2020高三数学一轮复习(人教版文)：第六节 双 曲 线

第六节双曲线2019考纲考题考情1. 双曲线的概念平面内到两定点F 1, F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于F 1F 2I)的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫焦距。

集合 P ={M|||MF i |—|MF 2||= 2a , IF 1F 2E 2c ,其中 a 、c 为常 数且 a >0, c >0}。

(1) 当a v c 时，M 点的轨迹是双曲线。

(2) 当a ^c 时，M 点的轨迹是两条射线。

(3) 当a >c 时，M 点不存在。

希纲要求考題举曙 番甸标签i. TttaiHifJl 的崔戈、几M S A 祖标« fj 程・*]直梵■单的几性」贞也，胃右峠■渐近歿》 匕了外讽咄塔的餐m 嵐用 丄用i 样粧圧结仟韓也怛mis*全国舂11 - 曲倭的请追终〉沁17・仝阳卷1・TMJK 曲就的性庞) M17* feRtt II *2fll? •全H#1 * T 显畑湘线的斯近轨〉].规曲紡的生丸磴住阳2. 艮枷蜻的标弁力IV3, 段曲灿的阳m 几何性硕4一直悄少杞將线的童■关嘉特心附标；数学讥算，汗班想卑扣岭础外挪微知识•小题练基础徴杭理-JICHUU niSHLJJ-l2. 双曲线的标准方程和几何性质•常记结论•1. 双曲线定义的四点辨析(1) 当0<2a<|F i F21时，动点的轨迹才是双曲线。

(2) 当2a = 0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线。

⑶当2a = F1F21时，动点的轨迹是以F i, F2为端点的两条射线。

(4) 当2a>|F i F21时，动点的轨迹不存在。

x2 y2一2. 方程m~ n= 1(mn>0)表示的曲线(1)当m>0, n>0时，表示焦点在x轴上的双曲线。

⑵当m<0, n<0时，表示焦点在y轴上的双曲线。

3. 方程的常见设法2 2 2 2(1) 与双曲线字—古=1共渐近线的方程可设为字—古=X沁)。

第六节 双 曲 线[例1] (1)(2013·天津高考)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______________．(2)(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．[自主解答] (1)由抛物线y 2＝8x 可知其准线方程为x ＝－2， 所以双曲线的左焦点为(－2,0)，即c ＝2；又因为离心率为2，所以e ＝ca ＝2，故a ＝1，由a 2＋b 2＝c 2知b 2＝3，所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1. (2)由x 29－y216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以|PQ |＝4b ＝16>2a ，又因为A (5,0)在线段PQ 上，所以P ，Q 在双曲线的一支上，且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|P A |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6.所以|PF |＋|QF |＝28.即△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.[答案] (1)x 2－y 23＝1 (2)44 【互动探究】本例(2)中“若PQ 的长等于虚轴长的2倍”改为“若PQ 的长等于实轴长的2倍”，则结果如何？解：依题意知|PQ |＝4a ＝12>2a .又∵A (5,0)在线段PQ 上，∴PQ 在双曲线的一支上．同样|PF |－|P A |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6. ∴|PF |＋|QF |＝24.∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝24＋12＝36. 【方法规律】双曲线定义运用中的两个注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义；(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．1．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.2．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于( )A.45B.74C.54 D.7 解析：选A 在△ABP 中，由正弦定理知|sin A －sin B |＝||PB |－|P A ||＝2a ＝8＝45.[例2] (2013·全国高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．[自主解答] (1)由题设知ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，解得x ＝± a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k |<22，代入①并化简，得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝(x 1＋3)2＋y 21＝(x 1＋3)2＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)， |BF 1|＝(x 2＋3)2＋y 22＝(x 2＋3)2＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|，得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199.由于|AF 2|＝(x 1－3)2＋y 21＝(x 1－3)2＋8x 21－8＝1－3x 1，|BF 2|＝(x 2－3)2＋y 22＝(x 2－3)2＋8x 22－8＝3x 2－1，故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4，|AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.从而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2， 所以|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．【方法规律】求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程联立成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线的斜率为k ，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ·OB >2，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，∴k 2<1且k 2≠13.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA ·OB >2，即x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1.1．双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对双曲线几何性质的考查主要有以下几个命题角度： (1)求双曲线的离心率(或范围)； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线方程；(4)求双曲线的焦点(距)、实虚轴长．[例3] (1)(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为 ( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x(2)(2013·浙江高考)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62[自主解答] (1)52＝c a ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，所以b a ＝12， 故所求的双曲线渐近线方程是y ＝±12x .(2)设双曲线C 2的实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝(2c )2＝12，2mn ＝(m ＋n )2－(m 2＋n 2)＝4， (m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝8,2a ＝|m －n |＝22，a ＝2， 则双曲线C 2的离心率e ＝c a ＝32＝62.[答案] (1)C (2)D与双曲线几何性质有关问题的常见类型及解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．1．(2013·湖北高考)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D ∵0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.由双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1知实轴长为2sin θ，虚轴长为2cos θ，焦距为2，离心率为1sin θ.由双曲线C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1知实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率为1cos θ.2．(2013·广东高考)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C的方程是( )A.x 24－y 25＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：选B 依题意c ＝3，又∵e ＝c a ＝32，∴a ＝2，∴b 2＝ c 2－a 2＝32－22＝5，∴C 的方程为x 24－y 25＝1.3．(2013·湖南高考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：不妨设点P 在双曲线C 的右支上且F 1，F 2分别为左、右焦点，由双曲线定义知 |PF 1|－|PF 2|＝2a ，① 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，②由①②，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .因为c >a ，所以2c >2a ， 所以在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2为最小内角，因此∠PF 1F 2＝30°.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 30°， 即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac .所以c 2－23ac ＋3a 2＝0， 两边同除以a 2得e 2－23e ＋3＝0.解得e ＝ 3. 答案： 3———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个规律——等轴双曲线的离心率及渐近线的关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2种方法——求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应的a ，b 的值即可求得方程． (2)待定系数法①待定系数法的步骤定位：确定焦点位置设方程：由焦点位置设方程定值：根据条件确定相关参数②待定系数法求双曲线方程的常用方法⎩⎪⎨⎪⎧与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0).3个关注点——双曲线几何性质的关注点双曲线的几何性质可从以下三点关注：(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．3个防范——双曲线问题的三个易混点(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中a ，b ，c 大小关系，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2，而在椭圆中a 2＝b 2＋c 2.(2)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .\。

2020年高考文科数学一轮总复习：双曲线第6讲 双曲线1．双曲线的定义x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R常用知识拓展1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.5．等轴双曲线的标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)．其离心率为2，两条渐近线的方程为y ＝±x .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)椭圆的离心率e ∈(0，1)，双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)．( ) (3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 解析：选A.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得c a ＝5，c ＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y 216＝1.(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )A.2 B ．2 C.322D ．22解析：选D.法一：由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.法二：离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D. 经过点A (5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 解析：设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ，把点A (5，－3)代入，得λ＝16，故所求方程为x 216－y 216＝1. 答案：x 216－y 216＝1若方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，则m 的取值范围是________．解析：因为方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m )(m ＋1)>0，即m >－1或m <－2.答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)双曲线的定义(典例迁移)设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．103B ．83C ．85D ．165【解析】 依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2，因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，所以等腰三角形PF 1F 2的面积S ＝12×8×62－⎝⎛⎭⎫822＝8 5.【答案】 C[迁移探究] (变条件)若本例中“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4”变为“PF 1⊥PF 2”，其他条件不变，如何求解．解：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝36，m 2＋n 2－2mn ＝4，解得mn ＝16，所以S △PF 1F 2＝12mn ＝8.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．1．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( )A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D.由双曲线的标准方程可得：a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.2．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________．解析：由双曲线的定义有 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， 所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34.答案：34双曲线的标准方程(师生共研)(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1 B. x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1) (2)(一题多解)若双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点(4，3)，则双曲线的方程为________．【解析】 (1)设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，所以可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(4，3)，所以λ＝16－4×(3)2＝4， 所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：因为渐近线y ＝12x 过点(4，2)，而3<2，所以点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．所以双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【答案】 (1)C (2)x 24－y 2＝1求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：①c 2＝a 2＋b 2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a . (2)待定系数法 ①一般步骤②常用设法(i)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；(ii)若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(iii)若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)或mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．1．双曲线C 的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 220－y 24＝1 B.x 220－y 216＝1 C.y 220－x 216＝1 D.y 220－x 24＝1 解析：选B.2a ＝|（－5＋6）2＋22－ |（－5－6）2＋22 ＝4 5.所以a ＝25，又c ＝6， 所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.故选B.2．(一题多解)(2019·山西省八校第一次联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1 C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1 解析：选A.法一：易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得ba ＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝25，结合c 2＝a 2＋b 2，可得a＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1，故选A.法二：易知双曲线的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0.可设双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，因为双曲线的焦距为4 5.所以c ＝25，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1，故选A.双曲线的几何性质(多维探究) 角度一 双曲线的渐近线问题(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 【解析】 因为双曲线的离心率为3，所以ca ＝3，即c ＝3a .又c 2＝a 2＋b 2，所以(3a )2＝a 2＋b 2，化简得2a 2＝b 2，所以b a ＝ 2.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以y ＝±2x .故选A.【答案】 A角度二 双曲线的离心率问题(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1，2)(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A.5 B ．2 C.3D. 2【解析】 (1)依题意得，双曲线的离心率e ＝1＋1a2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，选C.(2)法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt△F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－ac ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ， 所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ， 所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝ca ＝ 3.故选C.【答案】 (1)C (2)C角度三 与双曲线有关的范围问题已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 【解析】 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以 F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以 MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．因为 MF 1→·MF 2→＜0，所以 (－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， 所以2＋2y 20－3＋y 20＜0，所以－33＜y 0＜33.故选A. 【答案】 A(1)求双曲线的渐近线的方法双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb ＝0.(2)与双曲线有关的范围问题的解题思路①若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解；②若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．1．已知双曲线x 2a 2－y 212＝1的离心率为2，则该双曲线的实轴长为________．解析：由e ＝ca ＝2，得c ＝2a .由a 2＋b 2＝c 2，b 2＝12，得a 2＋12＝4a 2，所以a 2＝4，即a＝2，故实轴长为2a ＝4.答案：42．(2018·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________． 解析：不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，所以|bc |a 2＋b 2＝b ＝32c ，所以b 2＝c 2－a 2＝34c 2，得c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2.答案：2方程思想求圆锥曲线的离心率(2019·南昌市摸底调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．【解析】 不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－ab (x －c )，即ax ＋by －ac ＝0.圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a ，0)，半径为c4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b 2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝ca ，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝2.【答案】 2(1)本例利用方程思想，将已知条件转化为关于e 的方程，然后求出离心率e .(2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a ，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e 的方程或不等式求解．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点．若△ABF 2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，1)C ．(0，3－1)D ．(3－1，1)解析：选B.由题意得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a .因为△ABF 2是锐角三角形，所以∠AF 2F 1＜45°，所以tan ∠AF 2F 1＜1，即b 2a2c ＜1.整理，得b 2＜2ac ，所以a 2－c 2＜2ac .两边同时除以a 2并整理，得e 2＋2e －1＞0，解得e ＞2－1或e ＜－2－1(舍去)．又因为0＜e ＜1，所以椭圆的离心率e 的取值范围为(2－1，1)．[基础题组练]1．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.由题意得，ba ＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 解析：选A.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线方程为x 24－y 2＝1.3．(2019·辽宁抚顺模拟)当双曲线M ：x 2m 2－y 22m ＋6＝1(－2≤m <0)的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2xD ．y ＝±12x解析：选C.由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为x 2－y 24＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .故选C.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，2) C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选A.由双曲线的性质可得|AF |＝b 2a ，即以AB 为直径的圆的半径为b 2a ，而右顶点与左焦点的距离为a ＋c ，由题意可知b 2a >a ＋c ，整理得c 2－2a 2－ac >0，两边同除以a 2，则e 2－e －2>0，解得e >2或e <－1，又双曲线的离心率大于1，所以e >2.5．已知双曲线的焦距为6，其上一点P 到两焦点的距离之差为－4，则双曲线的标准方程为________．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝6，2a ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.又c 2＝a 2＋b 2，故b 2＝5.所以双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 21－x 2b 21＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，c 1＝3，所以b 21＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.综上所述，双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1或y 24－x 25＝1.答案：x 24－y 25＝1或y 24－x 25＝16．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，所以b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53.答案：537．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. 所以|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4， 所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.8．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4，0)，实轴长为4 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围． 解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得：a ＝23，c ＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 212－y 24＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋22与x 212－y 24＝1联立，得(1－3k 2)x 2－122kx －36＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－122k ）2＋4×（1－3k 2）×36>0，x A＋x B＝122k 1－3k2<0，x A x B＝－361－3k 2>0，解得33<k <1. 所以当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点． 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫33，1[综合题组练]1．(2018·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 23－y 29＝1 B.x 29－y 23＝1 C.x 24－y 212＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：选A.由题意不妨设A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，则d 1＝|bc －b 2|a 2＋b 2，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b 2，故d 1＋d 2＝|bc －b 2|a 2＋b 2＋|bc ＋b 2|a 2＋b 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2c ＝2b ＝6，故b ＝3.又ca ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2，所以b 2＝3a 2，得a 2＝3.所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．23D ．4解析：选B.法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y ＝±13x . 设两渐近线夹角为2α， 则有tan α＝13＝33，所以α＝30°. 所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示． 在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选B.法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝⎛⎭⎫32，32，所以|OM |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.3．(综合型)已知双曲线x 23－y 24＝1，过点M (m ，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△AOB 是锐角三角形(O 为坐标原点)，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意得A ⎝⎛⎭⎫m ，2m 23－1，B ⎝⎛⎭⎫m ，－2m 23－1，所以OA →＝⎝⎛⎭⎫m ，2m 23－1，OB →＝⎝⎛⎭⎫m ，－2m 23－1.因为△AOB 是锐角三角形，所以∠AOB 是锐角，即OA →与OB →的夹角为锐角，所以OA →·OB →>0，即m 2－4m 23＋4>0，解得－23<m <2 3.由过点M (m ，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A ，B 两点可知m <－3或m > 3.故实数m 的取值范围是(－23，－3)∪(3，23)．答案：(－23，－3)∪(3，23)4．(2019·河北名校名师俱乐部二调)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．解析：由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，所以|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，所以|BA |＝|BF 1|，所以△BAF 1为等腰三角形，因为∠F 1AF 2＝45°，所以∠ABF 1＝90°，所以△BAF 1为等腰直角三角形．所以|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2.所以S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.答案：45．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，所以双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎨⎧x 23－y 26＝1，y ＝33（x －3），得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝⎛⎭⎫－652－4×⎝⎛⎭⎫－275＝1635. 6．(综合型)设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，因为一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0.所以由焦点到渐近线的距离为3， 得|bc |b 2＋a 2＝ 3. 又因为c 2＝a 2＋b 2， 所以b 2＝3，所以双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3. 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. 所以⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。

第六节双曲线2019考纲考题考情1．双曲线的概念平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。

(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。

(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。

(3)当a＞c时，M点不存在。

2．双曲线的标准方程和几何性质1．双曲线定义的四点辨析(1)当0<2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹才是双曲线。

(2)当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线。

(3)当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线。

(4)当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在。

2．方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线。

(2)当m <0，n <0时，表示焦点在y 轴上的双曲线。

3．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)。

(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)。

一、走进教材1．(选修1－1P 54A 组T 1改编)已知双曲线x 2－y216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________。

解析设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝17－1>2，故|PF2|＝6。

答案62．(选修1－1P53练习T3改编)以椭圆x24＋y23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为____________。