人教A版高中数学高三一轮第二章第7课时函数的图像(教案)

第七教时 续函数图象目的： 完成第六教时可能没有完成的教学任务，然后进行综合练习。

过程：例一、 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程。

在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该生走法的是哪一种。

（《教学与测试》 备用题1）(A) (B) (C) (D)解： A 、C 图中t=0时d=0即该生一出家门便进家门（与学校距离为0）应排除，B 、D 中因该生一开始就跑步与学校距离迅速减小。

故应选D 。

例二、 设M={x |0≤x ≤2}，N={y |0≤y ≤2} 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N的函数关系有几个？(A) (B) (C) (D)解：(A)中定义域为[0,1] (C)中值域[0,3]≠N (D)中x 的值(如x =1)有两个y 值与之对应，不是函数 ∴只有(B)正确。

例三、 讨论函数273++=x x y 的图象与xy 1=的图象的关系。

（《精编》 P79） 解： 273++=x x y 2132163++=+++=x x x可由x y 1=的图象向左平移两个单位得21+=x y 的图象，再向上平移三个单位得321++=x y 的图象。

例四、 如图为y =f (x )的图象，求作y = -f (x )，y =f (-x )， y =|f (x )|，y =f (|x |)的图象。

)(x f y -= )(x f y = )(x f y = 作业：作出下列函数的图象：1.⎩⎨⎧---=14)(22xx x f)20()02(≤<≤≤-x x 2.322-+=x x y 3.447+-=x x y 4.322--=x x y。

第7讲 函数的图象与性质【学习目标】函数的图象（B 级）函数的基本性质（B 级）1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．【知识要点】1．函数单调性：一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对于区间I 内任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，①若 则()f x 在区间I 上是增函数，②若 则()f x 在区间I 上是减函数2．偶函数：如果对函数()f x 的定义域内 x 都有 ，那么称函数()f x 是偶函数。

其图象关于 对称。

奇函数：如果对函数()f x 的定义域内 x 都有 ，那么称函数()f x 是奇函数。

其图象关于 对称。

3.利用导数确定函数单调性【自主学习】1. (必修1 P28例6改编)画出函数f (x )=x 2+1的图象，若0<x 1<x 2， 则f (x 1) f (x 2).2. (必修1 P25复习题3改编)已知函数f (x )=(x -1)2+1，x ∈{-1，0，1，2，3}，则函数的值域为 .3. (必修1 P40练习2改编)已知函数f (x )=|x +1|，则函数f (x )的单调增区间为 .4. (必修1 P45思考11改编)已知函数y =f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=1，则函数y =f (x )的解析式为 .5. (必修1 P53拓展15改编)若函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )， 则函数f (x )是 函数.【课堂探究】例1 (2014·南通一模)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x -32a x +1.(1) 求函数f (x )的单调区间；(2) 若f (x )≥a -1对一切x >0恒成立，求实数a 的取值范围.例2.(2015·启东中学)已知定义域为R 的函数f (x )=1-22+++x x b a 是奇函数.(1) 求实数a ，b 的值；(2) 求证：函数f (x )在R 上是减函数；(3) 若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立，求实数k 的取值范围.例3.已知函数f (x )=a -1x-ln x (a ∈R ).(1) 若a =2，求函数f (x )在(1，e 2)上的零点个数(e 为自然对数的底数)；(2) 若f (x )恰有一个零点，求实数a 的取值集合.【针对训练】1. (2015·苏州调研)已知函数y =log 2-1+a x x 为奇函数，则实数a 的值为 .2. 若函数f (x )=mx 2+x +5在[-2，+∞)上是单调增函数，则实数m 的取值范围是 .3. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x )，则f (6)= .4. (2015·南师附中)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +4)=f (x )，且在[0，2]上，f (x )=(1-)01sin π12≤≤⎧⎨<≤⎩x x x x x ，，，，那么f 294⎛⎫ ⎪⎝⎭+f 416⎛⎫ ⎪⎝⎭= .5. (2015·海安中学)已知奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，且f (1)=1，则f (8)+f (9)= .【巩固提升】6.如图，设函数f (x )=x +a x (a ∈R )的定义域为(0，+∞)，且f (2)=52.设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y =x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N.(1) 写出f(x)的单调减区间(不必证明)；(2) 设点P的横坐标x0，求点M的坐标(用x0的代数式表示)；(3) 设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.。

2.7函数的图象必备知识预案自诊知识梳理1.利用描点法作函数图象的流程2.函数图象间的变换(1)平移变换对于平移,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减,上加下减.(2)对称变换(3)伸缩变换y=f(x)y=f(ax),y=f(x)y=Af(x).1.函数图象自身的轴对称(1)f(-x)=f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于y轴对称;(2)函数y=f(x)的图象关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(-x)=f(2a+x);(3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线对称.x=a+b22.函数图象自身的中心对称(1)f(-x)=-f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于原点对称;(2)函数y=f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔f(-x)=-f(2a+x);(3)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x);(4)若函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c为常数),则函数y=f(x)的图象关于点(a+b2,c2)对称.3.两个函数图象之间的对称关系(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=b-a2对称(由a+x=b-x得对称轴方程);(2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称;(3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0,b)对称;(4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)将函数y=f(x)的图象先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y=f(x+1)+1的图象.()(2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.()(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.()(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()(5)若函数y=f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()2.(2020山东师大附中月考)函数y=log2|x|的图象大致是()3.(2020天津,3)函数y=4xx2+1的图象大致为()4.(2020浙江,4)函数y=x cos x+sin x在区间〖-π,π〗上的图象可能是()5.已知函数f (x )=2x -x-1,则不等式f (x )>0的解集是( ) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(-∞,0)∪(1,+∞)关键能力学案突破考点作函数的图象〖例1〗作出下列函数的图象: (1)y=|lg x|;(2)y=2x+2; (3)y=x 2-2|x|-1;(4)y=x+2x -1.解题心得作函数图象的一般方法(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.(2)图象变换法.变换包括平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换.(3)描点法.当上面两种方法都失效时,则可采用描点法.为了通过描少量点,就能得到比较准确的图象,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出.对点训练1作出下列函数的图象: (1)y=10|lg x|; (2)y=|x-2|·(x+1);(3)y=x+2x+3.考点函数图象的识辨(多考向探究)考向1知式判图〖例2〗(2020山东潍坊一模,5)函数f(x)=x-sinxe x+e-x在〖-π,π〗上的图象大致为() 考向2知图判式〖例3〗(2020河北沧州一模,理5)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)可以为()A.f(x)=x3−3xB.f(x)=e x-e-xxC.f(x)=2x-xD.f(x)=e|x|x考向3知图判图〖例4〗已知定义在区间〖0,2〗上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为()解题心得函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域判断图象“左右”的位置;从函数的值域判断图象的“上下”位置. (2)从函数的单调性判断图象的变化趋势. (3)从函数的奇偶性判断图象的对称性. (4)从函数的周期性判断图象的循环往复.(5)必要时可求导研究函数性质,从函数的特征点,排除不合要求的图象. 利用上述方法,可排除、筛选错误与正确的选项.对点训练2(1)(2019全国1,理5)函数f (x )=sinx+xcosx+x 2在〖-π,π〗的图象大致为( )(2)(2020山东青岛5月模拟,4)下列函数的解析式(其中e =2.718 28…为自然对数的底数)与所给图象最符合的是( )A.y=sin(e x +e -x )B.y=sin(e x -e -x )C.y=tan(e x -e -x )D.y=cos(e x +e -x )(3)已知函数y=f (x )和函数y=g (x )的图象,则函数y=f (x )·g (x )的部分图象可能是( )考点函数图象的应用(多考向探究)考向1 与函数零点有关的参数范围〖例5〗(2018全国1,理9)已知函数f (x )={e x ,x ≤0,lnx ,x >0,g (x )=f (x )+x+a ,若g (x )存在2个零点,则a 的取值范围是( )A .〖-1,0)B .〖0,+∞)C .〖-1,+∞)D .〖1,+∞)解题心得将函数的零点转化为方程的根,构造方程两边的函数,通过函数图象的交点个数满足已知函数零点个数,求出参数的取值范围.对点训练3已知f (x )={(12)|x |,x ≤1,-x 2+4x -2,x >1,若关于x 的方程a=f (x )恰有两个不同实数根,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,12)∪〖1,2)B .(0,12)∪〖1,2)C .(1,2)D .〖1,2)考向2 已知函数不等式求参数的范围〖例6〗(2020湖南永州二模,理9)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x<0时,f (x )=2-|x+2|.若对任意的x ∈〖-1,2〗,f (x+a )>f (x )成立,则实数a 的取值范围是( )A.(0,2)B.(0,2)∪(-∞,-6)C.(-2,0)D.(-2,0)∪(6,+∞)解题心得有关函数不等式的问题,常常转化为两函数图象的上、下关系来解.对点训练4(2019全国2,理12)设函数f (x )的定义域为R ,满足f (x+1)=2f (x ),且当x ∈(0,1〗时,f (x )=x (x-1).若对任意x ∈(-∞,m 〗,都有f (x )≥-89,则m 的取值范围是( )A.-∞,94B.-∞,73C.-∞,52D.-∞,83考点函数图象对称性的应用〖例7〗已知定义域在R 上的函数f (x )满足f (x+1)+f (1-x )=2.当x>1时,f (x )=1x -1.则关于x 的方程f (x )+2a=0没有负实数根时,实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-1〗∪-12,+∞B.(0,1)C.-1,-12∪-12,+∞D.-2,-12∪-12,0解题心得由f(-x)=-f(x)⇔y=f(x)的图象关于原点对称,f(-x)=-f(x)⇔f(0-x)=-f(0+x),当把0换成a时,则有f(a-x)=-f(a+x)⇔函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称,推广可得f(a+x)=2b-f(a-x)⇔函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.对点训练5(2020北京海淀一模,7)已知函数f(x)=|x-m|与函数g(x)的图象关于y轴对称.若g(x)在区间(1,2)内单调递减,则m的取值范围为()A.〖-1,+∞)B.(-∞,-1〗C.〖-2,+∞)D.(-∞,-2〗1.作图的方法有:(1)直接法,利用基本初等函数作图;(2)图象变换法,如平移变换、对称变换、伸缩变换等;(3)描点法,为使图象准确,可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等了解图象的大体形状.2.识图题与用图题的解决方法:(1)识图:对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系.(2)用图:要用函数的思想指导解题,即方程、不等式的问题用函数图象来解.1.确定函数的图象,一定要从函数的定义域及性质出发.2.识图问题常常结合函数的某一性质或特殊点进行排除.3.要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别.2.7函数的图象必备知识·预案自诊知识梳理2.(1)y=f(x)-k(2)函数y=-f(-x)的图象考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×2.C 函数y=log 2|x|为偶函数,作出x>0时y=log 2x 的图象,图象关于y 轴对称,故选C .3.A ∵函数y=4x x 2+1为奇函数,∴排除选项C,D .再把x=1代入得y=42=2>0,排除选项B .故选A .4.A 因为f (-x )=(-x )cos(-x )+sin(-x )=-(x cos x+sin x )=-f (x ),x ∈〖-π,π〗,所以函数f (x )是奇函数,故排除C,D,当x ∈(0,π2)时,x cos x+sin x>0,所以排除B .故选A . 5.D 因为f (x )=2x -x-1,所以f (x )>0等价于2x >x+1,在同一直角坐标系中作出y=2x 和y=x+1的图象.如图,两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2x >x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f (x )>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D .关键能力·学案突破 例1解(1)y={lgx ,x ≥1,-lgx ,0<x <1的图象如图1.(2)y=2x+2的图象是将y=2x 的图象向左平移2个单位长度.其图象如图2.(3)y={x 2-2x -1,x ≥0,x 2+2x -1,x <0的图象如图3.(4)因为y=1+3x -1,先作出y=3x的图象,将其图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,即得y=x+2x -1的图象,如图4.对点训练1解(1)当x ≥1时,lg x ≥0,y=10|lg x|=10lg x =x ;当0<x<1时,lg x<0,y=10|lg x|=10-lg x =10lg 1x=1x.故y={x ,x ≥1,1x,0<x <1.图1这是分段函数,每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出,如图1. (2)当x ≥2,即x-2≥0时,y=(x-2)(x+1)=x 2-x-2=(x -12)2−94; 当x<2,即x-2<0时,y=-(x-2)·(x+1)=-x 2+x+2=-(x -12)2+94. 所以y={(x -12)2-94,x ≥2,-(x -12)2+94,x <2.图2这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数的图象作出,如图2. (3)y=x+2x+3=1-1x+3,该函数图象可由函数y=-1x的图象向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,如图3所示.图3例2A 当x ∈(0,π)时,x>sin x ,此时f (x )=x -sinxe x +e -x >0,只有选项A 符合题意,故选A . 例3A 首先对4个选项进行奇偶性判断,可知f (x )=e x -e -x x为偶函数,不符合题意,排除选项B;其次对其在(0,+∞)上的零点个数进行判断,f (x )=e |x |x 在(0,+∞)上无零点,不符合题意,排除选项D;然后进行单调性判断,f (x )=2x -x 在(0,+∞)上单调递减,不符合题意,排除选项C .故选A .例4B y=f (x )y=f (-x )y=f (2-x )y=-f (2-x ).故选B .对点训练2(1)D (2)D (3)A (1)由f (-x )=-f (x )及区间〖-π,π〗关于原点对称,得f (x )是奇函数,其图象关于原点对称,排除选项A .又f (π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f (π)=π-1+π2>0,排除选项B,C .故选D .(2)当x=0时,y=sin(e 0+e 0)=sin2>0,故排除选项A;y=sin(e 0-e 0)=0,故排除选项B;y=tan(e 0-e 0)=0,故排除选项C;y=cos(e 0+e 0)=cos2<0,符合题意.故选D .(3)由已知图象可知,函数f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,所以函数y=f (x )·g (x )是奇函数,故排除选项B;当x ∈-π,-π2时,f (x )·g (x )<0,当x ∈-π2,0时,f (x )·g (x )>0,同时y=f (x )·g (x )在x=0处无定义,故选A .例5C 要使得方程g (x )=f (x )+x+a 有两个零点,等价于方程f (x )=-x-a 有两个不同的实根,即函数y=f (x )的图象与直线y=-x-a 的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线y=-x-a 位于直线y=-x+1的下方,所以-a ≤1,即a ≥-1.故选C .对点训练3B 关于x 的方程a=f (x )恰有两个不同的实根,等价于y=a ,y=f (x )的图象有两个不同的交点,画出y=a ,y=f (x )的图象,如图,由图可知,当a ∈(0,12)∪〖1,2)时,y=a ,y=f (x )的图象有两个不同的交点,此时,关于x 的方程a=f (x )恰有两个不同的实根,所以实数a 的取值范围是(0,12)∪〖1,2),故选B .例6D 因为x<0时,f (x )=2-|x+2|,又因为f (x )是R 上的奇函数,作出函数f (x )的图象如下图,y=f (x+a )的图象可以看成是y=f (x )的图象向左(a>0时)或向右(a<0时)平移|a|个单位长度而得.当a>0时,y=f (x )的图象至少向左平移6个单位长度(不含6个单位长度)才能满足f (x+a )>f (x )成立,当a<0时,y=f (x )的图象向右平移至多2个单位长度(不含2个单位长度)才能满足f (x+a )>f (x )成立(对任意的x ∈〖-1,2〗),故a ∈(-2,0)∪(6,+∞).故选D . 对点训练4B ∵f (x+1)=2f (x ),∴f (x )=2f (x-1).∵当x ∈(0,1〗时,f (x )=x (x-1), ∴f (x )的图象如图所示.∵当2<x ≤3时,f (x )=4f (x-2)=4(x-2)(x-3),∴令4(x-2)(x-3)=-89,整理得9x 2-45x+56=0, 即(3x-7)(3x-8)=0, 解得x 1=73,x 2=83.高中数学教学、学习精品资料11 ∵当x ∈(-∞,m 〗时,f (x )≥-89恒成立,即m ≤73,故m ∈-∞,73.例7A ∵f (x )满足f (x+1)+f (1-x )=2,∴f (x )的图象关于点(1,1)中心对称,作出其大致图象,如图所示,∵f (x )+2a=0没有负实数根,即f (x )=-2a 没有负零点,y=f (x )的图象与y=-2a 图象在(-∞,0)无交点,∴-2a ≤1或-2a ≥2,解得a ≥-12或a ≤-1.故选A .对点训练5D 因为f (x )=|x-m|与函数g (x )的图象关于y 轴对称,又g (x )在区间(1,2)内单调递减,则f (x )在区间(-2,-1)内单调递增,而f (x )=|x-m|={x -m ,x ≥m ,-x +m ,x <m在区间(m ,+∞)上单调递增,则有m ≤-2,即m 的取值范围为(-∞,-2〗,故选D .。

第7讲 函数的图象考纲展示 命题探究考点一 函数图象的识辨1 描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2 函数的图象变换(1)平移变换y ＝f (x )――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )――――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b .(2)伸缩变换y ＝f (x )――――――――――→0<ω<1，伸长为原来的1ω倍ω>1，缩短为原来的1ωy ＝f (ωx )； y ＝f (x )――――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0<A <1，缩为原来的A 倍y ＝Af (x )． (3)对称变换y ＝f (x )――――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；y ＝f (x )――――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；y ＝f (x )――――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )．(4)翻折变换y ＝f (x )――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )――――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|. 注意点 图象变换时注意顺序合理进行图象变换时，要合理选择变换的顺序，并进行适当的转化变形．例如，要得到y ＝2－|x －1|的图象，由于y ＝2－|x －1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|，可将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象先通过对称翻折得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，再通过平移得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|的图象.1．思维辨析(1)函数y ＝f (x )的图象关于原点对称与函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称一致．( )(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( )(3)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a >0且a ≠1)的图象相同．( )(4)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2．函数y ＝log 2|x |的图象大致是( )答案 C解析 函数y ＝log 2|x |为偶函数，作出x >0时y ＝log 2x 的图象，图象关于y 轴对称，应选C.3．(1)函数y ＝x －x 13 的图象大致为( )(2)函数y ＝x 23－cos2x 的图象大致是( )答案(1)A(2)C解析(1)函数y＝x－x 13为奇函数．当x>0时，由x－x13>0，即x3>x可得x2>1，即x>1，结合选项，可知应选A.(2)函数是偶函数，排除选项A.当x→＋∞时，y→＋∞，排除选项D.当x＝π4时，y>0，排除选项B.故正确选项为C.[考法综述]主要考查基本初等函数的图象、图象变换等知识，通过已知解析式结合函数的性质识别函数图象，综合性较强，以选择题形式出现．命题法根据条件判断函数图象典例(1)函数y＝e1－x2的图象大致是()(2)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )[解析] (1)易知函数y ＝e 1－x 2为偶函数，因此排除A 、B ，又因为y ＝e 1－x 2>0，故排除D.故选C.(2)(排除法)由题图可知：当x ＝π2时，OP ⊥OA ，此时f (x )＝0，排除A 、D ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，OM ＝cos x ，设点M 到直线OP 的距离为d ，则d OM ＝sin x ，即d ＝OM sin x ＝sin x cos x ，∴f (x )＝sin x cos x ＝12sin2x ≤12，排除B ，故选C.[答案] (1)C (2)C【解题法】 函数图象的识别方法(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象．(2)利用间接法，排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．②从函数的单调性，判断图象的变化趋势．③从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项．1．如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()答案 B解析 由于f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1＋5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝22<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故排除选项C 、D ；当点P 在BC 上时，f (x )＝BP ＋AP ＝tan x ＋4＋tan 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π4，不难发现f (x )的图象是非线性的，排除选项A ，故选B.2.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析 对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误．对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误，对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．3．函数f (x )＝⎩⎨⎧3x (x ≤1)，log 13 x (x >1)，则y ＝f (1－x )的图象是( )答案 C解析 画出y ＝f (x )的图象，再作其关于y 轴对称的图象，得到y ＝f (－x )的图象，再将所得图象向右平移1个单位，得到y ＝f [－(x －1)]＝f (－x ＋1)的图象，故选C.4．函数y ＝x |x |的图象大致是( )答案 A解析 y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，－x 2 (x <0)，借助二次函数的图象易知应选A.5.函数y ＝x ln |x ||x |的图象可能是( )答案 B解析 显然函数y ＝x ln |x ||x |为定义域上的奇函数，可排除选项A 、C ，而当x >0时，y ＝x ln x x ＝ln x ，排除选项D ，所以答案选B.6．函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 的图象是( )答案 B解析 自变量x 满足x －1x ＝x 2－1x >0，当x >0时可得x >1，当x <0时可得－1<x <0，即函数f (x )的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A 、D.函数y ＝x －1x 单调递增．故函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．故选B.7．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1x答案 A解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C ；若函数图象对应解析式为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.故选A.考点二 函数图象的应用利用函数图象研究的几个方面(1)利用函数的图象研究函数的性质：①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．(2)利用函数的图象研究不可解方程的根的个数、求不等式的解集以及求参数的取值范围等．注意点 函数图象一定要准确利用函数的图象解决以上问题时的总原则是数形结合，因此作出的函数图象一定要准确.1．思维辨析(1)方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴的交点．( ) (2)方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )的图象的交点的横坐标．( )(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( ) (4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )(5)不论a (a >0且a ≠1)取何值，函数y ＝log a 2|x －1|的图象恒过定点(2,0)．( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×2．若函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|－x －a 恰有三个不同的零点，则实数a 的值是( )A ．－1B ．－34C ．1或34D ．－1或－34答案 D解析 函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|－x －a 恰有三个不同的零点，即|x 2－4x ＋3|＝x ＋a 有三个不同的解，也就是函数y ＝|x 2－4x ＋3|，y ＝x ＋a 的图象有三个不同的交点．画出函数的图象，观察可知，直线过(1,0)或直线与y ＝|x 2－4x ＋3|的图象相切时，符合题意，实数a 的值是－1或－34.3．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)的值等于________．答案 2解析 ∵由图象知f (3)＝1，∴1f (3)＝1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)＝f (1)＝2.[考法综述] 函数图象的应用主要是利用图象研究函数的性质，考查解决有关问题(如方程的根、解不等式)的能力．体现了数形结合解题思想，题目难度一般较大．命题法 利用函数的图象研究函数的性质典例 (1)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)(2)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．(3)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥2，3－x ，x <2.如图，作出y ＝f (x )的图象，其中A (2，1)，则k OA ＝12.要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )与g (x )的图象有两个不同的交点，由图可知，12<k <1.(2)如图，作出y ＝x 2－|x |＋a 的图象，若要使y ＝1与其有4个交点，则需满足a －14<1<a ，解得1<a <54.(3)如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．[答案] (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54 (3)[－1，＋∞) 【解题法】 利用函数图象研究函数性质、不等式及方程根的个数(1)对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．(2)当不等问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．(3)当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )图象与x 轴的交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象的交点的横坐标．1．函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 答案 C解析 ∵f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象与x ，y 轴分别交于N ，M ，且点M的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴x ＝－b a >0，y ＝bc 2>0，故a <0，b >0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c >0，故c <0，故选C.2．已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln (x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e答案 B解析 由已知得函数f (x )的图象关于y 轴对称的函数为h (x )＝x 2＋e －x－12(x >0)．令h (x )＝g (x )，得ln (x ＋a )＝e －x －12，作函数M (x )＝e －x －12的图象，显然当a ≤0时，函数y ＝ln (x ＋a )的图象与M (x )的图象一定有交点．当a >0时，若函数y ＝ln (x ＋a )的图象与M (x )的图象有交点，则ln a <12，则0<a < e.综上a < e.故选B.3．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}答案 C解析 在平面直角坐标系中作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象如图所示．所以f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是{x |－1<x ≤1}，所以选C.4.已知函数y ＝f (x )的大致图象，如图所示，则函数y ＝f (x )的解析式应为( )A ．f (x )＝e x ln xB ．f (x )＝e －x ln (|x |)C ．f (x )＝e x ln (|x |)D ．f (x )＝e |x |ln (|x |) 答案 C解析 由定义域是{x |x ∈R ，且x ≠0}，排除A ；由函数图象知函数不是偶函数，排除D ；当x →＋∞时，f (x )＝ln |x |e x →0，排除B ，故选C.5.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,0)∪(0,1)答案 D解析 f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x <0化为f (x )x <0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．6．对实数a 和b ，定义运算“□”：a □b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)□(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1] 答案 B解析 令(x 2－2)－(x －1)≤1， 得－1≤x ≤2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2.若y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，画函数f (x )的图象知实数c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，0≤x ≤1，log 2014x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,)B ．(1,)C ．(2,)D ．[2,]答案 C解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，0≤x ≤1，log 2014x ，x >1的图象如下图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <.所以2<a ＋b ＋c <，故选C.作出下列函数的图象：(1)y＝－x2＋2|x|＋1(2)y＝|－x2＋2x＋3|[错解][错因分析]对于含绝对值的函数作图问题，没能准确理解绝对值的意义及去绝对值后的函数图象与加绝对值的函数图象的关系导致作图错误．[正解](1)(2)[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[·武邑中学一轮检测]函数y＝lg |x－1|的图象大致为()答案 B解析 y ＝lg |x －1|关于直线x ＝1对称，排除A ，D ；因函数值可以为负值，故选B.2．[·冀州中学一轮检测]函数y ＝1－1x －1的图象是( )答案 B解析 解法一：y ＝1－1x －1的图象可以看成由y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到的．解法二：由于x ≠1，故排除C 、D.又函数在(－∞，1)及(1，＋∞)上均为增函数，排除A ，所以选B. 3．[·枣强中学预测]函数y ＝xa x|x |(a >1)的图象的大致形状是( )答案 B解析 函数y ＝xa x|x |(a >1)化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >0－a x，x <0，其图象是B 项．4．[·衡水中学仿真]使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是() A．(－1,0) B．[－1,0)C．(－2,0) D．[－2,0)答案A解析在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象知，满足条件的x∈(－1,0)，故选A.5．[·冀州中学期中]方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是() A．1 B．2C．3 D．4答案B解析(数形结合法)∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．6．[·衡水中学模拟]函数y＝ax2＋bx与函数y＝x a＋b(a≠0)在同一坐标系中的图象可能为()答案 C解析 y ＝ax 2＋bx ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2－b24a .对A ，由二次函数图象可知，a <0，－b2a <0，所以b <0，函数y ＝x a ＋b 不符合要求，同理B 不符合要求；对于C ，D ，由二次函数图象可知，a <0，－b2a >0，所以b >0，比较选项C ，D 可知C 符合要求．7．[·武邑中学仿真]定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )答案 A解析 因为x ≤0时，2x ≤1；x >0时，2x >1.根据a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，得f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，1，x >0，故选A.8．[·冀州中学猜题]已知x 2>x 13 ，则实数x 的取值范围是________．答案 {x |x <0或x >1}解析 分别画出函数y ＝x 2与y ＝x 13的图象，如图所示，由于两函数的图象都过点(1,1)，(0,0)，由图象可知不等式x 2>x 13 的解集为{x |x <0或x >1}．9．[·武邑中学模拟]若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．答案 －1≤m ＜0解析 首先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |的图象(如右图所示)，欲使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有交点，则－1≤m <0.10.[·衡水二中热身]函数f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋b ，x ≤0log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝_______.答案 133解析 由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2(x ≤0)，又函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.11．[·冀州中学期末]已知不等式x 2－log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解 由x 2－log a x <0，得x 2<log a x . 设f (x )＝x 2，g (x )＝log a x .由题意知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方，如图，可知⎩⎨⎧0<a <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即⎩⎨⎧0<a <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得116≤a <1.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.12．[·衡水二中期中]已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1) 求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4.f (x )的图象如图所示： (3)f (x )的减区间是[2,4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．能力组13. [·衡水二中热身]函数f (x )＝ln (x ＋1)·tan x 的图象可能是( )答案 A解析 因为x >－1，结合图形，可以排除B ，D ；取x ＝π4，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋1tan π4＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋1>0，可以排除C ，故选A. 14．[·武邑中学期末]用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为____________．答案 6解析 f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝6.15.[·枣强中学模拟]已知函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )．y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．答案 (210，＋∞)解析 由已知得h (x )＋4－x 22＝3x ＋b ，所以，h (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2恒成立，整理得3x ＋b >4－x 2恒成立．在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2(如图所示)，当直线与半圆相切时，|3×0－0＋b |1＋32＝2，所以|b |＝210.故b 的取值范围是(210，＋∞)．16．[·衡水中学预测]若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围．解 当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图(1)． 由已知得0<2a <1，∴0<a <12；当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图(2)，由已知得0<2a <1，此时无解．综上可知a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.。

第七节 函数的图象1．函数图象的识辨会结合函数性质判断函数图象． 2．函数图象的应用会运用函数图象理解和研究函数的性质． 知识点一 描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)； 最后：描点，连线． 易误提醒1．在使用描点法作图象时易忽视定义域及图象的一些特殊点(与x 、y 轴交点、最高、最低点等)．2．连线时必须区分是光滑的曲线还是直线，易出错．[自测练习]1．函数y ＝1－1x －1的图象是( )解析：将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象． 答案：B知识点二 利用图象变换法作函数的图象 1．平移变换y ＝f (x )―――――――――→a ＞0，右移a 个单位a ＜0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )――――――――――→b ＞0，上移b 个单位b ＜0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b .2．伸缩变换y ＝f (x )10111ωωωω−−−−−−−−→＜＜，伸原的＞，短原的长为来缩为来 y ＝f (ωx )；y ＝f (x )―――――――――――→A ＞1，伸为原来的A 倍0＜A ＜1，缩为原来的A 倍 y ＝Af (x )． 3．对称变换y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． 4．翻折变换y ＝f (x )――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )――――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|. 易误提醒1．在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2．明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．[自测练习]2．为了得到函数f (x )＝log 2x 的图象，只需将函数g (x )＝log 2x8的图象向________平移________个单位．解析：g (x )＝log 2x8＝log 2x －3＝f (x )－3，因此只需将函数g (x )的图象向上平移3个单位即可得到函数f (x )＝log 2x 的图象． 答案：上 33．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19，x >0 的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________. 解析：由题图可求得直线的方程为y ＝2x ＋2. 又函数y ＝log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1334．若不等式x 2－log a x ＜0在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2－log a x ＜0在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立， ∴0＜a ＜1，且14＜log a 12.∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a 14＞12，解得116＜a ＜1.答案：⎝⎛⎭⎫116，1考点一 作图|分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1.解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.图象如图1.(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0.图象如图3.画函数图象的两种方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．考点二 识图|(1)(2015·高考浙江卷)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )[解析] 根据y 1＝x －1x 为奇函数，y 2＝cos x 为偶函数，可得函数f (x )为奇函数，因此排除A ，B 项，又当x ＝π时，y 1＞0，y 2＜0，因此选D.[答案] D(2)(2015·贵州七校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1x[解析] 由图象知f (x )应为奇函数，故排除B 、C ，又当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x －1x 单调递增，故排除D ，故A 正确．[答案] A识图常用的三种方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．(2015·山西四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x(x ≤1)，log 13x (x ＞1)，则函数y ＝f (1－x )的大致图象是( )解析：当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0,3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当x ＝－13时，y ＝f ⎝⎛⎭⎫43＝log 1343＜0，即y ＝f (1－x )的图象过点⎝⎛⎭⎫－13，log 1343，排除C ，故选D. 答案：D考点三 用图|函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1．确定方程根的个数． 2．求参数的取值范围． 3．求不等式的解集． 4．研究函数性质． 探究一 确立方程根的个数1．(2015·日照一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．解析：方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.答案：5探究二 求参数的取值范围2．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．解析：将函数y ＝|x 2－1|x －1化成分段函数，并作出其图象如图所示．利用图象可得实数k 的取值范围为(0,1)∪(1,2)．答案：(0,1)∪(1,2) 探究三 求不等式的解集3．(2015·成都模拟)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x ＜0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x ＜0化为f (x )x ＜0，即xf (x )＜0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．答案：D探究四 研究函数的性质4．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x，则：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．解析：由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1， f (x )＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫121＋x ， 函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝⎛⎭⎫12x －3，因此②④正确，③不正确． 答案：①②④6.数形结合思想求函数取值范围【典例】 (2015·石家庄质检)已知定义域为R 的函数f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝|x －a 2|－a 2，且对x ∈R ，恒有f (x ＋1)≥f (x )，则实数a 的取值范围为( )A ．[0,2] B.⎣⎡⎦⎤－12，12 C ．[－1,1]D ．[－2,0][思路点拨] 作出f (x )在[0，＋∞)上的图象后，利用奇函数性质再作出f (x )在R 上的图象，向左平移一个单位可知f (x ＋1)图象，然后结合图象分析．[解析] 作出f (x )与f (x ＋1)的图象如图．要使f (x ＋1)≥f (x )，则只要使点(a 2，－a 2)向左平移1个单位后到了点(－3a 2，－a 2)的左侧，或者与点(－3a 2，－a 2)重合，即4a 2≤1，解得－12≤a ≤12，故选B.[答案] B[思想点评] (1)对于一些无法求解的不等式或已知不等关系，常转化为函数图象的上、下关系，通过数形结合发现规律．(2)本题易忽视点p (a 2，－a 2)平移1个单位后与点(－3a 2，－a 2)重合．[跟踪练习] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x ＜0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0＜|x 1|＜|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)＜0B ．f (x 1)＋f (x 2)＞0C ．f (x 1)－f (x 2)＞0D ．f (x 1)－f (x 2)＜0解析：函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0＜|x 1|＜|x 2|， ∴f (x 1)＜f (x 2)，即f (x 1)－f (x 2)＜0. 答案：DA 组 考点能力演练1．(2015·东北三校联考)函数y ＝ln cos x ⎝⎛⎭⎫－π2＜x ＜π2的图象是( )解析：∵cos(－x )＝cos x ，∴y ＝ln cos x ⎝⎛⎭⎫－π2＜x ＜π2是偶函数，可排除B 、D ； 由cos x ≤1得ln cos x ≤0，排除C ，故选A.答案：A2．函数f (x )＝1＋log 2 x 与g (x )＝21－x 在同一坐标系中的图象大致是( )解析：因为函数f (x )＝1＋log 2 x 的零点是12，排除A ；g (x )＝21－x 是减函数，且与y 轴的交点为(0,2)，排除B 和D ，故选C.答案：C3．(2016·西安质检)函数f (x )＝ax m (1－x )2在区间[0,1]上的图象如图所示，则m 的值可能是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：f ′(x )＝max m －1(1－x )2－2ax m (1－x )＝ax m －1(1－x )·[m －(m ＋2)x ]，令f ′(x )＝0，可得x ＝1或x ＝m m ＋2，由图象可得0＜m m ＋2＜0.5，解得0＜m ＜2，故选A.答案：A4．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：f (x )的图象如图．当x∈(－1,0)时，由xf(x)＞0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)＜0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)＞0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．答案：C5.如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的大致图象是()解析：随着时间的增长，直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径，再慢慢减小，所以圆内阴影部分的面积增加速度先越来越快，然后越来越慢，反映在图象上面，则先由平缓变陡，再由陡变平缓，结合图象知，选C.答案：C6．已知曲线C：y＝4－x2(－2≤x≤0)与函数f(x)＝log a(－x)及函数g(x)＝a－x(a＞1)的图象分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x21＋x22的值为________．解析：作出曲线C和函数f(x)，g(x)的图象如图所示，显然f(x)，g(x)的图象关于直线y ＝－x对称，所以x1＝－y2，x2＝－y1，所以x21＋x22＝x21＋y21＝4.答案：47．(2016·荆州模拟)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x－2|}(x ∈R )的最小值是________．解析：函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的图象如图所示，由图象可得，其最小值为32.答案：328.已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1，x 2给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1； ②x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)； ③f (x 1)＋f (x 2)2＜f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)解析：由f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1得f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＞1，即两点(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))连线的斜率大于1，显然结论①不正确；由x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)得f (x 1)x 1＞f (x 2)x 2，即点(x 1，f (x 1))与原点连线的斜率大于点(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率，由图象易知结论②正确；结合函数图象，容易判断结论③正确．答案：②③9．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？ 解：令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点， 原方程有两个解．10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )＞0的解集． 解：(1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)，x ≥4，－x (x －4)，x ＜4.∴函数f (x )的图象如图：由图象知f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]． (4)从图象上观察可知：不等式f (x )＞0的解集为{x |0＜x ＜4或x ＞4}．B 组 高考题型专练1．(2013·高考山东卷)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解析：法一：令f (x )＝x cos x ＋sin x ， ∵f (－x )＝－x ·cos x －sin x ＝－f (x )．∴函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，可排除B.令x cos x ＋sin x ＝0，得tan x ＝－x ，在同一坐标系中画出函数y ＝tan x 和y ＝－x 的图象如图，由图可知函数y ＝x cos x ＋sin x 的零点有一个介于π2到π之间，可排除A 、C ，故选D.法二：令f (x )＝x cos x ＋sin x ，则f (－x )＝－x cos x －sin x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∵奇函数的图象关于原点对称，而B 中图象不关于原点对称，∴排除B ；当x ＝π2时，y ＝1，而由C 中图象知当x ＝π2时，y ≠1，∴排除C ；当x ＝π时，y ＝－π，而A 中，当x ＝π时，y ＞0，∴排除A ，故选D.答案：D2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )解析：由题图可知：当x ＝π2时，OP ⊥OA ，此时f (x )＝0，排除A 、D ；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，OM ＝cos x ，设点M 到直线OP 的距离为d ，则dOM＝sin x ，即d ＝OM sin x ＝sin x cos x ， ∴f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ≤12，排除B ，故选C.答案：C3．(2014·高考辽宁卷)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，2x －1，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤14，23∪⎣⎡⎦⎤43，74B.⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤14，23 C.⎣⎡⎦⎤13，34∪⎣⎡⎦⎤43，74 D.⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤13，34 解析：作出y ＝f (x )与y ＝12的图象，如图，由图易知f (x )≤12的解集为⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤13，34， ∴f (x －1)≤12的解集为⎣⎡⎦⎤14，23∪⎣⎡⎦⎤43，74，故选A.答案：A4．(2015·高考安徽卷)函数f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0解析：∵f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象与x ，y 轴分别交于N ，M ，且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴x ＝－b a ＞0，y ＝bc 2＞0，故a ＜0，b ＞0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c ＞0，故c ＜0，故选C.答案：C5．(2014·高考湖北卷)如图所示，函数y ＝f (x )的图象由两条射线和三条线段组成．若∀x ∈R ，f (x )＞f (x －1)，则正实数a 的取值范围为________． 解析：∀x ∈R ，f (x )＞f (x －1)． 由题图易知a ＞0，且6a ＜1， ∴0＜a ＜16.答案：⎝⎛⎭⎫0，16。

基础知识整合１．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、错误!描点、连线．首先：１确定函数的定义域；２化简函数解析式；３讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．２．利用图象变换法作函数的图象（１）平移变换y＝f（x）错误!y＝f（x—a）；y＝f（x）错误!y＝错误!f（x）＋Ｂ．（２）伸缩变换（３）对称变换y＝f（x）错误!y＝—f（x）；y＝f（x）错误!y＝f（—x）；y＝f（x）错误!y＝错误!—f（—x）．（４）翻折变换y＝f（x）错误!y＝f（|x|）；y＝f（x）错误!y＝|f（x）|.１．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是１，需要把系数提出来，再进行变换．２．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y＝f（x）中的f（x）进行操作，满足“上加下减”．１．（２0１9·昆明模拟）函数y＝x２—２|x|的图象是（）答案B解析由y＝x２—２|x|知是偶函数，故图象关于y轴对称，排除Ｃ．当x≥0时，y＝x２—２x＝（x—１）２—１．即当x＝0时，y＝0，当x＝１时，y＝—１，排除A，D，故选Ｂ．２．已知图１中的图象对应的函数为y＝f（x），则在下列给出的四个选项中，图２中的图象对应的函数只可能是（）Ａ．y＝f（|x|）Ｂ．y＝|f（x）|Ｃ．y＝f（—|x|）Ｄ．y＝—f（|x|）答案C解析由图２知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数．对于A，当x>0时，y＝f（|x|）＝f（x），其图象在y轴右侧与图１的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f（x），显然B 错误；对于D，当x<0时，y＝—f（—x），其图象在y轴左侧与图１的不相同，不符合，故错误；所以C 正确．３．（２0１8·四川模拟）函数y＝错误!的图象大致是（）答案C解析因为函数的定义域是非零实数集，所以A错误；当x<0时，y>0，所以B错误；指数型函数远比幂函数上升的快，故当x→＋∞时，y→0，所以D错误．故选Ｃ．４．（２0１9·宁夏模拟）函数f（x）＝２x＋sinx的部分图象可能是（）答案A解析函数f（x）＝２x＋sinx是奇函数，故其图象关于原点对称，排除B；又当0<x<错误!时，函数值为正，仅有A满足，故选Ａ．５．（２0１9·梅州模拟）函数f（x）＝错误!的大致图象是（）答案B解析函数f（x）的定义域为（0，＋∞），当x→0时，f（x）<0，排除C，D；当x→＋∞时，f（x）>0，排除A，故选Ｂ．核心考向突破考向一函数图象的画法例１作出下列函数的图象：（１）y＝|x—２|·（x＋２）；（２）y＝|log２（x＋１）|；（３）y＝错误!；（４）y＝x２—２|x|—１．解（１）函数式可化为y＝错误!其图象如图（１）实线所示．（２）将函数y＝log２x的图象向左平移１个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log２（x＋１）|的图象，如图（２）所示．（３）原函数解析式可化为y＝２＋错误!，故函数图象可由函数y＝错误!的图象向右平移１个单位，再向上平移２个单位得到，如图（３）所示．（４）因为y＝错误!且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞）上的图象，再根据对称性作出（—∞，0）上的图象，最后得函数图象如图（４）所示．画函数图象的一般方法（１）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接画出．２图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.即时训练１．作出下列各函数的图象：（１）y＝x—|x—１|；（２）y＝|x２—４x＋３|；（３）y＝错误!|x|；（４）y＝|log２x—１|.解（１）根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝错误!可见其图象是由两条射线组成，如图（１）所示．（２）函数式可化为y＝错误!图象如图（２）所示．（３）作出y＝错误!x的图象，保留y＝错误!x的图象中x≥0的部分，加上y＝错误!x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝错误!|x|的图象，如图（３）实线部分．（４）先作出y＝log２x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log２x—１|的图象，如图（４）所示．考向二识图与辨图角度１知式选图例２（２0１8·全国卷Ⅱ）函数f（x）＝错误!的图象大致为（）答案B解析∵x≠0，f（—x）＝错误!＝—f（x），∴f（x）为奇函数，故不选A；∵f（１）＝e—e—１>0，∴不选D；∵f′（x）＝错误!＝错误!，∴当x>２时，f′（x）>0，∴不选Ｃ．因此选Ｂ．角度２知图选式例３（２0１8·太原模拟）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）Ａ．f（x）＝x＋sinxＢ．f（x）＝错误!Ｃ．f（x）＝x错误!错误!Ｄ．f（x）＝xcosx答案D解析函数为奇函数，排除C；函数f（x）＝x＋sinx只有一个零点，排除A；B选项中x≠0，所以B不正确，选Ｄ．触类旁通函数图象的识辨（１）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．错误!错误!错误!错误!即时训练２．（２0１8·浙江高考）函数y＝２|x|sin２x的图象可能是（）答案D解析设f（x）＝２|x|sin２x，其定义域关于坐标原点对称，又f（—x）＝２|—x|·sin（—２x）＝—f（x），所以y＝f（x）是奇函数，故排除A，B；令f（x）＝0，所以sin２x＝0，所以２x＝kπ（k∈Z），所以x ＝错误!（k∈Z），故排除Ｃ．故选Ｄ．３．下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）Ａ．y＝x＋lg x Ｂ．y＝x—lg xＣ．y＝—x＋lg x Ｄ．y＝—x—lg x答案B解析（特殊值法）当x＝１时，由图象知y>0，而C，D中y<0，故排除C，D；又当x＝错误!时，由图象知y>0，而A中y＝错误!＋lg 错误!＝—错误!<0，排除Ａ．故选Ｂ．考向三函数图象的应用例４（１）（２0１9·洛阳统考）已知函数f（x）＝错误!关于x的方程f（x）＋x—a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．答案（１，＋∞）解析问题等价于函数y＝f（x）与y＝—x＋a的图象有且只有一个交点，如图，结合函数图象可知a>１．（２）（２0１8·天津高考）已知a>0，函数f（x）＝错误!若关于x的方程f（x）＝ax恰有２个互异的实数解，则a的取值范围是________．答案（４,8）解析由题可设函数g（x）＝f（x）—ax＝错误!当x≤0时，Δ１＝a２—４a，当x>0时，Δ２＝a２—8a.根据题目条件可知a>0时，函数g（x）恰有２个不同的零点，可分以下三种情况：１当错误!时，解得a＝0，不满足条件a>0，此时无解；２当错误!时，解得４<a<8，此时函数g（x）的两个零点均为负数；３当错误!时，此时无解．综上可得a的取值范围是４<a<8．即时训练４．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log２（x＋１）的解集是（）Ａ．{x|—１<x≤0}Ｂ．{x|—１≤x≤１}Ｃ．{x|—１<x≤１}Ｄ．{x|—１<x≤２}答案C解析令g（x）＝y＝log２（x＋１），作出函数g（x）的图象如图．由错误!得错误!∴结合图象知不等式f（x）≥log２（x＋１）的解集为{x|—１<x≤１}．５．（２0１8·陕西模拟）已知函数y＝错误!的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．答案（0,１）∪（１,２）解析函数y＝错误!的定义域为{x|x≠１}，所以当x>１时，y＝x＋１，当—１<x<１时，y＝—x—１，当x≤—１时，y＝x＋１，图象如图所示，由图象可知当0<k<２且k≠１时两函数的图象恰有两个交点，所以实数k的取值范围为（0,１）∪（１,２）．[特殊点法]１．（２0１9·北师大附中模拟）函数y＝ecosx（—π≤x≤π）的大致图象为（）答案C解析当x＝0时，函数y取得最大值ecos0＝e；当x＝π时，则y＝ecosπ＝错误!.可排除A，B，D，选Ｃ．答题启示使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案．对点训练函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为（）答案D解析令f（x）＝xcosx＋sinx，则有f（—x）＝—xcosx—sinx＝—f（x），∴f（x）为奇函数．∵奇函数的图象关于原点对称，而B中的图象不关于原点对称，∴排除B；当x＝错误!时，y＝１，而由C中图象知当x＝错误!时，y≠１，∴排除C；当x＝π时，y＝—π，而A中，当x＝π时，y>0，∴排除Ａ．故选Ｄ．[性质检验法]２．（２0１8·全国卷Ⅲ）函数y＝—x４＋x２＋２的图象大致为（）答案D解析当x＝0时，y＝２，排除A，Ｂ．y′＝—４x３＋２x＝—２x（２x２—１），当x∈错误!时，y′>0，排除Ｃ．故选Ｄ．答题启示利用性质识别函数图象是辨图中的主要方法，采用的性质主要是定义域、值域，函数整体的奇偶性，函数局部的单调性等．当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断，还可能同特殊点法结合起来使用．对点训练（２0１9·沧州七校联考）函数f（x）＝ln 错误!的图象是（）答案B解析因为f（x）＝ln 错误!，所以x—错误!＝错误!>0，解得—１<x<0或x>１，所以函数的定义域为（—１,0）∪（１，＋∞），可排除A，Ｄ．因为函数u＝x—错误!在（—１,0）和（１，＋∞）上单调递增，函数y＝ln u在（0，＋∞）上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f（x）在（—１,0）和（１，＋∞）上单调递增，故选Ｂ．[图象变换法]３．已知函数f（x—１）是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞）上是增函数，则函数f（x）的图象可能是（）答案B解析函数f（x—１）的图象向左平移１个单位，即可得到函数f（x）的图象；因为函数f（x—１）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x—１）的图象关于原点对称，所以函数f（x）的图象关于点（—１,0）对称，排除A，C，D，故选Ｂ．答题启示有关函数y＝f（x）与函数y＝af（bx＋c）＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换（左加右减，上加下减）、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题．对点训练已知定义在区间[0,２]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝—f（２—x）的图象为（）答案B解析y＝f（x）错误!y＝f（—x）错误!y＝f（２—x）错误!y＝—f（２—x）．选Ｂ．。

2.7 函数的图象『考纲要求』1.结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．3.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．5.会作简单的函数图象并能进行图象变换。

6.结合图像理解函数、方程、不等式之间的关系。

『知识网络』『考点梳理』考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系1. 当时，二次方程（）的根的个数可以用判别式与0的关系进行判断；2. 二次方程（）的根、与系数的关系：，x R ∈20ax bx c ++=0≠a 24b ac ∆=-20ax bx c ++=0≠a 1x 2x 12b x x a+=-； 3.二次方程（）的根的分布：结合（）的图象可以得到一系列有关的结论（可以转化为）： （1）方程的两根中一根比大，另一根比小.（2）二次方程的两根都大于（3）二次方程在区间内有两根（4）二次方程在区间内只有一根，或而另一根在内，或而另一根在内.（5）方程的一根比小且一根比大（）12c x x a=20ax bx c ++=0≠a 2()f x ax bx c =++0a >0a <0a >()0f x =r r ⇔()0f r<()0f x =r 2402()0Δb ac bra f r ⎧=-≥⎪⎪⇔->⎨⎪>⎪⎩()0f x =(,)p q 2402()0()0Δb ac b p q af q f p ⎧=-≥⎪⎪<-<⎪⇔⎨⎪>⎪>⎪⎩()0f x =(,)p q ⇔()()0f q f p ⋅<()0f p =(,)p q ()0f q =(,)p q ()0f x =p q p q <()0()0f p f q <⎧⇔⎨<⎩考点二：零点 1. 函数的零点(1) 一般地，如果函数在实数a 处的值为0，即，则a 叫做这个函数的零点．(2) 对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数的零点具下列性质：① 当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变； ② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。

第七节函数的图象1．函数图象的识辨会结合函数性质判断函数图象．2．函数图象的应用会运用函数图象理解和研究函数的性质．知识点一描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．易误提醒1．在使用描点法作图象时易忽视定义域及图象的一些特殊点(与x、y轴交点、最高、最低点等)．2．连线时必须区分是光滑的曲线还是直线，易出错．[自测练习]1．函数y＝1－1x－1的图象是( )解析：将y ＝－1x的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象．答案：B知识点二 利用图象变换法作函数的图象 1．平移变换y ＝f (x )―――――――――→a ＞0，右移a 个单位a ＜0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )――――――――――→b ＞0，上移b 个单位b ＜0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . 2．伸缩变换y ＝f (x )10111ωωωω−−−−−−−−→＜＜，伸原的＞，短原的长为来缩为来 y ＝f (ωx )； y ＝f (x )―――――――――――→A ＞1，伸为原来的A 倍0＜A ＜1，缩为原来的A 倍 y ＝Af (x )．3．对称变换y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )． 4．翻折变换y ＝f (x )――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )――――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|. 易误提醒1．在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2．明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．[自测练习]2．为了得到函数f (x )＝log 2x 的图象，只需将函数g (x )＝log 2x8的图象向________平移________个单位．解析：g (x )＝log 2x8＝log 2x －3＝f (x )－3，因此只需将函数g (x )的图象向上平移3个单位即可得到函数f (x )＝log 2x 的图象．答案：上 33．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________. 解析：由题图可求得直线的方程为y ＝2x ＋2.又函数y ＝log c ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋19的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1334．若不等式x 2－log a x ＜0在⎝⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，则a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2－log a x ＜0在⎝⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，∴0＜a ＜1，且14＜log a 12.∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a 14＞12，解得116＜a ＜1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1考点一 作图|分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1.解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.图象如图1.(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0.图象如图3.画函数图象的两种方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．考点二 识图|(1)(2015·高考浙江卷)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )[解析] 根据y 1＝x －1x为奇函数，y 2＝cos x 为偶函数，可得函数f (x )为奇函数，因此排除A ，B 项，又当x ＝π时，y 1＞0，y 2＜0，因此选D.[答案] D(2)(2015·贵州七校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x[解析] 由图象知f (x )应为奇函数，故排除B 、C ，又当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x －1x单调递增，故排除D ，故A 正确．[答案] A识图常用的三种方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．(2015·山西四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x x ≤1 ，log 13x x ＞1 ，则函数y ＝f (1－x )的大致图象是( )解析：当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0,3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当x ＝－13时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝log 1343＜0，即y ＝f (1－x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，log 1343，排除C ，故选D.答案：D考点三 用图|函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1．确定方程根的个数． 2．求参数的取值范围． 3．求不等式的解集． 4．研究函数性质． 探究一 确立方程根的个数1．(2015·日照一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，2|x |，x ≤0，则函数y＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．解析：方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.答案：5探究二 求参数的取值范围2．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．解析：将函数y ＝|x 2－1|x －1化成分段函数，并作出其图象如图所示．利用图象可得实数k 的取值范围为(0,1)∪(1,2)．答案：(0,1)∪(1,2) 探究三 求不等式的解集3．(2015·成都模拟)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx＜0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：f (x )为奇函数，所以不等式f x －f －x x ＜0化为f xx＜0，即xf (x )＜0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．答案：D探究四 研究函数的性质4．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．解析：由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x，函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确，③不正确．答案：①②④6.数形结合思想求函数取值范围【典例】 (2015·石家庄质检)已知定义域为R 的函数f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝|x －a 2|－a 2，且对x ∈R ，恒有f (x ＋1)≥f (x )，则实数a 的取值范围为( )A ．[0,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12C ．[－1,1]D ．[－2,0][思路点拨] 作出f (x )在[0，＋∞)上的图象后，利用奇函数性质再作出f (x )在R 上的图象，向左平移一个单位可知f (x ＋1)图象，然后结合图象分析．[解析] 作出f (x )与f (x ＋1)的图象如图．要使f (x ＋1)≥f (x )，则只要使点(a 2，－a 2)向左平移1个单位后到了点(－3a 2，－a 2)的左侧，或者与点(－3a 2，－a 2)重合，即4a 2≤1，解得－12≤a ≤12，故选B.[答案] B[思想点评] (1)对于一些无法求解的不等式或已知不等关系，常转化为函数图象的上、下关系，通过数形结合发现规律．(2)本题易忽视点p (a 2，－a 2)平移1个单位后与点(－3a 2，－a 2)重合．[跟踪练习] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x ＜0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0＜|x 1|＜|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)＜0B ．f (x 1)＋f (x 2)＞0C ．f (x 1)－f (x 2)＞0D ．f (x 1)－f (x 2)＜0解析：函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0＜|x 1|＜|x 2|，∴f (x 1)＜f (x 2)，即f (x 1)－f (x 2)＜0. 答案：DA 组 考点能力演练1．(2015·东北三校联考)函数y ＝ln cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜π2的图象是( )解析：∵cos(－x )＝cos x ，∴y ＝ln cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜π2是偶函数，可排除B 、D ；由cos x ≤1得ln cos x ≤0，排除C ，故选A. 答案：A2．函数f (x )＝1＋log 2 x 与g (x )＝21－x 在同一坐标系中的图象大致是( )解析：因为函数f (x )＝1＋log 2 x 的零点是12，排除A ；g (x )＝21－x是减函数，且与y 轴的交点为(0,2)，排除B 和D ，故选C. 答案：C3．(2016·西安质检)函数f (x )＝ax m (1－x )2在区间[0,1]上的图象如图所示，则m 的值可能是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：f ′(x )＝max m －1(1－x )2－2ax m (1－x )＝ax m －1(1－x )·[m －(m ＋2)x ]，令f ′(x )＝0，可得x ＝1或x ＝m m ＋2，由图象可得0＜mm ＋2＜0.5，解得0＜m ＜2，故选A.答案：A4．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：f(x)的图象如图．当x∈(－1,0)时，由xf(x)＞0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)＜0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)＞0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．答案：C5.如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的大致图象是( )解析：随着时间的增长，直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径，再慢慢减小，所以圆内阴影部分的面积增加速度先越来越快，然后越来越慢，反映在图象上面，则先由平缓变陡，再由陡变平缓，结合图象知，选C.答案：C6．已知曲线C：y＝4－x2(－2≤x≤0)与函数f(x)＝log a(－x)及函数g(x)＝a－x(a＞1)的图象分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x21＋x22的值为________．解析：作出曲线C和函数f(x)，g(x)的图象如图所示，显然f(x)，g (x )的图象关于直线y ＝－x 对称，所以x 1＝－y 2，x 2＝－y 1，所以x 21＋x 22＝x 21＋y 21＝4.答案：47．(2016·荆州模拟)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________．解析：函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的图象如图所示，由图象可得，其最小值为32.答案：328.已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1，x 2给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1； ②x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)； ③f x 1 ＋f x 22＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)解析：由f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1得f x 2 －f x 1x 2－x 1＞1，即两点(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))连线的斜率大于1，显然结论①不正确；由x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)得f x 1 x 1＞f x 2x 2，即点(x 1，f (x 1))与原点连线的斜率大于点(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率，由图象易知结论②正确；结合函数图象，容易判断结论③正确．答案：②③9．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？ 解：令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点， 原方程有两个解．10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )＞0的解集． 解：(1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －4 ，x ≥4，－x x －4 ，x ＜4.∴函数f (x )的图象如图：由图象知f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]． (4)从图象上观察可知：不等式f (x )＞0的解集为{x |0＜x ＜4或x ＞4}．B 组 高考题型专练1．(2013·高考山东卷)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解析：法一：令f (x )＝x cos x ＋sin x ， ∵f (－x )＝－x ·cos x －sin x ＝－f (x )． ∴函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，可排除B.令x cos x ＋sin x ＝0，得tan x ＝－x ，在同一坐标系中画出函数y ＝tan x 和y ＝－x 的图象如图，由图可知函数y ＝x cos x ＋sin x 的零点有一个介于π2到π之间，可排除A 、C ，故选D.法二：令f (x )＝x cos x ＋sin x ，则f (－x )＝－x cos x －sin x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∵奇函数的图象关于原点对称，而B 中图象不关于原点对称，∴排除B ；当x ＝π2时，y ＝1，而由C 中图象知当x ＝π2时，y ≠1，∴排除C ；当x ＝π时，y ＝－π，而A 中，当x ＝π时，y ＞0，∴排除A ，故选D.答案：D2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )解析：由题图可知：当x ＝π2时，OP ⊥OA ，此时f (x )＝0，排除A 、D ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，OM ＝cos x ，设点M 到直线OP 的距离为d ，则dOM＝sin x ，即d ＝OM sin x ＝sin x cos x ， ∴f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ≤12，排除B ，故选C.答案：C3．(2014·高考辽宁卷)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34解析：作出y ＝f (x )与y ＝12的图象，如图，由图易知f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，∴f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74，故选A.答案：A4．(2015·高考安徽卷)函数f (x )＝ax ＋bx ＋c 2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0解析：∵f (x )＝ax ＋bx ＋c 2的图象与x ，y 轴分别交于N ，M ，且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴x ＝－b a ＞0，y ＝bc2＞0，故a ＜0，b ＞0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c ＞0，故c ＜0，故选C.答案：C5．(2014·高考湖北卷)如图所示，函数y ＝f (x )的图象由两条射线和三条线段组成．若∀x ∈R ，f (x )＞f (x －1)，则正实数a 的取值范围为________． 解析：∀x ∈R ，f (x )＞f (x －1)． 由题图易知a ＞0，且6a ＜1， ∴0＜a ＜16.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，16。

第7讲 函数的图象一、知识梳理1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换[注意] (1)对于左(右)平移变换，可熟记为：左加右减，但要注意加(减)指的是自变量．(2)对于上(下)平移变换，可熟记为：上加下减，但要注意加(减)指的是函数值． (2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (x ＞0)．(3)翻折变换①y ＝f (x )――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|；②y ＝f (x )――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换 ①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变→y ＝f (ax )．②y ＝f (x )a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．常用结论1．函数图象自身的轴对称(1)f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．(2)函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )．(3)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称．(2)函数y ＝f (x )的图象关于(a ，0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )．二、习题改编1．(必修1P24A 组T7改编)下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是( )答案：C2．(必修1P35例5(3)改编)函数f (x )＝x ＋1x的图象关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称答案：C一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将函数y ＝f (x )的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数y ＝f (x ＋1)＋1的图象．( )(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、易错纠偏常见误区(1)函数图象的平移、伸缩法则记混出错； (2)不注意函数的定义域出错．1．将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象．解析：y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位长度，是将f (－x )中的x 变成x －1. 答案：y ＝f (－x ＋1)2.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log2f (x )的定义域是．解析：当f (x )＞0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )＞0时，x ∈(2，8]．答案：(2，8]作函数的图象(师生共研)分别作出下列函数的图象．(1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1.【解】 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.图象如图①所示．(2)将y ＝2x的图象向左平移2个单位，图象如图②所示．(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0.图象如图③所示．函数图象的画法[提醒] (1)画函数的图象一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．分别作出下列函数的图象．(1)y ＝|x －2|(x ＋1)；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |.解：(1)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.所以y ＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图中实线部分．函数图象的辨识(师生共研)(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x2在[－π，π]的图象大致为( )(2)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝exxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x【解析】 (1)法一：显然f (x )＝－f (－x )，所以f (x )为奇函数，排除A ；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋π2⎝ ⎛⎭⎪⎫π22＝4＋2ππ2>1，观察题图可知D 正确．故选D. 法二：显然f (x )＝－f (－x )，所以f (x )为奇函数，排除A ；易知当x →0＋时，f (x )>0，排除C ；f (π)＝ππ2－1>0，排除B ，故选D.(2)由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.【答案】 (1)D (2)A(1)抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (2)抓住函数的特征，定量计算：利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题．1．甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④解析：选B.由题知速度v ＝st反映在图象上为某段图象所在直线的斜率．由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图①符合，乙与图④符合．2．(2020·某某省部分重点中学4月联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，1x ，x <0，，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象大致是( )解析：选D.先画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，1x，x <0的图象，如图(1)所示，再根据函数f (x )与－f (－x )的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f (－x )的图象，即g (x )的图象，如图(2)所示．故选D.3．(2020·某某市学习质量评估)函数y ＝x 28－ln|x |的图象大致为( )解析：选D.令f (x )＝y ＝x 28－ln|x |，则f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数，排除选项B ；当x >0且x →0时，y →＋∞，排除选项A ；当x ＝22时，y ＝1－ln 22<1－ln e ＝0，排除选项C.故选D.函数图象的应用(多维探究) 角度一 研究函数的性质对于函数f (x )＝lg(|x ＋1|)，给出如下三个命题：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，在区间(0，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0【解析】 作出f (x )的图象，可知f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．【答案】 B对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： ①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． 角度二 解不等式函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在(－1，3)上的解集为( )A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1)【解析】 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1，0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1，0)；当x ∈(0，1)时，由xf (x )>0得x ∈∅；当x ∈(1，3)时，由xf (x )>0得x ∈(1，3)．所以x ∈(－1，0)∪(1，3)．【答案】 C利用函数的图象研究不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解．角度三 求参数的取值X 围已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，x <1，log 2x ，x ≥1，若关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，则实数k 的取值X 围是．【解析】 画出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示．由图可知，当0<k <1时，y ＝k 和y ＝f (x )的图象有3个交点，即方程f (x )＝k 有三个不同的实根．【答案】 (0，1)求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是：1．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C.将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的大致图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．2．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选B.先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.3．函数f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f (3)＝0，若x ·[f (x )－f (－x )]<0，则x 的取值X 围为．解析：函数f (x )的图象大致如图所示．因为f (x )为奇函数，且x ·[f (x )－f (－x )]<0， 所以2xf (x )<0.由图可知，不等式的解集为(－3，0)∪(0，3)． 答案：(－3，0)∪(0，3)[基础题组练]1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：选C.小明匀速行驶时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.2．(2020·某某某某中学第二次调研)函数y ＝(2x －1)e x的图象大致是( )解析：选A.因为x 趋向于－∞时，y ＝(2x －1)e x<0，所以C ，D 错误；因为y ′＝(2x ＋1)e x ，所以当x <－12时，y ′<0，y ＝(2x －1)e x在(－∞，－12)上单调递减，所以A 正确，B错误，故选A.3.(2020·某某七校第一次联考)设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图象，则f (2 018)＋f (2 019)＝( )A ．2B ．1C ．－1D ．0解析：选C.因为函数f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 018)＝f (2 018－673×3)＝f (－1)，f (2 019)＝f (2 019－673×3)＝f (0)，由题图知f (－1)＝－1，f (0)＝0，所以f (2 018)＋f (2 019)＝f (－1)＋f (0)＝－1.4.(2020·某某某某敦煌中学一诊)已知奇函数f (x )在x ≥0时的图象如图所示，则不等式xf (x )<0的解集为( )A ．(1，2)B ．(－2，－1)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(－1，1)解析：选C.因为函数f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，补全当x <0时的函数图象，如图．对于不等式xf (x )<0，当x >0时，f (x )<0，所以1<x <2；当x <0时，f (x )>0，所以－2<x <－1，所以不等式xf (x )<0的解集为(－2，－1)∪(1，2)，故选C.5．已知函数y ＝f (－|x |)的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象不可能是( )解析：选C.函数y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （－x ），x ≥0，f （x ），x <0，当x <0时，y ＝f (－|x |)＝f (x )，所以函数y ＝f (－|x |)的图象在y 轴左边的部分，就是函数y ＝f (x )的图象，故可得函数y ＝f (x )的图象不可能是C.6.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f （3）的值等于．解析：由图象知f (3)＝1，所以1f （3）f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）＝f (1)＝2.答案：27.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)＝．解析：由题图可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1ln （x ＋2），x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 答案：－18．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值X 围是．解析：如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，所以a 的取值X 围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞) 9．作出下列函数的图象． (1)y ＝x ＋2x －1； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|. 解：(1)因为y ＝x ＋2x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3x的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图所示．(2)利用函数y ＝log 2x 的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)某某数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值X 围． 解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4， f (x )的图象如图所示．(3)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，即方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值X 围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．[综合题组练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0解析：选D.函数f (x )的图象如图所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数． 又0<|x 1|<|x 2|， 所以f (x 2)>f (x 1)， 即f (x 1)－f (x 2)<0.2．已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是．解析：由已知得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1－2x －1，x <0.其图象如图所示：由图可知，不等式f (x 2－2x )<f (3x －4)等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4≥0，x 2－2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧3x －4<0，x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，解得43≤x <2或1<x <43，所以所求的解集为(1，2)．答案：(1，2)3．已知函数f (x )＝|x |(x －a )，a >0， (1)作出函数f (x )的图象； (2)写出函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[0，1]时，由图象写出f (x )的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥0，－x （x －a ），x <0，其图象如图所示．(2)由图知，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞；单调递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a2.(3)由图象知，当a2>1，即a >2时，所求最小值f (x )min ＝f (1)＝1－a ；当0<a2≤1，即0<a ≤2时，所求最小值f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 24. 综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 24（0<a ≤2），1－a （a >2）.4．已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？ (2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值X 围．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值X 围为(－∞，0]．。

函数的图象方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图像.(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1). ⑤y ＝f (x )――→保留x 轴上方图像将x 轴下方图像翻折上去y ＝|f (x )|. ⑥y ＝f (x )――→保留y 轴右边图像，并作其关于y 轴对称的图像y ＝f (|x |). (3)伸缩变换①y ＝y ＝f (ax ).②y ＝f (x )――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变 y ＝af (x ).【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图像相同.( ×)(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图像相同.( ×)(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于原点对称.( ×)(4)假设函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，那么函数f(x)的图像关于直线x＝1对称.( √)(5)将函数y＝f(－x)的图像向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图像.( ×)f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)的图像如下图，那么函数g(x)＝a x＋b的图像是( )答案 A解析∵f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)，∴其图像与x轴的两个交点的横坐标分别为a，b.又a>b，由图像可知0<a<1，b<－1.∴根据指数函数的图像可知选A.f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝e x关于y轴对称，那么f(x)的解析式为( ) A.f(x)＝e x＋1B.f(x)＝e x－1C.f(x)＝e－x＋1D.f(x)＝e－x－1答案 D解析与y＝e x图像关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)图像向右平移一个单位，得y＝e－x的图像.∴f(x)的图像由y＝e－x的图像向左平移一个单位得到.∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.3.(教材改编)点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P 走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是( )答案 Cy ＝4×(12)x 的图像，可以把函数y ＝(12)x 的图像向________平移________个单位长度.答案 右 2f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，2x， x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，那么实数a 的取值X 围是________.答案 (0,1]解析 当x ≤0时，0＜2x≤1，所以由图像可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即函数y ＝f (x )与y ＝a 的图像有两个交点，所以由图像可知0＜a ≤1.题型一 作函数的图像 例1 作出以下函数的图像： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝x ＋2x －1； (3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1，作出图像如图1.(2)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图像，将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图像，如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1， x <0.图像如图3.引申探究作函数y ＝|x 2－2x －1|的图像.解 y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1， x ≥1＋2或x ≤1－2，－x 2＋2x ＋1， 1－2<x <1＋2如图思维升华 (1)常见的几种函数图像如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋m x(m >0)的函数是图像变换的基础；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换规律，可以帮助我们简化作图过程.作出以下函数的图像.(1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝x ＋2x ＋3. 解 (1)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝(x －12)2－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－(x －12)2＋94.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －122－94，x ≥2，－x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图像可根据二次函数图像作出(如图).(2)y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，该函数图像可由函数y ＝－1x向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如下图.题型二 识图与辨图例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，那么y ＝f (x )的图像大致为( )(2)定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如下图，那么y ＝－f (2－x )的图像为( )答案 (1)B (2)B解析 (1)当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt△POB 中，|PB |＝|OB |tan∠POB ＝tan x ，在Rt△PAB 中，|PA |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，那么f (x )＝|PA |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图像不是线段，故排除A 和C ； 当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B. (2)方法一 由y ＝f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， 0≤x ≤1，1， 1<x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0≤x ≤1，2－x ， 1<x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 0≤x ≤1，x －2， 1<x ≤2.图像应为B.方法二 当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1； 当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1. 观察各选项，可知应选B.思维升华 函数图像的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的周期性，判断图像的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图像.(1)(2015·某某)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图像可能为( )(2)现有四个函数：①y ＝x sin x ；②y ＝x cos x ；③y ＝x |cos x |；④y ＝x ·2x的图像(部分)如下，但顺序被打乱，那么按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是( )A.④①②③B.①④③②C.③④②①D.①④②③ 答案 (1)D (2)D解析 (1)∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝1π－π＜0，排除C.应选D.(2)由于函数y ＝x sin x 是偶函数，由图像知，函数①对应第一个图像；函数y ＝x cos x 是奇函数，且当x ＝π时，y ＝－π<0，故函数②对应第三个图像；函数y ＝x |cos x |为奇函数，故函数③与第四个图像对应；函数y ＝x ·2x为非奇非偶函数，与第二个图像对应.综上可知，选D.题型三 函数图像的应用例3 (1)(2015·某某)在平面直角坐标系xOy 中，假设直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图像只有一个交点，那么a 的值为________.(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 015x ，x >1.假设a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，那么a ＋b ＋c 的取值X 围是( )A.(1,2 015)B.(1,2 016)C.[2,2 016]D.(2,2 016) 答案 (1)－12(2)D解析 (1)∵|x －a |≥0恒成立，∴要使y ＝2a 与y ＝|x －a |－1只有一个交点，必有2a ＝－1，解得a ＝－12.(2)作出函数的图像，直线y ＝m 交函数图像如图，不妨设a <b <c ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 015x ＝1，解得xf (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a <b <c 可得1<c <2 015，因此可得2<a ＋b ＋c <2 016，即a ＋b ＋c ∈(2,2 016).应选D.思维升华 (1)利用函数的图像研究函数的性质对于或易画出其在给定区间上图像的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应关系. (2)利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图像交点的横坐标；不等式f (x )<g (x )的解集是函数f (x )的图像位于g (x )图像下方的点的横坐标的集合，表达了数形结合思想.(1)设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图像如下图，那么关于函数y ＝1f x的单调区间表述正确的是( )A.在[－1,1]上单调递增B.在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增C.在[5,7]上单调递增D.在[3,5]上单调递增(2)假设关于x 的不等式2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，那么实数a 的取值X 围是________.答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2解析 (1)由题图可知，f (0)＝f (3)＝f (6)＝0，所以函数y ＝1f x在x ＝0，x ＝3，x ＝6处无定义，故排除A 、C 、D ，选B.(2)在同一坐标系中画出函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －aa ≤0，那么其临界情况为折线g (x )＝|x －a |与抛物线f (x )＝2－x 2相切.由2－x 2＝x －a 可得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4·(a ＋2)＝0，解得a ＝－94；假设a >0，那么其临界情况为两函数图像的交点为(0,2)，此时a ＝2.结合图像可知，实数a 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫－94，2.一、函数解析式确定函数图像典例 函数f (x )＝2x ＋sin x 的部分图像可能是( )思维点拨 根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和特征点确定函数图像. 解析 方法一 ∵f (－x )＝－2x －sin x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除B 、C ， 又0<x <π2时，f (x )>0，排除D ，故A 正确.方法二 ∵f ′(x )＝2＋cos x >0， ∴f (x )为增函数，故A 正确. 答案 A温馨提醒 (1)确定函数的图像，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想. (2)对于给出图像的选择题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除. 二、函数图像的变换问题典例 假设函数y ＝f (x )的图像如下图，那么函数y ＝－f (x ＋1)的图像大致为( )思维点拨 从y ＝f (x )的图像可先得到y ＝－f (x )的图像，再得y ＝－f (x ＋1)的图像.解析 要想由y ＝f (x )的图像得到y ＝－f (x ＋1)的图像，需要先将y ＝f (x )的图像关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图像，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图像，根据上述步骤可知C 正确.答案 C温馨提醒 (1)对图像的变换问题，从f (x )到f (ax ＋b )，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别.(2)图像变换也可利用特征点的变换进行确定. 三、函数图像的应用典例 (1)函数f (x )＝x |x |－2x ，那么以下结论正确的是( ) A.f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B.f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C.f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D.f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，那么实数a 的取值X 围是________.思维点拨 (1)画出函数f (x )的图像观察.(2)利用函数f (x )，g (x )图像的位置确定a 的取值X 围.解析 (1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图像，如图，观察得到，f (x )为奇函数，递减区间是(－1,1).(2)如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图像，观察图像可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值X 围是[－1，＋∞).答案 (1)C (2)[－1，＋∞)温馨提醒 (1)此题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数〞或“以数辅形〞两个方面，此题属于“以形助数〞，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质.(2)利用函数图像也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图.[方法与技巧]1.列表描点法是作函数图像的辅助手段，要作函数图像首先要明确函数图像的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等；(2)可通过函数图像的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等. (1)识图对于给定函数的图像，要从图像的左右、上下分布X 围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系. (2)用图函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形〞的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.常用函数图像研究含参数的方程或不等式解集的情况. [失误与防X]1.函数图像平移的方向和大小：函数图像的每次变换都针对自变量“x 〞而言，如从f (－2x )的图像到f (－2x ＋1)的图像是向右平移12个单位.2.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数〞的精确，注重数形结合思想的运用.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x－1，x ≥0的图像大致是( )答案 B解析 当x <0时，函数的图像是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x的图像在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可.应选B.y ＝2x －3－1的图像，只需把函数y ＝2x 的图像上所有的点( )A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 答案 A解析 y ＝y ＝2x ――――――――――→向右平移3个单位长度y ＝2x －3――――――――――→向下平移1个单位长度,y ＝2x －3l ：y ＝m n x －1n的图像经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件是( )A.m >1且n <1B.mn <0C.m >0且n <0D.m <0且n <0 答案 B解析 因为直线y ＝m nx －1n经过第一、二、四象限，故m n<0且－1n>0，即m >0且n <0，但此为充要条件，因此其一个必要不充分条件为mn <0.应选B.f (x )＝1|x |－a －b (a >0)的图像因酷似汉字的“囧〞字，而被称为“囧函数〞.那么方程1|x |－1＝x 2－1的实数根的个数为( ) A.1 B.2 C.3 答案 C解析 方程1|x |－1＝x 2－1的根的个数转化为函数y ＝1|x |－1与y ＝x 2－1的图像交点个数，作出这两个函数的图像如下图，图像的交点一共有3个.5.(2015·)如图，函数f (x )的图像为折线ACB ，那么不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A.{x |－1＜x ≤0}B.{x |－1≤x ≤1}C.{x |－1＜x ≤1}D.{x |－1＜x ≤2} 答案 C解析 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图像如图.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图像知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为 {x |－1<x ≤1}.6.f (x )＝(13)x，假设f (x )的图像关于直线x ＝1对称的图像对应的函数为g (x )，那么g (x )的表达式为________. 答案 g (x )＝3x －2解析 设g (x )上的任意一点A (x ，y )，那么该点关于直线x ＝1的对称点为B (2－x ，y )，而该点在f (x )的图像上.∴y ＝(13)2－x ＝3x －2，即g (x )＝3x －2.7.用min{a ，b ，c }表示a ，b ，cf (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，那么f (x )的最大值为_______________________________________. 答案 6解析 f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(xx ＋2＝10－x ，得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝6.f (x )＝|lg(x －1)|，假设0<a <b ，且f (a )＝f (b )，那么ab 的取值X 围是________.答案 (4，＋∞)解析 由于函数f (x )＝|lg(x －1)|的图像如下图.由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1)，解得ab ＝a ＋b >2ab (由于a <b )，所以ab >4.f (x )＝x1＋x. (1)画出f (x )的草图； (2)指出f (x )的单调区间.解 (1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图像是由反比例函数y ＝－1x的图像向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到的，图像如下图.(2)由图像可以看出，函数f (x )有两个单调递增区间： (－∞，－1)，(－1，＋∞).f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性； (2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}.解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －22－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋∞，－x －22＋1，x ∈1，3，作出函数图像如图.(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3].(2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图像，使两函数图像有四个不同的交点(如图).由图知0<m <1， ∴M ＝{m |0<m <1}.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)y ＝f (x )的图像如下图，那么函数y ＝log 12f (x )的图像大致是( )答案 C解析 由函数y ＝f (x )的图像知，当x ∈(0,2)时，f (x )≥1，所以log 12f (x )≤0.又函数f (x )在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y ＝log 12f (x )在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数.结合各选项知，选C.12.(2015·某某)函数f (x )＝ax ＋bx ＋c 2的图像如下图，那么以下结论成立的是( )A.a >0，b >0，c <0B.a <0，b >0，c >0C.a <0，b >0，c <0D.a <0，b <0，c <0 答案 C解析 函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图像知－c >0，∴c <0. 令x ＝0，得f (0)＝b c2，又由图像知f (0)>0，∴b >0. 令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图像知－b a>0，∴a <0.应选C.y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)是减函数，且图像过点(1,0)，那么不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________________________. 答案 (－∞，0]∪(1,2]解析 y ＝f (x ＋1)向右平移1个单位得到y ＝f (x )的图像，由可得f (x )的图像的对称轴为x ＝1，过定点(2,0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，那么f (x )的大致图像如下图.不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，fx ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，fx ≥0.由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1,2].f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≥2，x －13， x <2.假设关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，那么实数k 的取值X 围是________. 答案 (0,1)解析 画出分段函数f (x )的图像如下图，结合图像可以看出，假设f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图像与y ＝k 有两个不同的交点，故k 的取值X 围为(0,1).15.给出以下命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝12x ，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有三个是增函数；②假设log m 3<log n 3<0，那么0<n <m <1；③假设函数f (x )是奇函数，那么f (x －1)的图像关于点(1,0)对称；④假设函数f (x )＝3x－2x －3，那么方程f (x )＝0有两个实数根，其中正确的命题是________. 答案 ②③④解析 对于①，在区间(0，＋∞)上，只有y ＝12x ，y ＝x 3是增函数，所以①错误.对于②，由log m 3<log n 3<0，可得1log 3m <1log 3n <0，即log 3n <log 3m <0，所以0<n <m <1，所以②正确.易知③正确.对于④，方程f (x )＝0即为3x－2x －3＝0，变形得3x＝2x ＋3，令y 1＝3x，y 2＝2x ＋3，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，如图.由图像可知，两个函数图像有两个交点，所以④正确. R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x ). (1)求f (2 016)的值；(2)求证：函数f (x )的图像关于直线x ＝2对称；(3)假设f (x )在区间[0,2]上是增函数，试比较f (－25)，f (11)，f (80)的大小. (1)解 因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x )＝－f (x －4)＝－{－f [(x －4)－4]}＝f (x －8)， 知函数f (x )的周期为T ＝8. 所以f (2 016)＝f (252×8)＝f (0). 又f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0， 故f (2 016)＝0.(2)证明 因为f (x )＝－f (x －4)，所以f (x ＋2)＝－f [(x ＋2)－4]＝－f (x －2)＝f (2－x )， 故函数f (x )的图像关于直线x ＝2对称.(3)解由(1)知f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(－25)＝f[(－3)×8－1]＝f(－1)，f(11)＝f(8＋3)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(10×8＋0)＝f(0).又f(x)在[0,2]上是增函数，且f(x)在R上为奇函数，所以f(x)在[－2,2]上为增函数，那么有f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11).。