北京工业大学 信号与系统 张延华课件2-10

电子与信息工程学院
2. 特解
根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特
解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。 举例
激励f(t)
响应y(t)的特解yp(t)
F (常数)
tm
P(常数)
Pmt m + Pm−1t m−1 + L + P1t + P0 (特征根均不为0）
t r (Pmt m + Pm−1t m−1 + L + P1t + P0 )(有r重为0的特征根）
y′′(t) + a1 y′(t) + a0 y(t) = b2 f ′′(t) + b1 f ′(t) + b0 f (t)
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例3： 某离散系统如图所示，写出该系统的差分方
程。
b2
+
f (k)+ ∑ x(k)
−−
D
x(k −1） D
x(k − b0
2）
−
∑
a1
y (t )
a0
f (k) = x(k) + a1x(k −1) + a0 x(k − 2) y(k) = b2 x(k) − b0 x(k − 2)
1由于由于ftt2故特解函数式为故特解函数式为将此式代入方程得到将此式代入方程得到ppp3212tttpptp22343201222这里这里p2p1p0等式两端各对应幂次的系数应相等于是有等式两端各对应幂次的系数应相等于是有342pp?????032221301212pppp联解得到联解得到27109231012?ppp所以特解为所以特解为t271092312tp?ty2当2当ftet时时特解为特解为yptpet这里代入方程后有

第二章
知识要点
自由响应 r(t)= rh(t)+rp(t) = H[r(0-)]+H[e(t)] 强迫响应
H[e(t)] H[r(0-)]
零状态响应
零输入响应
全响应＝零输入响应
+ 零状态响应
第二章
知识要点
• 2.3 零输入响应和零状态响应
（一） 零输入响应 rzi(t) 1、定义： 没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时 刻系统储能）所产生的响应。 2、求解：
知识要点
– 2.1.1 系统的起始状态 系统在激励信号e（t）加入前瞬间的一组状态称为系统的 起始状态（即0-状态），它包含了为计算未来响应的全部 “过去”信息。
– 2.1.2 初始条件 响应区间在t=0+时刻的一组状态称为初始条件，简称0+状 态，也称“导出的起始状态”。 – 2.1.3 由0-状态求取0+状态可用冲激函数匹配法。（大纲不要求）
第二章
• 2.6 卷积
– 2.6.1 卷积的定义

知识要点

f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d f 2 ( ) f1 (t )d

– 2.6.2 图解法步骤
• • • • •
1、改变图形中的横坐标，由t改为 ， 变成函数的自变量； 2、把其中的一个信号反褶； 3、把反褶后的信号作移位，位移量是t； 4、两个信号重叠部分相乘； 5、完成相乘后图形的积分。
系统响应的分解方式
1）自由响应（齐次解）＋强迫响应（特解）
2）零输入响应 ＋ 零状态响应
繁琐, 复杂 只要激励e(t)发生变化， 就需重解一次.
经典法求解

29研究与开发3智能手机应用软件开发智能手机应用软件开发4物联物联传感网络协议研究开发传感网络协议研究开发5lteadvanced移动通信关键技术研究移动通信关键技术研究对考生的要求1具有通信信号网络方面的基础知识具有通信信号网络方面的基础知识2勤奋踏实学习能力强勤奋踏实学习能力强3能严格要求自我能严格要求自我博硕士生导师介绍博硕士生导师介绍导师姓名张新峰副教授硕导性别男联系方式北京工业大学信号与信息处理研究室10012467391587802学历学位研究生博士研究方向介绍信号与信息处理方向l图像处理分析与
在数字图像处理研究方面有专门的“光电成像跟踪实验室”，从事光电目 标检测、识别、跟踪，远地点目标跟踪等技术研究。
对考生的要求
• 首先要有严谨做学问的精神，求知欲强，工作勤奋，有合作精神，读研期间不 能工作实习。
• 要求有扎实的数字图像处理、计算机网络、数值分析等方面知识，熟练的C语 言编程能力 ，及一定的DSP硬件知识，动手能力强。
主要研究方向包括：1、多媒体信息安全；2、移动流媒体系统；3、图像/视 频编码与网络传输；4、无线视频传感器网络；5、遥感图像的压缩与处理；6、 图像/视频超分辨率复原；7、三维数字处理技术与应用
1、英语、数学基础好；
2、能熟练进行C语言编程（或者C＋＋、.NET等）；
3、动手能力强；
4、有团队精神，做人踏实、勤奋努力。
志愿的排序，因此填报志愿请慎重！如果你的三个志愿都 未被导师选上，我们会通过导师抽签的方法确定你的导师。
关于导师选择学生的说明
1. 流程控制与管理：吴强，按照以下流程的顺序进行并控制时间
2. 流程安排
（1）第一阶段： 导师根据学生填报的第一志愿选择自己的学生, 仅第一志愿可选； 时间长度20分钟

【例2-11】
得 Azi1 4 Azi2 0.8
故零输入响应为 izi t 4e3t 0.8e5t
(2) 零状态响应
R1
L
C
et 3u t
R2
(t 0 )
零状态响应满足微分方程
d
2i t
dt 2
8
di t
dt
15i
t
2
d
2e t
dt 2
12
de t
dt
6e
t
【例2-11】
满足 izs
则系统的完全响应为：
i t 2e3t 0.4e5t 1.2 A t 0
(t 0 )
0
d dt
izs
0
0
和
et 3ut
的解。
零状态响应的解
izs t
Azs1e3t
Azs
e5t
2
1.2
(t 0 )
将激励 et 3u t 代入微分方程右端，得
d2izs t
dt 2
8
dizs t
dt
15izs
t
6
't
36
t
18
冲激函数平衡匹配法，可设
d 2izs dt
t
2
a
't
b
t
iL 0
iC 0
uC 0 =1.6V
L
iL 0 =0.8A
R2
【例2-11】
已知 uc 0 1.6V 和 iL 0 0.8A
有
izi
0
1 R1 uc
0
3.2A
ic 0
C duc 0 dt
C
d dt

系统的稳定性分析
定义
如果一个系统在所有可能的输入下都保持稳定，则称该系 统为稳定系统。
判断方法
通过分析系统的极点和零点分布，判断系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统是稳定的。
稳定性分析的重要性
稳定性是系统设计和应用的重要考虑因素，不稳定的系统 无法在实际应用中实现。
系统的频率响应分析
优点
时域分析方法直观、物理意义明 确，可以方便地处理系统的瞬态 响应和稳态响应。
缺点
对于高阶系统或复杂系统，求解 微分方程或差分方程可能变得非 常复杂。
系统的频域分析方法
定义
频域分析方法是将系统的频率特性作为研究对象，通过傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学工具将 时间域的信号或系统转换为频域进行分析。
时不变系统
系统的特性不随时间 变化。
时变系统
系统的特性随时间变 化。
信号与系统的重要性及应用领域
重要性
信号与系统是信息传输和处理的基础， 是通信、控制、图像处理、音频处理 等领域的重要理论基础。
应用领域
信号与系统理论广泛应用于通信、雷 达、声呐、遥感、生物医学工程、自 动控制等领域。
02 信号的特性与表示方法
定义
频率响应是描述系统对不同频率输入信号的响应特性。
分析方法
通过傅里叶变换或拉普拉斯变换等方法，将时域信号转换为频域信 号，然后分析系统的频率响应特性。
频率响应的重要性
频率响应是信号处理、控制系统等领域的重要概念，通过分析频率响 应可以了解系统的性能和特性，如传递函数、带宽、相位失真等。
06 信号处理技术与应用
物联网与边缘计算在系统设计中的应用
利用物联网和边缘计算的技术，实现系统的远程监控和管理，提高系 统的可靠性和响应速度。

(t 0)
18
连续系统的时域求解（例）
例.（2.4-1）系统 r (t ) r (t ) r (t ) e(t ) e(t ) 解： 2 1 0 1,2 0.5 j 0.5 3 求h (t)和g (t)。
1
在所选专用树的单树支割集、单连支回路方程中列方程
消去其它变量，得 i(t) 的微分方程
3 2 L C uc (t ) 1 H F 1 4
i(t ) 7i(t ) 10i(t ) e(t ) 6e(t ) 4e(t )
2nd.确定初始值/定解条件
i (0 ), i(0 )
[前例]
m n ( i ) ( j) ai rzs (t ) b j e (t ) j0 i 0 (k ) rzs (0 ) 0
求全响应：
13
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
§2.5 系统的零状态响应 2.
n (i ) r(t )求解：先求零输入响应 a r i zi (t ) 0 即解零输入方程（即齐次方程）i 0 (k ) (k ) r ( t ) r ( t ) r ( 0 ) r 经典法得解为： zi h zi (0 ) zi
8
1st. i(t ) 7i(t ) 10i(t ) e(t ) 6e(t ) 4e(t ) nd i ( 0 ) 14 5 ( A ) i ( 0 ) 2( A) 2 .求出初始条件 3rd.解： 2 7 10 0 1 2, 2 5
[求取h(t) ]
1. 作为一种特殊的零状态响应（经典法） 例1：系统 r(t ) 4r(t ) 3r (t ) e(t ) 2e(t ) 求 h(t ) 解： 即解 h(t ) 4h(t ) 3h(t ) (t ) 2 (t ) h ( 0 ) h ( 0 ) 0(无初始储能 )

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信号与系统—signals and systems
2．离散时间系统与连续时间系统的对比
离散
连续
数学模型
差分方程
微分方程
时域求解方法
卷积和
变换域
Z变换、傅氏、离散正交变换、系 统函数
卷积 傅氏、拉氏、系统函数
精度高、可靠性好、 重量体积小、便于大规模集成
无此优点
一维、二维系统 利用可编程元件技术、
后向差分
⑧累加运算 (对应积分运算)
条件收敛
⑨序列能量
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例3：①已知 ②已知
解： ①
②
t
求
求
t t t
,E无穷大
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3．典型序列 ①单位样值信号
存储器设备灵活通用
注重一维 无此优点
工作频率不能太高
工作频率可以很高
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3．软件无线电-----连续、离散“混合系统” ①充分数字化的无线电通信系统 ②可看成一台带有天线的超级计算机 ③通用化、模块化、兼容性、灵活性好 ④显示了数字化技术的特征，也证明了连续系统的必要性
比较
={
t=0时 = 1.
1 n
t
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②单位阶跃信号 1 n≥0 比较 0 n<0
u( n )
1•
••• -3 -2 -1 0 1 2 3 n

•3.2.1 z变换的定义
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•3.2.1 z变换的定义
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•Z •Z
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•3.2.2 z变换的收敛域
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•3.1.2 基本序列
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•3.1.3序列的运算
•表示序列y(n)当前时刻n的值，是x(n)当前时刻n的 值与x(n)过去所有时刻值求和的运算。
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•3.1.3序列的运算
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•3.1.3序列的运算
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一、系统的定义 二、系统的分类及性质
1.6 系统的描述
一、连续系统 二、离散系统
1.7 LTI系统分析方法概
述
二、冲激函数
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a
10
第1-10页
■
信号与系统 电子教案
第一章 信号与系统
1.1 绪言
思考问题：什么是信号？什么是系统？为什么把这两 个概念联系在一起？
一、信号的概念
1. 消息(message):
a
26
第1-26页
■
信号与系统 电子教案
1.2 信号的描述和分类
4．能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率 为| f (t) |2，在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
（1）信号的能量E
def
E
f (t) 2 dt
（2）信号的功率P
def
Pl
i
m1
TT
29
第1-29页
■
信号与系统 电子教案
1.3 信号的基本运算
二、信号的时间变换运算
1. 反转
演示
将 f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称为对信号f (·) 的反转或反折。从图形上看是将f (·)以纵坐标为轴反 转180o。如
f (t) 1
反转 t → - t
1
f (- t )
看成系统。它们所传送的语音、音乐、图像、文字
等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常
紧密地联系在一起。 系统的基本作用是对输入 输入信号
信号进行加工和处理，将其转 换为所需要的输出信号。
激励
系统
演示

2.积分 信号的积分是指信号在区间(-∞，t)上的积分。可表示为
t
y(t)
f()df( 1)(t)
1.2.3 信号的相加、相乘及综合变换 1.相加
信号相加任一瞬间值，等于同一瞬间相加信号瞬时值的和。即
y (t)f1 (t)f2 (t) ...
1.2.3 信号的相加、相乘及综合变换 2.相乘
信号相乘任一瞬间值，等于同一瞬间相乘信号瞬时值的积。即
离散时间系统是指输入系统的信号是离散时间信号，输出也是离散 时间信号的系统，简称离散系统。如图连续时间系统与离散时间系统(b) 所示。
1.3.1 系统的定义及系统分类 2. 线性系统与非线性系统
线性系统是指具有线性特性的系统，线性特性包括齐次性与叠加性。线 性系统的数学模型是线性微分方程和线性差分方程。
2.1.2 MATLAB语言的特点
1、友好的工作平台和编程环境 2、简单易用的程序语言 3、强大的科学计算机数据处理能力 4、出色的图形处理功能
1、友好的工作平台和编程环境
MATLAB由一系列工具组成。这些工具方 便用户使用MATLAB的函数和文件，其中 许多工具采用的是图形用户界面。
新版本的MATLAB提供了完整的联机查询、 帮助系统，极大的方便了用户的使用。简 单的编程环境提供了比较完备的调试系统， 程序不必经过编译就可以直接运行，而且 能够及时地报告出现的错误及进行出错原 因分析。
y (t)f1 (t) f2 (t) ...
1.2.3 信号的相加、相乘及综合变换 3.综合变换 在信号分析的处理过程中，通常的情况不是以上某种单一信号的运算，往
往都是一些信号的复合变换，我们称之为综合变换。
1.3 系统
1.3.1 系统的定义及系统分类

A
0
A
0
t
0
t
0
t
图2.1实指数信号的波形
二．复指数信号
函数表示式为: 由欧拉公式，可得
f(t)
0
A
f (t ) Ae
t
( j0 ) t
f (t ) Ae [cos(0t ) j sin(0t )]
f(t)
f(t)
0
A
A
0
0
-A
t
0
-A
t
0
-A
t
图2.2 复指数信号实部和虚部的波形
1
0
1
t
2.R( t )可用（t）来表示
R( t ) ( )d t
t t
R( t ) ( )d 0 d 0

t
t0 t0
dR ( t ) ( t ) dt
八. 单位冲激函数 （t） unit impulse function
t)(
(3)冲击函数 (t ) 的积分等于阶跃函数
( t ) ( )d

t
d ( t ) 或 ( ) dt
t ( )d 1 t 0 证明：由 t ( )d 0 t 0
将这对式子与 ( t )的定义式比较，得
f (t ) Ae( j0 )t
根据 1．当
、 0
的不同取值，复指数信号可表示为下列几种特殊信号： 时，
0 0
而
f (t ) A
为直流信号；
2．当 0 0 3．当
0 时， f (t ) e t 为实指数信号；
0

z 1，求x[k]
解： 将X(z)化为z的负幂，可得
X
(
z
)
1
2 0.5z
0.5z 1 1 0.5
z
2
A 1 z 1
B 1 0.5z1
A
(1
z 1)
X
(z)
z 1
2 0.5z1 1 0.5z1
z1 1
B
(1 0.5z1) X
(z)
z 0.5
2 0.5z1 1 z 1
z0.5 1
将X(z)进行z反变换，可得
]}
1
1 a
z
1
,
za
e j0k u[k ]
Z
1 1 e j0 z1 ,
z 1
利用Euler公式和线性特性，可得
Z cos(0k)u[k]=Z e j0ku[k] / 2 Z e j0ku[k] / 2
单边z变换的性质
[例] 求正弦类序列cos(Ω0k) u[k]和sin(Ω0k) u[k]的z变换
1. 离散时间LTI系统的频域描述
➢ 系统函数H(z)的另一种定义 零状态响应的频域表示
yzs[k] x[k]* h[k]
利用z变换 的卷积特性
Yzs (z) X (z)H (z)
H (z) Yzs (z) X (z)
1. 离散时间LTI系统的频域描述
➢ H(z) 的物理意义
x[k]
h[k]
1
1 z1 cos(0 ) 2z1 cos(0 )
z
2
单边z变换的性质
[例] 求正弦类序列cos(Ω0k) u[k]和sin(Ω0k) u[k]的z变换
解c：os( 0k )u[k ]

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29
2. 离散时间信号的展宽和压缩
设离散时间信号 f [ n ] 的波形如图1.3.4(a)所示， 其时间展宽 倍的N 情况可表示为
f1[n]f[Nn], 0，
n为N整倍数 其它
完整版ppt课件
30
1.4 信号的基本运算 1.4.1 两信号相加
两信号相加，是指两信号对应时刻的信号值（函数 值）相加，得到一个新的信号。
例：
25 24
23 22
f[n] 21
123 4
31
n
图1.2.2 某地7月份日平均温度是离散时间信号
完整版ppt课件
15
计算机只能处理离散时间信号，因此，将日常的连续时 间信号(如语音信号等)送给计算机处理之前，应先将其 转换为离散时间信号。简单的方法如图1.2.3所示，以时 间 T 为间隔对连续时间信号 f ( t ) 进行取样，则可得到 一数组{ ,f ( 2 T ) ,f ( T ) ,f ( 0 ) ,f ( T ) ,f ( 2 T )} ，可表为
和 Plim 1
N
f[n]2
N2N1nN
完整版ppt课件
25
能量信号(finite-energy signal)：若信号的能量有界，平
均功率趋于零，E,P0,则称该信号为能量信号。
功率信号(finite-power ,signal)：若信号的平均功率有界 能量趋于无穷大, P , E ，则称该信号为功率信号。
图1.4.1 两信号的相加
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31
1.4.2 两信号相乘
两信号相乘，是指两信号对应时刻的信号值相乘， 得到一个新的信号。
f(t)f1(t)f2(t) 或 f [ n ] f 1 [ n ] f 2 [ n ]

n
T
T
其中
Fn T 12T T(t)e-jn0td
t1
2
(t)e-jn0td
TT
t1 T
2
2
信号与系统
二、一般周期信号的傅立叶变换
其傅立叶变换为
T (t) 2T 1n ( n0 )0 n ( n0 )
波形图
频谱图
T (t)
F ()
(1)
(0 )
2T T 0 T 2T t 20 0 0 0 20
T (t)
冲激序列的傅立叶系数为 Pn
所以冲激抽样信号的频谱为
1 Ts
Ts 2
(t)e-jns tdt
Ts 2
抽样信号的频谱
是1以 ωs 为周期等 Ts 幅地重复
F s()2 1 πF ()T ()T 1 sn F ( ns)
信号与系统
一、信号抽样
f (t)
频谱图：
o
t
p(t)
(a)
(b)
信号与系统
三、傅立叶系数与傅立叶变换的关系
设周期信号 fT (t)，取其中一个周期得到单周期信号 f (t)
f (t)fT(t)
Tt T 22
因为
0
其它
T
T
F n T 1 2 TfT (t)e jn 0 td tT 1 2 Tf(t)e jn 0 td tT 1 f(t)e j n 0 td tT 1F () n 0
例：试求周期矩形脉冲( 幅度为 1 、宽度为τ、周期为 T ) 的傅立叶变换。
解： 单脉冲信号
f0(t)F0()S(a2)
fT (t) 1
由傅立叶级数与傅立叶变换的关系，有
T
0 T

…
nx[k]{n-1x[k]}
单位脉冲序列可用单位阶跃序列的一阶后向差分表示
[k]u[k]-u[k-1]
一阶前向差分 x[k]x[k1 ]-x[k]
7. 求和
k
y[k] x[n]
n-
k
x1[n] 3
x1[k ]
n-
2
1
k
1
k
0
0
单位阶跃序列可用单位脉冲序列的求和表示
k
u[k] [n] n-
假设干离散序列对应点信号值相乘
x1[k ] 1
k
x1[k] x2[k] 2
0 x2[k] 2
k
1
0
k
0
6. 差分
一阶后向差分 x[k]x[k]-x[k- 1 ]
二阶后向差分
N阶后向差分
2 x [ k ] { x [ k ] } x [ k ] - 2 x [ k - 1 ] x [ k - 2 ]
1. 翻转
x[k] x[-k] 将 x[k] 以纵轴为中心作180翻转
x[k] 3
x[-k] 3
2
2
2
2
1
1
k
k
-1 0 1 2 3
-2 -1 0 1 2
2. 位移
x[k] x[kn] n>0
x[k]
3
x[k-n]表示将x[k]右移n个单位；
2
2
x[k+n]表示将x[k]左移n个单位。
1
k -1 0 1 2 3
3
2
1
k 01234
在原序列各点之间插入L-1个点
4. 序列相加
y [ k ] x 1 [ k ] x 2 [ k ] x n [ k ]