因子分析(因子评价)
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因子分析
一．因子分析原理
因子分析是根据相关性大小把原始变量进行分组，使得同组内的变量之间相关性高，而不同组的变量之间的相关性低。每组变量代表一个基本结构（即公共因子），并用一个不可观测的综合变量来表示。对于所研究的某一具体问题，原始变量分解为两部分之和。一部分是少数几个不可观测的公共因子的线性函数，另一部分是与公共因子无关的特殊因子。
从全部计算过程来看作R型因子分析与作Q型因子分析都是一样的，只不过出发点不同，R型从相关系数矩阵出发，Q型从相似系数阵出发都是对同一批观测数据，可以根据其所要求的目的决定用哪一类型的因子分析
因子模型的性质：模型不受变量量纲的影响；因子载荷不是唯一的。
二．因子分析的数学模型
设有p个指标，则因子分析数学模型为：
11111221221122221122ppppppppppXrYrYrYXrYrYrYXrYrYrY
其中，12,,,pXXX是已标准化的可观测的评价指标。12,,,kFFF出现在每个指标iX的表达式中，称为公共因子，公共因子是不可观测的，其含义要根据具体问题来解释。i是各个对应指标iX所特有的因子，故称为特殊因子，它与公共因子之间彼此独立。ijr是指标iX在公共因子jF上的系数，称为因子载荷，因子载荷ijr的统计含义是指标iX在公共因子jF上的相关系数，表示iX与jF线性相关程度。
用矩阵形式表示为：
XAF
其中12(,,,)pXXXX，12(,,,)kFFFF，12(,,,)p，111212122212mmpppmrrrrrrArrr，A称为因子载荷矩阵。
其统计含义是：
A中的第i行元素12,,,iiimrrr说明了指标iX依赖于各个公共因子的程度。
A中第j列元素12,,,jjmjrrr说明了公共因子jF与各个指标的联系程度。故常根据该列绝对值较大的因子载荷所对应的指标来解释这个公共因子的实际意义。 A中的第i行元素12,,,iiimrrr的平方和221miijjhr称为指标iX的共同度。
A中第j列元素12,,,jjmjrrr的平方和221pjijigr表示公共因子jF对原始指标所提供的方差贡献的总和，衡量各个公共因子的相对重要性。称211pjjijigrpp为公共因子jF的方差贡献率，j越大，公共因子jF越重要。
三．因子分析的步骤
3.3.1 将原始变量数据进行标准化处理iiiiiXZ；
3.2 计算标准化指标的相关系数矩阵R；
3.3 求解相关系数矩阵R的特征向量()ijppuu和特征值120p；
3.4 确定公共因子的个数，设为m个，即选择特征值1的个数m或根据累积方差贡献率85％的准则所确定的个数m为公共因子个数；
3.5 求解初始因子载荷矩阵()()ijppijjppAau；
常用的方法有：主成分法、主轴因子法、极大似然法等。本文用主成分法寻找公因子的方法如下：
设从相关矩阵出发求解主成分，设有p个变量，则可以找出p个主成分，将所得的p个主成分由大到小排列，记为12,,,pYYY，则主成分与原始变量之间有
11111221221122221122ppppppppppYrXrXrXYrXrXrXYrXrXrX
其中ijr是随机变量X的相关矩阵的特征值所对应的特征向量的分量，特征向量之间正交，从X到Y的转换关系的可逆得到由Y到X的转换关系
11111221221122221122ppppppppppXrYrYrYXrYrYrYXrYrYrY
只保留前m个主成分，而把后面的pm个主成分用特殊因子i代替，即 1111122112211222221122mmmmppppmmpXrYrYrYXrYrYrYXrYrYrY
为了把iY转化为合适的公因子，需要把主成分iY变为方差为1的变量，故
令 iiiYF，ijjija
则 1111122112211222221122mmmmppppmmpXaFaFaFXaFaFaFXaFaFaF
设样本相关系数矩阵R的特征值为120p，其相应的标准正交特征向量为12,,,p，设mp，则因子载荷矩阵A的一个估计值为：
1111221211222211221122ˆ(,,,)mmmmmmpppmmuuuuuuAuuu
共同度的估计为：22212ˆˆˆˆiiiimhaaa。
3.6 建立因子模型
1kjijjiijZaFa，1,2,,ip
其中12,,,kFFF为公共因子，12(,,,)p为特殊因子。
3.7 对公共因子进行重新命名，并解释公共因子的实际含义
当初始因子载荷矩阵A难以对公共因子的实际意义作出解释时，先要对A作方差极大正交旋转，然后再根据旋转后所得的正交因子载荷矩阵作出解释，即根据指标的因子载荷绝对值的大小，值的正负符号来说明公共因子的意义。
3.8 对初始因子载荷矩阵进行旋转
由于因子载荷矩阵不唯一，旋转变换可以是使初始因子载荷矩阵的每列或每行的元素的平方值趋于0或1，从而使得因子载荷矩阵结构简化，关系明确。如果初始因子之间不相关，公共因子jF的解释能力能够用其因子载荷平方的方差来度量时，则可采用方差极大正交旋转法；如果初始因子之间相关，则需要进行斜交旋转，通过旋转后，得到比较理想的新的因子载荷矩阵1()ijpkAr。 3.9 将公共因子变为变量的线性组合，得到因子得分函数
11221kiijijiiippjFZZZZ，1,2,,im
系数11BAR，iF，jiZ均为标准化的原始变量和公共因子。因子得分函数的估计值为
1111111ˆpmmppbbXFARXbbX
其中1A为因子载荷矩阵，R为原始变量的相关矩阵，X为原始变量向量。
3.10 求综合评价值，即总因子得分估计值为
1ˆˆmiiiZF
其中1iimjj时第i个公共因子iF的归一化权重。即：
（各因子得分各因子所对应的方差贡献率）综合得分＝各因子的方差贡献率
3.11 根据总因子得分估计值ˆZ就可以对每个被评价的对象进行排名，从而进行比较。
四．因子分析的评价
4.1 首先在进行因子分析时，必须消除原始变量数据量纲和数量级的影响，所以需要对原始变量数据作转换。常选用标准化变换iiiiiXZ。有些参考文献中也有说这样的标准化处理仍然存在有不合理的地方，但是在实际应用中，为了简便，常选用上式进行变换。
4.2 在做因子分析之前，需要对原始变量间作相关性分析。因为并不是所有的变量数据都是可以做因子分析的。
4.3因子分析适宜针对大样本容量做综合分析，对于小样本容量所做的分析不够准确。一般要求样本容量大于指标个数的两倍。
4.4 不能简单地将初始因子载荷矩阵认为是主成分系数矩阵(特征向量矩阵)，否则会造成偏差。所建立的综合评价函数1122mmFYYY只是给出了一个排名，只是定性说明这个函数包含了原始变量信息量的程度，并没有给出一个百分比等定量的度量。
五．典型案例
随着市场竞争的日益激烈，公司在人才选择方面更加注重人才的综合素质，并结合职位特定选择专门人才。在本文中选取一家集生产与销售于一体的大公司在人才招聘中数据，从综合素质以及招聘职位来选择优秀的员工。
“华威”公司是一家集生产、销售为一体的大型国际著名公司。现公司计划录用6名的员工。经过初选，公司对48位应聘者进行面试，面试共有15项指标，这15项指标分别是：求职信的形式(FL)、外貌(APP)、专业能力(AA)、讨人喜欢(LA)、自信心(SC)、洞察力(LC)、诚实(HON)、推销能力(SMS)、经验(EXP)、驾驶水平(DRV)、事业心(AMB)、理解能力(GSP)、潜在能力(POT)、交际能力(KJ)和适应性(SUIT)。每项指标的分数是从0分到10分，0分最低，10分最高。每位求职者的15项指标的得分在文件（应聘者得分记录.xls）中。试从综合素质选出6名优秀员工，若将这6名员工分别分配到管理、销售和生产部门各2名，指出合理的分配方案。
（二）、分析过程详解
1、 数据标准化
由于数据均为在面试中的打分成绩，量纲相同，并且观察数据的分布，并无异常值的出现，因此数据没有必要进行标准化，可以直接进行分析。
2、 建立相关系数矩阵
利用SPSS软件，correlate功能计算相关系数矩阵，计算皮尔森相关系数并进行卡方双尾检验，可以看出变量间存在这很大的相关性。
进行相关系数矩阵检验——KMO测度和巴特利特球体检验：
KMO值：0.9以上非常好；0.8以上好；0.7一般；0.6差；0.5很差；0.5以下不能接受。巴特利特球体检验原假设H0:相关矩阵为单位阵
KMO and Bartlett's Test.784645.317105.000Kaiser-Meyer-Olkin Measure of SamplingAdequacy.Approx. Chi-SquaredfSig.Bartlett's Test ofSphericity
通过观察上面的计算结果，可以知道，KMO值为0.784，在较好的范围内；而巴特利球体检验的sig值为0.00，拒绝原假设，说明相关矩阵并非单位矩阵，变量的相关系数较为显著。 3、 求解特征根及相应特征向量
Spss选项:Analyze－Data Reduction－Factor
用Extraction，选择提取共因子的方法（如果是主成分分析，则选Principal
Components），
用Rotation，选择因子旋转方法（如果是主成分分析就选None），
用Scores计算因子得分，再选择Save as variables（因子得分就会作为变量存在数据中的附加列上）和计算因子得分的方法（比如Regression）；要想输出Component
Score Coefficient Matrix表，就要选择Display factor score coefficient
matrix；
输出结果如下：
碎石图：
151413121110987654321Component Number86420EigenvalueScree Plot
通过此图可以明显看出前五个因子可以解释大部分的方差，到第六个因子以后，线逐渐平缓，解释能力不强。因此我们提取5个公因子。
方差贡献率
