2016-2017年《金版学案》数学·选修4-5(人教A版)练习：第三讲3.3排序不等式 Word版含解析

2017~2018学人教A版高中数学选修4-5全册学案解析版目录第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质第一讲不等式和绝对值不等式一不等式2基本不等式第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术_几何平均不等式第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法第二讲证明不等式的基本方法二综合法与分析法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法第四讲用数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式举例1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差与0的大小；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差与0的大小．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘一个数仍为等式，但不等式两边同乘同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N*)．已知x ，y 均为正数，设m ＝x ＋y ，n ＝x ＋y ，试比较m 和n 的大小．两式作差――→变形 转化为因式乘积形式――→与0比较判断正负，得出大小 m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝x ＋y 2－4xy xy x ＋y ＝x －y 2xy x ＋y ，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n (当x ＝y 时，等号成立)．比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2≥0. 当且仅当a ＝b 时，等号成立， 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a29＋a 4，B 点对应的实数为1，试判断A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？解：因为6a 29＋a 4－1＝－a 2－29＋a 4≤0，所以6a29＋a4≤1.当且仅当a ＝±3时，等号成立，所以当a ≠±3时，A 点在B 点左边，当a ＝±3时，A 点与B 点重合.已知a >b >0，c <d <0，e <0.求证：ea －c >eb －d.可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． 法一：ea －c －eb －d＝e b －d －a ＋c a －c b －d ＝e b －a ＋c －da －cb －d，∵a >b >0，c <d <0，∴b －a <0，c －d <0. ∴b －a ＋c －d <0.又∵a >0，c <0，∴a －c >0.同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0. ∵e <0，∴e b －a ＋c －d a －c b －d >0，即e a －c >e b －d.法二：⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒－c >－d >0a >b >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c >b －d >0⇒1a －c <1b －d e <0⇒e a －c ＞e b －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．已知x ≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y . 证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1 ＝(1－y )＝(1－y )(xy －1)(x －1)．因为x ≥1，y ≥1，所以1－y ≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 所以x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y .4．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，所以x a >y b ，所以a x <by.故a x ＋1<b y ＋1，即x ＋a x <y ＋b y .所以x x ＋a >yy ＋b.(1)已知－2≤α≤β≤2，求α－β的取值范围．(2)已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的取值范围．求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质． (1)∵－π2≤α≤β≤π2，∴－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2，且α≤β.∴－π≤α－β≤π且α－β≤0.∴－π≤α－β≤0.即α－β的取值范围为．(2)设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b )＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b . 解得λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23.∴－113≤a ＋3b ≤1.即a ＋3b 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又∵1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≤12α＋β，－3≤32α－β－32⇒－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12.6．三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，求b a的取值范围．解：两个不等式同时除以a ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2，①b a ≤1＋c a ≤2·ba ，②将②×(－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2，－2·b a ≤－1－c a ≤－ba，两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.即b a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，32.课时跟踪检测(一)1．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a >3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －c C ．若a >b >0，c >d >0，则a d >b cD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：选D 当a >b >0，ac >ad 时，c ，d 的大小关系不确定． 2．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bc B ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：选C a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 3．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解析：选D 对于A 项，由a <b <0，得b －a >0，ab >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b，故A 项错误；对于B 项，由a <b <0，得b (a －b )>0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a <b <0，得a (a －b )>0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a <b <0，得a －b <0，ab >0，故－1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确．4．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中，成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.5．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________(填序号)．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b成立．答案：①②④6．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是________．解析：由a >b >1，c <0，得1a <1b ，c a >c b；幂函数y ＝x c (c <0)是减函数，所以a c <b c；因为a－c >b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．答案：①②③7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________． 解析：设z ＝2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，即2x －3y ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152.由不等式同向可加性，得3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<z <8.答案：(3,8)8．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝a －b 2a ＋b ab ，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴a －b2a ＋bab≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b的取值范围． 解：∵－6<a <8，∴－12<2a <16. 又2<b <3，∴－10<2a ＋b <19. ∵2<b <3，∴－3<－b <－2. 又∵－6<a <8，∴－9<a －b <6. ∵2<b <3，∴13<1b <12.①当0≤a <8时，0≤a b<4； ②当－6＜a ＜0时，－3＜a b＜0. 综合①②得－3<a b<4.∴2a ＋b ，a －b ，a b的取值范围分别为(－10,19)，(－9,6)，(－3,4)．10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各式大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)由题意，知a >0，a ≠1，①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a .②a 3＋1－(a 2＋a )＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0，∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2)＝a 3(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 2－1)(a 3－1)． 当a >1时，a 3>1，a 2>1，∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1，∴(a2－1)(a3－1)>0，即a5＋1>a3＋a2.(2)根据(1)可得a m＋n＋1＞a m＋a n.证明如下：a m＋n＋1－(a m＋a n)＝a m(a n－1)＋(1－a n)＝(a m－1)(a n－1)．当a>1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0.当0<a<1时，0<a m<1,0<a n<1，∴(a m－1)(a n－1)>0.综上可知(a m－1)(a n－1)>0，即a m＋n＋1>a m＋a n.2．基本不等式1．基本不等式的理解重要不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式a ＋b2≥ab ，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a ＝0，b ≥0仍然能使a ＋b2≥ab 成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是a ＝b . 2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a 2＋b 2≥a ＋b22；(2)ab ≤a 2＋b 22；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22； (5)(a ＋b )2≥4ab .已知a ，＋求证：1a ＋1b ＋1c≥9.解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明． 法一：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋ac ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 即1a ＋1b ＋1c≥9.法二：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c＝1＋b a ＋c a ＋a b ＋1＋c b ＋a c ＋b c＋1＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． ∴1a ＋1b ＋1c≥9.用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．1．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.证明：因为x 1，x 2，x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，当且仅当x 1＝x 2＝x 3时，等号成立．所以x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.2．已知a ，b ，c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .证明：∵a ，b ，c ，a 2b ，b 2c ，c 2a 均大于0，又a 2b＋b ≥2 a 2b ·b ＝2a ，b 2c＋c ≥2 b 2c ·c ＝2b ，c 2a ＋a ≥2 c 2a·a ＝2c ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a ＋a ≥2(a ＋b ＋c )． 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .当且仅当a 2b ＝b ，b 2c ＝c ，c 2a＝a ，即a ＝b ＝c 时，等号成立.(1)求当x >0时，f (x )＝x 2＋1的值域； (2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值． (1)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x. ∵x ＋1x ≥2，∴0<1x ＋1x≤12.∴0<f (x )≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立．即f (x )＝2xx 2＋1的值域为(0,1]． (2)∵0<x <32，∴3－2x >0.∴y ＝4x (3－2x )＝2≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－2x 22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∴y ＝4x (3－2x )的最大值为92.(3)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16.当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值为16.在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值； (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．3．已知x >0，y >0且5x ＋7y ＝20，求xy 的最大值． 解：xy ＝135(5x ·7y )≤135⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋7y 22＝135×⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝207.当且仅当5x ＝7y ＝10，即x ＝2，y ＝107时，等号成立，所以xy 的最大值为207.4．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，(1)求ab 的取值范围；(2)求a ＋b 的取值范围． 解：(1)∵a ，b ∈R ＋，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3. 令y ＝ab ，得y 2－2y －3≥0，∴y ≥3或y ≤－1(舍去)． ∴ab ＝y 2≥9.∴ab 的取值范围是 ＝17·1＋3b ＋23a ＋2＋a ＋3b ＋2＋4≥17·⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2 3b ＋23a ＋2·a ＋3b ＋2＝97， 当且仅当3b ＋23a ＋2＝a ＋3b ＋2，即a ＝19，b ＝89时取等号．所以13a ＋2＋43b ＋2的最小值为97.促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2017年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2017年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数； (2)该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式． (1)由题意可设3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用， ∴年生产成本为32x ＋3＝32⎝⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3. 当销售x 万件时，年销售收入为150%⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋35t ＋(t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋35t ＋＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2 t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42， ∴该企业2015年的促销费投入7万元时，企业的年利润最大．利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y ＝f (x )(x 一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x 的范围制约．6．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x 件)，每进一次货运费为50元，且在销售完该次所进货物时，立即进货，现以年平均x2件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x 应是多少？解：设一年的运费和库存费共y 元，由题意，知y ＝50 000x ×50＋x 2×20＝25×105x ＋10x ≥2 25×106＝104，当且仅当25×105x＝10x 即x ＝500时，等号成立，y min ＝10 000，即每次进货500件时，一年的运费和库存费最省．7.某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．解：(1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450， 所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为676 m 2.课时跟踪检测(二)1．下列不等式中，正确的个数是( ) ①若a ，b ∈R ，则a ＋b2≥ab ； ②若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2； ③若x ∈R ，则x 2＋1＋1x 2＋1≥2； ④若a ，b 为正实数，则a ＋b2≥ab .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 显然①不正确，③正确；虽然x 2＋2＝1x 2＋2无解，但x 2＋2＋1x 2＋2>2成立，故②正确；④不正确，如a ＝1，b ＝4.2．已知a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C ∵a ＋b ＝2×12＝1，a >0，b >0，∴α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋1ab≥1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝5，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．3．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立，所以a ≥4，故选B.4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：选C 设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4.容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立)．5．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 解析：∵x ＞0，a ＞0， ∴f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x时等号成立，此时a ＝4x 2，由已知x ＝3时函数取得最小值，∴a ＝4×9＝36. 答案：366．若log 2x ＋log 2y ＝4，则x ＋y 的最小值是________． 解析：由题意知x >0，y >0，log 2xy ＝4，得xy ＝4， ∴x ＋y ≥2xy ＝4(当且仅当x ＝y 时，等号成立)．答案：47．y ＝3＋x ＋x 2x ＋1(x >0)的最小值是________．解析：∵x >0，∴y ＝3＋x ＋x 2x ＋1＝3x ＋1＋x ＋1－1≥23－1.当且仅当x ＋1＝3时，等号成立． 答案：23－18．已知a ，b 是正数，求证： (1)a 2＋b 22≥a ＋b2； (2)ab ≥21a ＋1b. 证明：(1)左边＝ a 2＋b 2＋a 2＋b 24≥a 2＋b 2＋2ab4＝a ＋b24＝a ＋b2＝右边，原不等式成立．(2)右边＝21a ＋1b≤221ab＝ab ＝左边，原不等式成立．9．设x >0，y >0且x ＋y ＝4，要使不等式1x ＋4y≥m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：由x >0，y >0且x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋4y ＝x ＋y 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y x ＋4x y ＋4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y≥14⎝⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝94. 当且仅当y x ＝4xy时，等号成立． 即y ＝2x (∵x >0，y >0，∴y ＝－2x 舍去)． 此时，结合x ＋y ＝4，解得x ＝43，y ＝83.∴1x ＋4y 的最小值为94，∴m ≤94， ∴m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94.10．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程．(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0.由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10， 当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中飞行物， 即存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立， 即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇒Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇒a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中飞行物．3．三个正数的算术—几何平均不等式1．定理3如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．(1)不等式a ＋b ＋c3≥3abc 成立的条件是：a ，b ，c 均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当a ＝b ＝c .(2)定理3可变形为：①abc ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc .(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正、二定、三相等”．2．定理3的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．已知a ，b ＋b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3. 欲证不等式的右边为常数3，联想到不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R ＋)，故将所证不等式的左边进行恰当的变形．b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc ＝⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋ac ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋a b ＋bc －3 ≥33b a ·c b ·a c ＋33c a ·a b ·b c－3＝6－3＝3.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(1)不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析．(2)运用三个正数的平均不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号．1．已知x ＞0，y ＞0，求证：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy . 证明：因为x ＞0，y ＞0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0，1＋x 2＋y ≥33x 2y ＞0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .2．已知a 1，a 2，…，a n 都是正数，且a 1a 2…a n ＝1，求证：(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n. 证明：∵a 1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a 1＝1＋1＋a 1≥33a 1. 同理2＋a j ≥3 3a j (j ＝2,3，…，n )．将上述各不等式的两边分别相乘即得(2＋a 1)(2＋a 2) (2)a n )≥(33a 1)(33a 2)…(33a n )＝3n ·3a 1a 2…a n .∵a 1a 2…a n ＝1，∴(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n. 当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时，等号成立.(1)求函数y ＝(x －1)2(3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1<x <2的最大值．(2)求函数y ＝x ＋4x －2(x >1)的最小值．对于积的形式求最大值，应构造和为定值． (2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值． (1)∵1<x <32，∴3－2x >0，x －1>0.y ＝(x －1)2(3－2x )＝(x －1)(x －1)(3－2x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋x －1＋3－2x 33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，当且仅当x －1＝x －1＝3－2x ，即x ＝43∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，y max ＝127.(2)∵x ＞1，∴x －1>0，y ＝x ＋4x －2＝12(x －1)＋12(x －1)＋4x －2＋1≥3312x －12x －4x －2＋1＝4，当且仅当12(x －1)＝12(x －1)＝4x －2，即x ＝3时，等号成立．即y min ＝4.(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件即“一正、二定、三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等．3．设x >0，则f (x )＝4－x －12x2的最大值为( ) A ．4－22B ．4－ 2C ．不存在 D.52解析：选D ∵x >0，∴f (x )＝4－x －12x 2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋12x 2≤4－33x 2·x 2·12x 2＝4－32＝52. 4．已知x ，y ∈R ＋且x 2y ＝4，试求x ＋y 的最小值及达到最小值时x ，y 的值． 解：∵x ，y ∈R ＋且x 2y ＝4，∴x ＋y ＝12x ＋12x ＋y ≥3314x 2y ＝3314×4＝3.当且仅当x 2＝x2＝y 时，等号成立． 又∵x 2y ＝4，∴当x ＝2，y ＝1时，x ＋y 取最小值3.大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？根据题设条件建立r 与θ的关系式→将它代入E ＝k sin θr2→得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式 →用平均不等式求函数的最值→获得问题的解 ∵r ＝2cos θ，∴E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.∴E2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108. 当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号， 即tan 2θ＝12，tan θ＝22.∴h ＝2tan θ＝ 2.即h ＝2时，E 最大．本题获解的关键是在获得了E ＝k ·sin θcos 2θ4后，对E 的表达式进行变形求得E 的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．5．已知长方体的表面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．解：设长方体的体积为V ，长、宽、高分别是a ，b ，c ， 则V ＝abc ，S ＝2ab ＋2bc ＋2ac .V 2＝(abc )2＝(ab )(bc )(ac )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋bc ＋ac 33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 63＝S 3216.当且仅当ab ＝bc ＝ac ，即a ＝b ＝c 时，上式取等号，V 2取最小值S 3216.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝c ，2ab ＋2bc ＋2ac ＝S ，解得a ＝b ＝c ＝6S6.即当这个长方体的长、宽、高都等于6S 6时，体积最大，最大值为S 6S 36. 课时跟踪检测(三)1．已知x 为正数，下列各题求得的最值正确的是( ) A ．y ＝x 2＋2x ＋4x3≥33x 2·2x ·4x3＝6，∴y min ＝6.B ．y ＝2＋x ＋1x ≥332·x ·1x＝332，∴y min ＝332.C ．y ＝2＋x ＋1x≥4，∴y min ＝4. D ．y ＝x (1－x )(1－2x ) ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋－x ＋－2x 33＝881， ∴y max ＝881.解析：选C A 、B 、D 在使用不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R ＋)和abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33(a ，b ，c ∈R ＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C 中，∵x >0，∴y ＝2＋x ＋1x＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．2．已知a ，b ，c 为正数，则a b ＋b c ＋c a有( ) A ．最小值3B ．最大值3C ．最小值2D ．最大值2解析：选A a b ＋b c ＋ca ≥33ab ×bc ×c a ＝3，当且仅当a b ＝b c ＝c a，即a ＝b ＝c 时，等号成立． 3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( )A.3322B.833C.332D.223解析：选A 由log x y ＝－2，得y ＝1x 2.而x ＋y ＝x ＋1x2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3322，当且仅当x 2＝1x2，即x ＝32时，等号成立． 4．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列不等式总成立的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：选B 设圆柱底面半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r 2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π. 当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时，等号成立． 5．若a >2，b >3，则a ＋b ＋1a －b －的最小值为________．解析：∵a >2，b >3，∴a －2>0，b －3>0， 则a ＋b ＋1a －b －＝(a －2)＋(b －3)＋1a －b －＋5 ≥33a －b －1a －b －＋5＝8.当且仅当a －2＝b －3＝1a －b －，即a ＝3，b ＝4时，等号成立．答案：86．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为 ________. 解析：∵0<x <1，∴1－x >0.故x (1－x )2＝12×2x (1－x )(1－x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－x ＋＋x 33＝12×827＝427(当且仅当x ＝13时，等号成立)． 答案：4277．已知关于x 的不等式2x ＋1x －a2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：2x ＋1x －a＝(x －a )＋(x －a )＋1x －a＋2a .∵x －a >0， ∴2x ＋1x －a2≥33x －a x －a1x －a2＋2a ＝3＋2a ，当且仅当x －a ＝1x －a2即x ＝a ＋1时，等号成立．∴2x ＋1x －a2的最小值为3＋2a .由题意可得3＋2a ≥7，得a ≥2. 答案：28．设a ，b ，c ∈R ＋，求证： (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥33a ＋b b ＋c c ＋a >0.1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c >0， ∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．9．已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)·(c ＋2)的最小值． 解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1) ≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.10．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式，得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac≥63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立；当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立，即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．1．绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边．②若a ，b 共线，当a 与b 同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 反向时，|a ＋b |<|a |＋|b |.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |. 当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ， 当点B 在点A ，C 之间时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |.当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在点A 或点C 上时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |； ②点B 不在点A ，C 上时，|a －c |<|a －b |＋|b －c |. 应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．已知|A －a |<3，|B －b |<3，|C －c |<3.求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .原式――→变形 重新分组――→定理 转化为|A －a |＋|B －b |＋|C －c |―→得出结论 |(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )| ＝|(A －a )＋(B －b )＋(C －c )| ≤|(A －a )＋(B －b )|＋|C －c | ≤|A －a |＋|B －b |＋|C －c |.因为|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3，所以|A －a |＋|B －b |＋|C －c |<s 3＋s 3＋s3＝s .所以|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．设a ，b 是满足ab <0的实数，则下列不等式中正确的是( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b ||D ．|a －b |<|a |＋|b |解析：选B ∵ab <0且|a －b |2＝a 2＋b 2－2ab ， ∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab <|a －b |2. ∴(|a |＋|b |)2＝a 2＋b 2＋2|ab |＝|a －b |2. 故A 、D 不正确；B 正确； 又由定理1的推广知C 不正确． 2．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －a |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.证明：|2x ＋3y －2a －3b |＝|2(x －a )＋3(y －b )|≤|2(x －a )|＋|3(y －b )|＝2|x －a |＋3|y －b |<2×ε4＋3×ε6＝ε.(1)(2)设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值． 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解． (1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4. ∴y max ＝4，y min ＝－4. 法二：把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4. ∴y max ＝4，y min ＝－4. (2)∵|x |≤1，|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x | ＝|a ||x 2－1|＋|x |≤|x 2－1|＋|x | ＝1－|x 2|＋|x |＝－|x |2＋|x |＋1 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54.∴|x |＝12时，|f (x )|取得最大值54.(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．(江西高考)x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________．解析：|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，|y |＋|y －1|≥|y －(y －1)|＝1， 所以|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≥2，当且仅当x ∈，y ∈时，|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|取得最小值2， 而已知|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2， 所以|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2， 此时x ∈，y ∈，所以x ＋y ∈． 答案：4．求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．解：∵|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，当且仅当(1－x )(1＋x )≥0，即－1≤x ≤1时取等号．∴当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|取得最小值2. 5．若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围． 解：由题意知a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立，∴a<min.∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴min＝－3.∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．课时跟踪检测(四)1．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是( )A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b>0时，右边等号成立；当a＋b<0时，左边等号成立解析：选B 当a，b异号且|a|>|b|时左边等号才成立，A不正确，显然B正确；当a ＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确，D显然不正确．2．不等式|a＋b||a|＋|b|<1成立的充要条件是( )A．a，b都不为零B．ab<0C．ab为非负数D．a，b中至少有一个不为零解析：选B 原不等式即为|a＋b|<|a|＋|b|⇔a2＋b2＋2ab<a2＋b2＋2|ab|⇔ab<0. 3．已知a，b，c∈R，且a>b>c，则有( )A．|a|>|b|>|c| B．|ab|>|bc|C．|a＋b|>|b＋c| D．|a－c|>|a－b|解析：选D ∵a，b，c∈R，且a>b>c，令a＝2，b＝1，c＝－6.∴|a|＝2，|b|＝1，|c|＝6，|b|<|a|<|c|，故排除A.又|ab|＝2，|bc|＝6，|ab|<|bc|，故排除B.又|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，|a＋b|<|b＋c|，排除C.而|a－c|＝|2－(－6)|＝8，|a－b|＝1，∴|a－c|>|a－b|.4．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )A．|a＋b|＋|a－b|>2B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2D．不可能比较大小解析：选B 当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.当(a ＋b )(a －b )<0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |<2. 5．不等式|x －1|－|x －2|<a 恒成立，则a 的取值范围为________． 解析：若使不等式|x －1|－|x －2|<a 恒成立，只需a >(|x －1|－|x －2|)max . 因为|x －1|－|x －2|≤|x －1－(x －2)|＝1， 故a >1.故a 的取值范围为(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)6．设a ，b ∈R ，|a －b |＞2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集是________． 解析：∵|x －a |＋|x －b |＝|a －x |＋|x －b |≥|(a －x )＋(x －b )|＝|a －b |＞2， ∴|x －a |＋|x －b |＞2对x ∈R 恒成立，故解集为(－∞，＋∞)． 答案：(－∞，＋∞) 7．下列四个不等式： ①log x 10＋lg x ≥2(x >1)； ②|a －b |<|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)； ④|x －1|＋|x －2|≥1.其中恒成立的是______(把你认为正确的序号都填上)． 解析：log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2，①正确；ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；∵ab ≠0时，b a 与a b同号，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④正确． 综上可知①③④正确． 答案：①③④8．已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. 由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1，即|x ＋5y |≤1.9．设f (x )＝x 2－x ＋b ，|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)． 证明：∵f (x )－f (a )＝x 2－x －a 2＋a ＝(x －a )(x ＋a －1)， |f (x )－f (a )|＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x－a||x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋2|a|＋1<2|a|＋2＝2(|a|＋1)，∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．10．设函数y＝|x－4|＋|x－3|.求：(1)y的最小值；(2)使y<a有解的a的取值范围；(3)使y≥a恒成立的a的最大值．解：(1)y＝|x－4|＋|x－3|＝|x－4|＋|3－x|≥|(x－4)＋(3－x)|＝1，∴y min＝1.(2)由(1)知y≥1，要使y<a有解，∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞)．(3)要使y≥a恒成立，只要y的最小值1≥a即可，∴a max＝1.。

第三讲柯西不等式与排序不等式3.3 排序不等式A级基础巩固一、选择题1．设a≥b＞0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是()A．P＞Q B．P≥QC．P＜Q D．P≤Q解析：因为a≥b＞0，所以a2≥b2＞0.因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)，则P≥Q.答案：B2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min 损失5 元，经合理安排损失最少为()A．420 元B．400 元C．450 元D．570 元解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．答案：A3．若A＝x21＋x22＋…＋x2n，B＝x1x2＋x2x3＋…＋x n－1x n＋x n x1，其中x1，x2，…，x n都是正数，则A与B的大小关系为()A ．A ＞BB ．A ＜BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：依序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n }的一个排列．依排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 22＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.答案：C4．设正实数a 1，a 2，a 3的任一排列为a 1′，a 2′，a 3′，则a 1a 1′＋a 2a 2′＋a 3a 3′的最小值为( ) A ．3B ．6C ．9D ．12 解析：设a 1≥a 2≥a 3＞0，则1a 3≥1a 2≥1a 1＞0， 由乱序和不小于反序和，知a 1a 1′＋a 2a 2′＋a 3a 3′≥a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＝3， 所以a 1a 1′＋a 2a 2′＋a 3a 3′的最小值为3. 答案：A5．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是( )A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．小于等于零解析：设a ≥b ≥c ＞0，所以a 3≥b 3≥c 3，根据排序原理，得a 3·a ＋b 3·b ＋c 3·c ≥a 3b ＋b 3c ＋c 3a .又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案：B二、填空题6．如图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．(填“≥”“≤”或“＝”)解析：阴影面积为a1b1＋a2b2，而空白面积为a1b2＋a2b1.根据顺序和≥反序和可知答案．答案：≥7．若c1，c2，c3是4，5，6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．解析：由排序不等式，顺序和最大，反序和最小．所以最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.答案：32288．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．解析：两组数2件、4件、5件与1 元、2 元、3 元的反序和S1＝2×3＋4×2＋5×1＝19(元)．顺序和S2＝2×1＋4×2＋5×3＝25(元)．根据排序原理可知至少花19 元，最多花25元．答案：19 25三、解答题9．设a 1，a 2，a 3为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，求a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2的最小值．解：不妨设a 3＞a 1＞a 2＞0，则1a 3＜1a 1＜1a 2， 所以a 1a 2＜a 2a 3＜a 3a 1.设乱序和S ＝a 1a 3a 3＋a 1a 2a 1＋a 3a 2a 2＝a 1＋a 2＋a 3＝1， 顺序和S ′＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2. 由排序不等式得a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3＝1， 所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2的最小值为1. 10．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：因为0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数， 所以0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.所以sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． B 级 能力提升1．已知实数a ≥b ≥c ≥0，且a 3＋b 3＋c 3＝3，则a b ＋b c ＋c a 的最大值是()A．1 B．2C．3 D. 3解析：因为a≥b≥c≥0，知a≥b≥c，由排序不等式，得a b＋b c＋c a≤a a＋b b＋c c.又(a a＋b b＋c c)2≤[(a a)2＋(b b)2＋(c c)2]·(1＋1＋1)＝3(a3＋b3＋c3)＝9，所以a a＋b b＋c c≤3.故a b＋b c＋c a≤3.答案：C2．若a＞0，b＞0且a＋b＝1，则b2a＋a2b的最小值是________．解析：不妨设a≥b＞0，则有a2≥b2，且1b≥1a.由排序不等式b2a＋a2b≥1a·a2＋1b·b2＝a＋b＝1，当且仅当a＝b＝12时，等号成立．所以b2a＋a2b的最小值为1.答案：13．设a1，a2，…，a n是1，2，…，n的一个排列．求证：12＋23＋…＋n－1n≤a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n.证明：设b1，b2，…，b n－1是a1，a2，…，a n－1的一个排列，且b1<b2<…<b n－1；c1，c2，…，c n－1是a2，a3，…，a n的一个排列，且c1<c2<…<c n－1，则1c1>1c2>…>1c n－1且b1≥1，b2≥2，…，b n－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，c n－1≤n，所以1c1≥12，1c2≥13，…，1c n－1≥1n，利用排序不等式，有a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n≥b1c1＋b2c2＋…＋b n－1c n－1≥12＋23＋…＋n－1n.所以原不等式得证．。

第一讲 不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.1 不等式的基本性质A 级 基础巩固一、选择题1．若m ＝2x 2＋2x ＋1，n ＝(x ＋1)2，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ＞nB ．m ≥nC ．m ＜nD ．m ≤n解析：因为m －n ＝ (2x 2＋2x ＋1)－(x ＋1)2＝2x 2＋2x ＋1－x 2－2x －1＝x 2≥0.所以m ≥n .答案：B2．若a ＜b ＜0，则下列不等式关系中不能成立的是( ) A.1a ＞1bB.1a －b ＞1a C ．|a |＞|b | D ．a 2＞b 2解析：取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b＝－1＜－12＝1a . 所以B 不成立．答案：B3．设a ， b ∈R ，若a ＋|b |＜0，则下列不等式中正确的是( )A ．a －b ＞0B ．a 3＋b 3＞0C ．a 2－b 2＜0D ．a ＋b ＜0解析：当b ≥0时，a ＋b ＜0，当b ＜0时，a －b ＜0，所以a ＋b ＜0， 故选D.答案：D4．(2015·浙江卷)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－2，b ＝3时，a ＋b ＞0，但ab ＜0；当a ＝－1，b ＝－2时，ab ＞0，但a ＋b ＜0.所以“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分又不必要条件．答案：D5．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：由a x ＜a y (0＜a ＜1)，可得x ＞y .又因为函数f (x )＝x 3在R 上递增，所以f (x )＞f (y )，即x 3＞y 3.答案：D二、填空题6．已知0＜a ＜1，则a ，1a，a 2的大小关系是________． 解析：因为a －1a ＝（a ＋1）（a －1）a＜0，所以a＜1a.又因为a－a2＝a(1－a)＞0，所以a＞a2，所以a2＜a＜1a.答案：a2＜a＜1 a7．若8＜x＜10，2＜y＜4，则xy的取值范围是________．解析：因为2＜y＜4，所以14＜1y＜12.又8＜x＜10，所以2＜xy＜5.答案：(2，5)8．设a＞0，b＞0，则b2a＋a2b与a＋b的大小关系是________．解析：b2a＋a2b－(a＋b)＝（a＋b）（a2－ab＋b2）ab－(a＋b)＝（a＋b）（a－b）2ab.因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，ab＞0，(a－b)2≥0.所以b2a＋a2b≥a＋b.答案：b2a＋a2b≥a＋b三、解答题9．判断下列各命题的真假，并阐明理由．(1)若a＜b，c＜0，则ca＜c b；(2)若ac－3＞bc－3，则a＞b；(3)若a ＞b ，且k ∈N *，则a k ＞b k ；(4)若a ＞b ，b ＞c ，则a －b ＞b －c .解：(1)因为a ＜b ，没有指出ab ＞0，故1a ＞1b不一定成立， 因此不一定推出c a ＜c b. 所以是假命题．(2)当c ＜0时，c －3＜0，有a ＜b .所以是假命题．(3)当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立．所以是假命题．(4)取a ＝2，b ＝0，c ＝－3满足a ＞b ，b ＞c 的条件，但是a －b ＝2＜b －c ＝3.所以是假命题．10．已知a ＞b ＞0，比较a b 与a ＋1b ＋1的大小． 解：a b －a ＋1b ＋1＝a （b ＋1）－b （a ＋1）b （b ＋1）＝a －b b （b ＋1）. 因为a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，b (b ＋1)＞0.所以a －b b （b ＋1）＞0. 所以a b ＞a ＋1b ＋1. B 级 能力提升1．若0＜x ＜y ＜1，则( )A ．3y ＜3xB ．log x 3＜log y 3C ．log 4x ＜log 4y D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫14y解析：因为函数y ＝log 4x 是增函数，0＜x ＜y ＜1，所以log 4x ＜log 4y .答案：C2．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d ＞c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d ＜b ＋c .试将a ，b ，c ，d 按照从小到大的顺序排列为__________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋d ＜b ＋c ⇒d －b ＜c －a ，a ＋b ＝c ＋d ⇒c －a ＝b －d ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧d －b ＜b －d ，a －c ＜c －a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧d ＜b ，a ＜c .又由d ＞c ，得a ＜c ＜d ＜b .答案：a ＜c ＜d ＜b3．已知c a ＞d b ，bc ＞ad ，求证：ab ＞0.证明：⎩⎨⎧c a ＞d b ，bc ＞ad ⇒⎩⎨⎧c a －d b ＞0，①bc －ad ＞0. ②又bc ＞ad ，则bc －ad ＞0.由②得bc －ad ＞0.故ab ＞0.。

第三讲本讲高效整合一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m,则直线n⊥平面β；④若点P到三角形三条边的距离相等，则点P在该三角形内部的射影是该三角形的内心．其中正确命题的个数为（)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①互相平行的两条直线在同一平面内的射影可能是同一条直线，①错；③只有当α⊥β时，此命题才成立,③错；②、④正确，故正确命题的个数为2个．答案: B2．下列说法不正确的是（)A．圆柱面的母线与轴线平行B．圆柱面的任一轴截面总是垂直于直截面（垂直于母线的截面)C．圆柱面被平面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜截面的夹角有关D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：A显然正确；轴截面总过轴线,因此轴截面与直截面垂直，∴B正确；由公式e＝cos φ知,C正确；短轴长实际上是圆柱面的直径，故D错．答案: D3．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：如图所示为截面的轴面，则AB＝8，SB＝6，SA＝10，则∠SBA＝错误!,cos∠ASB＝错误!，cos∠BSP＝cos 错误!∠ASB＝错误!＝错误!.∴cos∠SPB＝sin∠BSP＝错误!。

∴e＝错误!＝错误!。

答案: C4．已知平面上直线l的方向向量e＝错误!，点O（0，0)和A(1，－2）在l上的正射影分别是O′和A′,且错误!＝λe，则λ＝（)A．错误!B．－错误!C．2 D．－2解析：∵错误!＝（1,－2),∴错误!＝错误!·e＝错误!·e＝－2e,∴λ＝－2。

模块综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．下列有关坐标系的说法,错误的是( ）A．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆B．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小C．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程D．同一条曲线可以有不同的参数方程解析：直角坐标系是最基本的坐标系,在直角坐标系中，伸缩变形可以改变图形的形状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆；而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置;对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方程的，同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．答案：C2．把函数y＝错误!sin2x的图象经过________变化,可以得到函数y＝错误!sin x的图象．( ）A．横坐标缩短为原来的错误!倍，纵坐标伸长为原来的2倍B．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍C．横坐标缩短为原来的错误!倍，纵坐标缩短为原来的错误!倍D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的12解析： 本题主要考查直角坐标系的伸缩变换，根据变换的方法和步骤可知，把函数y ＝错误!sin2x 的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y ＝12sin x 的图象，再把纵坐标缩短为原来的错误!，得到y ＝错误!sin x 的图象．答案： D3．极坐标方程ρ＝2sin 错误!的图形是( )解析： ∵ρ＝2sin 错误!＝2sin θ·cos 错误!＋2cos θ·sin 错误!＝错误!(sin θ＋cos θ）,∴ρ2＝2ρsin θ＋错误!ρcos θ,∴x 2＋y 2＝2x ＋错误!y ,∴错误!2＋错误!2＝1，∴圆心错误!。

结合题中四个图形,可知选C 项．答案: C4．将参数方程错误!（θ为参数)化为普通方程为（）A．y＝x－2 B．y＝x＋2C．y＝x－2（2≤x≤3）D．y＝x＋2（0≤y≤1)解析：由错误!知x＝2＋y（2≤x≤3)所以y＝x－2 （2≤x≤3）．答案: C5．在极坐标系中,曲线ρ＝4sin错误!(ρ∈R)关于( ) A．直线θ＝错误!成轴对称B．直线θ＝3π4成轴对称C．点错误!成中心对称D．极点成中心对称解析: 将原方程变形为ρ＝4cos错误!，即ρ＝4cos错误!，该方程表示以错误!为圆心，以2为半径的圆，所以曲线关于直线θ＝错误!成轴对称．答案：B6．经过点M(1，5）且倾斜角为错误!的直线，以定点M到动点P 的位移t为参数的参数方程是（)A.错误!B．错误!C.错误!D．错误!解析：根据直线参数方程的定义，易得错误!，即错误!.答案：D7．x2＋y2＝1经过伸缩变换错误!，后所得图形的焦距（）A．4 B．2错误!C．2 5 D．6解析：变换后方程变为:错误!＋错误!＝1,故c2＝a2－b2＝9－4＝5,c＝错误!，所以焦距为2错误!.答案: C8．已知直线错误!（t为参数）与圆x2＋y2＝8相交于B、C两点，则|BC|的值为（)A．2错误!B．错误!C．7错误!D．错误!解析：错误!⇒错误!(t′为参数)．代入x2＋y2＝8，得t′2－3错误!t′－3＝0，∴｜BC|＝｜t′1－t′2｜＝错误!＝错误!＝错误!，故选B。

第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A.3 B. 5 C ．3D ．5解析：根据柯西不等式，知y ＝1·x －5＋2·6－x ≤12＋22·（x －5）2＋（6－x ）2＝ 5. 答案：B2．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为( )A ．24B ．30C ．36D ．48解析：(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝ ⎛x ·1x ＋y ·2y ＋z ·⎭⎪⎫3z 2＝36，所以1x ＋4y ＋9z ≥36.答案：C3．已知a，b＞0，且a＋b＝1，则(4a＋1＋4b＋1)2的最大值是()A．2 6 B. 6C．6 D．12解析：(4a＋1＋4b＋1)2＝(1·4a＋1＋1·4b＋1)2≤(12＋12)·(4a ＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12，当且仅当4a＋1＝4b＋1，即a＝b时等号成立．答案：D4．已知a1－b2＋b1－a2＝1，则以下成立的是()A．a2＋b2＞1 B．a2＋b2＝1C．a2＋b2＜1 D．a2b2＝1解析：由柯西不等式，得1＝a1－b2＋b1－a2≤a2＋（1－a2）·（1－b2）＋b2＝1，当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，所以ab＝1－a21－b2，即a2b2＝(1－a2)(1－b2)，于是a2＋b2＝1.答案：B5．已知a21＋a22＋…＋a2n＝1，x21＋x22＋…＋x2n＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋a n x n的最大值为()A．1 B．2C．－1 D．不确定解析：因为(a1x1＋a2x2＋…＋a n x n)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(x21＋x22＋…＋x2n)＝1×1＝1，当且仅当a i ＝kx i (i ＝1，2，…，n )时等号成立． 所以a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 答案：A 二、填空题6．函数y ＝x －1＋5－x 的最大值是________． 解析：因为(x －1＋5－x )2≤(1＋1)(x －1＋5－x )＝8， 当且仅当x －1＝5－x ，即x ＝3时，等号成立，所以x －1＋5－x ≤22，函数y 取得最大值2 2. 答案：227．已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________．解析：根据柯西不等式，x 2＋y 2＋z 2＝13(12＋12＋12)×(x 2＋y 2＋z 2)≥13(1·x ＋1·y ＋1·z )2＝13(x ＋y ＋z )2＝13，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．答案：138．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.答案：5 三、解答题9．已知m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝p ，求证：1m ＋1n ≥4p ，指出等号成立的条件．证明：根据柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ m ·1m＋ n ·1n 2＝4.于是1m ＋1n ≥4m ＋n ＝4p .当m ＝n ＝p2时等号成立．10．设x ＋y ＋z ＝1，求函数u ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值． 解：由x ＋y ＋z ＝12·2x ＋13·3y ＋1·z .根据柯西不等式，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＋13·3y ＋1·z 2≤ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋12·(2x 2＋3y 2＋z 2)＝116(2x 2＋3y 2＋z 2)，因此1＝(x＋y ＋z )2≤116(2x 2＋3y 2＋z 2)，所以u ＝2x 2＋3y 2＋z 2≥611，当且仅当2x ＝λ2，3y ＝λ3，z ＝λ时等号成立． 所以x ＝λ2，y ＝λ3，z ＝λ，代入x ＋y ＋z ＝1，得x ＝311，y ＝211，z ＝611时，等号成立．故函数u ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值是611.B 级 能力提升1．已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( )A.53，109，56B.2029，3029，4029C ．1，12，13D ．1，14，19解析：当且仅当x 2＝y 3＝z4时，取到最小值，所以联立⎩⎨⎧x 2＝y 3＝z 4，2x ＋3y ＋4z ＝10，可得x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029. 答案：B2．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是________． 解析：因为2x ＋5y ＝2x ·1＋5y ·1≤（2x ）2＋（5y ）2·12＋12＝1·2＝2， 所以2x ＋5y 的最大值为 2. 答案：23．已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1. (1)求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13；(2)求4x ＋4y ＋4z 2的最小值．(1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ·(y ＋2z ＋z ＋2x ＋x ＋2y )≥x y ＋2z ·y ＋2z ＋y z ＋2x ·z ＋2x ＋z x ＋2y·x ＋2y ＝1， 即3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥1，所以x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13.(2)解：由基本不等式，得4x＋4y＋4z 2≥334x ＋y ＋z 2， 因为x ＋y ＋z ＝1，所以x ＋y ＋z 2＝1－z ＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －122＋34≥34，故4x＋4y＋4z 2≥33434＝32，当且仅当x ＝y ＝14，z ＝12时等号成立，所以4x ＋4y ＋4z 2的最小值为3 2.。

复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．柯西不等式的易错点．在应用柯西不等式求最值时，易忽视等号成立的条件．2．排序不等式的易错点．不等式具有传递性，但并不是任意两个不等式比较大小都可以用传递性来解决的，由a＞m，b＞m，推出a＞b是错误的．专题一柯西不等式的应用柯西不等式主要有二维形式的柯西不等式(包括向量形式、三角形式)和一般形式的柯西不等式，不仅可以用来求最值，还可以用来证明不等式．[例❶] 已知实数x ，y ，z 满足x 2＋2y 2＋3z 2＝3，求u ＝x ＋2y ＋3z 的最小值和最大值．解：因为(x ＋2y ＋3z )2＝(x ·1＋2y ·2＋3z ·3)2≤[x 2＋(2y )2＋(3z )2]·[12＋(2)2＋(3)2]＝(x 2＋2y 2＋3z 2)(1＋2＋3)＝18.当且仅当x 1＝2y 2＝3z 3，即x ＝y ＝z 时，等号成立． 所以－32≤x ＋2y ＋3z ≤32，即u 的最小值为－32，最大值为3 2.归纳升华柯西不等式可以用来求最值和证明不等式，应用柯西不等式的关键在于构造两个适当的数组，并且要注意等号成立的条件．[变式训练] 设a ，b ，c ，d 为不全相等的正数．求证：1a ＋b ＋c ＋1b ＋c ＋d ＋1c ＋d ＋a ＋1d ＋a ＋b> 163（a ＋b ＋c ＋d ）. 解：记s ＝a ＋b ＋c ＋d ，则原不等式等价于s s －d ＋s s －a ＋s s －b ＋s s －c >163. 构造两组数s －d ，s －a ，s －b ，s －c ；1s －d ，1s －a ，1s －b ，1s －c，由柯西不等式得 [(s －d )2＋(s －a )2＋(s －b )2＋(s －c )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（s －d ）2＋1（s －a ）2＋1（s －b ）2＋1（s －c ）2≥(1＋1＋1＋1)2.即[4s －(a ＋b ＋c ＋d )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1s －d ＋1s －a ＋1s －b ＋1s －c ≥16， 于是s s －d ＋s s －a ＋s s －b ＋s s －c ≥163， 等号成立⇔s －d ＝s －a ＝s －b ＝s －c ⇔a ＝b ＝c ＝d .因题设a ，b ，c ，d 不全相等，故取不到等号，即1a ＋b ＋c ＋1b ＋c ＋d ＋1c ＋d ＋a ＋1d ＋a ＋b >163（a ＋b ＋c ＋d ）. 专题二 排序不等式的应用1．用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．2．注意等号成立的条件．[例❷] 在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c＜π2. 证明：不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C .由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ，aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ，aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3，① 又由0＜b ＋c －a ，0＜a ＋b －c ，0＜a ＋c －b ，有0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b )＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C )＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C )＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )．得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c＜π2.② 由①②得原不等式成立．归纳升华利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．[变式训练] 已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1的最小值． 解：不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ，则1x 1≥1x 2≥…≥1x n >0， 且0<x 21≤x 22≤…≤x 2n . 因为1x 2，1x 3，…，1x n ，1x 1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x i (i ＝1，2，3，…，n )的一个排列，根据排序不等式，得F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…x 2n －1x n ＋x 2n x 1≥x 21·1x 1＋x 22·1x 2＋…＋x 2n ·1x n＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)， 当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时等号成立，所以F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1的最小值为P . 专题三 转化与化归思想转化与化归思想是指在解决问题时，将问题通过变换使之化繁为简，化难为易的一种解决问题的思想．[例3] 求使lg(xy )≤lg a ·lg 2x ＋lg 2y 对大于1的任意x 与y 恒成立的a 的取值范围．解：因为lg 2x ＋lg 2y ＞0，且x ＞1，y ＞1，所以原不等式等价于lg a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg x ＋lg y lg 2x ＋lg 2y max . 令f (x ，y )＝lg x ＋lg y lg 2x ＋lg 2y ＝（lg x ＋lg y ）2lg 2x ＋lg 2y＝ 1＋2lg x lg y lg 2x ＋lg 2y(lg x ＞0，lg y ＞0)． 因为lg 2x ＋lg 2y ≥2lg x lg y ＞0，所以0＜2lg x lg y lg 2x ＋lg 2y ≤1， 所以1＜f (x ，y )≤2，即lg a ≥2，所以a ≥102.归纳升华解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题，通过观察、分析、类比、联想等，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说自己较熟悉的问题)，通过求解新问题，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称为“化归与转化的思想”．本讲常见的化归与转化的问题是通过换元或恒等变形把命题的表达形式化为柯西不等式或排序不等式的形式．[变式训练] 已知|x |≤1，|y |≤1，试求x 1－y 2＋y 1－x 2的最大值．解：由柯西不等式，得x 1－y 2＋y 1－x 2≤ x 2＋（1－x 2）2·y 2＋（1－y 2）2＝1，当且仅当xy ＝1－x 2·1－y 2，即x 2＋y 2＝1时，等号成立， 所以x1－y 2＋y 1－x 2的最大值为1.。

第四讲 数学归纳法证明不等式4.2 用数学归纳法证明不等式A 级 基础巩固一、选择题1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N)，第一步应验证( )A ．n ＝1B ．n ＝2C ．n ＝3D ．n ＝4解析：由题意n ≥3知应验证n ＝3.答案：C2．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n ，(n ∈N ＋，n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1解析：增加的项数为(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k ＋1－2k ＝2k .故选C. 答案：C3．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，观察上述结果，可推测出的一般结论为( )A．f(2n)＞2n＋12(n＞1，n∈N*)B．f(n2)＞n＋22(n＞1，n∈N*)C．f(2n)＞n＋22(n＞1，n∈N*)D．以上都不对解析：f(2)＝32，f(4)＝f(22)＞2＋22，f(8)＝f(23)＞3＋22，f(16)＝f(24)＞4＋22，f(32)＝f(25)＞5＋2 2，…，依此类推可知f(2n)＞n＋22(n＞1，n∈N*)．答案：C4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k＜5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析：由“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，因此，对于A，k＝1，2时不一定成立，对于B，C，显然错误．对于D，因为f(4)＝25＞42，因此对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．答案：D5．若不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＞m24对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为() A．12 B．13C．14 D．不存在解析：令f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，取n＝2，3，4，5等值发现f(n)是单调递减的，所以[f(n)]max＞m 24，所以由f(2)＞m24，求得m的值．故应选B.答案：B二、填空题6．用数学归纳法证明2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)时，第一步的验证为________．解析：当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．答案：21＋1≥12＋1＋27．在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C≥9π成立；在四边形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D≥162π成立；在五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立．猜想在n边形A1A2…A n中，类似成立的不等式为________．解析：由题中已知不等式可猜想：1A1＋1A2＋…＋1A n≥n2（n－2）π(n≥3且n∈N*)．答案：1A1＋1A2＋…＋1A n≥n2（n－2）π(n≥3且n∈N*)8．在应用数学归纳法证明“1＋122＋132＋…＋1（n＋1）2＜2n＋1n＋1(n ∈N *)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，不等式左边增加的项是________．解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾”，当n ＝k 时，尾项的分母为(k ＋1)2，n ＝k ＋1时尾项的分母为(k ＋2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，…，(n ＋1)这些数都是连续相差1时．因此，从n ＝k 到n ＝k＋1只增加了一项，即1（k ＋2）2(k ∈N ＋)． 答案：1（k ＋2）2 三、解答题9．设a 为有理数，x >－1.如果0<a <1，证明：(1＋x )a ≤1＋ax ，当且仅当x ＝0时等号成立．证明：0<a <1，令a ＝m n，1≤m <n ，其中m ，n 为正整数，则由平均值不等式，得(1＋x )a ＝(1＋x )m n≤m （1＋x ）＋（n －m ）n＝mx ＋n n＝1＋m nx ＝1＋ax ，当且仅当1＋x ＝1，即x ＝0时，等号成立．10．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，且a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)．证明：由f (x )＝13x 3－x ， 得f ′(x )＝x 2－1.因此a n ＋1≥f ′(a n ＋1)＝(a n ＋1)2－1＝a n (a n ＋2)，(1)当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，不等式成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即a k ≥2k －1，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k －1＋2)＝22k －1.又k ≥1，所以22k ≥2k ＋1，所以n ＝k ＋1时，a k ＋1≥2k ＋1－1，不等式成立．根据(1)和(2)知，对任意n ∈N ＋，a n ≥2n －1成立．B 级 能力提升1．对于正整数n ，下列不等式不正确的是( )A ．3n ≥1＋2nB ．0.9n ≥1－0.1nC ．0.9n ≤1－0.1nD ．0.1n ≤1－0.9n解析：排除法，取n ＝2，只有C 不成立．答案：C2．利用数学归纳法证明3×5×…×（2n －1）2×4×…×（2n －2）＜2n －1时，n 的最小取值n 0应为________．解析：n 0＝1时不成立，n 0＝2时，32＜3，再用数学归纳法证明，故n 0＝2.答案：23．函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4，5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x n ＋1<3；(2)求数列{x n }的通项公式．(1)证明：用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3. ①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为y －5＝f （2）－52－4(x －4)， 令y ＝0，解得x 2＝114，所以2≤x 1<x 2<3. ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3.直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f （x k ＋1）－5x k ＋1－4(x －4)， 令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1. 由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3； x k ＋2－x k ＋1＝（3－x k ＋1）（1＋x k ＋1）2＋x k ＋1>0， 即x k ＋1<x k ＋2.所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②知对任意的正整数n ，2≤x n <x n ＋1<3.(2)解：由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n 2＋x n. 设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n＋1， 1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14， 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列．因此1b n＋14＝－34·5n－1，即b n＝－43·5n－1＋1，所以数列{x n}的通项公式为x n＝3－43·5n－1＋1.。

评估验收卷(四)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是()A．若一个命题当n＝1，2时为真，则此命题为真命题B．若一个命题当n＝k时成立且推得n＝k＋1时也成立，则此命题为真命题C．若一个命题当n＝1，2时为真，则当n＝3时此命题也为真D．若一个命题当n＝1时为真，n＝k时为真能推得n＝k＋1时亦为真，则此命题为真命题解析：由数学归纳法定义可知，只有当n的初始取值成立且由n ＝k成立能推得n＝k＋1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可．A，B，C项均不全面．答案：D2．等式12＋22＋32＋…＋n2＝12(5n2－7n＋4)()A．n为任何正整数时都成立B．仅当n＝1, 2，3时成立C．当n＝4时成立，n＝5时不成立D．仅当n＝4时不成立解析：把n＝1，2，3，4，5代入验证可知B正确．答案：B3．用数学归纳法证明不等式1＋123＋133＋…＋1n 3＜2－1n (n ≥2，n∈N ＋)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋123＜2－12B ．1＋123＋133＜2－13C ．1＋123＜2－13D ．1＋123＋133＜2－14解析：因为n ≥2，所以第一步验证不等式应为n ＝2时1＋123＜2－12.答案：A4．用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1＞2n ＋12成立时，当n ＝2时验证的不等式是( )A ．1＋13＞52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15＞52C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15≥52D ．以上都不对解析：当n ＝2时，左边＝1＋12×2－1＝1＋13，右边＝2×2＋12＝52，所以1＋13＞52. 答案：A5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14解析：本题主要考查数列的概念．由n 到n 2一共有整数n 2－n ＋1个，所以f (n )有n 2－n ＋1项， 当n ＝2时代入得， f (2)＝12＋13＋14.故本题正确答案为D. 答案：D6．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N ＋)B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N ＋)C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N ＋)D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N ＋) 解析：n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设n 取第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1时正确，再推n 取第(k ＋1)个正奇数，即n ＝2k ＋1时正确．答案：B7．平面内原有k 条直线，它们的交点个数记为f (k )，则增加一条直线l 后，它们的交点个数最多为( )A ．f (k )＋1B ．f (k )＋kC ．f (k )＋k ＋1D ．k ·f (k )解析：第k ＋1条直线与前k 条直线都相交有交点，所以应比原先增加k 个交点．故应选B.答案：B8．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1×3×…·(2n －1)(n ∈N ＋)成立时，从k 到k ＋1左边需增乘的代数式是( )A.2k ＋1k ＋1 B ．2(2k ＋1) C ．2k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：要求左边从k 到k ＋1左边需增乘的代数式，可以先写出n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，再写出n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)，然后比较两式，得出需增乘（k ＋k ＋1）（k ＋k ＋2）k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：B9．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立解析：因为n 是正偶数，所以n ＝k 的下一个偶数是n ＝k ＋2.故选B.答案：B10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ·3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N ＋都成立，则a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c解析：因为等式对一切n ∈N ＋均成立， 所以n ＝1，2，3时等式成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3（a －b ）＋c ，1＋2×3＝32（2a －b ）＋c ，1＋2×3＋3×32＝33（3a －b ）＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝14，c ＝14.答案：A11．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N ＋)，且n ＞1时，不等式在n ＝k ＋1时的形式是( )A ．1＋12＋13＋…＋12k ＜k ＋1B ．1＋12＋13＋12k －1＋12k ＋1－1＜k ＋1C ．1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1－1＜k ＋1D ．1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－2＋12k ＋1－1＜k＋1解析：不等式左边的每一项的分母从1开始递增，当n ＝k 时不等式为1＋12＋13＋…＋12k －1＜k ，当n ＝k ＋1时，不等式的形式是1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－2＋12k ＋1－1＜k ＋1. 答案：D12．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈ N ＋，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6解析：f (1)＝36，f (2)＝108，n ≥3时f (n )＝9[(2n ＋7)3n －2＋1]，(2n ＋7)·3n －2＋1，当n ≥3时能被4整除，结合选项知C 正确．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若用数学归纳法证明：2n ＋1＞n 2＋n ＋2成立时，第一步应验证_______________________________________________________．答案：n 0＝3，24＞32＋3＋214．用数学归纳法证明命题：12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n －1n （n ＋1）2(n ∈N ＋)，(从“第k 步到k ＋1步”时，两边应同时加上________．答案：(－1)k (k ＋1)215．用数学归纳法证明“当n 是非负整数时，55n ＋1＋45n ＋2＋35n能被11整除”的第一步应写成：当n ＝___________时，55n ＋1＋45n ＋2＋35n ＝________＝________，能被11整除．解析：本题考查对运用数学归纳法证明整除问题的掌握情况，由于n 是非负整数，所以第一步应考虑n ＝0.答案：0 51＋42＋30 22 16．有以下四个命题： (1)2n ＞2n ＋1(n ≥3)；(2)2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ＋2(n ≥1)； (3)凸n 边形内角和为f (n )＝(n －1)π(n ≥3)； (4)凸n 边形对角线条数为f (n )＝n （n －2）2(n ≥4)．其中满足“假设n ＝k (k ∈N ＋，k ＞n 0)时命题成立，则当n ＝k ＋1时命题也成立”，但不满足“当n ＝n 0(n 0是题中给定的n 的初始值)时命题成立”的命题序号是____________________．解析：当n 取初始值时，经验证，(1)成立，(2)，(3)，(4)均不成立，故(1)不符合题意．假设n ＝k (k ∈N ＋，k ＞n 0)时命题成立，则当n ＝k ＋1时，经验证，(2)(3)成立，(4)不成立．所以(2)(3)正确．答案：(2)(3)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n （3n ＋1）2(n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝2，右边＝1×（3＋1）2＝2＝左边，等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k )＝k （3k ＋1）2.则当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)＋(k ＋3)＋…＋(k ＋k )＋(k ＋k ＋1)＋(k ＋k ＋2)＝[(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k )]＋3k ＋2＝k （3k ＋1）2＋3k＋2＝3k 2＋7k ＋42＝（k ＋1）（3k ＋4）2＝（k ＋1）[3（k ＋1）＋1]2，故n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)知对任意n ∈N ＋，等式成立．18．(本小题满分12分)用数学归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2＞1(n ∈N ＋，且n ＞1)．证明：(1)当n ＝2时，12＋13＋14＝1312＞1成立；(2)设当n ＝k (k ≥2)时， 1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＞1； 则当n ＝k ＋1时，1k ＋1＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋…＋1（k ＋1）2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1k ＋1k ＋1＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k ＞1＋2k ＋1（k ＋1）2－1k ＝1＋k 2－k －1k （k ＋1）2＝ 1＋（k －1）2＋k －2k （k ＋1）2＞1， 即当n ＝k ＋1时也成立．由(1)(2)知对任意n ＞1(n ∈N ＋)，原不等式成立．19．(本小题满分12分)求证：对于整数n ≥0时，11n ＋2＋122n ＋1能被133整除．证明：(1)n ＝0时，原式＝112＋12＝133能被133整除． (2)假设n ＝k (k ≥0，k ∈N)时，11k ＋2＋122k ＋1能被133整除，n ＝k ＋1时，原式＝11k ＋3＋122k ＋3＝11(11k ＋2＋122k ＋1)－11×122k＋1＋122k ＋3＝11(11k ＋2＋122k ＋1)＋122k ＋1·133也能被133整除．由(1)(2)可知，对于整数n ≥0，11n ＋2＋122n ＋1能被133整除． 20．(本小题满分12分)设{x n }是由x 1＝2，x n ＋1＝x n 2＋1x n(n ∈N ＋)定义的数列，求证：x n ＜2＋1n.证明：(1)当n ＝1时，x 1＝2＜2＋1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即x k ＜2＋1k ，那么，当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝x k 2＋1x k .由归纳假设，x k ＜2＋1k ，则x k2＜22＋12k ，1x k ＞12＋1k . 因为x k ＞2，所以1x k ＜22.所以x k ＋1＝x k 2＋1x k ＜22＋12k ＋22＝2＋12k ≤2＋1k ＋1.即x k ＋1＜2＋1k ＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式x n ＜2＋1n 成立．综上所述，得x n ＜2＋1n(n ∈N ＋)．21．(本小题满分12分)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n （n ＋1）的前n 项和记为S n . (1)求出S 1，S 2，S 3的值；(2)猜想出S n 的表达式；(3)用数学归纳法证明你的猜想．(1)解：a n ＝1n （n ＋1）， S 1＝a 1＝12； S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23； S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12＋16＋112＝34. (2)解：猜想：S n ＝n n ＋1(n ∈N ＋)． (3)证明：①当n ＝1时，S 1＝a 1＝12，右边＝12.等式成立． ②假设当n ＝k 时，S k ＝k k ＋1，则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝k k ＋1＋1（k ＋1）（k ＋2）＝（k ＋1）2（k ＋1）（k ＋2）＝k ＋1k ＋2＝ k ＋1（k ＋1）＋1.即当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②可得S n ＝n n ＋1(n ∈N ＋)． 22．(本小题满分12分)已知{a n }是等差数列，首项a 1＝3，前n 项和为S n .令c n ＝(－1)n S n (n ∈N ＋)，{c n }的前20项和T 20＝330.数列{b n }是公比为q 的等比数列，前n 项和为W n ，且b 1＝2，q 3＝a 9.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)证明：(3n ＋1)W n ≥nW n ＋1(n ∈N *)．(1)解：设等差数列的公差为d ，因为c n ＝(－1)n S n ，所以T 20＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4＋…＋S 20＝330，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝330，则10(3＋d )＋10×92×2d ＝330， 解得d ＝3，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n .所以q 3＝a 9＝27，q ＝3.所以b n ＝2·3n －1.(2)证明：由(1)知，W n ＝2（1－3n ）1－3＝3n －1， 要证(3n ＋1)W n ≥nW n ＋1，只需证(3n ＋1)(3n －1)≥n (3n ＋1－1)，即证3n ≥2n ＋1，当n ＝1时，3n ＝3n ＋1.下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，3n ≥2n ＋1，(1)当n ＝2时，左边＝9，右边＝5，左＞右，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2)，3k ＞2k ＋1，则n ＝k ＋1时，3k ＋1＝3·3k ＞3(2k ＋1)＝6k ＋3＞2(k ＋1)＋1， 所以n ＝k ＋1时不等式成立．根据(1)(2)可知，当n ≥2时，3n ＞2n ＋1，综合可知：3n≥2n＋1对于n∈N＋成立，所以(3n＋1)W n≥nW n＋1(n∈N＋)．。