【小初高学习]2018年高考数学 考点一遍过 专题36 椭圆 文

考点四十二椭圆知识梳理1．椭圆的观点把平面内到两个定点 F 1， F 2的距离之和等于常数 (大于 |F1F2|)的点的会合叫作椭圆．这两个定点 F 1， F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F 1， F2间的距离叫作椭圆的焦距．椭圆定义用会合语言表示以下：P＝ { M||MF 1|＋ |MF 2|＝ 2a} ， |F 1F 2|＝ 2c，此中 a>0， c>0，且 a， c 为常数．在椭圆定义中，特别重申到两定点的距离之和要大于|F 1F 2|．当到两定点的距离之和等于|F 1F2|时，动点的轨迹是线段F1F 2；当到两定点的距离之和小于|F1 F2 |时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质x2y2y2x2标准方程a2＋b2＝ 1a2＋b2＝ 1( a>b>0)( a>b>0)图形范围－ a≤ x≤a－ b≤ x≤b－ b≤ y≤b－ a≤ y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点极点A1(－a,0)， A2(a,0)A1 (0，－ a)， A2(0， a)B1(0，－ b)， B2(0， b)B1(－b,0)， B2(b,0)性质轴长轴 A1A2的长为2a；短轴 B1B2的长为 2b焦距|F 1F2|＝ 2c离心率e＝c∈ (0,1)aa，b， cc2＝ a2－ b2的关系说明：当焦点的地点不可以确准时，椭圆方程可设成Ax2＋ By2＝1 的形式，此中A， B 是不相22等的正常数，或设成x2y22≠n2m＋n＝ 1(m) 的形式．3．点 P(x0， y0)和椭圆的关系22x0y0(1) 点 P(x0， y0)在椭圆内 ? a2＋b2<1.x 20y 20(2) 点 P(x 0， y0)在椭圆上 ? a 2＋b 2＝ 1.22 x 0 y 0(3) 点 P(x 0， y 0)在椭圆外 ? a 2＋b 2>1.3． 椭圆的焦点三角形相关结论椭圆上一点与两焦点所组成的三角形称为焦点三角形，与之相关的常用结论有：(1)|PF 1 |＋ |PF 2|＝ 2a ；(2)4c 2＝ |PF 1|2 ＋ |PF 2|2－ 2|PF 1| ·|PF 2|cos θ； (此中， θ＝∠ F 1 PF 2)(3) 当 P 为短轴端点时， θ最大．(4) S △PF F1|PF 1||PF 2|sin θ＝ sin θ 22θ ＝ ·b＝ b tan ＝ c ·|y 0|.1 221＋ cos θ 2当 y 0＝ ±b ，即 P 为短轴端点时， S △ PF 1F2 有最大值为 bc.(5) 焦点三角形的周长为 2(a ＋c) ．4． 椭圆中的弦长公式(1) 若直线 y ＝ kx ＋ b 与椭圆订交于两点A(x 1 ，y 1 )， B(x 2，y 2)，则21|AB|＝ 1＋ k |x 1－ x 2|＝1＋2|y 1－ y 2|.k(2) 焦点弦 (过焦点的弦 ) ：最短的焦点弦为通径长2b 2，最长为 2a.a5． 椭圆中点弦相关的结论2 2xyAB 为椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的弦， A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，弦中点 M (x 0， y 0)． (1)b 2x 0斜率： k ＝－ 2 .a y 02b(2) 弦 AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值－a 2.典例分析题型一 椭圆的定义和标准方程例 1(1) 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于 1，则 C 的方程是 ________．222(2) 设 P 是椭圆 x ＋y＝1 上的点，若 F 1、 F 2 是椭圆的两个焦点，则△ PF 1F 2 的周长为2516________．答案(1) x 2 ＋ y 2＝ 1(2) 164 3c 1222x 2 y 2分析 (1)由题意知 c ＝ 1，e ＝a ＝ 2，因此 a ＝ 2，b ＝ a － c ＝ 3.故所求椭圆方程为 4 ＋3＝1.(2) △ PF 1F 2 的周长为 |PF 1|＋ |PF 2|＋ |F 1F 2|＝ 2a ＋ 2c ＝ 10＋6＝ 16.变式训练 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1( 6， 1)，P 2( － 3，－ 2) ，则椭圆的方程为 ________．答案x 2 ＋ y 2＝ 19 3分析设椭圆方程为 mx 2＋ ny 2＝ 1(m>0， n>0，且 m ≠ n)．∵椭圆经过 P 1， P 2 两点，∴ P 1， P 2 点坐标合适椭圆方程，6m ＋ n ＝ 1， ①则3m ＋2n ＝ 1，②1m ＝ 9，22①②两式联立，解得1∴所求椭圆方程为 x ＋ y＝ 1.9 3n ＝3.解题重点1.求解椭圆标准方程一般用待定系数法，假如能确立焦点地点，则设标准方程为2 22 2xyyx22a 2＋b 2＝1(a ＞ b ＞ 0)或 a 2＋b 2＝1(a ＞ b ＞ 0)，若焦点地点不明确，可设椭圆的方程为Ax ＋ By＝ 1(A ＞ 0，B ＞ 0， A ≠ B)．2.若 P 是椭圆上一点，则由椭圆定义可知， |PF 1|＋ |PF 2|＝ 2a ，从而△ PF 1F 2 的周长为 |PF 1|＋|PF 2|＋ |F 1F 2|＝ 2a ＋2c ．题型二 二次方程表示椭圆的条件例 2“ 2<m<6”是“方程x 2 ＋ y 2 ＝ 1 表示椭圆”的 ________条件m － 2 6－ m答案必需不充足条件若 x 2y 2m － 2>0， 分析＋ ＝ 1 表示椭圆．则有6－ m>0，m － 2 6－ mm － 2≠6－ m ，∴ 2< m<6 且 m ≠ 4.22故“ 2<m<6”是“x＋y＝ 1 表示椭圆”的必需不充足条件． m －2 6－m变式训练若方程x 2 ＋ y 2＝ 1 表示椭圆，则 k 的取值范围是 ________．5－ k k － 3答案 (3， 4)∪ (4，5)5－ k>0分析由已知得k － 3>0，解得 3<k<5 且 k ≠4.5－ k ≠ k － 3A＞ 0解题重点对于 x,y 的二次方程表示Ax2＋ By2＝1 表示椭圆，则需系数知足B＞ 0 ．A≠ B题型三椭圆的几何性质2 2例 3 已知椭圆xa2＋yb2＝1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰巧均分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．答案3－ 1分析设过左焦点 F1的正三角形的边交椭圆于A，则 |AF1|＝ c，|AF 2|＝3c，有 2a＝ (1＋3)c，∴e＝c＝2＝ 3－1.a1＋ 322＝ 1 的离心率为4，则 k 的值为 ________．变式训练椭圆x＋y94＋ k5答案－19或 21 25分析若 a2＝9， b2＝ 4＋ k，则 c＝5－ k，由c＝4，即5－ k4，得 k＝－19；＝a53525若 a2＝ 4＋ k， b2＝ 9，则 c＝ k－ 5，由c＝4，即k－54，解得 k＝ 21.＝a54＋ k5解题重点椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率 (或离心率的取值范围 )有两种方法：c(1)求出 a， c 代入公式 e＝a；(2)只要要依据一个条件获得对于a，b，c 的齐次式，联合 b2＝ a2－ c2转变为 a，c 的齐次式，而后等式 (不等式 )两边分别除以 a 或 a2转变为对于 e 或 e2的方程 (不等式 )，解方程 (不等式 )即可得 e(e 的取值范围 )．需要注意的是，若焦点地点未指明在x 轴仍是 y 轴，则应进行议论．题型四直线与椭圆的地点关系22例 4过椭圆x＋y＝1的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于A，B 两点， O 为坐标原5 4点，则△ OAB 的面积为 ________．5答案3分析 由题意知椭圆的右焦点 F 的坐标为 (1， 0)，则直线 AB 的方程为 y ＝ 2x －2.22x＋ y＝ 1 联立54，解得交点A(0，－ 2)， B(5， 4)，3 3y ＝ 2x －2∴S △ OAB ＝ 1· |OF |· |y A － y B |＝ 1× 1×|－ 2－ 4|＝ 5 .2 23 3 变式训练已知椭圆 x2＋ y 2＝1 以及椭圆内一点 P(4,2)，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率36 9为________．答案－ 12分析设弦的端点 A(x 1 ， y 1 )， B(x 2， y 2)，2 2x 1y 1则 x 1 ＋x 2＝ 8， y 1＋ y 2＝ 4，36＋ 9 ＝1，两式相减，x 22＋ y 22＝1， 36 91＋ x 2 x 1－ x 2 y 1＋ y 2 y 1－ y 2x ＝ 0，得 36 ＋ 92 x 1－ x 2 4 y 1－ y 2 y 1－ y 21.∴ 9 ＝－ 9，∴ k ＝ ＝－ x 1－ x 2 2说明：此题也能够直接利用结论：k ＝－ b 2x 09× 41a 2 ＝－＝－ .y 0 36× 2 2解题重点直线与圆锥曲线的地点关系问题， 一般能够直接联立方程， “设而不求”， 把方程组转变成对于 x 或 y 的一元二次方程， 利用根与系数的关系及弦长公式求解．同时， 还应记着一些常用结论：(1)中点弦斜率： k ＝－b 2x 02b 2 2 .； (2)最短的焦点弦为通径长，最长为 2a.a y 0 a21(3) 弦长公式 |AB|＝ 1＋ k |x 1－ x 2|＝1＋k 2|y 1－ y 2|.当堂练习x 2 y 2＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F 1、 F 2，离心率为3 1．已知椭圆 C ： 2＋ 2，过 F 2 的直线 l 交ab3C 于 A 、 B 两点．若△ AF 1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为 ________．x 2 y 2答案 3 ＋2 ＝ 1分析由 e ＝ 3，得 c ＝3① .又△ AF 1B 的周长为 4 3，由椭圆定义， 得 4a ＝ 4 3，得 a ＝ 3，3a3代入①得 c ＝1，22∴ b 2＝ a 2－ c 2＝ 2，故 C 的方程为 x＋ y＝ 1. 322． (2015 新课标Ⅰ文 )已知椭圆 E 的中心在座标原点，离心率为1， E 的右焦点与抛物线 C ：2y 2＝ 8x 的焦点重合， A ，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 |AB|等于 ________． 答案 6分析c 1 2＝8x 的焦点为 (2,0) ，因此 c ＝2， a ＝ 4，故椭圆方程为 x 2 ＋ y 2因为 e ＝＝ ，y16 ＝ 1，a 212 将 x ＝－ 2 代入椭圆方程，解得y ＝ ±3，因此 |AB|＝ 6.x 2 y 23. 椭圆 Γ：a 2 ＋b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左、右焦点分别为F 1， F 2，焦距为 2c.若直线 y ＝ 3(x ＋ c)与椭圆 Γ的一个交点 M 知足∠ MF 1F 2＝2∠ MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 __________ ．答案3－ 1分析∵直线 y ＝3(x ＋ c)过左焦点 F 1，且其倾斜角为60°，∴∠ MF 1F 2＝ 60°，∠ MF 2F 1＝ 30°，∴∠ F 1MF 2＝ 90°，即 F 1M ⊥ F 2M.∵ |MF 1 |＝ c ， |MF 1|＋ |MF 2|＝2a ，∴ |MF 2 |＝ 2a － c.∵ |MF 1 |2＋ |MF 2 |2＝ |F 1 F 2 |2.∴ c 2＋ (2a － c)2＝ 4c 2，即 c 2＋2ac － 2a 2＝ 0.∴ e 2＋2e － 2＝ 0，解得 e ＝ 3－1.2 2m 的值为 ________．4．椭圆 x ＋ my ＝ 1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 答案14分析将原方程变形为2 y 2 212x ＋＝ 1，由题意知a ＝， b ＝ 1，1 mm∴a ＝1， b ＝ 1.∴1＝ 1m 2，∴ m ＝ .m45．已知 △ABC 中， A 、 B 的坐标分别为 (2,0)和 (－ 2,0)，若三角形的周长为 10，则极点 C 的 轨迹方程是 ________．答案x 2 ＋ y 2＝ 1(y ≠ 0)95分析点 C到两个定点A 、B 的距离之和为 6,6>4 ，故所求点C 的轨迹是以 A 、 B 为焦点的22椭圆，此中2a ＝ 6,2c ＝ 4，则b 2 ＝ 5.因此极点C 的轨迹方程为 x ＋ y＝ 1，9 5又 A 、 B 、 C 三点不共线，即y ≠ 0.课后作业一、 填空题22x ＋y21． (2015 广东文 )已知椭圆 25 m ＝ 1(m>0) 的左焦点为 F 1(－ 4,0)，则 m 等于 ________．答案 3分析由题意知 25－ m 2＝ 16，解得 m 2＝ 9，又 m>0，因此 m ＝ 3.22x ＋ y＝ 1 有同样焦点的椭圆的方程为________．2．过点 A(3，－ 2)且与椭圆 9422答案x＋ y＝ 11510分析由题意得 c 2＝ 9－ 4＝ 5，又已知椭圆的焦点在x 轴上，224＝ 1， 故所求椭圆方程可设为x＋ y＝1( λ＞ 0)，代入点 A 的坐标得 9 ＋λ＋ 5λλ＋ 5 λ解得 λ＝ 10 或 λ＝－ 2(舍去 )．故所求椭圆的方程为x 2＋ y 2＝ 1.15 10x 2 ＋ y 2＝ 1 的离心率，且 e ∈ (1， 1)，则实数 k 的取值范围是 ________．3．设 e 是椭圆 4 k2答案(0,3)∪ (16，＋∞ )3当 k>4 时， c ＝k －4，由条件知 1k － 4 16分析4<k <1，解得 k> 3 ；当 0<k<4 时， c ＝ 4－ k ，由条件知 1<4－ k<1，解得 0< k<3. 4422x ＋ y＝ 1 的焦距等于 2，则 m 的值为 ________．4．椭圆 m 4 答案 5 或 3分析 当 m ＞ 4 时， m － 4＝ 1，m ＝ 5；当 m ＜ 4 时， 4－ m ＝ 1， m ＝ 3.225．若椭圆 x ＋ y2＝ 1 过点 (－ 2，3)，则其焦距为 ________．16 b 答案4 34 322分析 ∵椭圆过 (－ 2，3)，则有 16＋ b 2＝ 1，b ＝4， c ＝ 16－4＝ 12， c ＝2 3， 2c ＝ 4 3.6．已知斜率为－1的直线 l 交椭圆x2y2P(2,1)是 AB 的2C：2＋ 2 ＝1(a>b>0)于A，B两点，若点a b中点，则 C 的离心率等于 ________．答案3 2分析k AB＝－11b211)＝－b2b21 2， k OP＝，由 k AB·k OP＝－2，得×(－a2.∴ 2＝ .2a22a4∴e＝c＝21－b23a a＝2.227．设F 1， F 分别是椭圆 C：x2y2P 在椭圆 C 上，线段 PF1 2a＋b＝ 1(a>b>0)的左、右焦点，点的中点在 y 轴上，若∠ PF 1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．答案3 3分析设 PF 1的中点为 M，连结 PF2，因为 O 为 F1F 2的中点，则 OM 为△ PF 1F 2的中位线，因此 OM∥PF2.因此∠ PF2F 1＝∠ MOF 1＝ 90°.因为∠ PF1F 2＝ 30°，因此 |PF 1|＝ 2|PF2|.由勾股定理，得|F 1F2|＝ |PF 1|2－ |PF 2|2＝ 3|PF 2|.由椭圆定义，得 2a＝ |PF 1|＋ |PF2|＝3|PF 2|?3|PF2|3|PF 2| a＝2， 2c＝ |F1 F2|＝ 3|PF2|? c＝2.因此椭圆的离心率为 e＝c＝3|PF2|·2＝3. a23|PF2 |322x y8． (2015 福建文 )已知椭圆E：a2＋b2＝ 1(a＞b＞ 0)的右焦点为 F ，短轴的一个端点为M，直线 l ：3x－ 4y＝ 0 交椭圆 E 于 A，B 两点．若 |AF|＋ |BF |＝4，点 M 到直线 l 的距离不小于4，5则椭圆 E 的离心率的取值范围是________．3答案0，2分析左焦点 F 0，连结 F 0A，F 0B，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF|＋ |BF|＝ 4，∴ |AF|＋ |AF0|＝ 4，∴ a＝ 2.设 M(0 ，b)，则4b≥4，∴ 1≤b＜ 2.5 5c c2a2－ b24－ b23离心率 e＝a＝a2＝a2＝4∈ 0， 2.x2119．椭圆2________．＋ y ＝ 1的弦被点 (， ) 均分，则这条弦所在的直线方程是222答案2x＋4y－ 3＝ 0分析设该弦与椭圆订交于点A(x1，y1)，B(x2，y2 )，则由点 (1，1)均分弦 AB 可得 x1＋ x2＝ 1，22y1＋ y2＝ 1，再将点 A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程后作差可得k AB＝－1，而后依据点斜式2方程可求得直线AB 的方程为2x＋ 4y－ 3＝ 0.2x210．已知△ ABC 的极点 B、 C 在椭圆＋y＝1上，极点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ ABC 的周长是 ________．答案43分析如图，设椭圆的此外一个焦点为F，则△ ABC 的周长为 |AB|＋ |AC|＋ |BC|＝(|AB|＋ |BF|)＋ (|AC|＋ |CF |)＝ 4a＝ 4 3.11．设 F1、F2分别是椭圆x2＋ y2＝ 1 的左、右焦点， P 为椭圆上一点， M 是 F1P 的中点， |OM| 2516＝3，则 P 点到椭圆左焦点距离为________．答案4分析∵ |OM|＝ 3，∴ |PF 2|＝ 6，又 |PF1|＋ |PF2 |＝ 10，∴ |PF1 |＝ 4.二、解答题12．(2015安徽文)设椭圆 E 的方程为x2y2a2＋ b2＝ 1(a>b>0) ，点O 为坐标原点，点 A 的坐标为5(a,0)，点 B 的坐标为 (0， b)，点 M 在线段 AB 上，知足 |BM|＝ 2|MA|，直线 OM 的斜率为10 .(1)求 E 的离心率 e；(2)设点 C 的坐标为 (0，－ b)，N 为线段 AC 的中点，证明： MN ⊥ AB.分析(1) 解由题设条件知，点M 的坐标为21b，又 k OM＝5，从而b＝5. a，33102a10从而 a＝ 5b， c＝ a2－ b2＝2b，故 e＝c＝2 5.a5a b→a5b(2) 证明由 N 是 AC 的中点知，点N 的坐标为2，－2，可得 NM ＝6， 6 ，→又AB ＝(－a， b)，→ →1 2 52122从而有 AB·NM ＝－ a ＋b＝ (5b－ a )．666由(1) 的计算结果可知a2＝ 5b2，→ →因此 AB·NM＝ 0，故 MN ⊥ AB.13．(2015 北京文节选 ) 已知椭圆 C：x2＋ 3y2＝ 3，过点 D (1,0)且可是点E(2,1)的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 AE 与直线 x＝ 3 交于点 M.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；2x2分析(1)椭圆 C 的标准方程为＋y＝1，因此a＝3，b＝ 1， c＝ 2.因此椭圆 C 的离心率 e＝c＝6 a 3.(2) 因为 AB 过点 D (1,0) 且垂直于 x 轴，因此可设A(1，y1)， B(1，－ y1)，直线 AE 的方程为 y－ 1＝ (1－y1 )(x－ 2)，令 x＝ 3，得 M (3,2－ y1) ，因此直线 BM 的斜率 k BM＝2－ y1＋ y1＝ 1.3－ 1。

专题38椭圆-2018年⾼考数学（理）热点题型和提分秘籍（原卷版）专题38 椭圆2018年⾼考数学（理）热点题型和提分秘籍1．掌握椭圆的定义、⼏何图形、标准⽅程及简单⼏何性质(范围、对称性、顶点、离⼼率)。

2．了解椭圆的简单应⽤。

3．理解数形结合的思想。

热点题型⼀椭圆的定义及其标准⽅程例1、 (1)设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的⾯积为( ) A ．30 B ．25 C ．24 D ．40(2)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆⼼M 的轨迹⽅程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 【提分秘籍】椭圆定义的应⽤技巧(1)椭圆定义的应⽤主要有：求椭圆的标准⽅程，求焦点三⾓形的周长、⾯积及弦长、最值和离⼼率等。

(2)通常定义和余弦定理结合使⽤，求解关于焦点三⾓形的周长和⾯积问题。

学@科⽹(3)当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )。

【举⼀反三】椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，⼀个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.72B.32C. 3 D ．4热点题型⼆椭圆的⼏何性质例2、 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离⼼率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的⽅程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 (2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离⼼率的取值范围是________。

考点36 椭 圆（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （3）理解数形结合的思想. （4）了解椭圆的简单应用.一、椭圆的定义平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 二、椭圆的标准方程焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b+=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0a c b a b a c -=>>>>.三、椭圆的图形及其简单几何性质i)图形焦点在x 轴上 焦点在y 轴上ii)注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出a 与c ，然后利用ce a=计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于,,a b c 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围. 四、必记结论1．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点,()P x y ，则当0x ＝时，||OP 有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x a =±时，||OP 有最大值a ，P 点在长轴端点处． 2．已知过焦点F 1的弦AB ，则2ABF △的周长为4A ．考向一 椭圆定义的应用1．椭圆定义的集合语言:1212{|||2,2||}P M MF MF a a F F =+=>往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.以椭圆 22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(),P x y 0(0)y ≠和焦点F 1 (－c ，0)，F 2 (c ，0)为顶点的12PF F △中，若12F PF θ∠=，注意以下公式的灵活运用： （1）12||2PF PF a +=；（2）222121242||||cos ||||c PF PF PF PF θ⋅=+－；（3）12121·sin 2||||PF F S PF PF θ=△. 2．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.典例1 已知F 1，F 2是椭圆22143x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上．（1）若点P 到焦点F 1的距离等于1，则点P 到焦点F 2的距离为________________； （2）过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，则2ABF △的周长为________________； （3）若12120PF F =︒∠，则点P 到焦点F 1的距离为________________．【答案】（1）3；（2）8；（3）65． 【解析】由椭圆的标准方程可知：24a =，23b =，故2a =，b =1c ===．（1）由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝1，所以|PF 2|＝4－1＝3．（2）2ABF △的周长222112212||||||||||||||(||||)ABF L AB AF BF AF BF AF BF AF AF =++=+++=++△12(||||)2248BF BF a a a +=+==．（3）在12PF F △中，由余弦定理可得222211221121||||||2||||cos PF PF F F PF F F F PF =+-∠，即22211||||42||PF PF PF =++，由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=， 两式联立解得1||5PF 6=．1．已知椭圆222:1(0)25x y C m m+=>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，且12△PF F 的周长为16，则m 的值是 A ．2 B ．3C ．D ．4考向二 求椭圆的标准方程求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且.典例2 椭圆以x 轴和y 轴为对称轴，经过点(2，0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为A ．2214x y +=B ．221164y x +=C ．2214x y +=或221164y x +=D ．2214x y +=或2214y x +=【答案】C【解析】由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a =2b ， 又椭圆经过点(2，0)，则若焦点在x 轴上，则a =2，b =1，椭圆方程为2214x y +=;若焦点在y 轴上，则a =4，b =2，椭圆方程为221164y x +=，故选C ．2．已知()()121,0,1,0F F -是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交C 于,A B 两点，且3AB =，则C 的方程为A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=考向三 椭圆的几何性质及应用1．与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了.2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a ，c ，代入公式ce a=. （2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）.典例3 已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m ，(m >0)，则此椭圆的离心率为 A ．13B ．33C ．22D ．12【答案】B【解析】由题意，得椭圆的标准方程为x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴a 2＝m 2，b 2＝m 3，∴c 2＝a 2－b 2＝m6，∴e 2＝c 2a 2＝13，即e ＝33.故选B ．3．已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P ，使得∠F 1PF 2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是_____．1．椭圆C ：2212y x +=的焦距为A ．B ．2CD ．12．“02m <<”是“方程2212x y m m+=-表示椭圆”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知椭圆22110036x y +=上的一点 到左焦点 的距离为 ，点 是线段1PF 的中点， 为坐标原点，则A ．B ．C ．D ．4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．22196x y +=D ．221129x y +=5．已知椭圆 的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长是短轴长的 倍，抛物线 的焦点与椭圆 的一个顶点重合，则椭圆 的标准方程为A ．2214x y +=B ．221416x y +=C ．221164x y +=或2214y x +=D ．2214x y +=或221416x y +=6．已知椭圆x 2+my 2=1的离心率e ∈(12，1)，则实数m 的取值范围是 A ．(0，34) B ．(34，+∞)C ．(0，34)∪(43，+∞)D ．(34，1)∪(1，43)7．已知点()0,0A ，()2,0B .若椭圆22:12x y W m+=上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则椭圆W的离心率是A ．12 B ．2C D 8．若椭圆2222:1x y a bΓ+=(0)a b >>的离心率为13，A 、F 分别为椭圆的左、右焦点，B 为右顶点，过右焦点F 作垂直于x 轴的直线交椭圆于点C ，则cos ACB ∠= A ．35B ．57C ．7D ．7259．已知点 是椭圆2214x y +=上一点， ， 是椭圆的焦点，且满足 ，则12MF F △的面积为 A ．1 B ． C ．2D ．410．已知F 是椭圆C ：22195x y +=的左焦点，P 为C 上一点，41,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PA PF +的最小值为A ．103B ．113 C ．4D ．13311．已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，若F 为过、A F 的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为A ．13 B ．3C ．12D12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB △，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为 A ．[]1,2 B．C．⎤⎦D ．[]1,413．已知1F 、2F 为椭圆()222:124x y C a a +=>的左、右焦点，若椭圆C 上存在四个不同点P 满足12△PF F的面积为C 的离心率的取值范围为 A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭D．⎫⎪⎪⎝⎭14．若椭圆2215x y m+=的一个焦点坐标为(0，2)，则实数m =__________．15．已知椭圆222:12x y C a +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，若以12F F 为直径的圆与椭圆C 相切，则椭圆C的长轴长是__________．16．已知F 1，F 2为椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若2ABF △为正三角形，则椭圆的离心率为 .17．如图，A ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，点P 在椭圆上， POB △是面积为4的等腰直角三角形，则b = .18．在椭圆2214x y +=上有两个动点,P Q ，()1,0E 为定点，EP EQ ⊥，则E PQ P ⋅的最小值为_________．19．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为35，面积为20π，则椭圆C 的标准方程为______. 20．设,A B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点和上顶点，已知椭圆C 过点()2,1P ，当线段AB长最小时椭圆C 的离心率为_______． 21．求适合下列条件的椭圆的标准方程:（1）焦点分别为(0，-2)，(0，2)，经过点(4，3 ); （2）对称轴为坐标轴，经过点P (-6，0)和Q (0，8).22．已知椭圆C 的方程为22191x y k k +=--.（1）求k 的取值范围；（2）若椭圆C 的离心率e =k 的值.23．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点12,F F 在x 轴上，椭圆E 的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆E 长轴长为. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）P 为椭圆E 上一点，且1260F PF ︒∠=，求12△PF F 的面积.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C 1），求椭圆C 的标准方程；（2）设A （﹣2，0），F 为椭圆C 的左焦点，若椭圆C 上存在点P ，满足||||PA PF =C 的离心率的取值范围．25．如图，过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，点A 和点B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，∥OP AB ．（1）求椭圆的离心率e ；（2）过右焦点2F 作一条弦QR ，使QR AB ⊥，若1△FQR 的面积为1．（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是A ．3B ．3C ．23D ．592．（2018新课标全国Ⅰ文）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 3．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4D ．84．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=5．（2017新课标全国Ⅲ文）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A BC ．3D ．136．（2017新课标全国Ⅰ文）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞7．（2018新课标全国Ⅱ文）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．12-B ．2C ．12D 18．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.9．（2019年高考浙江卷）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．10．（2018浙江）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．11．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．12．（2019年高考天津卷文数）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已|2||OA OB =（O 为原点）. （1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.1．【答案】D【解析】设椭圆C 的长轴长为2a ，焦距为2c ，则210a =，c == 由椭圆定义可知，12△PF F 的周长为2210216a c c +=+=，3c ==，0m >，∴解得4m =，故选D.【名师点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查利用椭圆定义求椭圆的焦点三角形问题，在处理椭圆的焦点与椭圆上一点线段（焦半径）问题，一般要充分利用椭圆定义来求解，属于基础题.解题时，由椭圆的定义知12△PF F 的周长为2216a c +=，可求出c 的值，再结合a 、b 、c 的关系求出b 的值，即m 的值. 2．【答案】C【解析】因为3AB =，所以232AF =， 又12||2F F =，所以在直角三角形12AF F中，15||2AF ===，因为1253||||4222AF AF a +=+==，所以2,1,a c b === 所以椭圆的方程为：22143x y +=.【名师点睛】本题考查焦半径、椭圆的定义、椭圆的标准方程等知识，考查运算求解能力.在直角三角形12AF F 中利用勾股定理求1||AF ，再由椭圆的定义求a 的值.3．【答案】,12⎫⎪⎪⎣⎭【解析】由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°， 所以底角小于等于30°，即ca ，故椭圆的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭.故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭. 【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆离心率的取值范围的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.求解时，由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，即得椭圆的离心率的取值范围.1．【答案】B【解析】由题意得，椭圆的焦点在y 轴上，且222,1a b ==，所以21c =，因此1c =，故22c =.所以焦距为2.故选B. 2．【答案】C【解析】方程2212x ym m +=-表示椭圆，即020022m m m m m>⎧⎪->⇒<<⎨⎪≠-⎩且1m ≠，所以“02m <<”是“方程2212x y m m+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选C.【名师点睛】本题考查了椭圆的概念与充要条件的判断，易错点为椭圆中a b ¹，属于较为基础题.先求得方程2212x y m m+=-表示椭圆的m 的取值范围，再利用充分必要条件去判断可得答案.3．【答案】C【解析】由椭圆的定义得 ， ， ， 又 ， ， ∴2172OM PF ==.故选C. 4．【答案】C【解析】椭圆2222 10x y a b a b+=>>（）的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =c =，22 4b a=，结合222c a b =-，解得3a =，b =，所以所求椭圆方程为：22196x y +=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．求解时，利用椭圆的性质，根据4AB =，12F F =c =22 4b a=，求解a ，b 然后写出椭圆方程．5．【答案】D【解析】由于椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即有2a b =，又抛物线28y x =-的焦点()2,0-与椭圆C 的一个顶点重合，得椭圆经过点()2,0-，若焦点在x 轴上，则2a =，1b =，椭圆方程为2214xy +=；若焦点在y 轴上，则2b =，4a =，椭圆方程为221164y x+=.∴椭圆C的标准方程为2214xy+=或221416x y+=．故选．6．【答案】C【解析】椭圆x2+my2=1的标准方程为2211yxm+=.又12<e<1，所以0<2234ba<.当椭圆的焦点在x轴上时，a2=1，b2=1m，则m>43;当椭圆的焦点在y轴上时，a2=1m，b2=1，则0<m<34.所以实数m的取值范围是0<m<34或m>43.【名师点睛】椭圆的性质分两类:(1)与坐标系无关的，如轴长、焦距、离心率;(2)与坐标系有关的，如顶点坐标、焦点坐标.7．【答案】C【解析】过点C作x轴垂线，垂足为D，根据正三角形性质可知D为A，B的中点，则C点坐标为（1），将C点的坐标代入椭圆方程得1312m+=，解得m＝6，=．故选C．【名师点睛】本题主要考查了椭圆方程和离心率的求解，解题的关键是充分利用正三角形的性质，求出C点的坐标．8．【答案】D【解析】因为离心率为13，所以3a c b==，，因为过右焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆于点C，所以得点2,bC ca⎛⎫±⎪⎝⎭，即8,3C c c⎛⎫±⎪⎝⎭，从而()()1010,0,3,0,||,||,||4,33A cB c AC c BC c AB c-===所以22210021679cos 1002529c c ACB c ⨯⨯-∠==⨯⨯，故选D. 【名师点睛】本题考查椭圆离心率以及通经，考查基本分析求解能力，属中档题.根据离心率得,,a b c 关系，再求点C 坐标，最后根据余弦定理求结果. 9．【答案】A【解析】因为 ，所以 ，所以2221212|2|||1||MF MF F F +==.由题意得12|||4|MF MF +=，即221212||2||||||16MF MF MF MF ++=，即12|1||22|16MF MF +=，解得12|2|||MF MF =. 所以12MF F △的面积12|||1|12S MF MF ==.选A ． 10．【答案】D【解析】设椭圆:C 22195x y +=的右焦点为F '，易知()()2,0,2,0F F '-，由41,3A ⎛⎫⎪⎝⎭，得53AF '=， 根据椭圆的定义可得26PF PF a ='+=， 所以51366633PA PF PA PF AF +=+-≥=-='-'. 11．【答案】B【解析】如图，延长AF 交椭圆于点B ，设椭圆右焦点为F '，连接,AF BF ''.根据题意||AF a ==，||2||AF FB =， 所以||2a FB =， 根据椭圆定义||||2BF BF a '+=，所以3||2a BF '=， 在△AFF '中，由余弦定理得222222||||||24cos 2||||2F A FA F F a cF AF F A FA a''+--'∠=='⋅，在△AF B '中，由余弦定理得222||||||1cos 2||||3F A AB BF F AB F A AB ''+-'∠=='⋅， 所以22224123a c a -=，解得a =，所以椭圆离心率为c e a ==，故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的定义，几何性质，余弦定理等，属于中档题.根据椭圆几何性质可把椭圆内每条线段的长度用,,a b c 表示，然后利用余弦定理，在两个三角形里分别表示同一角的余弦，得到,a c 关系，求出离心率. 12．【答案】D【解析】由题意得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为22,1b b ==，()112F AB S a c b =-=△解得22,a c a c -=∴== 则1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PF x =-，[],x a c a c ∈-+，即22x ⎡∈⎣，()[]212111141,4442PF PF x x x ∴+=+=∈---，故选D ． 13．【答案】D【解析】设()00,P x y，12120012△PF F S F F y c y =⋅==0y ==不同点P满足12△PF F S =002y <<，即02<<，解得4a >，2e a ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故选D.【名师点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组． 14．【答案】9【解析】由题意可得m ＞5，则椭圆225x y m+=1中的a =b =所以c ==2，解得m ＝9．故答案为：9．【名师点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查焦点坐标的运用，以及运算能力，属于基础题．由题意可得椭圆焦点在y=2，解方程可得m ． 15．【答案】4【解析】设椭圆222:12x y C a +=的短半轴长为b ，半焦距为c .由以12F F 为直径的圆与椭圆C相切，可得b c ==又由2224a b c =+=，所以24a =，即椭圆的长轴长为4，故选B【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据以12F F 为直径的圆与椭圆C 相切，得到b c =是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16【解析】方法一：e =121222F F c ca a F A F A==+. 因为2ABF △为等边三角形，所以|AF 1|∶|F 1F 2|∶|F 2A|=12，所以e方法二：不妨设椭圆方程为22x a+22y b =1(a >b >0)，F 1(c ，0)，F 2(-c ，0)，(,)A x y ，由22222221x c a b c x y ab ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩得|y|=2b a ，即|AF 1|=|BF 1|=2b a ，|AB|=22b a . 因为2ABF △为正三角形，所以22b a ·2=2c ，a 2-c 2)=2ac2+2又0<e <1，解得e17【解析】已知POB △是等腰直角三角形，而|OB|=a ，过点P 作PH ⊥OB 于点H ，则PH =OH =12OB =12a ， 所以其面积S =12|OB|×|PH|=12×a ×12a =14a 2. 故由题意可得14a 2=4，解得a =4，故P (2，2).由点P 在椭圆上可得，2224+222b=1，解得b 2=163，所以b=18．【答案】23【解析】由题意得()22EP QP EP EP EQ EP EP EQ EP ⋅=⋅-=-⋅=． 设椭圆上一点(),P x y ，则()1,EP x y =-，∴()()2222223421114433x EP x y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又22x -≤≤，∴当43x =时，2EP 取得最小值23． 【名师点睛】解答圆锥曲线中的最值问题时，可将所求的最值表示成某一参数的表达式，然后再根据不等式或函数的知识求解，由于解题中要涉及复杂的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，适当运用换元等方法进行求解．19．【答案】2212516y x +=【解析】依题意设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b +=>>，则椭圆C 的面积为π20πS ab ==，又35e ==，解得225a =，216b =.则椭圆C 的标准方程为2212516y x +=， 故答案为：2212516y x +=.【名师点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，一般要结合已知条件求出a 、b 、c 的值，再利用椭圆焦点位置得出椭圆的标准方程，考查运算求解能力，属于中等题.20．【答案】2【解析】由椭圆过()2,1P 得：22411a b +=， 由椭圆方程可知：(),0A a ，()0,B b ，AB ∴===，又222244b a a b +≥=（当且仅当22224b a a b =，即a =时取等号）， ∴当a =时，线段AB 长最小，c b ∴==，2c e a ∴===.本题正确结果为2. 【名师点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用基本不等式求解和的最小值，根据等号成立条件可得到椭圆,a b 之间的关系，从而使问题得以求解. 21．【答案】（1） +=1；（2） +=1.【解析】（1）因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为+=1(a >b >0).方法一:由椭圆的定义知，212a ==， 所以a =6.又c =2，所以b = =4 ， 所以椭圆的标准方程为 +=1.方法二:因为所求椭圆过点(4，3 )，所以 +=1.又a 2-b 2=c 2=4，所以a 2=36，b 2=32，所以椭圆的标准方程为 +=1.（2）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点， 所以点P ，Q 分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，则短半轴长b =6，长半轴长a =8，且短轴、长轴分别在x 轴和y 轴上， 所以椭圆的标准方程为 +=1.22．【答案】（1）()()1,55,9；（2）2或8． 【解析】（1）∵方程22191x y k k +=--表示椭圆，∴()()90101,55,991k k k k k ->->⇒⎧⎪⎨⎪∈⎩-≠-.（2）①当9﹣k ＞k ﹣1时，依题意可知a b∴c ， 10262.97k k k -∴=⇒=-②当9﹣k ＜k ﹣1时，依题意可知b，a∴c，10268.17k k k -+∴=⇒=-+综上，k 的值为2或8．23．【答案】（1）2212x y +=；（2【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，∵椭圆E 的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆E长轴长为∴2222a b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， ∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）在12△PF F 中，由余弦定理得22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠21212(||||)2(60)1cos PF PF PF PF =+-+︒ 21212(||||)3PF PF PF PF =+-，又由椭圆的定义得12PF PF +=∴2124(3PF PF =-， ∴1243PF PF =，∴121212114sin 22323△PF F S PF PF F PF =∠=⨯⨯=． 【名师点睛】利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值时，可利用定义和余弦定理可求得12PF PF ，再结合222121212||||(||||)2PF PF PF PF PF PF +=+-进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积．24．【答案】（1）22132x y +=；（2）32⎣⎦. 【解析】（1）由题设，椭圆C 的焦距22c =，即1c =， 所以221a b =+，因为椭圆C 经过点2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以223112a b+=，即()2231121b b +=+， 化简、整理得422320b b --=，解得22b =（负值已舍去）.故求椭圆C 的标准方程为22132x y +=.（2）易知()1,0F -，设()00,P x y ，于是2200221x y a b+=.①因为||||PA PF =22||2||PA PF =， 所以()()222200002212x y x y ++=++，即22002x y +=.② 联立①②，并注意到221a b =+，解得()222222023x a a b aa =-=-.因为0a x a -≤≤，所以2200x a ≤≤.于是()22203aa a≤-≤，即223a ≤≤a ≤≤所以132a ≤≤，即32c a ≤≤.故椭圆C 的离心率的取值范围是2⎣⎦. 【思路点拨】（1）由题意得221a b =+，代入已知点，可得a ，b 的方程，解方程即可得到所求的椭圆方程；（2）设()00,P x y ，运用两点的距离公式，化简整理，即可得到P 点的轨迹方程，由题意和圆相交的条件，结合离心率公式，即可得到所求范围.25．【答案】（1；（2）2215025x y +=．【解析】（1）()1,0F c -，2,b P c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭， ∥OP AB ，OP AB k k ∴=，2b b ac a∴=，解得b c =，a ∴=，故2c e a ==． （2）设1221(,),(,)R y x y x Q ，由（1）知椭圆方程可化简为22222x y b +=．①易求直线QR ，故可设直线QR 的方程为：)y x b =-．② 由①②消去y 得225820x bx b -+=．1285b x x ∴+=，21225b x x =．于是1△FQR 的面积1212S c y y x x =-=-=2===5b ∴=．因此椭圆的方程为22250x y +=，即2215025x y +=.【名师点睛】本题考查椭圆的离心率以及通过弦长公式求椭圆的相关量，属于一般题. （1）由∥OP AB 可得OP AB k k =，计算进而得答案.（2）设直线QR 的方程，联立方程组，利用根与系数的关系，代入1△FQR 的面积公式计算整理即可.1．【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率33e ==，故选B ． 2．【答案】C【解析】由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a = 所以椭圆C 的离心率2e ==，故选C ． 【名师点睛】该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中 的关系求得结果. 3．【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ． 4．【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n = 22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 5．【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ． 6．【答案】A【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则t a n 603ab≥=≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则t a n 603ab≥=≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞，故选A ． 7．【答案】D【解析】在12F PF △中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒， 设2PF m =，则12122,c F F m PF ===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=，则212c c e a a ====，故选D ． 【名师点睛】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.8．【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 9【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍），又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁. 10．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-， 所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.11．【答案】（11；（2）4b =，a 的取值范围为)+∞.【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF ，于是1221)a PF PF c =+=，故C 的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b+=，③ 由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥.当4b =，a ≥P ．所以4b =，a的取值范围为)+∞．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.12．【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，2b =，又由222a b c =+，消去b得222a c ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得12c a =. 所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+， 点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-. 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-. 因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t .因为OC AP ∥，且由（1）知( 2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =. 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.。

第十三板块选修1-1 第二章圆锥曲线与方程【学科点悟】传道解惑，高屋建瓴高考纵横:本节主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单几何性质，圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，在新课标高考中，客观题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用, 以圆锥曲线与二次方程的关系及其几何性质的探究作为命题源，展示圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，从而考查考生对解析几何的基本思想──运用代数方法研究几何问题的思想的掌握程度，增强数学应用的意识，提高数学建模的能力. 解答题常作为把关题或压轴题综合考查学生在数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力,考查考生独立钻研的习惯，克服困难的意志和毅力，以及对数学问题锲而不舍的钻研精神和科学态度，培养考生的运动变化和相互联系的辩证唯物主义观点.命题趋向:圆锥曲线问题的几大热点如下：1互化问题.曲线的参数方程与普通方程的互化解题,关键是抓住互化的等价性，预测新高考中不会出大题及难题.2圆维曲线基础题.主要是指考查下述问题：①圆锥曲线的两种定义、标准方程、焦点、常见距离及其a、b、c、e、p五个参数的求解；②讨论圆锥曲线的几何性质；③曲线的交点问题，即直线与二次曲线和两圆的交点问题；④圆锥曲线的对称性，一是曲线自身的对称性；二是曲线间的对称性.3.轨迹问题.曲线轨迹问题的探求在高考中出现频率极高，主要有三种类型：①曲线形状未定其方程如何求？②曲线形状已知，其方程如何求?③由曲线方程如何讨论形状,此类问题解题步骤通常是通过建立坐标系，设动点的坐标，依题意设条件，列出等式、代人化简整理即得曲线的轨迹方程．基本方法有：直译法、定义法、代人法、交轨法、几何法、参数法、极坐标法.4.范围问题.解析几何问题中参数范围是近年高考又一个命题热点．其解法通常依据题设条件建立含有参变量的函数关系式或不等式．然后确定参数的取值范围基本方法：定义法、函数法、方程法、不等式法及几何法等.5.位置问题.直线与圆锥曲线的位置关系问题，是研究解析几何的重点内容常涉及直线与曲线交点的判定、弦长、对称、共线等问题其解法为充分利用解析几何知识以及韦达定理、方程思想等.6.最值问题.解析几何中的最值问题，是从动态角度去研究数学问题的主要内容，因而倍受高考命题组的青睐.其解法通常是依题设条件，建立目标函数，然后再用最值方法来处理.状元心得:学好本节的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题，在复习过程中要做到：(1)搞清概念（新概念定义应“咬文嚼字”）；(2)熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线）；(3)熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；(4)处理问题时要在“大处着眼”（即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想）“小处着手”（即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法）.学科知识体系结构图:第一节 椭圆【考点点知】知己知彼，百战不殆椭圆是圆锥曲线中最重要、最基本的曲线．文科要求：掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．理科要求：掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．从以上要求可以看出：新课标淡化了双曲线与抛物线部分的要求，实际上是间接加强了对椭圆部分的要求，所以复习时应加强对椭圆的定义、性质等基础知识的复习，并在此基础上作适当的深化训练．考点一: 椭圆的的概念 1.平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于｜F 1F 2｜）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点；两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.2.方程12222=+b y a x (a ＞b ＞0)和12222=+bx a y (a ＞b ＞0)叫做椭圆的标准方程.3.椭圆的标准方程中a 、b 、c 之间的关系是a 2=b 2+c 2.4.动点M 与定点F （c ,0）的距离和它到定直线l ：x =c a 2的距离的比是常数ac(a >c >0)，则动点M 的轨迹是椭圆，定直线l 叫做椭圆的准线.准线与长轴所在的直线所夹的角为90°.考点二: 椭圆的几何性质1.椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)上的点中，横坐标x 的取值范围是－a ≤x ≤a ,纵坐标y 的取值范围是－b ≤y ≤b .2.椭圆关于x 轴、y 轴和原点都是对称的，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.椭圆2222b y a x +=1的四个顶点坐标是(±a ,0),(0,±b ).4.在椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)中，A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)、B 1(0,－b )、B 2(0,b )，线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴、短轴，在Rt △OB 2F 2中，｜OF 2｜2=｜B 2F 2｜2－｜OB 2｜2,这就是c 2=a 2－b 2的几何意义.△OB 2F 2叫做椭圆的特征三角形，并且cos OF 2B 2是椭圆的离心率.5.准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =ca 26.焦半径：P （x ，y ）∈E , r 1=|PF 1|=a +ex ，r 2=|PF 2|=a －ex7.椭圆的参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （a >b >0,θ为参数）中，椭圆的长轴长是2a ,椭圆的短轴长是2b .8.在方程2222b y a x +=1中，令ax=cos θ,即x =a cos θ,则y =±b sin θ.【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础²2007西城区抽样)椭圆θθθ(sin 4cos 5⎩⎨⎧==y x 为参数）的标准方程是 ，它的一个焦点到其相应准线的距离是 .xy思路透析:由椭圆参数方程可得椭圆的标准方程为2212516x y +=. 取其右焦点(3,0) ,则其对应的右准线为253x =,右焦点到右准线的距离为2516333-=. 点评:本题考查了椭圆的参数方程与椭圆的标准方程间的互化,椭圆基本量的公式应用.参数思想方法是新大纲加强的一个方向,椭圆的参数方程及其深入的研究是圆锥曲线问题考查的一个方向.例2.(基础²2006连云港二模)我国发射的“神州六号”的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面为m 千米，远地点距地面为n 千米，地球半径为R 千米，关于此椭圆轨道，有以下三种说法：①长轴长为R m n 2-+千米；②焦距为m n -千米；③ 短轴长为))((2R n R m ++千米．其中正确的说法有 ( )A ．①②③B ．①③C ．②③D ．② 思路透析:由已知可得m R a c +=-, n R a c +=+,则长轴长为2n m R ++千米;焦距为m n -千米, 短轴长为))((2R n R m ++千米．故应选C.点评:作出“神州六号”的运行轨道是以地球的模拟图,根据椭圆的定义一一判断其正确性.近地点与远地点的概念需要找准确,根据其关系式求出椭圆的基本量,再由基本量去加以求解椭圆的各个几何参量的值,这是椭圆基本概念题的通法.例3.(综合²2007上海春季)如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右两个焦点分别为21F F 、．过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C相交，其中一个交点为()1M．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求△BN F 1的面积．思路透析:（Ⅰ） 解法一：x l ⊥ 轴，∴2F的坐标为)0．由题意可知 2222211,2,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩ 得224,2.a b ⎧=⎨=⎩∴所求椭圆方程为22142x y +=．解法二：由椭圆定义可知122MF MF a +=． 由题意21MF =，∴121MF a =-． 又由Rt △21F MF可知(22(21)1a -=+，0a >，∴2a =，又222a b -=，得22b =．∴椭圆C 的方程为22142x y +=. （Ⅱ） 直线2BF的方程为y x =由221,42y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 得点N的纵坐标为3.又12F F =11823F BNS ∆=⨯⨯=⎭. 点评:通过基本量的关系可以直接求椭圆的方程,也可以通过椭圆的定义及其几何特征求解椭圆的方程.三角形的面积可以利用底乘以高(点的纵坐标)求解.本题以椭圆标准方程基本量的求解为起点,以直线与椭圆位置关系为命题方向,考查了考生对圆锥曲线问题解析法的思想掌握情况及分析问题与解决问题的能力.例4.(综合²2007山东卷理科21文科22)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．思路透析:（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：31a c a c +=-=，，222213a cb ac ==∴=-=，，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，． 联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，则22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+．因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y yx x =--- ．1212122()40y y x x x x ∴+-++=．2222223(4)4(3)1540343434m k m mk k k k --∴+++=+++． 2271640m mk k ∴++=．解得：12227k m k m =-=-，，且均满足22340k m +->．当12m k =-时，l 的方程(2)y k x =-，直线过点(20)，，与已知矛盾；当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，．点评:考生多求得了两个定点坐标(20)，、207⎛⎫ ⎪⎝⎭，,忽视了直线与椭圆相交的位置关系为前提,失去了检验最佳机会.要直线与圆锥曲线的位置关系的判断中,要注意直线方程与椭圆方程联立,通过判别式来确定参数的取值范围,对解题中间过程中所得的结论要能够及时的反思与检验.例5.(创新探究²2007广东卷理科18文科19)在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．思路透析:(Ⅰ) 设圆C 的圆心为 (m, n)则,m n n =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为22(2)(2)8x y ++-= (Ⅱ) 由已知可得 210a =,解之得5a =椭圆的方程为221259x y +=,右焦点为 F( 4, 0) ; 假设存在Q点()2,2θθ-++使QF OF =,4=整理得 sin 3cos θθ=+ 代入 22sin cos 1θθ+=得: 210cos70θθ++=,cos 1θ==<-因此不存在符合题意的Q 点.点评:不少考生忽视了余弦值的最后判断,解得了余弦值即下结论“点Q 存在”.部分考选择了直接设圆上的点坐标,运算时较大,过程较复杂,平时解题训练中,对解题策略选择上要能够在解题前进行优化,使解题过程少走弯路.例6.(创新探究²2007黄冈3月模)设椭圆的方程为2222ny m x +＝1（m ，n >0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜2π＝的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点，（Ⅰ）用θ、m 、n 表示四边形ABCD 的面积S ； （Ⅱ）若m 、n 为定值，当θ在（0，4π］上变化时，求S 的最大值u ；（Ⅲ）如果μ>mn ，求nm的取值范围.思路透析:（Ⅰ）设经过原点且倾角为θ的直线方程为y =x tan θ，可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=1tan 2222n ym x x y θ又由对称性，得四边形ABCD 为矩形，同时0＜θ＜2π，所以四边形ABCD 的面积S ＝4|xy |＝θθ22222tan tan 4m n n m +． （Ⅱ）S ＝θθtan tan 42222m nn m +．（1）当m >n ，即mn ＜1时，因为θtan 2n ＋m 2tan θ≥2nm ，当且仅当tan 2θ＝22m n 时等号成立，所以mn mnn m m n n m S224tan tan 4222222=≤+=θθ．由于0＜θ≤4π，0＜tan θ≤1，故tan θ＝mn得u ＝2mn ． （2）当m <n ，即mn >1时，对于任意0＜θ1＜θ2≤4π，由于)tan tan ()tan tan (12122222θθθθn m n m +-+21221212tan tan tan tan )tan (tan θθθθθθn m --=．因为0＜tan θ1＜tan θ2≤1，m 2tan θ1tan θ2－n 2＜m 2－n 2＜0，所以（m 2tan θ2＋22tan θn ）－（m 2tan θ1＋12tan θn ）＜0，于是在（0，4π］上，S ＝θθtan tan 42222m n n m +是θ的增函数，故取θ＝4π，即tan θ＝1得u ＝22224nm n m +．所以u ＝⎪⎩⎪⎨⎧<<+<<)0( 4)0( 22222n m n m n m m n mn（Ⅲ）（1）当nm>1时，u =2mn >mn 恒成立. （2）当n m <1时，224n m mn mn u += >1，即有（n m ）2－4（n m）+1<0，所以3232+<<-n m ，又由n m <1，得132<<-nm. 综上，当u >mn 时，nm的取值范围为（2－3，1）∪（1，＋∞）． 点评:本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最小值来考查逻辑思维能力和应用能力，同时体现分类讨论思想.椭圆学习是圆锥曲线的第一道门槛,椭圆学习的成功对后续学习双曲线、抛物线均有莫大的益处. 学习椭圆要具备以下四个观点,①常规审题思维观;②科学的估算观;③灵活的转化观;④不懈的探索观.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:(1)椭圆的定义是解决问题的出发点，尤其是第二定义，如果运用恰当可收到事半功倍之效（如关于求焦半径的问题）.(2)要明确参数a 、b 、c 、e 的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.(3)椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2（如右图），它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2=a 2－b 2，且若记∠OF 1B 2=θ， 则cos θ=ac =e . (4)椭圆参数的几何意义，如右图所示： ①|PF 1|+|PF 2|=2a ，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；②|A 1F 1|=|A 2F 2|=a －c ，|A 1F 2|=|A 2F 1|=a +c ； ③|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；④|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2，|PM 2|+|PM 1|=c a 22.2.学以致用:(1)椭圆1422=-y x 的离心率为A.23 B.43 C.22 D.32(2)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A．13B C．12D (3)设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP DF =+ ，则||OM= ．(4)设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点P i (i =1,2,3,…),使|FP 1|,|FP 2|, |FP 3|,…组成公差为d 的等差数列,则d 的取值范围为 .答案:(1)A 解析:由已知可得2241x y +=, 即得22114y x +=,该椭圆的离心率2c e a===, 故应选A. (2)D 解析:由已知条件可得2a b =, 又22222243c a b bb b =-=-=,可得c =.∴c e a ===,故应选D. (3)2解析: 如右图所示, 由于椭圆的第二定义可得 设P 到左准线的距离为d ,则35PF e d ==, 又由10d =可得6PF =, ∴221064PF a PF =-=-=,∵1()2OM OP OF =+, ∴点M 是线段PF ∴2//OM PF ,且2114222OM PF ==⨯=.(4)11[,0)(0,1010-解析:a =,c =1,1,最大距1,当d>0时,|FP 1|＝1,|FP n |＝＋1,∴d=1||||1n FP FP n --＝21n -,∵n ≥21,∴1010d <≤,同理,当d ＜0时,1010d -≤<．故d ∈11[,0)(0,]1010- ． 3.易错分析:(1)解析几何问题，基本上都与方程思想相结合，因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结合根与系数的关系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点.(2)椭圆标准方程中两个参数a 和b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a ＞b ＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2=a 2－b 2；在方程Ax 2+By 2=C 中，只要A 、B 、C 同号，就是椭圆方程.(3)椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在.(4)使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e .若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是A. B. 6 C. D.122.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．323.已知椭圆x 216+y 29=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在椭圆上,若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到x 轴的距离为( )A ．95B ．3C ．977D ．944.设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为A.3－1 B.2－3 C.22 D.23 5.设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐（c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（ ）A B ．12C D ．26.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．0⎛ ⎝⎦Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．1⎫⎪⎪⎣⎭二、填空题:7.已知P 是椭圆22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________.8.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．9.若焦点在x 轴上的椭圆145222=+b y x 上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则b 的取值范围是_______________.10.若椭圆11:22=++y m x C 的一条准线方程为2-=x ，则=m ；此时，定点)0,21(与椭圆C 上动点距离的最小值为 . 三、解答题:11.直线l 过点M （1，1），与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程.12.已知常数a ＞0，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =4a ， O 为AB 的中点，点E 、F 、G分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BC BE =CD CF =DADG，P 为GE 与OF 的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.13.设1F ，2F 分别是椭圆C ：2222162x y m m +=(0)m >的左，右焦点． （Ⅰ）当P C ∈，且210PF PF =，12||||8PF PF ⋅=时，求椭圆C 的左，右焦点1F 、2F ．（Ⅱ）1F 、2F 是（Ⅰ）中的椭圆的左，右焦点，已知2F 的半径是1，过动点Q 的作2F 切线QM，使得1QF =（M 是切点），如下图．求动点Q 的轨迹方程．14.已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC 中点的横坐标；（Ⅲ）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围.【能力训练】参考答案 一、选择题:1. C2. B3. D4. A5. D6. D 二、填空题:7. 452x ＋202y ＝1 8. 221164x y += 9. 0b b ≤≤≠ 10. 23,1 三、解答题:11.解析:设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则421x +321y =1，①422x +322y =1. ② ①－②，得4))((2121x x x x +-+3))((2121y y y y +-=0.∴2121x x y y --=－43²2121y y x x ++.又∵M 为AB 中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2. ∴直线l 的斜率为－43. ∴直线l 的方程为y －1=－43（x －1），即3x +4y －7=0. 12.解析:按题意，有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）. 设BC BE =CD CF =DADG=k （0≤k ≤1）， 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为2ax +（2k －1）y =0. ① 直线GE 的方程为－a （2k －1）x +y －2a =0. ②由①②消去参数k ，得点P （x ，y ）满足方程2a 2x 2+y 2－2ay =0.整理得212x +22)(a a y -=1.当a 2=21时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a 2≠21时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a 2＜21时，点P 到椭圆两个焦点（－221a -，a ），（221a -，a ）的距离之和为定值2. 当a 2＞21时，点P 到椭圆两个焦点（0，a －212-a ），（0，a +212-a ）的距离之和为定值2a .13.解析:（Ⅰ）∵222c a b =-，∴224c m =．又∵021=⋅PF PF ∴12PF PF ⊥， ∴()222212216PF PF c m +==．由椭圆定义可知122PF PF a +==，()2221216824PF PF m m +=+=，从而得21m =，2244c m ==，2c =． ∴()120F -，、()220F ，．（Ⅱ）∵F 1（-2，0），F 2（2，0），由已知：1QF ，即2212QF QM =， 所以有：()221221QF QF =-，设P （x ，y ），则()()22222221x y x y ⎡⎤++=-+-⎣⎦， 即()22632x y -+=（或221240x y x +-+=）, 综上所述，所求轨迹方程为：()22632x y -+=．14.解析:（Ⅰ）由椭圆定义及条件知2a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10，得a ＝5.又c ＝4，所以b ＝22c a -＝3．故椭圆方程为252x ＋92y ＝1．（Ⅱ）由点B （4，y B ）在椭圆上，得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59． 方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425，离心率为54．根据椭圆定义，有｜F 2A ｜＝54（425－x 1），｜F 2C ｜＝54（425－x 2）．由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得54（425－x 1）＋54（425－x 2）＝2³59． 由此得出x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0）， 则x 0＝221x x +＝28＝4． 方法二：由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得2121)4(y x +-＋2222)4(y x +-＝2³59， ① 由A （x 1，y 1）在椭圆252x ＋92y ＝1上，得y 12＝259（25－x 12），所以2121)4(y x +-=)25(25916821121x x x -++-＝21)545(x -＝51（25－4x 1）. ② 同理可得2222)4(y x +-＝51（25－4x 2）． ③将②③代入①式，得51（25－4x 1）＋51（25－4x 2）＝518． 所以x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0），则x 0＝221x x +＝28＝4． （3）解法一：由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得9x 12＋25y 12＝9³25， ④9x 22＋25y 22＝9³25． ⑤由④－⑤得9（x 12－x 22）＋25（y 12－y 22）＝0， 即9（221x x +）＋25（221y y +）（2121x x y y --）＝0（x 1≠x 2）.将221x x +＝x 0=4，221y y +＝y 0，2121x x y y --＝－k1（k ≠0）代入上式，得9³4＋25y 0（－k1）＝0（k ≠0）． 由上式得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0＝4k ＋m ， 所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0． 由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516． 评述：在推导过程中，未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k ＝0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”也可以.解法二：因为弦AC 的中点为P （4，y 0）， 所以直线AC 的方程为y －y 0＝－k1（x －4）（k ≠0）. ⑥ 将⑥代入椭圆方程252x +92y ＝1，得（9k 2＋25）x 2－50（ky 0＋4）x ＋25（ky 0＋4）2－25³9k 2＝0．所以x 1＋x 2＝259)4(5020++k ky ＝8． 解得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 以下步骤同解法一.。

高考椭圆大题知识点公式椭圆是初中数学中的一个重要的几何概念，它也是高考中常见的题型之一。

椭圆的性质和计算方法在高考中一直以来都是考察的重点，掌握了椭圆的知识点和公式，对于解答相关题目有着至关重要的作用。

本文将详细介绍高考椭圆大题的知识点和公式。

1. 椭圆的定义和基本性质椭圆可以用一个特定的平面曲线来描述，它是一个离心率小于1的闭合曲线。

椭圆有两个特殊的焦点和一个长轴和短轴。

在求解椭圆的相关题目时，我们需要了解椭圆的四个基本性质：离心率、焦半径、焦距和准线。

2. 椭圆的方程和标准方程对于给定的椭圆，我们需要根据已知条件求解其方程。

椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1（a>b>0），其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。

3. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点是与椭圆的离心率相关的关键概念。

根据椭圆的标准方程，椭圆的焦点分别位于椭圆的长轴两侧，并与中心坐标的y坐标有一定的关系。

在求解与焦点相关的问题时，我们需要根据给定条件确定焦点的坐标和与焦点相关的长度。

4. 椭圆的参数方程和切线方程椭圆的参数方程是描述椭圆上任意一点的坐标与参数的关系。

根据椭圆的参数方程，我们可以求解椭圆上特定点的坐标，并进一步求解与椭圆相关的问题。

另外，椭圆的切线方程是求解椭圆上某一点的切线斜率和方程的重要手段。

5. 椭圆的面积和周长椭圆的面积和周长是解答椭圆相关题目时常见的考点。

椭圆的面积公式为πab，其中a是椭圆的长轴半径，b是椭圆的短轴半径。

椭圆的周长公式是2π√(a²+b²/2)。

6. 椭圆在平面几何中的应用椭圆不仅仅是一个抽象的数学概念，它在实际生活和工程领域中有着丰富的应用。

椭圆的轨迹和焦点特性在天体运动、建筑设计、电子工程等领域有着广泛的应用。

通过了解椭圆的应用，我们可以更好地理解椭圆的几何性质和相关计算方法。

2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.4椭圆<一）椭圆的定义以及标准方程※相关链接※1.椭圆定义的应用利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a>|F1F2|这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.2.椭圆的标准方程<1）当已知椭圆的焦点在x轴上时，其标准方程为+=1(a>b>0>；当已知椭圆的焦点在y轴上时，其标准方程为+=1(a>b>0>；<2）当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为+=1(m>0,n>0,m≠n>，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B>这种形式,在解题时更简便.求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。

用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：<1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能。

<2）设方程：根据上述判断设方程。

<3）找关系：根据已知条件，建立关于的方程组。

<4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。

注：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为，这种形式在解题时更简便。

※例题解读※〖例1〗已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=____；方法诠释：注意|AF1|+|AF2|=10，|BF1|+|BF2|=10,且|AF1|+|F1B|=|AB|，再结合题设即可得出结论；解读：由椭圆的定义及椭圆的标准方程得：|AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10,又已知|F2A|+|F2B|=12，所以|AB|=|AF1|+|BF1|=8.答案：8〖例2〗已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。

考点36椭圆（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.（3）了解椭圆的简单应用.（4）理解数形结合的思想.一、椭圆的定义平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.定义式：.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.二、椭圆的标准方程焦点在轴上，；焦点在轴上，.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：.三、椭圆的图形及其简单几何性质i)图形焦点在轴上焦点在轴上ii)注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出与，然后利用计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.四、必记结论1.设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处．2.已知过焦点F1的弦AB，则的周长为4a.考向一椭圆定义的应用1.椭圆定义的集合语言:往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.以椭圆上一点和焦点F1 (－c，0)， F2 (c，0)为顶点的中，若，注意以下公式的灵活运用：（1）； （2）； （3）.2.解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.典例1已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，点P 在椭圆上．（1）若点P 到焦点F 1的距离等于1，则点P 到焦点F 2的距离为________________； （2）过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，则的周长为________________； （3）若，则点P 到焦点F 1的距离为________________． 【答案】（1）3；（2）8；（3）．（3）在中，由余弦定理可得，即，由椭圆的定义可得，两式联立解得．1．P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝30°，则的面积为A ．1633B ．4(2－3)C ．16(2＋3)D ．16考向二求椭圆的标准方程求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2,b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.典例2 椭圆以x轴和y轴为对称轴,经过点(2,0),长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的方程为A. +y2=1 B. + =1C. +y2=1或+=1D. +y2=1或+x2=1【答案】C2．离心率为，长轴长为的椭圆的标准方程是A．B．或C．D．或考向三椭圆的几何性质及应用1.与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了.2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：（1）求出a ,c ，代入公式.（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）.典例3已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m ，(m >0)，则此椭圆的离心率为 A.13 B.33 C.22D.12【答案】B【解析】由题意，得椭圆的标准方程为x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴a 2＝m 2，b 2＝m 3，∴c 2＝a 2－b 2＝m 6，∴e 2＝c 2a2＝13，即e ＝33.故选B.3．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为 A ． B ． C ．D ．1．方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是A ．B ．(0，2)C ．(1，+∞)D ．(0，1)2．椭圆的焦距是A．2 B．C．D．3．已知椭圆的一个焦点为抛物线y2=8x的准线与其对称轴的交点,且椭圆的离心率为,则椭圆的方程为A． +=1 B． +=1C． +=14．已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈(,1),则实数m的取值范围是A．(0,) B．(,+∞)C．(0,)∪(,+∞)5．已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为,右顶点到直线x= (c为椭圆的半焦距)的距离为2-,则椭圆C的方程为A． +y2=1 B． +=1C． +y2=1 D． +=16．对于常数m,n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件7．如图，椭圆的左、右焦点分别为点为其上的动点，当为钝角时，则点的横坐标的取值范围是A．B．C．(- D．8．已知点是椭圆上一点,是椭圆的焦点,且满足,则的面积为A．1 B．C．2 D．49．已知F1,F2为椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若的周长为16,椭圆的离心率e=,则椭圆的方程是A． =1 B． =1C． =110．设P是椭圆+=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形11．已知F1,F2分别是椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右焦点,点(1,)在椭圆上,且点(-1,0)到直线PF2的距离为,其中点P(-1,-4),则椭圆的标准方程为A．x2+=1 B． +y2=1C．x2+=1 D． +y2=112．已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则的面积是A．B．2C．2 D．13．已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右顶点、上顶点分别为A,B,坐标原点到直线AB的距离为,且a=b,则椭圆C的方程为A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=114．已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P,使,则该椭圆离心率的取值范围为A．(0, -1) B．(,1)C．(0,) D．(-1,1)15．若椭圆+=1(m>0)的焦距为2,则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为.16．已知F1,F2为椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若为正三角形,则椭圆的离心率为.17．已知F1,F2是椭圆C: + =1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1⊥PF2,若的面积为9,则b=.18．如图,A,B分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点,点P在椭圆上,是面积为4的等腰直角三角形,则b=.19．设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为.20．已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为，则椭圆的方程为.21．设椭圆的两个焦点为是椭圆上任一动点,则的取值范围为.22．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆,测得近地点A距离地面m km,远地点B距离地面n km,地球半径为R km,关于这个椭圆有下列说法:①焦距长为n-m;②短轴长为;③离心率e=.其中正确说法的序号为.23．求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3);(2)对称轴为坐标轴,经过点P(-6,0)和Q(0, 8).24．P是椭圆+=1(a>b>0)上任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,有一动点Q满足+,求动点Q的轨迹方程.25．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2.直线l:y=kx+m(m≠0)与椭圆相交于不同的A,B两点.(1)求椭圆的方程;(2)若线段AB中点的横坐标为,求k的值.1．（2017浙江）椭圆的离心率是A．B．C．D．2．（2017新课标全国III文）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A．B．C．D．（2017新课标全国I文）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，3．则m的取值范围是A．B．C．D．4．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．（注：椭圆的准线方程：）1．【答案】 B【解析】由题意知c ＝1；|PF 1|＋|PF 2|＝25，|F 1F 2|＝2，在中有： |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos30°＝|F 1F 2|2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝4， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)，的面积为S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin30°＝4(2－3)．故选B.2．【答案】B【解析】由题意知，当焦点在轴上时，；当焦点在轴上时，．故选B ． 3．【答案】C．又因为，所以．故选C．1．【答案】D【解析】方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以,则0<k<1,故选D.2．【答案】A【解析】将椭圆的方程化为标准方程为，则a2=3,b2=2,所以c=1，则焦距2c=2.3．【答案】B4．【答案】C【解析】椭圆x2+my2=1的标准方程为x2+=1.又<e<1,即0<.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=1,b2=,则m>;当椭圆的焦点在y轴上时,a2=,b2=1,则0<m<.所以实数m的取值范围是0<m<或m>.【名师点睛】椭圆的性质分两类:(1)与坐标系无关的,如轴长、焦距、离心率;(2)与坐标系有关的,如顶点坐标、焦点坐标.5．【答案】A【解析】由题意知, ,解得,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.6．【答案】B【解析】由mn>0,得或.由方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆,得.故“mn>0”是“方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.7．【答案】A【解析】,设,，则，当为钝角时,，由点在椭圆上，可得，，，解得.点的横坐标的取值范围是故选A.8．【答案】A9．【答案】D【解析】由椭圆的定义知|AF1|+|BF1|+|AB|=4a=16,∴a=4.又,∴c=2,∴b2=42-(2)2=4,∴椭圆的方程为=1.10．【答案】B【解析】由|PF1|+|PF2|=8,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=4,故满足|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,故为直角三角形.11．【答案】D【解析】设F2的坐标为(c,0)(c>0),则,故直线PF2的方程为y= (x-c),即x-y-=0,点(-1,0)到直线PF2的距离d===,即()2=4,解得c=1或c=-3(舍去),所以a2-b2=1.①又点(1,)在椭圆E上,所以+=1,②由①②可得所以椭圆的标准方程为+y2=1.故选D.12．【答案】A13．【答案】C【解析】依据题意,可得直线AB的方程为+=1,即bx+ay-ab=0.又坐标原点到直线AB的距离为,故⇒,又a=b,解得a=4,b=2,故椭圆C的方程为+=1.14．【答案】D【解析】根据正弦定理得,又可得,即=e,所以|PF1|=e|PF2|.又|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|·(e+1)=2a,所以|PF2|=.因为a-c<|PF2|<a+c,所以a-c<<a+c,所以1-<1+,所以1-e<<1+e, 即解得-1<e<1.故选D.15．【答案】2或4【名师点睛】本题考查了椭圆的定义及标准方程,易错的原因是忽略了椭圆焦点位置对参数的影响.当椭圆焦点位置不确定时,一般要分类讨论.16．【答案】【解析】方法一：e=.因为为等边三角形,所以|AF1|∶|F1F2|∶|F2A|=1∶∶2,所以e=.方法二：不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),F1(c,0),F2(-c,0),由得|y|=,即|AF1|=|BF1|=,|AB|=.因为为正三角形,所以·=2c,得 (a2-c2)=2ac,即e2+2e-=0.又0<e<1,解得e=.17．【答案】3【解析】设椭圆的焦点坐标为(±c,0),根据椭圆的定义和是一个面积为9的直角三角形,有①式两端平方并把②③式代入,可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,即b2=9,故b=3.18．【答案】故由题意可得a2=4,解得a=4,故P(2,2).由点P在椭圆上可得, + =1,解得b2=,所以b=.19．【答案】15【解析】因为椭圆+=1中,a=5,b=4,所以c=3,得焦点为F1(-3,0),F2(3,0).根据椭圆的定义,得|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).因为|PM|-|PF2|≤|MF2|,当且仅当P在MF2的延长线上时等号成立,此时|PM|+|PF1|的最大值为10+5=15.20．【答案】【解析】由已知得解得.21．【答案】【解析】由题意得;令,则, ,所以===,而,所以;即的取值范围为.22．【答案】①③23．【解析】(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0).方法一:由椭圆的定义知, ,所以a=6.又c=2,所以b==4,所以椭圆的标准方程为+=1.方法二:因为所求椭圆过点(4,3),所以+=1.又a2-b2=c2=4,所以a2=36,b2=32,所以椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的几何性质可知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,所以点P,Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点,则短半轴长b=6,长半轴长a=8,且短轴、长轴分别在x轴和y轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.24．【解析】作P关于O的对称点M,连接F1M,F2M,则四边形F1PF2M为平行四边形,所以+=2=-2.又+,所以=-.设Q(x,y),则=(-,-),即P点坐标为(-,-),又P在椭圆+=1(a>b>0)上,则有+=1,即+=1.故动点Q的轨迹方程为+=1(a>b>0).25．【解析】（1）依题意有,即a=c,所以b=c.（2）联立直线l的方程与椭圆的方程得,代入消元得(2k2+1)x2+4kmx+(2m2-4)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.由题意知,x1+x2==m,因为m≠0,所以=1,即2k2+4k+1=0,解得k=-1-或k=-1+.1．【答案】B【解析】椭圆的离心率，故选B．2．【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A．3．【答案】A4．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c．因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，解得，于是，因此椭圆E的标准方程是．（2）由（1）知，，．设，因为为第一象限的点，故．当时，与相交于，与题设不符．当时，直线的斜率为，直线的斜率为．因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，从而直线的方程：①，直线的方程：②．由①②，解得，所以．因为点在椭圆上，由对称性，得，即或．又在椭圆E上，故．由，解得；，无解．因此点P的坐标为．。

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椭圆知识点一：椭圆的定义第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和为定值)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。

这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹不存在.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程:12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ,其中222b a c -=. 注意：只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=；椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时,椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ,),0(c -题型一、椭圆的定义1、方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2、若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -,ABC ∆的周长为18,则顶点C 的轨迹方程是3、椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为（ ）A ．4B ．2C ．8D ．234、椭圆2212516x y +=两焦点为12F F 、，()3,1A ，点P 在椭圆上，则1PF PA +的最大值为_____，最小值为 ___题型二、椭圆的标准方程5、方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是（A ）A , B 同号且A ≠B (B ）A , B 同号且C 与异号(C ）A , B ， C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆6、若方程22153x y k k +=--， (1)表示圆，则实数k 的取值是 .（2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 。

[2018年高考数学必背知识点_2018年高考数学知识点]2018年高考数学知识点
数学科目向来是最重要的、必考的高考科目之一。

高考考生在复习数学过程中，需要重点关注一些必背知识点。

下面小编给大家带来高考数学必背知识点，希望对你有帮助。

高考数学必背知识点：三角函数
高考数学必背知识点：不等式
高考数学必背知识点：直线和园的方程
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考点测试52 椭圆一、基础小题1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 答案 A解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12 答案 B解析 2x 2＋3y 2＝m (m >0)⇒x 2m 2＋y 2m3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m6.∴e 2＝13，∴e ＝33.故选B.3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 等于( ) A.12 B ．2 C ．4 D.14 答案 D解析 由x 2＋y 21m＝1及题意知，21m ＝2×2×1，m ＝14，故选D. 4．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y轴的距离为( )A.233 B.263 C.33D. 3 答案 B解析 设M (x ，y )，由MF 1→·MF 2→＝0，得x 2＋y 2＝c 2＝3， 又x 24＋y 2＝1，解得x ＝±263. 5．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 B解析 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．6．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 C解析 令c ＝a 2－b 2.如图，据题意，|F 2P |＝|F 1F 2|，∠F 1PF 2＝30°，∴∠F1F 2P ＝120°，∴∠PF 2x ＝60°， ∴|F 2P |＝2⎝⎛⎭⎪⎫3a 2－c ＝3a －2c .∵|F 1F 2|＝2c ，∴3a －2c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴c a ＝34，即椭圆的离心率为34.故选C.7．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2. ∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C.8．已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________．答案33解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝4.又r 21＋r 22－2r 1r 2cos60°＝|F 1F 2|2，(r 1＋r 2)2－3r 1r 2＝12，∴r 1r 2＝43，S ＝12r 1r 2sin60°＝33. 二、高考小题9．[2016·全国卷Ⅲ]已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 答案A解析 由题意知过点A 的直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，当x ＝－c 时，y ＝k (a －c )，当x ＝0时，y ＝ka ，所以M (－c ，k (a －c ))，E (0，ka )．如图，设OE 的中点为N ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ka 2，由于B ，M ，N 三点共线，所以k BN ＝k BM ，即ka2－a ＝k a －c －c －a ，所以12＝a －c a ＋c ，即a ＝3c ，所以e ＝13.故选A.10. [2016·江苏高考]如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案63解析 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2， 由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.11．[2014·安徽高考]设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案 x 2＋32y 2＝1解析 不妨设点A 在第一象限，∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0<b <1，c >0)．又∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴由AF 1→＝3F 1B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，－b 23，代入x 2＋y 2b 2＝1，得25c 29＋b 49b 2＝1，又c2＝1－b 2，∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.12．[2014·江西高考]过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案22解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b2＝1.② ①、②两式相减并整理，得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式，得－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22. 13．[2014·辽宁高考]已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 解法一：由椭圆方程知椭圆C 的左焦点为F 1(－5，0)，右焦点为F 2(5，0)．则M (m ，n )关于F 1的对称点为A (－25－m ，－n )，关于F 2的对称点为B (25－m ，－n )，设MN中点为(x ，y )，所以N (2x －m,2y －n )．所以|AN |＋|BN |＝x ＋252＋y 2＋x －252＋y2＝2[]x ＋52＋y 2＋x －52＋y2，故由椭圆定义可知|AN |＋|BN |＝2×6＝12.解法二：根据已知条件画出图形，如图．设MN 的中点为P ，F 1、F 2为椭圆C 的焦点，连接PF 1、PF 2.显然PF 1是△MAN 的中位线，PF 2是△MBN 的中位线，∴|AN |＋|BN |＝2|PF 1|＋2|PF 2|＝2(|PF 1|＋|PF 2|)＝2×6＝12.三、模拟小题14．[2016·江西五市八校二模]已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)答案 B解析 因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，即m ＝4，所以椭圆x 2＋y 24＝1的焦点坐标为(0，±3)，故选B.15．[2017·湖北八校联考]设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59 答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B. 16．[2016·青岛模拟]已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27 D.7 答案 C解析 根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b2＝1(b >0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83·b 2y －b 4＋12b 2＝0.∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)·(b 2－3)＝0，∴b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27.17．[2016·福建厦门一模]已知椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点A (0,23)，当△APF 的周长最大时，△APF 的面积等于( )A.1134 B.2134 C.114 D.214答案 B解析 由椭圆x 29＋y 25＝1，知a ＝3，b ＝5，c ＝a 2－b 2＝2，在Rt △AOF 中，|OF |＝2，|OA |＝23，则|AF |＝4.设椭圆的左焦点为F 1，则△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a －|PF 1|＝4＋6＋|PA |－|PF 1|≤10＋|AF 1|(当且仅当A ，P ，F 1三点共线，P 在线段AF 1的延长线上时取“＝”)．此时直线AF 1的方程为x －2＋y23＝1，与椭圆的方程5x 2＋9y 2－45＝0联立并整理得32y 2－203y －75＝0，解得y P ＝－538(正值舍去)，则△APF 的周长最大时，S △APF ＝12|F 1F |·|y A －y P |＝12×4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪23＋538＝2134.故选B.18．[2017·怀化模拟]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P ，使得∠F 1PF 2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1解析 由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，所以底角小于等于30°，则c a ≥32，即e ≥32，又e <1，所以椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.一、高考大题1．[2016·浙江高考]如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k2.因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2>0，k 1≠k 2. 由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22. 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由k 1≠k 2，k 1，k 2>0，得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2(a 2－2)>1，所以a > 2.因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤ 2，由e ＝c a ＝a 2－1a ，得所求离心率的取值范围为0<e ≤22.2．[2016·天津高考]设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．解 (1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，即1c ＋1a ＝3c a a －c，可得a 2－c 2＝3c 2，又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4，所以，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0. 解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3，由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y ＝－1k x ＋9－4k212k ，消去y 解得x M ＝20k 2＋9k 2＋.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋9k 2＋≥1，解得k ≤－64或k ≥64. 所以，直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞. 二、模拟大题3．[2017·江西上饶模拟]已知圆E ：(x ＋1)2＋y 2＝16，点F (1,0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)若直线y ＝k (x －1)与(1)中轨迹Γ交于R ，S 两点，在x 轴上是否存在一点T ，使得当k 变动时总有∠OTS ＝∠OTR ？说明理由．解 (1)连接QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4>|EF |＝2， 故动点Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，可知a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以点Q 的轨迹Γ的方程是x 24＋y 23＝1.(2)假设存在T (t,0)满足∠OTS ＝∠OTR . 设R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，3x 2＋4y 2－12＝0，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，①其中Δ>0恒成立．由∠OTS ＝∠OTR (显然TS ，TR 的斜率存在)，得k TS ＋k TR ＝0，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，②由R 、S 两点在直线y ＝k (x －1)上，故y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入②，得 k x 1－x 2－t ＋k x 2－x 1－tx 1－t x 2－t＝k [2x 1x 2－t ＋x 1＋x 2＋2t ]x 1－tx 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0.③ 将①代入③，得8k 2－24－t ＋k 2＋2t＋4k23＋4k 2＝6t －243＋4k2＝0.④要使得④与k 的取值无关，当且仅当“t ＝4”时成立． 综上所述，存在T (4,0)，使得当k 变化时，总有∠OTS ＝∠OTR .4．[2016·东北三校联考]已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎪⎫2，22在C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 经过点P (1,0)，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，是否存在直线l 0：x ＝x 0(其中x 0>2)，使得A ，B 到l 0的距离d A ，d B 满足：d A d B ＝|PA ||PB |恒成立？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝32，2a 2＋12b 2＝1.解得⎩⎨⎧a ＝2，b＝1，c ＝3，所以C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)存在x 0＝4符合题意．理由如下：当直线l 斜率不存在时，x 0(x 0>2)可以为任意值．当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，点A ，B 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y 2＝1.所以x A ，x B 满足x 2＋4k 2(x －1)2＝4，即(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 22－k 2＋k 2－，x A＋x B ＝8k 24k 2＋1，x A x B＝4k 2－44k 2＋1.不妨设x A >1>x B .因为d A |PB |－d B |PA |＝1＋k 2·(|x 0－x A |·|x B －1|－|x 0－x B |·|x A －1|)＝1＋k 2·[2x 0－(x 0＋1)(x A ＋x B )＋2x A x B ]＝0，所以2x 0－x 0＋k 24k 2＋1＋k 2－4k 2＋1＝0.整理得2x 0－8＝0，即x 0＝4.综上，x 0＝4时符合题意．5．[2017·吉林长春调研]椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2的内切圆面积的最大值为π3. (1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长交直线x ＝4分别于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．解 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则a ＝2c ，得b ＝3c ，其中c >0.△F 1PF 2的内切圆面积取最大值π3时，其半径取最大值，为r ＝33.由S △F 1PF 2＝r2·C △F 1PF 2，且C △F 1PF 2为定值，得S △F 1PF 2也取得最大值，即点P 为短轴端点，因此12·2c ·b ＝r 2·(2a ＋2c )，所以12×2c ×3c ＝12×33×(4c ＋2c )，解得c ＝1. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 24＋y23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0，则y 1＋y 2＝－6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2.又直线AA 1的方程为y ＝y 1x 1－－[x －(－2)]，直线BA 1的方程为y ＝y 2x 2－－[x－(－2)]，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 2x 2＋2.设M (m ，n )， MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6y 1x 1＋2－n ，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6y 2x 2＋2－n ， 假设以PQ 为直径的圆恒过定点M (m ，n )，那么MP →·MQ →＝(4－m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6y 1x 1＋2－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫6y 2x 2＋2－n ＝0，即－12nt y 1y 2－18n y 1＋y 2t 2y 1y 2＋3t y 1＋y 2＋9＋n 2＋(4－m )2＝0， －12nt －－18n －6t －9t 2＋3t －6t ＋t 2＋＋n 2＋(4－m )2＝0，即6nt －9＋n 2＋(4－m )2＝0，即n ＝0，m ＝1或m ＝7，不论t 为何值时，MP →·MQ →＝0恒成立，以PQ 为直径的圆恒过定点，定点坐标为(1,0)或(7,0)．6．[2016·衡水中学一调]已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 是椭圆C 上一动点，求线段PM 的中点Q 的轨迹方程；(3)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，探究：直线AB 是否过定点，并说明理由．解 (1)由已知条件得b ＝2，a 2＝(2b )2＝8，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点P (x 0，y 0)，PM 的中点坐标为Q (x ，y )，则x 208＋y 204＝1.由x ＝0＋x 02，y ＝2＋y 02，得x 0＝2x ，y 0＝2y －2，代入上式，得x 22＋(y －1)2＝1.(3)若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意m ≠±2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2.由已知条件，得y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝8， 所以kx 1＋m －2x 1＋kx 2＋m －2x 2＝8，即2k ＋(m －2)x 1＋x 2x 1x 2＝8，所以k －km m ＋2＝4，即m ＝12k －2.故直线AB 的方程为y ＝kx ＋12k －2，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－2，所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.若直线AB 的斜率不存在，设直线AB 方程为x ＝x ′，设A (x ′，y ′)，B (x ′，－y ′)．由y ′－2x ′＋－y ′－2x ′＝8，得x ′＝－12，此时直线AB 方程为x ＝－12，显然过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 综上，直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.。

椭圆专题复习★知识梳理★1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:标准方程 )0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a bx a y 性 质参数关系 222c b a +=焦点 )0,(),0,(c c -),0(),,0(c c -焦距 c 2范围 b y a x ≤≤||,|| b x a y ≤≤||,||顶点 ),0(),,0(),0,(),0,(b b a a --)0,(),0,(),,0(),,0(b b a a --对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称离心率)1,0(∈=ace 准线ca x 2±=ca y 2±=考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4aB ．2(a －c)C ．2(a+c)D ．以上答案均有可能[解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c);Ox yD PAC(2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】1.短轴长为5，离心率32=e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ）A.3B.6C.12D.24[解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=122.已知P 为椭圆2212516x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ）A ． 5B ． 7C ．13D ． 15[解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7题型2 求椭圆的标准方程[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来[解析]设椭圆的方程为12222=+b y a x 或)0(12222>>=+b a ay b x ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=222)12(4c b a c a c b ， 解之得：24=a ，b =c ＝4.则所求的椭圆的方程为1163222=+y x 或1321622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数c b a ,,的数量关系．［警示］易漏焦点在y 轴上的情况． 【新题导练】3. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.[解析](0,1). 椭圆方程化为22x +ky 22=1. 焦点在y 轴上，则k 2>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1.4.已知方程),0(,1sin cos 22πθθθ∈=+y x ,讨论方程表示的曲线的形状[解析]当)4,0(πθ∈时，θθcos sin <，方程表示焦点在y 轴上的椭圆，当4πθ=时，θθcos sin =，方程表示圆心在原点的圆，当)2,4(ππθ∈时，θθcos sin >，方程表示焦点在x 轴上的椭圆 5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.[解析] ⇒⎩⎨⎧==-c a c a 23⎪⎩⎪⎨⎧==332c a ，3=∴b ，所求方程为122x +92y =1或92x +122y =1. 考点2 椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）[例3 ] 在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] 3sin ||||21=⋅=∆A AC AB S ABC ， 【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（2）只要列出c b a 、、的齐次关系式，就能求出离心率（或范围） （3）“焦点三角形”应给予足够关注【新题导练】6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 [解析]选B7.已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为 [解析]由⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=02222mn n m n nm n ⎩⎨⎧==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）[例4 ] 已知实数y x ,满足12422=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 【解题思路】 把x y x -+22看作x 的函数[解析] 由12422=+y x 得22212x y -=, 当1=x 时,x y x -+22取得最小值23,当2-=x 时,x y x -+22取得最大值6 【新题导练】9.已知点B A ,是椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）上两点,且BO AO λ=,则λ=[解析] 由BO AO λ=知点B O A ,,共线,因椭圆关于原点对称,1-=∴λ10.如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=________________ ［解析］由椭圆的对称性知：352536271==+=+=+a F P F P F P F P F P F P ．考点3 椭圆的最值问题[例5 ]椭圆191622=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________．【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数[解析]在椭圆上任取一点P,设P(θθsin 3,cos 4). 那么点P 到直线l 的距离为： 【名师指引】也可以直接设点),(y x P ，用x 表示y 后，把动点到直线的距离表示为x 的函数，关键是要具有“函数思想” 【新题导练】11.椭圆191622=+y x 的内接矩形的面积的最大值为 [解析]设内接矩形的一个顶点为)sin 3,cos 4(θθ， 矩形的面积242sin 24cos sin 48≤==θθθS12. P 是椭圆12222=+by a x 上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，求||||21PF PF ⋅的最大值与最小值[解析] ],[||,)|(||)|2(||||||12211121c a c a PF a a PF PF a PF PF PF +-∈+--=-=⋅当a PF =||1时，||||21PF PF ⋅取得最大值2a ， 当c a PF ±=||1时，||||21PF PF ⋅取得最小值2b13.已知点P 是椭圆1422=+y x 上的在第一象限内的点，又)0,2(A 、)1,0(B ， O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________．[解析] 设)2,0(),sin ,cos 2(πθθθ∈P ，则θθcos 221sin 21⋅+⋅=+=∆∆OB OA S S S OPB OPA OAPB 2cos sin ≤+=θθ考点4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题[例6 ] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且PB AP 3=． （1）求椭圆方程； （2）求m 的取值范围．【解题思路】通过PB AP 3=，沟通A 、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m 的不等式[解析]（1）由题意可知椭圆C 为焦点在y 轴上的椭圆，可设2222:1(0)y x C a b a b+=>>由条件知1a =且b c =，又有222a b c =+，解得 21,2a b c ===故椭圆C 的离心率为22c e a ==，其标准方程为：12122=+x y （2）设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m2x 2＋y 2＝1 得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2x 1x 2＝－3x 22消去x 2，得3（x 1＋x 2）2＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1k 2＋2＝0整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0m 2＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1， 因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2＝2－2m 24m 2－1>0，∴－1<m <－12 或 12<m <1容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立 即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（12，1）【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能 【新题导练】14.设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是（ ） A.()0,0132322>>=+y x y x B. ()0,0132322>>=-y x y x C. ()0,0123322>>=-y x y x D. ()0,0123322>>=+y x y x[解析]),(),3,23(y x OQ y x AB -=-=132322=+∴y x ，选A. 15. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，AC=22。