圆锥曲线对称专题

圆锥曲线解题技巧之对称性利用圆锥曲线的对称性质简化计算和证明过程提高解题效率在圆锥曲线解题中，对称性是一种常用的技巧，可以用来简化计算和证明过程，提高解题效率。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们都具有不同的对称性质，可以通过利用这些对称性质来解题。

1. 椭圆的对称性利用椭圆是一种闭合曲线，具有中心对称性质。

利用椭圆的对称性，可以简化计算和证明过程。

例如，在求解椭圆的焦点坐标时，可以利用对称性质来减少计算量。

假设椭圆的中心为原点，主轴在x轴上，次轴在y轴上。

设椭圆上一点的坐标为(x, y)，则椭圆上对称的另一点的坐标为(-x, -y)。

通过利用对称性，可以避免重复计算，简化求解过程。

2. 双曲线的对称性利用双曲线是一种开口曲线，具有轴对称性质。

在利用双曲线的对称性解题时，可以根据曲线的性质进行推导。

例如，在求解双曲线的渐近线方程时，可以利用双曲线的轴对称性质来简化证明过程。

双曲线的轴对称性可以使得我们只需要证明其中一条渐近线的方程，然后通过对称性得到另一条渐近线的方程。

3. 抛物线的对称性利用抛物线是一种开口方向确定的曲线，具有顶点对称性质。

在利用抛物线的对称性解题时，可以利用顶点对称性来简化计算和证明过程。

例如，在求解抛物线的焦点坐标时，可以利用抛物线的顶点对称性质简化计算，将问题转化为求解顶点的坐标。

通过利用对称性，可以减少计算量，提高解题效率。

综上所述，对称性是解决圆锥曲线问题的重要技巧之一。

通过利用椭圆的中心对称性、双曲线的轴对称性和抛物线的顶点对称性，可以简化计算和证明过程，提高解题效率。

在解题过程中，我们应当充分利用圆锥曲线的对称性质，并善于将问题转化为利用对称性质求解对应的简化问题，从而更加高效地解决圆锥曲线问题。

圆锥曲线对称与中垂线求解思路圆锥曲线是平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们在数学和几何学中有着重要的应用和意义。

在本文中，我们将深入探讨圆锥曲线的对称性和中垂线的求解思路，帮助读者更深入地理解这一主题。

一、圆锥曲线的对称性圆锥曲线的对称性是指曲线相对于某一直线或点的对称性质。

常见的圆锥曲线对称性包括关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。

对称性的性质在数学和物理等领域有着广泛的应用，对于研究曲线的性质和方程的求解都具有重要意义。

1.1 对称性的定义对称性是指图形、曲线或物体在某一直线、点或平面上的对称性质。

圆锥曲线的对称性可以通过关于坐标轴的对称性表达出来，如：- 关于x轴对称：曲线上的任意一点(x, y)，其对称点为(x, -y)。

- 关于y轴对称：曲线上的任意一点(x, y)，其对称点为(-x, y)。

- 关于原点对称：曲线上的任意一点(x, y)，其对称点为(-x, -y)。

1.2 对称性的应用圆锥曲线的对称性在数学、几何学和工程学中有着广泛的应用。

在解析几何中，通过利用曲线的对称性可以简化方程的求解过程。

在工程学中，对称性可以帮助设计出更加美观和稳定的结构。

对称性是研究圆锥曲线的重要性质之一。

二、中垂线的求解思路中垂线是两点之间的垂直平分线，它在几何学和三角学中具有重要的应用。

在本节中，我们将讨论中垂线的求解思路，并探讨其在圆锥曲线中的应用。

2.1 中垂线的定义中垂线是连接两点并且垂直平分这两点之间距离的直线。

在平面几何中，中垂线可以通过已知两点的坐标求解出来，其斜率为这两点连线的负倒数。

在三角学中，中垂线可以通过作垂直平分线的方法求解出来。

2.2 中垂线的应用中垂线在圆锥曲线的研究中有着重要的应用。

在椭圆曲线的研究中，利用中垂线可以求解出椭圆的焦点和方程的参数。

在双曲线中，中垂线可以帮助求解出双曲线的渐近线和离心率等重要性质。

三、个人观点和理解在我看来，对称性和中垂线是研究圆锥曲线时非常重要的性质和工具。

高中数学圆锥曲线专题*注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前xx 分钟收取答题卡阅卷人一、单选题（共10题；共20分）得分1. ( 2分) 波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.2. ( 2分) 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A、B距离之比是常数的点M的轨迹是圆若两定点A、B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为A. B. C. D.3. ( 2分) 已知、为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线，交的左、右两支于、两点，若为线段的中点且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4. ( 2分) 已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.5. ( 2分) 关于曲线：性质的叙述，正确的是（）A. 一定是椭圆B. 可能为抛物线C. 离心率为定值D. 焦点为定点6. ( 2分) 古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为（）A. （x﹣5）2+y2＝16B. x2+（y﹣5）2＝9C. （x+5）2+y2＝16D. x2+（y+5）2＝97. ( 2分) 已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C.D.8. ( 2分) 在正四面体中，点为所在平面上的动点，若与所成角为定值，则动点的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线9. ( 2分) 已知，及抛物线方程为，点在抛物线上，则使得为直角三角形的点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. ( 2分) 已知双曲线的左､右焦点分别为，，若双曲线上存在点P使，则离心率的取值范围是（）A. B. C. D.阅卷人二、填空题（共10题；共10分）得分11. ( 1分) 已知正实数是的等比中项，则圆锥曲线＝1的离心率为________12. ( 1分) 设抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦长________．13. ( 1分) 已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为________.14. ( 1分) 若椭圆的离心率为，则的短轴长为________．15. ( 1分) 从抛物线图象上一点作抛物线准线的垂线，垂足为，且，设为抛物线的焦点，则的面积为________.16. ( 1分) 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，点是坐标原点，则的面积为________17. ( 1分) 已知双曲线的下焦点为，虚轴的右端点为，点在的上支，为坐标原点，直线和直线的倾斜角分别为，，若，则的最小值为________．18. ( 1分) 已知为椭圆的左焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，则直线的斜率为________.19. ( 1分) 椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆C上，已知，则________.20. ( 1分) 已知椭圆的右顶点为A，左，右焦点为F1，F2，过点F2与x轴垂直的直线与椭圆的一个交点为B．若|F1F2|＝2，|F2B| ，则点F1到直线AB的距离为________．阅卷人三、解答题（共30题；共280分）得分21. ( 10分) 已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF2⊥F1F2，△F1F2D的面积为2 ，离心率e= ，抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线l经过D点．（1）求椭圆E与抛物线C的方程；（2）过直线l上的动点P作抛物线的两条切线，切点为A，B，直线AB交椭圆于M，N两点，当坐标原点O落在以MN为直径的圆外时，求点P的横坐标t的取值范围．22. ( 10分) 椭圆C1：+y2=1，椭圆C2：（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．23. ( 10分) 已知A（1，）是离心率为的椭圆E：+ =1（a＞b＞0）上的一点，过A作两条直线交椭圆于B、C两点，若直线AB、AC的倾斜角互补．（1）求椭圆E的方程；（2）试证明直线BC的斜率为定值，并求出这个定值；（3）△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值？若不存在，说明理由．24. ( 10分) 设抛物线C1：y2=8x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2．以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记为C2．（Ⅰ）求椭圆C2的方程；（Ⅱ）设N（0，﹣2），过点P（1，2）作直线l，交椭圆C2于异于N的A、B两点．（ⅰ）若直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值．（ⅱ）以B为圆心，以BF2为半径作⊙B，是否存在定⊙M，使得⊙B与⊙M恒相切？若存在，求出⊙M的方程，若不存在，请说明理由．25. ( 10分) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆：的离心率为，y轴于椭圆相交于A、B两点，，C、D是椭圆上异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N．（1）求椭圆的方程；（2）求直线MN的斜率．26. ( 10分) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且• =0，△GF1F2的面积为2．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=k（x﹣1）（k＜0）与椭圆Γ相交于A，B两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线l的方程．27. ( 10分) 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.28. ( 10分) 设椭圆+ =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．29. ( 10分) 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点(点在轴上方)．（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．30. ( 10分) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C 相交于点．（1）求抛物线的方程；（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．31. ( 10分) 已知椭圆的长轴长为4,离心率为.(I)求C的方程；(II)设直线交C于A,B两点,点A在第一象限, 轴,垂足为M, 连结BM并延长交C于点N.求证：点A在以BN为直径的圆上.32. ( 10分) 已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上.（1）求E的方程：（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由33. ( 5分) 已知点P（x，y）满足条件．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l与圆O：x2+y2=1相切，与曲线C相较于A，B两点，若，求直线l的斜率．34. ( 5分) 设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．（Ⅰ）证明：a2＞；（Ⅱ）若，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．35. ( 15分) 已知点在抛物线上，是直线上的两个不同的点，且线段的中点都在抛物线上.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若的面积等于，求的值.36. ( 5分) 如图，曲线Γ由曲线C1：（a＞b＞0，y≤0）和曲线C2：（a＞0，b＞0，y＞0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（Ⅰ）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（Ⅱ）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．37. ( 5分) 已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，且的周长为12．（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．38. ( 10分) 如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.（1）求抛物线C的方程.（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.39. ( 10分) 已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点与点均在椭圆上，且关于原点对称，问：椭圆上是否存在点（点在一象限），使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．40. ( 5分) 已知椭圆E: 过点(0,1)且离心率.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)设动直线l与两定直线l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆E有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.41. ( 10分) 已知抛物线，抛物线与圆的相交弦长为4. （1）求抛物线的标准方程；（2）点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，若的面积为，且直线的斜率存在，求直线的方程.42. ( 10分) 设椭圆的左、右焦点分别为，、，，点在椭圆上，为原点.（1）若，，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的右顶点为，短轴长为2，且满足为椭圆的离心率）.①求椭圆的方程；②设直线：与椭圆相交于、两点，若的面积为1，求实数的值.43. ( 10分) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．44. ( 10分) 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，点在线段上，且，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过抛物线：的焦点作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交曲线于另一点，求面积的最小值，以及取得最小值时直线的方程.45. ( 10分) 已知点，分别是椭圆的长轴端点、短轴端点，为坐标原点，若，.（1）求椭圆的标准方程；（2）如果斜率为的直线交椭圆于不同的两点(都不同于点)，线段的中点为，设线段的垂线的斜率为，试探求与之间的数量关系.46. ( 10分) 已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．47. ( 10分) 已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C 上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．48. ( 10分) 已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；②若点M（﹣，0），求证：• 为定值．49. ( 10分) 已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍.（1）求椭圆的方程；（2）证明:直线恒过定点.50. ( 10分) 如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为，，射线OT与两圆分别交于A、B两点，分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线、，交于点P．（1）当射线OT绕点O旋转时，求P点的轨迹E的方程；（2）直线l：与曲线E交于M、N两点，两圆上共有6个点到直线l的距离为时，求的取值范围．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则 =2，化简得.∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，∴，解得，∴椭圆的离心率为．故答案为：D．【分析】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则利用两点距离公式得出，∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，利用三角形面积公式求出a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式结合离心率公式变形求出椭圆的离心率。

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试题为高清版 下载可打印专题7.8：圆锥曲线中一类对称问题的研究与拓展
【探究拓展】
引例：试探究是否存在实数，使得椭圆有不同的两点关于直线对称？若存在，m 13
42
2=+y x m x y +=4求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；
m 结论：若直线交椭圆于两点，且不与轴垂直，为线段的中点，则_____变式1：已知AB B A ,AB x P AB 直线与双曲线相交于两点，是否存在实数，使两点关于直线1+=kx y 132
2=-y x B A ,k B A ,对称？若存在，求出实数的值，不存在，请说明理由
02=-y x k 变式2：已知抛物线与直线，试问上是否存在关于直线对称的两点？若存在，x y C =2:4
3:+
=kx y l C l 求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由k 变式3：中心在原点，焦点在轴上的椭圆的一个顶点为，右焦点到直线
x C )1,0(-B 的距离为3
022:=+-y x m （1）求椭圆的标准方程；
C （2）是否存在斜率的直线交于两点，使得？若存在，求出的取值范围；若不0≠k l N M ,BN BM =k 存在，请说明理由
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。

圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一：定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。

在定义的应用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。

适用条件需要注意。

例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。

例2：方程表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，然后判断。

对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？题型三：圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。

PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。

例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。

例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。

题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。

在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。

例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。

题型五：圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。

例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。

例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。

题型六：圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性，可以通过对称性求解问题。

椭圆或双曲线上存在两点关于直线对称问题--许成怀我们知道过定点的直线在圆上存在两点关于该直线对称，只需该直线过圆心即可，由直线上两点求该直线的方程即可轻松拿下。

但是，若一条过定点的直线与椭圆相交且在椭圆上存在两点关于该直线对称，如何求该直线的斜率的取值范围？取值范围。

的对称。

求实数关于直线上两个不同的点、已知椭圆例k kx y B A y x 1,14122+==+.2222212,9)14(1,1144141),(14144148140)14)(1(1664;0448)14(44)1(0),(1),(),,(222222200202022122222222222002211-<>⇒<⇒<+=∴-=++-⋅=++=+=+=+-=∴+-=++<∴>+--=∆=-++⎩⎨⎧+⇒=++=-=+=+=k k k m m n km m mnk m n kx y y x M m ny n mx y m mn x m mn x x m n m n n m n mnx x m y x n mx y km n mx y AB l y x M AB kx y l y x B y x A 或代入①得：上得：在直线又因为中点得：代入①程为：所在的直线方，不妨设的斜率存在且不为依题意直线点的中对称，：关于解析：设椭圆上两点的取值范围。

率，进而求出已知直线斜与所求出的不等式结合关系式程找出所设变量之间的点坐标代入已知直线方求出中点坐标，再将中与系数的关系找出不等关系式；由根程联立，由通过垂线方程与椭圆方的方程，，设出与其垂直的直线直线的斜率的取值范围方法总结：欲求过定点k 0>∆不存在，请说明理由。

的取值范围。

若存在，求实数为非零常数）对称，若（直线关于点上是否存在两个不同的、椭圆例k t t kx y l B A b a b a b y a x +=≠>>=+:,),0,0(122222)1(0),()0(),(),,(002211km n mx y AB l y x M AB t t kx y l y x B y x A -=+=≠+=在的直线方程为：所，不妨设的斜率存在且不为依题意直线的中点对称，：关于解析：设椭圆上两点不存在。

韦达定理——圆锥曲线硬解定理 联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222消去y 得：0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x k a b2222212k a b km a x x +-=+；22222221)(ka b b m a x x +-=+；)(4222222m k a b b a -+=∆ 消去x 得：0)(2)(222222222=-+-+k a m b my b y k a b2222212k a b m b y y +-=+；222222221)(ka b b a m b y y +-=+；)(42222222m k a b k a b -+=∆ 韦达定理：主要适用于设而不求，弦长公式，如面积;2222222222212)(411k a b m k a b b a k x x k AB +-+•+=-+= 22222222222212)(41111k a b m k a b k a b k y y k AB +-+•+=-+=超级韦达定理——反向点乘双根式 联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222消去y 得：0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x k a b2222222222222121212)()())((p k a b kmp a k a b b m a p x x p x x p x p x ++++-=++-=-- 2222222222221)(2)())((ka b b m a kmp a p k a b p x p x +-+++=-- 22222222222221)(2)())((k a b k a m b mq b q k a b p y p y +-+-+=-- 超级韦达定理：主要适用于λ=•→→MB MA 型，如垂直、圆过定点；例1、（全国卷）已知)2,0(-A ，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为23，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为332，O 为坐标原点． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点)2,0(-A 的直线l 与E 相交于Q P ,两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．例2、（上海高考）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥u u u r u u u r ,求直线l 的方程.例3、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程;(II)若直线:l y kx m=+与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.对称与对称思想： 1、标准对称例1、如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e 。

圆锥曲线的对称问题问题1：点P(x ，y)、P ′(x ′，y ′)关于点Q(x 0，y 0)对称，那么它们的坐标应满足什么条件？Q 点是P 与P ′的中点，即满足00'',22x x y y x y ++==问题2：P(x ，y)，P ′(x ′，y ′)关于原点对称，那么它们的坐标满足什么条件？P 和P ′的中点是原点．即x=-x ′且y=-y ′．问题3：若P 和P ′关于x 轴对称，它们的坐标又怎样呢？x=x ′且y=-y ′．问题4：若P 和P ′关于y 轴对称，它们的坐标有什么关系？y=y ′且x=-x ′．问：若P 和P ′关于直线y=x 对称，它们的坐标又会怎样？y=x ′且x=y ′．问题5：双曲线22221x y a b -=与22221y x a b-=的位置如何？它们关于直线y=x 对称．问题6：若P 与P ′关于直线Ax+By+C=0对称，它们在位置上有什么特征？P 和P ′必须在直线Ax+By+C=0的两侧且与直线垂直就能对称,及P 和P ′到直线Ax+By+C=0的距离相等问题7：P 与P ′到直线Ax+By+C=0的距离相等的含义是什么？就是P 与P ′的中点落在直线Ax+By+C=0上，换句话说P 与P ′的中点坐标满足直线方程Ax+By+C=0．问题8：两点P(x ，y)、P ′(x ′，y ′)关于直线Ax+By+C=0对称应满足的条件？应满足两个条件．第一个条件是PP ′的连线垂直于直线Ax+By+C=0，第二个条件是P ，P ′的中点应落在直线Ax+By+C=0上．这两个条件能否用方程表示：方程组：'1'''022y y A x x B x x y y A B C ⎧-⎛⎫•-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪•+•+=⎪⎩方程组中含有x ′，y ′，也可认为这是一个含x ′，y ′的二元一次方程组．换句话说，给定一个点P(x ，y)和一条定直线Ax+By+C=0，可以求出P 点关于直线Ax+By+C=0的对称点P ′(x ′，y ′)的坐标．今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理，很有代表性．但也还有其他方法，大家一起看下面的例题．例1 已知直线1l 和2l 关于直线2x-2y+1=0对称(如图2-73)，若1l 的方程是3x-2y+1=0，求2l 的方程．(选题目的：熟悉对称直线方程)先求出已知两直线的交点，设2l 的斜率为k ，由两条直线的夹角公式可求出k ，再用点斜式求得2l 的方程．解：由22103210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得交点(0，12)，设2l 的斜率为k ，由两直线的夹角公式得：31123112k k --=++ ∴k =23 由点斜式，l 2的方程为4x-6y+3=0．另解：在直线1l 上任取一点，求出这点关于2x-2y+1=0对称的点，然后再利用交点，两点式可求出2l 的直线方程。

圆锥曲线解题技巧利用对称性简化计算圆锥曲线是高中数学中一个重要的内容，涉及到的知识点较多，计算过程也较为繁琐。

然而，通过利用对称性，我们可以简化计算过程，提高解题效率。

本文将介绍圆锥曲线解题技巧，并探讨如何充分利用对称性简化计算。

1. 椭圆的对称性椭圆具有两个对称轴：长轴和短轴。

当我们解题时，可以首先观察椭圆图像，判断出椭圆的长轴和短轴的位置。

利用椭圆的对称性，我们可以将椭圆坐标系沿着对称轴进行平移、旋转，从而简化计算。

举例说明：设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$为长轴的长度，$b$为短轴的长度。

如果我们需要求椭圆上某一点的坐标$(x_0,y_0)$，可以观察椭圆的对称性，将该点的坐标$(x_0,y_0)$变换为$(x_0,-y_0)$或$(-x_0,y_0)$的坐标。

由于椭圆的性质，在这两种情况下，点$(x_0,y_0)$仍然位于椭圆上。

因此，我们可以根据对称性进行计算，减少计算量。

2. 双曲线的对称性双曲线也具有对称性，分为两种：关于$x$轴对称和关于$y$轴对称。

我们可以利用双曲线的对称性，简化计算过程。

举例说明：设双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为双曲线的参数。

如果我们需要求双曲线上某一点的坐标$(x_0,y_0)$，可以观察双曲线的对称性，将该点的坐标$(x_0,y_0)$变换为$(x_0,-y_0)$或$(-x_0,y_0)$的坐标。

同样地，由于双曲线的性质，在这两种情况下，点$(x_0,y_0)$仍然位于双曲线上。

因此，我们可以利用对称性进行计算，简化求解过程。

3. 抛物线的对称性抛物线具有关于$y$轴对称或关于$x$轴对称的特点。

我们可以通过观察抛物线的对称性，简化计算过程。

举例说明：设抛物线的标准方程为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$为抛物线的参数。

圆锥曲线解题技巧之对称性分析如何通过对称性分析圆锥曲线的特点解决问题对称性分析是解决圆锥曲线问题的重要技巧之一。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们都具有一定的对称性质，通过对称性分析可以更加简便地解决相关问题。

本篇文章将介绍对称性分析在圆锥曲线解题中的应用，以及如何通过对称性分析圆锥曲线的特点来解决问题。

一、椭圆的对称性分析椭圆是圆锥曲线中最基本的一种曲线。

它具有以下对称性质：1. 关于x轴对称：椭圆关于x轴对称，即对于椭圆上的任意一点(x,y)，如果(x,y)在椭圆上，那么(x,-y)也在椭圆上。

2. 关于y轴对称：椭圆关于y轴对称，即对于椭圆上的任意一点(x,y)，如果(x,y)在椭圆上，那么(-x,y)也在椭圆上。

通过对椭圆的对称性分析，可以轻松解决一些问题。

例如，已知椭圆的一个焦点坐标和离心率，求另一个焦点的坐标。

根据椭圆的对称性，我们可以通过已知焦点和离心率得到另一个焦点的坐标。

二、双曲线的对称性分析双曲线也是常见的圆锥曲线，在物理学和工程学中有广泛的应用。

它具有以下对称性质：1. 关于x轴对称：双曲线关于x轴对称，即对于双曲线上的任意一点(x,y)，如果(x,y)在双曲线上，那么(x,-y)也在双曲线上。

2. 关于y轴对称：双曲线关于y轴对称，即对于双曲线上的任意一点(x,y)，如果(x,y)在双曲线上，那么(-x,y)也在双曲线上。

通过对双曲线的对称性分析，可以解决一些双曲线的性质问题。

例如，已知双曲线的渐近线和一个焦点，求另一个焦点的坐标。

通过对双曲线的对称性，我们可以得到另一个焦点的坐标。

三、抛物线的对称性分析抛物线是圆锥曲线中最简单但又最常见的一种曲线。

它具有以下对称性质：1. 关于y轴对称：抛物线关于y轴对称，即对于抛物线上的任意一点(x,y)，如果(x,y)在抛物线上，那么(-x,y)也在抛物线上。

通过对抛物线的对称性分析，可以解决一些与焦点和直线的关系问题。

例如，已知抛物线的焦点坐标和准线的方程，求抛物线的方程。

圆锥曲线中存在点关于直线对称问题对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生，下面举例说明：例1：已知椭圆C ：3x 2＋4y 2=12,试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：y=4x ＋m ，椭圆C 上有不同两点关于这条直线对称.解：设存在两点A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)关于l 对称，中点为C （x 0,y 0），则AB 所在直线为y=－14x ＋b. 与椭圆联立得：134x 2－2bx ＋4b 2－12=0， ∴ x 0= x 1＋x 22= 4b 13, y 0=y 1＋y 22= －14 x 1＋b －14 x 2＋b 2= 12b 13. ∵ C 在y=4x ＋m 上,∴12b 13= 4b 13×4＋m, b=－ 13m 4. 又∵ △=4b 2－4× 134(4b 2－12)=4b 2－52b 2＋13×12>0, 故 b 2<134,即 169m 216<134， 解得：－21313<m<21313. 由此解题过程不难归纳出步骤如下：1．假设这样的对称点A 、B 存在，利用对称中的垂直关系设出两点A 、B 所在的直线方程.2．联立AB 所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C 的坐标.3．把C 的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式.4．利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.利用此通法、步骤可解决以下类似问题：1．已知双曲线x 2－ y 23=1,双曲线存在关于直线l ：y=k x ＋4的对称点，求k 的取值范围.注：对于此类求斜率k 范围要考虑k=0和k ≠0，因为要用到－ 1k. 2．k 为何值时，抛物线y 2=x 上总存在两点关于直线l ：y=k （x －1）＋1对称.在此通法体现的解题思路上总结得到下面的第二种通法，不过首先说明以下两个问题：1o弦中点位置问题椭圆双曲线抛物线弦中点在内部弦中点在Ⅰ（交点在同一支上）弦中点在抛物线“内部”或Ⅱ（交点不在同一支上）2o范围问题椭圆x2a2＋y2b2=1 双曲线抛物线M（x0，y0）为中点，则M（x0，y0）为中点，则M（x0，y0）为中点，则x2 a2＋y2b2<1x2a2－y2b2>1或x2a2－y2b2<0 y2－2px<0 (p>0)(焦点在x轴上)y2＋2px<0 (p>0)y2a2－x2b2>1或y2a2－x2b2<0 x2－2py<0 (p>0)（焦点在y轴上）x2＋2py<0 (p>0)在此基础上用第二种通法来解例1：已知椭圆C：3x2＋4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C 上有不同两点关于这条直线对称.解：设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x,y），则3x12＋4y12=12,3x22＋4y22=12, 得y1－y2x1－x2=－3(x1＋x2)4(y1＋y2)=－3x4y=－14,∴y=3x.联立y=4x＋m,解的x=－m,y=－3m, ∵M在椭圆内部，∴(－m)24＋(－3m)23<1,即－21313<m<21313.这种通法的步骤是：1o设出两点和中点坐标（x，y）；2o用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；3o联立直线方程，求出交点，即中点；4o由中点位置及对应范围求出参数取值范围.另外，由于抛物线方程形式的特殊性，对于抛物线此类问题，还有一种简洁解法：例2：在抛物线y= ax2－1上存在两点关于直线x＋y=0对称，求a的范围.解：显然a≠0.设存在两点为A（x1,y1）、B(x2,y2)，y1－y2 x1－x2=a x12－a x22x1－x2= a（x1＋x2）=1，即x1＋x2=1a，y1＋y22＋x1＋x22=0，即x1x2=1－aa2，因为存在这样的两点，故方程x2－1ax＋1－aa2=0的△>0，即1a2－41－aa2>0，a>34.这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积，构造方程，利用△求出参数范围.当然，不管是两种通法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.。

圆锥曲线44道特训221.已知双曲线C：「-仁=1的离心率为心，点（V3,o）是双曲线的一个顶点.a-b'（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点旦作倾斜角为30°直线/，直线/与双曲线交于不同的A,3两点,求A3的长.22[2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆、+与=1（。

〉力〉0）的离心率为一，过椭圆右a2b22焦点F作两条互相垂直的弦A3与CQ.当直线A3斜率为0时，AB+CD=7.（1）求椭圆的方程；（2）求AB+CD的取值范围.3.已知椭圆C：「+「=1（。

〉力〉0）的一个焦点为尸（1,0）,离心率为土.设P是椭圆Zr2C长轴上的一个动点，过点P且斜率为1的直线/交椭圆于A,B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求|PA|2+|PB|2的最大值.224.已知椭圆C：「+七=1（0〉力〉0）的右焦点为『（L°）,短轴的一个端点B到F的距离a'd等于焦距.（1）求椭圆。

的方程；（2）过点万的直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,是否存在直线/,使得△3加与△B月V的面积比值为2?若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由..2,25.已知椭圆C：=■+%■=1（a>b>0）过点p（—1,—1）-c为椭圆的半焦距，且c=姻b.过a"b~点P作两条互相垂直的直线L,L与椭圆C分别交于另两点M,N.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L的斜率为一1,求APMN的面积；第1页共62页(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.6.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0)，离心率e=—.2(1)求椭圆£*的方程；(2)若直线l:y=kx+m(人主0)与椭圆E交于不同的两点A、B,且线段的垂直平分线过定点P(|,0),求实数女的取值范围.Ji7.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0),离心率e.2(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l-.y=x+m(m^O)与椭圆E交于A、3两点，线段A3的垂直平分线交x 轴于点T,当hi变化时，求面积的最大值.8.已知椭圆错误!未找到引用源。

圆锥曲线解题技巧之六利用曲线的对称性解题圆锥曲线解题技巧之利用曲线的对称性解题圆锥曲线是数学中一类重要的曲线，包括抛物线、椭圆和双曲线。

在解题过程中，我们常常可以利用曲线的对称性来简化问题，提高解题效率。

本文将介绍如何在解题中充分利用曲线的对称性。

一、关于对称性的概念在几何图形中，如果存在一个轴，使得该轴两侧的图形完全相同或相似，那么我们称这个图形具有对称性。

对称性在数学中有重要的应用，可以帮助我们简化问题，降低难度。

二、抛物线的对称性抛物线是一种平面曲线，其特点是顶点和焦点之间的距离相等。

根据抛物线的性质，我们可以利用其对称性解决一些问题。

例题1：已知抛物线y=ax^2的焦点为F，过F作抛物线的准线，该准线与抛物线相交于P和Q两点，试证明PF=QF。

解析：根据抛物线的性质，我们知道焦点F是准线和抛物线的对称中心。

设准线与抛物线的交点分别为P'和Q'，通过找到对称性，可以得到解题思路。

首先，我们观察到PF和QF是准线和抛物线的两个交点所构成的线段，而且根据对称性，PF和QF是对准线和抛物线的对称的。

因此，我们可以通过证明P'F=Q'F来得出PF=QF。

接下来，我们来证明P'F=Q'F。

由于焦点F是准线和抛物线的交点，而PF'和QF'是准线和抛物线的交点，根据对称性可知，P'F=PF，Q'F=QF。

因此，P'F=PF=Q'F=QF，即PF=QF。

通过利用抛物线的对称性，我们简化了证明过程，得出了结论。

三、椭圆的对称性椭圆是一种平面曲线，其特点是两个焦点之间的距离之和为常数。

利用椭圆的对称性可以解决一些问题。

例题2：在椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1中，点A(a*sinθ, b*cosθ)在椭圆上，求点A关于x轴、y轴和原点的对称点坐标。

解析：根据椭圆的对称性，我们可以利用这个性质来简化求解过程。

圆锥曲线解题方法之对称性分析如何通过寻找曲线的对称轴和对称中心简化解题过程圆锥曲线作为数学中的一个重要内容，常常出现在高中数学或大学数学课程中。

对于解题过程来说，其中一种常用的方法就是通过对称性分析来简化问题。

本文将介绍如何通过寻找曲线的对称轴和对称中心来运用对称性分析的方法进行解题。

1. 对称轴的应用对称轴是指曲线上对称的两条直线之间的中垂线。

在解题过程中，我们可以通过寻找曲线的对称轴来简化问题。

以抛物线为例，抛物线的对称轴是与x轴平行且位于抛物线顶点的直线。

如果我们要求抛物线上某一点的坐标，可以通过对称性分析得出它关于对称轴的对称点来求解。

这样一来，我们只需要找到顶点和横坐标，就可以求得任意一点的坐标。

同样地，对于其他圆锥曲线如椭圆、双曲线等，它们也存在对称轴。

通过寻找对称轴，我们可以利用对称性得出一些关于曲线特性的结论，从而简化解题过程。

2. 对称中心的应用除了对称轴，曲线还可能存在对称中心。

对称中心是指曲线上对称的两条线的交点。

通过寻找曲线的对称中心，我们可以更加方便地分析和求解问题。

以椭圆为例，椭圆有两个对称中心，分别位于椭圆的长轴和短轴的中点。

利用对称中心，我们可以得出一些重要的结论，如焦点的位置、离心率的计算等。

这些结论可以帮助我们更好地理解和分析椭圆的性质，简化解题过程。

类似地，对于双曲线等其他圆锥曲线，它们也可能存在对称中心。

通过利用对称中心，我们可以推导出更多关于曲线的性质，进而解决问题。

3. 对称性分析的应用举例接下来，我们通过两个实例来具体说明对称性分析在圆锥曲线解题中的应用。

例一：求抛物线上的点到顶点的最短距离。

解析：由于抛物线关于对称轴对称，因此点到顶点的最短距离出现在对称轴上。

我们只需要找到对称轴的方程，然后求点到直线的距离即可。

例二：确定椭圆的焦点位置。

解析：利用椭圆存在对称中心的性质，我们可以通过寻找对称中心的方法确定焦点的位置。

首先找到椭圆的对称中心，然后应用椭圆的定义公式求解焦点的坐标。

圆锥曲线的对称性及其几何意义揭秘圆锥曲线是数学中的重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们具有独特的几何特点和对称性。

本文将揭示圆锥曲线的对称性及其几何意义，为读者提供深入了解和应用圆锥曲线的视角。

1. 椭圆的对称性椭圆是圆锥曲线中最简单的一种。

它具有两个主轴，即长轴和短轴。

椭圆的对称性表现在以下几个方面：（1）关于中心对称：椭圆的中心是对称轴，椭圆上的任意一点关于中心对称的另一点也在椭圆上。

（2）关于长轴对称：椭圆的长轴是对称轴，椭圆上的任意一点关于长轴对称的另一点也在椭圆上。

（3）关于短轴对称：椭圆的短轴是对称轴，椭圆上的任意一点关于短轴对称的另一点也在椭圆上。

椭圆的对称性使得我们可以更方便地进行许多几何推导和计算。

2. 双曲线的对称性双曲线是圆锥曲线中另一种重要的类型。

它具有两个分离的曲线分支，无限远的部分为其渐近线。

双曲线的对称性表现如下：（1）左右对称：双曲线关于纵轴对称，即左右两个分支相互镜像对称。

（2）上下对称：双曲线关于横轴对称，即上下两个分支相互镜像对称。

双曲线的对称性使得我们能够更好地理解其形状和特性，有助于解决与双曲线相关的问题。

3. 抛物线的对称性抛物线是圆锥曲线中最特殊的一种，也是最常见的一种。

它具有单一分支和对称轴。

抛物线的对称性表现在以下几个方面：（1）关于焦点对称：抛物线上的任意一点关于焦点对称的另一点也在抛物线上。

（2）关于对称轴对称：抛物线的对称轴是对称轴，抛物线上的任意一点关于对称轴对称的另一点也在抛物线上。

抛物线的对称性使得我们能够更方便地研究其性质和运用于实际问题中。

圆锥曲线的对称性具有重要的几何意义：（1）对称性是圆锥曲线与直线、平面等几何元素联系紧密的基础。

通过对称性的运用，我们可以得到许多具有重要实际意义的结论和定理。

（2）对称性是研究圆锥曲线的重要方法之一。

利用对称性的性质，我们可以简化曲线的研究和证明过程，提高解题的效率和准确性。

（3）对称性揭示了曲线的内在美和特殊性。

圆锥曲线对称轴为角平分线性质探究陈熙春(宁夏六盘山高级中学ꎬ宁夏银川７５０００２)摘㊀要:在解决一些与角度㊁长度㊁对称等有关的圆锥曲线问题时ꎬ借助几何性质数形转换ꎬ实现解析几何问题的直观化ꎬ可以迅速获得解题途径.本文对圆锥曲线中的经典题目进行推广ꎬ探究了圆锥曲线对称轴为角平分线的四个性质ꎬ提供了 几何问题 与 代数问题 相互转化的策略.关键词:圆锥曲线ꎻ对称ꎻ性质ꎻ探究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－００１１－０６收稿日期:２０２３－０３－０５作者简介:陈熙春(１９７０－)ꎬ男ꎬ宁夏银川人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀几何结构蕴含着几何中一定的位置关系和相应的数量关系ꎬ一定的几何结构有相应的处理方式.在问题解决中ꎬ一旦辨识出几何模型ꎬ就发现了相应的关系和找到处理问题的方式ꎬ使得问题得到高效的解决.本文以 抛物线中以角平分线为坐标轴ꎬ则两边的斜率互为相反数 为切入点ꎬ进行系统的变式ꎬ探究了圆锥曲线对称轴为角平分线的四个性质.即焦点之弦ꎬ张角相等ꎻ定点之弦ꎬ张角仍等ꎻ对称之点ꎬ三点共线ꎻ倾角互补ꎬ斜率为定.对经典问题总结可以实现从 一个题 到 一类题 的质的飞跃ꎬ熟练掌握以上性质ꎬ借助几何分析ꎬ优化解题策略ꎬ把思维迅速推向深处ꎬ促进对思维方式的优化以及对规律的把握ꎬ解题时就能够达到 会当临绝顶ꎬ一览众山小 的境界!１问题呈现题目㊀(２０１５年新课标Ⅰ卷理 ２０)在直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ曲线Ｃ:ｙ＝ｘ２４与直线ｙ＝ｋｘ＋ａ(ａ>０)交于ＭꎬＮ两点.(１)当ｋ＝０时ꎬ分别求Ｃ在点Ｍ和Ｎ处的切线方程ꎻ(２)ｙ轴上是否存在点Ｐꎬ使得当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮ?说明理由.本题是一道以抛物线为背景探究存在性的问题ꎬ涉及抛物线㊁直线的方程及其位置关系ꎬ两个递进的小问构建了动态直线与静态抛物线的问题ꎬ其中蕴含着 定性 结论的成立.该题的本质为 角平分线为ｙ轴ꎬ则两边的斜率互为相反数 ꎬ考查了圆锥曲线对称轴为角平分线性质ꎬ体现了设而不求㊁化归与转化的解题策略.２问题破解２.１第(１)问解析解析㊀当ｋ＝０时ꎬ不妨设Ｍ２ａꎬａ()ꎬＮ－２２ꎬａ().因为ｙᶄ＝１２ｘꎬ所以ｙ＝ｘ２４在ｘ＝２ａ处的导数值为ａꎬ所以Ｃ在Ｍ２ａꎬａ()处的切线方程为ｙ－ａ＝ａｘ－２ａ().即ａｘ－ｙ－ａ＝０.所以ｙ＝ｘ２４在ｘ＝－２ａ处的导数值为－ａ.所以Ｃ在Ｎ－２２ꎬａ()处的切线方程为ｙ－ａ＝－ａｘ＋２ａ().即ａｘ＋ｙ＋ａ＝０.所以Ｃ在点Ｍ和Ｎ处的切线方程为ａｘ－ｙ－ａ＝０或ａｘ＋ｙ＋ａ＝０.２.２第(２)问解析思维角度１㊀从数的角度ꎬ利用斜率关系.解法１㊀存在符合题意的点Ｐꎬ设Ｐ(０ꎬｂ)ꎬＭ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ直线ＰＭꎬＰＮ的斜率分别为ｋ１ꎬｋ２.将ｙ＝ｋｘ＋ａ代入抛物线Ｃ的方程ꎬ整理ꎬ得ｘ２－４ｋｘ－４ａ＝０.由根与系数关系可得ｘ１＋ｘ２＝４ｋꎬｘ１ｘ２＝－４ａ.又ｋ１＋ｋ２＝ｙ１－ｂｘ１＋ｙ２－ｂｘ２＝２ｋｘ１ｘ２－(ａ－ｂ)(ｘ１＋ｘ２)ｘ１ｘ２＝ｋ(ａ＋ｂ)ａ.当ｂ＝－ａ时ꎬ有ｋ１＋ｋ２＝０.则直线ＰＭ的倾斜角与直线ＰＮ的倾斜角互补ꎬ故øＯＰＭ＝øＯＰＮꎬ所以Ｐ(０ꎬ－ａ)符合题意.评析㊀该题的本质为 角平分线为坐标轴ꎬ则两边的斜率互为相反数 .把几何特征转化为代数关系ꎬ利用ｋＰＭ＋ｋＰＮ＝０来说明 当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮ 成立ꎬ即可求出ａꎬｂ的关系ꎬ从而找出适合条件的点Ｐ坐标.思维角度２㊀从特殊到一般的 先猜后证 .解法２㊀由(１)中曲线Ｃ在点Ｍ和点Ｎ处的切线方程:ａｘ－ｙ－ａ＝０或ａｘ＋ｙ＋ａ＝０ꎬ可得两条切线斜率互为相反数ꎬ则两条切线的交点为(０ꎬ－ａ)ꎬ故猜想满足题设条件的点Ｐ存在ꎬ就是Ｐ(０ꎬ－ａ)ꎬ即当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮ成立ꎬ等价于ｋＰＭ＋ｋＰＮ＝０.证明如下:将ｙ＝ｋｘ＋ａ代入抛物线Ｃ的方程ｙ＝ｘ２４ꎬ整理得ｘ２－４ｋｘ－４ａ＝０.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ由根与系数关系可得ｘ１＋ｘ２＝４ｋꎬｘ１ｘ２＝－４ａ.则ｋＰＭ＋ｋＰＮ＝ｙ１＋ａｘ１＋ｙ２＋ａｘ２＝２ｋｘ１ｘ２＋２ａ(ｘ１＋ｘ２)ｘ１ｘ２＝２ｋ(－４ａ)＋２ａ ４ｋａ＝０.故存在点Ｐ(０ꎬ－ａ)ꎬ使得当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮ.评析㊀由特殊到一般的 先猜后证 方式ꎬ即利用ｋＰＭ＋ｋＰＮ＝０来说明 当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮ 成立ꎬ即可求出点Ｐ坐标.思维角度３㊀从形的角度ꎬ利用角平分线定理.解法３㊀设直线ＭＮ与ｙ轴的交点为Ｈ(０ꎬａ)ꎬＭｘ１ꎬｘ２１４æèçöø÷ꎬＮｘ２ꎬｘ２２４æèçöø÷ꎬ将ｙ＝ｋｘ＋ａ代入抛物线Ｃ的方程ｙ＝ｘ２４ꎬ整理得ｘ２－４ｋｘ－４ａ＝０.由根与系数关系可得ｘ１＋ｘ２＝４ｋꎬｘ１ｘ２＝－４ａ.假设存在点Ｐ(０ꎬｂ)ꎬ由øＯＰＭ＝øＯＰＮ知ꎬＰＯ是øＭＰＮ的角平分线.由三角形的内角平分线定理得｜ＰＭ｜｜ＰＮ｜＝｜ＨＭ｜｜ＨＮ｜＝ｘ１ｘ２.即ｘ２１＋ｘ２１４－ｂæèçöø÷２ｘ２２＋ｘ２２４－ｂæèçöø÷２＝ｘ１ｘ２.化简ꎬ得(ｘ２１－ｘ２２)ｘ１ｘ２１６－ｂ２æèçöø÷＝０.因为当ｋ变动时ꎬｘ１与ｘ２不会恒相等ꎬ即ｘ２１－ｘ２２不会恒为０ꎬ故ｘ２１ｘ２２＝１６ｂ２.从而有ｂ２＝ｘ１ｘ２１６＝ａ２ꎬ即ａ＝ｂ或ａ＝－ｂ.当ａ＝ｂ时ꎬ只有斜率ｋ＝０时成立ꎬ不符合题意ꎬ故ａ＝－ｂ.也就是当ａ＋ｂ＝０ꎬ即ｂ＝－ａ时ꎬｙ轴上存在一点Ｐ(０ꎬ－ａ)ꎬ使得当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮ成立.综上所述ꎬｙ轴上存在一点Ｐ(０ꎬ－ａ)ꎬ使得当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮ.评析㊀ＰＯ是øＭＰＮ的角平分线ꎬ利用三角形的内角平分线定理来说明 当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮ 成立ꎬ即对ＭꎬＮ两点横坐标之积 算两次 确定适合条件的点Ｐ坐标.思维角度４㊀从向量的角度ꎬ利用向量的数量积.㊀解法４㊀假设ｙ轴上存在点Ｐ(０ꎬｂ)ꎬ使得当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮ.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ对直线方程ｙ＝ｋｘ＋ａ(ａ>０)中的斜率ｋ进行分类讨论.当ｋ＝０时ꎬ恰好就是第(１)问的情况:这时曲线Ｃ在点Ｍ和点Ｎ处的切线方程为ａｘ－ｙ－ａ＝０或ａｘ＋ｙ＋ａ＝０ꎬ两条切线的交点恰好为(０ꎬ－ａ)ꎬ此时有ｂ＝－ａ.又因为点(０ꎬ－ａ)在ｙ轴上ꎬ则存在一点Ｐ(０ꎬ－ａ).当ｋʂ０时ꎬ将ｙ＝ｋｘ＋ａ代入抛物线Ｃ的方程ｙ＝ｘ２４ꎬ整理ꎬ得ｘ２－４ｋｘ－４ａ＝０.由于ｘ１＋ｘ２ʂ０ꎬ所以ｘ１＋ｘ２＝４ｋꎬｘ１ｘ２＝－４ａ.故ＯＰң＝(０ꎬｂ)ꎬＭＰң＝(ｘ１ꎬｂ－ｙ１)ꎬＮＰң＝(ｘ２ꎬｂ－ｙ２).根据向量的数量积公式可得ｃｏｓøＯＰＭ＝ＯＰң ＭＰң｜ＯＰң｜ ｜ＭＰң｜＝ｂ(ｂ－ｙ１)｜ｂ｜ｘ２１＋(ｂ－ｙ１)２ꎻ同理可得ｃｏｓøＯＰＮ＝ＯＰң ＮＰң｜ＯＰң｜ ｜ＮＰң｜＝ｂ(ｂ－ｙ２)｜ｂ｜ｘ２２＋(ｂ－ｙ２)２.因为øＯＰＭ＝øＯＰＮꎬ所以ｃｏｓøＯＰＭ＝ｃｏｓøＯＰＮ.即ｂ(ｂ－ｙ１)｜ｂ｜ｘ２１＋(ｂ－ｙ１)２＝ｂ(ｂ－ｙ２)｜ｂ｜ｘ２２＋(ｂ－ｙ２)２.整理ꎬ得ｘ２１(ｂ－ｙ２)２＝ｘ２２(ｂ－ｙ１)２.化简ꎬ得ｂ２＝ａ２ꎬ即ａ＝ｂ(舍去)或ｂ＝－ａ.从而当ｂ＝－ａ时ꎬｃｏｓøＯＰＭ＝ｃｏｓøＯＰＮꎬ即有øＯＰＭ＝øＯＰＮ.综上所述ꎬｙ轴上存在一点Ｐ(０ꎬ－ａ)ꎬ使得当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮ.评析㊀根据条件 当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮ ꎬ结合图形特征ꎬ用向量的数量积来表示øＯＰＭ＝øＯＰＮꎬ沿着这个思路解题.思维角度５㊀从对称的角度ꎬ利用对称性.解法５㊀假设ｙ轴上存在点Ｐ(０ꎬｂ)ꎬ使得当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮ.设点Ｍｘ１ꎬｘ２１４æèçöø÷ꎬＮｘ２ꎬｘ２２４æèçöø÷ꎬ因为øＯＰＭ＝øＯＰＮꎬ可得点Ｍｘ１ꎬｘ２１４æèçöø÷关于ｙ轴对称的点Ｍ１－ｘ１ꎬｘ２１４æèçöø÷.此时ꎬ直线ＰＮ的斜率是ｋＰＮ＝ｘ２２４－ｘ２１４ｘ２＋ｘ１＝ｘ２－ｘ１４.直线ＰＮ的方程为ｙ－ｘ２２４＝ｘ２－ｘ１４(ｘ－ｘ２).当ｘ＝０时ꎬ则ｙ＝ｘ１ｘ２４.即直线ＰＮ在ｙ轴上的截距是ｂ＝ｘ１ｘ２４.又直线ＭＮ的斜率ｋＭＮ＝ｘ１＋ｘ２４ꎬ其方程为ｙ－ｘ２２４＝ｘ２＋ｘ１４(ｘ－ｘ２)ꎬ当ｘ＝０时ꎬ则ｙ＝－ｘ１ｘ２４.直线ＭＮ在ｙ轴上的截距是ａ＝－ｘ１ｘ２４.故ｂ＝－ａ时ꎬｙ轴上存在一点Ｐ(０ꎬ－ａ)ꎬ使得当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮ.评析㊀根据条件 当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮ 可知ꎬøＭＰＮ的对称轴就是ｙ轴ꎬ直线ＰＭ与直线ＰＮ关于ｙ轴对称ꎬ即点Ｍ关于ｙ轴对称的点Ｍ１一定在直线ＮＰ上ꎬ从而求得点Ｐ的坐标.思维角度６㊀从观察㊁猜想㊁证明的角度出发.解法６㊀设存在点Ｐ(０ꎬ－ａ)ꎬ使得当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮꎬ等价于ｋＰＭ＋ｋＰＮ＝０ꎬ将ｙ＝ｋｘ＋ａ代入抛物线Ｃ的方程ｙ＝ｘ２４ꎬ整理ꎬ得ｘ２－４ｋｘ－４ａ＝０.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝４ｋꎬｘ１ｘ２＝－４ａ.所以ｋＰＭ＋ｋＰＮ＝ｙ１＋ａｘ１＋ｙ２＋ａｘ２＝０.故存在一点Ｐ(０ꎬ－ａ)ꎬ使得当ｋ变动时ꎬ总有øＯＰＭ＝øＯＰＮ.评析㊀通过观察ꎬ猜想点Ｐ的坐标ꎬ再判断直线ＰＭꎬＰＮ斜率之和为０ꎬ观察曲线Ｃ在点Ｍ和点Ｎ处的切线方程ꎬ得到两切线的斜率互为相反数ꎬ且两切线的交点坐标为(０ꎬ－ａ).３探究结论对于一般的圆锥曲线是否有相似的结论呢?探究１㊀焦点之弦ꎬ张角相等.根据以上问题的破解过程ꎬ归纳可得以下焦点与准线的等角性质一般性的结论.结论１㊀抛物线准线与坐标轴的交点Ｐ与焦半径端点ＡꎬＢ连线ＡＰꎬＢＰ所成角øＡＰＢ被对称轴平分.㊀结论２㊀过椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１左焦点Ｆ１的直线ｌ交椭圆于ＡꎬＢ两点ꎬ存在点Ｐ(－ａ２ｃꎬ０)ꎬ使得øＡＰＦ１＝øＢＰＦ１恒成立.解析㊀(１)当ｌＡＢ斜率为零时ꎬ显然øＡＰＦ１＝øＢＰＦ１＝０.(２)当ｌＡＢ斜率不为零时ꎬ将ｌＡＢ:ｘ＝ｍｙ－ｃ代入ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬ得到(ａ２＋ｂ２ｍ２)ｙ２－２ｍｂ２ｃｙ－ｂ４＝０.从而ｙＡ＋ｙＢ＝２ｍｂ２ｃａ２＋ｂ２ｍ２ꎬｙＡｙＢ＝－ｂ４ａ２＋ｂ２ｍ２.由ｋＰＡ＋ｋＰＢ＝ｙＡｍｙＡ－ｃ－ｘＰ＋ｙＢｍｙＢ－ｃ－ｘＰ＝２ｍｙＡｙＢ－(ｃ＋ｘＰ)(ｙＡ＋ｙＢ)(ｍｙＡ－ｃ－ｘＰ)(ｍｙＢ－ｃ－ｘＰ)＝０ꎬ即２ｍｙＡｙＢ＋(ｔ－ｘＰ)(ｙＡ＋ｙＢ)＝０.得到２ｍ－ｂ４ａ２＋ｂ２ｍ２－(ｃ＋ｘＰ)２ｍｂ２ｃａ２＋ｂ２ｍ２＝０.即ｘＰ＝－ａ２ｃꎬ从而存在Ｐ(－ａ２ｃꎬ０)ꎬ使得øＡＰＦ１＝øＢＰＦ１恒成立.结论３㊀过双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)左焦点Ｆ１的直线ｌ交椭圆于ＡꎬＢ两点ꎬ存在点Ｐ(－ａ２ｃꎬ０)ꎬ使得øＡＰＦ１＝øＢＰＦ１恒成立.本结论和结论１的证明可以参考结论２的证明方法ꎬ这里不再赘述ꎬ后面结论证明也如此.由此得到焦点与准线等角性质的统一结论:过圆锥曲线准线与对称轴的交点与焦半径端点连线所成角被对称轴平分.当我们把问题中的核心条件一般化ꎬ即圆锥曲线的焦点改为一定点ꎬ是否有相似的结论呢?探究２㊀定点之弦ꎬ张角仍等.结论４㊀已知点ＰꎬＱ是抛物ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上的点ꎬ过点ＰꎬＱ的直线交ｘ轴于Ｍ(ｍꎬ０)(ｍ>０)ꎬ则在ｘ轴必存在一定点Ｎ－ｍꎬ０()ꎬ使得øＭＮＰ＝øＭＮＱ.结论５㊀过椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１内一点Ｎ(ｔꎬ０)的直线ｌ交椭圆于ＡꎬＢ两点ꎬ存在点Ｐ(ａ２ｔꎬ０)ꎬ使得øＡＰＮ＝øＢＰＮ恒成立.证明㊀(１)当ｌＡＢ斜率不存在时ꎬ显然任意点Ｐ(ｘＰꎬ０)均成立.(２)设ＡｘＡꎬｙＡ()ꎬＢｘＢꎬｙＢ()ꎬ当ｌＡＢ斜率存在时ꎬ将ｌＡＢ:ｘ＝ｍｙ＋ｔ代入ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬ得(ａ２＋ｂ２ｍ２)ｙ２＋２ｍｂ２ｔｙ＋ｔ２－ａ２＝０.从而ｙＡ＋ｙＢ＝－２ｍｂ２ｔａ２＋ｂ２ｍ２ꎬｙＡｙＢ＝ｔ２－ａ２ａ２＋ｂ２ｍ２.由ｋＰＡ＋ｋＰＢ＝ｙＡｍｙＡ＋ｔ－ｘＰ＋ｙＢｍｙＢ＋ｔ－ｘＰ＝２ｍｙＡｙＢ＋(ｔ－ｘＰ)(ｙＡ＋ｙＢ)(ｍｙＡ＋ｔ－ｘＰ)(ｍｙＢ＋ｔ－ｘＰ)＝０.即２ｍｙＡｙＢ＋(ｔ－ｘＰ)(ｙＡ＋ｙＢ)＝０.得到２ｍｔ２－ａ２ａ２＋ｂ２ｍ２－(ｔ－ｘＰ)２ｍｂ２ｔａ２＋ｂ２ｍ２＝０.即ｘＰ＝ａ２ｔꎬ从而存在Ｐ(ａ２ｔꎬ０)ꎬ使得øＡＰＮ＝øＢＰＮ恒成立.结论６㊀已知点ＰꎬＱ是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)一支上的点ꎬ过点ＰꎬＱ的直线交ｘ轴于Ｍｍꎬ０()(ｍ>ａ)ꎬ则在ｘ轴上必存在一定点Ｎａ２ｍꎬ０æèçöø÷ꎬ使得øＭＮＰ＝øＭＮＱ.由此得到定点与定直线等角性质的统一结论:过圆锥曲线轴上任意一点Ｍｍꎬ０()的一条弦端点与对应点Ｎａ２ｍꎬ０æèçöø÷的连线所成角被对称轴平分.说明㊀探究１的结论是探究２结论的特殊化.继续改变命题的条件是否有相似的结论呢?探究３㊀对称之点ꎬ三点共线.结论７㊀过点Ｐ(ｍꎬ０)的任一直线交抛物线于ＡꎬＢ两点ꎬ点Ａ关于ｘ轴的对称点Ａᶄꎬ则点ＡᶄꎬＢꎬＱ(－ｍꎬ０)三点共线.结论８㊀过点Ｐ(ｍꎬ０)的直线交椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)于ＡꎬＢ两点ꎬ点Ａ关于ｘ轴的对称点Ａᶄꎬ则点ＡᶄꎬＢꎬＱａ２ｍꎬ０æèçöø÷三点共线.证明㊀令Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则Ａᶄ(ｘ１ꎬ－ｙ１).设ＰＢ的直线方程为ｘ＝ｋｙ＋ｍꎬ并与椭圆方程联立可得(ｂ２ｋ２＋ａ２)ｙ２＋２ｋｍｂ２ｙ＋(ｍ２－ａ２)ｂ２＝０.故ｙ１＋ｙ２＝－２ｋｍｂ２ｂ２ｋ２＋ａ２ꎬｙ１ｙ２＝(ｍ２－ａ２)ｂ２ｂ２ｋ２＋ａ２.又直线ＡᶄＢ的方程为ｙ－ｙ２＝－ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２(ｘ－ｘ２).令ｙ＝０得到ｘ＝(ｘ１－ｘ２)ｙ２ｙ１＋ｙ２＋ｘ２＝ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１ｙ１＋ｙ２＝(ｋｙ１＋ｍ)ｙ２＋(ｋｙ２＋ｍ)ｙ１ｙ１＋ｙ２＝２ｋ(ｙ１ｙ２)ｙ１＋ｙ２＋ｍ＝ａ２ｍ.故结论成立.结论９㊀过点Ｐ(ｍꎬ０)的直线交双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)于ＡꎬＢ两点ꎬ点Ａ关于ｘ轴的对称点Ａᶄꎬ则点ＡᶄꎬＢꎬＱａ２ｍꎬ０æèçöø÷三点共线.当我们把问题中的核心条件改为倾斜角互补的两条直线是否有相似的结论呢?探究４㊀倾角互补ꎬ斜率为定(两交点连线的斜率为定值).结论１０㊀过抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上一定点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)(ｙ０>０)ꎬ作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则直线ＡＢ的斜率为定值－ｐｙ０.结论１１㊀过椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上一定点Ｐ(ｘＰꎬｙＰ)作倾斜角互补的两条直线与椭圆分别交于点ＡꎬＢꎬ则直线ＡＢ的斜率为定值ｋＡＢ＝ｂ２ｘＰａ２ｙＰ.解析㊀若点Ｐ(ｘＰꎬｙＰ)为顶点ꎬ结论显然成立.当点Ｐ(ｘＰꎬｙＰ)不为顶点时ꎬ记ｌＰＡ:ｙ＝ｋ(ｘ－ｘＰ)＋ｙＰꎬ代入ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１得到(ｂ２ａ２＋ｋ２)ｘ２＋２ｋ(ｙＰ－ｋｘＰ)ｘ＋(ｋｘＰ－ｙＰ)２－ｂ２＝０.所以ｘＡ＝－２ｋｙＰ＋(ｋ２－ｂ２ａ２)ｘＰｂ２ａ２＋ｋ２＝－２ｋａ２ｙＰ＋(ａ２ｋ２－ｂ２)ｘＰａ２ｋ２＋ｂ２ꎬｙＡ＝ｋ(ｘＡ－ｘＰ)＋ｙＰ＝(ｂ２－ｋ２ａ２)ｙＰ－２ｋｂ２ｘＰａ２ｋ２＋ｂ２.同理ｘＢ＝２ｋｙＰ＋(ｋ２－ｂ２ａ２)ｘＰｂ２ａ２＋ｋ２＝２ｋａ２ｙＰ＋(ａ２ｋ２－ｂ２)ｘＰａ２ｋ２＋ｂ２ꎬｙＢ＝－ｋ(ｘＢ－ｘＰ)＋ｙＰ＝(ｂ２－ｋ２ａ２)ｙＰ＋２ｋｂ２ｘＰａ２ｋ２＋ｂ２.从而ｋＡＢ＝ｂ２ｘＰａ２ｙＰ.结论１２㊀过双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)上一定点Ｐ(ｘＰꎬｙＰ)作倾斜角互补的两条直线与双曲线分别交于点ＡꎬＢꎬ则直线ＡＢ的斜率为定值ｋＡＢ＝－ｂ２ｘＰａ２ｙＰ.由此得到倾斜角互补的统一结论:圆锥曲线内接三角形ꎬ若两弦倾斜角互补ꎬ则第三弦倾斜角为定值.４链接高考例１㊀(２０１８年全国Ⅰ卷文 ２０)设抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｘꎬ点Ａ２ꎬ０()ꎬＢ－２ꎬ０()ꎬ过点Ａ的直线ｌ与Ｃ交于ＭꎬＮ两点.(１)当ｌ与ｘ轴垂直时ꎬ求直线ＢＭ的方程ꎻ(２)证明:øＡＢＭ＝øＡＢＮ.分析㊀本题第(２)问为结论４的特殊情况.例２㊀(２０１８年全国Ⅰ卷理 １９)设椭圆Ｃ:ｘ２２＋ｙ２＝１的右焦点为Ｆꎬ过Ｆ的直线ｌ与Ｃ交于ＡꎬＢ两点ꎬ点Ｍ的坐标为２ꎬ０().(１)当ｌ与ｘ轴垂直时ꎬ求直线ＡＭ的方程ꎻ(２)设Ｏ为坐标原点ꎬ证明:øＯＭＡ＝øＯＭＢ.分析㊀本题第(２)问为结论２的特殊情况.例３㊀(２０１３年陕西理 ２０)已知动圆过定点Ａ(４ꎬ０)ꎬ且在ｙ轴上截得的弦ＭＮ的长为８.(１)求动圆圆心的轨迹Ｃ的方程ꎻ(２)已知点Ｂ(－１ꎬ０)ꎬ设不垂直于ｘ轴的直线ｌ与轨迹Ｃ交于不同的两点ＰꎬＱꎬ若ｘ轴是øＰＢＱ的角平分线ꎬ证明直线ｌ过定点.分析㊀本题第(２)问为结论４的特殊情况.例４㊀(２０１５年四川卷理２０)如图１ꎬ椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的离心率是２２ꎬ过点Ｐ(０ꎬ１)的动直线ｌ与椭圆相交于ＡꎬＢ两点ꎬ当直线ｌ平行于ｘ轴时ꎬ直线ｌ被椭圆Ｅ截得的线段长为２２.图１(１)求椭圆Ｅ的方程ꎻ(２)在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ是否存在与点Ｐ不同的定点Ｑꎬ使得｜ＱＡ｜｜ＱＢ｜＝｜ＰＡ｜｜ＰＢ｜恒成立?若存在ꎬ求出点Ｑ的坐标ꎻ若不存在ꎬ请说明理由.分析㊀本题第(２)问为结论８的特殊情况.通过对本题的不断变化与深度挖掘ꎬ我们得到了一个又一个的结论ꎬ一道原本枯燥的题目变成了一串晶莹的珍珠!在解析几何复习中ꎬ要注重 数 与 形 有机结合ꎬ几何上多走一步ꎬ代数上可以省却很多步.理想的状态是挖掘题目内在的逻辑ꎬ找到题目背后隐藏的原理ꎬ在思想方法上提升解题能力ꎬ优化学生思维品质ꎬ激发学生的创造能力.对于几何问题 解析化 的途径必须进行认真的研究㊁探索和选择ꎬ有效拓展解题思路ꎬ缩小思维步骤ꎬ优化解题过程ꎬ这也是对数学运算核心素养的精彩体现.参考文献:[１]宫前长.奇思妙解高中数学题[Ｍ].杭州:浙江大学出版社ꎬ２０１７.[２]赵硕.从 平几法切入 谈解析几何的备考策略[Ｊ].中学数学ꎬ２０２１(１９):３７－３８.[责任编辑:李㊀璟]。