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2018高考数学异构异模复习考案第十二章概率与统计 12.1.2 古典概型撬题理1.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A.521B.1021C.1121D．1答案 B解析由题意得基本事件的总数为C215，恰有1个白球与1个红球的基本事件个数为C110C15，所以所求概率P＝C110C15C215＝1021.故选B.2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.45答案 C解析从5个点取2个共有C25＝10种取法，而不小于正方形边长的只有4条边与2条对角线，共6种，所以P＝610＝35.3．有一个奇数列，1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )A.110B.310C.15D.35答案 B解析将数列1,3,5,7,9…记为{a n}，则前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，故第十组中第一个数字为a46＝2×46－1＝91，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字，其中为3的倍数的数有93,99,105三个，故所求概率为P＝310.4．从正方体的8个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条，则这两条直线是异面直线的概率是( )A.29189B.2963C.3463D.47答案 B解析从8个顶点中任选2个共确定直线28条，从中任取两条直线，共有C228种取法；考查异面直线有多少对，可以考虑8个顶点共组成多少个三棱锥：上、下底面各取两点，共面的情形有10个．从而三棱锥共2C14C34＋C 24C 24－10＝58个，每个三棱锥有三对异面直线，故P ＝58×3C 228＝2963.5．从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，假设每张卡片被取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则取到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.45 B.1625 C.1325 D.25答案 D解析 解法一：(列举法)从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，总的情况为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)共20种情况．两张卡片上的数字之和为偶数的有：(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,1)，(3,5)，(4,2)，(5,1)，(5,3)共8种情况．∴从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字之和为偶数的概率P ＝820＝25.故选D.解法二：(组合法)由题意知本题是一个古典概率模型，试验发生包含的事件是从5张中随机地抽2张，共C 25＝10种结果．满足条件的事件分两种情况，一种为从1,3,5中任取两张，有C 23＝3种结果，另一种为从2,4中任取两张，有C 22＝1种，所以取到的两张卡片上的数字之和为偶数共有3＋1＝4种结果，∴P ＝410＝25.故选D.6．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________． 答案 16解析 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，共有C 710种不同的取法．当这七个数的中位数是6时，应该有3个比6小的数，还有3个比6大的数，因此一共有C 36·C 33种不同的取法，故所求概率P ＝C 36·C 33C 710＝20120＝16. 7.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________． 答案 13解析 从1,2,3,6这4个数中随机地取2个数，不同的取法为{1,2}，{1,3}，{1,6}，{2,3}，{2,6}，{3,6}共6个基本事件，其中乘积为6的有{1,6}，{2,3}两个基本事件，因此所求事件的概率为P ＝26＝13.8．从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________.答案 8解析 因为5＝1＋4＝2＋3，所以2C 2n ＝114，即n (n －1)＝56，解得n ＝8或n ＝－7(舍)．。
2018高考数学异构异模复习考案 第十二章 概率与统计 12.3.2 正态分布撬题 理1．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772(附：若X ～N (μ，σ2)，则 P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544.)答案 C解析 由题意可得，P (0<x ≤1)＝12P (－1<x ≤1)＝0.3413，设落入阴影部分的点的个数为n ，则P ＝S 阴影S 正方形＝0.34131＝n 10000，则n ＝3413，选C. 2．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%答案 B解析 由已知μ＝0，σ＝3.所以P (3<ξ<6)＝12[P (－6<ξ<6)－P (－3<ξ<3)]＝12(95.44%－68.26%)＝12×27.18%＝13.59%.故选B.3.设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )答案 C解析 由正态分布密度曲线的性质可知，X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线x ＝μ1，x ＝μ2对称，因此结合题中所给图象可得，μ1<μ2，所以P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错误．又X ～N (μ1，σ21)的密度曲线较Y ～N (μ2，σ22)的密度曲线“瘦高”，所以σ1<σ2，所以P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，B 错误．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )，P (X ≥t )≤P (Y ≥t )，C 正确，D 错误．4．已知随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝a ，a 为常数，则P (－1≤ξ≤0)＝________.答案 12－a 解析 由正态曲线的对称轴为ξ＝0，又P (ξ>1)＝a ，故P (ξ<－1)＝a ，所以P (－1≤ξ≤0)＝1－2a 2＝12－a ，即答案为12－a . 5．某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N )服从正态分布N (100,102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．答案 10解析 由题意，知P (ξ>110)＝1－2P ξ2＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.。
2018高考数学异构异模复习考案 第十二章 概率与统计 12.1.1 事件与概率撬题 理1．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.78答案 D解析 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P ＝24－1－124＝1416＝78，故选D. 2.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．答案 56 解析 从4只球中一次随机摸出2只球，C 24＝6，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为56. 3．现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．答案 2063解析 由题意知m 的可能取值为1,2,3，…，7；n 的可能取值为1,2,3…，9.由于是任取m ，n ：若m ＝1时，n 可取1,2,3，…，9，共9种情况；同理m 取2,3，…，7时，n 也各有9种情况，故m ，n 的取值情况共有7×9＝63种．若m ，n 都取奇数，则m 的取值为1,3,5,7；n的取值为1,3,5,7,9，因此满足条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为2063. 4．A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10,11,12,13,14,15,16；B 组：12,13,15,16,17,14，a .假设所有病人的康复时间相互独立．从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a ＝25, 求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)解 设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”，事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”，i ＝1,2， (7)由题意可知P (A i )＝P (B i )＝17，i ＝1,2，…，7. (1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知， C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6.因此P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1)＝10P (A 4)P (B 1)＝1049.(3)a ＝11或a ＝18.。
高考数学异构异模复习第十二章概率与统计12-2-2离散型随机变量及其分布列均值与方差撬题理1．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．则( )A．p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2)B．p1<p2，E(ξ1)>E(ξ2)C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)D．p1<p2，E(ξ1)<E(ξ2)答案A解析当i＝1时，若从乙盒中抽取的1个球为红球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为A1，则P(A1)＝.若从乙盒中抽取的1个球为蓝球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为A2，则P(A2)＝×＝，而A1与A2互斥，则p1＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝.此时，ξ1的取值为1或2，P(ξ1＝1)＝，P(ξ1＝2)＝，则E(ξ1)＝1×＋2×＝.当i＝2时，若从乙盒中抽取的2个球都为红球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为B1，则P(B1)＝.若从乙盒中抽取的2个球为1个红球和1个蓝球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为B2，则P(B2)＝×.若从乙盒中抽取的2个球都是蓝球，记从甲盒中取1个球是红球的事件为B3，则P(B3)＝×.因为B1，B2，B3互斥，则p2＝P(B1＋B2＋B3)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)＝＝＝＝.则p1－p2＝>0，即有p1>p2.此时，ξ2的取值为1,2,3.P(ξ2＝1)＝，P(ξ2＝2)＝，P(ξ2＝3)＝，则E(ξ2)＝1×＋2×＋3×＝＝3p2＝，则有E(ξ1)<E(ξ2)，综上，p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2)，故选A.2．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.答案25解析设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝2)＝－p，从而由E(ξ)＝0×＋1×p＋2×＝1，得p＝.故D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.3．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．解(1)由统计结果可得T的频率分布为从而E(T)32(分钟)．(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．解法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.。
2018高考数学异构异模复习考案 第十二章 概率与统计 12.3.1 条件概率、相互独立事件及二项分布撬题 理1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312答案 A解析 根据二项分布，由题意得所求概率P ＝C 23×0.62×(1－0.6)＋C 33×0.63＝0.648.2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45答案 A解析 设某天空气质量为优良为事件A ，随后一天空气质量为优良为事件B ，由已知得P (A )＝0.75，P (AB )＝0.6，所求事件的概率为P (B |A )＝P AB P A ＝0.60.75＝0.8，故选A.3．已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________. 答案 13解析 根据二项分布的期望与方差． 由题知⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30np－p ＝20得p ＝13.4.某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图所示．(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些； (2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．解 (1)x 甲＝18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x 乙＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s 2甲＝18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大． 所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316，X 的所有可能取值为0,1,2.依题意，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫2，316，P (X ＝k )＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫316k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13162－k，k ＝0,1,2， 则X 的分布列为X 的均值E (X )＝2×316＝38.5．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X (2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率． 解 (1)设A 表示事件“作物产量为300 kg”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg”， 由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000， 300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.P (X ＝4000)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2000)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2，所以X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4000)＋P (X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)，3季的利润均不少于2000元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512；3季中有2季利润不少于2000元的概率为P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.6.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．解 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝⎛⎭⎪⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝18，P (X ＝－200)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝⎛⎭⎪⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i i 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)X 的数学期望为E (X )＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得的分数X 的均值为负． 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．。
2018高考数学异构异模复习考案 第十二章 概率与统计 12.3.2 正态分布撬题 理1．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772(附：若X ～N (μ，σ2)，则 P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544.)答案 C解析 由题意可得，P (0<x ≤1)＝12P (－1<x ≤1)＝0.3413，设落入阴影部分的点的个数为n ，则P ＝S 阴影S 正方形＝0.34131＝n 10000，则n ＝3413，选C. 2．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%答案 B解析 由已知μ＝0，σ＝3.所以P (3<ξ<6)＝12[P (－6<ξ<6)－P (－3<ξ<3)]＝12(95.44%－68.26%)＝12×27.18%＝13.59%.故选B.3.设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )答案 C解析 由正态分布密度曲线的性质可知，X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线x ＝μ1，x ＝μ2对称，因此结合题中所给图象可得，μ1<μ2，所以P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错误．又X ～N (μ1，σ21)的密度曲线较Y ～N (μ2，σ22)的密度曲线“瘦高”，所以σ1<σ2，所以P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，B 错误．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )，P (X ≥t )≤P (Y ≥t )，C 正确，D 错误．4．已知随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝a ，a 为常数，则P (－1≤ξ≤0)＝________.答案 12－a 解析 由正态曲线的对称轴为ξ＝0，又P (ξ>1)＝a ，故P (ξ<－1)＝a ，所以P (－1≤ξ≤0)＝1－2a 2＝12－a ，即答案为12－a .5．某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N )服从正态分布N (100,102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．答案 10解析 由题意，知P (ξ>110)＝1－2P ξ2＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.。
2018高考数学异构异模复习考案 第十二章 概率与统计 课时撬分练12.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差 理时间：60分钟基础组1.[2016·枣强中学模拟]设随机变量的分布列如表所示，且E (ξ)＝1.6，则ab ＝( )A.0.2 C ．0.15 D ．0.4答案 C解析 由分布列的性质，得0.1＋a ＋b ＋0.1＝1. ∴a ＋b ＝0.8.①又由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6， 得a ＋2b ＝1.3.②由①②解得a ＝0.3，b ＝0.5，∴ab ＝0.3×0.5＝0.15.2．[2016·衡水二中期末]某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X ，得分为Y ，则E (X )，D (Y )分别为( )A ．0.6,60B ．3,12C ．3,120D ．3,1.2答案 C解析 X ～B (5,0.6)，Y ＝10X ，∴E (X )＝5×0.6＝3，D (X )＝5×0.6×0.4＝1.2，D (Y )＝100D (X )＝120. 3．[2016·武邑中学猜题]一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为( )A.12B.23 C ．1 D ．2答案 C解析 将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A 44种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4.其中，P (ξ＝0)＝9A 44＝38，P (ξ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124，E (ξ)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1，故选C. 4．[2016·冀州中学仿真]已知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，并且η＝2ξ＋3，则方差D (η)＝( ) A.329 B.89 C.439D.599答案 A解析 D (ξ)＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝89，∵η＝2ξ＋3，∴D (η)＝4·D (ξ)＝4×89＝329.5．[2016·武邑中学预测]现有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机地、无放回地抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是( )A ．6B ．7.8C ．9D ．12答案 B解析 P (ξ＝6)＝C 38C 310，P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310，P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310，则E (ξ)＝6×C 38C 310＋9×C 28C 12C 310＋12×C 18C 22C 310＝7.8.6．[2016·衡水二中模拟]甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数X 的数学期望是( )A.43B.119C ．1 D.89答案 A解析 依题意，X 的取值为0,1,2，且P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝19，P (X ＝1)＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23＝49，P (X ＝2)＝23×23＝49.故X 的数学期望E (X )＝0×19＋1×49＋2×49＝129＝43，故选A.7．[2016·枣强中学期末]设随机变量ξ的概率分布列如下表所示：其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的均值为3，则ξ的方差为________．答案 59解析 由题意有a ＋b ＋c ＝1,2b ＝a ＋c ，b ＋2c ＝43，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，则其方差为D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－432×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－432×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－432×12＝59. 8．[2016·衡水二中仿真]某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则均值E (ξ)＝________(结果用最简分数表示)．答案 47解析 可以将“从7名学生中选出2名志愿者”看作“从7件产品中抽取2件产品”，将“选出的志愿者中女生的人数”看作“任取2件产品中的次品数”，则随机变量ξ服从参数为N ＝7，M ＝2，n ＝2的超几何分布．ξ的可能取值为0,1,2，因为P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 12C 15C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121，故ξ的分布列为从而E (ξ)＝0×1021＋1×21＋2×21＝7.或由超几何分布期望E (ξ)＝N ＝7＝47.9.[2016·枣强中学期中]一个袋子里装有7个球，其中有红球4个，编号分别为1,2,3,4；白球3个，编号分别为1,2,3.从袋子中任取4个球(假设取到任何一个球的可能性相同)．(1)求取出的4个球中，含有编号为3的球的概率；(2)在取出的4个球中，红球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 解 (1)设“取出的4个球中，含有编号为3的球”为事件A ，由题意知，取出4个球共有C 47种取法，其中含有编号为3的球的取法有C 12C 35＋C 22C 25种． 则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67. 所以取出的4个球中，含有编号为3的球的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4， 则P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47，所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝1×35＋2×35＋3×7＋4×7＝5.10．[2016·衡水二中热身]为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．(1)在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；(2)在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列． 解 (1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件B 为“采访该团3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件A 1为“采访该团3人，1人持金卡，0人持银卡”，事件A 2为“采访该团3人，1人持金卡，1人持银卡”，则P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＝C 19C 221C 336＋C 19C 16C 121C 336＝934＋27170＝3685.所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3，且ξ服从参数为N ＝9，M ＝6，n ＝3的超几何分布，故P (ξ＝0)＝C 06C 33C 39＝184，P (ξ＝1)＝C 16C 23C 39＝314，P (ξ＝2)＝C 26C 13C 39＝1528，P (ξ＝3)＝C 36C 03C 39＝521.所以ξ的分布列为n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)ξ的取值为0,1,2,3,4，其分布列为∴E (ξ)＝0×2＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (ξ)得2.75a 2＝11，得a ＝±2， 又E (η)＝aE (ξ)＋b ，∴当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.12．[2016·衡水二中预测]年龄在60岁(含60岁)以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，－1表示“生活不能自理”．(1)估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率；(2)若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于 1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”．请写出该地区老龄人健康指数X 的分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”．解 (1)该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为250＋260＋65250＋260＋65＋25＝2324，所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为2324.(2)该地区老龄人健康指数X 的可能取值为2,1,0，－1，其分布列为(用频率估计概率)：E (X )＝2×270700＋1×700＋0×700＋(－1)×700＝1.15， 因为E (X )<1.2，所以该地区不能被评为“老龄健康地区”．能力组13.[2016·枣强中学月考]某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400答案 B解析 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1000,0.1)，所以E (ξ)＝1000×0.1＝100， 而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200.14．[2016·衡水二中猜题]若p 为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则E (ξ)的最大值为________，D (ξ)的最大值为________．答案 321解析 E (ξ)＝p ＋1≤32⎝⎛⎭⎪⎫0≤p ≤12；D (ξ)＝－p 2－p ＋1≤1.15．[2016·衡水二中一轮检测]某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.答案 53解析 由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X 的分布列为E (X )＝0×112＋1×13＋2×12＋3×6＝3.16.[2016·冀州中学周测]甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”， 则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. 所以甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率为5681.(2)X 的可能取值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为E (X )＝2×59＋3×29＋4×81＋5×81＝81.。
