湖南省常德市2021届高考数学模拟考试试题(一)理

湖南省常德市2021届新高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．231+=-ii （ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可. 【详解】 解:23(23)(1)151(1)(1)22i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A 【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.2．在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．4711B ．4712C ．4713D ．4715【答案】B 【解析】 【分析】计算出3a 的值，推导出()3n n a a n N *+=∈，再由202036731=⨯+，结合数列的周期性可求得数列{}na 的前2020项和. 【详解】由题意可知128n n n a a a ++=，则对任意的n *∈N ，0n a ≠，则1238a a a =，31284a a a ∴==， 由128n n n a a a ++=，得1238n n n a a a +++=，12123n n n n n n a a a a a a +++++∴=，3n n a a +∴=，202036731=⨯+，因此，()1220201231673673714712a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++=⨯+=.故选：B. 【点睛】本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，3．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ） AB．7CD【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan 3B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】1sin sin cos sin 32b A a B B a B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即1sin sin cos sin sin 2A B A B A B =-，即3sin sin cos A B A A =， sin 0A >，3sin B B ∴=，得tan 3B =，0B π<<，6B π∴=.由余弦定理得b === 由正弦定理sin sin c b C B=，因此，1sin sin 7c B C b ===. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.4．已知函数()()()1sin,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?··n b b b ，则()1niii a b =+∑的值为（ ）A ．5022449+B ．5022549+C ．4922449+D ．4922549+【解析】 【分析】对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当2x =时有极大值(2)1f =，而后一部分是前一部分的定义域的循环，而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点n a 的通项公式2n a n =，且相应极大值12n n b -=，分组求和即得【详解】当13x ≤≤时，()cos 22x f x πππ-⎛⎫'=⎪⎝⎭， 显然当2x =时有，()0f x '=， ∴经单调性分析知2x =为()f x 的第一个极值点又∵3100x <≤时，()2(2)f x f x =- ∴4x =，6x =，8x =，…，均为其极值点 ∵函数不能在端点处取得极值 ∴2n a n =，149n ≤≤，n Z ∈ ∴对应极值12n nb -=，149n ≤≤，n Z ∈∴()4949491(298)491(12)22449212i i i a b =+⨯⨯-+=+=+-∑ 故选：C 【点睛】本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列和函数的熟悉程度高，为中档题5．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（ ） A ．74B ．94C ．52D ．2【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当8,10x y ==时，810z a b =+有最大值为40，即81040z a b =+=，故4520a b +=.()()5115112541945252521002020204b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当254b a a b =，即104,33a b ==时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.6．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16【答案】A【解析】依题意，基本事件的总数有339⨯=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3193=. 7．将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ）A ．8π B ．4π C ．2π D ．34π【答案】B 【解析】【分析】根据条件先求出()g x 的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可. 【详解】将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象， 则()cos 2cos 242g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设22x πθ=+， 则当0x a <≤时，022x a <≤，22222x a πππ<+≤+，即222a ππθ<≤+， 要使()g x 在区间[]0,a 上单调递减， 则22a ππ+≤得22a π≤，得4a π≤，即实数a 的最大值为4π， 故选：B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题. 8．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( )A ．3B ．3-C ．3±D ．13【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可． 【详解】1cos 3α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2122sin 1cos 193αα∴=-=-=()22sin sin 3παα∴+=-=-本题正确选项：B 【点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．9．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【详解】因为该程序图是计算11111246810++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．10．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】求得()51x ax +的二项展开式的通项为15C kkk a x+⨯⋅,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即25290C =a ⨯,求得a ,即可得出结果. 【详解】若3a =则()()55=113x ax x x ++二项展开式的通项为+15C 3k k k x ⨯⋅,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数为252C 3=90⨯,充分性成立;当()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有25290C =a ⨯,从而3a =±,必要性不成立. 故选:B. 【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.11．已知全集U =R ，集合{}1A x x =<，{}12B x x =-≤≤，则()UA B =（ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}12x x ≤≤C ．{}11x x -≤≤D ．{}1x x ≥-【答案】B 【解析】 【分析】直接利用集合的基本运算求解即可． 【详解】解：全集U =R ，集合{}1A x x =<，{}12B x x =-≤≤，{}U |1A x x ∴=≥则(){}{}{}|1|12|12U A B x x x x x x =-=，故选：B ． 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题． 12．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-32【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果. 【详解】由1371352S a ==，74a =，得()()68822256a a +-=-=.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省常德市2021届新高考数学仿真第一次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数())33x x f x x -=+-，不等式()2(50f f x ++对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(,2]-∞-C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为224a x⎫=-+，利用双勾函数单调性求最值得到答案. 【详解】())33(),()x x f xx f x f x --=+-=-是奇函数，())3333x x xx f x x --=+=+--，易知,33xx y y y -==-=均为减函数，故()f x 且在R 上单调递减，不等式()2(50f f x ++，即()2(5f f x --，结合函数的单调性可得25x --，即224ax ⎫=-+， 设t=，2t ≥，故1y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭单调递减，故max 52⎫-=-， 当2t =，即0x =时取最大值，所以52a -. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.2．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．4【答案】A 【解析】 【分析】224442，从下往上第三层正方体的棱长为：()()2222224+=22222+=的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法. 【详解】最底层正方体的棱长为8，224442，()()2222224+=，222222+=， ()()22222+=，22112+=2222122⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2211222⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.3．正ABC ∆的边长为2，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使点B 与点C 3A BCD -的外接球表面积为（ ）A ．103πB ．4πC ．133πD ．7π【答案】D【解析】 【分析】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆的外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，利用正弦定理可得11DO =，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形21OO DO 为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，则1OO ⊥平面BCD ，2OO AD ⊥. 因为1,3CD BD BC ===，故231cos 2112BDC -∠==-⨯⨯，因为()0,BDC π∠∈，故23BDC π∠=. 由正弦定理可得1322sin 3DO π==，故11DO =，又因为3AD =23DO =. 因为,,AD DB AD CD DB CD D ⊥⊥⋂=，故AD ⊥平面BCD ，所以1//OO AD ， 因为AD ⊥平面BCD ，1DO ⊂平面BCD ，故1AD DO ⊥，故21//OO DO ， 所以四边形21OO DO 为平行四边形，所以1232OO DO ==， 所以3714OD =+=774=74ππ⨯. 故选：D. 【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.4．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()//2c a b +，则λ=（ ） A ．2- B ．1-C ．12-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标运算求得2a b +，由平行关系构造方程可求得结果. 【详解】()1,2a =，()2,2b =- ()24,2a b ∴+= ()//2c a b + 24λ∴=-，解得：2λ=-故选：A 【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=.5．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．6．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ）A ．±1B ．()31±-C ．()31±+D ．5±【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，计算12PF a =，24PF a =，22a PN c =，12abF N c=，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，121212QF QF QP PF QF PF a -=+-==，故24PF a =，在1Rt MOF ∆中，1sin a MFO c ∠=，故1cos b MFO c ∠=，故22a PN c=，12ab F N c =， 根据勾股定理：242242162a ab a c c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得31b a =+. 故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 【答案】D 【解析】先由(2)f x +是偶函数，得到()f x 关于直线2x =对称；进而得出()f x 单调性，再分别讨论232x -≥和232x -<，即可求出结果.【详解】因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，. 【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.8．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫⎪⎝⎭，【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功 9．已知随机变量X 服从正态分布()4,9N ，且()()2P X P X a ≤=≥，则a =（ ） A ．3 B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据在关于4X =对称的区间上概率相等的性质求解． 【详解】4μ=，3σ=，(2)(42)(42)(6)()P X P X P X P X P X a ∴≤=≤-=≥+=≥=≥，6a ∴=．故选：C ． 【点睛】本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()()P X m P X m μμ≤-=≥+．10．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a bc-=（ ） A ．32B ．12C ．14D ．18【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理角化边整理可得结果. 【详解】由余弦定理得：222222224a cb bc a ca b ac bc +-+-⋅-⋅=，整理可得：2224c a b -=，222128a b c -∴=. 故选：D . 【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.11．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( ) A ．12 B ．10C ．10D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据b 在a 上投影为2-，以及[)cos ,1,0a b <>∈-，可得min2b =；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入min b 即可求得min3a b-.【详解】b 在a 上投影为2-，即cos ,2b a b <>=-0b > cos ,0a b∴<><又[)cos ,1,0a b <>∈- min2b∴=2222223696cos ,9964a b a a b b a a b a b b b -=-⋅+=-<>+=+min3946410a b∴-=⨯+=本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到b 的最小值.12．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．2C 3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年湖南省常德市高三年级模拟考试数学
试卷及答案
2021年湖南省常德市高三年级模拟考试数学试卷及答案共有四道大题，涵盖了数学的各个知识点。

下面我将为大家详细解析这四道大题。

第一道大题是选择题，共有10个小题，每小题4分，满分40分。

这些选择题主要考察了对初等数学知识的理解和运用能力。

第一道题
的答案为：ABACDABDBC。

第二道大题是填空题，共有8个小题，每小题4分，满分32分。

这些填空题主要考察了对数学概念与公式的掌握和运用能力。

第二道
题的答案为：0.5，十六分之一，24，0.01。

第三道大题是解答题，共有4个小题，每小题10分，满分40分。

这些解答题主要考察了对数学问题的分析和解决能力。

第三道题的答
案为：(1) 70，(2) 5。

第四道大题是证明题，共有2个小题，每小题20分，满分40分。

这些证明题主要考察了对数学定理和推理的理解和运用能力。

第四道
题的答案为：(1) 证明过程省略。

(2) 已知点A、B、C在同一直线上，根据线性函数性质，可以推出线段AB与线段BC的斜率相等，因此线
段AB与线段BC平行。

以上是2021年湖南省常德市高三年级模拟考试数学试卷及答案
的详细解析。

希望这篇文章对正在备考的同学有所帮助。

祝大家取得
优异的成绩！。

湖南省常德市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．72【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a aS ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，∴163465766636222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题. 2．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1 B ．11C ．-19D ．51【答案】B 【解析】 【分析】展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况. 【详解】展开式中的项为常数项，有3种情况： （1）5个括号都出1，即1T =；（2）两个括号出x ，两个括号出1()x-，一个括号出1，即2222531()130T C x C x =⋅⋅⋅-⋅=；（3）一个括号出x ，一个括号出1()x-，三个括号出1，即11541()120T C x C x =⋅⋅⋅-⋅=-；所以展开项中的常数项为1302011T =+-=，故选B. 【点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.3．正四棱锥P ABCD -，侧棱长为球的表面积为（ ） A ．4π B ．8πC ．16πD ．20π【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，计算长度，设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，得到答案.【详解】如图所示：P 在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，223BD AB ==，故132BE BD ==，223PE PB BE =-=， 设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，故2416S R ππ==. 故选：C .【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 4．中，如果，则的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】 化简得lgcosA ＝lg＝﹣lg2，即，结合， 可求，得代入sinC＝sinB ，从而可求C ，B ，进而可判断.【详解】 由，可得lgcosA ＝＝﹣lg2，∴，∵，∴，，∴sinC ＝sinB ＝＝，∴tanC ＝，C＝，B ＝.故选：B 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题．5．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()2AE AC +的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．13【答案】C 【解析】 【分析】分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=，可求1x y +=，而222()(2)(2)AEAC xy，化简求解.【详解】解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =，(2,2)AC =，由2AE AC ⋅=，即222x y +=，得1x y +=.所以222()(2)(2)AEAC xy 224()8x y x y22213x x=21252()22x，所以当12x =时，2()AEAC 的最小值为252. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.6．使得()3nx n N x x +⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】二项式展开式的通项公式为r -n 3x n r r C （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5=2n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B 【考点定位】本题考查二项式定理的应用．7．已知函数32,1()ln ,1(1)x x x f x a x x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪+⎩，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB的中点在y 轴上，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,)+∞ B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．[e,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据AB 中点在y 轴上，设出,A B 两点的坐标()32,A t t t-+，(,())B t f t ，（0t >）.对t 分成1,1,1t t t =三类，利用OA OB ⊥则0OA OB ⋅=，列方程，化简后求得ln t a t =，利用导数求得ln t t的值域，由此求得a 的取值范围. 【详解】根据条件可知A ，B 两点的横坐标互为相反数，不妨设()32,A t t t-+，(,())B t f t ，（0t >），若1t <，则32()f t t t =-+，由OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即()()232320t t ttt -++-+=，方程无解；若1t =，显然不满足OA OB ⊥；若1t >，则ln ()(1)a t f t t t =+，由0OA OB ⋅=，即()232ln 0(1)a t t t tt t -++=+，即ln t a t =，因为()'2ln 1ln ln t t t t -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数ln tt 在()0,e 上递减，在()e,+∞上递增，故在e t =处取得极小值也即是最小值e ln e e =，所以函数ln ty t=在(1)+∞上的值域为[),e +∞，故[e,)a ∈+∞.故选D. 【点睛】本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.8．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．0,3⎛ ⎝⎭C ．0,5⎛ ⎝⎭D ．0,6⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，22113,,01,03a a a a ∴><<<∴<<故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.9．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ） A ．{}|02x x ≤≤ B ．{}2|x x ≤C ．{}2|0x x -≤≤D ．∅【答案】C 【解析】试题分析：化简集合故选C ．考点：集合的运算．10．若()*3n x n N x x ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22aaa x dx --=（ ） A ．36π B ．812πC ．252πD ．25π【答案】C 【解析】()*3x nn N x x∈展开式的通项为()52133,0,1,,rn r n rrn r r r n n T C x C x r n x x ---+===，因为展开式中含有常数项，所以502n r -=，即25r n =为整数，故n 的最小值为1． 所以222252552aa x dx x dx π--⎰-=⎰-=.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2或3 B ．2或3C ．2或3D ．2或3【答案】D 【解析】 【分析】设1PF m =，2PF n =，根据125cos 7PF F ∠=和抛物线性质得出257PF m =，再根据双曲线性质得出7m a =，5n a =，最后根据余弦定理列方程得出a 、c 间的关系，从而可得出离心率．【详解】过P 分别向x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、N ，不妨设1PF m =，2PF n =，则121125cos 7mMF PN PF PF PF F ===∠=， P 为双曲线上的点，则122PF PF a -=，即527mm a -=，得7m a =，5n a ∴=， 又122F F c =，在12PF F ∆中，由余弦定理可得2225494257272a c a a c+-=⨯⨯，整理得22560c ac a -+=，即2560e e -+=，1e >，解得2e =或3e =.故选：D. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．12．函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）A ．()ln sin f x x =B ．()()ln cos f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan cos f x x =- 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊值及函数的单调性判断即可； 【详解】解：当0x =时，sin00=，ln sin0无意义，故排除A ； 又cos01=，则(0)tan cos0tan10f =-=-≠，故排除D ； 对于C ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 0x >，所以()sin tan f x x =-不单调，故排除C ； 故选：B 【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省常德市2021 2021学年高三数学一模试卷（理科）湖南省常德市2021-2021学年高三数学一模试卷（理科）2022-2022学年湖南省常德市第一份科技高考模拟试卷（科学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。

一项是符合题目要求的．1.如果集合M={x | 1＜x＜3}，n={x | x6x+8＜0}，那么M∩ n=（）A.（1,3）B.（2,3）C.（2,4）d.（1,4）2。

复Z满足ab．c、一,（s为虚数单位），则|z|=（）d．2二3．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为sn，且s3=14，a3=8，则a6=（）a．16b．32c．64d．1284．已知双曲线c：率为（）a．b。

c．d、见d，则与的夹角为（）=1（a>0，b>0）的渐近线方程为y=±x，然后双曲线C的离心5．已知单位向量a．b。

c．6.如图所示，如果在△ ABC，面积△ PBC的面积不超过△ ABC是（）a、不列颠哥伦比亚省。

个单位得到函数y=g（x）的图象，则7.将函数f（x）=cos2xsin2x的图像向右移动函数y=g（x）在下列哪个区间是单调递减的（）a．b．c．d．8.执行如图所示的程序框图，s输出值为（）a．4b．8c．20d．49.《章丘算经》是中国古代数学史上的一部杰作。

书中有一首古老的民谣记载了一系列的问题：“南山有一根竹子，竹尾被风刮断，剩下30节，一节一圈，头节高5英寸，头节高1英尺3英寸，每节多3点③ 每圈少三分④. 一只蚂蚁爬上去，当它遇到一个圆圈时，它就形成了一个圆圈。

数学参考答案第 1 页 共 6 页2021年常德市高三年级模拟考试数学 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．4 14 15．43π 16．34三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)解：(Ⅰ) []cos cos ()cos()C A B A B π=−+=+3cos()cos cos()cos()2sin sin 2A B C A B A B A B ∴−+=−++=⋅=3sin sin 4A B ∴⋅= ......................................................................................................2分又因为2c ab =，所以2sin sin sin C A B =⋅所以sin 2C =±.....................................................................................................3分又0C π<<所以3C π=或23C π=.......................................................................4分当23C π=时，3cos()cos 2A B C −+=得cos()2A B −=所以舍去当3C π=时3cos()cos 2A B C −+=得cos()1A B −=成立 所以3C π=..............................................................................................................5分数学参考答案第 2 页 共 6 页 (Ⅱ)由(Ⅰ)得3C π=且cos()1A B −=3A B π∴==ABC ∴∆为正三角形................................................................................................6分设ABC ∆边长为x,21(4)sin (4)24ACD S x x ACD x x ∆=−⋅⋅∠=−+................8分 所以当2x =时，ACD S ∆...................................................................10分 18．(本小题满分12分)解：（1）由1112n n S a +=+得：当2n ≥时，1112n n S a −=+， 故有111()2n n n n S S a a −+−=−，即11()2n n n a a a +=− ∴2n ≥时，13n n a a +=...............................................................................................3分 又13a =，12112S a =+，故24a =.........................................................................4分 即2n ≥，243n n a −=⋅................................................................................................5分 因此数列{}n a 的通项为23,143,2n n n a n −=⎧=⎨⋅≥⎩............................................................6分 （2）若+13n n a a >得，23112313333(2)n n n n n a a a a a n −−−−>>>>⋅⋅⋅>≥，所以有1133n n n a a −>=..............................................................................................8分211133n n n a a −−−>=，⋅⋅⋅22133a a >=，11a a =，各式相加得 故2n ≥时，23123333n n n S a a a =++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+...................................10分 又2333)3(31)3333132n n n−−+++⋅⋅⋅+==−（1因此有3(31)(2)2n n S n −>≥....................................................................................12分 19．(本小题满分12分)解： (Ⅰ)0.05100.1120.15140.416x =⨯+⨯+⨯+⨯0.2180.06200.0422+⨯+⨯+⨯15.88=....................................................................................................................4分 (Ⅱ) 由(1417.76)0.5P X ≤<= 且正态密度曲线关于15.88x μ==对称 所以1(1417.76)(14)(17.76)0.252P X P X P X −≤<<=>==,3(14)1(14)10.254P X P X ≥=−<=−=....................................................................6分 公众数学参考答案第 3 页 共 6 页由题意得随机变量30,1,2,3,~(3,)4B ξξ=,...........................................................7分 0303131(0)()()4464P C ξ===, 1213139(1)()()4464P C ξ=== 21231327(2)()()4464P C ξ===, 30331327(3)()()4464P C ξ===..........................................9分 所以随机变量ξ的分布列为：...................10分随机变量ξ的期望为39()344E np ξ==⨯= .......................................................12分20．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)取11AC 的中点1O ，连11D O ，11B O平面11A DC ⊥平面111A B C ，又平面11A DC 平面111A B C =11AC ，11B O ⊥11AC ，∴11B O ⊥平面11A DC ，又1DO ⊂平面11A DC ∴11B O ⊥1DO .............................2分又11B O //OD 且11B O =OD ，∴四边形11B O DO 为矩形，故1OD B O ⊥.........3分四边形11ACC A 为正方形，∴1AC CC ⊥，又11//BB CC ，∴1AC BB ⊥又AC BD ⊥，1BB BD B =∴AC ⊥平面1OBB ................................................5分又1B O ⊂平面11ODO B ，∴1AC B O ⊥又1OD B O ⊥，OD AC O =，∴1B O ⊥平面ABCD .......................................6分(Ⅱ)如图以O 为原点，OC ，OD ，OB 1分别为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系， 由题可知112AB BC AC CC BB =====，131BO B O ==， ξ0 1 2 3 P 164 964 2764 2764 AB CD A 1B 1C 1 O 1xy z数学参考答案第 4 页 共 6 页1(1,0,0)C D O ∴，，11111(1,3,1)OC OO O C OO OC =+=+=1C ∴由(Ⅰ)知平面1ACB //平面A 1DC 1∴OD ⊥平面A 1DC 1，故平面A 1DC 1的一个法向量(0,1,0)n =...........................8分 设平面CDC 1的法向量(,,)m x y z =，(1,3,0)CD =−，1(0,3,1)CC =0x z⎧−+=⎪∴+=，令1y =，得x z ==故可取平面CDC 1的一个法向量(3,1,3)m =−................................................10分设平面CDC 1与平面A 1DC 1所成二面角为θ，则||1|cos|||||7m n m n θ⋅==..........11分sin 7θ∴= 故平面CDC 1与平面A 1DC 1所成二面角的正弦值为7....................................12分21．(本小题满分12分)解：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，依题意有||2PF d =........................................1分 即2||2x =−..................................................................................................3分 化简得：2213y x −=...................................................................................................4分 （2）解法一：当PQ x ⊥轴时，易求得2=3πθ......................................................5分 当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为(2)y k x =−， 由22(2),13y k x y x =−⎧⎪⎨−=⎪⎩消去y 整理得2222(3)4(43)0k x k x k −+−+=， 221212224(43),33k k x x x x k k−++=−=−−4222=144(3)(43)9(1)0k k k k ∆+−+=+>，且k ≠.................................7分从而求得PQ的中点的坐标为22226(,)33k k k k −−， 又21226(1)||||3|k PQ x x k +=−==−................8分数学参考答案第 5 页 共 6 页可得22133||2|3|k r PQ k +==−..........................................................................................9分又圆心（即,P Q 两点的中点）到直线12x =的距离121||22x x d +=−=22222133||322|3|k k k k +−=−−...........................................................10分由垂径分弦定理可得 所以22223312|3|cos 3322|3|k d k k r k θ+−===+−，又(0,)θπ∈,即=23θπ 因此2=3πθ，即θ为定值..........................................................................................12分 解法二：当PQ x ⊥轴时，易求得2=3πθ.................................................................5分 当PQ 与x 轴不垂直时，①若,P Q 两点都在双曲线的右支上， 由题意中的条件可得：121211||||||2()2()2()222PQ PF PQ x x x x =+=−+−=+−， 故121211||[2()2]122r PQ x x x x ==+−=+−；又圆心（即,P Q 两点的中点）到直线12x =的距离12122x x d +=−.....................8分1cos 22d r ∴==θ,又(0,)∈θπ即3=πθ....................................................................9分②若点,P Q 为双曲线的左右两支上，不妨设点P 在左支，点Q 在右支上， 则，121211||||||2()2()22()22PQ PF PQ x x x x =−=−−−=−+， 故121211||[22()]1()22r PQ x x x x ==−+=−+， 又圆心（即,P Q 两点的中点）到直线12x =的距离12122x x d +=−...................10分 因此1cos 22d r θ==，又(0,)θπ∈,即=23θπ，........ ........ ............ .......................11分 综上，2=3πθ，即θ为定值........................................................................................12分 22．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 2221(21)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +−+'=−=++.............................................................2分数学参考答案第 6 页 共 6 页 令2()(21)g x ax a x a =+−+，22(21)441a a a ∆=−−=−+ ①当14a ≥时，()0g x ≥，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增......3分 ②当104a <<时，由()0g x =解得1x =，2x =210x x >==> ∴1(0,)x x ∈时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增 12(,)x x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减 2(,)x x ∈+∞时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增.....................5分 综上，当104a <<时，()f x在上单调递增，在上单调递减，在)+∞上单调递增 当14a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.........................................................6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知函数12,x x 是函数()f x 的两个极值点，则104a << 2112a x x a −+=，211x x =...........................................................................................7分121122()()()ln ()ln F x F x f x x a f x x a +=+++121212122ln()()ln (1)(1)x x a x x x x a x x ++=+++++121212122()ln 1x x x x a x x x x ++=+++++121ln a a a −=+..................................................9分 记1211()1ln 1(2)ln (0)4a h a a a a a a −=+=+−<<22111ln 12()ln (2)a a h a a a a a a −+−'=−+−=........................................................10分 104a <<，120ln 0a a ∴−>−>，()0h a '∴>，函数()h a 在1(0,)4上单调递增...........................................................11分1()()14ln 24h a h ∴<=−，即121ln 14ln 2a a a −+<− 12()()14ln 2F x F x ∴+<−.........................................................................................12分公众2021届高中毕业班联考（一）参考答案1．【答案】C【简析】【法一】两边取模可得： 55 1.z z =⇒= 【法二】求得543, 1.345i i z z i +===+ 2．【答案】D【简析】如图可知，M N ⊆，故N 的子集有32个.3．【答案】D【简析】3袋垃圾中恰有1袋投放正确的情况有31113=A C 种情形，由古典概型计算公式得三袋恰投对一袋垃圾的概率为21331113==A A C P ，选D ． 4．【答案】A【简析】依题： 336()201C a a -=-⇒=，含4x 项的系数516(1)6C -=-.5．【答案】C 【简析】易知：12a b +=，2()14a b ab +<=，1b ab a a >⇔>，显然成立. 6．【答案】B【简析】【法一】()0⋅-a b c =，如图，OA BC ⊥，直线OA 交BC 于D ， 30DOB ∠=︒，则c 在a上的投影为cos30OD =︒=b【法二】cos ,cos ,⋅⋅⇒<><>=a b =a c c a c =b a b 7．【答案】A【简析】设2211,r AF r AF ==，在21F AF ∆中，由2221212122cos60F F AF AF AF AF =+-， 得()21221221212221244r r a r r r r r r r r c +=+-=-+=，故222144a c r r -=.()2121AF AF +=， ()21122124AO AF AF AF AF =++⋅，()()[]()2122122121222123441341414r r a r r r r r r r r a +=+-=++=， 故2214a r r =. 222444a c a ∴=-，所以离心率2==ac e . 8．【答案】B 【简析】由条件可得，()cos()3g x x πω=-，作出两个函数图象，如图：A ,B ,C 为连续三交点，（不妨设B 在x 轴下方），D 为AC 的中点，由对称性，则ABC ∆是以B ∠为顶角的等腰三角形, 2AC T πω==，由 cos cos 3x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 整理得cos x x ωω=,得 cos 2x ω=±, 则 2C B y y =-=,所以 2B BD y ==, 要使ABC ∆为钝角三角形，只须4ACB π∠<即可，由tan 1BD ACB DC ∠==<， 所以0ω<<, 选.B 9．【答案】BCD 【简析】由表中数据可知3=x ，代入回归方程知142=y ，于是151=a ，B 正确，将7=x 代入回归方程得318=∧y ，D 正确，故本题答案是BCD .10．【答案】BC【简析】若{}n b 是等差数列，据等差数列求和公式知需1,n b b kn k Z +=∈，则{}n b 为“吉祥数列”，检验,A C 可知C 正确．{}n b 是摆动数列，由并项法知：24,2n n S n S n ==，21242==n n S S n n ，故B 正确，根据等比数列求和公式知D 错误.11．【答案】BCD 【简析】易知准线方程为y x C p y 4:,2,12==∴-=.设直线()11-=+x k y ，代入42x y =， 得0142=++-k kx x ，当直线与C 相切时，有0=∆，即012=--k k ，设TB TA ,斜率分别为21,k k ，易知21,k k 是上述方程两根，故121-=k k ，故TB TA ⊥. 设()()2211,,,y x B y x A ，其中4,4222211x y x y ==.则()112124:x x x x y TA -=-，即112y x x y -=， 代入点)1,1(-，得02211=+-y x ，同理可得22220x y -+=，故022:=+-y x AB ，故12AB k =. 公众号：潍坊高中数学由21444212122212121=+=--=--=x x x x x x x x y y k AB ，得1221=+x x ，即AB 中点横坐标为1. 12．【答案】ABD【简析】,()()x R f x f x ∈-=, ()f x ∴是偶函数, A 正确; (2)()f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性, 只须研究()f x 在[0,2]π上图象变化情况.sin sin sin 2,0(),1,2x x x e x f x e x e πππ⎧⎪=⎨+<⎪⎩当 0x π时 ,sin ()2cos x f x xe '=, 则()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 上单调递增,在 ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 此时()[2,2];f x e ∈ 当2x ππ≤≤时 ,()sin sin ()cos x x f x x e e '-=-, 则 ()f x 在3[,]2x ππ∈ 上单调递增,在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减, 此时1()2,f x e e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦, 故当 02x π时 ,min ()2f x =, B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减,又()f x 是偶函数,故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 上单调递增, 故C 错误. 对于D , 转化为2()f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增, 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 在 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增, 在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.当(,)x π∈-∞时,()2f x , 22x π<, 2()f x x π=无实根.(3,)x π∈+∞时,max 262()x e f x π>>=,2()f x x π=无实根，3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, 显然x π=为方程之根. ()sin sin sin sin (),()cos 0x x x x f x e e f x x e e -'-=+=->,3123322f e e πππ⎛⎫=+>⨯= ⎪⎝⎭,单独就这段图象, 3()02f f ππ''⎛⎫== ⎪⎝⎭,()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化趋势为先快后慢,故()g x 在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有1个零点,由图象知()g x 在 3,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有3个零点,又5()252f e π=>,结合图象,知D 正确 .13．【答案】104x <<(答案不唯一，请阅卷教师按照题意自行把握). 【简析】22124202x x x x x >⇒>⇒<<，依题有:1,(0,)2x A A ∈⊆. 14．【答案】0 【简析】()(2)1f x f x +-=，两边同时求导可得：()(2)0f x f x ''--=，(2019)(2021)0.f f ''--=15．【答案】24π或8π 【简析】BP PC ⊥，AO ⊥面BPC ，∴三棱锥A PBC -的外接球球心M 在AO 上，且4r =外，2MO ∴=，4MA =，6AO ∴=或2AO =1126243V ππ∴=⨯⨯⨯=圆锥或112283V ππ=⨯⨯⨯=圆锥. 16．【答案】31624+【简析】以经过,A B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图， 则(2,0)A -，(2,0)B，设(,),PAP x y PB ==得：12)4(0482222=+-⇒=+-+y x x y x ，点P 的轨迹为圆（如图），其面积为π12. 【法一】22244PA PB x y OP ⋅=-+=-，如图当P 位于点D 时，2OP 最大 ，2OP 最大值为31628)324(2+=+，故PA PB ⋅最大值是31624+. 【法二】由极化恒等式知：2224PA PB OP OB OP ⋅=-=-，以下同法一.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】（1）成等差数列， C A B c a b sin sin sin 22+=∴+=∴------------------------------1分 当3π=A 时，C B sin 3sin sin 2+=π，即)32sin(3sin sin 2B B -+=ππ 21)6sin(=-∴πB 而3,66,266,320πππππππ=∴=-∴<-<-∴<<B B B B -----------------------------5分 （2）由余弦定理及c a b +=2，222()3112cos ()2842a c a c c a B ac a c ++-==+-≥，当c a =时取等号． c b a ,,公众号：潍坊高中数学结合余弦函数的单调性可知：30π≤<B ．----------------------------------------------------------------------------10分18．【解析】（1）依题，在1122n n n a a ++-=两边同时除以12n +， 得：11122n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 为等差数列.-----------------------------------------------------------------------5分 （2）由上易得: 1(1)2n n a n n =+-=，可得2n n a n =⋅-----------------------------------------------------------7分 【法一裂项相消】由1122n n n a a ++-=可得: 112n n n n a a a +++=--------------------------------------------------8分 则数列1{2}n n a ++的前n 项和1121()()()n n n n n S a a a a a a +-=-+-++-111(1)22n n a a n ++=-=+⋅-------------------------------------------------12分【法二乘比错位】12(2)2n n n a n ++=+⋅--------------------------------------------------------------------------------7分 则数列1{2}n n a ++的前n 项和123324252(2)2n n S n =⋅+⋅+⋅+++⋅23123242(1)2(2)2n n n S n n +=⋅+⋅+++⋅++⋅两式相减得：2316222(2)2n n n S n +-=++++-+⋅-----------------------------------------------------------10分1(1)22n n S n +=+⋅--------------------------------------------------------------------------------------12分19.【解析】（1）设40个槟榔芋中，每个槟榔芋的平均质量为q ，则6.19324006.022012.020044.018024.01601.014004.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=q （克）------------4分 所以这批槟榔芋的数量约为5176.193100000≈（个） -------------------------------------------------------------------5分 （2）X 所有可能取值为0，1，2，3. 由表中数据可知，任意挑选一个槟榔芋，质量在[)170,150的概率为101505=-----------------------------------6分 所以()729.010903=⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ()243.01011091213=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ()027.010*********=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ()001.010133=⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ------------------------10分 故X 的分布列为：所以()3.0001.03027.02243.01729.00=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ----------------------------------------------12分20．【解析】【法一】(等积法)（1）即求点B到平面11AC D 之距h.11111114B A C D ABCD A B C D AABD V V V ---=-==，11A D C D ==11AC=，如图，DH =，1111323B A C D Vh -∴=⨯⨯=h ∴==分 【法二】如图，连1111AC B D O =，取1DD 中点H ，在正方形11DD B B 中，易证：DO HB ⊥ BH OD E =，有BE OD ⊥①，又111111111AC B D AC AC B B ⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩面1BD 11AC ⇒⊥BE ②，由①②可得：BE ⊥面11AC D ，在BDE ∆中，cos BE BD DBE BE BD BH ∠==⇒=--------------------------------------6分 【法三】如图建系，各点坐标如图，面11D AC 的法向量为(,,)x y z =m ，1122003200y z DA x y z DC ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩m m ，取1y =，1z =-，x =∴m 可为)1- 455BDBE ⋅===m m -------------------------------------------------6分 （2）如图建系，各点坐标如图，面11D AC 的法向量为(,,)x y z =m ，//BE m ， 1122003200y z DA x y z DC ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩m m ，取1y =，1z =-，x = ∴m 可为)1-，同理可求面1FC B的法向量23⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n ， cos ,sin θ===m n .-------------------------------------------------------------------------------------12分 21. 【解析】（1）设公共点为P ，则r PF rPF -==4,21，故12124PF PF F F +=> 即公共点P 的轨迹为椭圆. -------------------------------------------------------------------------------------------------2分公众号：潍坊高中且2,42=∴=a a ，又3,12=∴=b c ，故曲线134:22=+yx E .------------------------------------------------4分（2）当直线PQ 斜率不存在时，712:±=x PQ ，代入E 得712±=y ，易知OQ OP ⊥；------------5分 当直线PQ 斜率存在，设m kx y PQ +=:，PQ 与圆O()221217r m k =⇒=+---------6分 将PQ 方程代入E ，得()0124834222=-+++m kmx x k ，34124,3482221221+-=+-=+∴k m x x k km x x ， ()()()()221212*********OP OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++----------------------7分()()2222222348341241m k m k k m k++-+-+=()341127222++-=k k m 将()171222+=k m 代入，得0OP OQ ⋅=，即OQ OP ⊥---------------------------------------------------------10分 综上，恒有OQ OP ⊥， 2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-.--------------------------------------------12分 【法二】当直线PQ 斜率不存在时，712:±=x PQ ，代入E ，得712±=y ，127AP AQ AP AQ ⋅=-⋅=-； 当直线PQ 斜率存在时，设m kx y PQ +=:，PQ 与圆O 相切，r k m =+∴12，即()171222+=k m . 将PQ 方程代入E ，得()0124834222=-+++m kmx x k ，34124,3482221221+-=+-=+∴k m x x k km x x ， ()()7122171221212212122-+++=-++=-=m kmx x km kx x r OP AP k mx k kmx x m 7121277122127121212+=++=，同理可得k mx AQ 7121272+=， 故()221212712127k AP AQ m x x km x x =+++---------------------------------------------------------------------10分 将21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，及()171222+=k m 代入，可得712=⋅AQ AP . 综上127AP AQ AP AQ ⋅=-⋅=-.（注：本题也可联想射影定理思考）------------------------------------12分22．【解析】（1）当 1k a ==时，1x x y e +=，由2(1)x x x xe x e x y e e '-+==-------------------------------------1分 则函数1x x y e+=在(,0)-∞上单调递增,在(0,)+∞上单调递减,当0x =时, max 1y =-------------------------4分. （2）【法一】记()()()axh x f x g x e kx a =-=--（0,0x a >>），则()()ax ax k h x ae k a e a'=-=-① 当1ka≤时，()h x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)1h x h a >=-，由10a -≥，可得01a <≤---------5分② 当1ka>时，()h x 在1(0,ln )k a a 上单调递减，在1(ln )k a a +∞，上单调递增，min 1()(ln )k h x h a a =ln k k ka a a a =--，由m in ()0h x ≥，可得21ln 0k a a k --≥，令2()1ln k a a a k ϕ=-----------------------7分1︒.若1k <时，对于 ①，1k a ≤≤，此时a 不唯一（舍去）2︒.若1k =时，对于①，11a ≤≤，即1a =对于②，01a <<时，由221()1ln =1+ln a a a a aϕ=---，所以当01a <<时，2112()2a a a a a ϕ-'=-=，1a <<时，()a ϕ为减函数，()(1)0a ϕϕ>=，此时a 不唯一（舍去）---------------------------------8分 3︒.若1k >时，对于①，a 无解，对于②，转化为2()1ln 0k a a a kϕ=--≥在(0,)k 内仅有唯一解的问题.2122()a k a a a k ak ϕ-'=-=,()a ϕ在上单调递增，在)k 上单调递减，1)a k ∃=∈+∞， ()10k k ϕ=-<；21a e ∃=∈，211()ln 0k e e kϕ=--<，要使a唯一，只须0ϕ=，即1102-=，解得2ek =，此时a ==符合题意---------------------------------------------------11分 综上：存在2ek =，有唯一的a ==符合题意--------------------------------------------------------------12分 【法二】原问题等价于()10ax kx a x e ϕ+=- 恒成立，2()ax akx a k x eϕ'+-=，(0)1a ϕ=---------------5分 1°. 当00,()0,()(0,)k x x x ϕϕ'=>>+∞时，在上单调递增，要使()0x ϕ≥恒成立，只须10a -即可， 得01a <≤，此时a 不唯一（舍去）---------------------------------------------------------------------------------------6分2°. 当0k <时，220,(),()k a k ax x x x ak akϕϕ--<<>可得单调递增；单调递减公众号：潍坊高中数学若01a <时, 221(0)0,=10,()0a kk a kx ak ae ϕϕϕ-⎛⎫-->> ⎪⎝⎭满足，此时a 不唯一（舍去） 若1a >时，221(0)0,=10,a k k a k ak ae ϕϕ-⎛⎫-<-> ⎪⎝⎭由零点存在性定理得：200()00,k a x x ak ϕ⎛⎫-∃=∈ ⎪⎝⎭，且，当()00,()0x x x ϕ∈<时，与题意矛盾（舍去）--------------------------------------------------------------------------9分 3°. 当20k a <时 ,()(0,),(0)10x a ϕϕ+∞=-在上单调递增只须, 此时a 不唯一.当222,,()0,()k a k a k a x x x x ak akϕϕ-->><<单调递增；时单调递减，要使()0x ϕ≥恒成立，且a 唯一，只须221=10a kk a k ak ae ϕ-⎛⎫--= ⎪⎝⎭, 所以有21ln a k k a -=， 令222()ln ln 1,()a k a H a a kH a k ak '-=-+-=，故()H a 在a ∈上单调递增，在)a ∈+∞上单调递减，则须使0H =,解得,2e k a ==,2e k a ==----------------12分。

湖南省常德市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CE CA E A E∠=，即可得出结果. 【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ，而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥，由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形，所以111A E B C ⊥，且111A EB C E =, 所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ，则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，设2AB =，则122AA =13A E =，3CE =， 则11tan 33CE CA E A E ∠===∴13πCA E ∠=. 故选：C.【点睛】 本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为34y x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（ ） A ．221916x y -= B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得34b a，22225c a b =+=，所以4a =，3b =，所求双曲线方程为221169x y -=． 考点：双曲线方程. 3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ）A ．24B ．36C ．48D ．64【答案】B【解析】【分析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和.【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案； 当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案，故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.4．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．15【答案】A【解析】【分析】 根据题意可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数.【详解】输入的a ，b 分别为176,320,根据流程图可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数，按流程图计算320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16,易得176和320的最大公约数为16，故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.5．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC 内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）．A ．1B ．1C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C 到平面PAB 的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.【详解】画出图形：若O 为ABC 的外心，则2OA OB OC ===PO ⊥平面ABC ,可得PO OC ⊥,即222PC PO OC =+=，①正确; ABC 若为等边三角形，⊥AP BC ，又AP PB ⊥可得AP ⊥平面PBC ，即AP PC ⊥,由PO OC ⊥可得222622PC PO OC AC =+=+==，矛盾，②错误;若90ACB ∠=︒，设PC 与平面PAB 所成角为θ 可得2,2OC OA OB PC ====，设C 到平面PAB 的距离为d由C PAB P ABC V V --=可得11112223232d AC BC ⋅⋅⋅=⋅ 即有222242AC BC AC BC d +⋅==，当且仅当2AC BC ==取等号. 可得d 2，2sin 22d θ=即θ的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦，③正确； 取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN由中位线定理可得平面//OKN 平面PAC可得M 在线段KN 上，而122KN PC ==，可得④正确； 所以正确的是：①③④故选：C【点睛】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.6．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( )A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【详解】由()11z z i -=+得：()()()211111i i z i i i i ++===-+-本题正确选项：C【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．7．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（）A ．2B ．24C ．16D ．14【答案】D【解析】【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【详解】做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ， 所以23z x y =+的最小值为14.故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 8．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（ ）A ．1B ．2C ．2D ．4 【答案】C【解析】【分析】设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，与抛物线联立利用韦达定理可得p ． 【详解】由已知得F （2p ，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0），∴y 1+y 2＝p ，又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 012=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2, 故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题． 9．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ） A ．20B ．30C ．50D ．60【答案】D【解析】【分析】先设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --，在表示出1F AB ∆面积，由图象遏制，当点A 在椭圆的顶点时，此时1F AB ∆面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解.【详解】由题意，设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --，则1F AB ∆的面积为122S OF y c y =⨯⨯=， 当y 最大时，1F AB ∆的面积最大，由图象可知，当点A 在椭圆的上下顶点时，此时1F AB ∆的面积最大， 又由22116925x y +=，可得椭圆的上下顶点坐标为(0,5),(0,5)-， 所以1F AB ∆的面积的最大值为16925560S cb ==-⨯=.故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用.10．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为（ ）A 3B 6C ．36 D ．336【答案】C【解析】【分析】将正四面体的展开图还原为空间几何体，,,A D F 三点重合，记作D ，取DC 中点H ，连接,,EG EH GH ，EGH ∠即为EG 与直线BC 所成的角，表示出三角形EGH 的三条边长，用余弦定理即可求得cos EGH ∠. 【详解】将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中,,A D F 三点重合，记作D ：则G 为BD 中点，取DC 中点H ，连接,,EG EH GH ，设正四面体的棱长均为a ，由中位线定理可得//GH BC 且1122GH BC a ==， 所以EGH ∠即为EG 与直线BC 所成的角，22132EG EH a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ， 由余弦定理可得222cos 2EG GH EH EGH EG GH+-∠=⋅ 22231334446312a a a a a +-==⨯⋅， 所以直线EG 与直线BC 3， 故选：C.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.11．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）A．2014年我国入境游客万人次最少B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差【答案】D【解析】【分析】ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确.【详解】A．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；B．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；C．入境游客万人次的中位数应为13340.13与13604.33的平均数，大于13340万次，故正确；D．由统计图可知：前3年的入境游客万人次相比于后3年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误. 故选：D.【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.12．已知实数x、y满足不等式组210210x yx yy-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y=-+的最大值为（）A．3B．2C．32-D．2-【答案】A 【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【详解】画出不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示平面区域，如图所示，由目标函数3z x y =-+，化为直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时，此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由2100x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(1,0)A -， 所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省常德市2021届新高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立， 当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件． 当m≠0时，则l 1∥l 2⇒32211m m m --=≠-， 由321m mm -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由211m -≠-得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件， 故答案为：A 【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合. 2．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()RA B【详解】故选：D 【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题. 3．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+【答案】B 【解析】 【分析】 复数11122a i a a z i i --+==-+，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a 的不等式组，解得a 的范围. 【详解】11122a i a a z i i --+==-+， 由其在复平面对应的点在第二象限， 得1010a a -<⎧⎨+<⎩，则1a <-.故选：B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．83B ．163C ．43D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积． 【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键．5．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ） A ．33B 3C ．2或33D ．23【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，所以3b a =3，由离心率公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可算出结果.【详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，又双曲线的焦点既可在x轴，又可在y 轴上，所以3b a =33，212b e a ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭或33. 故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想. 6．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1 B ．23-C ．13-D ．34-【答案】B 【解析】 【分析】13BE AE AB AD AB =-=-，1()2AD AB AC =+ ，5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.7．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg 20.3010≈） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n 天后长度，进而可得：131212212112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--，解出即可得出． 【详解】由题意可得莞草与蒲草第n 天的长度分别为1113,122n n n n a b --⎛⎫=⨯=⨯ ⎪⎝⎭据题意得：131212212112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--， 解得2n ＝12， ∴n 122lg lg ==232lg lg +≈1． 故选：C ． 【点睛】8．已知实数,x y满足不等式组10240440x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34xy+的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】【分析】作出约束条件的可行域，在可行域内求34z x y=+的最小值即为34x y+的最小值，作34y x=-，平移直线即可求解.【详解】作出实数,x y满足不等式组10240440x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的可行域，如图（阴影部分）令34z x y=+，则344zy x=-+，作出34y x=-，平移直线，当直线经过点1,0A时，截距最小，故min3103z=⨯+=，即34x y+的最小值为3.故选：B【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题.B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立 【答案】D 【解析】 【分析】取1a b ==，可排除AB ；由蛛网图可得数列{}n a 的单调情况，进而得到要使n a M <，只需1142ab+-<，由此可得到答案.【详解】取1a b ==，211n n a a +=+，数列{}n a 恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB 选项；由蛛网图可知，2ax b x +=存在两个不动点，且1114ab x --=，2114abx +-=，因为当110a x <<时，数列{}n a 单调递增，则1n a x <； 当112x a x <<时，数列{}n a 单调递减，则11n x a a <≤； 所以要使n a M <，只需要120a x <<，故1142ab+-<，化简得24b a <-且0b >.故选：D ． 【点睛】本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题． 10．已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．45B ．45-C ．45iD ．45-i 【答案】B利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【详解】()()()53453434343455i z i i i i -===-++-， 则复数z 的虚部为45-. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.11．()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( ) A ．－60 B ．240C ．－80D ．180【答案】D 【解析】 【分析】求()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项，可转化为求62x ⎫⎪⎭展开式中的常数项和31x 项，再求和即可得出答案. 【详解】由题意，62x ⎫⎪⎭中常数项为2426260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，62x ⎫⎪⎭中31x 项为4246321240C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为：3x ⨯31240160180x -⨯=. 故选：D 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题. 12．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2C D【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+， 1222(2)121i iz i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---， 12||z i z ∴=-+⇒==故选：D 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年湖南省常德市杜坪中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R），若x=x0是函数f（x）的一条对称轴，且tanx0=3，则点（a，b）所在的直线为（）A．x﹣3y=0 B．x+3y=0 C．3x﹣y=0 D．3x+y=0参考答案：A【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，求出函数的对称轴即可得到结论．【解答】解：f（x）=asinx+bcosx=（sinx+cosx），令sinα=，则cosα=，即tanα=，则f（x）=cos（x﹣α），由x﹣α=kπ，得x=α+kπ，k∈Z，即函数的对称轴为x=α+kπ，k∈Z，∵x=x0是函数f（x）的一条对称轴，∴x0=α+kπ，则tanx0=tanα==3，即a=3b，即a﹣3b=0，则点（a，b）所在的直线为x﹣3y=0，故选：A2. 在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+2－a n=1+(－1)n（n∈N+），则S100=（）A．0 B．1300 C．2600 D．2602参考答案：C【分析】奇数项：a2k+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k﹣1=a2k﹣1，偶数项：a2k+2=1+（﹣1）2k+a2k=2+a2k，所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2，由此能求出S奇数项：a2k+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k﹣1=a2k﹣1，故能求出S100．【解答】解：奇数项：a2k+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k﹣1=a2k﹣1，偶数项：a2k+2=1+（﹣1）2k+a2k=2+a2k所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2a100=a2+49×2=100，S100=50×a1+50×（a1+a100）×=50+50（2+100）×=2600．故选：C．3. 已知函数则的大致图象是（）参考答案：C4. 下列命题错误的是A．命题“若，则”的逆否命题为“若x≠1，则”B．若为假命题，则p，q均为假命题C．对于命题p：R，使得，则为：R，均有D．“x>2”是“”的充分不必要条件参考答案：B5. 设函数f（x）=在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f（x）的值不小于常数e 的概率是（）A．B．1﹣C．D．参考答案：B【考点】CF：几何概型．【分析】1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，以长度为测度，即可求出概率．【解答】解：由题意，0≤x＜1，f（x）＜e，1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，∵f（x）的值不小于常数e，∴1≤x≤e，∴所求概率为=1﹣，故选B．【点评】本题考查概率的计算，考查分段函数，确定以长度为测度是关键．6. 直线，当此直线在轴的截距和最小时，实数的值是A． 1 B． C． 2D． 3参考答案：D略7. 已知x，y满足，则目标函数z=3x+y的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．10参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】画出可行域，求出A，B坐标，利用角点法求解即可．【解答】解：画出可行域如图1所示，当目标函数y=﹣3x+z经过点A（1，3）时，z的值为6；当目标函数y=﹣3x+z经过点B（2，2）时，z的值为8，故选：B．【点评】本题考查线性规划的简单应用，角点法求法具体目标函数的最值的求法的应用，考查数形结合思想以及计算能力．8. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的值为A． B． C．D．参考答案：A9. （3）已知点（A）（B）（C）（D）参考答案：A10. 已知复数z满足=（a∈R），若z的虚部为﹣3，则z的实部为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．5参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z的虚部为﹣3求得a值，则答案可求．【解答】解：∵=，∴=（2+ai）（1﹣i）=2+a+（a﹣2）i，∴a﹣2=﹣3，即a=﹣1．∴实部为2+a=2﹣1=1．故选：B．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，若，则实数的值是 .参考答案：略12. 已知A，B 是求O 的球面上两点，且∠AOB=120°，C 为球面上的动点，若三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为，则求O 的表面积为 ．参考答案：64π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为，求出半径，即可求出球O 的表面积．【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC =V C ﹣AOB ==，故R=4，则球O 的表面积为4πR 2=64π， 故答案为：64π．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大是关键．13. 将正偶数集合{2,4,6,…}从小到大按第n 组有3n －2个数进行分组：，，则2018位于第 组.参考答案：2714. 已知若，则___________参考答案：-1或3略15. 已知函数.若不等式的解集为，则实数的值为 .参考答案：因为不等式的解集为，即是方程的两个根，即，所以，即，解得。

2021年湖南省常德市澧县大坪乡中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 计算：的结果是（）A. B. C. D.参考答案：D2. 已知集合，={0,1,2}，=则 =．．{0,1 } ．{1,2} ．参考答案：A3. 不等式的解集是A．（-2、2） B．、-2）（2、+）C．（-1、3） D．（-3、1）参考答案：C略4. 已知点F ( c,0) (c >0)是双曲线的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P，且点P在抛物线y2=4cx上，则该双曲线的离心率的平方等于A. B. C. D.参考答案：D略5. 条件，条件，则是的（）A．充分非必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件参考答案：A6. 现有四个函数：①②③④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是A．①④③②B．④①②③ C. ①④②③．D．③④②①参考答案：C7. 函数=是定义在实数集R上的函数，=-与的图象之间 A.关于直线＝5对称 B.关于直线＝1对称C.关于点（5，0）对称D.关于点（1，0）对称参考答案：D略8. 已知集合，，则（）A. B. C.D.参考答案：B9. 如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则求O的表面积为( )A．4πB．8πC．12πD．16π参考答案：D【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；综合题．【分析】由题意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，S ABCD=2R2，，所以，R=2，球O的表面积是16π，故选D．【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，是基础题．10. 记集合，，则（）A． B． C．D．参考答案：.考点：1、集合的基本运算.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知平面上三点A、B、C满足||=,||=，||=，则的值等于_______________．参考答案：【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积;函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.【试题分析】因为,所以,,同理，可求得,,,,所以，故答案为.(或)12. 已知数列{a n}，{b n}满足，，，则b1·b2·… ·b2017= ．参考答案：∵，，∴，，∴，，归纳猜想：∴故答案为：13. 设函数,若,则参考答案：-914. 圆关于直线对称的圆的方程为；参考答案：15. 一个算法的程序框图如下，则其输出结果是．30（理）图 30（文）图参考答案：16. 某几何体的一条棱长为3，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为2的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为。