0695.北师大版八下数学《提公因式法》典型例题1

4.2提公因式法 同步习题一.选择题1. 把多项式2x 3y ﹣x 2y 2﹣6x 2y 分解因式时，应提取的公因式为（ ）A ．x 2yB ．xy 2C ．2x 3yD ．6x 2y2. 观察下列各式：①abx adx -；②2226x y xy +；③328421m m m -++；④3223a a b ab b ++-；⑤()()()22256p q x y x p q p q +-+++；⑥()()()24a x y x y b y x +--+．其中可以用提公因式法分解因式的有（）A ．①②⑤B ．②④⑤C ．②④⑥D ．①②⑤⑥3. 下列各式中，运用提取公因式分解因式正确的是（ ）A.()()()()22222a x a a x -+-=-+B.()32222x x x x x x ++=+C.()()()2x x y y x y x y ---=-D.()2313x x x x --=--4. 分解因式2322212n n n x x x +++-+的结果是（ ）A.()22n x x x -+B.()2322n x x x -+C.()2122n x x x +-+D.()322n x x x -+5. 把﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3因式分解时，应提取公因式（ ）A.﹣3x 2y 2B.-2x 2y 2C.x 2y 2D.﹣x 2y 26. 计算()2011201022+-的结果是（ ）A.20102B.－1C. 20102-D.－2二.填空题7. 把下列各式因式分解：（1）2168a b ab --=__________.（2）()()2232x x y x y x ---=_________________.8. 在空白处填出适当的式子：（1）()()()()111x y y x --=-+；（2）()()238423279ab b c a bc +=+9. 因式分解：()()()x b c a y b c a a b c +--+----=______________.10. 若ab=2，a ﹣b=﹣1，则代数式a 2b ﹣ab 2的值等于___________.11. 2011201222_________________-=.12. 若m ﹣n=3，mn=﹣2，则2m 2n ﹣2mn 2+1的值为_____________.三.解答题13.已知：213x x +=，求43261510x x x ++的值.14. 先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．（1）已知多项式2x 3﹣x 2+m 有一个因式是2x+1，求m 的值．解法一：设2x 3﹣x 2+m=（2x+1）（x 2+ax+b ），则：2x 3﹣x 2+m=2x 3+（2a+1）x 2+（a+2b ）x+b 比较系数得，解得，∴解法二：设2x 3﹣x 2+m=A•（2x+1）（A 为整式）由于上式为恒等式，为方便计算了取， 2×=0，故 ．（2）已知x 4+mx 3+nx ﹣16有因式（x ﹣1）和（x ﹣2），求m 、n 的值．15. 先分解因式（1）、（2）、（3），再解答后面问题；（1）1＋a ＋a （1＋a ）；（2）1＋a ＋a （1＋a ）＋a ()21a +；（3）1＋a ＋a （1＋a ）＋a ()21a +＋a ()31a +问题：a ．先探索上述分解因式的规律，然后写出：1＋a ＋a （1＋a ）＋a ()21a +＋a ()31a +＋…＋()20121a +分解因式的结果是_______________.b ．请按上述方法分解因式：1＋a ＋a （1＋a ）＋a ()21a +＋a ()31a +＋…＋()1n a +（n 为正整数）．参考答案一.选择题1. 【答案】A ；【解析】2x 3y ﹣x 2y 2﹣6x 2y=x 2y （2x ﹣y ﹣6）．2. 【答案】D【解析】①()abx adx ax b d -=-；②()222623x y xy xy x y +=+；⑤()()()()()222225656p q x y x p q p q p q x y x p q ⎡⎤+-+++=+-++⎣⎦；⑥()()()()()2244a x y x y b y x x y a x y b ⎡⎤+--+=+--⎣⎦．所以可以用提公因式法分解因式的有①②⑤⑥．3. 【答案】C ；【解析】()()()()22222a x a a x -+-=--；()322221x x x x x x ++=++.4. 【答案】C ；5. 【答案】D ．【解析】解：﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3=﹣x 2y 2（6x+3+8y ），因此﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3的公因式是﹣x 2y 2．故选D ．6. 【答案】C ；【解析】()()()()2011201020102010201020102010222222222+-=+-⨯-=+-⨯=-. 二.填空题7. 【答案】（1）()821ab a -+；（2）()()221xx y x -- 【解析】()()()()()()22222323221x x y x y x x x y x x y x x y x ---=---=--.8. 【答案】（1）1y -；（2）2427b ； 【解析】()()()()()()111111y x x y y x y y -+=-+-=---.9. 【答案】()()1x y b c a -++-；【解析】()()()x b c a y b c a a b c +--+----()()()x b c a y b c a b c a =+--+-++-()()1x y b c a =-++-.10.【答案】-2；【解析】∵ab=2，a ﹣b=﹣1，∴a 2b ﹣ab 2=ab （a ﹣b ）=2×（﹣1）=﹣2．11.【答案】20112-；【解析】()201120122011201120112011222222122-=-⨯=-=-.12.【答案】-11；【解析】解：∵2m 2n ﹣2mn 2+1=2mn （m ﹣n ）+1将m ﹣n=3，mn=﹣2代入得：原式=2mn （m ﹣n ）+1=2×（﹣2）×3+1=﹣11．故答案为：﹣11．三.解答题13.【解析】解： 43261510x x x ++ ()()()43322222222226699691169333331313x x x x x x x x x x x x x x x x xx x =++++=++++=⨯+⨯+=+=+=⨯= 14.【解析】解：设x 4+mx 3+nx ﹣16=A （x ﹣1）（x ﹣2）（A 为整式），取x=1，得1+m+n ﹣16=0①，取x=2，得16+8m+2n ﹣16=0②，由①、②解得m=﹣5，n=20．15.【解析】解：（1）原式＝()()()2111a a a ++=+；（2）原式＝()()()()()()31111111a a a a a a a a ++++=+++=+⎡⎤⎣⎦；（3）原式＝()()()21111a a a a a a ⎡⎤++++++⎣⎦()()()1111a a a a a =+++++⎡⎤⎣⎦()()()2111a a a =+++()41a =+a ．结果为：()20131a +，b ．原式＝()()()1111......1n a a a a a a -⎡⎤+++++++⎣⎦＝()()()()21111......1n a a a a a a a -⎡⎤++++++++⎣⎦＝()()()33111......1n a a a a a a -⎡⎤+++++++⎣⎦＝……＝()()()()111111n n a a a a -++++=+。

《提公因式法》典型例题例1.把下列各式因式分解例 5.已知：x 2 bx c (b 、c 为整数)是 x 4 6x 2 25及 3x 4 4x 2 28x 5的 公因式，求b 、c 的值。

例6.设x 为整数，试判断10 5x x(x 2)是质数还是合数，请说明理由。

(1)m 1abxm m3acx ax(2) a(a b)3 2a 2(b a)2 2ab(ba) 例2:计算123 987 1368268987 456987 521987 例3： 不解方程组2x y 3，求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。

5x 3y 2证明：对于任意自然数n ，3n2 2n 23n 2n 一定是10的倍数136813681368例4.在代数证明题中的应用参考答案例1•分析：(1)若多项式的第一项系数是负数，一般要提出 •”号，使括号内的 第一项系数是正数，在提出 •”号后，多项式的各项都要变号。

(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，(a b)2n (b a)2n ； (a b)2n 1 (b a)2n 1，是在因式分解过程中常用的因式变换解: a(a32b) 2a (ba)22ab(b a)a(a 32 b) 2a (a b)2 2ab(a b)a(a b)[(a 2 b) 2a(ab) 2b]a(a b)(3a 2 4ab b 22b)例2:分析：算式中,每一项都含有z，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解: 原式9871368(123 268 456 521)98713681368 ，987例3:分析：不要求解方程组，我们可以把2x y 和5x 3y 看成整体，它们的值分别是3和2，观察代数式，发现每一项都含有 2x y ，利用提公因式法把 代数式恒等变形，化为含有2x y 和5x 3y 的式子，即可求出结果。

解：(2x y)(2x 3y)3x(2x y) (2xy)(2x 3y 3x)(2xy)(5x 3y) 把2x y 和5x 3y 分别为3和2带入上式，求得代数式的值是6。

4.2提公因式法典型例题：1.找出下列式子中的公因式（1）bc a b a a 222230,8,4-；（2）()()()118,142-++y y x y x ；（3）()。

的整数为大于116,12112n y x y x n n n n +-2.把下列多项式分解因式：（1）()()y x y x x +-+53；（2）();)(323x y z y x ---（3）()()4321015y x b y x a -+-；（4）()()x y a y x b a 2314322122---（5）()()()b ac c a c b b c b a a +-+-++--（6）()()()()b a y x b a y x +-++-2332练习：一、填空1.单项式－12x 12y 3与8x 10y 6的公因式是________.2.－xy 2(x +y )3+x (x +y )2的公因式是________.3.把4ab 2－2ab +8a 分解因式得________.4.5(m －n )4－(n －m )5可以写成________与________的乘积.5.多项式14abx －8ab 2x +2ax 各项的公因式是________.6.7ab 4+14a 2b 2－49a 3b 2=7ab 2(________).7.若4x 3－6x 2=2x 2(2x +k )，则k =________.8.2(a －b )3－4(b －a )2=2(a －b )2(________).二、选择9.多项式8x m y n -1－12x 3m y n 的公因式是（）A.x m y nB.x m y n-1C.4x m y nD.4x m y n-110.把多项式－4a 3+4a 2－16a 分解因式（）A.－a (4a 2－4a +16)B.a (－4a 2+4a －16)C.－4(a 3－a 2+4a )D.－4a (a 2－a +4)11.如果多项式－51abc +51ab 2－a 2bc 的一个因式是－51ab ,那么另一个因式是（）A.c －b +5acB.c +b －5acC.c －b +51acD.c +b －51ac12.用提取公因式法分解因式正确的是（）A.12abc －9a 2b 2=3abc (4－3ab )B.3x 2y －3xy +6y =3y (x 2－x +2y )C.－a 2+ab －ac =－a (a －b +c )D.x 2y +5xy －y =y (x 2+5x )13.下列多项式中，公因式是5a 2b 的是()A.15a 2b －20a 2b 2B.30a 2b 3－15ab 4－10a 3b 2C.10a 2b 2－20a 2b 3+50a 4b 5D.5a 2b 4－10a 3b 3+15a 4b 214.下列分解因式结果正确的是()A.a2b+7ab－b=b(a2+7a)B.3x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2)C.8xyz－6x2y2=2xyz(4－3xy)D.－2a2+4ab－6ac=－2a(a－2b－3c)15.下列分解因式结果正确的是()A.6(x－2)+x(2－x)=(x－2)(6+x)B.x3+2x2+x=x(x2+2x)C.a(a－b)2+ab(a－b)=a(a－b)D.3x n+1+6x n=3x n(x+2)16.分解因式b2(x－2)+b(2－x)正确的结果是()A.(x－2)(b2+b)B.b(x－2)(b+1)C.(x－2)(b2－b)D.b(x－2)(b－1)三、解答题17.分解因式（1）x(x－y)－y(y－x)（2）－12x3+12x2y－3xy2（3）(x+y)2+mx+my（4）a(x－a)(x+y)2－b(x－a)2(x+y) (5)15a3b2+5a2b(6)－5a2b3+20ab2－5ab(7)(x+y)(x－y)－(x+y)2(8)8a(x－y)2－4b(y－x)18.计算与求值(1)29×20.03+72×20.03+13×20.03－14×20.03.(2)已知S=πrl+πRl，当r=45，R=55，l=25，π=3.14时，求S的值.19.先化简，再求值（1）a(8－a)+b(a－8)－c(8－a)，其中a=1，b=21，c=21.（2）已知2x －y =81，xy =2，求2x 4y 3－x 3y 4的值.20.若x 2＋3x－2＝0，求2x 3＋6x 2－4x 的值。

《提公因式法》典型例题例题1 找出下列式子中的公因式：（1）bc a b a a 222330,8,4-；（2）)1)(1(8,)1(42-++y y x y x ；例题2．分解因式：m m m 126323+--例题3．分解因式：323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--.例题4．解方程：0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x .例题5．不解方程组⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m求：32)2(2)2(5m n n m n ---的值.参考答案例题1 分析 多项式中各项都含有的因式是公因式，公因式中的系数是各项系数的最小公倍数，各项中共同含有的字母的公因式是各项中这个字母次数最低的幂．解答 （1）公因式是22a ．（2）公因式是)1(4+y x ．说明 字母的指数中含有字母时，要判断哪个指数是最小的．解答 m m m 126323+--).42(3)1263(223-+-=-+-=m m m m m m说明 观察到第一项的系数是负数，我们先把“－”号提出来，便于继续分解因式.例题3．分析 观察题目结构特征：第一项系数是负数，且有因式)(y x -，第二、三项有因式)(x y -，这就启发我们只要把)(x y -前面添上负号，就变成)(y x --，这样三项中均有公因式了.解答 323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--[]).1()(18)333()(6)(43)()(6)(24)(18)(6222323+--=-+---=------=-+-+--=y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x说明 对于)(y x -与)(x y -的符号有下面的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=---=- 3322)()(,)()(),(x y y x x y y x x y y x 感兴趣的同学可以寻找其中的规律.分析 方程左边的第一项有因式)12(6)612(+=+x x ，第二项有因式)12(6+x . 所以我们应先提取公因式，再化简求解.解答 原方程依次变形为：[].21.012,0)5()12(6,0)2313()1823()12(6,0)2313)(12(6)1823)(12(6-=∴=+=-⋅+=-+-+=-++-+x x x x x x x x x x例题5．分析 把所求的式子利用因式分解法转化为关于)2(n m -与n m 34+的因式，再代入求解.解答 32)2(2)2(5m n n m n ---[])34()2()2(25)2()2(2)2(52232n m n m n m n n m n m n m n +-=-+-=-+-=∵⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m ∴原式9132=⋅=.说明 在解题过程中，巧妙地运用了转化思想，用提公因式法分解因式作为桥梁，把题给方程组和所求多项式结合起来，体现了思维的广阔性.。

《提公因式法》典型例题例题1 找出下列式子中的公因式：（1）bc a b a a 222330,8,4-；（2）)1)(1(8,)1(42-++y y x y x ；例题2．分解因式：m m m 126323+--例题3．分解因式：323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--.例题4．解方程：0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x .例题5．不解方程组⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m 求：32)2(2)2(5m n n m n ---的值.参考答案例题1 分析 多项式中各项都含有的因式是公因式，公因式中的系数是各项系数的最小公倍数，各项中共同含有的字母的公因式是各项中这个字母次数最低的幂．解答 （1）公因式是22a ．（2）公因式是)1(4+y x ．说明 字母的指数中含有字母时，要判断哪个指数是最小的．解答 m m m 126323+--).42(3)1263(223-+-=-+-=m m m m m m说明 观察到第一项的系数是负数，我们先把“－”号提出来，便于继续分解因式. 例题3．分析 观察题目结构特征：第一项系数是负数，且有因式)(y x -，第二、三项有因式)(x y -，这就启发我们只要把)(x y -前面添上负号，就变成)(y x --，这样三项中均有公因式了.解答 323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--[]).1()(18)333()(6)(43)()(6)(24)(18)(6222323+--=-+---=------=-+-+--=y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x说明 对于)(y x -与)(x y -的符号有下面的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=---=- 3322)()(,)()(),(x y y x x y y x x y y x 感兴趣的同学可以寻找其中的规律.分析 方程左边的第一项有因式)12(6)612(+=+x x ，第二项有因式)12(6+x . 所以我们应先提取公因式，再化简求解.解答 原方程依次变形为：[].21.012,0)5()12(6,0)2313()1823()12(6,0)2313)(12(6)1823)(12(6-=∴=+=-⋅+=-+-+=-++-+x x x x x x x x x x例题5．分析 把所求的式子利用因式分解法转化为关于)2(n m -与n m 34+的因式，再代入求解.解答 32)2(2)2(5m n n m n ---[])34()2()2(25)2()2(2)2(52232n m n m n m n n m n m n m n +-=-+-=-+-=∵⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m ∴原式9132=⋅=.说明 在解题过程中，巧妙地运用了转化思想，用提公因式法分解因式作为桥梁，把题给方程组和所求多项式结合起来，体现了思维的广阔性.。

《提公因式法》典型例题例1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222例2：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯ 例3： 不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

例4. 在代数证明题中的应用证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。

例5. 已知：x bx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值。

例6. 设x 为整数，试判断1052+++x x x ()是质数还是合数，请说明理由。

参考答案例1.分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=例2：分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987+++⨯==⨯=98713681368987 例3：分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。

4.2 提公因式法第2课时 提公因式为多项式的因式分解1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）A.(x+3)(x-3)=x ²-9B.x ²+1=x(x+1x) C.3x ²-3x+1=3x(x-1)+1 D.a ²-2ab+b ²=(a-b)²2.多项式- 6a ²b+18a ²b ³x+24ab 2y 的公因式是（ )A.mx+my 和x+yB.3a(x+y)和2y+2xC.3a-3b 和6（b-a)D.-2a-2b 和 a ²-ab3.下列各多项式因式分解错误的是（ ）A.( a-b) ³-(b-a)=（a-b)2(a-b-1)B.x(a-b-c)-y(b+c-a)=(a-b-c)(x+y)C.P(m-n)3-Pq(n-m)3=P(m-n)3(1+q)D.(a-2b)(7a+b)-2(2b-a)2=(a-2b)(5a+5b)4.将多项式（3a-4b)(7a-8b)-(11a-12b)(8b-7a)分解因式正确的结果是（ ）A.8(7a-8b)(a-b)B.2(7a-8b) ²C.8(7a-8b)(b-a)D.-2(7a-8b) ²5.多项式m （n-2）-m 2（2-n ）因式分解等于（ ）A ．（n-2）（m+m 2）B ．（n-2）（m-m 2）C ．m （n-2）（m+1）D ．m （n-2）（m-1）6.多项式（m+1）(m-1)+（m-1）提取公因式（m-1）后，另一个因式为（ ）A.m+1B.2mC.2D.m+27.a 是有理数，则整式a ²（a ²-2）-2a ²+4的值（ ） A.不是负数B.恒为正数 C.恒为负数 D.不等于0二.细心填一填8.分解因式3x(x-2)-(2-x)=9.分解因式：（x+y)²-x-y= .10.观察下列各式：①abx-adx ②2x ²y+6xy ² ③8m ³-4m ²+1④(p+q)x ²y-5x ²(p+q)+6(p+q)² ⑤(x+y)(x-y)-4b(y+x)-4ab 其中可以用提取公因式法分解的因式( ）。