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多项式乘多项式的两个基本方法
河南王凯
多项式的乘法不仅是本节的重点内容，也是前面所学知识的综合运用，多项式与多项式相乘时，如何做到不重、不漏，简便易行呢？下面给同学们介绍两种常用的方法.
一、普遍乘：箭头法
两个多项式相乘，可根据箭头指示并结合原式计算，即先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
例1 计算：（a-2b）（-a-3b）.
=-a2-3ab+2ab+6b2=-a2-ab+6b2.
评注：利用箭头法计算，要防止出现漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应是这两个多项式项数的积.多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号．在计算时，可根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”直接来确定积中各项的符号.
二、整体乘：整体法
两个多项式相乘时，我们可以把其中的一个多项式看成一个“整体”，先按单项式与多项式相乘的法则来计算，然后再进一步求解.
例2 计算：（2m-3）（m2+3m）.
（2m-3）（m2+3m）=2m（m2+3m）-3（m2+3m）=2m3+6m2-3m2-9m=2m3+3m2-9m.
评注：依据转化思想，多项式的乘法可转化为单项式与多项式相乘，进而再转化为单项式与单项式相乘.
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多项式乘以多项式多项式乘以多项式导语：数学的读练习才能巩固知识，下面是关于多项式乘以多项式的例题及练习，欢迎学习。
多项式乘以多项式的例题及练习例1 计算:(1) (x+2y)(5a+3b)解：(x+2y)(5a+3b)=x·5a+x·3b+2y·5a+2y·3b=5ax+3bx+10ay+6by(2) (2x–3) (x+4)解：(2x–3)(x+4)=2x2+8x–3x–12=2x2+5x–12练习：一、计算：(1) (2n+6)(n–3);(2) (2x+3)(3x–1);(3) (2a+3)(2a–3);(4) (2x+5)(2x+5).二、先化简,再求值:(2a-3)(3a+1)-6a(a-4),其中a=三、计算:(3x-5)(2x+3)-(2x-1)(x+1)(2a–3b)(a+5b) ;(xy–z)(2xy+z)(x–1)(x2+x+1)(2a+b)2(3a–2)(a–1)–(a+1)(a+2)(x+y)(2x–y)(3x+2y).计算时需要注意的问题：1、漏乘2、符号问题3、最后结果应化成最简形式。
拓展：1.已知A=x2+x+1,B=x+p-1,化简AB-pA.并求当x=-1时它的值.2.计算(x3+2x2-3x-5)(2x3-3x2+x-2)时,若不展开,求出x4项的系数3.若(x3+mx+n)(x2-5x+3)展开后不含x3和x2项,试求m,n的'值小结：1.运用多项式的乘法法则时，必须做到不重不漏.2.多项式与多项式相乘，仍得多项式.3.注意确定积中的每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”.4.多项式与多项式想乘的展开式中，有同类项要合并同类项.。
第3课时多项式与多项式相乘【教学目标】理解和掌握多项式与多项式相乘的法则，并能熟练运用法则进行计算.【教学重点】多项式与多项式相乘的法则及应用.【教学难点】准确计算出多项式与多项式相乘的结果.教学过程一、组织教学，复习提问1.复习单项式乘以单项式的运算法则.2.复习单项式乘以多项式的运算法则.二、创设情境，引入新课问题1：一块长方形的菜地，长为a，宽为m，现将它的长增加b，宽增加n，求扩大后菜地的面积.师生共同画出图形：师：根据题意，结合图形，请同学们求出面积.你有几种求法？说出你是怎样考虑的.生1：整体来求这块菜地的面积(a＋b)(m＋n).生2：这块菜地可以看成是4块小矩形的面积之和am＋bm＋an＋bn.师：这两位同学回答得非常好.于是就有：(a＋b)(m＋n)＝am＋bm＋an＋bn.上面的等式我们能否用语言表达出来？请同学们思考.(学生交流、讨论)师生共同总结得出多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.三、例题分析师：同学们，下面我们一起来做几个例题，巩固一下刚才学习的新知识.【例1】计算：(1)(－2x－1)(3x－2)(2)(ax＋b)(cx＋d)指名板演，教师评价.解：(1)(－2x－1)(3x－2)＝(－2x)·3x＋(－2x)·(－2)＋(－1)·3x＋(－1)×(－2)＝－6x2＋4x－3x＋2＝－6x2＋x＋2(2)(ax＋b)(cx＋d)＝ax·cx＋ax·d＋b·cx＋b·d＝acx2＋adx＋bcx＋bd【例2】(1)(a＋b)(a2－ab＋b2)(2)(y2＋y＋1)(y＋2)指名板演，其余学生在练习本上完成，教师巡视，对有困难的学生予以帮助.解：(1)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a·a2－a·ab＋a·b2＋b·a2－b·ab＋b·b2＝a3＋b3(2)(y2＋y＋1)(y＋2)＝y3＋2y2＋y2＋2y＋y＋2＝y3＋3y2＋3y＋2四、巩固练习1.计算：(1)(3x－y)(3x＋y)解：原式＝9x2－y2(2)(2x－y)(4x2＋2xy＋y2)解：原式＝8x3－y3(3)(a－b)2解：原式＝a2－2ab＋b22.解方程：(x－3)(x＋8)＝(x＋4)(x－7)＋2(x＋5).解：x＝1指名板演，其余学生在练习本上完成.五、提升练习1.化简并求值：(x－y)(x－2y)－(3x－2y)(x－2y)，其中x＝4，y＝－1.解：原式＝－542.解方程：(3x－2)(2x－3)＝(6x＋5)(x－1).解：x＝11 12指名板演，教师评价.六、课堂小结1.用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，不要漏乘.2.计算结果中如果有同类项，一定要合并.。
多项式与多项式相乘法则哎呀，今天咱们聊聊多项式和多项式相乘这件事。
听起来有点儿复杂，对吧？别担心，咱们用轻松的方式来搞定它。
想象一下，你有两个好朋友，分别叫做A和B，他们各自的性格特点就像多项式里的不同项。
A喜欢做长长的数学题，而B则热爱小巧玲珑的算式。
他们俩一旦碰到一起，那可真是热闹非凡，简直就是一场数学派对！说到相乘，首先你得明白，每个项都要跟对方的每个项都打个招呼。
就像你去参加聚会，得和每个朋友握手，才能把关系搞得融洽。
比如说，A有个项是3x，B有个项是2y。
那么这俩一结合，嘿，3x和2y就变成了6xy，咱们这就把握住了他们俩的合作精神。
你还得继续看看A的其他项，比如说A还有一个5，B呢有个x，嘿，5和x相乘就成了5x。
简单吧？咱们就继续往下推。
假如A还有个项是4y，B有个项是3x，那就会产生12xy。
这么一来，你的多项式就丰富多彩起来了。
真是如鱼得水，乐在其中。
你瞧，这样的相乘过程，就像一场精彩的双人舞，每个步伐都是精心设计的，最后的成果自然让人眼前一亮。
别忘了，乘法是有顺序的哦！你不能跳过任何一步，就像做饭时得把调料都加齐，不然出来的菜可就没味了。
每次相乘的时候，必须逐一核对，确保每一项都被考虑到。
想象一下，假如你在聚会中漏掉了一个朋友，那可就尴尬了，大家都在聊而你不知道他们的热闹，岂不是错过了精彩？然后，最有意思的是，所有的项最后都得汇聚在一起，就像大家在聚会中分享彼此的故事。
你会看到，各种各样的项，正好拼凑成一个全新的多项式。
就像是大家各显神通，最后的成果是个无与伦比的大聚会。
每个项的存在都有其独特的意义，这就像生活中的每一个小细节，缺一不可。
别忘了，很多时候，多项式的乘法可以让我们看到意想不到的美。
每个项之间的联系就像人际关系的交织，让我们在数学的世界里找到乐趣。
就算是再复杂的多项式，只要慢慢来，仔细分析，总能迎刃而解。
咱们生活中也是这样，有时候一件事情看起来很复杂，实际上只要我们耐心去理解，就能找到解决的办法。
多项式与多项式相乘华师大版在数学的广袤天地中，多项式与多项式相乘是一项重要且基础的运算。
它就像是一座桥梁，连接着代数式的不同形式，为解决各种数学问题提供了有力的工具。
首先，我们来理解一下什么是多项式。
简单来说，多项式就是由若干个单项式通过加法或减法连接而成的式子。
比如 3x ＋ 2、x² 5x ＋ 6 等等。
那么多项式与多项式相乘又是怎么一回事呢？让我们通过一个简单的例子来感受一下。
比如有两个多项式：（x ＋ 2) 和（x ＋ 3) ，它们相乘的过程就是：第一步，用第一个多项式的每一项去乘第二个多项式的每一项，得到：x×（x ＋ 3) ＝ x²＋ 3x2×（x ＋ 3) ＝ 2x ＋ 6第二步，将上述两个结果相加，得到：（x ＋ 2)（x ＋ 3) ＝ x²＋ 3x ＋ 2x ＋ 6 ＝ x²＋ 5x ＋ 6这就是多项式与多项式相乘的基本方法。
再来看一个稍微复杂一点的例子：（2x 1)（3x ＋ 4)同样按照上述步骤：2x×（3x ＋ 4) ＝ 6x²＋ 8x－1×（3x ＋ 4) ＝－3x 4然后相加：（2x 1)（3x ＋ 4) ＝ 6x²＋ 8x 3x 4 ＝ 6x²＋ 5x 4通过这两个例子，我们可以总结出多项式与多项式相乘的一般步骤：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
在进行多项式相乘的运算时，要特别注意符号的问题。
同号相乘得正，异号相乘得负。
比如说：（x ＋ 5)（x 2)x×（x 2) ＝ x²＋ 2x5×（x 2) ＝ 5x 10相加得到：（x ＋ 5)（x 2) ＝ x²＋ 2x ＋ 5x 10 ＝ x²＋ 7x 10多项式与多项式相乘在实际生活中也有很多应用。
比如在计算面积的时候，如果一个矩形的长和宽分别是多项式，那么要求这个矩形的面积，就需要用到多项式与多项式相乘。
第12章 整式的乘除§12.1.1 《幂的运算》导学案（第一课时）同底数幂的乘法学生班级： 姓名： 组别： 时间：2015年 月 日学习目标：1、在推理判断中得出同底数冪乘法的运算法则，并掌握法则的应用。
2、经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力。
3、在小组合作交流中，培养协作精神,探究精神，增强学习信心。
学习重点：同底数冪乘法运算性质的推导和应用。
学习难点：同底数冪的乘法的法则的应用。
一、自主学习，个体质疑1、（1）阅读课本P 18-19（2）32 表示几个2相乘？23表示什么？ 5a 表示什么？m a 呢？（3）把22222⨯⨯⨯⨯表示成 na 的形式？2、请同学们通过计算探索规律： （1）()()()342222222222⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=(2)=⨯4355（3）=⨯-673)3(（4）()3111101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5）=⨯43a a3、比较：（1）4322⨯和 72（2）43a a ⨯和 7a (代数式表示)观察计算结果，你能猜想出 n ma a⨯的结果吗？二、小组合作，碰撞激疑问题：（1）这几道题目有什么共同特点？（2）请同学们看一看自己的计算结果，想一想这个结果有什么规律？（3）请同学们推算一下nma a ⨯的结果？同底数幂的乘法法则： 用字母表示：合作评析课后练习：（1）课本P 19页练习题1、2 （2）课本P 24页习题12.1第1题三、合作探究，师生析疑1、计算 （1） 4444⋅- （2）43)6()6(-⨯- （3）2015201622- （4）5342412523⨯+⨯-⨯2、若y x 、是正整数，且12216x y +⋅=，则 y x 、的值是什么？3、已知 28,7,4===cbam m m ，则c b a 、、之间的关系是什么？四、当堂检测，过关解疑1、计算：（1）10432b b b b ⋅⋅⋅ （2）()()876x x x -⋅-（3）()()()562x y y ---- （4）()()()3645p p p p ⋅-+-⋅-2、把下列各式化成 ()ny x + 或 ()n y x -的形式.（1）()()12+++m m y x y x （2）()()()x y y x y x ---23 3、已知 3110m m x x x +-⋅= 求m 的值.课堂反思（自主补充延伸）：§12.1.2 《幂的运算》导学案（第二课时）幂的乘方学生班级： 姓名： 组别： 时间：2015年 月 日学习目标：1、理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质。
多项式乘以多项式在代数学中，多项式是由一系列常数、变量和指数幂的和构成的表达式。
多项式的乘法是代数学中的一项重要运算，它用于计算两个多项式之间的相乘结果。
本文将详细介绍多项式乘法的定义、性质以及一些常用的计算方法。
1. 多项式乘法的定义给定两个多项式：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0Q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0其中，P(x)和Q(x)分别是关于变量x的多项式，a_i和b_i是其中的系数，n和m是对应的指数幂。
则两个多项式相乘的结果为：P(x) * Q(x) = c_{n+m}x^{n+m} + c_{n+m-1}x^{n+m -1} + ... + c_1x + c_0其中，c_k是新的系数，计算方式如下：c_k = a_0b_k + a_1b_{k-1} + ... + a_kb_02. 多项式乘法的性质多项式乘法具有以下几个性质：2.1 交换律多项式乘法满足交换律，即P(x) * Q(x) = Q(x) *P(x)。
2.2 结合律多项式乘法满足结合律，即(P(x) * Q(x)) * R(x) = P(x) * (Q(x) * R(x))。
2.3 零乘性质如果一个多项式的所有系数都为零，那么与任何多项式相乘，结果仍为零多项式。
2.4 常数乘法如果一个多项式P(x)的所有系数都为常数c，那么与另一个多项式相乘时，结果每一项都乘以c。
3. 多项式乘法的计算方法多项式乘法的计算方法有多种，以下介绍两种常用的方法：3.1 嵌套循环计算法嵌套循环计算法是一种较为直观的计算方法，其基本思想是使用两个循环分别遍历两个多项式的系数，然后将对应位置的系数相乘并累加到结果中。
def multiply_polynomials(polynomial1, polynomial2):result = [0] * (len(polynomial1) + len(polyno mial2) -1)for i in range(len(polynomial1)):for j in range(len(polynomial2)):result[i + j] += polynomial1[i] * pol ynomial2[j]return result3.2 快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种高效的多项式乘法算法，它基于傅里叶变换的性质和分治策略。
