2019届高三数学第二轮复习小题对点练7《立体几何》训练题含答案

2019年高考专题：立体几何试题1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．2．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD 的体积是 .【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．【解析】（1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且112ME B C =. 又因为N 为1A D 的中点，所以112ND A D =. 由题设知11=A B DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥. 又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE .（2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH.从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，由已知可得CE =1，C 1C =4，所以117C E =，故417CH =. 从而点C 到平面1C DE 的距离为1717. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故11B C BE ⊥．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（2）由（1）知∠BEB 1=90°. 由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故AE =AB =3，126AA AE ==. 作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==．所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=． 5．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的四边形ACGD 的面积.【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ．又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）取CG 的中点M ，连结EM ，DM.因为AB ∥DE ，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE ⊥CG .由已知，四边形BCGE 是菱形，且∠EBC =60°得EM ⊥CG ，故CG ⊥平面DEM ．因此DM ⊥CG ．在Rt △DEM 中，DE =1，EM =3，故DM =2．所以四边形ACGD 的面积为4．6．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（3）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥．又因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥．所以BD ⊥平面PAC ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE ．因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，且E 为CD 的中点，所以AE ⊥CD ．所以AB ⊥AE ．所以AE ⊥平面PAB ．所以平面PAB ⊥平面PAE ．（3）棱PB 上存在点F ，使得CF ∥平面PAE ．取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF ，FG ，EG ．则FG ∥AB ，且FG =12AB ．因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点， 所以CE ∥AB ，且CE =12AB ．所以FG ∥CE ，且FG =CE ． 所以四边形CEGF 为平行四边形．所以CF ∥EG ．因为CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ，所以CF ∥平面PAE ．7．【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,2,3PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ；（2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【解析】（1）连接BD ，易知ACBD H =，BH DH =.又由BG=PG ，故GH PD ∥.又因为GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以GH ∥平面P AD .（2）取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC ，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC 平面PCD PC =， 所以DN ⊥平面P AC ，又PA ⊂平面P AC ，故DN PA ⊥.又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD .（3）连接AN ，由（2）中DN ⊥平面P AC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面P AC 所成的角， 因为PCD △为等边三角形，CD =2且N 为PC 的中点， 所以3DN =.又DN AN ⊥，在Rt AND △中，3sin 3DN DAN AD ∠==. 所以，直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值为33. 8．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．【解析】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC−A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .9．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【解析】（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ． 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形．由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）． 不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E =23，EG =3.由于O 为A 1G 的中点，故11522A G EO OG ===， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35。

专题对点练257.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为()A.B.C.4D.32.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.23.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是()A.18B.6C.5D.44.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|为()A.4B.2C.4D.35.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()A.B.C.D.56.已知点P(x,y)是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是()A.B.C.2 D.27.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2C.D.28.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=19.已知离心率为的双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线C的实轴长是()A.32B.16C.8D.4二、填空题(共3小题,满分15分)10.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为.11.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为.12.(2018浙江,17)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求动点A的轨迹M的方程;(2)P为轨迹M上动点,△PBC的外接圆为☉O1(O1为圆心),当P在M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.14.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.15.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.专题对点练25答案1.A解析圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,圆心到直线x-3y+3=0的距离d=,故弦|AB|=2,故选A.2.A解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,解得a=-,故选A.3.B解析由x2+y2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,∴圆半径r=3.圆上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离分别是d+r,d-r,其两者之差即为圆的直径,故圆的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是6,故选B.4.A解析由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C(2,-1),r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),则2m-1-1=0,∴m=1,故点A(-2,1).∵|AC|=,|CB|=r=2,∴切线的长|AB|==4.5.C解析圆的内接四边形对角互补,因为x轴与y轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直.所以2×1+1×k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x+ky-3=0与坐标轴的交点为,(3,0),两直线的交点纵坐标为-,所以四边形的面积为×3××1×,故选C.6.C解析∵圆的方程为x2+(y-1)2=1,∴圆心C(0,1),半径r=1.根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P的距离最小时,即距离为圆心到直线l的距离最小时,切线长PA,PB最小.切线长为2,∴|PA|=|PB|=2,∴圆心到直线l的距离为d=.直线方程为y+4=kx,即kx-y-4=0,∴,解得k=±2,∵k>0,∴所求直线的斜率为2.故选C.7.D解析∵双曲线C的离心率为,∴e=,即c=a,∴a=b.∴其渐近线方程为y=±x,故(4,0)到C的渐近线的距离d==2.8.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得∴双曲线的方程为x2-=1.故选D.9.B解析设F2(c,0),双曲线C一条渐近线方程为y=x,可得|F2M|==b.∵OM⊥MF2,∴|OM|==a,由=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且,解得a=8,即有双曲线的实轴长为16.故选B.10.(x+1)2+(y-)2=1解析∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),则C(-1,b),A(0,b).∵∠FAC=120°,∴k AF=tan 120°=-,直线AF的方程为y=-x+.∵点A在直线AF上,∴b=.则圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.11.2解析因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=±x的距离为=b,所以b= c.因为a2=c2-b2=c2-c2=c2,所以a=c,e=2.12.5解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(0,1),∴=(-x1,1-y1),=(x2,y2-1).∵=2,∴即又=m,∴+(3-2y2)2=m,即+4-12y2+9=m.又=m,∴4m-12y2+9=m,即12y2=3m+9,4y2=m+3.∴=m,即=4m,即=-m-.∴当m=5时,的最大值为4,即点B横坐标的绝对值最大.13.解(1)根据题意知,动点A满足椭圆的定义,设椭圆的方程=1(a>b>0且y≠0),所以,有|F1F2|=|BC|=2c=2,|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4,且a2=b2+c2,解得a=2,b=,所以,动点A的轨迹M满足的方程为=1(y≠0).(2)设P(x0,y0),不妨设0<y0≤,线段PB的垂直平分线方程为y-=-,线段BC的垂直平分线方程为x=0,两条垂线方程联立求得y=.因为=1,所以y=,所以☉O1的圆心O1到x轴的距离d=.又知y=在(0,)内是单调递减函数,所以当y0=时,y min=,所以d min=.14.解(1)设F(c,0),由条件知,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ=.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时,等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.15.解(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.②由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为=1.由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为=1.。

1 【精品】2019届高三数学年复习专题--立体几何专题训练附参考答案一、解答题 1.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，E 、F 分别为棱AB 、PC 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求三棱锥B-EFC 的体积； （3）求二面角P-EC-D 的正切值．2.如图，三棱柱ABF-DCE 中，∠ABC=120°，BC=2CD ，AD=AF ，AF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：BD ⊥EC ；（Ⅱ）若AB=1，求四棱锥B-ADEF 的体积．3.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，AA 1=2，E 为棱CC 1的中点． （1）求证：B 1D 1⊥AE ；（2）求三棱锥A-BDE 的体积．4.如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是边长为2的等边三角形，PC= ，M 在PC 上，且PA ∥面MBD ． （1）求证：M 是PC 的中点； （2）求多面体PABMD 的体积．25.已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，△PAB 是等边三角形，AB=2，PC= ，AB 的中点为E.（1）证明：PE ⊥平面ABCD ； （2）求三棱锥D-PBC 的体积．6.一块边长为10cm 的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．（1）试把容器的容积V 表示为x 的函数.（2）若x =6，求图2的主视图的面积.7.如图，矩形ABCD 中，BC=2，AB=1，PA ⊥平面ABCD ，BE ∥PA ，BE=PA ，F 为PA 的中点．（1）求证：PC ∥平面BDF ．（2）记四棱锥C-PABE 的体积为V 1，三棱锥P-ACD 的体积为V 2，求的值．8.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=2，AB=2 ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD ；（Ⅱ）求锐二面角D-A 1C-E 的余弦值．9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E、F分别为AB和PC的中点，连接EF、BF．（1）求证：直线EF∥平面PAD；（2）求三棱锥F-PBE的体积．10.如图，梯形FDCG，DC∥FG，过点D，C作DA⊥FG，CB⊥FG，垂足分别为A，B，且DA=AB=2．现将△DAF沿DA，△CBG沿CB翻折，使得点F，G重合，记为E，且点B在面AEC的射影在线段EC上．（Ⅰ）求证：AE⊥EB；（Ⅱ）设=λ，是否存在λ，使二面角B-AC-E的余弦值为？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．11.在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E-BD-A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB 上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．12.如图，四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=．（Ⅰ）求证：PD⊥面ABCD；（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．3413.如图在三棱锥A-BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD= ，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形. （1）求证：AD ⊥BC ；（2）求二面角B-AC-D 的余弦值； （3）点E 在直线AC 上，当直线ED 与平面BCD 成30°角若时，求点C 到平面BDE 的距离．14.如图所示，在边长为 的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．15.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M 为PC 的中点，点N 在线段AD 上．（I ）点N 为线段AD 的中点时，求证：直线PA ∥BMN ； （II ）若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为，求平面PBC 与平面BMN 所成角θ的余弦值．16.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，求证： （1）AC 1⊥BD ；（2）AC 1∥平面BDE ．17.如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， （1）求证：AC ⊥平面B 1D 1DB ； （2）求三棱锥B-CD 1B 1的体积．18.在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC（2）求证：PB⊥AC．19.如图，已知平面ADC∥平面A1B1C1，B为线段AD的中点，△ABC≈△A1B1C1，四边形ABB1A1为正方形，平面AA1C1C丄平面ADB1A1，A1C1=A1A，∠C1A1A=，M为棱A1C1的中点．（I）若N为线段DC1上的点，且直线MN∥平面ADB1A1，试确定点N的位置；（Ⅱ）求平面MAD与平面CC1D所成的锐二面角的余弦值．20.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1的中点，E为BC的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDC1；（2）若三棱柱 ABC-A1B1C1是正三棱柱，AB=2，AA1=4，求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值．21.如图所示，已知长方体ABCD中，AB=4，AD=2，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；（2）若点E为线段DB的中点，求点E到平面DMC的距离．5622.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． （1）若正方体的棱长为1，求三棱锥B 1-A 1BE 的体积；（2）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥面A 1BE ？若存在，试确定点F 的位置，并证明你的结论．23.如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC=CA=AA 1=2，∠CAA 1=60°．（1）求证：AC 1⊥A 1B ；（2）求直线A 1B 与平面BAC 1所成角的正弦值．24.在图所示的几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD=AD=2EC=2，N 为线段PB 的中点． （1）证明：NE ⊥平面PBD ； （2）求四棱锥B-CEPD 的体积．25.已知梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE=x ．沿EF 将梯形AEFD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图）．G 是BC 的中点．（1）当x =2时，求证：BD ⊥EG ；（2）当x 变化时，求三棱锥D-BCF 体积的最大值．26.如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=16，BC=10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E=D 1F=4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．727.在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，底面ABFE 为直角梯形，∠ABF 为直角， ，，平面ABCD ⊥平面ABFE ． （1）求证：DB ⊥EC ；（2）若AE=AB ，求二面角C-EF-B 的余弦值．28.如图，四棱锥P-ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB ． （1）求证：CD ⊥AP ； （2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ．29.如图所示，四棱锥P-ABCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M 为PC 的中点，PC= ．（Ⅰ）求证：PC ⊥AD ；（Ⅱ）求三棱锥M-PAB 的体积．30.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=2，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD 且PO=6，M 为BD的中点．（1）证明：AD ⊥平面PAC ； （2）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．31.如图，多面体EF-ABCD 中，ABCD 是正方形，AC 、BD 相交于O ，EF ∥AC ，点E 在AC 上的射影恰好是线段AO 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）若直线AE 与平面ABCD 所成的角为60°，求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值．32.如图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠BCA=90°，且BC=CA=2，PC=PA ．（1）求证：PA ⊥BC ；8 （2）当PC 的值为多少时，满足PA ⊥平面PBC ？并求出此时该三棱锥P-ABC 的体积．33.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1=AB ，AB ⊥BC ，且N 是A 1B 的中点．（1）求证：直线AN ⊥平面A 1BC ；（2）若M 在线段BC 1上，且MN ∥平面A 1B 1C 1，求证：M 是BC 1的中点．34.．如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，点P 为DD 1的中点． （1）求证：直线BD 1∥平面PAC （2）求证：平面PAC ⊥平面BDD 1B 1．35.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD= ． （1）求证：平面MQB ⊥平面PAD ； （2）若二面角M-BQ-C 大小的为60°，求QM 的长．36.如 图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 、G 分别为 AB 、BB 1、B 1C 1 的中点． （1）求证：A 1D ⊥FG ；（2）求二面角 A 1-DE-A 的正切值．37.四棱锥P-ABCD 的直观图与三视图如图，PC ⊥面ABCD（1）画出四棱锥P-ABCD 的侧视图（标注长度） （2）求三棱锥A-PBD的9 体积．38.如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，点P 为棱DD 1上一点．（1）求证：平面PAC ⊥平面BDD 1B 1；（2）若P 是棱DD 1的中点，求CP 与平面BDD 1B 1所成的角大小．39.如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= ，∠ACB=90°，M 是线段PD 上的一点（不包括端点）．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角D-PC-A 的正切值； （Ⅲ）试确定点M 的位置，使直线MA 与平面PCD 所成角θ的正弦值为．40.已知四棱锥P-ABCD 中，AD=2BC ，且AD ∥BC ，点M ，N 分别是PB ，PD 中点，平面MNC 交PA 于Q ． （1）证明：NC ∥平面PAB（2）试确定Q 点的位置，并证明你的结论．41.一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体10 积．42.如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）证明：BD ⊥CE ．43.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、G 、H 分别是BC 、C 1D 1、AA 1、的中点．（Ⅰ）求异面直线D 1H 与A 1B 所成角的余弦值（Ⅱ）求证：EG ∥平面BB 1D 1D ．44.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB=AD=AP=2CD=2，M 是棱PB 上一点． （Ⅰ）若BM=2MP ，求证：PD ∥平面MAC ； （Ⅱ）若平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角B-AC-M 的余弦值为，求 的值．45.如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA 1=4点D 是AB 的中点． （1）求证：AC 1∥平面B 1DC ；11 （2）求三棱锥A 1-B 1CD 的体积．46.如图，以正四棱锥V-ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz ，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ，E 为VC 中点，正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有cos ＜， ＞=-． （1）求的值；（2）求二面角B-VC-D 的余弦值．47.如图1，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD=1，BC=2，E 为CD 上一点，F 为BE 的中点，且DE=1，EC=2，现将梯形沿BE 折叠（如图2），使平面BCE ⊥ABED ．（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）能否在边AB 上找到一点P （端点除外）使平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值为？若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．48.如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥侧面ABB 1A 1，∠B 1A 1A=∠C 1A 1A=60°，AA 1=AC=4，AB=1． （Ⅰ）求证：A 1B 1⊥B 1C 1；（Ⅱ）求三棱锥ABC-A 1B 1C 1的侧面积．49.在四棱锥中P-ABCD ，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA=PD=AD 、E 、F ，分别为PC 、BD 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若AB=2，求三棱锥E-DFC 的体积．1250.如图，四棱锥P-ABCD 中，△PAD 为正三角形，AB ∥CD ，AB=2CD ，∠BAD=90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB 的中点 （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（Ⅱ）若直线PC 与平面PAD 所成角为45°，求二面角A-DE-C 的余弦值．51.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△AED ，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于P ．（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BFDE ； （Ⅱ）求四棱锥P-BFDE 的体积．【答案】1.（1）证明：取PD 中点G ，连结GF 、AG ，∵GF 为△PDC 的中位线，∴GF ∥CD 且， 又AE ∥CD 且，∴GF ∥AE 且GF=AE ，13 ∴EFGA 是平行四边形，则EF ∥AG ， 又EF ⊄面PAD ，AG ⊂面PAD ， ∴EF ∥面PAD ；（2）解：取AD 中点O ，连结PO ，∵面PAD ⊥面ABCD ，△PAD 为正三角形，∴PO ⊥面ABCD ，且 ， 又PC 为面ABCD 斜线，F 为PC 中点，∴F 到面ABCD 距离，故；（3）解：连OB 交CE 于M ，可得R t △EBC ≌R t △OAB ， ∴∠MEB=∠AOB ，则∠MEB+∠MBE=90°，即OM ⊥EC ．连PM ，又由（2）知PO ⊥EC ，可得EC ⊥平面POM ，则PM ⊥EC ， 即∠PMO 是二面角P-EC-D 的平面角，在R t △EBC 中，，∴， ∴，即二面角P-EC-D的正切值为．2.（Ⅰ）证明：三棱柱ABF-DCE 中，AF ⊥平面ABCD ．∴DE ∥AF ，ED ⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥BD ， 又ABCD 是平行四边形，∠ABC=120°，故∠BCD=60°． ∵BC=2CD ，故∠BDC=90°．故BD ⊥CD ． ∵ED∩CD=D ，∴BD ⊥平面ECD ． ∵EC ⊂平面ECD ， ∴BD ⊥EC ；（Ⅱ）解：由BC=2CD ，可得AD=2AB ，∵AB=1，∴AD=2，作BH ⊥AD于H ，∵AF ⊥平面ABCD ，∴BH ⊥平面ADEF ，又∠ABC=120°， ∴BH=，∴．3.解：（1）证明：连接BD ，则BD ∥B 1D 1， ∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ． ∵CE ⊥面ABCD ， ∴CE ⊥BD ． 又AC∩CE=C ， ∴BD ⊥面ACE ． ∵AE ⊂面ACE ， ∴BD ⊥AE ，∴B 1D 1⊥AE ．-----------（6分）（2）S △ABD =2 △．-----------（12分） 4.证明：（1）连AC 交BD 于E ，连ME ．14∵ABCD 是矩形，∴E 是AC 中点．又PA ∥面MBD ，且ME 是面PAC 与面MDB 的交线， ∴PA ∥ME ，∴M 是PC 的中点． 解：（2）取AD 中点O ，连OC ．则PO ⊥AD ， 由平面PAD ⊥底面ABCD ，得PO ⊥面ABCD ，∴ ， ，∴ ， ∴ ， ，∴．5.证明：（1）由题可知PE ⊥AB ，CE ⊥AB ． ∵AB=2，∴PE=CE= ．又∵PC= ，∴PE 2+EC 2=PC 2， ∴∠PEC=90°，即PE ⊥CE ． 又∵AB ，CE ⊂平面ABCD ， ∴PE ⊥平面ABCD ；解：（2）S △BCD =×22×sin 120°= ，PE= ． 由（1）知：PE ⊥平面ABCD ，V P-BCD =•S △BCD •PE=1．∵V D-PBC =V P-BCD ，∴三棱锥D-PBC 的体积为1． 6.解：（1）设所截等腰三角形的底边边长为x cm ． 在R t △EOF 中，EF=5cm ，OF=x cm ，所以EO=． 于是V=x 2（cm 3）．依题意函数的定义域为{x |0＜x ＜10}．（2）主视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长=AB=6，底边上的高为四棱锥的高=EO==4，S==12（cm 2）7.（1）证明：连结BF ，连接BD 交AC 与点O ，连OF ， 依题得O 为AC 中点，又F 为PA 的中点， 所以OF 为△PAC 中位线，所以OF ∥PC因为OF ⊂平面BDF ，PC ⊄平面BDF 所以PC ∥平面BDF ． ∴V 1=梯形 =（2）解：设BE=a ，则PA=2BE=2a ， V 2=△ =（a +2a ）×1×2=a ． =． ∴．8.解：（Ⅰ）连结AC 1，交A 1C 于点O ，连结DO ，则O 为AC 1的中点，因为D 为AB 的中点，所以OD ∥BC 1，又因为OD ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，∴BC 1∥平面A 1CD…（4分） （Ⅱ）由 ， ，可知AC ⊥BC ，以C 为坐标原点，方向为x 轴正方向， 方向为y轴正。

专题对点练24圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=-1相切.(1)求圆心M的轨迹方程;(2)动直线l过点P(0,-2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.2.已知椭圆Γ:+y2=1(a>1)与圆E:x2+=4相交于A,B两点,且|AB|=2,圆E交y轴负半轴于点D.(1)求椭圆Γ的离心率;(2)过点D的直线交椭圆Γ于M,N两点,点N与点N'关于y轴对称,求证:直线MN'过定点,并求该定点坐标.3.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,圆C:x2+y2-2ax+a2-4=0,直线l与抛物线E交于A,B两点,与圆C切于点P.(1)当切点P的坐标为时,求直线l及圆C的方程;(2)当a=2时,证明:|FA|+|FB|-|AB|是定值,并求出该定值.4.设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(a∈R),已知当a=1时,动圆N过点M且与直线x=-1相切,记动圆N的圆心N的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)当a>2时,若直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)(y0>0),且l与以定点M为圆心的动圆M也相切,当动圆M的面积最小时,证明:M,P两点的横坐标之差为定值.5.已知椭圆M:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.(1)求椭圆M的方程;(2)若圆N:x2+y2=r2上斜率为k的切线l与椭圆M相交于P,Q两点,OP与OQ能否垂直?若能垂直,请求出相应的r的值;若不能垂直,请说明理由.6.已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且△AOB的面积为.(1)求椭圆的方程;(2)直线y=2上是否存在点Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.专题对点练24答案1.(1)解∵动点M到直线y=-1的距离等于到定点C(0,1)的距离,∴动点M的轨迹为抛物线,且=1,解得p=2,∴动点M的轨迹方程为x2=4y.(2)证明由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x2,y2).联立化为x2-4kx+8=0,Δ=16k2-32>0,解得k>或k<-.∴x1+x2=4k,x1x2=8.直线AC的方程为y-y2=-(x+x2),又y1=kx1-2,y2=kx2-2,∴4k-4k(kx2-2)=(kx1-kx2)x+kx1x2-k,化为4y=(x1-x2)x+x2(4k-x2),∵x1=4k-x2,∴4y=(x1-x2)x+8,令x=0,则y=2,∴直线AC恒过一定点(0,2).2.(1)解由题意得A,B两点关于y轴对称,设x B=,则圆心E到AB的距离为1,∴y B=,∴B,代入椭圆方程得=1,解得a2=4,∴e=.(2)证明设M(x1,y1),N(x2,y2),N'(-x2,y2).圆E交y轴负半轴于点D,当直线MN斜率存在时,设其方程为y=kx-消去y得(1+4k2)x2-4kx-3=0.∴x1+x2=,x1x2=,直线MN'的方程y-y1=(x-x1),依据椭圆的对称性,若直线MN'过定点,定点一定在y轴上,令x=0,y=y1-=-2.当直线MN斜率不存在时,直线MN'的方程为x=0,显然过点(0,-2).综上,直线MN'过定点(0,-2).3.(1)解由圆(x-a)2+y2=4,则圆心(a,0),半径为2,将P代入圆方程,解得a=2或a=-,∴圆的方程为(x-2)2+y2=4或+y2=4,当a=2,圆心C(2,0),则直线CP的斜率k==-,由直线l的斜率为-,则直线l的方程y-,整理得4y-3x-4=0;当a=-,圆心C,则直线CP的斜率k=,由直线l的斜率为-=-,则直线l的方程y-=-,整理得20y+15x-44=0,综上可知,直线l方程为4y-3x-4=0,圆C的方程为(x-2)2+y2=4,或直线l方程为20y+15x-44=0,圆C的方程为+y2=4;(2)证明当a=2时,圆C的方程(x-2)2+y2=4,当l垂直于x轴时,则x=4,A(4,4),B(4,-4),∴|FA|=|FB|=5,|AB|=8,∴|FA|+|FB|-|AB|=2;当l不垂直于x轴时,设直线l:y=kx+b(k≠0),直线l与圆C相切,则=2,则4kb+b2=4,结合图象知kb<b(图略).则整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,由Δ=(2kb-4)2-4k2b2=-16kb+4(4kb+b2)=4b2>0,x1+x2=-,x1x2=,|AB|=====,由抛物线的性质可知|FA|+|FB|=x1+x2+p=x1+x2+2,∴|FA|+|FB|=-+2,∴|FA|+|FB|-|AB|=-+2-=2,∴|FA|+|FB|-|AB|是定值,定值为2.4.(1)解因为圆N与直线x=-1相切,所以点N到直线x=-1的距离等于圆N的半径, 所以点N到点M(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等.所以点N的轨迹为以点M(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,所以圆心N的轨迹方程,即曲线C的方程为y2=4x.(2)证明由题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-y0=k(x-x0),由得y2-y-kx0+y0=0,又=4x0,所以y2-y-+y0=0.因为直线l与曲线C相切,所以Δ=1-k=0,解得k=.所以直线l的方程为4x-2y0y+=0.动圆M的半径即为点M(a,0)到直线l的距离d=.当动圆M的面积最小时,即d最小,而当a>2时,d=≥2.当且仅当=4a-8,即x0=a-2时取等号,所以当动圆M的面积最小时,a-x0=2,即当动圆M的面积最小时,M,P两点的横坐标之差为定值.5.解(1)依题意椭圆M:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.得c=,e=,可得a=2,则b=1,故椭圆的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m,∵直线l与圆x2+y2=1相切,∴=r,即m2=r2(k2+1).①由可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=64k2-16m2+16>0,∴m2<4k2+1,可得r2<4.令P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,若OP与OQ能垂直,则=x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,(1+k2)+m2=0,整理得5m2-4(k2+1)=0,把①代入得(k2+1)(5r2-4)=0,∴r=,满足r2<4,∴OP与OQ能垂直.6.解(1)∵椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且△AOB的面积为,∴c, ab=,∴a=2,b=,∴椭圆方程为=1.(2)假设直线y=2上存在点Q满足题意,设Q(m,2),当m=±2时,从点Q所引的两条切线不垂直.当m≠±2时,设过点Q向椭圆所引的切线的斜率为k,则l的方程为y=k(x-m)+2,代入椭圆方程,消去y,整理得(1+2k2)x2-4k(mk-2)x+2(mk-2)2-4=0,∵Δ=16k2(mk-2)2-4(1+2k2)[2(mk-2)2-4]=0,∴(m2-4)k2-4mk+2=0.设两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是方程(m2-4)k2-4mk+2=0的两个根,∴k1k2==-1,解得m=±,点Q坐标为(,2)或(-,2).∴直线y=2上两点(,2),(-,2)满足题意.When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your moments of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face;And bending down beside the glowing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。

专题对点练16空间中的平行与几何体的体积1.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,∠B1BA=,M,N分别为A1C1与B1C的中点,且侧面ABB1A1⊥底面ABC.(1)证明:MN∥平面ABB1A1;(2)求三棱柱B1-ABC的高及体积.2.(2018全国Ⅲ,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.3.(2018广西名校联盟)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥PC,CA=CB,M是AB的中点.点N在棱PC上,点D是BN 的中点.求证:(1)MD∥平面PAC;(2)平面ABN⊥平面PMC.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,E是BC的中点.(1)求证:AE∥平面PCD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥平面ABC,且D,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点F 在棱AB上,且AF=AB.(1)求证:EF∥平面BDC1;(2)求三棱锥D-BEC1的体积.6.如图,正方形ABCD的边长等于2,平面ABCD⊥平面ABEF,AF∥BE,BE=2AF=2,EF=.(1)求证:AC∥平面DEF;(2)求三棱锥C-DEF的体积.7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,点M是棱CC1的中点.(1)在棱AB上是否存在一点N,使MN∥平面AB1C1?若存在,请确定点N的位置.若不存在,请说明理由;(2)当△ABC是等边三角形,且AC=CC1=2时,求点M到平面AB1C1的距离.8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,∠BCC1=,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1的中点.(1)求证:DB1⊥平面ABD;(2)求点A1到平面ADB1的距离.专题对点练16答案1.(1)证明取AC的中点P,连接PN,PM.∵在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为A1C1与B1C的中点,∴PN∥AB1,PM∥AA1.∵PM∩PN=P,AB1∩AA1=A,PM,PN⊂平面PMN,AB1,AA1⊂平面AB1A1,∴平面PMN∥平面AB1A1.∵MN⊂平面PMN,∴MN∥平面ABB1A1.(2)解设O为AB的中点,连接B1O,由题意知△B1BA是正三角形,则B1O⊥AB.∵侧面ABB1A1⊥底面ABC,且交线为AB,∴B1O⊥平面ABC,∴三棱柱B1-ABC的高B1O=AB1=.∵S△ABC=×2×2×sin60°=,∴三棱柱B1-ABC的体积V=S△ABC·B1O==1.2.解(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MC∥OP.MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.3.证明(1)在△ABN中,M是AB的中点,D是BN的中点,所以MD∥AN.又因为AN⊂平面PAC,MD⊄平面PAC,所以MD∥平面PAC.(2)在△ABC中,CA=CB,M是AB的中点,所以AB⊥MC.又因为AB⊥PC,PC⊂平面PMC,MC⊂平面PMC,PC∩MC=C,所以AB⊥平面PMC.又因为AB⊂平面ABN,所以平面ABN⊥平面PMC.4.(1)证明∵∠ABC=∠BAD=90°,∴AD∥BC.∵BC=2AD,E是BC的中点,∴AD=CE,∴四边形ADCE是平行四边形,∴AE∥CD.又AE⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AE∥平面PCD.(2)解连接DE,BD,设AE∩BD=O,连接OP,则四边形ABED是正方形,∴O为BD的中点.∵△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,∴BD=2,OB=,OA=,PA=PB=2,∴OP⊥OB,OP=,∴OP2+OA2=PA2,即OP⊥OA.又OA⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,OA∩OB=O,∴OP⊥平面ABCD.∴V P-ABCD=S梯形ABCD·OP=×(2+4)×2×=2.5.(1)证明取AB的中点O,连接A1O.∵AF=AB,∴F为AO的中点.又E为AA1的中点,∴EF∥A1O.∵A1D=A1B1,BO=AB,AB A1B1,∴A1D BO,∴四边形A1DBO为平行四边形,∴A1O∥BD,∴EF∥BD.又EF⊄平面BDC1,BD⊂平面BDC1,∴EF∥平面BDC1.(2)解∵AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D.∵A1C1=B1C1=A1B1=2,D为A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1,C1D=.又AA1⊂平面AA1B1B,A1B1⊂平面AA1B1B,AA1∩A1B1=A1,∴C1D⊥平面AA1B1B.∵AB=AA1=2,D,E分别为A1B1,AA1的中点,∴S△BDE=22-×1×2-×1×2-×1×1=.∴S△BDE·C1D=.6.(1)证明连接BD,记AC∩BD=O,取DE的中点G,连接OG,FG.∵点O,G分别是BD和ED的中点,∴OG BE.又AF BE,∴OG AF,∴四边形AOGF是平行四边形,∴AO∥FG,即AC∥FG.又AC⊄平面DEF,FG⊂平面DEF,∴AC∥平面DEF.(2)解在四边形ABEF中,过F作FH∥AB交BE于点H.由已知条件知,在梯形ABEF中,AB=FH=2,EF=,EH=1,则FH2=EF2+EH2,即FE⊥EB,从而FE⊥AF.∵AC∥平面DEF,∴点C与点A到平面DEF的距离相等,∴V C-DEF=V A-DEF.∵DA⊥AB,∴DA⊥平面ABEF,又S△AEF=AF·EF=×1×.∴三棱锥C-DEF的体积V C-DEF=V A-DEF=V D-AEF=S△AEF·AD=×2=.7.解(1)在棱AB上存在中点N,使MN∥平面AB1C1,证明如下:设BB1的中点为D,连接DM,NM,ND,因为点M,N,D是CC1,AB,BB1的中点,所以ND∥AB1,DM∥B1C1,所以ND∥平面AB1C1,DM∥平面AB1C1.又ND∩DM=D,所以平面NDM∥平面AB1C1.因为MN⊂平面NDM,所以MN∥平面AB1C1.(2)因为MN∥平面AB1C1,所以点M到平面AB1C1的距离与点N到平面AB1C1的距离相等.又点N为AB的中点,所以点N到平面AB1C1的距离等于点B到平面AB1C1的距离的一半.因为AA1⊥平面ABC,所以AB1=AC1=2,所以△AB1C1的底边B1C1上的高为.设点B到平面AB1C1的距离为h,则由,得×2××2××h,可得h=,即点M到平面AB1C1的距离为.8.(1)证明在四边形BCC1B1中,∵BC=CD=DC1=1,∠BCD=,∴BD=1.∵B1D=,BB1=2,∴B1D⊥BD.∵AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥DB1,∴DB1⊥平面ABD.(2)解对于四面体A1ADB1,A1到直线DB1的距离即为A1到平面BB1C1C的距离,A1到DB1的距离为2.设A1到平面ADB1的距离为h,△ADB1为直角三角形,AD·DB1=,∴×h=h.∵×2×2=2,D到平面AA1B1的距离为,∴×2×.∵,∴,解得h=.∴点A1到平面ADB1的距离为.。

第3讲 立体几何中的计算 课时训练1. 已知正四棱锥底面边长为42，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为________．答案：5解析：由正四棱锥底面边长为42，则底面正方形对角线的一半长为4，再由体积公式得四棱锥的高为3，则此四棱锥的侧棱长为5.2. (2017·镇江期末)若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为________．答案：6π解析：因为圆锥的母线长为l ＝22＋（5）2＝3，所以其侧面积为π×2×3＝6π.3. (2017·常州期末)以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．答案：2∶2解析：如图，由题意可得圆柱的侧面积为S 1＝2πrh ＝2πr 2.圆锥的母线l ＝h 2＋r 2＝2r ，故圆锥的侧面积为S 2＝12×2πr ×l ＝2πr 2，所以S 2∶S 1＝2∶2.4. (2018·启东调研)高为63的正四面体的表面积为________．答案：3解析：由正四面体的高为63，得正四面体的棱长为1，表面积为4×34＝3.5. (2017·南通一调)如图，在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，则三棱锥D 1­A 1BD 的体积为________cm 3.答案：32解析：VD 1A 1BD ＝VBA 1DD 1＝13×3×12×3×1＝32(cm 3)．6. 将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，则r 1＋r 2＋r 3＝________．答案：5解析：三个圆锥的底面周长分别为53π，103π，5π，则它们的半径r 1，r 2，r 3依次为56，53，52，则r 1＋r 2＋r 3＝5. 7. 已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为60π cm 2，则此圆锥的体积为________cm 3. 答案：96π解析：设圆锥的底面半径为r ，侧面积＝12×母线长×底面圆周长＝60π，得r ＝6 cm ，此圆锥的高为8 cm ，则此圆锥的体积为13×36π×8＝96π(cm 3)．8. (2018·南通中学练习)如图，在正三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中，若各条棱长均为2，且M 为A 1C 1的中点，则三棱锥M ­ AB 1C 的体积是________．答案：233解析：在正三棱柱中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，则AA 1⊥B 1M .因为B 1M 是正三角形的中线，所以B 1M ⊥A 1C 1.所以B 1M ⊥平面ACC 1A 1，则VMAB 1C ＝VB 1ACM ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×AC ×AA 1×B 1M ＝13×12×2×2×3＝233.9. (2018·常熟期中)已知正三棱锥的体积为9 3 cm 3，高为3 cm ，则它的侧面积为________cm 2.答案：183解析：设正三棱锥底面三角形的边长为a ，则V ＝13×34a 2×3＝93，a ＝6(cm),底面等边三角形的高为32×6＝33(cm)，底面中心到一边的距离为13×33＝3(cm)，侧面的斜高为32＋（3）2＝23(cm), S 侧＝3×12×6×23＝183(cm 2)．10. (2018·南通一调)如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为9 3 cm 2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm.(不计损耗)答案：210解析：由题意，六角螺帽毛坯体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积，即V 正六棱柱－V圆柱＝(S 正六边形－S 圆)h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6×34×42－93×4＝603(cm 3)，因为正三棱柱的体积与六角螺帽毛坯的体积相等，设正三棱柱的底面边长为a ，所以34a 2·6＝603，解得a ＝210(cm)．11. 已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S ，求其内接正四棱柱的体积． 解：设等边圆柱的底面半径为r ，则高h ＝2r . 因为S ＝S 侧＋2S 底＝2πrh ＋2πr 2＝6πr 2， 所以r ＝S6π， 所以内接正四棱柱的底面边长a ＝2r sin45°＝2r ，所以V ＝S 底·h ＝(2r )2·2r ＝4r 3＝S 6πS9π2.12. 如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACFE 为平行四边形，BD 与AC 相交于点G ，AB ＝BD ＝2，AE ＝3，∠EAD ＝∠EAB .(1) 求证：平面ACFE ⊥平面ABCD ；(2) 若∠EAG ＝60°，求三棱锥F ­ BDE 的体积．(1) 证明：连结EG . ∵ 四边形ABCD 为菱形， ∴ AD ＝AB ，BD ⊥AC ，DG ＝GB . 在△EAD 和△EAB 中，AD ＝AB ，AE ＝AE ，∠EAD ＝∠EAB ，∴ △EAD ≌△EAB ， ∴ ED ＝EB ，∴ BD ⊥EG . ∵ BD ⊥AC ，AC ∩EG ＝G ， ∴ BD ⊥平面ACFE . ∵ BD ⊂平面ABCD ， ∴ 平面ACFE ⊥平面ABCD .(2) 解：连结FG ，∵ BD ⊥平面ACFE ，FG ⊂平面ACFE ，∴ FG ⊥BD . 在△EAG 中，AE ＝AG ＝3，且∠EAG ＝60°， ∴ △EAG 为正三角形， ∴ ∠EGA ＝60°. 在△FCG 中，CG ＝FC ＝3，∠GCF ＝120°， ∴ ∠FGC ＝30°，∴ ∠EGF ＝90°，即FG ⊥EG . 又BD ∩EG ＝G ， ∴ FG ⊥平面BDE ，∴ 点F 到平面BDE 的距离为FG ＝3. ∵ S △BDE ＝12×BD ·EG＝12×2×3＝3，∴ 三棱锥FBDE 的体积为13×3×3＝3.13. 在矩形ABCD 中，将△ABC 沿其对角线AC 折起来得到△AB 1C ，且顶点B 1在平面ACD 上的射影O 恰好落在边AD 上，如图所示．(1) 求证：AB 1⊥平面B 1CD ； (2) 若AB ＝1，BC ＝3，求三棱锥B 1­ABC 的体积．(1) 证明：因为B 1O ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以B 1O ⊥CD . 又CD ⊥AD ，AD ∩B 1O ＝O ， 所以CD ⊥平面AB 1D .因为AB 1⊂平面AB 1D ，所以AB 1⊥CD . 因为AB 1⊥B 1C ，且B 1C ∩CD ＝C ， 所以AB 1⊥平面B 1CD .(2) 解：因为AB 1⊥平面B 1CD ，B 1D ⊂平面B 1CD ， 所以AB 1⊥B 1D . 在Rt △AB 1D 中，B 1D ＝AD 2－AB 21＝2. 由B 1O ·AD ＝AB 1·B 1D ， 得B 1O ＝AB 1·B 1D AD＝63，所以VB 1ABC ＝13S △ABC ·B 1O ＝13×12×1×3×63＝26.。

1.立体几何1.(2018·江苏省金陵中学月考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，点M在棱PD上，AM⊥PD，点N是棱PC的中点，求证：(1) MN∥平面PAB；(2) AM⊥平面PCD.证明(1)因为在△PAD中，AP＝AD，AM⊥PD，所以点M是棱PD的中点.又点N是棱PC的中点，所以MN是△PDC的中位线，所以MN∥DC.因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，所以MN∥AB.又AB⊂平面PAB, MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因为平面PAD⊥平面ABCD, CD⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.因为PD⊥AM，CD⊥AM, CD∩PD＝D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD.2.已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝60°，DC＝1，AD＝3，PB＝PC，且M，N分别为BC，PA的中点.(1)求证：DN∥平面PBC；(2)求证：MN⊥BC.证明 (1)取PB 的中点E ，连结NE ，CE ，AC ，因为ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ， ∠ABC ＝60°，DC ＝1，AD ＝3， 易得AC ＝CB ＝AB ＝2. 又N 为PA 的中点， 所以NE ∥CD 且NE ＝CD ， 所以四边形CDNE 是平行四边形， 所以DN ∥CE .又CE ⊂平面PBC ，DN ⊄平面PBC ， 所以DN ∥平面PBC . (2)连结AM ，PM . 因为PB ＝PC ， 所以PM ⊥BC ， 因为AC ＝AB ， 所以AM ⊥BC ，又AM ∩PM ＝M ，AM ，PM ⊂平面PAM ， 所以BC ⊥平面PAM . 因为MN ⊂平面APM ， 所以MN ⊥BC .3.(2018·扬州市邗江区模拟)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，AB ＝2EF ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点.(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB .证明 (1)设AC 与BD 的交点为G ，连结GE ，GH ，如图，以H 为坐标原点，分别以HB →，GH →，HF →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，令BH ＝1，则A (1，－2,0)，B (1,0,0)，C (－1,0,0)，D (－1，－2,0)，E (0，－1,1)，F (0,0,1)，G (0，－1,0)，∴GE →＝(0,0,1),又∵HF →＝(0,0,1)，∴GE →∥HF →，GE ⊂平面EDB ，HF ⊄平面EDB ，∴FH ∥平面EDB .(2)∵AC →＝(－2,2,0)，GE →＝(0,0,1)， ∴AC →·GE →＝0， ∴AC ⊥GE .又AC ⊥BD ，且GE ⊂平面EDB ，BD ⊂平面EDB ，GE ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB . 4.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别为棱A 1C 1和AB 的中点. (1)求证：MN ∥平面BCC 1B 1；(2)若平面ACC 1A 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1B 1＝B 1C 1，求证：平面B 1MN ⊥平面ACC 1A 1.证明 (1)方法一 如图，设BC 的中点为H ，连结NH ，HC 1. 在△ABC 中，因为N 为AB 的中点，所以NH ∥AC ，且NH ＝12AC ，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，M 为A 1C 1的中点， 所以MC 1∥AC ，且MC 1＝12AC ，所以NH ∥MC 1，且NH ＝MC 1，所以四边形MC 1HN 为平行四边形，所以MN ∥C 1H ， 又MN ⊄平面BCC 1B 1，C 1H ⊂平面BCC 1B 1， 所以MN ∥平面BCC 1B 1.方法二如图2，在侧面ACC1A1中，连结AM并延长交直线CC1于点Q，连结BQ.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥CC1，所以AMMQ＝A1MMC1，因为M为A1C1的中点，所以M为AQ的中点.又因为N为AB中点，所以MN∥BQ，又MN⊄平面BCC1B1，BQ⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1.方法三如图3，取A1B1的中点O，连结OM，ON. 在△A1B1C1中，因为O，M分别为A1B1，A1C1的中点，所以OM∥B1C1. 因为OM⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以OM∥平面BCC1B1.在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB且A1B1＝AB，又因为O，N分别为A1B1，AB的中点，所以OB1∥NB，OB1＝NB，所以四边形OB1BN为平行四边形，所以ON∥B1B，又ON⊄平面BCC1B1，B1B⊂平面BCC1B1，所以ON∥平面BCC1B1.因为OM∥平面BCC1B1，ON∥平面BCC1B1，OM∩ON＝O，OM⊂平面OMN，ON⊂平面OMN，所以平面OMN∥平面BCC1B1，又MN⊂平面OMN，所以MN∥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝B1C1, M为A1C1的中点，所以B1M⊥A1C1，因为平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，平面ACC1A1∩平面A1B1C1＝A1C1，B1M⊂平面A1B1C1，所以B1M⊥平面ACC1A1，又B1M⊂平面B1MN，所以平面B1MN⊥平面ACC1A1.5.如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.(1)若弧BC的中点为D，求证：AC∥平面POD；(2)如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.(1)证明方法一设BC∩OD＝E，∵D 是弧BC 的中点， ∴E 是BC 的中点. 又∵O 是AB 的中点， ∴AC ∥OE .又∵AC ⊄平面POD ，OE ⊂平面POD ， ∴AC ∥平面POD .方法二 ∵AB 是底面圆的直径， ∴AC ⊥BC .∵弧BC 的中点为D ， ∴OD ⊥BC . 又AC ，OD 共面， ∴AC ∥OD .又AC ⊄平面POD ，OD ⊂平面POD ， ∴AC ∥平面POD .(2)解 设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线长为l ， ∵圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形， ∴h ＝r ，l ＝2r .由S △PAB ＝12×2r ×h ＝r 2＝9，得r ＝3，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝πr ×2r ＋πr 2＝9(1＋2)π.6.已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 为正方形，顶点S 在底面ABCD 上的射影为其中心O ，高为3，设E ，F 分别为AB ，SC 的中点，且SE ＝2，M 为CD 边上的点.(1)求证：EF ∥平面SAD ；(2)试确定点M 的位置，使得平面EFM ⊥底面ABCD .(1)证明 取SB 的中点P ，连结PF ，PE .∵F 为SC 的中点，∴PF ∥BC ，又底面ABCD 为正方形， ∴BC ∥AD ，即PF ∥AD ，又PE ∥SA ，PE ∩PF ＝P ，SA ∩AD ＝A ， ∴平面PFE ∥平面SAD . ∵EF ⊂平面PFE ， ∴EF ∥平面SAD .(2)解 连结AC ，AC 的中点即为点O ，连结SO ， 由题意知SO ⊥平面ABCD ，取OC 的中点H ，连结FH ，则FH ∥SO ， ∴FH ⊥平面ABCD ，∴平面EFH ⊥平面ABCD ，连结EH 并延长， 则EH 与DC 的交点即为M 点. 连结OE ，由题意知SO ＝3，SE ＝2. ∴OE ＝1，AB ＝2，AE ＝1，∴MC AE ＝HC HA ＝13， ∴MC ＝13AE ＝16CD ，即点M 在CD 边上靠近C 点距离为16的位置.合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

第3讲 空间角[考情考向分析] 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，热点为异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求解，向量法作为传统几何法的补充，为考生答题提供新的工具．热点一 异面直线所成的角(1)几何法：按定义作出异面直线所成的角(即找平行线)，解三角形．(2)向量法：设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．设l ，m 的夹角为θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22.例1 (1)(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15B.56C.55D.22 答案 C解析 方法一 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的一侧补上一个相同的长方体A ′B ′BA －A 1′B 1′B 1A 1.连接B 1B ′，由长方体性质可知，B 1B ′∥AD 1，所以∠DB 1B ′为异面直线AD 1与DB 1所成的角或其补角．连接DB ′，由题意，得DB ′＝12＋(1＋1)2＝5，B ′B 1＝12＋(3)2＝2，DB 1＝12＋12＋(3)2＝ 5.在△DB ′B 1中，由余弦定理，得DB ′2＝B ′B 21＋DB 21－2B ′B 1·DB 1·cos ∠DB 1B ′， 即5＝4＋5－2×25cos ∠DB 1B ′，∴cos ∠DB 1B ′＝55.故选C.方法二 如图，以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz .由题意，得A (1,0,0)，D (0,0,0)， D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)， ∴AD 1→＝(－1,0，3)， DB 1→＝(1,1，3)，∴AD 1→·DB 1→＝－1×1＋0×1＋(3)2＝2， |AD 1→|＝2，|DB 1→|＝5，∴cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55.故选C.(2)(2018·浙江省杭州二中月考)已知异面直线a ，b 所成的角为50°，过空间一定点P 最多可作n 条直线与直线a ，b 均成θ角，则下列判断不正确的是( ) A ．当θ＝65°时，n ＝3 B ．当n ＝1时，θ只能为25° C ．当θ＝30°时，n ＝2 D ．当θ＝75°时，n ＝4答案 B解析 将空间直线平移，异面直线的夹角不变，则可将异面直线a ，b 平移到同一平面α内，使得点P 为平移后的直线a ′，b ′的交点，则当0°≤θ<25°时，n ＝0；当θ＝25°时，n ＝1，此时该直线为直线a ′，b ′所成锐角的角平分线所在的直线；当25°<θ<65°时，n ＝2，此时这两条直线在平面α内的投影为直线a ′，b ′所成锐角的角平分线所在的直线；当θ＝65°时，n ＝3，此时其中两条直线在平面α内的投影为直线a ′，b ′所成锐角的角平分线所在的直线，另一条直线为直线a ′，b ′所成钝角的角平分线所在的直线；当65°<θ<90°时，n ＝4，此时其中两条直线在平面α内的投影为直线a ′，b ′所成锐角的角平分线所在的直线，另外两条直线在平面α内的投影为直线a ′，b ′所成钝角的角平分线所在的直线；当θ＝90°时，n ＝1，此时直线为过点P 且与平面α垂直的直线．综上所述，B 选项的说法错误，故选B. 思维升华 (1)运用几何法求异面直线所成的角一般是按找—证—求的步骤进行． (2) 两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|.跟踪演练1 (2018·浙江省衢州二中模拟)如图，已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，O 为BC 的中点，动点P 在线段OB 上(不含端点)，记∠APC ＝θ，现将△APC 沿AP 折起至△APC ′，记异面直线BC ′与AP 所成的角为α，则下列结论一定成立的是( )A ．θ>αB ．θ<αC ．θ＋α>π2D ．θ＋α<π2答案 A解析 设PC →＝λBC →，则cos θ＝|P A →·PC →||P A →||PC →|＝|P A →·λBC →||P A →||λBC →|＝|P A →·BC →||P A →||BC →|＝|P A →·(BP →＋PC →)||P A →|·(|BP →|＋|PC →|)，因为cos α＝|P A →·BC ′→||P A →||BC ′→|＝|P A →·(BP →＋PC ′→)||P A →||BC ′→|，且P A →·PC →＝P A →·PC ′→，|BP →|＋|PC →|＝|BP →|＋|PC ′→|>|BC ′→|， 所以cos θ<cos α，又θ，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ>α，故选A. 热点二 直线与平面所成的角(1)几何法：按定义作出直线与平面所成的角(即找到斜线在平面内的投影)，解三角形． (2)向量法：设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为μ＝(a 2，b 2，c 2)，设直线l 与平面α的夹角为θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2，则sin θ＝|a ·μ||a ||μ|＝|cos 〈a ，μ〉|. 例2 (2018·浙江省名校协作体联考)在如图所示的几何体中，平面DAE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，四边形DCFE 为菱形．已知AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，CD ＝12AB ＝1.(1)线段AC 上是否存在一点N ，使得AE ∥平面FDN ？证明你的结论；(2)若线段FC 在平面ABCD 上的投影长度为12，求直线AC 与平面ADF 所成角的正弦值．解 (1)在线段AC 上存在点N ，使得AE ∥平面FDN ，且N 是AC 的中点．如图，取AC 的中点N ，连接NF ，DN ，连接EC 交DF 于点O ，连接ON . ∵四边形CDEF 为菱形， ∴O 为EC 的中点．在△ACE 中，由中位线定理可得ON ∥AE .∵ON ⊂平面FDN ，AE ⊄平面FDN ，∴AE ∥平面FDN ，∴在线段AC 上存在点N ，使得AE ∥平面FDN ，且N 是AC 的中点． (2)方法一 ∵DE ∥CF ，∴DE 在平面ABCD 上的投影长度为12，过点E 作EO ⊥AD 于点O ，∵平面DAE ⊥平面ABCD ，且平面DAE ∩平面ABCD ＝AD ，EO ⊂平面DAE ， ∴EO ⊥平面ABCD ，则OD ＝12，∵在等腰梯形ABCD 中，由已知易得AD ＝BC ＝1，∴点O 为线段AD 的中点． 设点C 到平面FDA 的距离为h ， ∵V C －FDA ＝V F －ADC ， ∴h ·S △FDA ＝EO ·S △ADC ， 易知S △ADC ＝34，EO ＝32， 取AB 的中点M ，连接CM ，取CM 的中点P ，连接AP ，DP ，FP ，OP .∵O ，P 分别为AD ，MC 的中点，AM ∥DC ∥EF ，且AM ＝DC ＝EF ，∴OP ∥EF 且OP ＝EF ， ∴四边形OPFE 为平行四边形，∴OE ∥FP ，OE ＝FP ， ∴FP ⊥平面ABCD . 易求得AP ＝72，DP ＝FP ＝32， ∴AF ＝102，DF ＝62， ∴DF 2＋AD 2＝AF 2，∴△ADF 为直角三角形， ∴S △FDA ＝64.∴h ＝EO ·S △ADC S △FDA ＝32×3464＝64.设直线AC 与平面FDA 所成的角为θ， 在△ADC 中，易得AC ＝3，则sin θ＝h AC ＝24.方法二 ∵DE ∥CF ，∴DE 在平面ABCD 上的投影长度为12，过点E 作EO ⊥AD 于点O ，∵平面DAE ⊥平面ABCD ，且平面DAE ∩平面ABCD ＝AD ，EO ⊂平面DAE . ∴EO ⊥平面ABCD ，则OD ＝12，。

中档大题规范练——立体几何与空间向量1． 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r)2·3r －43πr 3＝53πr 3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ， 从而容器内水的体积是V′＝13π·(33h)2·h＝19πh 3， 由V ＝V′，得h ＝315r.即容器中水的深度为315r.2． 如图1所示，正三角形ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．现将△ABC 沿CD 翻折，翻折后平面ACD⊥平面BCD(如图2)．求三棱锥C —DEF 的体积．图1 图2解 过点E 作EM⊥DC 于点M ，因为平面ACD⊥平面BCD ，平面ACD∩平面BCD ＝CD ，而EM ⊂平面ACD ，所以EM⊥平面BCD.即EM 是三棱锥E —CDF 的高．又CD⊥BD，AD⊥CD，F 为BC 的中点，所以S △CDF ＝12S △BCD ＝12×12CD×BD ＝14×2－a 2×a＝34a 2， 因为E 为AC 的中点，EM⊥CD，所以EM ＝12AD ＝12a. 所以三棱锥C —DEF 的体积为V C —DEF ＝V E —CDF ＝13S △CDF ×EM＝13×34a 2×12a ＝324a 3. 3． 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB ＝2EF ，∠BFC＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH∥平面EDB ；(2)求证：AC⊥平面EDB.证明 (1)设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点．如图，连接EG 、GH ，又H 为BC 的中点，∴GH 綊12AB. 又EF 綊12AB ，∴EF 綊GH. ∴四边形EFHG 为平行四边形．∴EG∥FH.又∵EG ⊂平面EDB ，FH ⊄平面EDB ，∴FH∥平面EDB.(2)由四边形ABCD 为正方形，得AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.又∵EF⊥FB，BC∩FB＝B ，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G ，∴AC⊥平面EDB.4． 如图所示，已知三棱锥A －BPC 中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC ；(2)求证：平面ABC⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积．(1)证明 由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD∥AP.又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故MD∥平面APC.(2)证明 因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P ，所以AP⊥平面PBC.因为BC ⊂平面PBC ，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A ，所以BC⊥平面APC.因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC⊥平面APC.(3)解 由题意，可知MD⊥平面PBC ，所以MD 是三棱锥D －BCM 的一条高，所以V D －BCM ＝V M －DBC ＝13×S △BCD ×MD ＝13×221×53＝107.5． 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.证明 (1)以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，∵E，F 分别是PC ，PD 的中点， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12， EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，PB →＝(1,0，－1)，PD →＝(0,2，－1)，AP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)，DC →＝(1,0,0)，AB →＝(1,0,0)．∵EF →＝－12AB →，∴EF →∥AB →，即EF∥AB， 又AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，∴EF∥平面PAB.(2)∵AP →·DC →＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD →·DC →＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴AP →⊥DC →，AD →⊥DC →，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A ，∴DC⊥平面PAD.∵DC ⊂平面PDC ，∴平面PAD⊥平面PDC.6． 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC ；(2)若二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值． (1)证明 ∵PC⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC⊥PC，∵AB＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC＝BC ＝2，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC⊥BC，又BC∩PC＝C ，∴AC⊥平面PBC ，∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC⊥平面PBC.(2)解 如图，以C 为原点，DA →、CD →、CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)， A(1,1,0)，B(1，－1,0)．设P(0,0，a)(a ＞0)，则E 12，－12，a 2， CA →＝(1,1,0)，CP →＝(0,0，a)，CE →＝12，－12，a 2， 设m ＝(b ，p ，m)为面PAC 的法向量，则m·CA →＝m·CP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋p ＝0am ＝0，取m ＝(1，－1,0)， 设n ＝(x ，y ，z)为面EAC 的法向量，则n·CA →＝n·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y ＋az ＝0，取x ＝a ，y ＝－a ，z ＝－2， 则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n||m||n|＝a a 2＋2＝63，则a ＝2. 于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1,1，－2)．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n||PA →||n|＝23， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23.。

中档大题规范练——立体几何与空间向量1． 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r)2·3r －43πr 3＝53πr 3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ， 从而容器内水的体积是V′＝13π·(33h)2·h＝19πh 3， 由V ＝V′，得h ＝315r.即容器中水的深度为315r.2． 如图1所示，正三角形ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．现将△ABC 沿CD 翻折，翻折后平面ACD⊥平面BCD(如图2)．求三棱锥C —DEF 的体积．图1 图2解 过点E 作EM⊥DC 于点M ，因为平面ACD⊥平面BCD ，平面ACD∩平面BCD ＝CD ，而EM ⊂平面ACD ，所以EM⊥平面BCD.即EM 是三棱锥E —CDF 的高．又CD⊥BD，AD⊥CD，F 为BC 的中点，所以S △CDF ＝12S △BCD ＝12×12CD×BD ＝14×2－a 2×a＝34a 2， 因为E 为AC 的中点，EM⊥CD，所以EM ＝12AD ＝12a. 所以三棱锥C —DEF 的体积为V C —DEF ＝V E —CDF ＝13S △CDF ×EM＝13×34a 2×12a ＝324a 3. 3． 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB ＝2EF ，∠BFC＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH∥平面EDB ；(2)求证：AC⊥平面EDB.证明 (1)设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点．如图，连接EG 、GH ，又H 为BC 的中点，∴GH 綊12AB. 又EF 綊12AB ，∴EF 綊GH. ∴四边形EFHG 为平行四边形．∴EG∥FH.又∵EG ⊂平面EDB ，FH ⊄平面EDB ，∴FH∥平面EDB.(2)由四边形ABCD 为正方形，得AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.又∵EF⊥FB，BC∩FB＝B ，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G ，∴AC⊥平面EDB.4． 如图所示，已知三棱锥A －BPC 中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC ；(2)求证：平面ABC⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积．(1)证明 由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD∥AP.又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故MD∥平面APC.(2)证明 因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P ，所以AP⊥平面PBC.因为BC ⊂平面PBC ，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A ，所以BC⊥平面APC.因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC⊥平面APC.(3)解 由题意，可知MD⊥平面PBC ，所以MD 是三棱锥D －BCM 的一条高，所以V D －BCM ＝V M －DBC ＝13×S △BCD ×MD ＝13×221×53＝107.5． 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.证明 (1)以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，∵E，F 分别是PC ，PD 的中点， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12， EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，PB →＝(1,0，－1)，PD →＝(0,2，－1)，AP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)，DC →＝(1,0,0)，AB →＝(1,0,0)．∵EF →＝－12AB →，∴EF →∥AB →，即EF∥AB， 又AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，∴EF∥平面PAB.(2)∵AP →·DC →＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD →·DC →＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴AP →⊥DC →，AD →⊥DC →，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A ，∴DC⊥平面PAD.∵DC ⊂平面PDC ，∴平面PAD⊥平面PDC.6． 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC ；(2)若二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值． (1)证明 ∵PC⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC⊥PC，∵AB＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC＝BC ＝2，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC⊥BC，又BC∩PC＝C ，∴AC⊥平面PBC ，∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC⊥平面PBC.(2)解 如图，以C 为原点，DA →、CD →、CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)， A(1,1,0)，B(1，－1,0)．设P(0,0，a)(a ＞0)，则E 12，－12，a 2， CA →＝(1,1,0)，CP →＝(0,0，a)，CE →＝12，－12，a 2， 设m ＝(b ，p ，m)为面PAC 的法向量，则m·CA →＝m·CP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋p ＝0am ＝0，取m ＝(1，－1,0)， 设n ＝(x ，y ，z)为面EAC 的法向量，则n·CA →＝n·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y ＋az ＝0，取x ＝a ，y ＝－a ，z ＝－2， 则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n||m||n|＝a a 2＋2＝63，则a ＝2. 于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1,1，－2)．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n||PA →||n|＝23， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23.。

【训练目标】1、掌握三视图与直观图之间的互换，会求常见几何体的体积和表面积；2、掌握空间点线面的位置关系，以及位置关系的判定定理和性质定理；并能依此判断命题的真假；3、掌握空间角即异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的求法；4、掌握等体积法求点面距；5、掌握几何体体积的几种求法；6、掌握利用空间向量解决立体几何问题。

7、掌握常见几何体的外接球问题。

【温馨小提示】立体几何素来都是高考的一个中点，小题，大题都有，一般在17分到22分之间，对于大多数人来说，立体几何就是送分题，因为只要有良好的空间感，熟记那些判定定理和性质定理，然后熟练空间角和距离的求法，特别是掌握了空间向量的方法，更觉得拿分轻松。

【名校试题荟萃】1、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A3、如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，该多面体为如下几何体，其中BD,ED,CD两两互相垂直，最长的棱长为，故选C．4、如图，在棱长为的正方体中，给出以下结论：①直线与所成的角为；②若是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是；③若是线段上的动点，且，则四面体的体积恒为.其中，正确结论的个数是( )A.个B.个C.个D.个【答案】D③连接，设到平面的距离为，则，到直线的距离为，则四面体的体积，正确．∴正确的命题是①②③．5、一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为( )A. B. C. D.【答案】A6、某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（）A. B. C. D.【答案】A7、一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B8、如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】。

强化训练（8）立体几何1、下列命题正确的有( )①若ABC ∆在平面α外,它的三条边所在直线分别交α于,,P Q R ,则,,P Q R 三点共线 ②若三条平行线,,a b c 都与直线l 相交,则这四条直线共面③三条直线两两相交,则这三条直线共面A.0个B.1个C.2个D.3个2、已知空间两个角,,αβα与β的两边对应平行,且60?α=,则β= ( )A. 60B. 120C. 30D. 60或1203、如图所示,正三棱锥V ABC - (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中, ,,D E F 分别是 ,,VC VA AC 的中点, P 为VB 上任意一点,则直线DE 与PF 所成的角的大小是( )A. 30B. 90C. 60D.随P 点的变化而变化.4、已知,αβ是两个不重合的平面,则下面说法正确的是( )A.如果平面α内有两条直线a 、 b 都与平面β平行,那么//αβB.如果平面α内有无数条直线平行于平面β,那么//αβC.如果直线a 与平面α和平面β都平行,那么//αβD.如果平面α内所有的直线都与平面β平行,那么//αβ5、对于不重合的两个平面α与β,则“存在异面直线l 、m ,使得,,,l l m m αβαβ”是“αβ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6、如图,已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形, PA ⊥平面ABC ,则下列结论正确的是( )A. PB AD ⊥B.平面PAB ⊥平面PBCC.直线//BC 平面PAED.直线CD ⊥平面PAC7、如图,在四棱柱1111ABCD A BC D -中,E 、F 分别是11,AB BC 的中点,则以下结论中不成立的是( )A. EF 与1BB 垂直B. EF 与BD 垂直C. EF 与CD 异面D. EF 与11AC 异面8、如图, P 为正方形ABCD 外一点,且PA ⊥平面ABCD ,则平面PAB 与平面PBC ,平面PAB 与平面PAD 的位置关系是( )A.平面PAB 与平面PAD ,PBC 垂直B.它们两两垂直C.平面PAB 与平面PBC 垂直,与平面PAD 不垂直D.平面PAB 与平面PBC 、平面PAD 都不垂直9、设,m n 是两条不同的直线, ,αβ是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若,,m n αβαβ⊥⊂⊂,则m n ⊥B.若//,,m n αβαβ⊂⊂,则//n mC.若,,m n m n αβ⊥⊂⊂,则αβ⊥D.若,//,//m n m n αβ⊥,则αβ⊥10、如图,直三棱柱111ABC A B C -中,若90BAC ∠=,1AB AC AA ==,则异面直线1BA 与1AC 所成的角为( )A. 60B. 90C. 120D. 15011、已知某多面体的三视图如图所示,则该几何体的所有棱长和为__________,其体积为__________12、现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新圆锥和圆柱的侧面积和为__________13、三棱锥P ABC -的每个顶点都在球 O 的表面上, BC ⊥平面PAB ,,2,1,PA AB PA AB BC ⊥===则球 O 的表面积为__________14、如图,已知,E F 分别是正方形ABCD 的边,AB CD 的中点,现将正方形沿EF 折成60的二面角,则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值是_______.15、如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. ,,D E F 分别为棱11,,AB BC AC 的中点1.证明: //EF 平面1ACD 2.证明:平面1ACD 平面11A ABB 3.求直线EF 与直线11A B 所成角的正弦值答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：2答案及解析：答案：D解析：由等角定理,知β与α相等或互补,故60β=︒或120.3答案及解析：答案：B解析：连结,VF BF ,则AC 垂直于平面VBF ,即AC PF ⊥,而//DE AC ,∴DE PF ⊥.4答案及解析：答案：D解析：A 、B 都不能保证α、β无公共点,如图①;C 中当//,//a a αβ,α与β可能相交,如图②所示;只有D 能说明α、β一定无公共点.故选D.5答案及解析：答案：C解析：存在异面直线l 、m ,使得,,,l l m m αβαβ,过空间一点O ,作','l l m m ,两异面直线平移到空间一点时,两直线相交, l '与m '确定一平面γ,∵,,,l l m m αβαβ,∴',',','l l m m αβαβ,∴,αγβγ,∴αβ反之也成立.∴“存在异面直线l 、m ,使得,,,l l m m αβαβ”是“αβ”的充要条件. 故选C6答案及解析：答案：D解析：因为AD 与PB 在平面ABC 内的射影AB 不垂直,所以A 答案不正确.过点A 作PB 的垂线,垂足为H,若平面PAB⊥平面PBC,则AH⊥平面PBC,所以AH⊥BC. 又PA⊥BC,所以BC⊥平面PAB,则BC⊥AB,这与底面是正六边形不符,所以B 答案不正确. 若直线BC∥平面PAE,则BC∥AE,但BC 与AE 相交,所以C 答案不正确.故选D.7答案及解析：答案：D解析：连接1A B ,∵E 是1AB 的中点,∴1E A B ∈,且E 是1A B 的中点,∴EF 是△11A BC 的中位线,∴11//EF AC ,故D 不成立.8答案及解析：答案：A解析：因为PA ⊥平面,ABCD.PA BC ∴⊥又因为,,BC AB PA AB A ⊥⋂=BC ∴⊥平面,PAB又BC ⊂平面,PBC所以平面PBC ⊥平面.PAB由,,AD PA AD AB PA AB A ⊥⊥⋂=得AD ⊥平面.PAB又AD ⊂平面,PAD所以平面PAD ⊥平面PAB .故选A.9答案及解析：答案：D解析：10答案及解析：答案：A解析：11答案及解析：答案：17163+ 解析：12答案及解析：答案：π解析：13答案及解析：答案：8π解析：∵BC ⊥平面PAB ,则PA BC ⊥,PA AB ⊥且AB BC B ⋂=,则PA ⊥平面ABC ,所以PA AC ⊥,又BC PB ⊥,PC ∴为三棱锥P ABC -外接球的直径,PC ∴=PC ∴的中点为球 O 的球心,∴球 O 的半径2PC r ==∴球 O 的面积24π8πS r ==.故答案为: 8π.【点睛】本题考查三棱锥P ABC -的外接球的表面积,解题的关键是确定三棱锥P ABC -的外接球的球心与半径.求外接球半径的常见方法有:①若三条棱两两垂直则用22224R a b c =++ (,,a b c 为三棱的长);②若SA ⊥面()ABC SA a =,则22244R r a =+ (r 为△ABC 外接圆半径);③可以转化为长方体的外接球;④特殊几何体可以直接找出球心和半径.14答案及解析：解析：如图所示:连接BD ,∵//AE DF∴DFB ∠即为异面直线FB 与AE 所成角设正方形ABCD 的边长为2,则在BDF ∆中, 1,5DF BF BD ==∴cos DFB ∠=故答案为 15答案及解析：答案：1.证明:连接ED ,∵D 、E 分别是,AB BC 的中点,1//,2DE AC DE AC ∴=, ∵三棱柱111ABC A B C -中,1111//,AC AC AC AC ∴=又F 为棱11AC 的中点,11,//A F DE A F DE ∴=,∴四边形1A DEF 是平行四边形,1//EF DA ∴,又∵1DA ⊂平面1ACD ,EF ⊄平面1ACD , //EF ∴平面1ACD .2.证明:∵D 是AB 的中点,CD AB ∴⊥,又∵1AA ⊥平面ABC ,CD ⊂平面ABC ,1AA CD ∴⊥,又∵1AA AB A ⋂=,∴CD ⊥面11A ABB ,又CD ⊂面1ACD , ∴平面1ACD ⊥平面11A ABB ; 3.∵111//,//EF DA AB A B1A DA ∴∠为直线EF 与直线11A B 所成的角.设三棱柱111ABC A B C -的棱长为a ,则12AD a =, 1A D ∴=, 111sin A A A DA A D ∴∠== 即直线EF 与直线11A B所成角的正弦值为5. 解析：点睛:(1)本题主要考查空间位置关系的证明和异面直线所成角的计算,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.(2)求空间的角,方法一是利用几何法,找→①③②作→①③②证→①③②指→①③②求.方法二是利用向量法.。

强化训练（8）立体几何1、某几何体的三视图如图所示(单位: cm ),则该几何体的体积是( )A. 38cmB. 312cmC.332cm 3 D. 340cm 32、某几何体的三视图如图所示,三个视图中的曲线都是圆弧,则该几何体的表面积为( )A. 21542ππ+ B. 2154ππ+ C. 21342ππ+ D. 2134ππ+ 3、把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起,使得平面ABD ⊥平面CBD ,形成三棱锥C ABD -的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为( )A. 12C. 144、某几何体的三视图如图所示,数量单位为cm ,它的体积是()3 B. 392cm3 D. 3272cm5、已知圆锥的母线长为8,底面圆周长为6π,则它的侧面积是() A. 24πB. 48πC. 33πD. 32π6、若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,则圆锥侧面积与球面面积之比为( )24C. 1:247、已知三棱锥P ABC-的底面ABC是边长为2的等边三角形, PA⊥平面ABC,且2PA=,则该三棱锥外接球的表面积为( )A. 68 3πB. 20πC. 48πD. 28 3π8、下列各图是正方体和正四面体, ,,,P Q R S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是( )A.B.C.D.9、平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A ,//α平面11CB D ,α⋂平面ABCD m =,α⋂平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为()C. 3D.13 10、如图,正方体1AC 的棱长为1,过点A 作平面1A BD 的垂线,垂足为点H .则以下命题中,错误的命题是( )A.点H 是1A BD ∆的垂心B. AH 垂直平面11CB DC. AH 的延长线经过点1CD.直线AH 和1BB 所成角为4511、如图所示,在正方体1111ABCD A BC D -中, ,M N 分别是棱1,AB CC 的中点, 1MB P ∆的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动,有以下四个命题:A.平面1MB P 1ND ⊥;B.平面1MB P ⊥平面11ND A ;C. 1MB P ∆在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值;D. 1MB P ∆在侧面11D C CD 上的射影图形是三角形其中正确命题的序号是__________12、已知m ,n 是不同的直线, α,β是不重合的平面,给出下列命题:①若//αβ, m α⊂,n β⊂,则//m n ;②若m ,n α⊂,//m β , //n β,则//αβ;③若m α⊥,n β⊥,//m n ,则//αβ;④m ,n 是两条异面直线,若//m α,//m β,//n α,//n β.则//αβ.其中真命题的序号是__________.13、如图所示,在正方体1111ABCD A BC D -中, ,,,?E F G H 分别是棱1111,,,CC C D D D DC 的中点, N 是BC 的中点,点M 在四边形EFGH 及其内部运动,则当M 满足条件________时,有//MN 平面11B BDD .14、已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为则侧面与底面所成的二面角等于__________15、如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形, DA DP =,BA BP =.1.求证: PA BD ⊥;2.若DA DP ⊥,60ABP ∠=,2BA BP BD ===,求二面角D PC B --的正弦值.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：2答案及解析：答案：B解析：由题意可知:几何体的直观图如图:是半圆柱与18个球体组成,表面积为: 222221115ππ×12ππ×1?4π×1ππ484++++=+.故选:B. 点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.3答案及解析：答案：C解析：4答案及解析：答案：C解析：如图所示,三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥,3111(24)3332V sh ==⨯+⨯=5答案及解析：答案：A解析：6答案及解析：答案：A解析：7答案及解析：答案：D解析：由已知得,作图PA ⊥平面ABC ,连结PO ,延长至圆上交于H ,过 O 作'//OO PA 交平面ABC 于O ',则PAH ∆为Rt ∆,所以, O 为斜边PH 的中点,所以, OO '为PAH ∆的中位线, O '为小圆圆心,则O '为AH 的中点,则''12OO O H PA AH ==,则1'''12O H AO OO PA =====,则球的半径R OH ===228π4π3R =, 答案选D.【点睛】本题考查计算球的表面积,关键在于利用R 进行计算222d R r =-,难点在于构造三要素相关的直角三角形进行求解,难度属于中等。

专题三立体几何与空间向量专题检测选题明细表知识点·方法A组B组集合与常用逻辑用语 1 2复数9 1平面向量 4 4,13 不等式与线性规划 2 15计数原理与古典概型8 11三角函数11 5,10,16空间几何体3,10,13 4,6,7,9,12空间位置关系5,7,12,14,15 3,8,14,17 立体几何的向量方法6,16 18A组一、选择题1.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( C )(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解析:x=-1,y=0时,z=-1;x=-1,y=2时,z=1;x=1,y=0时,z=1;x=1,y=2时,z=3.故z的值为-1,1,3,共3个元素.2.设a= log2π,b== loπ,c=π-2,则( C )(A)a>b>c (B)b>a>c(C)a>c>b (D)c>b>a解析:因为a= log2π> log22=1,b= loπ< lo1=0,c=π-2∈(0,1),所以a>c>b,故选C.3.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是( A )(A)1 cm3(B)2 cm3(C)3 cm3(D)6 cm3解析:本题主要考查了三视图的应用,根据三棱锥的体积公式V=××2×1×3=1,所以选A.4.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为( B )(A)(B)(C)(D)解析:因为p∥q,所以(a+c)(c-a)=b(b-a),即b2+a2-c2=ab.由余弦定理得cos C=,又0<C<π,所以C=.5.已知正四棱锥S ABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE,SD所成的角的余弦值为( C )(A)(B) (C) (D)解析:设AC,BD的交点为O,连接EO,则∠AEO为AE,SD所成的角或其补角;设正四棱锥的棱长为a,则AE=a,EO=a,OA=a,所以cos ∠AEO===,故选C.6.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥平面ABCD,AB=PD=a.点E为侧棱PC的中点,又作DF⊥PB交PB于点F,则PB与平面EFD所成角为( D )(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系D xyz,D(0,0,0),P(0,0,a),B(a,a,0),E(0,,),=(a,a,-a),又=(0,,),·=0+-=0,所以PB⊥DE.由已知DF⊥PB,又DF∩DE=D,所以PB⊥平面EFD,所以PB与平面EFD所成角为90°.故选D.7.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥底面ABCD,M是棱PC上一点.若PA=AC=a,则当△MBD的面积为最小值时,直线AC与平面MBD所成的角为( B )(A)(B)(C)(D)解析:连接AC,BD交于O,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC,进一步求出BM=DM,过O点作OM⊥PC于M,当△MBD的面积为最小值,只需OM最小即可,若PA=AC=a,所以∠ACP=即为所求.故选B.二、填空题8.现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是.解析:因为这10个数是1,-3,(-3)2,(-3)3,(-3)4,(-3)5,(-3)6,(-3)7,(-3)8,(-3)9,所以它小于8的概率为=.答案:9.已知复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)为纯虚数,则为.解析:因为复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)为纯虚数,所以解得a=1,故z=2i,则=-2i.答案:-2i10.已知三棱锥S ABC的各顶点都在一个表面积为4π的球面上,球心O在AB上,SO⊥平面ABC,AC=,则三棱锥S-ABC的表面积为.解析:因为球的表面积为4π,所以球的半径为R=1,三棱锥S ABC的图形如图所示,由题意及图可知AB=2R=2,SO=AO=BO=CO=1,又SO⊥平面ABC,所以SA=SB=SC=,又AC=,所以BC=,所以△ABC与△ABS均为等腰直角三角形,其面积和为2×1=2,△SAC与△SBC均为等边三角形,其面积和为××=,所以三棱锥的表面积为2+.答案:2+11.方程3sin x=1+cos 2x在区间[0,2π]上的解为.解析:3sin x=1+cos 2x,即3sin x=2-2sin2x,所以2sin2x+3sin x-2=0,解得sin x=或sin x=-2(舍去),所以在区间[0,2π]上的解为或.答案:或12.平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD= .解析:根据题意做出图形.因为AB,CD交于S点,所以三点确定一平面,所以设ASC平面为n,于是有n交α于AC,交β于DB,因为α,β平行,所以AC∥DB,所以△ASC∽△BSD,所以=,因为AS=8,BS=6,CS=12,所以=,所以SD=9.答案:913. 如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中①BM与ED平行;②CN 与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是(写出所有你认为正确的命题).解析:把展开图复原成正方体,如图,由正方体的性质,可知:BM与ED是异面直线,所以①是错误的;CN与BE是平行直线,所以②是错误的;从图中连接AN,AC,由于几何体是正方体,所以三角形ANC为等边三角形,所以CN,BE所成的角为60°,所以③是正确的;DM与BN是异面直线,所以④是正确的.答案:③④14. 如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为.解析: 因为四边形ABCD是正方形,所以CB⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABEF且交于AB,所以CB⊥平面ABEF.因为AG,GB⊂平面ABEF,所以CB⊥AG,CB⊥BG.又AD=2a,AF=a,四边形ABEF是矩形,G是EF的中点,所以AG=BG=a,AB=2a, 所以AB2=AG2+BG2,所以AG⊥BG,因为BG∩BC=B,所以AG⊥平面CBG,而AG⊂平面AGC,故平面AGC⊥平面BGC,如图.在平面BGC内作BH⊥GC,垂足为H,则BH⊥平面AGC,所以∠BGH是GB与平面AGC所成的角.在Rt△CBG中,BH==a,BG=a,所以sin ∠BGH==.答案:三、解答题15. 如图,直三棱柱ABC A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N 分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明:MN∥平面A′ACC′;(2)求三棱锥A′-MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h 为高)法一(1)证明:连接AB′,AC′,如图,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,所以M为AB′的中点.又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC′,又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,因此MN∥平面A′ACC′.(2)解:连接BN,如图所示,由题意A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′,所以A′N⊥平面NBC,又A′N=B′C′=1,故====,法二(1)证明:取A′B′的中点P,连接MP,NP,AB′,如图,而M,N分别为AB′与B′C′的中点,所以MP∥AA′,PN∥A′C′,所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′,又MP∩NP=P,因此平面MPN∥平面A′ACC′,而MN⊂平面MPN,因此MN∥平面A′ACC′.(2)解:=-==.16. (2018·全国Ⅱ卷)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M PA C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(1)证明:因为PA=PC=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.如图,连接OB.因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,得PO⊥平面ABC.(2)解:如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2, 2).取平面PAC的一个法向量=(2,0,0).设M(a,2-a,0)(0≤a≤2),则=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).由·n=0,·n=0得可取y=a,得平面PAM的一个法向量为n=((a-4),a,-a),所以cos<,n>=.由已知可得︱cos<,n>︱=cos 30°=,所以=,解得a=-4(舍去)或a=.所以n=(-,,-).又=(0,2,-2),所以cos<,n>=,所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.B组一、选择题1.若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则z2+的虚部为( A )(A)0 (B)-1 (C)1 (D)-2解析:法一由z=1+i知=1-i,z2+=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0,其虚部为0.故应选A.法二由z=1+i知=1-i,z2+=(z+)2-2z=4-4=0,其虚部为0.故应选A.2.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)︱x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( D )(A)3 (B)6 (C)8 (D)10解析:因为A={1,2,3,4,5},x,y∈A,x-y∈A,所以所以B中共10个元素,选D.3.(2017·湖州、衢州、丽水三市高三4月联考)已知平面α与两条不重合的直线a,b,则“a⊥α,且b⊥α”是“a∥b”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:已知平面α与两条不重合的直线a,b,如果a⊥α,且b⊥α,那么根据直线与平面垂直的性质定理,可得a∥b,充分性成立;反之,如果a∥b,那么不能推断a⊥α,且b⊥α,必要性不成立,即“a⊥α,且b⊥α”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.4.对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( B )(A)︱a·b︱≤︱a︱︱b︱ (B)︱a-b︱≤︱︱a︱-︱b︱︱(C)(a+b)2=︱a+b︱2 (D)(a+b)(a-b)=a2-b2解析:因为︱a·b︱=︱a︱︱b︱︱cos <a,b>︱≤︱a︱︱b︱,所以选项A 正确;当a与b方向相反时,︱a-b︱≤︱︱a︱-︱b︱︱不成立,所以选项B 错误;向量的平方等于向量的模的平方,所以选项C正确;(a+b)(a-b)=a2-b2,所以选项D正确.故选B.5.在△ABC中,BC边上的中线AD长为3,且cos B=,cos∠ADC=-,则边AC长为( A )(A)4 (B)16 (C)(D)解析:如图,因为∠ADC与∠ADB互补,所以当cos∠ADC=-时,cos∠ADB=,则sin∠ADB==,又cos B=,则sin B=,所以sin∠BAD=sin(π-∠B-∠ADB)=sin(∠B+∠ADB)=sin Bcos∠ADB+cos Bsin∠ADB=×+×=,在△BAD中,由正弦定理得:=,从而BD=2,所以CD=2,在△ADC中,由余弦定理得:AC2=9+4-2×3×2×（-）=16,所以AC=4.故选A.6. 如图,四面体ABCD中,AB=DC=1,BD=,AD=BC=,二面角A BD C的平面角的大小为60°,E,F分别是BC,AD的中点,则异面直线EF与AC所成的角的余弦值是( B )(A)(B) (C) (D)解析:取DC的中点为G,连EG,FG,则EG=BD=,FG=AC=,易知EF=,则∠EFG=θ就是异面直线EF与AC所成的角,故在△EFG中,cos θ==,故选B.7.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为AD的中点,现分别沿BE,CE将△ABE,△DCE翻折,使得点A,D重合于F,此时二面角E BC F的余弦值为( B )(A)(B) (C)(D)解析: 如图所示,取BC中点P,连接EP,FP,由题意得BF=CF=2,所以PF⊥BC,又因为EB=EC==,所以EP⊥BC,所以∠EPF即为二面角E BC F的平面角,而FP==,在△EPF中,cos ∠EPF===,故选B.8.在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则( A )(A)平面α与平面β垂直(B)平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°(C)平面α与平面β平行(D)平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°解析:设P1=fα(P),P2=fβ(P),则PP1⊥α,P1Q1⊥β,PP2⊥β,P2Q2⊥α.若α∥β,则P1与Q2重合、P2与Q1重合,所以PQ1≠PQ2,所以α与β相交.设α∩β=l,由PP1∥P2Q2,所以P,P1,P2,Q2四点共面,同理,P,P1,P2,Q1四点共面.所以P,P1,P2,Q1,Q2五点共面,且α与β的交线l垂直于此平面.又因为PQ1=PQ2,所以Q1,Q2重合且在l上,四边形PP1Q1P2为矩形.那么∠P1Q1P2=为二面角αlβ的平面角,所以α⊥β.故选A.二、填空题9.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是,体积是.解析:由三视图可得该几何体的直观图如图所示.该几何体是一个四棱锥A-CDEF和一个三棱锥F-ABC构成的组合体,底面直角梯形ABCD的面积为6,侧面CDEF的面积为4,侧面ABF的面积为2,侧面BCF的面积为2,侧面ADE的面积为4,侧面AEF的面积为2,所以这个几何体的表面积为16+2+2,四棱锥A-CDEF的底面面积为4,高为4,故体积为×4×4=,三棱锥F-ABC的底面积为2,高为2,故体积为×2×2=,故这个几何体的体积为V=+=.答案:16+2+210.若2sin α-cos α=,则sin α= ,tan （α-）=.解析:2sin α-cos α=⇒4sin 2α-4sin αcos α+cos 2α=5⇒sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α=0⇒sin α+2cos α=0,因此sin α=,cos α=-,tan α=-2;tan （α-）==3. 答案: 311.若（x+）（2x-）5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为.解析:令x=1,即可得到（x+）（2x-）5的展开式中各项系数的和为1+a=2,所以a=1,（x+）（2x-）5=（x+）（2x-）5,要找其展开式中的常数项,需要找（2x-）5的展开式中的x和,由通项公式得T r+1=(2x)5-r·（-）r=(-1)r·25-r·x5-2r,令5-2r=±1,得到r=2或r=3,所以有80x和-项,分别与和x相乘,再相加,即得该展开式中的常数项为80-40=40.答案:4012. 如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.解析:如图,连接BD′,设直线AC与BD′所成的角为θ.O是AC的中点.由已知得AC=,以OB为x轴,OA为y轴,过O与平面ABC 垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A（0,,0),B(,0,0),C(0,-,0).作DH⊥AC于H,连接D′H,翻折过程中,D′H始终与AC垂直,则CH===,则OH=,DH==,因此D′(-cos α,-,sin α)(设∠DHD′=α),则=(-cos α-,-,sin α),与平行的单位向量为n=(0,1,0),所以cos θ=︱cos<,n>︱=︱︱=,所以cos α=-1时,cos θ取得最大值为.答案:13.如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则·= .解析:设AC与BD交于O点,则·=2·==2×32=18.(注意AP⊥BD 有·=)答案:1814. 如图,二面角α-l-β的大小是45°,线段AB⊂α.B∈l,AB与l所成的角为30°.则AB与平面β所成的角的正弦值是.解析:过点A作AO垂直平面β于点O,作AC垂直直线l于点C,连接CO,BO,则∠ACO=45°,∠ABC=30°,∠ABO即为AB与平面β所成的角.设AO=a,则AC=a,AB=2a,所以sin∠ABO===.答案:15.已知正数a,b,c满足:5c-3a≤b≤4c-a,cln b≥a+cln c,则的取值范围是.解析:把5c-3a≤b≤4c-a变形为5·-3≤≤4·-1,所以5·-3≤4·-1,所以0<≤2;所以-3<5·-3≤≤4·-1≤7,①又cln b≥a+cln c,所以c(ln b-ln c)>a,所以ln>-ln.设x=,h(x)=x-ln x(x≥),利用导数可以证明h(x)在(,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(1)=1,故ln≥1,所以≥e,②由①②可得e≤≤7.答案:[e,7]三、解答题16.(2017·江苏卷)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解:(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-.又x∈[0,π],所以x=.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos (x+). 因为x∈[0,π],所以x+∈［,］,从而-1≤cos(x+)≤.于是,当x+=,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-2.17.(2018·宁波期末) 如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,E为PA中点,AB=2a,BC=a,PC=PD= a.(1)求证:PC∥平面BDE;(2)求直线AC与平面PAD所成角的正弦值.解:(1)设AC与BD的交点为O,连接EO.因为四边形ABCD为矩形,所以O为AC的中点.在△PAC中,由已知E为PA中点,所以EO∥PC.又EO⊂平面BDE,PC⊄平面BDE,所以PC∥平面BDE.(2)在△PCD中,DC=2a,PC=PD=a,所以DC2=PD2+PC2,即PC⊥PD.因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AD⊥CD,所以AD⊥平面PCD,故AD⊥PC.又因为AD∩PD=D,AD,PD⊂平面PAD,所以PC⊥平面PAD,故∠PAC就是直线AC与平面PAD所成的角.在Rt△PAC中AC=a,PC=a,所以sin ∠PAC===.即直线AC与平面PAD所成角的正弦值为.18. (2017·山东卷)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD (及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.(1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E AG C的大小.解:(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP⊂平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP,所以BE⊥BP.又∠EBC=120°,所以∠CBP=30°.(2)法一如图①,取的中点H,连接EH,GH,CH. 因为∠EBC=120°,所以四边形BEHC为菱形,所以AE=GE=AC=GC==.取AG的中点M,连接EM,CM,EC,则EM⊥AG,CM⊥AG, 所以∠EMC为所求二面角的平面角.又AM=1,所以EM=CM==2.在△BEC中,由于∠EBC=120°,由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos 120°=12, 所以EC=2,所以△EMC为等边三角形,故所求的角为60°.法二以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图②所示的空间直角坐标系.由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,,3),C(-1,,0),故=(2,0,-3),=(1,,0),=(2,0,3).设m=(x1,y1,z1)是平面AEG的一个法向量,由可得取z1=2,可得平面AEG的一个法向量m=(3,-,2).设n=(x2,y2,z2)是平面ACG的一个法向量,由可得取z2=-2,可得平面ACG的一个法向量n=(3,-,-2).所以cos<m,n>==.故所求的角为60°.。

专题对点练185.1~5.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.+1B.+3C.+1D.+32.(2018全国名校大联考第四次联考)已知α,β是相异两平面,m,n是相异两直线,则下列命题错误的是()A.若m∥n,m⊥α,则n⊥αB.若m⊥α,m⊥β,则α∥βC.若m⊥α,m∥β,则α⊥βD.若m∥α,α∩β=n,则m∥n3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为()A.B.C.D.34.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.B.C.D.5.如图,某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形.若该三棱锥的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.27πB.48πC.64πD.81π6.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()A.3B.C.1D.7.将长、宽分别为2和1的长方形ABCD沿对角线AC折起,得到四面体ABCD,则四面体ABCD外接球的表面积为()A.3πB.5πC.10πD.20π8.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.89.(2018全国Ⅲ,文12)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.54二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2018天津,文11)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.11.已知三棱锥A-BCD,AB=AC=BC=2,BD=CD=,点E是BC的中点,点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F,则该三棱锥外接球的表面积为.12.已知四面体ABCD,AB=4,AC=AD=6,∠BAC=∠BAD=60°,∠CAD=90°,则该四面体外接球的半径为.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,BC=AP=5,AB=3,AC=4,M,N 分别在线段AD,CP上,且=4.(1)求证:MN∥平面PAB;(2)求三棱锥P-AMN的体积.14.在如图所示的五面体ABCDEF中,矩形BCEF所在的平面与平面ABC垂直,AD∥CE,CE=2AD=2,M 是BC的中点,在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC=2.求证:(1)AM∥平面BDE;(2)DE⊥平面BDC,并求三棱锥C-DBE的体积.15.如图①,在边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点.将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A',连接EF,A'B,如图②.(1)求异面直线A'D与EF所成角的大小;(2)求三棱锥D-A'EF的体积.专题对点练18答案1.A解析V=×3××π×12++1,故选A.2.D解析由线面垂直的性质可知选项A,B,C正确.如图所示,对于选项D,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取直线m为AD,平面α为上底面A1B1C1D1,平面β为平面CDD1C1,则直线n为C1D1,此时有m∥α,α∩β=n,直线m与n为异面直线,即选项D错误.故选D.3.B解析由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,则S△AED=×1×1=,S△ABC=S△ABE=×1×,S△ACD=×1×,故选B.4.C解析由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示.切削掉部分的体积V1=π×32×6-π×22×4-π×32×2=20π(cm3),原来毛坯体积V2=π×32×6=54π(cm3).故所求比值为.5.C解析由三视图可知,该几何体为三棱锥,三棱锥的高VA=4,直观图如图所示.∵△ABC是边长为6的等边三角形,∴外接球的球心D在底面ABC的投影为△ABC的中心O,过D作DE⊥VA于E,则E为VA的中点,连接OA,DA,则DE=OA=×3=2,AE=VA=2,DA为外接球的半径r,∴r==4,∴该球的表面积S=4πr2=64π.故选C.6.C解析∵D是等边三角形ABC的边BC的中点,∴AD⊥BC.又ABC-A1B1C1为正三棱柱,∴AD⊥平面BB1C1C.∵四边形BB1C1C为矩形,∴△×2×.四边形又AD=2×,∴-△ ·AD=×=1.故选C.7.B解析由题意可知,直角三角形斜边的中线是斜边的一半,所以长、宽分别为2和1的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角,得到四面体ABCD,则四面体ABCD的外接球的球心O为AC的中点,半径R=,所求四面体ABCD的外接球的表面积为4π×=5π.故选B.8.B解析由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S表=2r×2r+2×πr2+πr×2r+×4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.9.B解析由△ABC为等边三角形且面积为9,设△ABC边长为a,则S=a·a=9.∴a=6,则△ABC的外接圆半径r=a=2<4.设球的半径为R,如图,OO1=--=2.当D在O的正上方时,V D-ABC=S△ABC·(R+|OO1|)=×9×6=18,最大.故选B.10.解析∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,∴四棱锥-=V正方体-三棱锥-三棱柱-=1-×1×1×1-×1×1×1=.11.解析由题意,得△BCD为等腰直角三角形,E是外接圆的圆心.∵点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F,∴BF=,∴AF=-.设球心O到平面BCD的距离为h,则1+h2=-,解得h=,r=,故该三棱锥外接球的表面积为4π×.12.2解析如图所示,O'为△ACD的外心,O为球心,BE⊥平面ACD,BF⊥AC,则EF⊥AC,∴AF=2,AE=2,BE=-=2.设该四面体外接球半径为R,OO'=d,则2+(2+d)2=d2+(3)2,∴d=,CD=6,∴R==2.13.(1)证明在AC上取一点Q,使得=4,连接MQ,QN,则,∴QN∥AP,MQ∥CD.又CD∥AB,∴MQ∥AB.∵AB⊂平面PAB,PA⊂平面PAB,MQ⊂平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,∴平面PAB∥平面MNQ.∵MN⊂平面MNQ,MN⊄平面PAB,∴MN∥平面PAB.(2)解∵AB=3,BC=5,AC=4,∴AB⊥AC.过C作CH⊥AD,垂足为H,则CH=.∵PA⊥平面ABCD,CH⊂平面ABCD,∴PA⊥CH.又CH⊥AD,PA∩AD=A,∴CH⊥平面PAD.∵PC==4,∴N到平面PAD的距离h=CH=,∴V P-AMN=V N-PAM=S△PAM·h=×5×4×.14.证明(1)取BE的中点N,连接DN,MN,则MN∥CE,且MN=CE.∵AD∥CE,且AD=CE,∴AD∥MN,且AD=MN,∴四边形ADNM是平行四边形,∴DN∥AM.又DN⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,∴AM∥平面BDE.(2)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC=2,由余弦定理得BC=,由勾股定理得∠ACB=90°,BC⊥AC.又BC⊥CE,且CE∩AC=C,∴BC⊥平面ACED.又DE⊂平面ACED,∴DE⊥BC.∵DE⊥平面BDC,DC⊂平面BDC,∴DE⊥DC.∵DC∩BC=C,∴DE⊥平面BCD,∴V C-BDE=V B-CDE=S△CDE·BC=.15.解(1)在正方形ABCD中,∵AD⊥AE,CD⊥CF,∴A'D⊥A'E,A'D⊥A'F.∵A'E∩A'F=A',A'E,A'F⊂平面A'EF,∴A'D⊥平面A'EF.而EF⊂平面A'EF,∴A'D⊥EF,∴异面直线A'D与EF所成角的大小为90°.(2)∵正方形ABCD的边长为2,点E是AB的中点,点F是BC的中点, ∴在Rt△BEF中,BE=BF=1,得EF=,而A'E=A'F=1,∴A'E2+A'F2=EF2,∴A'E⊥A'F,∴S△=×1×1=.A'EF由(1)得A'D⊥平面A'EF,且A'D=2,∴V D-A'EF=S△A'EF·A'D=×2=.。

三立体几何 (A)1.如图 , 四边形 ABCD为正方形 ,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点 F,FE∥CD,交 PD于点 E.(1)证明 :CF⊥平面 ADF;(2)求二面角 D AF E 的余弦值 .2.) 如图 , 多面体ABCDEF中 , 四边形ABCD为平行四边形, 此中∠BAD=,AD= ,AB=1, 等边△ ADE所在平面与平面ABCD垂直 , FC ⊥平面ABCD,且 FC= .(1)点 P 在棱 AE上, 且 =2,Q 为△ EBC的重心 , 求证 :PQ∥平面 EDC.(2)求平面 DEF与平面 EAB所成锐二面角的余弦值 .3. 在三棱柱 ABCA1B1C1中,AB⊥平面 BCC1B1, ∠BCC1= , AB=BC=2,BB1=4,点 D在棱 CC1上, 且 CD=λCC1(0<λ <1). 成立如下图的空间直角坐标系.(1)当λ = 时, 求异面直线 AB1与 A1D的夹角的余弦值 ;(2)若二面角 A B1D A1的平面角为 , 求λ的值 .4 如图 , 在梯形 ABCD中,AB∥CD,∠BCD= , 四边形 ACFE为矩形 , 且 CF ⊥平面 ABCD,AD=CD=BC=CF=1.(1)求证 :EF⊥平面 BCF.(2)点 M在线段 EF(含端点 ) 上运动 , 当点 M在什么地点时 , 平面 MAB 与平面 FCB所成锐二面角θ最大 , 并求此时二面角的余弦值 .1.(1) 证明 : 由题意可知 DA⊥DC,DA⊥DP,DC⊥DP,故能够 D 为原点 ,DP 所在直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴,DA 所在直线为 z 轴成立空间直角坐标系 ,设正方形 ABCD的边长为 a,则 C(0,a,0),A(0,0,a),由平面几何知识可求得F( a, a,0),因此=( a,-a,0),=( a, a,0),=(0,0,a),因此·=( a,- a,0) ·( a, a,0)=0,·=( a,- a,0) ·(0,0,a)=0, 故CF⊥DF,CF⊥DA.又 DF∩DA=D,因此 CF⊥平面 ADF.(2) 解: 可求得 E( a,0,0),则 =( a,0,-a),又 =( a, a,-a),设平面 AEF的法向量为 n=(x,y,z),则 n·=(x,y,z)·(a,0,-a)=ax-az=0,n·=(x,y,z)·(a, a,-a)= ax+ ay-az=0,取 x=1, 得平面 AEF的一个法向量 n=(1,0,).又由 (1) 知平面 ADF的一个法向量为=( a,-a,0),故 cos<n, >==,由图可知二面角 D AF E 为锐二面角,因此其他弦值为.2.(1) 证明 : 如图 , 在棱 BE上取点 M,使得 BM=2ME,连结 BQ并延伸 , 交CE于点 N.则在△ ABE中,又 AP=2PE,因此 PM∥AB,又四边形 ABCD为平行四边形 ,因此 AB∥CD,因此 PM∥CD.在△ BCE中,Q 为重心 ,因此 BQ=2QN,又 BM=2ME,因此 MQ∥EC.又由于 PM∩MQ=M,CD∩EC=C,因此平面 MPQ∥平面 DEC.又 PQ? 平面 MPQ,因此 PQ∥平面 EDC.(2) 解: 在△ ABD中, ∠BAD=,AD= ,AB=1,由余弦定理可得 ,22222BD=AB+AD-2AB·ADcos∠BAD=1+()-2 ×1× cos =1,因此 BD=1.取 AD的中点 O,连结 EO,OB,在△ EAD中,EA=ED=AD= ,因此 EO⊥AD,且 EO= AD= .又由于平面 EAD⊥平面 ABCD,平面 EAD∩平面ABCD=AD, 因此 EO⊥平面 ABCD,又在△ ABD中,AB=BD=1,AD= ,因此 OB⊥AD,且 OB=,如图 , 以 O为坐标原点 ,分别以 OA,OB,OE所在直线为 x,y,z轴成立空间直角坐标系.则 A( ,0,0),D(-,0,0),B(0,,0),E(0,0,),F(-, , ).则 =(- , ,0), =(-,0, ),=( ,0, ),=(- , , ).设平面 ABE的法向量为 m=(x1,y 1,z 1),则由可得整理得令 z1=1, 则 x1= ,y 1=3,因此 m=( ,3,1) 为平面 ABE的一个法向量 .设平面 DEF的法向量为 n=(x 2,y 2,z 2),则由可得整理得令 z2=-1,则 x2= ,y 2=6.因此 n=( ,6,-1)为平面DEF的一个法向量.因此 cos<m,n>===,设平面 DEF与平面 EAB所成锐二面角为θ ,则 cos θ=cos<m,n>=.3. 解:(1) 易知 A(0,0,2),B1(0,4,0),A1(0,4,2).当λ = 时, 由于 BC=CD=2,∠BCC1= ,因此 C( ,-1,0),D(,1,0).因此=(0,4,-2),=( ,-3,-2),因此 cos< ,>===- ..故异面直线AB1与A1D的夹角的余弦值为,4λ-1,0),(2) 由 CD=λCC1可知 ,D(因此=(-,5-4 λ,0),由(1)知,=(0,4,-2).设平面 AB1D的法向量为 m=(x,y,z),则即令 y=1, 解得 x=,z=2,因此平面 AB1D的一个法向量为m=(,1,2).设平面 A1B1D的法向量为 n=(x ′,y ′,z ′),则即令 y′=1, 解得 x′=,z ′=0,n=(,1,0).因此平面A1B1D的一个法向量为由于二面角 A B1D A1的平面角为,因此 |cos<m,n>|=||== ,即(5-4 λ) 2=9,解得λ = 或λ =2( 舍), 故λ的值为.4.(1) 证明 : 在梯形 ABCD中,由于 AB∥CD,AD=CD=BC=1,又由于∠ BCD= , 因此 AB=2,222因此 AC=AB+BC-2AB·BC·cos 60°=3.222因此 AB=AC+BC.因此 BC⊥AC.由于 CF⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD,因此 AC⊥CF,而 CF∩BC=C,因此 AC⊥平面 BCF,由于 EF∥AC,因此 EF⊥平面 BCF.(2)解: 由(1) 可成立分别以直线 CA,CB,CF为 x 轴,y 轴,z 轴的空间直角坐标系如下图 ,AD=CD=BC=CF=1,令 FM=λ(0 ≤λ≤),则 C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),因此=(-,1,0),=( λ,-1,1),设 n1=(x,y,z) 为平面 MAB的一个法向量 ,由得取x=1,则 n1=(1, , - λ),由于 n2 =(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,因此 cos θ===,由于 0≤λ≤,因此当λ =0 时,cosθ有最小值,因此点 M与点 F 重合时 ,平面 MAB与平面 FCB所成锐二面角最大 , 此时二面角的余弦值为.。

3.立体几何1.如图，在三棱柱ABF －DCE 中，∠ABC ＝120°，BC ＝2CD, AD ＝AF, AF ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥EC ；(2)若AB ＝1，求四棱锥B －ADEF 的体积.(1)证明 已知ABF －DCE 为三棱柱，且AF ⊥平面ABCD ， ∴DE ∥AF ，ED ⊥平面ABCD . ∵BD ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥BD ，又ABCD 为平行四边形，∠ABC ＝120°，故∠BCD ＝60°， 又BC ＝2CD ，故∠BDC ＝90°，故BD ⊥CD ，∵ED ∩CD ＝D ，ED ，CD ⊂平面ECD ，∴BD ⊥平面ECD ，∵EC ⊂平面ECD ，故BD ⊥EC . (2)解 由BC ＝2CD 得AD ＝2AB ，∵AB ＝1，故AD ＝2，作BH ⊥AD 于点H ，∵AF ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，∴AF ⊥BH ，又AD ∩AF ＝A ，AD ，AF ⊂平面ADEF ， ∴BH ⊥平面ADEF ，又∠ABC ＝120°， ∴在△ABH 中，∠BAH ＝60°，又AB ＝1， ∴BH ＝32， ∴V B －ADEF ＝13×(2×2)×32＝233.2.如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1).(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)是否存在实数λ，使得平面BEF ⊥平面ACD . (1)证明 ∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .∵CD ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥平面ABC .又∵AE AC ＝AF AD＝λ(0<λ<1)， ∴无论λ为何值，恒有EF ∥CD ， ∴EF ⊥平面ABC . 又∵EF ⊂平面BEF ，∴无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . (2)解 假设存在λ，使得平面BEF ⊥平面ACD . 由(1)知BE ⊥EF ，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ，BE ⊂平面BEF ， ∴BE ⊥平面ACD . 又∵AC ⊂平面ACD ， ∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°， ∴BD ＝2，∴AB ＝2tan60°＝6， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7. 由Rt△AEB ∽Rt△ABC ， 得AB 2＝AE ·AC ，∴AE ＝67，∴λ＝AE AC ＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .3.如图，在四棱锥P —ABCD 中，PC ＝AD ＝CD ＝12AB ＝2，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)若M 为线段PA 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A —CMN 的高.(1)证明 连接AC ，在直角梯形ABCD 中，AC ＝AD 2＋DC 2＝22，BC ＝(AB －CD )2＋AD 2＝22，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC .又PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PC ⊥BC ，又AC ∩PC ＝C ，AC ，PC ⊂平面PAC ， 故BC ⊥平面PAC .(2)解 N 为PB 的中点，连接MN ，CN .因为M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，所以MN ∥AB ， 且MN ＝12AB ＝2.又因为AB ∥CD ，所以MN ∥CD ，所以M ，N ，C ，D 四点共面， 所以N 为过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 的交点. 因为BC ⊥平面PAC ，N 为PB 的中点， 所以点N 到平面PAC 的距离d ＝12BC ＝ 2.又S △ACM ＝12S △ACP ＝12×12×AC ×PC ＝2，所以V 三棱锥N —ACM ＝13×2×2＝23.由题意可知，在Rt△PCA 中，PA ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3，在Rt△PCB 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝23，CN ＝3，所以S △CMN ＝12×2×2＝ 2.设三棱锥A —CMN 的高为h ，V 三棱锥N —ACM ＝V 三棱锥A —CMN ＝13×2×h ＝23，解得h ＝2，故三棱锥A —CMN 的高为 2.4.(2018·乐山联考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P －ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值.(1)证明 在△AOC 中，因为OA ＝OC, D 为AC 的中点，所以AC ⊥OD . 又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC .因为DO ∩PO ＝O ，DO ，PO ⊂平面PDO ，所以AC ⊥平面PDO .(2)解 因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1. 又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为12×2×1＝1.又因为三棱锥P －ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×1×1＝13.(3)解 在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°， 所以PB ＝12＋12＝ 2.同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC .在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面C ′PB ，使之与平面ABP 共面，如图所示.当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值. 又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ，所以OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点. 从而OC ′＝OE ＋EC ′＝22＋62＝2＋62， 即CE ＋OE 的最小值为2＋62.。