?b?0)的离心率是，则椭圆2?2?1的离abab2心率是（） A.1223 B. C. D. 23222x2y212（2021-15）已知抛物线y?8x的准线过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一个焦点，ab且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为213（2021-22）（12分）抛物线与直线y?4x与直线y?2x?k相交，截得的弦长为35，求k的值.x2y2314（2021-21）（12分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率是，直线l:y?x?2ab3与原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左焦点为F1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹方程.15（2021-22）（13分）双曲线C的中心在坐标原点，顶点为A(0,2)，A点关于一条渐近线的对称点为B(2,0)，斜率为2且过点B的直线L交双曲线C与M，N两点. （1）求双曲线C的方程；（2）计算MN的值.16（2021-21）14分）已知椭圆C经过点A(1,)，两焦点坐标分别为(?1,0),(1,0). （1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.32x2y25217（2021-22）（13分）已知椭圆2?2?1(a?b?0)点P(a,a)在椭圆上.ab52（1）求椭圆的离心率；（2）设点A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足AQ?AO，求直线OQ的斜率.18（2021-5）百米决赛有6 名运动员A、B、C、D、E、F参赛，每个运动员的速度都不同，则远动员A比运动员F先到终点的比赛结果共（） A.360种 B.240种 C.120种 D.48种19（2021-4）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的数，则可以组成的六位数的个数为（） A.720 B.240 C.120 D.60020（2021-6）甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则这三位同学不同的选修方案共有（） A.48种 B.36种 C.96种 D.192种21（2021-8）名士兵拍成一排，其中甲乙两个必须排在一起的不同排法有（） A.720种 B.360种 C.240种 D.120种22（2021-6）如果把4名干部分配到3个中队，每个中队至少要分配一名干部，那么不同的分配方法有（） A.45种 B.36种 C.27种 D.9种23（2021-6）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生的选派方法有（） A.108种 B.186种 C.216种 D.270种24（2021-7）在50件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有3件事次品的抽法共有（）A.5种B.4140种C.96种D.4186种25（2021-7）我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备看舰，如果甲，乙二机必须相邻，丙，丁不能相邻，那么不同的着舰方法有（） A.24种 B.18种 C.12种 D.48种 26（2021-11）过(a?b)20的展开式中第4r项与第r+2项的系数相等，则r= 27（2021-12）在(x?18)的展开式中，x5的系数为 2x28（2021-12）在(2x?18)的展开式中，常数项为3xn29（2021-13）已知(1?2n)的展开式中，二项式系数和为64，则它的二项展开式的中间项是30（2021-13）(2x?31（2021-13）(x?3110)的展开式中，常数项是 22x13x)18的展开式中含x15的项的系数为 12x32（2021-14）在(x?)8的展开式中常数项为33（2021-14）(x?110)的展开式中，x4的系数为 2x34（2021-21）（10分）已知8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将8支球队分为A，B两组，每组4支，求：（1）3支弱队分在同一组的概率; （2）A组中至少有两支弱队的概率.35（2021-22）（13分）甲、乙、丙三位毕业生，同时应聘一个用人单位，其中甲被选中的概率是231，乙被选中的概率是，丙被选中的概率是，各自是否被选中相互独立. 543（1）求三人都被选中的概率；（2）求只有两人被选中的概率.36（2021-17）（10分）已知一个口袋中有大小、质地相同的8个球，其中有4个红球和4个黑球，现在从中任取4个球. （1）求取出的球的颜色相同的概率；（2）若取出的红球数不少于黑球数，则可获得奖品，求获得奖品的概率.37（2021-20）（10分）甲乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是击是否击中目标之间相互独立，每人各次射击是否击中相互独立. （1）求甲射击4次，至少有1次击中目标的概率；23和，假设两人射34（2）求两人射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击中目标3次的概率.38（2021-18）（12分）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知选手甲能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为4321,,,，且各轮问题能否正确回答互不影响. 5555（1）求选手甲进入第四轮才被淘汰的概率；（2）求选手甲至多进入第三轮考核的概率.39（2021-20）（14分）已知在3支不同编号的枪中有2支已经试射校正过，1支未经试射校正，某射手若使用其中校正过的枪，每次射击击中目标的概率为每次射击击中目标的概率为4，若使用没有校正的枪，51，假设没几是否击中之间相互没有影响. 5（1）若该射手用这2支已经校正过的枪各射击一次，求目标被击中的概率；（2）若该射手用这3支枪各射击一次，求目标至多被射中一次的概率.40（2021-16）（10分）战士小张考政治、语文、数学、外语4门课程，各课程考试成绩之间相互独立，其各门课程合格的概率分别为（1）求小张一门都不合格的概率；（2）求小张恰好有三门课程合格的概率.41（2021-20）（10分）袋中有大小相同的6个球，其中有4个红球，2个白球. （1）若任取3个球，求至少有一个白球的概率；（2）若有放回的取球3次，求恰好有1个白球的概率.4231,,,. 5342感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2020军考阶段检测试卷二数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,4,6,8A =，{}1,2,3,6,7B =，则=)(B C A U （ ）A ．{}2,4,6,8B ．{}1,3,7C ．{}4,8D ．{}2,6 20y -=的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 3．函数y = ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为（ ） A ．14、12 B ．13、12C ．14、13D ．12、145．在边长为1的正方形ABCD 内随机取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为（ ）A ．4π B ．14π- C ．8π D ．18π- 6．已知向量a 与b 的夹角为120，且1==a b ，则－a b 等于（ ） A ．1 BC ．2D ．37．有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示）A ．212cm π B. 215cm π C. 224cm πD. 236cm π主视图6侧视图图2图18.若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A . a b c >>B . b a c >>C . c a b >>D . b c a >>9．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图像如图3所示，（ ）A ．10()2sin 116f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．10()2sin 116f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭10．一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是 最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为（ ）A ．378B ．34C ．74D ．1811.在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和9S 等于 ( )A ．18B ．27C ．36D ．912.已知实数x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,0,0,1y x y x 则z=y-x 的最大值为（ ）A.1B.0C.-1D.-2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13.圆心为点()0,2-，且过点()14，的圆的方程为 ． 14.如图4，函数()2xf x =，()2g x x =，若输入的x 值为3，则输出的()h x 的值为 .15.若函数84)(2--=kx x x f 在[]8,5上是单调函数，则k 的取值范围是16.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列．（1）求角B 的大小；（2）若()2sin 2A B +=，求sin A 的值．1Oxy1112π图3否是开始 ()()h x f x = ()()f xg x >输出输入x结束()()h x g x =图418．（本小题满分10分）已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2） （Ⅰ）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标； （Ⅱ）若|b |=,25且b a 2+与b a 2-垂直，求a 与b 的夹角θ 19．（本小题满分12分）如图5，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，点E 是PD 的中点．（1）求证：//PB 平面ACE ；（2）若四面体E ACD -的体积为23，求AB 的长．20．（本小题满分12分）某校在高二年级开设了A ，B ，C 三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A ，B ，C 三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人） （1）求x ，y 的值；（2）若从A ，B 两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣小组B 的概率．21. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 的前n 项和2n S n =．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．22. （本小题满分14分）直线y kx b =+与圆224x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S （其中O 为坐标原点）．（1）当0k =，02b <<时，求S 的最大值； （2）当2b =，1S =时，求实数k 的值．数学试题参考答案及评分标准50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．13．()22225x y ++=（或224210x y y ++-=） 14．915．()0,+∞（或[)0,+∞） 16．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，三、解答题24．解：（1）在△ABC 中，A B C π++=，由角A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+． 解得3B π=．（2）方法1：由()sin A B +=()sin C π-=sin C =．所以4C π=或34C π=． 由（1）知3B π=，所以4C π=，即512A π=． 所以5sin sinsin 1246A πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭sincoscossin4646ππππ=+1222=⨯=．25. 解（Ⅰ）设20,52,52||),,(2222=+∴=+∴==y x y x c y x c x y y x a a c 2,02),2,1(,//=∴=-∴= ……2分由20222=+=y x x y ∴42==y x 或42-=-=y x∴)4,2(),4,2(--==c c 或 ……5分（Ⅱ）0)2()2(),2()2(=-⋅+∴-⊥+b a b a b a b a ……7分 0||23||2,02322222=-⋅+∴=-⋅+b b a a b b a a ……（※） ,45)25(||,5||222===b a 代入（※）中, 250452352-=⋅∴=⨯-⋅+⨯∴b a b a ……10分 ,125525||||cos ,25||,5||-=⋅-=⋅=∴==b a b a b a θ26.（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，因为ABCD 是正方形，所以点O 是BD 的中点．因为点E 是PD 的中点，所以EO 是△DPB 的中位线．所以PBEO ．因为EO ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， 所以PB平面ACE ．（2）解：取AD 的中点H ，连接EH ， 因为点E 是PD 的中点，所以EHPA ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ． 设AB x =，则PA AD CD x ===，且1122EH PA x ==． 所以13E ACD ACD V S EH -∆=⨯ 1132AD CD EH =⨯⨯⨯⨯3111262123x x x x ===．解得2x =．故AB 的长为2． 27．解：（1）由题意可得，3243648x y==， 解得2x =，4y =．（2）记从兴趣小组A 中抽取的2人为1a ，2a ，从兴趣小组B 中抽取的3人为1b ，2b ，3b ，则从兴趣小组A ，B 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共10种．设选中的2人都来自兴趣小组B 的事件为X ，则X 包含的基本事件有()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共3种．所以()310P X =． 故选中的2人都来自兴趣小组B 的概率为310．28．解：（1）因为数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=． 因为数列{}n b 的前n 项和2n S n =．所以当2n ≥时，1n n n b S S -=-()22121n n n =--=-，当1n =时，111211b S ===⨯-， 所以数列{}n b 的通项公式为21n b n =-． （2）由（1）可知，1212n n n b n a --=． 设数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ， 则 213572321124822n n n n n T ----=++++++， ①即111357232122481622n n n n n T ---=++++++， ② ①－②，得2111112111224822n n nn T --=++++++- 11121211212n nn -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+-- 2332nn +=-， 所以12362n n n T -+=-． 故数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12362n n -+-．29.解：（1）当0k =时，直线方程为y b =，设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，， 由224x b +=，解得12x =， 所以21AB x x =-= 所以12S AB b==22422b b +-=≤．当且仅当b =，即b =S 取得最大值2．（2）设圆心O 到直线2y kx =+的距离为d，则d=．因为圆的半径为2R =， 所以2AB ===． 于是241121k S AB dk =⨯===+，即2410k k -+=，解得2k =．故实数k 的值为2+2，2-2-。

消防士兵考军校真题试卷：数学部分（二）关键词：消防考军校 真题试卷 京忠教育 军考数学 消防考试资料参考公式（三角函数的积化和差公式）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=⎡++-⎤⎣⎦()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=⎡+--⎤⎣⎦ ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=⎡++-⎤⎣⎦()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=-⎡+--⎤⎣⎦ 一、单项选择题（共60分，每小题5分）1．设{(,)|4}P x y x y =+=，{(,)|2}Q x y x y =-=，则P Q = （ ）. A ．{3,1} B ．(3,1) C ．{(3,1)}D ．{3,1}x y ==2．函数242y x x =-+-在区间[3,4]上的最大值是（ ）. A ．2 B ．2- C ．1-D ．13．在等比数列{}n a 中，12100a a +=，3420a a +=，那么56a a +=（ ）. A ．2 B ．4 C ．10D ．54．如果关于x 的不等式250x a -…的正整数解是1，2，3，4，5，那么实数a 的取值范围是（ ）. A ．125180a <… B ．125a … C ．125a >D ．180a <5．已知两点(4,1)A ，(7,3)B -，则与向量AB反方向的单位向量是（ ）.A ．34(,)55-B ．34(,)55-C ．43(,)55-D ．43(,)55-6．五人站成一排，其中甲，乙，丙必须相邻，且甲必须站在乙、丙的中间，则不同的排法有（ ）种. A ．6 B ．12 C ．18D ．247．若直线340ax y +-=与圆22410x y x ++-=相切，则a 的值为（ ）.A ．6±B ．2±C ．8±D ．1±8．若角α，β满足αβ-π<<<π，则αβ-的取值范围是（ ）. A ．(2,0)-π B ．(2,2)-ππ C ．(0,)πD ．3(,)22ππ-- 9．下列命题中的真命题是（ ）. A ．垂直于同一条直线的两条直线平行 B ．平行于同一条直线的两个平面平行 C ．垂直于同一条直线的两个平面平行 D ．垂直于同一平面的两个平面平行10．若函数122log (2log )y x =-的值域是(0,)+∞，那么它的定义域是（ ）.A ．(0,2)B ．(2,4)C ．(0,4)D ．(0,1)11．函数2sin()34y x π=+，x R ∈的单调递增区间是（ ）.A ．3[2,2],44k k k πππ+π+∈ZB ．[(21),2],k k k -ππ∈ZC ．[2,2],2k k k ππ+π+π∈ZD ．3[2,2],44k k k πππ-π+∈Z 12．双曲线与椭圆221259x y +=有公共的焦点，若它们的离心率的和为145，则双曲线的方程为（ ）.A ．221124x y -=B ．221412y x -=C ．221412x y -=D ．221124y x -=二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）13．若集合2{|300}P x x x =+-=，集合{|30}T x mx =+=，且T P ⊆，则由实数m 的可取值组成的集合为14．2835()3x x-展开式中，整式的项是前项.15．在等差数列{}n a 中，若123989910050a a a a a a ++++++= ，则299a a +=.16．求值：1sin10= .17．若奇函数()y f x =在R 上单调递减，且2()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是. 18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，底面边长为2，侧棱长为3，则1BB 与平面11AB C 所成的角是.三、解答题（本大题共5小题，满分60分. 其中19小题10分，20～22小题每小题12分，23小题14分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）已知3tan 4α=，1tan()3αβ-=-，求tan()αβ+的值.20．（12分）已知函数3()log (01,0)3ax bf x a a b x b+=>≠>-且. （1）求()f x 的定义域；（7分）（2）讨论()f x 在(,)3b+∞上的单调性.（5分）21．（12分）设二次方程2*110()n n a x a x n N +-+=∈有两个实根αβ和，且满足43ααββ-+=，17a =. （1）试用n a 表示1n a +；（6分）（2）求证：{2}n a +是等比数列；（3分） （3）求数列{}n a 的通项公式.（3分）22．（12分）已知双曲线2212y x -=与点(2,1)P ，过P 作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若点P 为AB 的中点，求直线AB 的方程.23．（14分）如图所示，已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形. 120ABC ∠= ，PC ABCD ⊥平面，PC a =，E 为PA 的中点.（1）求证：平面EBD ABCD ⊥平面；（8分）（2）求二面角A BE D --的大小.（6分）。

高中学历士兵考军校数学科目测试题关键词：士兵考军校试题军考数学试卷军考教材士兵考军校教材军考复习资料解答题（18、19题，每题11分；20-24题，每题12分；共82分）18.已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|，求f(x)的最小值m.19.已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x).（1）求f5π4⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.20.已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).21.某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（1）恰有2人申请A 片区房源的概率；（2）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望.22.已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b ＋ax ln x ，f (e)＝2(e ＝2.71828…是自然对数的底数).（1）求实数b 的值；（2）求函数f (x )的单调区间.23.如下图所示，在三棱柱ABC -111A B C 中，1CC 平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点，AB=BC =，AC =1AA =2.（1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）求二面角B-CD -C 1的余弦值；（3）证明：直线FG 与平面BCD 相交.24.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过A (2，0)，B (0，1)两点. （1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.。

第41页共246页◎第42页共246页………………2020年全军士官招生文化科目统一考试模拟试卷（一）数学一．选择题（每小题4分，共36分）1．已知集合{0A =，1，2，3}，{|22}B x R x =∈-<<，则(A B = )A ．{0,1}B ．{1}C ．{0,1,2}D ．{0,2}2．“2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +++=平行”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若0a >，0b >，a b ab +=，则a b +的最小值为()A ．2B ．4C ．6D ．84．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111S =，则468(a a a ++=)A ．2B ．32C ．3D ．65．从3名女教师和2名男教师中任选2人参加信息技术培训，则选中的2人都是女教师的概率为()A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.66．下列函数在区间(0,)+∞为增函数的是()A ．()2xf x -=B ．3()f x x-=C ．()2sin f x x=D ．2()log f x x=7．已知(2x π∈-，)2π，3sin 5x =-，则tan 2(x =)A ．724B ．724-C ．247D ．247-8．平行于直线10x y ++=，且与圆224x y +=相切的直线的方程是()A ．0x y ++=B ．20x y +-=C ．0x y +±=D ．20x y +±=9．一个正方体的顶点都在表面积为48π的球面上，则该正方体的棱长为()A ．2B ．C ．4D ．二．填空题（每小题4分，共32分）10．已知向量(1,2)a = ，(1,1)b =- ，()//c a b - ，()a b c +⊥ ，则c 与a夹角的余弦值为．11．若1sin()63πα+=，则5cos 2()6πα-的值为．12．过点(1,1)且与直线210x y -+=平行的直线方程为．13．在6(2x 的展开式中常数项是．14．已知i 为虚数单位，则232018i i i i +++⋯+=．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，过原点的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若||6AF =，||8BF =，2AFB π∠=，则该双曲线的离心率为．16．计算：34limn n n→∞+=．17．设函数()()()⎩⎨⎧≥-<-=1,21,3log 2x x f x x x f ，则(5)f f -+（5）=．三．解答题（共7小题，共82分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）18．关于x 的不等式a xa x x ≥-+222．（1）已知不等式解集为[2-，0)[1 ，)+∞时，求a ；（2）当a R ∈时，求上述不等式的解集．19．已知2παπ<<，4cos 5α=-，求：（1）tan()4πα-的值；（2）sin(2)4πα+的值．第43页共246页◎第44页共246页20．在等差数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，且2311b S +=，639S b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nn na b =ð，求数列{}n ð的前n 项和n T ．21．已知高二选修物理、生物的J 同学在学测考试中，化学、地理、历史、政治得到A 的概率分别为45，45，34，23，每科得到A 之间相互独立．（1）求J 同学至少得一个A 的概率；（2）根据规定，每得一个A 在将来的高考中加1分，得4个A 加5分，求该同学所加分数ξ的概率分布，并求其数学期望．22．已知函数()af x lnx x=-，其中a R ∈．（1）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1)f )处的切线方程；（2）当1a =-，求函数()f x 的极值．23．若椭圆2222:1x y C a b+=是以双曲线2213x y -=的顶点为焦点，以其焦点为顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 是椭圆C 上的一点，1F 、2F 是椭圆C 的两焦点，且1290F PF ∠=︒，求△12PF F 的面积．24．如图，在三棱锥A BCD -中，底面BCD 为直角三角形，且2BDC π∠=，点M ，N 分别为棱AB ，BC 的中点．（1）求证：//MN 平面ACD ；（2）若AC BD ⊥，求证：平面ACD ⊥平面BCD ．。

阶段性检测试题一、选择题（共9小题，每题4分）1、已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{x |2x ≤32}，则A ∪B ＝( D )A ．∅B ．(0，13]C ．[13，1] D ．(－∞，1](1)由题意知，A ＝(0，1]，B ＝(－∞，13]，∴A ∪B ＝(－∞，1]．故选D.2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a 3a 9＝2a 52，a 2＝2，则a 1＝( C )D ．2解析：选C.由等比数列的性质得 ， ∵q>0，∴a6＝2a5，q ＝a6a5＝2，a1＝a2q＝2，故选C.3．已知f(x)＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f(x)<0，则( D )A ．p 是假命题，⌝p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x)≥0B ．p 是假命题，⌝p ：∃x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f(x0)≥0C ．p 是真命题，⌝p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f(x)>0D ．p 是真命题，⌝p ：∃x0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f(x0)≥0解析：选D.因为f′(x)＝3cos x －π，所以当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f(x)<f(0)＝0，所以p 是真命题，又全称命题的否定是特称命题，所以答案选D.4．已知向量a ，b 满足|a|＝3，|b|＝23，且a⊥(a＋b)，则a 与b 的夹角为(D )解析：选⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 〈a ，b 〉＝0，故cos 〈a ，b 〉＝－32，故所求夹角为5π6.5．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( A ) A ．f(x)＝21xB ．f(x)＝x 2＋1 C ．f(x)＝x 3 D ．f(x)＝2－x解析：选中f(x)＝1x2是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A 满足题意．B 中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C 中f(x)＝x3是奇函数．D 中f(x)＝2－x 是非奇非偶函数．故B ，C ，D 都不满足题意．6．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f(x)＝a x 与函数g(x)＝－log b x 的图象可能是( B)解析：选B.∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g(x)＝－logbx 的定义域是(0，＋∞)，故排除A. 若a ＞1，则0＜b ＜1， 此时f(x)＝ax 是增函数， g(x)＝－logbx 是增函数， 结合图象知选B.7、已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( B ) A ．2n －1 n －1n －1[解析] (1)由已知Sn ＝2an ＋1，得Sn ＝2(Sn ＋1－Sn)，即2Sn ＋1＝3Sn ，Sn ＋1Sn ＝32，而S1＝a1＝1，所以Sn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.[答案] B8.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( B )A ．0B ．1 D ．3 解析：选＝x 2－3xy ＋4y 2(x >0，y >0，z >0)，∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1. 当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时等号成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，∴当y ＝1时，2x ＋1y －2z 的最大值为1.9.已知{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( C )A ．40B ．200C ．400D ．20解析：选－2S10＝20（a 1＋a 20）2－2×10（a 1＋a 10）2＝10(a 20－a 10)＝100d . 又a 10＝a 2＋8d ， ∴33＝1＋8d ， ∴d ＝4.∴S 20－2S 10＝400.二、填空题（共8小题，每题4分）1、函数f (x )＝10＋9x －x 2lg （x －1）的定义域为( )解析：要使函数有意义，则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg （x －1）≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －10）≤0，①x >1，x ≠2，解①得－1≤x ≤10.所以不等式组的解集为(1，2)∪(2，10]． 2、函数y ＝)24cos(x -π的单调减区间为________．(3)由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k∈Z)，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k∈Z)．3、函数f(x)＝43323--+x x x 在[0，2]上的最小值是( ) A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643解析：选′(x)＝x2＋2x －3，令f′(x)＝0，得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f(0)＝－4，f(1)＝－173，f(2)＝－103，故f(x)在[0，2]上的最小值是f(1)＝－173.4、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P­ABC.由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC ，且PA ＝2.底面为等腰三角形，AB ＝BC ，设D 为AC 中点，AC ＝2，则AD ＝DC ＝1，且BD ＝1，易得AB ＝BC ＝2，所以最长的棱为PC ，PC ＝PA2＋AC2＝2 2. 答案：225、若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －4，则a n ＝________．解析：由3a n ＋1＝3a n －4，得a n ＋1－a n ＝－43，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝15，公差d ＝－43，所以a n ＝15－43(n －1)＝49－4n3.答案：49－4n36、若命题“∃x 0∈R ，2x 20－3ax 0＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．因为“∃x 0∈R ，2x 20－3ax 0＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R ，2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.7、若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________． ∵f (x )是以4为周期的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝sin 7π6＝－12.又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝－316，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝12.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝12－316＝516.8．设函数f(x)＝ax 3－3x ＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a 的值为________．解析：(构造法)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x)≥0显然成立； 当x>0时，即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x ＋1≥0可化为a≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝3（1－2x ）x4，所以g(x)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a≥4.当x<0时，即x∈[－1，0)时，同理a≤3x2－1x3.g(x)在区间[－1，0)上单调递增， ∴g(x)min ＝g(－1)＝4， 从而a≤4，综上可知a ＝4. 答案：4三．计算下列各题：（18分）(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； 解：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg (2×5)＝12.（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.求角A 的大小； [解] (1)由题意知，根据正弦定理得2a2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ， 即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ， 故cos A ＝－12，A ＝120°.四、（12分）已知2311:≤--x p ，)0(012:22>≤-+-m m x x q ，若q p ⌝⌝是的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。

2020年军队院校生长军官招生文化科目统一考试数学模拟试卷一一、单选题（每小题4分，共36分) 1．已知集合2{|20}A x x x =+->，{1,0,1,2}B =-，则( )A ．{2}AB = B ．A B R =C ．(){1,2}R B C A =-D ．(){|12}R BC A x x =-<<2．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在等比数列{}n a 中，141,8,a a 则5a =（ ）A ．16B ．16或－16C ．32D ．32或－324．函数()2log f x x =与()21xg x -=-同一平面直角坐标系下的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．5．椭圆221168x y +=的离心率为（）A ．13B ．12C D 6．从区间[0,4]上任取两个实数m ，n ，则满足221m n +≥条件的概率为（） A ．12B ．14π-C ．132π-D ．164π-7．已知复数32(1)iz i =-，则z 在复平面内对应点所在象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为 A ．140B ．100C ．80D ．709．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（） A ．()()()0.633log 132f f f -<-<B ．()()()0.6332log 13f f f -<<-C ．()()()0.632log 133f f f <-<- D ．()()()0.6323log 13f f f <-<二、填空题（每小题4分，共32分)10．实数x ，y 满足121log sin 303yx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则cos 24x y +的值为________.11C 中，弦ABAB AC ⋅=________.12．计算：22233312lim()n n n n nn n n→∞+++++⋅⋅⋅+=________.13．已知cos α=35,且α∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭,则cos(3πα-)=______．14．我国古代数学算经十书之一《九章算术》有一衰分问题（即分层抽样问题）：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人.凡三乡，发役五百人，则北乡遣___________人. 15．若函数32()(1)33f x f x x '=-+，则()2f '的值为__________．16．在732x ⎛⎝的展开式中常数项是__________．17．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，已知当[]0,1x ∈时，()12x f x -=，有下列命题：①2是函数()f x 的周期；②函数()f x 在()2,3上是增函数；③函数()f x 的最大值是1，最小值是0；④直线2x =是函数()f x 图象的一条对称轴.其中所有正确命题的序号是__________.三、解答题（共7个小题，满分82分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)18．(10分)在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2sin 02AA +=. （1）求角A 的大小；（2）已知ABC ∆外接圆半径R AC ==求ABC ∆的周长.19．(12分)设()|2||2|f x x x =-++ （1）解不等式()6f x ≥；（2）对任意的非零实数x ，有2()2f x m m ≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.20．(12分)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.21．(12分)设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为23和34，且各次射击互相独立. （1）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；（2）若甲连续射击3次，设命中目标次数为ξ，求命中目标次数ξ的分布列及数学期望.22．(12分)已知函数()ln f x x ax =-，其中0a >. （1）当1a =时，求()f x 在[]1,e 上的最大值;（2）若1x e ≤≤时，函数()f x 的最大值为4-，求函数()f x 的表达式;23．(12分)已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>过点(2，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，且||2||OA OB =. （1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线1l 与椭圆交于另一点M ，过点B 的直线2l 与椭圆交于另一点N ，直线1l 与2l 的斜率的乘积为14-，M N ，关于y 轴对称，求直线1l 的斜率.24．(12分)如图，直三棱柱111-ABC A B C 的所有棱长都是2，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点.（1）求证：AE ⊥平面1A BD ；（2）求直线AB 与平面1A BD 所成角的正弦值； （3）求二面角11B A D B --的余弦值.2020年军队院校生长军官招生文化科目统一考试数学模拟试卷一参考答案AAABC DBDC1．因为2{|20}{|2A x x x x x =+->=<-或1}x >，{1,0,1,2}B =-， 所以{2}AB =，AB R ≠，(){1,0,1}RC A B =-，()[2,1]{2}R C A B =-故选：A2．由6πθ=可得1sin 2θ=， 由1sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526k πθπ=+，k ∈Z ，不能得到6πθ=， 所以“6πθ=”是“1sin 2θ=”的充分不必要条件，故选：A . 3．在等比数列{}n a 中，341,8a q a ==,所以2q =.451a a q =＝16，故选A . 4．函数()2log f x x =的图象是由()2log f x x =图象x 轴下方部分翻到x 轴上方， 对函数()21xg x -=-的图象，当1x =时，1(1)02g =-<，结合四个选项的图象特点，只有B 符合.故选：B .5．因为椭圆方程221168x y +=，可得2216,8a b ==，故椭圆的离心率e ===故选：C .6．设点(),m n ，由题意0404m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩，表示的区域为边长为4的正方形（包含边界），如图所示： 该正方形的面积116S =,221m n +≥表示以()0,0为圆心，半径为1的圆的外部（包含边界），如图阴影部分所示， 阴影部分的面积21164S π=-，故所求概率21116164164S P S ππ=-==-.故选：D .7．()322(1)21i i z i i i ==---()()111i i i +=-+-1122i =--，则1122z i =-+， z 在复平面内对应点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第二象限。

2020年军队院校招生文化科目统一考试数学模拟试题第一套卷一 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把该选项的代号写在题后的括号内。

）1 已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},(B ∩A={9},则A=（ ）A . {1,3}B . {3,7,9} C. {3,5,9} D . {3,9}2已知不等式()()012422<-+--x a x a 对R x ∈恒成立，则a 的取值范围是 （ ） A a ≤2- B 2-≤a 56< C 2-56<<a D 2-≤a 2< 3若则,8.0log ,6log ,log 273===c b a π （ ）A. c b a >>B. c a b >>C. b a c >>D. a c b >>4设0>ω，函数2)3sin(++=πωx y 的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 （ ） A 32 B 34 C 23 D 3 5设)(x f 为定义在R 上的奇偶数，当x ≥0时，b x x f x ++=22)(（b 为常数），则()=-1f（ ）A 3B 2C -1D -36 ()()3411x x --的展开式2x 的系数是 （ ） A -6 B -3 C 0 D 37 设向量a ，b 满足：,4,3==b a a ·b = 0 ，以a ，b ，b a - 的模为边长构成三角形，则它的边长与半径为1的圆的公共点的个数最多为 （ ）A 3B 4C 5D 68 设n m ,是平面α内的两条不同直线，21,l l 是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是 （ ）A m ∥β且1l ∥αB m ∥1l 且n ∥2lC m ∥β且n ∥βD m ∥β且n ∥2l二 填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上。

部队高中士兵考军校数学模拟试卷关键词：冠明军考 部队考军校试卷 军考教材 军考试卷 考军校复习资料 军考资料 军考模拟试卷解答题（18、19题，每题11分；20-24题，每题12分；共82分）18.解方程：lg(x ＋1)＋lg(x －2)＝lg4.19.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos 2cos cos A C B -＝2c a b-. （1）求sin sin C A的值； （2）若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .20.设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.（1）求{a n }的通项公式；（2）设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .21.小李到某地在路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2秒. （1）求小李在路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）小李在路上因遇到红灯停留的总时间至多是4秒的概率.22.已知函数32()10f x x ax =-+，（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；（2）在区间[1，2]内至少存在一个实数x ，使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围.23.如下图所示，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 在AB 上，且∠CAB ＝30，D 为AC 的中点.（1）证明：AC ⊥平面POD ；（2）求直线OC 和平面P AC 所成角的正弦值.24. P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. （1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为l的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC＝λOA＋OB，求λ的值.。

消防士兵考军校真题试卷：数学部分（三）关键词：消防考军校 真题试卷 京忠教育 军考数学 消防考试资料参考公式：1sin cos [sin(sin()]2=++-)αβαβαβ1cos sin [sin(sin()]2αβαβαβ=+--)1cos cos [cos(cos()]2αβαβαβ=++-)1sin sin [cos(cos()]2αβαβαβ=-+--)一．单项选择题（每小题5分）1．设集合{}|15A x x =<<，{}|26B x x =<<，则A ∩B=（A ）{}|12x x << （B ）{}|25x x << （C ）{}|56x x << （D ）{}|16x x <<2．不等式|3|2x -<的解集是（A ）{}|1x x < （B ）{}|5x x < （C ）{}|15x x <<（D ）{}|1x x > 3．在等差数列{}n a 中，25a =，47a =，则6a =（A ）9（B ）10 （C ）11 （D ）124．函数22y x x =-在区间[2,3]上的最大值是（A ）0（B ）3（C ）4（D ）55．已知向量a (3,1)=-，b (,9)x =．若⊥a b ，则x =（A ）1（B ）2（C ）3（D ）46．若双曲线的渐近线方程为y =，它的一个焦点是(2,0)F ，则双曲线的方程是（A ）2213y x -= （B ）2213x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -=7．若直线340x y +-=过圆22410x y x ay +++-=的圆心，则实数a 的值为（A ）4 （B ）2 （C ）0 （D ）4-8．函数14y x x=+(0)x >的最小值为 （A ）4（B ）3 （C ）2（D ）19．已知30.2a =，2log 3b =，3log 0.2c =，则（A ）a b c <<（B ）b a c << （C ）c a b <<（D ）c b a <<10．命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．上述四个命题中，正确命题的序号是 （A ）①②（B ）②③（C ）③④（D ）①④11．若将函数sin 2y x =()x ∈R 的图象向左平移π6个单位，则所得图象对应的函数解析式为（A ）πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()x ∈R （B ）πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()x ∈R （C ）πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()x ∈R （D ）πsin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()x ∈R 12．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有（A ）320个（B ）240个（C ）168个（D ）156个二．填空题（每小题5分）13．设集合{}2|4A x x =≤，{}|0B x x m =-<．若A B ⊆，则实数m 的取值范围是 ．14．5231x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于 ．15．在数列{}n a 中，已知118a =，且14n n a a -=(2)n ≥，则5a = ． 16．求值:sin 20tan10cos 20+=ooo．17．若定义在R 上的偶函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，且(||1)(2)f m f +<-，则实数m 的取值范围是 ．18．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，G 分别为1AA ，11A D ，BC 的中点，则异面直线EF 与1D G 所成角的大小为 ．GD 1F A 1EB 1C 1DCBA三．解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）已知α，β都是锐角，3cos 5=β，1sin()3-=αβ． （1）求cos()-αβ的值； （2）求sin α的值．20．（12分）已知函数()log (2)a f x bx =+(1)a >，且(1)0f =． （1）求b 的值及函数()f x 的定义域； （2）求证：函数()f x 在定义域上是减函数．21．（12分）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d >，n S 是{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2n an b =，n ∈*N ．① 求证：{}n b 是等比数列； ② 求数列{}n b 的前n 项和n T ．22．（12分）已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的一个焦点为(2,0)F，离心率e =．（1）求椭圆的方程；（2）设直线2y x m =+与椭圆相交于不同的A ，B 两点，与y 轴相交于E 点，且3EA EB =uu r uur．求实数m 的值．23．（14分）如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，E 为11AC 的中点．（1）求证: //CE 平面1A BD ； （2）若F 为1C E 的中点，求二面角1A BD F --的 余弦值．D 1FA 1EB 1C 1DCBA。

2020年军队院校生长军官招生文化科目统一考试数学模拟试卷六一、单选题1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，则A B 中元素的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．42．南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V 、2V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为1S 、2S ，则命题p ：“1V 、2V 相等”是命题:q “1S 、2S 总相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知每项均大于零的数列{}n a 中,首项11a =且前n 项和n S 满足n S S -=(*n N ∈且2n ≥),则81a = ( ) A ．641B ．640C ．639D ．6384．设函数()()()()f x x a x b x c =---（a ，b ，c 是互不相等的常数），则()()()a b cf a f b f c ++'''等于（ ） A ．0B ．1C ．3D ．a b c ++5．已知点(1,)P m 在椭圆2214x y +=的外部，则直线2y mx =+221x y +=的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．相交或相切6．已知α为第三象限角，且sin cos 2m αα+=，2sin 2m α=，则m 的值为（ ）A ．13-B ．2-C ．D ．3-7．已知a 是实数，1a ii+-是纯虚数，则 a 等于（ ）A ．B ．1-CD ．18．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 A ．3×3！B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9！9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2e f x f x +=-（其中e 2.7182=…），且在区间[]0,e 上是增函数，令eln 3a =，eln 4b =，eln5c =，则()f a ，f b ，()f c 的大小关系为（ ） A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f b f c f a >> C ．()()()f a f b f c >> D ．()()()f a f c f b >>二、填空题10．数列{}n x 满足1lg 1lg ()n n x x x N *+=+∈，且x 1＋x 2＋……＋x 100＝100，则lg (x 101＋x 102＋……＋x 200）＝____．11．设1e 与2e 是两个不共线向量，1232AB e e =+，12CB ke e =+，1232CD e ke =-，若A ，B ，D 三点共线，则k =________.12．41()(1)x x x--的展开式中x 3的系数为_______．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cosC ＝___. 14．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为2，则数据123x +，223x +，323x +，423x +，523x +的方差为______.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与曲线1ln y x =+相切，则该双曲线的离心率为______.16．若无穷数列{}n a ()23n n n *+∈=N，则1221lim231n n a a a n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪+⎝⎭______． 17．若方程10x xe a --+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是______ .三、解答题18．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B ；（2）若b =a c +的取值范围.19．已知函数()1f x x a x =-+-.（1）当0a =时，求不等式()1f x ≤的解集A . （2）设()32f x x ≤-的解集为B ，若A B ⊆，求这数a 的值.20．已知数列{}n a 满足1212n n a --=，()246212n n n a a a a +++++=，*n ∈N .（1）求2n a ；（2）求数列{}nn a ⋅的前2n 项和.21．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元），求随机变量X 的分布列和数学期望.22．已知函数()ln 1f x x x a =-+-，()2ln 2xg x ax x x =+-，其中0a >.（1）求()f x 的单调区间；（2）当1x ≥时，()g x 的最小值大于3ln 2a -，求a 的取值范围.23．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=＞＞的左、右顶点分别是双曲线2C ：2221xy m-=的左、右焦点，且1C 与2C 相交于点(33)．（1）求椭圆1C 的标准方程； （2）设直线l ：13y kx =-与椭圆1C 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由．24．如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明P A //平面BDE ；（Ⅱ）求二面角B —DE —C 的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？证明你的结论．参考答案1．B 由题意可得{}2,4A B =，故A B 中元素的个数为2，所以选B .2．B由祖暅原理可知，若1S 、2S 总相等，则1V 、2V 相等，即必要性成立；假设夹在两平行平面间的底面积为S 的棱柱和底面积为3S 的棱锥，它们的体积分别为1V 、2V ，则12V V =，这两个几何体被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为1S 、2S ，但1S 与2S 不总相等，即充分性不成立.因此，命题p 是命题q 的必要不充分条件. 故选：B . 3．B因为n S S -=2=，即为等差数列，首项为1，公差为221)21(21)n n n S n -=-∴=-， 因此22818180161159640a S S =-=-=，选B . 4．A由题意，函数()()()()f x x a x b x c =---设()()()()()()()()(),,g x x b x c h x x a x c m x x a x b =--=--=--， 可得()()()()f x g x x a g x ''=+-，即有()()f a g a '=，同理可得()()()(),f b h b f c m c ''==，则()()()()()()()()()a b c a b cf a f b f c a b a c b a b c c a c b ++=++'''------ ()()()0()()()a b c b c a c a b a b a c b c -+-+-==---.故选：A . 5．B因为点(1,)P m 在椭圆2214xy +=的外部，所以2114m +>，即234m >，则圆221x y +=的圆心(0,0)到直线2y mx =+1d R =<<=，所以直线2y mx =221x y +=相交 故选：B 6．Csin cos 2m αα+=，则()222sin cos 1sin 214m m ααα+=+=+=，解得m =α为第三象限角，则sin cos 20m αα+=<，故m =故选：C . 7．D由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a ia i i i i ++-+++==--+， 1a ii +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =. 本题选择D 选项. 8．C根据题意，分2步进行：①将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有33A 种排法； 三个三口之家共有333333333()A A A A ⋅⋅=种排法， ②将三个整体元素进行排列，共有33A 种排法 故不同的作法种数为333344333()()(3!)A A A ⋅== 故选C ． 9．C因为()()2f x e f x +=-，所以()()()42f x e f x e f x +=-+=，即()f x 周期为4e .因为()f x 为奇函数且()()2e f x f x +=-，作一个周期[]2,2e e -内的示意图，易得()f x 在[]0,e 单调递增，在[],2e e 上单调递减.又ln3ln 4ln52e e e e e <<<<，故()()()f a f b f c >>.故选：C 10．102111lg 1lg lg1,10,n n n n n nx xx x x x +++=+∴=∴=，所以数列{}n x 是等比数列，公比为10， 所以()()10010010110220012100lg()lg 10lg 10010102x x x x x x +⋯+=+⋯+⋅=⨯=，故答案为：102. 11．94-()()()()12121232321BD CD CB e ke ke e k e k e =-=--+=--+.A ，B ，D 三点共线，AB ∴∥BD ，∴存在实数λ，使得BD AB λ=，即()()()1212123213232k e k e e e e e λλλ--+=+=+.1e 与2e 是两个不共线向量，()33212k k λλ-=⎧∴⎨-+=⎩，解得94k =-. 故答案为：94-. 12．54(1)x -的通项为4441()()11r r r r r r rT C x C x +-=-=- 令2r，此时3x 的系数为224(1)6C -=令4r =，此时3x 的系数为444(1)1C --=- 则3x 的系数为615-= 故答案为：5 13．725由sin sin b cB C=及8b ＝5c ，C ＝2B ， 得5csin 2B ＝8csin B ， 所以cos B ＝45， 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725. 14．8设x ，2s 为数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数和方差，X ，2S 为数据123x +，223x +，323x +，423x +，523x +的平均数和方差由题意可得()()()222125125x x x x x x ⎡⎤-+-++-=⎣⎦所以()()()22212510x x x x x x ⎡⎤-+-++-=⎣⎦()125235235x x x X x ++++⨯==+()()()222125212323232323235x x x x S x x ⎡⎤+--++--++--=+⎣⎦()()()22225151444x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦41085=⨯=故答案为：815设切点坐标为(),ln 1t t +，对于函数1ln y x =+求导得1y x'=， 所以，曲线1ln y x =+在x t =处的切线方程为()()11ln y t x t t-+=-， 由于该切线过原点，则1ln 1t --=-，解得1t =.所以，切线的斜率为1b a =，所以，该双曲线的离心率为c e a ===. 16．2当1n =4=，可得116a =；当2n ≥23n n +，()()221312n n n n =-+-=+-，()21n =+，得()241n a n =+，116a =也适合()241n a n =+，则()()241n a N n n *=+∈，()411na n n ∴=++. 所以，()()()1284481241232312nn n a a a n nn n +++++=++++==++.因此，()12222313limlim lim 212231n n n n n n a a a n n n n →∞→∞→∞+⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+==+= ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为：2. 17．1(1,1)e+由题意方程1x a xe -=+有两个不相等的实数根，设()1x f x xe -=+，则函数()y f x =的图象与直线y a =有两个不同的交点．()(1)x x x f x e xe x e ---'=-=-．当1x <时，()0f x '>，()f x 递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 递减，所以1x =时，()f x 取得极大值也是最大值11(1)11f e e-=+=+， 又x →-∞时，()f x →-∞，x →+∞时，()1f x →，注意到1x >时，()11xf x xe -=+>，所以当111a e <<+时，直线y a =与函数()y f x =的图象有两个交点． 故答案为：1(1,1)e+．18．（1）因为2cos cos cos b B a C c A =+，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A CB =+=+=， 因为sin 0B ≠，所以1cos 2B =， 由()0,B π∈，3B π=.（2）由题意可得：2sin sin a c A C ===，可得2sina A =，2sin c C =. 所以22sin 2sin 2sin 2sin 3a c A C A A π⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭3sin 6A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故a c +∈.19．（1）当0a =时，()|||1|f x x x =+-，即解不等式|||1|1x x +-， 由绝对值不等式知，|||1||(1)|1x x x x +---=，当且仅当(1)0x x -时取等号，因此()1f x 的解集{|01}A x x =；（2）由A B ⊆，即[0x ∈，1]，不等式3()||2f x x -恒成立，即3||12x a x x -+--，整理得1||2x a -， 故1122x a --在[0x ∈，1]上恒成立， 则1212a x a x ⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩在[0x ∈，1]上恒成立，得1212a a⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 故12a =． 20．（1）当1n =时，21a =， 当2n ≥时，因为()246212n n n a a a a +++++=，所以()2462212n n n a a a a --++++=，两式相减得2nan =，21a =也满足上式，所以*2n a n n N=∈，；（2）()2321221232122n nn n n S a a a a --=++++()()()()3521242211222221222n nn n --⎤⎡⎤=+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅⎥⎢⎥⎦⎣⎦)()012442421222n n n -=++⋅+⋅+⋅++⋅)()2142122214n n n -=+⋅+⋅++⋅-()()241212223n n n =-+⋅+⋅++⋅ 设221222n n T n =⋅+⋅+⋅ 则231221222n n T n +=⋅+⋅+⋅，相减得，()()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=+++-⋅=-⋅=--- ()1122n n T n +=-+，所以)()12411223n n n S n +=-+-+. 21．设指针落在A ,B ,C 区域分别记为事件A ,B ,C . 则111(),(),()632P A P B P C ===. （Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域. 111()()632P P A P B ∴=+=+= 即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12. （Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120.111(0);224111(30)2;23311115(60)2;263318111(90)2;369111(120).6636P X P X P X P X P X ==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯= 所以，随机变量X 的分布列为：其数学期望0306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.22．（1）函数()f x 的定义域为(0)+∞，. 11()1x f x x x'-=-=. 当01x <<时，()0f x '<； 当1x >时，()0f x '>.∴函数()f x 的单调递减区间是(0) 1，，单调递增区间是(1) +∞，. （2）易知()ln 1().g x x x a f x '=-+-=由（1）知，()(1)0f x f a =>≥，所以当1x ≥时，()(1)0g x g a ''=>≥.从而()g x 在[1)+∞，上单调递增， 所以()g x 的最小值()112g a =+. 依题意得12a +3ln 2a >-，即ln 10a a +->. 令()ln 1h a a a =+-，()0a >,()110h a a'∴=+>在()0+∞，恒成立，所以()h a 在()0+∞，上单调递增. 所以()()10h a h >=，所以a 的取值范围是()1+∞，. 23．（1）将⎝⎭代入2221x y m -= 解得21m =，2212a m ∴=+=.将⎝⎭代入22212x y b +=解得21b =， ∴椭圆1C 的标准方程为：2212x y +=； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2291812160k x kx +--=，1212221216,918918k x x x x k k -∴+==++ ()22144649180k k ∆=++>法一：由对称性可知，以AB 为直径的圆若恒过定点，是定点必在y 轴上. 设定点为()00,M y ，则()()110220,,,MA x y y MB x y y =-=-()()121020MA MB x x y y y y ⋅=+--()212120120x x y y y y y y =+-++()()22121212012021339k x x k x x x x y k x x y ⎡⎤=+-+-+-++⎢⎥⎣⎦ ()()2212012001211339k x x k y x x y y ⎛⎫=+-+++++ ⎪⎝⎭()22200021819615918y k y y k -++-=+0=202001096150y y y ⎧-=∴⎨+-=⎩，解得01y =，()0,1M ∴ ∴以线段AB 为直径的圆恒过定点()0,1法二：设定点为()00,M x y ，则()()10102020,,,MA x x y y MB x x y y =--=--()()()()1020120MA MB x x x x y y y y ⋅=--+--()()22120120120120x x x x x x y y y y y y =-+++-++…()()22120120120120112[]333x x x x x x kx kx y k x x y ⎛⎫⎛⎫=-+++---+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2221200120001211339k x x x y k x x x y y ⎡⎤⎛⎫=+-+++++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()2222200000021811299615918x y k x k x y y k +--+++-=+0=2200022000100996150x y x x y y ⎧+-=⎪∴=⎨⎪++-=⎩解得0001x y =⎧⎨=⎩，()0,1M ∴ ∴以线段AB 为直径的圆恒过定点()0,1.24．（Ⅰ）证明：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），＝（2，0，﹣2），＝（0，1，1），，设是平面BDE的一个法向量，则由，得，取y＝﹣1，得．∵PA n⋅＝2﹣2＝0，∴PA n⊥，又P A不在平面BDE内，P A∥平面BDE；（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝（1，﹣1，1）是平面BDE的一个法向量，又＝＝（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，∴cosθ＝cos＜，＞＝．故二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．（Ⅲ）∵＝（2，2，﹣2），＝（0，1，1），∴＝0，∴PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ＜1），则＝（2λ，2λ，﹣2λ），＝＝（2λ，2λ，2﹣2λ），由＝0，得4λ2＋4λ2﹣2λ（2﹣2λ）＝0，∴∈（0，1），此时PF＝，即在棱PB上存在点F，PF＝，使得PB⊥平面DEF．。