2014-2015年山东省济宁市兖州市高二上学期数学期中试卷带答案

宿迁市剑桥国际学校2014-2015学年上学期期中考试高二数学试卷注 意：1．本试题满分160分，考试时间：120分钟．2．答题前请将试卷答题卷密封线内的有关项目填写清楚，密封线内不能答题． 3．将答案填写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束只交答题卷．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

只填结果，不要过程！） 1、过点(2,3)-且与直线210x y -+=垂直的直线的方程为 ▲ ； 2、过三点(4,0),(0,2)A B -和原点(0,0)O 的圆的标准方程为 ▲ ；3、已知ABC ∆中，(2,4),(1,3),(2,1),A B C --则BC 边上的高AD 的长为 ▲ ；4、已知两条直线12:(3)453,:2(5)8.l m x y m l x m y ++=-++= 若直线1l 与直线2l 平行，则实数m = ▲ ；5、已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m ； ②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ； ③若l ∥m ，m ⊂α，，则l ∥α； ④若l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 其中真命题是 ▲ (写出所有真命题的序号)． 6、若两圆224x y +=，222210xy mx m +-+-=相外切，则实数m = ▲ ；7、若,x y 满足约束条件023,23x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则zx y =-的最小值是 ▲ ；8、过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线,切点分别为,A B ,记APB α∠=,当α最小时,此时点P 坐标为 ▲ ； 9、右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 ▲ 米；10、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ；11、已知点P 在抛物线24x y =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(2,3)，若PA PF +的最小值为,M 此时点P 的纵坐标的值为,n 则M n += ▲ ； 12、在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为22(4)1x y -+=,若直线3y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心, 2为半径的圆与圆C 有公共点, 则k 的最大值是 ▲ ；13、已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是 ▲ ；14、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 是椭圆的左右焦点，l 是右准线，若椭圆上存在点P ，使1PF 是P 到直线l 的距离的2倍， 则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ；二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15、（14分） 如图,已知斜三棱柱111ABC A B C -中,AB AC =,D 为BC 的中点. (1) （7分）若1AA AD ⊥，求证:1AD DC ⊥； (2) （7分）求证:1A B // 平面1ADC16、（14分）如图,在四棱锥P ABCD -中, AB ∥DC ,2DC AB =,AP AD =,,,PB AC BD AC ⊥⊥E 为PD 的中点.求证:(1) （7分）AE ∥平面PBC ;(2) （7分）PD ⊥平面ACE .ABCDA 1B 1C 1(第15题)DCBA E P（第16题图）17、（14分）（1）（7分）已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；(2) （7分）已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，准线方程为516±=x ， 求该双曲线的标准方程.18、（16分）已知ABC ∆三个顶点坐标分别为：(1,0),(1,4),(3,2)A B C ，直线l 经过点(0,4)．(1) （5分）求ABC ∆外接圆M 的方程；(2) （5分）若直线l 与M 相切，求直线l 的方程；(3) （6分）若直线l 与M 相交于,A B 两点，且AB =l 的方程．19、（16分）已知直线l 与圆22:240C xy x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为(0,1)M ，（1）（4分）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程；（2）（4分）若圆C 上存在四个点到直线l a 的取值范围；（3）（8分）已知(0,3)N -，若圆C 上存在两个不同的点P ，使PM=，求实数a 的取值范围.20、（16分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率3e =，且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. (1) （6分）求椭圆C 的方程;(2) （10分）在椭圆C 上,是否存在点(),M m n ,使得直线l :1mx ny +=与圆O :221x y +=相交于不同的两点,A B ,且OAB ∆的面积最大? 若存在,求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积; 若不存在,请说明理由.高二数学期中考试 数学参考答1、210x y ++=2、22(2)(1)5x y ++-=3、54、7-5、②、④6、3±7、－38、()2,4-- 9、 10、11、5 12、247 13、83 14、15、【答案】证明:(1)因为AB =AC ,D 为BC 的中点,所以AD ⊥BC . …… 2分 因为1AA AD ⊥，11AA CC ，所以1AD CC ⊥，…… 4分1CC BC C =，所以AD ⊥平面BCC 1B 1 ，…… 6分因为DC 1⊂平面BCC 1B 1,所以AD ⊥DC 1 …… 7分(2) 连结A 1C ,交AC 1于点O ,连结OD , 则O 为A 1C 的中点. 因为D 为BC 的中点,所以OD//A 1B …… 9分 因为OD ⊂平面ADC 1,A 1B /⊂平面ADC 1, …… 12分 所以A 1B//平面ADC 1 …… 14分16、证明:(1)取PC 中点F ,连结EF ,BF ,∵E 为PD 中点,∴EF ∥DC 且EF =12DC .…… 2分∵AB ∥DC 且12AB DC =,∴EF ∥AB 且EF =AB .∴四边形ABFE 为平行四边形. ∴AE ∥BF . …… 4分 ∵AE ⊄平面PBC ,BF ⊂平面PBC , ∴AE ∥平面PBC . …… 7分(2)∵PB ⊥AC ,BD ⊥AC ,PBBD B =,∴AC ⊥平面PBD . (9)分∵PD ⊂平面PBD ,∴AC ⊥PD . …… 10分ABC DA 1B 1C 1（第15题图）O∵AP AD =,E 为PD 的中点,∴PD AE ⊥. …… 12分 ∵AE AC A =,∴PD ⊥平面ACE .…… 14分17．解：（1）设椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，由题意得22,1,3a c b ==⇒=，…………… 3分所以所求椭圆的标准方程为22143x y +=． …………… 7分（选修1—135页5（1）！ （2）由题意知双曲线标准方程为：12222=-by a x ，所以43=a b ，2165a c = ，…………… 9分 又222b ac +=，解得4,3a b ==，…………… 11分所以所求双曲线标准方程为221169x y -=. …………… 14分18． 解：（1）解法1：设M 的方程为：220,x y Dx Ey F ++++=则由题意得101740,13320D F D E F D E F ++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得24,1D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴M 的方程为222410x y x y +--+=，或22(1)(2)4x y -+-=．………… 5分解法2：(1,0),(1,4)A B 的横坐标相同，故可设(,2)M m ，由22MA MC = 得22(1)4(3)m m -+=-，解得1m =，FP E A BCD（第16题图）∴M 的方程为22(1)(2)4x y -+-=，或222410x y x y +--+=．解法3：(1,0),(1,4),(3,2)A B C ，(2,2),(2,2)CA CB ∴==-，0,CA CB CA CB ∴⋅==，则ACB ∆是等腰直角三角形， 因而ACB ∆圆心为(1,2)，半径为2，∴M 的方程为22(1)(2)4x y -+-=．(2)当直线l 与x 轴垂直时，显然不合题意，因而直线l 的斜率存在，设:4l y kx =+，2=，解得0k =或43k =，………… 8分 故直线l 的方程为4y =或43120x y -+=．………… 10分 （3）当直线l 与x 轴垂直时，l 方程为0x=，它截M 得弦长恰为… 12分当直线l 的斜率存在时，设:4l y kx =+，∵圆心到直线4y kx=+，由勾股定理得224+=，解得34k =-，…… 14分故直线l 的方程为0x =或34160x y +-=． ………… 16分19、课本必修—2130P —15改编！解：（1）圆22:(1)(2)5,(1,2),5)C x y a C r a ++-=--=<…… 1分据题意：3CM a =<<…… 2分 因为,1,1,1CM AB CM AB CM AB k k k k ⊥⇒=-=-⇒= 所以直线l 的方程为10x y -+=…… 4分（2）与直线l 1:30l x y -+=过圆心，有两个交点，…… 6分2:10l xy --=与圆相交，3;a ⇒<<-…… 8分（3）设22(,),(5)12P x y PM x y ⇒++=…… 12分 据题意：两个圆相交：5757a <<--<<…… 14分且573<，所以：5757a --<< …… 16分20.解析:（1）因为e =所以2223c a =,于是223a b =.………… 1分设椭圆C 上任一点(),P x y ,则()()2222222222122443y PQ x y a y y y b b ⎛⎫=+-=-+-=--++ ⎪⎝⎭(b y b -≤≤). … 2分当01b <<时,2PQ 在y b =-时取到最大值,且最大值为244b b ++, 由2449b b ++=解得1b =,与假设01b <<不符合,舍去. ………… 4分 当1b ≥时,2PQ 在1y =-时取到最大值,且最大值为236b +,由2369b +=解得21b =.于是23a =,椭圆C 的方程是2213x y +=. ………… 6分(2)圆心到直线l 的距离为d =,弦长AB =所以OAB ∆的面积为12S AB d =⋅=,于是()2222211124S d d d ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.………… 8分而(),M m n 是椭圆上的点,所以2213m n +=,即2233m n =-, 于是22221132d m n n ==+-,而11n -≤≤,所以201n ≤≤,21323n ≤-≤, 所以2113d ≤≤,………… 10分于是当212d =时,2S 取到最大值14,此时S 取到最大值12,此时212n =,232m =. ………… 12分综上所述,椭圆上存在四个点⎝⎭、⎛ ⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭,使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ,且OAB 的面积最大,且最大值为12. （每一个点坐标写出各1分，计4分！）………… 16分。

山东省济宁市兖州区2015-2016学年高二数学上学期期中试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知数列则是它的第（ ）项.A. 22B. 21C. 20D.192．若x ＞y ，m ＞n ，下列不等式正确的是( )A ．x －m ＞y －nB ．xm ＞ynC.n x ＞m y D ．m －y ＞n －x3．在△ABC 中，b ＝3, c ＝4，B ＝30°，则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解4. 在△ABC 中，所对的边分别为，若c cos C =b cos B ，则△ABC 的形状一定是( )A. 等腰或直角三角形B. 直角三角形C.等腰三角形D. 等边三角形 5．设a ＞0，b ＞0，则下列不等式中正确的有几个( )(1)a 2＋1＞a ；(2)(a ＋a 1)(b ＋b 1)≥4；(3)(a ＋b )(a 1＋b 1)≥4；(4)a 2＋9＞6a ；(5)a 2＋1＋a2＋11＞2.A ．1B ．2C ．3D ．4 6．已知变量x ，y 满足约束条件y －x ＋1≥0，y －3x －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－47．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．38．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．不存在9等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 3510．函数y ＝x －1x2＋2(x ＞1)的最小值是( )A ．2B ． 2C ．2＋2D ．2－2二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11. 在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为、、，若，则角C 的大小为 ．12． 2，x ，y ，z,18成等比数列，则x ＝____________.13．在等差数列项的和_______. 14．一元二次不等式 对一切实数 都成立的 的取值范围为________．15．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋n 1)，则a n ＝________．三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)16．(本小题满分12分)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝23a n －3，求数列{a n }的通项公式．17．(本小题满分12分)如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 nmile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 nmile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°，求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处的距离．18(本小题满分12分)(课本99页例2)某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为 4800 ,深为3 .如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?19．(本小题满分12分) (12分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2c sin A .(1)求角C 的值；(2)若c ＝，且S △ABC ＝23，求a ＋b 的值．20．(本小题满分13分) 已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝－12(n ∈N *)，求数列{a n }的前n 项和T n .21. (本小题满分14分)已知数列中，.（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，数列的前n 项和为， 若不等式对一切恒成立，求的取值范围.答案BDBAD BABBC11. （或）12. ±2 13. 99 14. 15. 2＋ln n ，16解析 n ≥2时，S n ＝23a n －3，①S n －1＝23a n －1－3，②① －②知a n ＝23a n －23a n －1，即21a n ＝23a n －1.∴an －1an ＝3，(8分)由S n ＝23a n －3，得S 1＝a 1＝23a 1－3.故a 1＝6，∴a n ＝2·3n. (12分)17.解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，AB ＝12 ，由正弦定理，得AD ＝sin ∠ADBABsinB ＝23＝24(nmile )．(6分)(2)在△ADC 中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD·AC·cos 30°.解得CD ＝8(nmile )．∴A 处与D 处的距离为24 nmile ，灯塔C 与D 处的距离为8 nmile . (12分)18课本99页例219解析 (1)由a ＝2c sin A 及正弦定理，得c a ＝32sinA ＝sinC sinA .∵sin A ≠0，∴sin C ＝23.又∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝3π.(4分)(2)方法一 c ＝，C ＝3π，由面积公式，得21ab sin3π＝23，即ab ＝6.①由余弦定理，得a 2＋b 2－2ab cos3π＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5. (12分)方法二 前同方法一，联立①②得ab ＝6a2＋b2－ab ＝7，⇔ab ＝6，a2＋b2＝13，消去b 并整理得a 4－13a 2＋36＝0，解得a 2＝4或a 2＝9，即b ＝3a ＝2，或b ＝2.a ＝3，故a ＋b ＝5.20.解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2.由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝21[n (a 1＋a n )]，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n . (6分)(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a n 2－1＝4n (n ＋1)，因此T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝41n ＋11＝41n ＋11＝n ＋1n ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n ＋1n .(13分) 21.解: （1）由知，， 又是以为首项，为公比的等比数列，......................................5分（2）， ..............................................................6分，两式相减得，......................................................10分若n为偶数，则若n为奇数，则.........................................................14分。

2014-2015学年山东省济宁市兖州一中高二（上）12月月考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．下列命题：（1）5＞4；（2）命题：若a＞b，则a+c＞b+c的否命题；（3）“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题；（4）命题：“矩形的两条对角线相等”的逆命题．其中假命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）A．B．C．D．3．若a，b，c，d∈R，a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．ac＞bd B．a2＞b2C．c2≥d2D．a﹣d＞b﹣c4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣11，a5+a6=﹣4，S n取得最小值时n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．95．设a∈R，则“a=﹣1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：（a﹣1）x+ay+4=0垂直”的（）条件．A．充要 B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要6．在△ABC中，三边a、b、c与面积S的关系是S=（a2+b2﹣c2），则角C应为（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．等差数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为S，T，R，则（）A．S2+T2=S（T+R）B．R=3（T﹣S）C．T2=SR D．S+R=2T8．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于（忽略人的身高）（参考数据≈1.732）（）A．110米B．112米C．220米D．224米9．设x＞y＞z，n∈Z，且恒成立，则n的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．510．己知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足：3a1﹣a82+3a15=0，且a8=b10，则b3b17=（）A．9 B．12 C．l6 D．36二、填空题（每小题5分）11．已知锐角α，β满足，则α+β= ．12．在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，则△ABC的形状为．13．已知p：0＜a＜4恒成立，q：ax2+ax+1＞0恒成立，p是q的条件．14．已知{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10值为．15．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为．三、解答题16．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2+2x﹣8＞0，且¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．（1）在△ABC中，a+b=+，A=60°，B=45°，求a，b；（2）在△ABC中边a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．18．（1）若关于x的不等式﹣+2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，求实数m的值；（2）已知x，y都是正数，若4x+y=6，求的最小值．19．已知数列a n的前n项和S n=，n∈N+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n满足：b n=（a n+2）•2n，n∈N+，试求{b n}的前n项和公式T n．20．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为A，当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21．设函数f（x）=x2+2ax+3．（1）关于x的不等式f（x）≥3a﹣1对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜1；（3）函数f（x）在区间[﹣1，]上有零点，求实数a的取值范围．2014-2015学年山东省济宁市兖州一中高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．下列命题：（1）5＞4；（2）命题：若a＞b，则a+c＞b+c的否命题；（3）“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题；（4）命题：“矩形的两条对角线相等”的逆命题．其中假命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：（1），由于5与4的关系明确，易判断（1）正确；（2）写出命题：“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题，再判断（2）即可；（3）利用“原命题与其逆否命题的真假性相同”，可先判断原命题“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实数根”的真假性，即可判断（3）；（4）写出命题：“矩形的两条对角线相等”的逆命题，可判断（4）．解答：解：（1）5＞4，正确；（2）命题：“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题为“若a≤b，则a+c≤b+c”，正确；（3）“若m＞0，则x2+x﹣m=0中△=（﹣1）2﹣4×（﹣m）=1+4m＞1＞0，故方程x2+x﹣m=0有实数根，为真命题，由于原命题与其逆否命题的真假性相同，故其逆否命题为真命题，即（3）正确；（4）命题：“矩形的两条对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，显然错误．综上所述，假命题的个数为1个，故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系及真假判断，是基本知识的考查．2．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）A．B．C．D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理将3sinA=5sinB转化为5b=3a，从而将b、c用a表示，代入余弦定理即可求出cosC，即可得出∠C．解答：解：∵b+c=2a，由正弦定理知，5sinB=3sinA可化为：5b=3a，解得c=b，由余弦定理得，cosC==，∴C=，故选：B．点评：本题考查等差数列的性质，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．3．若a，b，c，d∈R，a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．ac＞bd B．a2＞b2C．c2≥d2D．a﹣d＞b﹣c考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的基本性质即可得出．解答：解：∵c＞d，∴﹣d＞﹣c，又∵a＞b，∴a﹣d＞b﹣c．故选：D．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣11，a5+a6=﹣4，S n取得最小值时n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：【解法一】求出{a n}的通项公式a n，在a n≤0时，前n项和S n取得最小值，可以求出此时的n；【解法二】求出{a n}的前n项和S n的表达式，利用表达式是二次函数，有最小值时求对应n的值．解答：解：【解法一】在等差数列{a n}中，设公差为d，∵a1=﹣11，a5+a6=﹣4，∴（a1+4d）+（a1+5d）=﹣22+9d=﹣4；∴d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，由2n﹣13≤0，得n≤，∴当n=6时，S n取得最小值；【解法二】在等差数列{a n}中，设公差为d，∵a1=﹣11，a5+a6=﹣4，∴（a1+4d）+（a1+5d）=﹣22+9d=﹣4，∴d=2，∴前n项和S n=na1+=﹣11n+=n2﹣12n，∴当n=6时，S n取得最小值；故选：A．点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和综合应用问题，是基础题．5．设a∈R，则“a=﹣1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：（a﹣1）x+ay+4=0垂直”的（）条件．A．充要 B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，结合直线垂直的性质及判定分别进行判断即可．解答：解：若a=﹣1，则l1的斜率是，l2的斜率是2，l1⊥l2，是充分条件，若l1⊥l2，则a（a﹣1）+2a=0，解得：a=0或a=﹣1，不是必要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查了直线的垂直，是一道基础题．6．在△ABC中，三边a、b、c与面积S的关系是S=（a2+b2﹣c2），则角C应为（）A．30° B．45° C．60° D．90°考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：用三角形面积公式表示出S，利用题设等式建立等式，进而利用余弦定理求得2abcosC=a2+b2﹣c2，进而整理求得sinC和cosC的关系进而求得C．解答：解：由三角形面积公式可知S=absinC，∵S=，∴absinC=由余弦定理可知2abcosC=a2+b2﹣c2∴sinC=cosC，即tanC=1，∴C=45°故选B点评：本题主要考查了余弦定理的应用．要能熟练掌握余弦定理公式及其变形公式．7．等差数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为S，T，R，则（）A．S2+T2=S（T+R）B．R=3（T﹣S）C．T2=SR D．S+R=2T考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的“片段和”仍成等差数列可得S，T﹣S，R﹣T成等差数列，由等差中项可得．解答：解：由等差数列的“片段和”仍成等差数列，可得：S，T﹣S，R﹣T成等差数列，∴2（T﹣S）=S+R﹣T变形可得R=3（T﹣S），故选：B点评：本题考查等差数列的性质，得出“片段和”仍成等差数列是解决问题的关键，属基础题．8．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于（忽略人的身高）（参考数据≈1.732）（）A．110米B．112米C．220米D．224米考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用CD表示出AD，BD，让QD减去BD等于80，即可求得CD长．解答：解：设CD=x，在Rt△ACD中，∠A=30°，∴AD=CDtan60°=x，在Rt△CDB中，∠CBD=45°，∴BD=x，∵AB=80米，∵x﹣x=80∴x=40（+1）≈110米故选：A．点评：本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．9．设x＞y＞z，n∈Z，且恒成立，则n的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：函数恒成立问题．专题：综合题．分析：设x＞y＞z，n∈N，由柯西不等式知=，要使恒成立，只需，由此能求出n的最大值．解答：解：设x＞y＞z，n∈N，由柯西不等式知：=要使恒成立，只需，所以n的最大值为4．故选C．点评：本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意柯西不等式的灵活运用．10．己知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足：3a1﹣a82+3a15=0，且a8=b10，则b3b17=（）A．9 B．12 C．l6 D．36考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：运用等差数列的性质，等比数列的性质求解．解答：解：∵等差数列{a n}和等比数列{b n}满足：3a1﹣a82+3a15=0，且a8=b10，∴a=3a1+3a15=6a8，a8=6，a8=0（舍去），b10=6b3b17=b102=36故选：D点评：本题综合考查了等差等比数列的定义，性质．二、填空题（每小题5分）11．已知锐角α，β满足，则α+β= ．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由α、β∈（0，），利用同角三角函数的关系算出cosα、sinβ的值，进而根据两角和的余弦公式算出cos（α+β）=，结合α+β∈（0，π）可得α+β的值．解答：解：∵α、β∈（0，），满足，∴cosα==，sinβ==．由此可得cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=•﹣•=．又∵α+β∈（0，π），∴α+β=．故答案为：点评：本题给出角α、β满足的条件，求α+β的值．着重考查了特殊角的三角函数值、同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式等知识，属于中档题．12．在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，则△ABC的形状为等边三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用正弦定理化简sin2A=sinBsinC，得到a2=bc，与2a=b+c联立得到a=b=c，可得出三角形ABC为等边三角形．解答：解：由正弦定理化简sin2A=sinBsinC，得到a2=bc，又2a=b+c，即a=，∴a2==bc，即（b+c）2=4bc，∴（b﹣c）2=0，即b=c，∴2a=b+c=b+b=2b，即a=b，∴a=b=c，则△ABC为等边三角形．故答案为：等边三角形点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理，以及等边三角形的判定，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13．已知p：0＜a＜4恒成立，q：ax2+ax+1＞0恒成立，p是q的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据q：ax2+ax+1＞0恒成立，由已知得a=0，或，由此能求出实数a的取值范围．即可判断答案．解答：解：∵不等式ax2+ax+1＞0对任意x∈R恒成立，∴a=0，或，解得0≤a＜4，∴q：ax2+ax+1＞0恒成立，实数a的取值范围是[0，4）．∵p：0＜a＜4恒成立，∴根据充分必要条件的定义可判断：，p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要条件点评：本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意二次函数的性质的合理运用，系数为0的情况．14．已知{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10值为110 ．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：本题可根据等差数列的前n项和的一上性质{S（k+1）m﹣S km}是以m2d为公差的数列，本题中令m=5，每五项的和也组成一个等差数列，再由数列中项知识求出前五项的和，由此建立方程求出公差，进而可求出S10的值解答：解：由题意a3=16，故S5=5×a3=80，由数列的性质S10﹣S5=80+25d，S15﹣S10=80+50d，S20﹣S15=80+75d，故S20=20=320+150d，解之得d=﹣2又S10=S5+S10﹣S5=80+80+25d=160﹣50=110故答案为：110点评：本题考点是等差数列的性质，考查等差数列前n项和的性质，以及数列的中项的运用，本题技巧性较强，属于等差数列的性质运用题，解答本题，要注意从题设条件中分析出应该用那个性质来进行转化．15．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为 2 ．考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可求得k值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，得C（1，2），由题意可知，使目标函数取得最大值的最优解为B（3，0），取得最小值的最优解为（1，2），则，解得：k=2．故答案为：2．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题16．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2+2x﹣8＞0，且¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：探究型．分析：先求出命题p，q 的等价条件，将条件¬p是¬q的必要不充分条件转化为q是p必要不充分条件，进行求解即可．解答：解：设A={x|x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）}={x|3a＜x＜a（a＜0）}，B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|x＜﹣4或x＞2}．…（5分）∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴q是p必要不充分条件，∴A⊊B，…（8分）所以3a≥2或a≤﹣4，又a＜0，所以实数a的取值范围是a≤﹣4．…（12分）点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，条件¬p是¬q的必要不充分条件转化为q 是p必要不充分条件是解决本题的关键，注意要熟练掌握一元二次不等式的解法．17．（1）在△ABC中，a+b=+，A=60°，B=45°，求a，b；（2）在△ABC中边a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．考点：正弦定理；等比数列的通项公式．专题：解三角形．分析：（1）利用正弦定理列出关系式，把sinA与sinB的值代入表示出a与b的关系式，与已知关系式联立求出a与b的值即可；（2）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质得到b2=ac，把c=2a代入用a表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将表示出的b，c代入求出cosB的值即可．解答：解：（1）∵△ABC中，a+b=+，A=60°，B=45°，∴由正弦定理=得：=，即a=b，代入a+b=+得：（+1）b=+，解得：b=，a=；（2）∵△ABC中，边a，b，c成等比数列，c=2a，∴b2=ac=2a2，即b=a，由余弦定理得：cosB===．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及等比数列的性质，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（1）若关于x的不等式﹣+2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，求实数m的值；（2）已知x，y都是正数，若4x+y=6，求的最小值．考点：基本不等式；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）原不等式可变为x2﹣（4﹣2m）x＜0，由题意可得0，2是一元二次方程x2﹣（4﹣2m）x=0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出．（2）利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）原不等式可变为x2﹣（4﹣2m）x＜0，∵关于x的不等式﹣+2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，∴0，2是一元二次方程x2﹣（4﹣2m）x=0的两个实数根，∴0+2=4﹣2m，解得m=1，∴实数m=1．（2）∵x，y都是正数，4x+y=6，==，当且仅当y=2x=2时取等号．∴的最小值是．．点评：本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．19．已知数列a n的前n项和S n=，n∈N+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n满足：b n=（a n+2）•2n，n∈N+，试求{b n}的前n项和公式T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用“a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”即可得出．（2）利用“错位相减法”即可得出．解答：解：（1）∵S n=，n∈N+．∴a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2，又n=1时，a1=1也适合，∴数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2．（2）∵b n=（a n+2）•2n=n•2n．∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，∴﹣Tn=2+22+23+24+…2n﹣n×2n+1=，整理得：T n=（n﹣1）2n+1+2．点评：本题考查了利用“a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为A，当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？考点：函数最值的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（Ⅱ）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．解答：解：（Ⅰ）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①当0＜x＜80时，L（x）=+40x﹣250=﹣，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．点评：考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．21．设函数f（x）=x2+2ax+3．（1）关于x的不等式f（x）≥3a﹣1对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜1；（3）函数f（x）在区间[﹣1，]上有零点，求实数a的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：计算题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）x2+2ax+3≥3a﹣1对一切x∈R恒成立，即x2+2ax+4﹣3a≥0，x∈R恒成立，所以（2a）2﹣4（4﹣3a）≤0，解得即可；（2）对判别式讨论大于0，等于0，小于0，再由二次不等式的解法，即可得到；（3）要使函数在[﹣1，]有零点，只需考虑a的符号和对称轴的位置及端点的函数值的符号以及零点存在定理和运用，列出不等式组，解出即可得到范围．解答：解：（1）由题意得，x2+2ax+3≥3a﹣1对一切x∈R恒成立，即x2+2ax+4﹣3a≥0，x∈R恒成立，所以（2a）2﹣4（4﹣3a）≤0，即a2+3a﹣4≤0，解得，﹣4≤a≤1，所以实数a的取值范围﹣4≤a≤1；（2）由f（x）＜1，得，x2+2ax+3＜1，即x2+2ax+2＜0，其中△=4a2﹣8，当△=4a2﹣8≤0即﹣时，不等式无实数解；当△=4a2﹣8＞0，即a或a＜﹣时，设，x2=﹣a则x1＜x＜x2，综上所述，当时，不等式无解；当；（3）要使函数或，或△=4a2﹣12=0，或，或a=，（不合题意）解得，，综上所述，实数a的取值范围（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）．点评：本题考查二次函数的性质和二次不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．。

高二期中检测数学试题 2012.11第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． 已知数列{}n a 中，12211,2,n n n a a a a a ++===+，则5a 等于( ) A.13 B.8 C.5 D.92．在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若2220a b c +-<，则△ABC 是 A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D. 钝角三角形3．等差数列{a n }中，已知1241,14,43n a a a a =+==,则n 为 A ．14B ．15C ．16D ．174．数列{a n }的通项为a n ＝2n ＋1，则由b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn所确定的数列{b n }的前n 项和是( )A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7)5．在ABC △中， 60,4A a b ∠=︒=满足条件的ABC △ ( ) (A)无解(B)只有一解(C)有两解 (D)不能确定6．若△ABC 的三边长为a ，b ，c ，它的面积为a 2＋b 2－c 24，那么内角C 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．若011<<b a ，则下列不等式：①ab b a <+；②22a b >；③b a <；④2>+baa b 中 正确的不等式是 ( c )A.①②B. ②③ C．①④ D．③④8．等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ,B ,C ,则( ) A.A+B =C B.B 2=AC C.(A +B )-C =B2D.A 2+B 2=A (B +C )9．设0,0a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为( )A.8B.4C.1D.1410．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B＝π6，△ABC 的面积为32，那么b 等于( ) A.1＋32 B ．1＋ 3C.2＋32D ．2＋ 311. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a<b ），其全程的平均时速为v ，则 （ ）2a b + D.v=2a b+ 12．对于每个自然数n ，一元二次函数y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于A n ，B n 两点，以|A n B n |表示该两点间的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2014B 2014|的值是( )A.20132014 B. 20152014 C. 20142015D.20142013第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在题中横线上) 13．已知三角形的两边长分别为4和5，其夹角的余弦是方程22320x x +-=的根，则第三边是14．已知递增的等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-，则n a = ． 15．若关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是 .16．给出下列四个条件:①0b a >>;②0a b >>;③0a b >>;④0a b >>.其中能推出11a b<成立的是 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演变步骤) 17. (12分) 若不等式kx 2-2x+6k<0(k ≠0).(1)若不等式解集是{x|x<-3或x>-2}，求k 的值； (2)若不等式解集是R ，求k 的取值。

2014-2015学年山东省济宁市兖州市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．2．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．1763．（5分）设tanα=，则sinα﹣cosα的值（）A． B． C．D．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．95．（5分）等差数列{a n}中，a1+a2+…+a50=200，a51+a52+…+a100=2700，则a1等于（）A．﹣1221 B．﹣21.5 C．﹣20.5 D．﹣206．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+17．（5分）如图D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB=（）A．B．C．D．8．（5分）已知{a n}是等比数列，对任意n∈N*都有a n＞0，如果a3（a3+a5）+a4（a4+a6）=25，则a3+a5=（）A．5 B．10 C．15 D．209．（5分）已知向量=（a n，﹣1），=（2，a n+1），n∈N*且a1=2，⊥，则数列{a n}的前n项和为S n=（）A．2n+1﹣2 B．2﹣2n+1C．2n+1D．3n﹣110．（5分）已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.11．（5分）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n•a n+2=a n+1（n∈N*），则a2014的值为．13．（5分）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且，则sinC的值为．14．（5分）设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a22+a32=a42+a52，则S6=．15．（5分）已知，，则=．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a2+b2的值．17．（12分）已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α+β的值．19．（12分）已知等差数列{a n}满足：a2=5，a4+a6=22，{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）若f（x）=，b n=f（a n）（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．20．（13分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．21．（14分）已知：数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣n，（n∈N*）．（Ⅰ）求：a1，a2的值；（Ⅱ）求：数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若数列{b n}的前n项和为T n，且满足b n=na n，（n∈N*），求数列{b n}的前n 项和T n．2014-2015学年山东省济宁市兖州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：根据正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B为锐角，∴，故选：D．2．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176【解答】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选：B．3．（5分）设tanα=，则sinα﹣cosα的值（）A． B． C．D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α====，∴cosα=﹣，sinα=﹣，则sinα﹣cosα=﹣﹣（﹣）=﹣+．故选：A．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选：A．5．（5分）等差数列{a n}中，a1+a2+…+a50=200，a51+a52+…+a100=2700，则a1等于（）A．﹣1221 B．﹣21.5 C．﹣20.5 D．﹣20【解答】解：∵a1+a2+…+a50=200 ①a51+a52+…+a100=2700 ②②﹣①得：50×50d=2500，∴d=1，∵a1+a2+…+a50=200，∴na1+n（n﹣1）d=200，∴50a1+25×49=200，∴a1=﹣20.5，故选：C．6．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1【解答】解：由a n=3S n，得到a n=3S n﹣1（n≥2），+1﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，两式相减得：a n+1=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，则a n+1得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选：A．7．（5分）如图D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB=（）A．B．C．D．【解答】解：依题意知，DB=，BC=，∴DC=DB﹣BC=AB（﹣）=a，∴AB=，故选：A．8．（5分）已知{a n}是等比数列，对任意n∈N*都有a n＞0，如果a3（a3+a5）+a4（a4+a6）=25，则a3+a5=（）A．5 B．10 C．15 D．20【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴a3a5=a4a6=a52，∵a3（a3+a5）+a4（a4+a6）=25，∴a32+2a3a5+a52=25，∵对任意n∈N*都有a n＞0，∴a3+a5=5，故选：A．9．（5分）已知向量=（a n，﹣1），=（2，a n+1），n∈N*且a1=2，⊥，则数列{a n}的前n项和为S n=（）A．2n+1﹣2 B．2﹣2n+1C．2n+1D．3n﹣1=2a n，【解答】解：由题意，∵⊥，∴•=0，∴a n+1即数列{a n}是以首项a1=2，公比为2的等比数列，∴s n==2n+1﹣2，故选：A．10．（5分）已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数【解答】解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==，故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.11．（5分）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．【解答】解：根据题意设三角形的三边长分别为a，a，2a，∵2a＞a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，则根据余弦定理得：cosθ==﹣．故答案为：﹣12．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n•a n+2=a n+1（n∈N*），则a2014的值为1．【解答】解：∵a n•a n+2=a n+1（n∈N*），由a1=1，a2=2，得a3=2，由a2=2，a3=2，得a4=1，由a3=2，a4=1，得，由，得，由，得a7=1，由，得a 8=2，由此推理可得数列{a n}是一个周期为6的周期数列，∴a2014=a335×6+4=a4=1．故答案为：1．13．（5分）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且，则sinC的值为．【解答】解：设AB=a，则∵∴在△ABD中，∴∴在△BDC中，∴=故答案为：14．（5分）设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a22+a32=a42+a52，则S6=0．【解答】解：设等差数列的公差为d，（d≠0），由a22+a32=a42+a52可得，即2d（a5+a3）+2d（a4+a2）=0，即a5+a3+a4+a2=0，由等差数列的性质可得2a4+2a3=0，即a4+a3=0，又a1+a6=a4+a3=0，故S6==0故答案为：015．（5分）已知，，则=．【解答】解：已知，，，，∴，，∴===故答案为：﹣三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a2+b2的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴由正弦定理得…（2分）∴sinC=…（4分）∵△ABC是锐角三角形，∴C=…（6分）（Ⅱ）∵c=，C=，△ABC的面积为，∴由面积公式得=…（8分）∴ab=6 …（9分）由余弦定理得a2+b2﹣2abcos=7 …（11分）∴a2+b2=13 …（12分）17．（12分）已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由a1+a2+a5=12，得3a1+3d=12，又a1=2，∴d=2．则a n=2n；（2）b n=a n+2n=2n+2n，∴=（2+4+…+2n）+（2+22+…+2n）==2n+1+n2+n﹣2．18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α+β的值．【解答】解：（1）由已知得：．∵α，β为锐角，∴．∴．∴．（2）∵，∴．∵α，β为锐角，∴，∴．19．（12分）已知等差数列{a n}满足：a2=5，a4+a6=22，{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）若f（x）=，b n=f（a n）（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d∵a2=5，a4+a6=22，∴a1+d=5，2a1+8d=22，解得a1=3，d=2，∴a n=2n+1，S n=n2+2n．（2）∵f（x）=，b n=f（a n），∴b n=，∵a n=2n+1∴，∴b n==，S n=b1+b2+…+b n===．所以数列{b n}的前n项和S n=．20．（13分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．21．（14分）已知：数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣n，（n∈N*）．（Ⅰ）求：a1，a2的值；（Ⅱ）求：数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若数列{b n}的前n项和为T n，且满足b n=na n，（n∈N*），求数列{b n}的前n 项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=2a n﹣n，令n=1，解得a1=1；令n=2，解得a2=3 …（2分）（Ⅱ）∵S n=2a n﹣n，所以S n=2a n﹣1﹣（n﹣1），（n≥2）﹣1两式相减得a n=2a n﹣1+1 …（4分）所以a n+1=2（a n+1），（n≥2）…（5分）﹣1又因为a1+1=2所以数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列…（6分）所以，即通项公式…（7分）（Ⅲ）∵b n=na n，所以所以+…+（n•2n﹣n）…（9分）令①②①﹣②得=…（11分）∴=2+（n﹣1）•2n+1…（12分）所以…（13分）。

2014-2015学年第一学期高二期中考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．把命题“012,0200<+-∈∃x x R x ”的否定写在横线上__________． 2的倾斜角是 ．3．已知一个球的表面积为264cm π，则这个球的体积为4． “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一个）5．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则实数a ＝________. 6．若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________． 7．已知圆锥的底面半径是3，高为4，这个圆锥的侧面积是________． 8．经过点(2,1)A 且到原点的距离等于2的直线方程是____________.9．设,αβ为使互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①//,,//m n n m αα⊂若则 ②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则 ④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中正确命题的序号为 ．10． 圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .11． 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长均相等，C B BC 11与的交点为D ，则AD 与平面C C BB11所成角的大小是_______．12．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是13．如图是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为 。

2023-2024学年山东省济宁市兖州区高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个白球与都是红球 B ．恰好有一个白球与都是红球C ．至少有一个白球与都是白球D ．至少有一个白球与至少一个红球2．若两条平行直线x ﹣2y +m ＝0（m ＞0）与x +ny ﹣3＝0之间的距离是2√5，则m +n ＝（ ） A ．5B ．﹣15C ．0D ．13．如图，二面角的度数为60°，其棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若AB ＝5，AC ＝BD ＝4，则线段CD 的长为（ ）A ．√73B ．41C ．73D ．√414．已知平面α的一个法向量为n →=(3，1，3)，M(1，0，0)，N(1，32，0)，其中M ∈α，N ∉α，则点N 到平面α的距离为（ ）A ．√1938B ．5√1938C ．3√1938D ．2√19195．在正四棱锥S ﹣ABCD 中，O 为顶点S 在底面内的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成角的余弦值是（ ） A ．√54B ．√22C ．√32D ．126．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立7．已知圆C 的方程为x 2+y 2＝9，直线l ：x +2y ﹣10＝0，点P 是直线l 上的一动点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，当四边形P ACB 的面积最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x +4y +9＝0B ．4x +2y +9＝0C ．4x +2y ﹣9＝0D ．2x +4y ﹣9＝08．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，EF 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1外接球的直径，点P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1表面上的一点，则PE →⋅PF →的取值范围是（ ） A ．[−92，0]B ．[−52，0]C ．[0，52]D ．[0，92]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ）A ．已知直线l 过点P （2，3），且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为x +y ﹣5＝0B ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°C ．a ∈R ，b ∈R ，“直线ax +2y ﹣1＝0与直线（a +1）x ﹣2ay +1＝0垂直”是“a ＝3”的必要不充分条件D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l 的斜率为−2310．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．已知两个向量a →=(m ，1，3)，b →=(−1，5，n)，且a →∥b →，则mn ＝﹣3B ．已知a →=(0，1，1)，b →=(0，0，−1)，则b →在a →上的投影向量为(0，−12，−12)C ．设{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则{a →−b →，b →，c →}也是空间的一个基底D ．若对空间中任意一点O ，有OP →=13OA →+12OB →−14OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面 11．下列说法正确的是（ ）A ．圆x 2+y 2﹣10x ﹣10y ＝0与圆x 2+y 2﹣6x +2y ﹣40＝0的公共弦长为4√10B ．过点P （2，1）作圆O ：x 2+y 2＝1的切线l ，则切线l 的方程为4x ﹣3y ﹣5＝0C ．圆x 2+y 2﹣x +2y ＝0与圆(x +2)2+(y −32)2=54关于直线x ﹣y +1＝0对称D ．圆心为A （2，﹣3），半径为5的圆的标准方程是（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝2512．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝1，点P 满足BP →=λBC →+μBB 1→，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）A ．当λ＝1时，△AB 1P 的周长为定值 B ．当μ＝1时，三棱锥P ﹣A 1BC 的体积为定值 C ．当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BP D ．当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．假设P （A ）＝0.7，P （B ）＝0.8，且A 与B 相互独立，则P （A ∪B ）＝ ．14．直线l 经过点(√3，1)，且直线l 的一个方向向量为(−2，−2√3)，若直线l 与x 轴交于点（a ，0），则a ＝ ．15．写出与圆x 2+y 2＝1和（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程 ．16．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝AA 1＝1，M 、N 分别是线段A 1B 1、AC 1上的点，P 是直线AC 上的点，满足MN ∥平面BB 1C 1C ，MN ⊥NP ，且M 、N 不是三棱柱的顶点，则MP 长的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在空间四边形OABC 中，2BD →=DC →，点E 为AD 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →． （1）试用向量a →，b →，c →表示向量OE →；（2）若OA ＝OB ＝OC ＝2，∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝60°，求OE →⋅BC →的值．18．（12分）袋中有7个大小形状相同颜色不全相同的小球，分别为红球、白球、黑球，某同学从中任意取一个球，得到红球或白球的概率是57，得到白球或黑球的概率是47，试求：（1）某同学从中任取一个球，得到红球、白球、黑球的概率各是多少？ （2）某同学从中任取两个小球，得到的两个小球颜色不相同的概率是多少？19．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0（m ∈R ）恒过定点D ．（1）求定点D 的坐标．（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值、直线l 的方程以及最短弦长．20．（12分）甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时甲获胜的概率； （2）求乙最终以2分获胜的概率．21．（12分）如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4．点A 2，B 2，C 2，D 2分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2＝1，BB 2＝DD 2＝2，CC 2＝3． （1）证明：B 2C 2∥A 2D 2；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣A 2C 2﹣D 2为150°时，求B 2P ．22．（12分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD 为正方形，四边形ABFE ，CDEF 为两个全等的等腰梯形，AB ＝4，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，EA ＝ED ＝FB ＝FC ＝3．（1）当点N 为线段AD 的中点时，求证：直线AD ⊥平面EFN ；（2）当点N 在线段AD 上时（包含端点），求平面BFN 和平面ADE 的夹角的余弦值的取值范围．2023-2024学年山东省济宁市兖州区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个白球与都是红球 B ．恰好有一个白球与都是红球C ．至少有一个白球与都是白球D ．至少有一个白球与至少一个红球解：从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球， 对于A ，至少有一个白球与都是红球是对立事件，故A 错误；对于B ，恰好有一个白球与都是红球不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立事件，故B 正确； 对于C ，至少有一个白球与都是白球能同时发生，不是互斥事件，故C 错误； 对于D ，至少有一个白球与至少一个红球能同时发生，不是互斥事件，故D 错误． 故选：B ．2．若两条平行直线x ﹣2y +m ＝0（m ＞0）与x +ny ﹣3＝0之间的距离是2√5，则m +n ＝（ ） A ．5B ．﹣15C ．0D ．1解：直线x ﹣2y +m ＝0（m ＞0）与x +ny ﹣3＝0平行，则n ＝﹣2， 两条平行直线x ﹣2y +m ＝0（m ＞0）与x +ny ﹣3＝0之间的距离是2√5， 则22=2√5，解得m ＝7，故m +n ＝5． 故选：A ．3．如图，二面角的度数为60°，其棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若AB ＝5，AC ＝BD ＝4，则线段CD 的长为（ ）A ．√73B ．41C ．73D ．√41解：由题意可知，AB ＝5，AC ＝BD ＝4，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，＜AC →，BD →＞=60°， ∴AC →⋅BD →=|AC →|•|BD →|cos60°＝42×12=8，∵CD →=CA →+AB →+BD →=AB →+BD →−AC →，∴CD →2=（AB →+BD →−AC →）2=AB →2+BD →2+AC →2+2（AB →⋅BD →−AB →⋅AC →−BD →⋅AC →） ＝52+42+42+2（0﹣0﹣8）＝41， ∴CD =√41． 故选：D ．4．已知平面α的一个法向量为n →=(3，1，3)，M(1，0，0)，N(1，32，0)，其中M ∈α，N ∉α，则点N 到平面α的距离为（ ） A ．√1938B ．5√1938C ．3√1938D ．2√1919解：根据题意可得MN →=(0，32，0)，又M ∈α，N ∉α，且平面α的一个法向量为n →=(3，1，3)，∴点N 到平面α的距离为|MN →||cos ＜MN →，n →＞|=|MN →⋅n →||n →|=32√9+1+9=3√1938．故选：C ．5．在正四棱锥S ﹣ABCD 中，O 为顶点S 在底面内的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成角的余弦值是（ ） A ．√54B ．√22C ．√32D ．12解：如图，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OS 为z 轴，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A(a ，0，0)，B(0，a ，0)，C(−a ，0，0)，D(0，−a ，0)，S(0，0，a)，P(0，−a 2，a2)，则CA →=(2a ，0，0)，AP →=(−a ，−a 2，a2)，CB →=(a ，a ，0)，设平面P AC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅CA →=2ax =0n →⋅AP →=−ax −a 2y +a2z =0，令y ＝1，则x ＝0，z ＝1，可得n →=（0，1，1）， 则cos〈CB →，n →〉=CB →⋅n→|CB →|⋅|n →|=√2a 2⋅√2=12，设直线BC 与平面P AC 的夹角为θ（0°≤θ＜90°），可得直线BC 与平面P AC 的夹角的正弦值为sinθ=|cos〈CB →，n →〉|=12， 所以直线BC 与平面P AC 的夹角的余弦值cosθ=√1−sin 2θ=√32． 故选：C ．6．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）， 两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）， P （甲）=16，P （乙）=16，P （丙）=56×6=536，P （丁）=66×6=16， A ：P （甲丙）＝0≠P （甲）P （丙）， B ：P （甲丁）=136=P （甲）P （丁）， C ：P （乙丙）=136≠P （乙）P （丙）， D ：P （丙丁）＝0≠P （丙）P （丁）， 故选：B ．7．已知圆C 的方程为x 2+y 2＝9，直线l ：x +2y ﹣10＝0，点P 是直线l 上的一动点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，当四边形P ACB 的面积最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x +4y +9＝0B ．4x +2y +9＝0C ．4x +2y ﹣9＝0D ．2x +4y ﹣9＝0解：∵圆x 2+y 2＝9的圆心为C （0，0），半径r ＝3，当点P 与圆心的距离最小时，切线长P A 、PB 最小，此时四边形P ACB 的面积最小， ∴直线PC 与直线l ：x +2y ﹣10＝0垂直， ∴PC 的方程为2x ﹣y ＝0，两方程联立可得x ＝2，y ＝4，∴P （2，4），∴以CP 为直径的圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5． 两圆方程相减可得2x +4y ﹣9＝0． 故选：D ．8．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，EF 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1外接球的直径，点P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1表面上的一点，则PE →⋅PF →的取值范围是（ ） A ．[−92，0]B ．[−52，0]C ．[0，52]D ．[0，92]解：∵在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，EF 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1外接球的直径，点P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1表面上的一点，则设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球的球心为O ，球O 的半径为R ， 则2R =3√3，可得R =3√32， 故OE =OF =3√32，又∵PE →⋅PF →=(PO →+OE →)⋅(PO →+OF →)=(PO →+OE →)⋅(PO →−OE →)=|PO →|2−|OE →|2=PO 2−274， ∵32≤PO ≤3√32， ∴PE →⋅PF →=PO 2−274的范围是[−92，0]． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ）A ．已知直线l 过点P （2，3），且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为x +y ﹣5＝0B ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°C ．a ∈R ，b ∈R ，“直线ax +2y ﹣1＝0与直线（a +1）x ﹣2ay +1＝0垂直”是“a ＝3”的必要不充分条件D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l 的斜率为−23解：对于A ：直线l 过点P （2，3），且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为x +y ﹣5＝0或y =32x ，故A 错误；对于B ：直线√3x +y +1=0，故直线的斜率tan θ=−√3，故θ＝120°，故B 正确；对于C ：a ∈R ，b ∈R ，当“a ＝3”时，“直线ax +2y ﹣1＝0与直线（a +1）x ﹣2ay +1＝0垂直”反之不成立，故“直线ax +2y ﹣1＝0与直线（a +1）x ﹣2ay +1＝0垂直”是“a ＝3”的必要不充分条件，故C 正确；对于D ：若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l 的斜率为−23，故D 正确． 故选：BCD ．10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．已知两个向量a →=(m ，1，3)，b →=(−1，5，n)，且a →∥b →，则mn ＝﹣3B ．已知a →=(0，1，1)，b →=(0，0，−1)，则b →在a →上的投影向量为(0，−12，−12)C ．设{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则{a →−b →，b →，c →}也是空间的一个基底D ．若对空间中任意一点O ，有OP →=13OA →+12OB →−14OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面 解：对于A ：两个向量a →=(m ，1，3)，b →=(−1，5，n)，且a →∥b →，则m−1=15=3n，整理得mn ＝﹣3，故A 正确；对于B ：已知a →=(0，1，1)，b →=(0，0，−1)，则b →在a →上的投影向量为|a →|⋅a →⋅b→|a →||b →|⋅b→|b →|=(0，−12，−12)，故B 正确；对于C ：设{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则{a →−b →，b →，c →}也是空间的一个基底，故C 正确； 对于D ：由于13+12−14≠1，故P ，A ，B ，C 四点不共面，故D 错误．故选：ABC ．11．下列说法正确的是（ ）A ．圆x 2+y 2﹣10x ﹣10y ＝0与圆x 2+y 2﹣6x +2y ﹣40＝0的公共弦长为4√10B ．过点P （2，1）作圆O ：x 2+y 2＝1的切线l ，则切线l 的方程为4x ﹣3y ﹣5＝0C ．圆x 2+y 2﹣x +2y ＝0与圆(x +2)2+(y −32)2=54关于直线x ﹣y +1＝0对称D ．圆心为A （2，﹣3），半径为5的圆的标准方程是（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝25解：对于A ：将圆x 2+y 2﹣10x ﹣10y ＝0与圆x 2+y 2﹣6x +2y ﹣40＝0相减可得4x +12y ﹣40＝0，即x +3y ﹣10＝0，所以两圆的公共弦所在的直线方程为x +3y ﹣10＝0，由圆x 2+y 2﹣10x ﹣10y ＝0的方程可得圆心C （5，5），半径r ＝5√2， 圆x 2+y 2﹣10x ﹣10y ＝0的圆心（5，5）到直线x +3y ﹣10＝0的距离d =|5+15−10|1+9=√10，所以公共弦长为2√50−10=4√10，故A 正确；对于B ：由题知，圆O ：x 2+y 2＝1，圆心为（0，0），半径为1， 因为P （2，1）在圆外，所以设切线l 为y ﹣1＝k （x ﹣2），即kx ﹣y +1﹣2k ＝0， 因为l 与圆O ：x 2+y 2＝1相切， 所以d =√k +1=1，解得k ＝0或k =43，所以切线l 的方程为y ＝1或4x ﹣3y ﹣5＝0，故B 错误； 对于C ：由圆x 2+y 2﹣x +2y ＝0可得圆心为（12，﹣1），半径r 1=√52，设（12，﹣1）关于直线x ﹣y +1＝0的对称点为B （m ，n ），所以{ n+1m−12⋅1=−1m+122−n−12+1=0，解得m ＝﹣2，n =32，所以B （﹣2，32）， 所以圆x 2+y 2﹣x +2y ＝0关于直线x ﹣y +1＝0对称圆的方程为(x +2)2+(y −32)2=54，故C 正确； 对于D ：圆心为A （2，﹣3），半径为5的圆的标准方程是（x ﹣2）2+（y +3）2＝25，故D 错误． 故选：AC ．12．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝1，点P 满足BP →=λBC →+μBB 1→，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）A ．当λ＝1时，△AB 1P 的周长为定值 B ．当μ＝1时，三棱锥P ﹣A 1BC 的体积为定值 C ．当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BPD ．当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P解：对于A ，当λ＝1时，BP →=BC →+μBB 1→，即CP →=μBB 1→，所以CP →∥BB 1→， 故点P 在线段CC 1上，此时△AB 1P 的周长为AB 1+B 1P +AP ， 当点P 为CC 1的中点时，△AB 1P 的周长为√5+√2， 当点P 在点C 1处时，△AB 1P 的周长为2√2+1， 故周长不为定值，故选项A 错误；对于B ，当μ＝1时，BP →=λBC →+BB 1→，即B 1P →=λBC →，所以B 1P →∥BC →， 故点P 在线段B 1C 1上， 因为B 1C 1∥平面A 1BC ，所以直线B 1C 1上的点到平面A 1BC 的距离相等， 又△A 1BC 的面积为定值，所以三棱锥P ﹣A 1BC 的体积为定值，故选项B 正确；对于C ，当λ=12时，取线段BC ，B 1C 1的中点分别为M ，M 1，连结M 1M ，因为BP →=12BC →+μBB 1→，即MP →=μBB 1→，所以MP →∥BB 1→，则点P 在线段M 1M 上，当点P 在M 1处时，A 1M 1⊥B 1C 1，A 1M 1⊥B 1B ， 又B 1C 1∩B 1B ＝B 1，所以A 1M 1⊥平面BB 1C 1C ， 又BM 1⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1M 1⊥BM 1，即A 1P ⊥BP ， 同理，当点P 在M 处，A 1P ⊥BP ，故选项C 错误；对于D ，当μ=12时，取CC 1的中点D 1，BB 1的中点D ， 因为BP →=λBC →+12BB 1→，即DP →=λBC →，所以DP →∥BC →， 则点P 在线的DD 1上，当点P 在点D 1处时，取AC 的中点E ，连结A 1E ，BE ，因为BE ⊥平面ACC 1A 1，又AD 1⊂平面ACC 1A 1，所以AD 1⊥BE ， 在正方形ACC 1A 1中，AD 1⊥A 1E ， 又BE ∩A 1E ＝E ，BE ，A 1E ⊂平面A 1BE ，故AD 1⊥平面A 1BE ，又A 1B ⊂平面A 1BE ，所以A 1B ⊥AD 1， 在正方体形ABB 1A 1中，A 1B ⊥AB 1，又AD 1∩AB 1＝A ，AD 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，所以A 1B ⊥平面AB 1D 1， 因为过定点A 与定直线A 1B 垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P ，故选项D 正确．故选：BD ．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．假设P （A ）＝0.7，P （B ）＝0.8，且A 与B 相互独立，则P （A ∪B ）＝ 0.94 ． 解：∵P （A ）＝0.7，P （B ）＝0.8，且A 与B 相互独立， ∴P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝0.7×0.8＝0.56，∴P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）＝0.7+0.8﹣0.56＝0.94． 故答案为：0.94．14．直线l 经过点(√3，1)，且直线l 的一个方向向量为(−2，−2√3)，若直线l 与x 轴交于点（a ，0），则a ＝2√33．解：由直线的方向向量可得直线的斜率为：−2√3−2=√3，可得直线l 的方程为：y ﹣1=√3（x −√3）， 将（a ，0）代入可得﹣1=√3（a −√3）， 解得a =2√33． 故答案为：2√33． 15．写出与圆x 2+y 2＝1和（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程 x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确） ．解：圆x 2+y 2＝1的圆心坐标为O （0，0），半径r 1＝1，圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16的圆心坐标为C （3，4），半径r 2＝4， 如图：∵|OC |＝r 1+r 2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条． ∵k OC =43，∴l 1的斜率为−34，设直线l 1：y =−34x +b ，即3x +4y ﹣4b ＝0，由|−4b|5=1，解得b =54（负值舍去），则l 1：3x +4y ﹣5＝0；由图可知，l 2：x ＝﹣1；l 2与l 3关于直线y =43x 对称，联立{x =−1y =43x，解得l 2与l 3的一个交点为（﹣1，−43），在l 2上取一点（﹣1，0）， 该点关于y =43x 的对称点为（x 0，y 0），则{y 02=43⋅x 0−12y 0x 0+1=−34，解得对称点为（725，−2425）． ∴k l 3=−2425+43725+1=724，则l 3：y =724(x +1)−43，即7x ﹣24y ﹣25＝0． ∴与圆x 2+y 2＝1和（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为： x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确）．故答案为：x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确）．16．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝AA 1＝1，M 、N 分别是线段A 1B 1、AC 1上的点，P 是直线AC 上的点，满足MN ∥平面BB 1C 1C ，MN ⊥NP ，且M 、N 不是三棱柱的顶点，则MP 长的最小值为√62．解：如图，由已知AB ，AC ，AA 1两两互相垂直，以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 根据题意可得B （2，0，0），C （0，1，0），B 1（2，0，1），C 1（0，1，1）， 设M （m ，0，1），N （0，n ，n ），P （0，t ，0），0＜m ＜2，0＜n ＜1，∴BB 1→=(0，0，1)，BC →=(−2，1，0)，MN →=(−m ，n ，n −1)，NP →=(0，t −n ，−n)， 设平面BCC 1B 1的一个法向量为n 1→=(x ，y ，z)， 则{n 1→⋅BB 1→=z =0n 1→⋅BC →=−2x +y =0，取n 1→=(1，2，0)， 因为MN ∥平面BCC 1B 1，所以MN →⋅n 1→=0，∴m ＝2n ，（0＜m ＜2，0＜n ＜1）， 又MN ⊥NP ，∴MN →⋅NP →=0，可得t ＝2n ﹣1，∴M （2n ，0，1），P （0，2n ﹣1，0）， ∴MP =√(2n)2+(2n −1)2+12=√8n 2−4n +2=√8[(n −14)2+316]≥√32=√62， 当n =14时，MP 取最小值，最小值为√62． 故答案为：√62． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在空间四边形OABC 中，2BD →=DC →，点E 为AD 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →． （1）试用向量a →，b →，c →表示向量OE →；（2）若OA ＝OB ＝OC ＝2，∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝60°，求OE →⋅BC →的值．解：（1）∵2BD →=DC →，所以BD →=13BC →=13(OC →−OB →)，∴OD →=OB →+BD →=OB →+13(OC →−OB →)=23OB →+13OC →，∵点E 为AD 的中点，∴OE →=12OA →+12OD →=12OA →+12(23OB →+13OC →)=12OA →+13OB →+16OC →=12a →+13b →+16c →． （2）∵BC →=OC →−OB →，由（1）得OE →⋅BC →=(12OA →+13OB →+16OC →)⋅(OC →−OB →) =12OC →⋅OA →+16OC →⋅OB →+16OC →2−12OB →⋅OA →−13OB →2=12×2×2×12+16×2×2×12+16×22−12×2×2×12−13×22=−13． 18．（12分）袋中有7个大小形状相同颜色不全相同的小球，分别为红球、白球、黑球，某同学从中任意取一个球，得到红球或白球的概率是57，得到白球或黑球的概率是47，试求：（1）某同学从中任取一个球，得到红球、白球、黑球的概率各是多少？ （2）某同学从中任取两个小球，得到的两个小球颜色不相同的概率是多少？ 解：（1）从中任取一个小球，分别记得到红球、白球、黑球为事件A ，B ，C ， 由于A ，B ，C 为互斥事件，所以由题意得，{P(A)+P(B)+P(C)=1P(A +B)=P(A)+P(B)=57P(B +C)=P(B)+P(C)=47，解得P （A ）=37，P （B ）=27，P （C ）=27， 所以任取一个小球，得到红球、白球、黑球的概率分别是37，27，27．（2）由（1）知红球、白球、黑球的个数分别为3，2，2， 记红球为a ，b ，c ，白球为m ，n ，黑球为x ，y ，则从7个小球中取出两个小球的基本事件有：ab ，ac ，am ，an ，ax ，ay ，bc ，bm ，bn ，bx ，by ，cm ，cn ，cx ，cy ，mn ，mx ，my ，nx ，ny ，xy ，共有21个，其中两个小球是红球的基本事件有：ab ，ac ，bc ，共3个，两个白球的基本事件有：mn ，共1个，两只黑球的基本事件有：xy ，共1个， 于是两个小球同色的概率为3+1+121=521，则两个小球颜色不相同的概率是1−521=1621． 19．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0（m ∈R ）恒过定点D ．（1）求定点D 的坐标．（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值、直线l 的方程以及最短弦长．解：（1）直线l 的方程（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，整理得（2x +y ﹣7）m +（x +y ﹣4）＝0． 该方程对于任意实数m ∈R 成立，于是有{2x +y −7=0x +y −4=0，解得x ＝3，y ＝1，所以直线l 恒过定点D （3，1）．（2）因为直线l 恒经过圆C 内的定点D ，所以当直线经过圆心C 时被截得的弦最长，它是圆的直径； 当直线l 垂直于CD 时被截得的弦长最短．由C （1，2），D （3，1），可知k CD =−12，所以当直线l 被圆C 截得的弦最短时，直线l 的斜率为2， 于是有−2m+1m+1=2，解得m =−34． 此时直线l 的方程为y ﹣1＝2（x ﹣3），即2x ﹣y ﹣5＝0． 又|CD|=√5，所以，最短弦长为2√25−5=4√5．20．（12分）甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时甲获胜的概率； （2）求乙最终以2分获胜的概率．解：（1）由题知，每局比赛中，甲获胜的概率为12，不获胜的概率为12，设事件A 为“第三局结束时甲获胜”，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况： （胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）， 所以P(A)=12×12×12+12×12×12=14； （2）由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为13，平的概率为16，负的概率为12， 设事件B ＝“乙最终以2分获胜”，若第二局结束时乙获胜，则乙两局连胜，此时概率P 1=13×13=19， 若第三局结束时乙获胜，则乙第三局必定获胜总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜），此时概率P 2=13×23×13+23×13×13=427， 若第四局结束时，乙以2分获胜，则乙第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平 胜），（平，胜，负，胜），（平，负，胜，胜），（负，胜，平，胜），（负，平，胜，胜）， 此时概率P 3=13×16×16×13×3+13×16×12×13×6=7108， 所以P(B)=P 1+P 2+P 3=19+427+7108=35108．21．（12分）如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4．点A 2，B 2，C 2，D 2分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2＝1，BB 2＝DD 2＝2，CC 2＝3． （1）证明：B 2C 2∥A 2D 2；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣A 2C 2﹣D 2为150°时，求B 2P ．解：（1）证明：以C 为坐标原点，CD ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则C （0，0，0），C 2（0，0，3），B 2（0，2，2），D 2（2，0，2），A 2（2，2，1）， 所以B 2C 2→=(0，−2，1)，A 2D 2→=(0，−2，1)， 所以B 2C 2→=A 2D 2→， 所以B 2C 2→∥A 2D 2→，又B 2C 2，A 2D 2不在同一条直线上， 所以B 2C 2∥A 2D 2．（2）设平面A 2C 2D 2的法向量m →=(a ，b ，c)，则m →=(1，1，2)， 设P （0，2，λ）（0≤λ≤4），又A 2C 2→=(−2，−2，2)，PC 2→=(0，−2，3−λ)，D 2C 2→=(−2，0，1)，设平面P A2C2的法向量n→=(x，y，z)，则{n→⋅A2C2→=−2x−2y+2z=0 n→⋅PC2→=−2y+(3−λ)z=0，令z＝2，得y＝3﹣λ，x＝λ﹣1，所以n→=(λ−1，3−λ，2)，所以|cos〈n→，m→〉|=|n→⋅m→||n→||m→|=6√6√4+(λ−1)2+(3−λ)2=|cos150°|=√32，化简可得，λ2﹣4λ+3＝0，解得λ＝1或λ＝3，所以P（0，2，1）或P（0，2，3），所以B2P＝1．22．（12分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB＝4，EF∥AB，AB＝2EF，EA＝ED＝FB＝FC＝3．（1）当点N为线段AD的中点时，求证：直线AD⊥平面EFN；（2）当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．解：（1）证明：因为点N为线段AD的中点，且EA＝ED，所以AD⊥EN，因为EF∥AB，且四边形ABCD为正方形，故AD⊥AB，所以AD⊥EF，而EN∩EF＝E，EN，EF⊂平面EFN，故AD⊥平面EFN；（2）设正方形ABCD的中心为O，分别取AB，BC，EF的中点为P，Q，S，设点H为线段AD的中点，由（1）知E，F，H，Q四点共面，且AD⊥平面EFH，连接OS，OS⊂平面EFH，故AD⊥OS，又AD⊂平面ABCD，故平面ABCD⊥平面EFHQ，且平面ABCD∩平面EFHQ＝HQ，由题意可知四边形EFQH 为等腰梯形，故OS ⊥HQ ， OS ⊂平面EFHQ ，故OS ⊥平面ABCD ，故以O 为坐标原点，OP ．OO ．OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为AB ＝4，则A （2，﹣2，0），B （2，2，0），C （﹣2，2，0），D （﹣2，﹣2，0）， 又AB ＝2EF ，故EF ＝2， 设EF 到底面ABCD 的距离为h ，四边形ABFE ，CDEF 为两个全等的等腰梯形，且EF ∥AB ， 故E （0，﹣1，h ），F （0，1，h ），又EA ＝ED ＝FB ＝FC ＝3， 故√22+12+ℎ2=3，∴h ＝2，则E （0，﹣1，2），F （0，1，2），AE →=(−2，1，2)，AD →=(−4，0，0)，BF →=(−2，−1，2)，B →A →=(0，−4，0)， 设AN →=λAD →，λ∈[0，1]，∴BN →=BA →+AN →=BA →+λAD →=(−4λ，−4，0)， 设平面 BFN 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BF →=−2x −y +2z =0n →⋅BF →=−4λx −4y =0，令x ＝2，∴n →=(2，−2λ，2−λ)， 设平面ADE 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅AD →=−4a =0m →⋅AE →=−2a +b +2c =0，令c ＝1，∴m →=(0，−2，1)， 故|cos〈n →，m →〉|=|n →⋅m →||n →||m →|=|3λ+2|√5×√5λ−4λ+8=3√5√(λ+23)5λ2−4λ+8， 令m =λ+23，m ∈[23，53]，则|cos〈n →，m →〉|=3√5⋅√m5m 2−323m+1169， 令t =1m ∈[35，32]，则|cos〈n →，m →〉|=3√51√1169t 2−323t+5， 令f(t)=1169t 2−323t +5，则f （t ）在[35，32]上单调递增，故当t=35时，f(t)min=f(35)=8125，当t=32时，f(t)max=f(32)=18，故|cos〈n→，m→〉|∈[√1010，√53]，即平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值得取值范围为[√1010，√53]．第21页（共21页）。

高二数学试题第（Ⅰ）卷一、选择题（每题5分，共60分）1.计算77cos 47sin 13cos 43sin -的结果等于（ ） A ．21 B ．33 C ．22 D ．23 2.下列说法正确的是( )A ．a ，b ∈R，且a ＞b ，则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，c ＞d ，则 a c ＞bdC ．a ，b ∈R，且ab ≠0，则 a b ＋b a≥2 D ．a ，b ∈R，且a ＞|b |，则a n ＞b n (n ∈N *) 3．若∆ABC 中，sin A :sin B :sin C = 2:3:4，那么cos C =（ ） A.41-B. 41C. 32-D. 324. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．95．在∆ABC 中，B b A a cos cos =，则三角形的形状为（ ）A .直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.等边三角形 D. 等腰三角形6．不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．－14D ．147.设0>a ，0>b ，1133a ba b +与的等比中项，则的最小值为 （ ） A . 8 B . 4 C. 1 D. 148．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A. π6B. π3C. π6 或 5π6D. π3 或 2π39.等比数列{}n a 的各项均为正数，且187465=+a a a a ，则13log a +23log a +…+103log a =（ ）A . 12B .10 C. 8 D. 2+5log 310. 已知点（n 、a n ）都在直线0243=--y x 上，那么在数列{a n }中有（ ）A. a 7+a 9＞0B. a 7+a 9＜0C. a 7+a 9=0D. a 7·a 9=0 11.在∆ABC 中，a A b B A a 2cos sin sin 2=+，则ab=（ ）A .32B . 22 C. 3 D. 2 12．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2 009的值是( )A ．2 0092B ．2 008×2 007C ．2 009×2 010D ．2 008×2 009第（Ⅱ）卷二、填空题（每题4分，共16分） 13.已知24tan =⎪⎭⎫⎝⎛+πx ，则=x x2tan tan 14. 已知集合{}016|2<-=x x A ，{}034|2>+-=x x x B ，则=B A 15.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它前15项的和 等于16. 已知∆ABC 的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则∆ABC 的面积为三、解答题（17、18、19、20、21题各12分，22题14分，共74分） 17.（12分）已知912cos -=⎪⎭⎫⎝⎛-βα，322sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα；且παπ<<2，20πβ<<求2cosβα+.18．（ 12分）已知数列{a n }满足a 1= 15，且有a n-1－a n －4a n-1a n =0, ()*∈≥N n n ,2（1）求证：数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为等差数列； （2）试问a 1a 2是否是数列{}n a 中的项？如果是, 是第几项；如果不是，请说明理由. 19．（ 12分）已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（1）求)(x f 的最小正周期；（ 6分）（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求)(x f 的最小值以及取得最小值时x 的集合. （ 6分）20．(12分)某单位在抗雪救灾中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线， 测量人员在相距6 000 m 的C 、D 两地(A ，B ，C ，D 在同一平面上)测得 ∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)．假如考 虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约是A 、B 两地之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线(精确到0.1 m)？ (参考数据：2≈1.4，3≈1.7，7≈2.6)21．(12分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：22．(14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；（ 6分） (2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . （ 8分）高二数学参考答案二、填空题 13.9414. R 15. 210 16. 315 三、解答题 17．∵παπ<<2，20πβ<<∴πβαπ<-<24，224πβαπ<-<-……………………………………………………4分∴9549112sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα，353212cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα……………8分∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα22cos 2cos=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2cos βα⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2cos +⎪⎭⎫ ⎝⎛-2sin βα⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2sin=329543591⨯+⨯-=2757 …………………………………………………………………………………12分 18. (1) ∵a n-1－a n －4a n-1a n =0,()*∈≥N n n ,2 ∴两边同除以a n-1a n 得4111=--n n a a ,()*∈≥N n n ,2 …………………………………4分 ∴数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以511=a 为首项，4为公差的等差数列. …………………………………6分 (2)由（1）得()()1441541111+=∙-+=∙-+=n n n a a n ∴ 141+=n a n ………………………………………………………………………10分 ∴451915121=⨯=a a设a 1a 2是数列{}n a 中的第t 项，则451141=+=t a t ，解得t =11 ∴a 1a 2是数列{}n a 中的第11项. …………………………………………………………12分 19. （1）∵x x x x x f cos sin 2)sin (cos )(44--= =()()x x x x x 2sin sin cos sin cos 2222--+=x x 2sin 2cos - …………………………………………………………………………3分 =⎪⎭⎫⎝⎛-x 24sin 2π （或⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos 2πx ）……………………………………………4分∴ππ==22T …………………………………………………………………………6分 （2）法Ⅰ：∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-4,4324πππx ……………………………………8分 ∴当224ππ-=-x ，即83π=x 时，⎪⎭⎫⎝⎛-x 24sin π取得最小值1-………………………10分 ∴)(x f 取得最小值2-，此时x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧83π.………………………………………12分 法Ⅱ：∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+45,442πππx ……………………………………………8分 ∴当ππ=+42x ，即83π=x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πx 取得最小值1-………………………10分 ∴)(x f 取得最小值2-，此时x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧83π.………………………………………12分 20.在△ACD 中∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°， ∵CD ＝6 000，∠ACD ＝45°， ∴根据正弦定理，得AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23 CD =326000………………………………4分 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°， 又∵CD ＝6 000，∠BCD ＝30°， ∴根据正弦定理，得BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD =226000 ………………………………8分 ∵在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，∴根据勾股定理，得AB ＝AD 2＋BD 2＝60004232+＝1 00042，……………………10分 ∴1.2AB ≈7 425.6， ………………………………………………………………………11分 答：施工单位至少应该准备约为7425.6 m 的电线. ………………………………………12分 21.设空调机、洗衣机的月供应量分别是x ，y 台，（N y x ∈,）总利润是z 百元，则目标函数为z ＝6x ＋8y ……………………………………………………………2分由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+001101053002030y x y x y x ……………………………………………………………4分可行域如图……………………………………………8分解方程组⎩⎨⎧=+=+1101053002030y x y x 得⎩⎨⎧==94y x ……………………………………………10分由图知直线y ＝－34 x ＋18z 过M (4,9)时，纵截距最大．这时z 也取最大值所以z max ＝6×4＋8×9＝96(百元)． ……………………………………………11分 答：当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9 600元．…………12分 22.(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2， 又a 1=2满足上式，∴a n ＝4n －2. ……………………………………………………………………………3分 设{b n }的公比为q ，由b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝14，∴b n ＝b 1q n -1＝2×141-n ，即b n ＝142-n . ………………………………………………………6分 (2)∵c n ＝a nb n＝14224--n n ＝(2n －1) 4n -1， ………………………………………………8分 ∴T n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)4n -1①又4T n ＝1×41＋3×42＋5×42＋…＋(2n －3)4n -1＋(2n －1)4n②…………………………10分①-②得：-3T n = 1+2(41＋42＋43＋…＋4n -1)-(2n －1)4n=()41414211--⨯+-n -(2n －1)4n=()[]546531--n n ∴T n ＝19[(6n －5)4n＋5]. ……………………………………………………………………14分。

2009—2010学年度高二第一学期高二数学模块检测第I 卷(选择题共60分) 注意事项：1．答第I 卷前。

考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后。

用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动。

用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分。

共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a 、b 、,c R a b ∈>在下列不等式成立的是A ．11a b <B ．22a b >C ．2211a bc c >++D ．||||a c b c >2．在ABC ∆中，a =b =，B=45°，则A 等于A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ．30°或150°3．在数列{}n a 中，1111,(*)2n a a an n N +==-∈，则n aA ．11()2n --B ．11()2n --C ．18D ．18-4．已知tan()3,tan()5αβαβ+=-=，则tan(2)α的值为A ．47-B ．47C ．18D ．18-5．不等式2340x x -++<的解集为 A ．{|14}x x -<<B ．{|41}x x x ><-或C ．{|14}x x x ><-或D ．{|41}x x -<<6．设nS 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11a a ==，则7S 等于A ．13B ．35C ．49D ．637．数列{}n a 的前n 项和为nS ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于A ．1B ． 56C ．16D ．1308．若1a b +=，(,)a b R +∈则11a b +的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．49．若数列{}n a 满足11,0,n an a n a +-==则naA ．22nB ．212n -C ．22n n +D ．22n n -10．1sin10o-的值是A ．1B ．2C ．4D ．1411．若222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则目标函数2z x y =+的取值范围是A ．[2，6]B ．[2，5]C ．[3，6]D ．[3，5]12．设ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等要直角三角形 D ．等边直角三角形 2009—2010学年度高二第一学期 高二数学模块检测第II 卷（非选择题 共90分） 13．在等差数列{}n a 中，已知13,21,2n a a d ===则n 为14．如图，海平面上的护航船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距 10海里的C 处，现护航船以30海里/小时的速度沿直线CB 去营救 位于中心O 正东方向20海里的B 处的货船，护航船需要 小时到达B 处。

高二数学试题第（Ⅰ）卷一、（每 5分，共60分）1.算sin43cos13sin47cos77的果等于（）1B．3C．23A．32D．222.以下法正确的选项是()A．a，b∈R，且a＞b，a2＞b2B．若a＞b，c＞d，a＞bcdC．a，b∈R，且ab≠0，a＋b≥2D．a，b∈R，且a＞|b|，a n＞b n(n∈N*)ba3．若ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，那么cosC=（）11C.22A. B.3D.4434.等差数列{a n}的前n和S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，当S n取最小，n等于()A．6B．7C．8D．95．在ABC中，acosA bcosB，三角形的形状（）A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等三角形D.等腰三角形6．不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是－1，1，a＋b的是()23A．10B．－10C．－14D．147.a0，b0，若3是3a与3b的等比中项，则11的最小（）a bA.8B.4C.1D.142228．在△ABC中，角A，B，C的分a，b，c，若(a＋c－b)tanB＝3ac，角B的()πππ5ππ2πA.6B.3C.6或6D.3或39.等比数列a n的各均正数，且a5a6a4a718，ogl3a1+log3a2+⋯+log3a10=（）B.10C.8D.2+log3510.已知点（n、a n）都在直3xy240上，那么在数列{a n}中有（）A.a7+a9＞0B.a7+a9＜0C.a7+a9=0D.a7·a9=011.在ABC中，asinAsinB bcos2A2a，则b=（）aA.23B.22C.3D.212．已知数列{a n}知足a1＝0，a n＋1＝a n＋2n，那么a2009的值是()A．20092C．2009×2010D．2008×2009 B．2008×2007第（Ⅱ）卷二、填空题（每题4分，共16分）13.已知tanx2tanx ，则4tan2x14.已知会合 A x|x2 16 0，B x|x2 4x 3 0，则A B15.假如一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它前15项的和等于16.已知ABC的一个内角为120，而且三边长组成公差为4的等差数列，则ABC的面积为三、解答题（17、18、19、20、21题各12分，22题14分，共74分）17.（12分）已知cos21，sin2；且2，09232求cos.218．（12分）已知数列{a n}知足a1=1，且有a n-1－a n－4a n-1a n=0,n2,nN 5（1）求证：数列1为等差数列；a n（2）试问a1a2是不是数列a n中的项？假如是,是第几项；假如不是，请说明原由. 19．（12分）已知函数f(x)cos4x2sinxcosx sin4x（1）求f(x)的最小正周期；（6分）（2）当x0,时，求f(x)的最小值以及获得最小值时x的会合.（6分）220．(12分)某单位在抗雪救灾中，需要在A，B两地之间架设高压电线，丈量人员在相距6000m的C、D两地(A，B，C，D在同一平面上)测得ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)．若是考虑到电线的自然下垂和施工消耗等原由，实质所需电线长度大概是A、B两地之间距离的倍，问施工单位起码应当准备多长的电线(精准到m)？(参照数据：2≈，3≈1.，77≈2.6)21．(12分)某企业计划在今年内同时销售变频空调机和智能洗衣机，因为这两种产品的市场需求量特别大，有多少就能销售多少，所以该企业要依据实质状况(如资本、劳动力)确立产品的月供给量，以使得总收益达到最大．已知对这两种产品有直接限制的要素是资本和劳动力，经过检查，获得对于这两种产品的相关数据以下表：资本单位产品所需资本(百元)空调机洗衣机月资本供给量(百元)成本3020300劳动力(薪资)510110单位收益68试问：如何确立两种货物的月供给量，才能使总收益达到最大，最大收益是多少？22．(14分)设数列{a n}的前n项和为S n＝2n2，{b n}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；（6分）(2)设c n＝a n，求数列{c n}的前n项和T n.（8分）b n高二数学参照答案一、123456789101112A D A ABC BD B C D D二、填空13.414.R15.21016.153 9三、解答17．∵2，02∴2，2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分44222∴sin21145，cos125⋯⋯⋯⋯⋯8分99233∴cos cos222coscos2+sin2sin2 2=15452939375⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分=2718.(1)∵a n-1－a n－4a n-1a n=0,n2,n N∴两同除以a n-1a n得114,n2,n N⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分a nan1∴数列1是以15首，4公差的等差数列.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分a n a1(2)由（1）得11n145n144n1a n a1∴a n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分4n1∴a1a2111 5945a 1a 2是数列a n中的第t ，a t111，解得t=114t 45∴a 1a 2是数列a n 中的第11. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19.（1）∵f(x)(cos 4x sin 4x)2sinxcosx2222sin2x=cosx sinxcosxsinx=cos2x sin2x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分=2sin2x （或2cos2x4 ）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分42∴T ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分2（2）法Ⅰ：∵x0,∴2x3,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分24 4 4∴当2x，即x3 2x 获得最小1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分，sin42843∴f(x)获得最小 2，此x 的会合.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分8法Ⅱ：∵x0, ∴2x44,5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分24∴当2x3 ，cos2x获得最小1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分，即x484∴f(x)获得最小2，此x 的会合3 12分.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8在△ACD 中∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，∵CD ＝6000，∠ACD ＝45°，∴依据正弦定理，得AD ＝CDsin45 ° 22sin60 ＝3CD=60003 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分°在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，又∵CD ＝6000，∠BCD ＝30°，∴依据正弦定理，得BD ＝ CDsin30 °22＝CD=6000 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分sin135 °2∵在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，∴依据勾股定理，得AB ＝ AD 2＋BD 2＝600022＝100042，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分3 4∴≈7，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分 答：施工位起码准m 的.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21.空机、洗衣机的月供量分是 x ，y 台，（x,yN ）利是z 百元，目函数z ＝6x ＋8y⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分30x 20y 3005x 10y 110由意有⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分0 0可行域如⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分30x 20y 300x 410分解方程10y 110得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5x y 93 1由知直y ＝－4x ＋8zM(4,9)，截距最大． z 也取最大所以z max ＝6×4＋8×9＝96(百元)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分答：当月供量空机4台，洗衣机 9台，可得最大利9600元．⋯⋯⋯⋯12分(1)当n ＝1，a 1＝S 1＝2当n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，又a 1=2足上式，∴a n ＝4n －2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分{b n}的公比22－a 1＝b 1知，b 1＝2，b 2＝1，所以q ＝1，q ，由b(a)24∴b n ＝b 1n-1＝2×1，即b n ＝2q4n14n1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)∵c n ＝a n＝4n2＝(2n －1)4n-1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分b n24n1∴T n ＝1＋3×41＋5×42＋⋯＋(2n －1)4n-1①又4T n＝1×41＋3×42＋5×42＋⋯＋(2n－3)4n-1＋(2n－1)4n②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分-②得：-3T n=1+2(41＋42＋43＋⋯＋4n-1)-(2n－1)4n=12414n1-(2n－1)4n14=156n4n53∴T n＝1[(6n－5)4n＋5].⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分9。