奥数-乘积问题

乘积问题 （18年2月19日）

1*3*5*…*2015*2017的结果中，最后两位数字是多少？

答案：25。

讲解思路：

这种求乘积最后几位的问题，

我们前面多次讲过类似题目，

核心思想就是积的最后2位数只与参与乘法的数的最后2位数有关。

由于从1-2017的奇数相乘个数太多，

自然想到在其中寻找一个特殊的数与其它数相乘。

步骤1：

先思考第一个问题，

这个特殊的数选多少？

如果是只求乘积的最后一位数，

特殊的数肯定选5，

因为5个所有奇数相乘末尾一位都是5。

如果是求乘积的最后两位数，

特殊的数就选25，

因为25乘以任何奇数，

最末两位数不是25就是75。

所以，原题转化为25和1-2017的剩余奇数相乘的问题。

步骤2：

再思考第二个问题，

25和哪些奇数相乘末两位是25?

由于25*4=100，

如果某数n=4k+1,

则25*n=100k+25,

故如果奇数除以4的余数是1，

则其与25的乘积末两位是25。

步骤3： 再思考第三个问题，

25和哪些奇数相乘末两位是75?

由于25*4=100，

如果某数n=4k+3,

则25*n=100k+75,

故如果奇数除以4的余数是3，

则其与25的乘积末两位是75。

步骤4：

再思考第四个问题，

1*3*…*23*27*29*…*2015*2017除以4的余数是多少？

任何一个奇数，

除以4的余数不是1就是3，

奇数从小到大除以4的余数是1和3不断重复。

在1-2017中扣除25后的其余1008个奇数中，

除以4的余数是1的数有504个，

除以4的余数是3的数也有504个。

故1*3*…*23*27*29*…*2015*2017除以4的余数就等于3^504除以4的余数，

由于3^2=9，除以4的余数是1，

故3^504=9^252,除以4的余数也是1，

所以1*3*…*23*27*29*…*2015*2017除以4的余数是1。

步骤5：

综合上述几个问题。

由于1*3*5*…*2015*2017

=25*(1*3*…*23*27*29*…*2015*2017),

括号里的数除以4的余数是1，

从步骤2的结论知道，

1*3*5*…*2015*2017的末两位是25。

思考题：

1*3*5*…*2015*2017*2019的结果中，最后两位数字是多少？

乘法问题 （18年4月22日） 小明在计算两个两位数相乘时，不小心把其中较小一个数的个位弄错了，得到的结果是1416。请问这两个数中，较大的一个是多少？

答案：59。

讲解思路：

这道题目中条件较少，

乘积是1416应当是突破口，

方法是将1416写成两位数的乘积。

步骤1：

先思考第一个问题，

1416能写成几种两位数的乘积?

这个问题比较简单，

因为1416=3*8*59，

所以只能写成1种，

即1416=24*59。

步骤2：

再思考第二个问题，

较大的数是多少？

因为较大的数没有错，

所以较大的数就是59。

思考题：

小明在计算两个两位数相乘时，不小心把其中较小一个数的个位弄错了，得到的结果是1416。请问这两个数中，请问原来正确答案可能比1800大么？

乘法问题（18年5月9日）

1*2*3*…*2017*2018的末尾有多少个连续的0？

答案：502个。

讲解思路：

末尾连续的0来自5和2的乘积， 有一组5*2就有1个0，

将1-2018分解因数后，

2的个数明显多于5的个数，

因此原问题等价于求分解因数后5的个数。

由于4个5相乘是625，

而5个5相乘是3125，

故只需要考虑5、25、125、625的倍数即可，

注意中间要剔除重复的数字。

步骤1：

先思考第一个问题，

1-2018的所有数中，

是625的整数倍的有多少个？

由于2018/625=3.2，

因此625的整数倍数有3个。

步骤2：

再思考第二个问题，

1-2018的所有数中，

是125的整数倍但不是625的整数倍的有多少个？

由于2018/125=16.1，

因此125的整数倍数有16个，

减去625的整数倍数3个，

共有13个。

步骤3：

再思考第三个问题，

1-2018的所有数中，

是25的整数倍但不是125的整数倍的有多少个？

由于2018/25=80.7，

因此25的整数倍数有80个，

减去125的整数倍数16个，

共有64个。

步骤4：

再思考第四个问题，

1-2018的所有数中，

是5的整数倍但不是25的整数倍的有多少个？

由于2018/5=403.6，

因此5的整数倍数有403个，

减去25的整数倍数80个，

共有323个。

步骤5：

综合上述几个问题，

在前面4个步骤的结果中，

每个625的整数倍可以乘出4个0，

每个125的整数倍可以乘出3个0，

每个25的整数倍可以乘出2个0，

每个5的整数倍可以乘出1个0，

所以乘积中0的个数是

1*323+2*64+3*13+4*3=502。

思考题：

2*4*6*…*2016*2018的末尾有多少个连续的0？

乘法问题（18年5月15日）

1*3*5*…*2015*2017的结果中，最后三位数字是多少？

答案：625。

讲解思路：

先复习两个知识点：

(1)设m,n,p,q,a,b都是正整数,

p除以n的余数是a,

q除以n的余数是b,

若m=p*q,

则m除以n的余数等于a*b除以n的余数。

(2)乘积的末3位只与参加乘法的数末3位有关。 由于从1-2017的奇数相乘个数太多，

在其中寻找一个特殊的数与其它数相乘，

这道题中选择125作为特殊的数。

步骤1：

先思考第一个问题，

125与奇数相乘末三位数分别是多少？

由于125*8=1000，

任何一个奇数除以8的余数只有4种，

分别是1、3、5、7，

乘以125后的末三位数也只有4种，

分别是125、375、625、875。

问题就转化为求原式去掉125后除以8的余数。

步骤2：

再思考第二个问题，

1-2017的奇数除以8的余数有什么规律？

所有奇数都可以写成8n+k的形式，

其中n是自然数，

k=1、3、5、7，

因此规律就是1、3、5、7不断重复，

最后2017除以8的余数是1。

步骤3：

再思考第3个问题，

去掉125后，

1-2017的其它奇数相乘除以8余数是几?

由于1*3*5*7=105，

除以8的余数是1。

结合上面的第一个知识点，

自然想到将奇数进行分组。

1-2017的奇数共有1009个，

每相邻4个数分为1组，

共有252组还剩1个。

应用第一个知识点， 去掉125所在的组后，

其余的数相乘除以8的余数是1。

125所在的组是121、123、125、127，

该组其余3个数乘积除以8的余数是5。

所以去掉125后，

1-2017的其它奇数相乘除以8余数是5。

步骤4：

综合上述几个问题，

结合步骤1和步骤3的结论，

原式的末三位数就是625。

思考题：

1*5*9*…*2013*2017的结果中，最后两位数字是多少？

乘法问题（18年6月21日）

自然数n=111…111(共2016个1)，请问n*n的所有数字和是多少？

讲解思路：

这道题属于很一般的乘法，

看起来没有任何简便运算的可能，

自然想到要寻找乘积的规律，

为此从最基础的乘法过程进行思考。

步骤1：

先思考第一个问题，

把n*n的乘法基础过程写出。

直接按照多位数乘法写出过程如下图：

步骤2： 再思考第二个问题，

n*n的结果共有多少位？

这个问题比较简单，

从上面的图形可以很直观的看出，

共有2016+2016-1=4031位。

步骤3：

再思考第三个问题，

乘积结果中最后的9位是多少？

这个问题也很显然，

就是987654321。

步骤4：

再思考第四个问题，

结果中最后2016位是多少？

最后9位在步骤3中已经知道，

从后往前不断计算，

结合上面的图形可得，

从第2016位开始到第4022位，

规律是每9位重复1次，

都是987654320不断重复。

由于(4023-2016)/9=223，

因此最后2016位是

987654320…987654320123456789,

其中987654320重复223次。

步骤5：

再思考第五个问题，

结果的第2008位到第2015位是多少？

先思考第2015位数，

在步骤4中的计算可以得到，

第2016位相加后进位223。

第2015位是由2015个1相加得到，

加上后面进位的223，

由于2015+223=2238，