高三数学第一轮复习 28 幂函数学案

高中数学幂函数教案试讲
目标：学生能够理解幂函数的概念、性质及应用，并能够解决相关问题。

一、引入
1. 引导学生回顾指数函数的概念和性质。

2. 引出幂函数的定义，并介绍幂函数的概念。

3. 提出问题：幂函数与指数函数的联系是什么？
二、概念解释
1. 讲解幂函数的定义：f(x) = ax^b，其中a和b为常数且a ≠ 0。

2. 讲解幂函数的图像特点：当b为正偶数时，图像开口朝上；当b为正奇数时，图像开口朝上或朝下；当b为负数时，图像在x轴上方或下方。

三、性质探讨
1. 讲解幂函数的增减性与最值：根据b的奇偶性讨论函数的增减性及最大值最小值。

2. 讨论幂函数的奇偶性质。

四、应用拓展
1. 解决一些幂函数相关的实际问题，并让学生进行解答和讨论。

2. 引导学生自行研究其它类型的幂函数，并分享给全班同学。

五、练习与作业
1. 完成相关习题，巩固所学知识。

2. 布置作业：设计一个实际问题，用幂函数来解答并讨论。

六、总结
1. 回顾本节课所学内容，强调幂函数的重要性和应用。

2. 鼓励学生勤奋学习，积极思考。

以上为本节课的教案范本，敬请参考。

第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、二次函数1．二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质a>0a<0 图象图象特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：⎝⎛⎭⎫－b2a，4ac－b24a性质定义域 x ∈R值域y ∈⎣⎡4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a 奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x ∈－∞，⎦⎤－b 2a 时递减，x ∈－b2a，＋∞时递增x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 时递增，x ∈⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞时递减[小题能否全取]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2 C ．f (x )＝－x 2D ．f (x )＝x 2解析：选D 形如f (x )＝x α的函数是幂函数，其中α是常数．2．(教材习题改编)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，120B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－120，0 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.4．(教材习题改编)已知点M ⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________．解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3＝⎝⎛⎭⎫33α，得α＝－2.故y ＝x －2. 答案：y ＝x －25．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：由题意知⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. 答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.[注意] 当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．幂函数的图象与性质典题导入[例1] 已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.[自主解答] ∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数； 当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. [答案] －1由题悟法1．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．以题试法1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R ，当x >0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(·淄博模拟)若a <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a >⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)aB ．(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2aC.⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)a>2aD ．2a >(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a解析：选B 若a <0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>0.所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2a .求二次函数的解析式典题导入[例2] 已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )解析式；(2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式． [自主解答] (1)由于f (x )有两个零点0和－2， 所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＝－1，解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x .(2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上，所以－y ＝(－x )2＋2(－x )， 即－y ＝x 2－2x ， y ＝－x 2＋2x ， 故g (x )＝－x 2＋2x .由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．以题试法2．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图； (3)写出函数f (x )的值域．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x<－2时，即－x>2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．二次函数的图象与性质典题导入[例3]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．[自主解答](1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.故a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．本例条件不变，求当a ＝1时，f (|x |)的单调区间． 解：当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，则f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，故f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．以题试法3．(·泰安调研)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1； 当a ＜0时，y max ＝1－a .根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. 答案：2或－1二次函数的综合问题[例4] (·衡水月考)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围．[自主解答] (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ， x 2－bx ＋b <0⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4. 故b 的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4. ①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m2≥1，则x 1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1，F (0)＝1－m 2≤0⇒m ≥2； 若m2≤0，则x 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，F (0)＝1－m 2≥0⇒－1≤m ≤－255.综上所述，m 的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．由题悟法二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f (0)＝1，得c ＝1.即f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．1．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是(A ．{x |0<x ≤2} B ．{x |0≤x ≤4} C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |－4≤x ≤4}解析：选D 由f ⎝⎛⎭⎫12＝22⇒α＝12，即f (x )＝x 12，故f (|x |)≤2⇒|x |12≤2⇒|x |≤4，故其解集为{x |－4≤x ≤4}．2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D ∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0.∴图象开口向上与y 轴交于负半轴．3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52 B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)解析：选D 由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c .5．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：选D 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.6．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选B 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m >52. 7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数； ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案：①②⑤⑥8．(·北京西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x <2.答案：0 {x |1<x <2}9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2， 则t ＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23. 在⎣⎡⎦⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.答案：3410．如果幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．解：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f (x )＝x 2.11．已知二次函数f (x )的图象过点A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)， 将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8，当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知， f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0. (3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1，或x ≥3}．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．(·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 3．(·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.1．比较下列各组中数值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)4.125，3.8－25，(－1.4)35；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函数y ＝3x 是增函数，故30.8>30.7. (2)y ＝x 3是增函数，故0.213<0.233.(3)4.125>1,0<3.8－25<1，而(－1.4)35<0，故4.125>3.8－25>(－1.4)35.(4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y ＝0.2x 是减函数，故0.20.5<0.20.3；y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3.则0.20.5<0.40.3.2．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 当－b2a <0时，ab >0，从而c >0，可排除A ，C ；当－b2a >0时，ab <0，从而c <0，可排除B ，选D.3．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，求g (a )的表达式；(3)在(2)的条件下，求证：g (a )≥12.解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－2x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数； 当a >0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向上，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为减函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为增函数； 当a <0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向下，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为增函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为减函数． (2)∵f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋1－1a， 由13≤a ≤1得1≤1a ≤3，∴N (a )＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1－1a . 当1≤1a <2，即12<a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5，故g (a )＝9a ＋1a－6；当2≤1a ≤3，即13≤a ≤12时，M (a )＝f (1)＝a －1，故g (a )＝a ＋1a－2.∴g (a )＝⎩⎨⎧a ＋1a－2，a ∈⎣⎡⎦⎤13，12，9a ＋1a －6，a ∈⎝⎛⎦⎤12，1.(3)证明：当a ∈⎣⎡⎦⎤13，12时，g ′(a )＝1－1a 2<0， ∴函数g (a )在⎣⎡⎦⎤13，12上为减函数； 当a ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，g ′(a )＝9－1a 2>0， ∴函数g (a )在⎝⎛⎦⎤12，1上为增函数，∴当a ＝12时，g (a )取最小值，g (a )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 故g (a )≥12.。

第四节 二次函数与幂函数2019考纲考题考情1．幂函数(1)定义：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中底数x 是自变量，α是常数。

(2)幂函数的图象比较：2．二次函数 (1)解析式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)。

顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)。

两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)。

(2)图象与性质：与二次函数有关的不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0；(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0；(3)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min 。

一、走进教材1．(必修1P 79习题T 1改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2 解析 因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1。

又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，所以α＝12，所以k ＋α＝1＋12＝32。

故选C 。

答案 C2．(必修1P 38B 组T 1改编)函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1，1]，则y 的最小值为________。

解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－32的图象的对称轴为直线x ＝32>1，所以函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上为单调递减函数，所以y min ＝2－6＋3＝－1。

答案 －1 二、走近高考3．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b 。

高三数学一轮复习学案：幂函数一、考试要求： 理解幂数函数的概念与意义，能画出具体幂数函数,,,32x y x y x y ===21x y =21,--==x y x y 的图像，探索并理解幂数函数单调性与特殊性。

二、知识梳理：1、函数 叫做幂函数，幂函数的图像都通过点2、幂数函数,,,32x y x y x y ===21x y =21,--==x y x y 中， 为奇函数的是 ；为偶函数的是 定义域为 R 的是 ；定义域为[)∞+，0的是 在第一象限是增函数的是 是减函数的是3、幂函数的性质（1）当0>α时，幂函数有下列性质；（1）（2）（3）（4）（2）当0<α时，幂函数有下列性质；（1）（2）（3）（4）三、基础检测：1、已知函数m x m m x f m ,)1()(352----=为何值时，:)(x f（1）是正比例函数 （2）是反比例函数（3）是二次函数 （4）是幂函数2、当x ()∞+∈，0时，幂函数,)1()(352----=m x m m x f 为减函数时，则实数m 的值为3、点()22，在幂函数)(x f 的图像上，点)41,2(-在幂函数)(x g 的图像上，当x 为何值时，有)()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f <=>4、已知幂函数)(322+--∈=N m x y m m的图像关于y 轴对称，且在()∞+，0上是减函数，则满足33)23()1(mma a ---<+的a 的取值范围5、已知Z n x x f n n ∈=++-321)(的图像在[)+∞,0上是单调递增，则不等式)3()(2+>-x f x x f 的解集为6、下列函数中，既是奇函数又是区间()∞+，0上的增函数的是（ ） A 21x y = B 1-=x y C 3x y = D x y 2=7、已知10,)(21<<<=b a x x f 若，则)1(),1(),(),(bf a f b f a f 的大小关系式 8、已知313432)21(2,)21(===-c b a ，则a,b,c 的大小关系为 9、（2011聊城模拟）已知幂函数)()(12)(++∈=-N m x x f m m（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性（2）若该函数还经过点()2,2，，试确定m 的值，并求满足条件)1()2(->-a f a f 的实数a 的取值范围10、画出函数23x y =和32x y =的草图，并探讨该函数的定义域值域，奇偶性，单调性。

高中数学幂函数的教案
一、教学目标：
1. 理解幂函数的基本概念和特点；
2. 掌握幂函数的图像特征和性质；
3. 能够解决幂函数相关的问题。

二、教学重点：
1. 幂函数的定义和基本特点；
2. 幂函数的图像性质。

三、教学难点：
1. 幂函数的特殊情况的解决方法；
2. 幂函数的应用问题的解决。

四、教学过程：
1. 导入：通过实际生活中的例子引入幂函数的概念，引发学生的兴趣。

2. 概念讲解：介绍幂函数的定义和基本特点，解释幂函数的图像特征和性质。

3. 实例演练：通过案例分析，让学生运用所学知识解决幂函数相关的问题。

4. 拓展应用：引导学生探讨幂函数在实际问题中的应用，开拓思维。

五、课堂讨论：组织学生讨论幂函数的特殊情况和解决方法，促进学生之间的交流和思考。

六、练习测试：布置与幂函数相关的习题，检验学生对知识的掌握程度。

七、总结反思：引导学生总结本节课的重点知识，反思学习过程中的问题和感悟。

八、课后复习：提醒学生及时复习幂函数相关知识，完成作业，并准备下节课内容。

九、教学手段：采用多媒体教学、案例分析、讨论互动等方式，激发学生学习兴趣。

十、教学评估：根据学生的学习情况和表现，及时调整教学策略，确保教学效果。

十一、教学延伸：鼓励学生主动学习，拓展幂函数相关知识，提高数学思维能力。

以上是高中数学幂函数的教案范本，仅供参考。

祝教学顺利！。

幂函数和函数的图像【知识导图】知识讲解知识点1 幂函数的定义一般地，形如()y x R αα=∈的函数称为幂函数，其中α是常数．自变量x 是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x ，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数．这些函数虽然定义域不同，但有公共区间()0+∞，．为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中．虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征．这6个幂函数在()0+∞，都有定义，图象都过点(1)1，．讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．知识点3 利用基本函数的图像作图1.平移变换(1)水平平移：)0)((>±=a a x f y 的图象，可由)(x f y =的图象向左()＋或向右()－平移a 个单位而得到．(2)竖直平移：)0()(>±=b b x f y 的图象，可由)(x f y =的图象向上()＋或向下()－平移b 个单位而得到．2.对称变换(1))(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称． (2))(x f y -=与)(x f y =的图象关于x 轴对称． (3))(x f y --=与)(x f y =的图象关于原点对称．(4)要得到|)(|x f y =的图象，可将)(x f y =的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．(5)要得到|)(|x f y =的图象，可将)(x f y =，0≥x 的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出0<x 时的图象． 3.伸缩变换(1))0)((>=A x Af y 的图象，可将)(x f y =图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到．(2))0)((>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =图象上所有点的横坐标变为原来的a1倍，纵坐标不变而得到．例题精解类型1 幂函数的概念【例题1】函数()()2231m m f x m m x+-=--⋅是幂函数，且当()0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，求()f x 的解析式．【例题2】已知幂函数()f x x α=的图象经过点()93，，则()100f =________．类型2 幂函数的图象【例题3】如图所示，图中的曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于1234c c c c ，，，的n 依次为( )A ．2-，12-，12，2B ．2，12，12-，2- C ．12-，2-，2，12 D ．2，12，－2，12- 【例题4】如图是幂函数my x =与ny x =在第一象限内的图象，则( )A ．101n m -<<<<B ．1n <-，01m <<C ．10n -<<，1m >D ．1n <-，1m >类型3 比较幂的大小【例题5】比较下列各组数中两个数的大小：(1)1213⎛⎫ ⎪⎝⎭与1214⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)123-⎛⎫- ⎪⎝⎭与135-⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)140.25-与146.25；(4)0.20.6与0.30.4．【例题6】比较下列各组数的大小： (1)0.523⎛⎫ ⎪⎝⎭与0.535⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2) 33.14-与3π-；(3)3412⎛⎫ ⎪⎝⎭与1234⎛⎫ ⎪⎝⎭．类型4 含绝对值的函数【例题7】若关于x 的方程x a x -=||只有一个解，则实数a 的取值范围是________．【例题8】分别画出下列函数的图象： （1）|lg |x y =；（2）22+=x y ；（3）1||22--=x x y .类型五 判断函数的图象【例题9】已知定义在区间]2,0[上的函数)(x f y =的图象如图所示，则)2(x f y --=的图象为( )【例题10】在下列图象中，二次函数bx ax y +=2与指数函数xaby )(=的图象只可能是（ ）A. B. C. D.课堂练习【基础】1．下列函数是幂函数的是( )A ．5x y =B ．5y x =C ．5y x =D ．()31y x =+ 2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．13y x = B ．12y x-= C ．53y x = D ．23y x =3．设11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．13，B ．11-，C ．13-，D ．11,3-，4．若3512a ⎛⎫=⎪⎝⎭，3515b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()32c =-，则a b c 、、的大小关系为________． 5．幂函数()()22231m m f x m m x--=--⋅在()0,+∞上是减函数，则实数m =________．6．已知幂函数()f x 的图象经过点22⎛ ⎝⎭，，则()4f 的值为( ) A ．16 B ．116 C ．12D ．2 7．下列命题中正确的是( )A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0)0，、(1)1，两点C ．若幂函数y x α=的图象关于原点对称，则y x α=在定义域上是增函数D ．幂函数的图象不可能在第四象限8．下列幂函数中①1y x -=；②12y x =；③y x =；④2y x =；⑤3y x =，其中在定义域内为增函数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5⎧211.函数)10(||<<=a x xa y 的图象的大致形状是( )【巩固】1．当01x <<时，()2f x x =，()12g x x =，()2h x x -=的大小关系是( )A ．()()()h x g x f x <<B ．()()()h x f x g x <<C ．()()()g x h x f x <<D ．()()()f x g x h x <<2．下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数是( ) A ．2y x -= B ．1y x -= C ．2y x = D ．13y x =3．幂函数()y f x =的图象经过点128⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则满足()27f x =-的x 值等于________． 4．比较下列各组中两个值的大小： (1)351.5与351.6；(2) 1.30.6与 1.30.7；(2) 233.5-与235.3-；(4)0.30.18－与0.30.15－．5．设322555223,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >> B ．c a b >> C ．a b c << D ．b c a >>6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么函数解析式为()2f x x =，值域为{1}4，的“同族函数”共有( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．无数个 种情况． x8.设函数⎩⎨⎧>≤++=020)(2x x c bx x x f ，，，若)0()2(f f =-，3)1(-=-f ，则方程x x f =)(的解集为________．9.画出函数1||22++-=x x y 的图象并写出函数的单调区间．【拔高】1．已知幂函数()f x 的图象过点(25)5，． (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()2g x f lgx =-，求()g x 的定义域、值域．2．已知幂函数()223m m y f x x-+==，其中2{}2|m x x x Z <<-∈∈，，满足：(1)是区间()0,+∞上的增函数；(2)对任意的x R ∈，都有()0()f x f x -+=．求同时满足(1)，(2)的幂函数()f x 的解析式，并求]3[0x ∈，时()f x 的值域．3．已知幂函数()()223m m f x xm N --∈=的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上函数值随着x 的增大而减小，求满足()()33132m m a a --+<-的a 的取值范围．4.求k 为何值时，方程k x =-|13|无解？有一解？有两解？5.已知0>a ，且1≠a ，函数x y a log =，x a y =，a x y +=在同一坐标系中的图象可能是( )6.已知b a <，函数))(()(b x a x x f --=的图象如图所示，则函数)(log )(a x x g b +=的图象可能为( )小结1．幂函数y x α=的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线1x =的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线1x =的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小． 3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在()0,+∞上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即()11f =． (2)如果0α>，幂函数在[0,)+∞上有意义，且是增函数． (3)如果0α<，幂函数在0x =处无意义，在()0,+∞上是减函数． 函数的图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点.作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象.运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个研究要借于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点. （2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； （3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面.课后练习【基础】1．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a b c 、、的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a << 2．下列幂函数在(0),-∞上为减函数的是( )A ．13y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．12y x =3．设11,13{,,}2α∈-，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A ．13，B ．11-，C ．13-，D ．113-，， 4．函数()()22231mm f x m m x+-=-+⋅是幂函数，且在()0,+∞上是减函数，则实数m =( )A ．0B ．1C ．2D ．0或15．函数y x α=与11,({,)2},23y x αα=-∈的图象只可能是下面中的哪一个( )6.函数xx y ||ln =的图像大致是（ ）A B. C. D.7.若函数)1,0(1)(≠>-=-a a a x f k x 过定点)0,2(，且)(x f 在定义域R 上是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8.函数13)(||+-=x x f 的图像大致是（ ）A. B. C. D.【巩固】1．已知幂函数()21m f x x -=()m Z ∈的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数()f x 的解析式是________．2．下列函数中，在(0)1，上单调递减，且为偶函数的是________． ①12y x =；②4y x =；③2y x=－；④13y x =-． 3．已知函数()253()1m f x m m x ---=-，m 为何值时，()f x ： (1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．4．已知函数()2m f x x x =-且()742f =． (1)求m 的值；(2)判定()f x 的奇偶性；(3)判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并给予证明．5．如图所示，曲线1C 与2C 分别是函数m y x =和n y x =在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．0n m <<B ．0m n <<C ．0n m >>D ．0m n >>6．当1()x ∈+∞，时，幂函数y x α=的图象在直线y x =的下方，则α的取值范围是( )A ．(0)1，B ．()0-∞，C ．0(0)1()-∞⋃，，D ．1(()0)-∞⋃+∞，， 7．函数13y x =的图象是( )8．已知幂函数()y f x =的图象过点(2)2，，则()216f log =( )A ．2B ．22C 2D ．12 9.作出函数⎩⎨⎧>+-≤--=13)2(13)(2x x x x x f ，，的图象，并指出函数的单调区间．10.若1>a ，01<<-b ，则函数b a y x +=的图象一定在( )A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限11.函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0)91(log 0)(x x x b ax x f c ，，的图象如图所示，则=++c b a ______.【拔高】 1．已知幂函数()14f x x -=，若()()1102f a f a <+-，则a 的取值范围是________．、2．若231()2a =，231()5b =，131()2c =，则a b c 、、的大小关系是________． 3．幂函数()f x的图象经过点)，点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭在幂函数()g x 的图象上． (1)求()f x ，()g x 的解析式；(2)x 为何值时()()f x g x >？x 为何值时()()f x g x <?4．已知幂函数()()223m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)设函数()2g x x c =+，若()2g x >对任意的x R ∈恒成立，求实数c 的取值范围．5.直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 ______________．6.若关于x 的方程a x x =-|2|2在]3,1[-上有只有2个解，则a 的取值范围为________.。

2。

4幂函数与二次函数必备知识预案自诊知识梳理1。

幂函数（1)幂函数的定义:形如（α∈R）的函数称为幂函数，其中x是,α是。

(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质2。

二次函数(1)二次函数的三种形式一般式：；顶点式:,其中为顶点坐标;零点式:,其中为二次函数的零点.（2)二次函数的图象和性质1.幂函数y=xα的图象在第一象限的两个重要结论:（1)恒过点（1,1）；（2）当x∈(0,1）时,α越大，函数值越小；当x∈(1,+∞）时,α越大，函数值越大.2.研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）在区间[m,n]（m<n)上的单调性与值域时,分类讨论-b2a与m或n 的大小。

3.设f(x）=ax2+bx+c（a≠0)图象的对称轴为x=m，当a〉0时,若｜x1-m|〉|x2-m|，则f(x1）〉f（x2);当a〈0时，若｜x1-m｜>|x2—m|,则f（x1）<f(x2). 4。

一元二次方程f（x)=x2+px+q=0的实根分布：(1)方程f（x）=0在区间(m，+∞）内有根的充要条件为f(m)<0或{p2-4q≥0,-p2>m;考点自诊1。

判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数y=-x2与y=2x12都是幂函数.（）(2）幂函数的图象经过第四象限,当α〉0时,幂函数y=xα是定义域上的增函数.(）(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=-b2a 时,y取得最小值4ac-b24a。

（)（4)幂函数的图象不经过第四象限。

(）(5）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值恒为负的充要条件是{a<0,b2-4ac<0.(）2.如图是①y=x a;②y=x b；③y=x c在第一象限的图象,则a,b,c 的大小关系为(）A.a>b〉cB.a<b<cC。

b<c〈aD.a<c〈b3.（2020湖北荆州质检)若对任意x∈[a，a+2］均有(3x+a）3≤8x3,则实数a的取值范围是（)A。

平陆中学高三理科数学学案编写人：孙月明课题：第4讲二次函数与幂函数学习目标：1.通过辨识幂函数的图像和比较幂值的大小，掌握幂函数的图像与性质，体会数形结合的数学思想；2.通过求解二次函数的最值问题和恒成立问题，掌握二次函数的图像与性质，体会数形结合、分类讨论和转化与化归的数学思想。

教学重点：1.幂函数的图像和性质；2.二次函数的单调性、最值、恒成立问题。

教学难点：二次函数的最值和恒成立问题。

一、知识梳理1．幂函数(1)定义：形如的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α>0时，幂函数的图象都过点和，且在(0，＋∞)上单调，并且当α>1时，函数值增长的越来越快；当0<α<1时，函数值增长的越来越慢。

③当α<0时，幂函数的图象都过点，且在(0，＋∞)上单调．2．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象定义域值域单调性对称性3.若一元二次函数f(x)=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x ,则12x x += ；12x x ⋅= 。

二、自我检测1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝2x 13是幂函数．( )(2)当n >0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a .( ) 2.已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0 3. 已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为( )A ．[0，1]B ．[1，2]C ．(1，2]D ．(1，2)4.已知幂函数f (x )的图象经过点(9，3)，则f (2)－f (1)＝________.5.(教材习题改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0，3])的值域是________．三、典例分析例1.（幂函数的图象及性质） (1)已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知a ＝432，b ＝254，c ＝1325，则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b 例2.（二次函数的单调性）函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，0)B ．(－∞，－3]C ．[－2，0]D ．[－3，0]例3.（二次函数的最值问题，分类讨论思想）已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值．例4.（一元二次不等式恒成立问题，转化与化归思想)(2018·河北武邑第三次调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．(－2，0)C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 四、巩固练习1．(2018·西安模拟)函数y＝3x2的图象大致是( )2．(2017·高考北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．3．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为________．4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．五、课堂小结1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立．2.二次函数求最值的三种常见类型二次函数的最值由所给区间，对称轴及开口方向等因素确定．(1)一般在轴定区间定的条件下有以下三种情况：①若所给区间为R，则在顶点处取最值．②在所给区间[m，n]，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴x＝－b2a∈[m，n]时，其最值为一个是在顶点处取得．另一个则距轴较远的端点处取得．③在所给区间[m，n]，－b2a∉[m，n]时，则利用函数的单调性求得最值(在区间的两个端点处)．(2)若二次函数自变量的区间确定，但对称轴位置是变化的，则需要根据对称轴位置变化情况分对称轴在给定区间内变化与在给定区间外变化两种情况讨论，若对称轴只能在给定区间内变化，则只考虑对称轴与区间端点的距离即可．若对称轴在区间外，应分在区间左侧或右侧内讨论．(3)若所给区间变化，而对称轴位置确定，则对于区间变化时，是否包含对称轴与x轴交点的横坐标必须进行分类讨论，其分类标准为变化区间中包含对称轴与x轴交点的横坐标与变化区间中不包含对称轴与x轴交点的横坐标．具体分类可分四类．①对称轴在区间左侧．②对称轴在区间右侧．③对称轴在闭区间内且在中点的左侧．④对称轴在闭区间内且在中点的右侧(或过中点)．3.会用两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．4.易错防范(1)对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．六、作业1．如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．a<c<b2．已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[－1，n]上的值域是[－5，4]，则n的取值范围是( )A．[2，5] B．[1，5] C．[－1，2] D．[0，5]3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )4．f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(－1)，f(－2)，f(3)的大小关系为( )A．f(3)>f(－2)>f(－1) B．f(3)＜f(－2)＜f(－1)C．f(－2)＜f(3)＜f(－1) D．f(－1)＜f(3)＜f(－2)5．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )A．[0，1] B．(0，1) C．(－∞，1) D．(－∞，1]6．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，那么函数f(x)的单调递增区间是________．7．已知二次函数为y＝x2＋2kx＋3－2k，则顶点位置最高时抛物线的解析式为________．8．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．9．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的图象经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．。