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2019-2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（一）数学（文科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1．已知集合{}{}2lg(4),2,0,1,2A x y x B ==-=-，则A B =A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}2,0,1,2-D ．{}1,01,2-2．在复平面内，复数121i i-+的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3执行如图所示的程序图，如果输入1a =，2b =，则输出的a 的值为A ．7B ．8C ．12D ．164．若变量x ，y 满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．3C ．4D ．55．已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是A ． 1.234y x ∧=+B ． 1.230.8y x ∧=+C ． 1.230.08y x ∧=+D ． 1.230.08y x ∧=-6．在数列{}n a 中，11a =，数列{}n a 是以3为公比的等比数列，则20193log a 等于 A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．20207．设()s i n ()c o s ()5f x a x b x παπβ=++++，且(2018)2f =，则(2019)f 等于 A ．2 B ．2- C ．8 D ．8-8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为A ．32π B．π．52π+．32π+9．将函数sin 2y x =的图象向右平移16π个单位后得到的函数为()f x ，则函数()f x 的图象 A ．关于点（12π，0）对称 B ．关于直线12x π=对称 C ．关于直线512x π=对称 D ．关于点（5,012π）对称 10．若函数6,2()(03log ,2x a x x f x a x -+≤⎧=>⎨+>⎩且1a ≠）的值域是［4，＋∞），则实数a 的取值范围是A ．(1,2]B ．(0,2]C ．[2,)+∞ D．(1 11．已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是饨角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．(1,2) C．[1,1 D ．(2,)+∞12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为△ABC 所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．32-B ．2-C ．43- D ．1- 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试題考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小題，每小题5分，共20分13．锐角△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，△ABC 的面积为BC ＝_______。
大联考雅礼中学2025届高三月考试卷（一）化学命题人：于雯审题人：吴建新得分：______本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量75分钟，满分100分。
可能用到的相对原子质量：H~1 C~12 N~14 O~16 Na~23 Al~27 Si~28 P~31第Ⅰ卷（选择题 共42分）一、选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分，每小题只有一个选项符合题意。
）1．下列有关叙述错误的是（ ）A ．放电影时，放映机到银幕间光柱的形成是因为丁达尔效应B ．工业上一般可以采用电解饱和食盐水的方法制取NaOHC ．FeO 在空气中受热，能迅速被氧化成23Fe OD ．硬铝是一种铝合金，密度小、强度高，具有较强的抗腐蚀能力，是制造飞机和宇宙飞船的理想材料 2．设A N 为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是（ ） A ．40gSiC 晶体中含有的Si C −的数目为A 2NB ．100g 质量分数为46%的25C H OH 的水溶液中含有的氧原子数目为A 4N C ．标准状况下，11.2L 3NH 与11.2LHF 均含有A 5N 个质子D ．1mol 614C H 中含有的σ键的数目为A 20N3．下列关于23Na CO 和3NaHCO 的说法中，错误的是（ ） A ．两种物质的溶液中，所含微粒的种类相同 B ．可用NaOH 溶液使3NaHCO 转化为23Na COC ．利用二者热稳定性差异，可从它们的固体混合物中除去3NaHCOD ．室温下，二者饱和溶液的pH 差约为4，主要是因为它们的溶解度差异 4．在给定条件下，下列制备过程涉及的物质转化均可实现的是（ ）A ．制备22HCl :NaCl H Cl HCl → →电解点燃溶液和B ．制备金属()22Mg :Mg OH MgCl Mg → →盐酸电解溶液C ．纯碱工业：2CO 323NaCl NaHCO Na CO →→△溶液D ．硫酸工业：22O H O2224FeS SO H SO → →高温5．下列过程中，对应的反应方程式错误的是（ ） A 草酸溶液与酸性高锰酸钾溶液反应 22424222MnO 16H 5C O 2Mn 10CO 8H O −+−+++=+↑+ B NaH 用作野外生氢剂22NaH H ONaOH H +=+↑ C 工业制备高铁酸钠()24Na FeO32423ClO 2Fe 10OH 2FeO 3Cl 5H O −+−−−++=++D绿矾()42FeSO 7H O ⋅处理酸性工业废水中的227Cr O −22332726Fe Cr O 14H 6Fe 2Cr 7H O +−+++++=++6．下列实验装置正确的是（ ）A ．制备()2Fe OHB ．制取少量2OC ．3NaHCO 受热分解D ．铝热反应7．下列实验操作和现象、结论或目的均正确的是（ ） 选项 操作和现象结论或目的A将新制的()3Al OH 沉淀分装在两支试管中，向一支试管中滴加2mol/L 盐酸，另一支试管中滴加2mol/L 氨水，沉淀均溶解 ()3Al OH 是两性氢氧化物B将镁条点燃后迅速伸入充满2CO 的集气瓶，瓶中产生浓烟并有2CO 能支持镁条燃烧黑色颗粒生成 C取2FeCl 溶液置于试管中，加入几滴酸性高锰酸钾溶液，酸性高锰酸钾溶液的紫色褪去2Fe +具有还原性D各取23Na CO 溶液与3NaHCO 溶液少许于试管中，加入澄清石灰水，仅23Na CO 溶液中出现白色沉淀鉴别23Na CO 溶液与3NaHCO 溶液8．已知电对的标准电极电势()0E越高，其电对中氧化剂的氧化性越强。
雅礼中学高三月考试卷(一)数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合A =-2,0 ,B =x x 2-2x =0 ，则以下结论正确的是()A.A =BB.A ∩B =0C.A ∪B =AD.A ⊆B2.已知等比数列a n 满足a 1=1,a 3⋅a 5=4a 4-1 ，则a 7的值为()A.2B.4C.92D.63.已知复数z =a +1 -ai a ∈R ，则a =-1是z =1的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a =cos θ,sin θ ，b =2,-1 ，若a ⊥b ，则cos 2θ+12sin2θ的值为()A.13B.35C.45D.235.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，过BE 的平面α与直线A 1F 平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为()A.5B.25C.4D.56.某工厂有A ,B 两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是99%和98%，已知某批产品的60%和40%分别是A ,B 两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A 车间生产的概率为()A.34B.47C.12D.377.已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2=π3，若F 1关于∠F 1PF 2平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.138.△ABC 中，角A ,B ,C 所对的三边分别为a ,b ,c ,c =2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是()A.2B.3C.3D.33二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
炎德英才大联考雅礼中学2013年高考模拟试卷（七）科目：数学（理科）（试题卷）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。
2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3. 本试题卷共5页。
如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。
姓名准考证号侧视俯视绝密★启用前数 学（理科）长沙市雅礼中学教科院组织名优教师联合命制满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知z 是复数，i 是虚数单位，()1i z - 在复平面中对应的点为P ，若P 对应的复数是模等于2的负实数，那么=z A ．i --1 B ．i +-1 C ．i -1D ．i -2．已知不等式20x ax b->+的解集为()1,2-，m 是二项式62()b ax x-的展开式的常数项，那么772ma a b=+A ．15-B ．5-C ．a 5-D ．53．以双曲线15422=-yx的离心率为首项，以函数()24-=xx f 的零点为公比的等比数列的前n 项的和=n S A ．()23123--⨯n B ．n233-C ．32321-+n D ．3234n-4．已知几何体M 的正视图是一个面积为2π的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体积为 A ．6π和334πB ．6π+43和338π C ．6π+43和34πD ．4(π+3)和34πA ．9900B ．10100C ．5050D ．49506．与抛物线x y 82=相切倾斜角为0135的直线L 与x 轴和y 轴的交点分别是A 和B ，那么过A 、B 两点的最小圆截抛物线x y 82=的准线所得的弦长为A ．4B ．22C ．2D ．27．已知直线l 与平面α平行，P 是直线l 上的一点，平面α内的动点B 满足：PB 与直线 l 成060。
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ={x|(x +1)(x−4)<0}，B ={x|2x +a <0}，且A ∩B ={x|−1<x <3}，则a =( )A. 6B. 4C. −4D. −62.已知z 1+i =1−1i ，则|−z |=( )A.2B.22C. 2D. 13.已知f(x)=sin (ωx−π3)(ω∈N)的图象与直线y =a 在区间[0,π]上存在两个交点，则当ω最大时，曲线y =f(x)的对称轴为( )A. x =π24+kπ4，k ∈Z B. x =π30+kπ5，k ∈Z C. x =5π24+kπ4，k ∈Z D. x =π6+kπ5，k ∈Z4.函数f(x)=2x +2−xln( x 2+1−x)的图象大致为( )A. B.C. D.5.若平面单位向量a ，b ，c 满足〈a ,b〉=π6，b ⋅c =0，a ⋅c <0，则|b 2c ||a +c |( )A.5B.3C.153D.536.石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕.源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派.苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中.图(1)是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环ABCD ，如图(2)，砖雕厚度为6cm ，AD =80cm ，CD =3AB ，CD 所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为(单位：cm 2)( )A. 3200πB. 480π+960C. 6880π+960D. 3680π+9607.已知过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，且|AB|=2x 0+1，Q(t,−2−t)，若点P 在抛物线C 上，则|PQ|的最小值为( )A.3 24B.3 22C.3 34D.328.已知数列{a n }满足a 1=3,a n +1−a n =2,4b n =(−1)n +1(1a n +1a n +1)，若数列{b n }的前n 项和为T n ，不等式3T n <λ(3−5λ)(n ∈N ∗)恒成立，则λ的取值范围为( )A. (110,+∞)B. (15,+∞)C. (110,12)D. (15,25)二、多选题：本题共3小题，共18分。
大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（一）英语得分：本试题卷分为听力、阅读、语言运用和写作四个部分，共10页。
时量120分钟。
满分150分第一部分听力（共两节，满分30分）做题时、先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍，例：How much is the shirt？A£19.15. B.£9.18. C.£9.15.答案是C。
1.When did the match actually start?A.At6:45pm.B.At7:15pm.C.At7:30pm.2.What does the man mean?A.He prefers study to a picnic.B.He dislikes autumn.C.He is rather busy.3.Where does,the conversation probably take place?A.In a shopping mall.B.In a supermarket.C.In the street.4.What do the speakers think of the performance?A.Moving.B Disappointing. C.Interesting.5.Which shoes are the most expensive?A.The red ones.B.The white ones.C.The blue ones.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话威独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
雅礼中学2019届高三月考试卷（一）数学（文科）第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.已知集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B．【详解】，∴故选：A【点睛】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z，求出其共轭复数，从而得到答案.【详解】∵复数===﹣1﹣3i，∴，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，3），故对应的点位于在第二象限，故选：B．【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的除法，共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3.执行如图所示的程序图，如果输入，，则输出的的值为A. 7B. 8C. 12D. 16【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，依次判断是否满足条件即可得到结论．【详解】若输入a=1，b=2，则第一次不满足条件a＞6，则a=2，第二次不满足条件a＞6，则a=2×2=4，第三次不满足条件a＞6，则a=4×2=8，此时满足条件a＞6，输出a=8，故选：B．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和运行，依次判断是否满足条件是解决本题的关键，比较基础．4.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将z=2x+y转化为y=﹣2x+z，结合函数图象求出z的最大值即可．【详解】画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（2，1），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过（2，1）时，z最大，故z的最大值是：z=4+1=5，故选：D．【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，即可得到结果．【详解】由条件知，，设回归直线方程为，则.∴回归直线的方程是故选：C【点睛】求解回归方程问题的三个易误点：（1）易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．（2）回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．（3）利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．6.在数列中，，数列是以3为公比的等比数列，则等于A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】B【解析】【分析】由等比数列通项公式得到，再结合对数运算得到结果.【详解】∵，数列是以3为公比的等比数列，∴∴故选：B【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查指对运算性质，属于基础题.7.设，且，则等于A. 2B.C. 8D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用诱导公式求得asinα+bcosβ=﹣3，再利用诱导公式求得f（2019）的值．【详解】∵∴即而=8故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，体现了整体的思想，属于基础题．8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为，底面积为，由三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为，则该几何体的表面积为．选D考点：几何体的表面积，三视图9.将函数的图象向右平移个单位后得到的函数为，则函数的图象A. 关于点（，0）对称B. 关于直线对称C. 关于直线对称D. 关于点（）对称【答案】C【解析】【分析】利用平移变换得到，然后研究函数的对称性.【详解】将的图象右移个单位后得到图象的对应函数为，令得，，取知为其一条对称轴，故选：C.【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.10.若函数且）的值域是［4，＋∞），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+log a x≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．【详解】当时，，要使得函数的值域为，只需的值域包含于，故，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A【点睛】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x≤2时的函数的值域是解决本题的关键．11.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若是钝角三角形，显然为钝角，因此，由于过左焦点且垂直于轴，所以，，，则，，所以，化简整理得：，所以，即，两边同时除以得，解得或（舍），故选择D.点睛：求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用.求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查. 12.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则的最小值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立坐标系，则,设，所以，所以，，故选：A【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．第II卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试題考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小題，每小题5分，共20分13.锐角中，，△ABC的面积为，则＝_______。
湖南师大附中2013届高三第一次月考试卷数学（文）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线0ax by c k αα++==的斜率倾斜角为,则sin =A ．2-B ．2C ．2或2-D ．12- 2．当3a =时，下面的程序段输出的结果是A ．9B ．3C ．5D ．63．某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是A ．（1），（3）B ．（1），（3），（4）C ．（1），（2），（3）D ．（1），（2），（3），（4）4．设函数2(0)()()(0)x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩，且函数()f x 为偶函数，则(2)g -=A ．6B ．—6C ．2D ．—25．设集合(,],(,),,,{2},A a B b a N b N AB N a b =-∞=+∞∈∈=+且则的值是 A ．2B ．3C ．4D ．5 6．函数3()8,()31,[())0x f x x g x f g x =-=-≥则不等式A ．[1,)+∞B ．[ln 3,)+∞C ．[1，ln3]D ．3[log 2,)+∞7．点0(,)0,240x x y y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩满足条件则22x y +的取值范围是 A ．[4,)+∞ B ．[16,)+∞ C．)+∞ D ．16[,)5+∞ 8．如图，有一条长为a 的斜坡AB ，它的坡角∠ABC=45°，现保持坡高AC 不变，将坡角改为∠ADC=30°，则斜坡AD 的长为A ．a BCD ．2a 9．德国数学家洛萨·科拉茨1937年提出了一个猜想：任给一个正整数n ，如果它是偶数，就将它减半；如果它是奇数，则将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1。
如初始正整数为6，按照上述变换规则，得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1。
大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学得分：___________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若12z i =+，则()1z z +⋅=（ ）A. 24i-- B. 24i-+ C. 62i- D. 62i+2. 全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（ ）A. {2,3,5,7,9}B. {2,3,4,5,6,7,8,9}C. {4,6,8}D. {5}3. 函数()2log 22x x xx f x -=+部分图象大致是（ ）A. B.C. D.4. 在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（ ）A. 3B. 3- C. 4- D. 45. 某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（1.5 4.7π≈）A. 3045.6gB. 1565.1gC. 972.9gD. 296.1g6. 已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为( )A.4πB. 2πC.34π D.54π8. 已知函数()f x 定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（ ）A. ()()2,04,∞-⋃+B. ()(),15,∞∞--⋃+C. ()(),24,-∞-+∞ D. ()()1,05,∞-⋃+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（ ）A. 若a b >，则2a ba b +>> B. 若0a b >>，则a b>>C. 若11a b>，则0a >，0b < D. 若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+10. 已知函数()2sin cos f x x x x =+，则下列说法正确的是（ ）A ()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的.B. 函数()f x 的最小正周期为πC. 函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D. 函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到11. 设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ）A. 若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B. 若数列{}n S 有最小项，则0d >C. 若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D. 若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列12. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A. 四面体11A D MN 的体积为定值B. 当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C. 直线MN 与平面ABCDD. 当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分的AOC ∠，34,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．15. 已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．16. 已知菱形ABCD中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c)sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABCABC 的周长.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BC B C O = ，12BC BB ==，1AO =，160B BC ∠=︒，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．20. 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF交椭圆于B 点，且满足||2||AF FB =，||AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．21. 如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．22. 混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()Nf X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．的大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学得分：___________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若12z i =+，则()1z z +⋅=（ ）A. 24i --B. 24i-+ C. 62i- D. 62i+【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的定义求解.【详解】()()()122i 12i 244i 2i 62i z z +⋅=+-=+-+=-．故选:C .2. 全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（ ）A. {2,3,5,7,9}B. {2,3,4,5,6,7,8,9}C. {4,6,8}D. {5}【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C 3. 函数()2log 22x xxx f x -=+的部分图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊点即得.【详解】易知()2log 22x xxx f x -=+的定义域为{}0x x ≠，因为()()22log log 2222x x x xx x x f x x f x-----==-=-++，所以()f x 为奇函数，排除答案B ，D ；又()2202222f -=>+，排除选项C ．故选:A ．4. 在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（ ）A. 3 B. 3- C. 4- D. 4【答案】A 【解析】【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到AC ，DE，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得()()()()0,3,1,0,3,0,3,3A E C D ，所以()3,3AC =- ，()2,3DE =--，所以()()()32333AC DE ⋅=⨯-+-⨯-=.故选：A.5. 某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（1.5 4.7π≈）A. 3045.6gB. 1565.1gC. 972.9gD. 296.1g【答案】C 【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R ，因为332π144πcm 3V R ==半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以((223113π6π363πcm 33V S S h =+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g ⨯≈⨯=故选：C6. 已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式以及前n 项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.详解】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n n nn n a S a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A7. 若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为( )A.4πB. 2πC.34π D.54π【答案】C 【解析】【分析】根据已知不等式得到，要求y ＝sin x 和y ＝cos x 图象不在y ＝a的同一侧，利用正弦函数、余弦函数图象的性质进行解答即可．【详解】在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，【的当m ＝4π时，要使不等式恒成立，只有a ，当m ＞4π时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a 的同一侧.∴由图可知m 的最大值是34π.故选：C.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（ ）A. ()()2,04,∞-⋃+B. ()(),15,∞∞--⋃+C. ()(),24,-∞-+∞D. ()()1,05,∞-⋃+【答案】D 【解析】【分析】根据()()2f x f x +=-可得()f x 关于直线1x =对称，根据()()24f f -=-可得()()240f f -==，结合函数()f x 的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==，又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减，则可得函数()f x 的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()()1,05,∞-⋃+.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（ ）A. 若a b >，则2a ba b +>> B. 若0a b >>，则a b>>C. 若11a b>，则0a >，0b < D. 若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+【答案】ABD 【解析】【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可.【详解】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a bb +--=>，所以2a ba b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>1=>，所以a >，1=>b >，即a b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =1b>，不满足0a >，0b <，故C 错误；对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==>+++，故D 正确．故选：ABD ．10. 已知函数()2sin cos f x x x x =+，则下列说法正确的是（ ）A. ()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 函数()f x 的最小正周期为πC. 函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D. 函数()f x 图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到【答案】AB的【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图像性质逐项判断.【详解】()211cos 21πsin cos sin 2sin 22sin 22223x f x x x x x x x x +⎛⎫=-+==-=- ⎪⎝⎭，所以A 正确；对于B ，函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，所以B 正确；对于C ，由ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，得5ππ122k x =+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称轴方程为5ππ122k x =+，Z k ∈，所以C 不正确；对于D ，sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度，得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到，所以D 不正确．故选：AB ．11. 设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ）A. 若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B. 若数列{}n S 有最小项，则0d >C. 若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D. 若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【答案】BD 【解析】【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确．故选：BD12. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A. 四面体11A D MN 的体积为定值B. 当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C. 直线MN 与平面ABCDD. 当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形【答案】ACD 【解析】【分析】求出四面体的体积判断A ；把正方体的棱分成3类，再判断各类中的一条即可判断B ；作出线面角，并求出其正切表达式判断C ；利用线线、线面平行的性质作出截面判断D.【详解】点M ，N 在棱11B C ，CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，所以四面体11A D MN 的体积11114222323N A MD V -=⨯⨯⨯⨯=恒为定值，A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是1111,,A A A B A D ，及分别与它们平行的棱，又1111,,A A A B A D 不与平面1A MN 平行，则在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面1A MN 平行，B 错误；正方体棱长为2，如图1，过M 作1MM BC ⊥于1M ，则有1MM ⊥平面ABCD ，于是MN 与平面ABCD 所成角即为1MNM ∠，于是11112tan MM MNM M N M N∠==，又1M N长度的最大值为MN 与平面ABCD，C 正确；如图2，取BC 中点M '，连接,AM MM ''，有11////MM BB AA '，且11MM BB AA '==，则四边形1AA MM '是平行四边形，有1//AM A M '，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，则1//EN A M ，即EN 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面ABCD 的交线，连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，同证1//AM A M '的方法得11//A E B F ，在棱1CC 上取点G ，使113CG CC =，连接MG 并延长交直线BC 于H ，则112CH C M CF ==，即11FH C M B M ==，而1//FH B M ，于是四边形1FHMB 是平行四边形，有11////MG B F A E ，则MG 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面11BCC B 的交线，连接NG ，则可得五边形1A MGNE 即为正方体中过1A ，M ，N 三点的截面，D 正确．故选：ABD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．【答案】2-【解析】【分析】求导，利用()13f '=求解即可.【详解】解：因为()ln f x x a x =-，所以()1a f x x'=-，又函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则()1131af '=-=，所以2a =-．故答案为：2-14. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分AOC ∠，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．【答案】2425⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【详解】由题意可知圆O 1=，设AOB BOC α∠=∠=，由题意可知4sin 5α=，3cos 5α=，则点C 的横坐标为271cos 212sin 25αα⨯=-=-，点C 的纵坐标为241sin 22sin cos 25ααα⨯==．故答案为：724,2525⎛⎫-⎪⎝⎭．15. 已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】由题意可得()e 2e xxf x -=+，再结合基本不等式即可得答案.【详解】解：因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()ee xx f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e 3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3ex xf x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故答案为：16. 已知菱形ABCD 中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.【答案】28π【解析】【分析】将ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，得到120AEC ∠=︒，在AEC △中由余弦定理求出AE 的长，进一步求出AB 的长,分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，证明Rt OGE △与Rt OFE 全等，求出OE ，再推出BD OE ⊥，连接OB ，由勾股定理求出OB ，即可得出外接球的表面积.【详解】将ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以120AEC ∠=︒；设AE a =，则AE CE a ==,在AEC △中2222cos120AC AE EC AE CE =+-⋅⋅︒，即2127222a a a ⎛⎫=-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得3a =，即3AE =，所以AB ==所以ABD △与BCD △是边长为.分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，则113EG AE ==，113EF CE ==；即EF EG =；因为ABD △与BCD △都是边长为所以点G 是ABD △的外心，点F 是BCD △的外心；记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ，所以 OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒，所以2cos 60EFOE ==︒；因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AE CE E =I ，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB ，则外接球半径为OB ===，所以外接球表面积为2428S ππ=⨯=.故答案为：28π【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.【答案】（1）n a n =； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用,n n a S 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n T ，即可证明.【小问1详解】依题意可得，当1n =时，2111122S a a a ==+，0n a >，则11a =；当2n ≥时，22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，又{}n a 为正项数列，故可得11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，1d =为公差的等差数列，所以n a n =.【小问2详解】证明：由（1）可知n a n =，所以()42222n b n n n n ==-++，()44441324352n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+22222222222222132435462112n n n n n n =-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-+---++2221312n n =+--<++，所以3n T <成立18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c)sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABCABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）18.【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan A的值，结合角A的取值范围可求得角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可得出182b c bc++=，结合余弦定理可求得b c+的值，即可求得ABC的周长.【小问1详解】)sina C C=-，)sin sinB AC C=-，①因为πA B C++=，所以()sin sin sin cos cos sinB AC A C A C=+=+，sin sin sinA C A C=-，又因为A、()0,πC∈，sin0C≠sin0A A=-<，所以tan A=，又因为()0,πA∈，解得2π3A=.【小问2详解】解：由（1）知，2π3A=，因为ABC所以()1sin2ABCS a b c A=++=⋅△，即()8b c++=，所以，182b c bc++=②，由余弦定理2222π2cos3a b c bc=+-⋅得2264b c bc++=，所以()264b c bc+-=③，联立②③，得()()22864b c b c+-++=，解得10b c+=，所以ABC的周长为18a b c++=.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C-中，11BC B C O=，12BC BB==，1AO=，160B BC∠=︒，且AO⊥平面11BB C C．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得1B C ⊥平面1ABC ，从而即可证明1AB B C ⊥；（2）建立以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因AO ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AO B C ⊥，因为1BC BB =，四边形11BB C C 是平行四边形，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BC B C ⊥．又因为1AO BC O ⋂=，AO ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ，因为AB ⊂平面1ABC ，所以1AB B C ⊥．【小问2详解】解：以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，则)B，()10,1,0B ，()0,0,1A，()1C ，所以()10,1,1AB =-，)11C B =，)110,1A B AB ==-，为设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，则11111111100n AB y z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =，可得1y =1z =，所以(11,n =u r，设平面111B C A 的一个法向量为()2222,,n x y z = ，则211221112200n A B z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取21x =，可得2y =2z =，所以(21,n = ，设二面角111A B C A --的大小为θ，因为1212121cos ,7n n n n n n ⋅〈〉===⋅ ，所以sin θ==，所以二面角111A B C A --．20. 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B 点，且满足||2||AF FB =， ||AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）22132x y +=；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得b =，由||2||AF FB =且||AB =，知||AF a ==，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）直线AF0y +=，与椭圆联立求出3(,2B ，求出点,A B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d =，2d =，联立直线y kx =与椭圆方程结合弦长公式求出CD ，求出四边形ACBD 的面积121()2S CD d d =+，整理化简利用二次函数求出最值.【详解】（1）A Q 为椭圆C上一点，b ∴=又 ||2||AF FB =，||AB =可得，||AF =，即a =所以椭圆C 的标准方程是22132x y +=.（2）由（1）知(1,0)F，A ，∴直线AF0y +-=，联立221320x y y ⎧+=⎪⎨+-= ，整理得：22462(3)0x x x x -=-=，解得：1230,2x x ==，∴3(,2B设点A，3(,2B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d 和2d ，则1d =，2d = 直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，联立22132x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得：22(32)6k x +=，解得：34x x ==4CD x ∴=-=∴设四边形ACBD 面积为S，则121()2S CD d d =+=(0)k =>.设)t k =+∞，则k t =S ∴====≤当1t =，即t k ===k =ACBD面积有最大值【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -的体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）取OB 的中点N ，连接MN ，证明出//NP OC ，可得出3ONP π∠=，OPN θ∠=，然后在ONP △中利用正弦定理可求得sin θ的值；（2）计算得出四边形OCPB的面积364S πθ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，结合20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得θ的取值范围，设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V，计算得出2361123V V πθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.【小问1详解】解：取OB 的中点N ，连接MN ，M 为AB 的中点，则//MN OA ，MN ⊄ 平面AOC ，AO ⊂平面AOC ，则//MN 平面AOC ，由题设，当//MP 平面AOC 时，因为MP MN M ⋂=，所以，平面//MNP 平面AOC ，NP ⊂ 平面MNP ，则//NP 平面AOC ，因为NP ⊂平面OBPC ，平面OBPC 平面AOC OC =，则//NP OC ，所以，3ONP BOC ππ∠=-∠=，OPN COP θ∠=∠=，在OPN 中，由正弦定理可得sin sin 3ON OP πθ=，故sin 3sin ON OP πθ==.【小问2详解】解：四棱锥M OCPB -的体积1111323V OA S S =⋅⋅=，其中S 表示四边形OCPB 的面积，则112111sin sin sin sin 223222S OP OC OP OB πθθθθθ⎫⎛⎫=⋅+⋅-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭3sin 46πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，111364V S πθ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，可得sin 6πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭203πθ<< ，则5666πππθ<+<，故2363πππθ<+<，解得,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，由于M 是AB 的中点，则231112sin 2623V V OA S OB OC π⎛⎫==⋅-⋅ ⎪⎝⎭136πθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.22. 混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()N f X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由均值的性质及基本不等式即可证明.（2）由二项分布的概率及条件概率化简即可证明.【小问1详解】由题意可得X 满足二项分布(),X B N p ，由()()E aX b aE X b +=+知，()()N NE f X K X E pN N K K K =+=+⋅≥⎡⎤⎣⋅⎦，当且仅当1Kp K=时取等号；【小问2详解】记P P =（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），i P P =（混管中恰有i 例阳性）=()C 1K i ii K p p --，0,1,,i K = ，令()e 1xh x x =--，33210210x ---⨯<<⨯，则()e 1xh x '=-，当()3021,0x -⨯∈-时，()0h x '<，()h x 为单调递减，当()300,21x -∈⨯时，()0h x '>，()h x 为单调递增，所以()()00h x h ≥=，且()()332103210e 21010h ---⨯--⨯=--⨯-≈，()()332103210e 21010h --⨯-⨯=-⨯-≈，所以当33210210x ---⨯<<⨯，e 10x x --≈即e 1x x ≈+，两边取自然对数可得()ln 1x x ≈+，所以当4010p -<<，1020K ≤≤时，所以()()ln 11e e K K p Kp p Kp ---=≈≈-，则()()()()110111111111K K Kp K p Kp p P P K p P Kp p ---⎡⎤-⎣⎦==≈=--≈---．故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.。
英才大联考雅礼中学2024届高三月考试卷(一)语文得分: 本试卷共四道大题，23道小题，满分150分。
时量150分钟。
一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5 小题，19分)阅读下面的文字，完成1~5题。
①谢赫提出的“气韵生动，骨法用笔，应物象形，经营位置，传移模写，随类赋彩”成为指导中国绘画技法理论的经典。
其中对“随类赋彩”，理论家、画家有不同理解，但把“类”字解释为“物象的固有色”者，使“随类赋彩”成了幼稚的、简单的色彩赋色方法；把“类”字解释为“类型”“类似”者，让“随类赋彩”成为当今中国绘画色彩理论的经典训条。
也有学者在解释“随类赋彩”时模棱两可，含糊推诿过去。
因此弄清其真正含义，既是对上千年中国绘画色彩理论的正本清源，也对当下中国绘画色彩理论的发展与实践具有指导意义。
②我们对“随类赋彩”的理解要完整、客观。
谢赫“六法”是一个有机整体，“气韵生动”是品画的最高美学原则，谢赫把它视为“六法”之本，其他“五法”是达到“气龄生动”的必要条件。
③“气韵生动”指的是一幅画面给人的整体感觉，要感人、生动。
“骨法用笔”即中国画笔法、线条的运用。
它是表达画家思想、个性、意念的手段，不是客观事物的复制和翻版。
“应物象形”以“骨法用笔”的线条为依托，筑就中国画的气色容貌。
“经营位置”是指构图需要画家有强烈的主观意识来取舍、布局、调置。
“传移模写”就是师法自然，自自然取得灵感。
在“六法”指导思想下的“随类赋彩”作为一个完整而带有指导地位的法则被提出来之后，它的内涵就不仅仅是写实意义和描摹自然物象的外在色彩，更是主张画家主观意念与客观相结合，从属于“气韵生动”的一种表现方法。
这样，中国绘画减弱了对自然色彩的依附，渐渐出现了从重彩到淡彩、浅绛直至水墨画的重墨轻色。
④另外，古代中国画的颜料受当时生产技术和条件的局限及交通运输的不便，颜料的获取只能因陋就简。
画家只能用简单的、接近的、类似于物象色彩的颜料去表现他们眼中所看到的物象色彩，有时找不到或调不出眼中所见到的色彩，只好凭主观情感去用色。
