(新教材)【人教A版】20版必修一课堂检测·素养达标 4.2.2.2(数学)

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课堂检测·素养达标
1.不等式x(2-x)>0的解集为( )
A.{x|x>0}
B.{x|x<2}
C.{x|x>2或x<0}
D.{x|0<x<2}
【解析】选D.原不等式化为x(x-2)<0，故0<x<2.
2.函数y=x2-2x-3的零点是( )
A.(-1，0)，(3，0)
B.x=-1
C.x=3
D.-1和3
【解析】选D.令x2-2x-3=0得(x-3)(x+1)=0，
所以x1=-1，x2=3.
3.关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是全体实数的条件是
( )
A. B. C. D.
【解析】选D.由于不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实数，所以与之相对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像恒在x轴下方，则有
4.二次函数y=x2-4x+3在y<0时x的取值范围是________.
【解析】由y<0得x2-4x+3<0，所以1<x<3.
答案：(1，3)
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课时素养评价十不等关系与比较大小(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.若x≠2且y≠-1,则M=x2+y2-4x+2y与-5的大小关系是( )A.M>-5B.M<-5C.M=-5D.不能确定【解析】选A.因为x2+y2-4x+2y-(-5)=(x-2)2+(y+1)2,又x≠2且y≠-1,所以(x-2)2+(y+1)2>0,故M>-5.2.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式组表示就是 ( )A. B.C. D.【解析】选D.“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”,所以x ≥95,y>380,z>45.3.下列命题中,正确的是( )A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac>bc,则a>bC.若<,则a<bD.若a>b,c>d,则a-c>b-d【解析】选C.A:取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;B:当c<0时,ac>bc?a<b,所以B错误;C:因为<,所以c≠0,又c2>0,所以a<b,C正确;D:取a=c=2,b=d=1,可知D错误.4.(多选题)已知三个不等式:①ab>0,②>,③bc>ad.则下列结论正确的是( ) A.①③?② B.①②?③C.②③?①D.B选项错误【解析】选A、B、C.不等式②作等价变形>?>0,由ab>0,bc>ad可得②成立,即①③?②;若ab>0,>0,则bc>ad,故①②?③;若 bc>ad,>0则ab>0,故②③?①.二、填空题(每小题4分,共8分)5.设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b应满足的条件为________.【解析】若x>y,则x-y=a2b2+5-(2ab-a2-4a)=a2b2-2ab+a2+4a+5=(ab-1)2+(a+2)2>0,所以ab≠1或a≠-2.答案:ab≠1或a≠-26.一辆汽车原来每天行驶x km,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过 2 200 km,写成不等式为________;如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为________.【解析】原来每天行驶x km,现在每天行驶(x+19) km.则不等关系“在8天内的行程超过 2 200 km”,写成不等式为8(x+19)>2 200.若每天行驶(x-12) km,则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为>9.答案:8(x+19)>2 200 >9【加练·固】用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N*),已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的,请从这个实例中提炼出一个不等式组为______.【解析】依题意得,第二次钉子没有全部进入木板,第三次全部进入木板,所以(k∈N*).答案:(k∈N*)三、解答题(共26分)7.(12分)某厂使用两种零件A,B组配甲、乙两种产品,该厂每月最多生产甲产品2 500件,乙产品1 200件,组装一件甲产品,需要4个A零件,2个B零件;一件乙产品需要6个A零件,8个B零件.某个月,该厂能用的A最多有14 000个,B 最多有12 000个.请写出满足上述所有不等关系的不等式.【解析】设这个月生产x件甲产品,y件乙产品,则:即8.(14分)(1)已知a>b>c>0,试比较与的大小.(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.【解析】(1)-====.因为a>b>c>0,所以a-b>0,ab>0,a+b-c>0.所以>0,即>.(2)(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=+.因为≥0,所以+≥>0,所以(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0,所以2x2+5x+3>x2+4x+2.(15分钟·30分)1.(4分)已知x>y>z,且x+y+z=0,则下列不等式中成立的是( )A.xy>yzB.xz>yzC.xy>xzD.x|y|>z|y|【解析】选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,所以x>0,z<0.由得xy>xz.2.(4分)已知a1,a2∈(1,+∞),设P=+,Q=+1,则P与Q的大小关系为( )A.P>QB.P<QC.P=QD.不确定【解析】选B.P-Q=-=-==,因为a1,a2∈(1,+∞),所以a1-1>0,1-a2<0,a1a2>0,所以P-Q=<0,所以P<Q.3.(4分)下列各组代数式的关系正确的是______.(填序号)①x2+5x+6<2x2+5x+9;②(x-3)2<(x-2)(x-4);③当x>1时,x3>x2-x+1;④x2+y2+1>2(x+y-1).【解析】①2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,即x2+5x+6<2x2+5x+9;②(x-2)(x-4)-(x-3)2=x2-6x+8-(x2-6x+9)=-1<0,即(x-2)(x-4)<(x-3)2;③当x>1时,x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1)>0,即x3>x2-x+1;④x2+y2+1-2(x+y-1)=(x2-2x+1)+(y2-2y+1)+1=(x-1)2+(y-1)2+1>0,即x2+y2+1>2(x+y-1).答案:①③④4.(4分)甲、乙两工厂2015年元月份产值相同,甲厂的产值逐月增加,且每月增加的产值相等,乙厂的产值也逐月增加,且每月增长的百分率相等,已知2016年元月份两厂的产值相等,则2015年7月份产值高的工厂是________厂.(填“甲”或“乙”)【解析】设甲以后每个月比前一个月增加相同的产值a,乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x,由题意得1+12a=1×(1+x)12①,7月份甲的产值为1+6a,7月份乙的产值为1×(1+x)6,由①知(1+x)6=,即7月份乙的产值为,因为(1+6a)2-()2=36a2>0,所以1+6a>,即7月份甲的产值大于乙的产值.答案:甲5.(14分)若a≥1,比较-与-的大小.【解析】因为(-)-(-)=-==<0,所以-<-.关闭Word文档返回原板块。

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课堂检测·素养达标1.不等式3x2-2x+1>0的解集为( )A. B.C. D.R【解析】选D.由3x2-2x+1>0得x2-x+>0，所以>-显然成立，所以原不等式的解集为R.2.不等式<0的解集为( )A.{x|x>1}B.{x|x<-2}C.{x|-2<x<1}D.{x|x>1或x<-2}【解析】选C.原不等式等价于(x-1)(x+2)<0，解得-2<x<1.3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240)，每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )A.100台B.120台C.150台D.180台【解析】选C.y-25x=-0.1x2-5x+3 000≤0，即x2+50x-30 000≥0，解得x≥150或x≤-200(舍去).4.设集合M={x|x2-x<0}，N={x|x2<4}，则M与N的关系为________. 【解析】因为M={x|x2-x<0}={x|0<x<1}，N={x|x2<4}={x|-2<x<2}，所以M N.答案：M N【新情境·新思维】在R上定义运算⊗：x⊗y=x(1-y)，若不等式(x-a)⊗(x-b)>0的解集是(2，3)，则a+b的值为( )A.1B.2C.4D.8【解析】选C.因为x⊗y=x(1-y)，所以(x-a)⊗(x-b)>0，得(x-a)[1-(x-b)]>0，即(x-a)(x-b-1)<0，因为不等式(x-a)⊗(x-b)>0的解集是(2，3)，所以a+b+1=2+3，所以a+b=4.关闭Word文档返回原板块。

模块素养评价(120分钟 150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．(2020·某某高二检测)已知a ＝()2，－3，1 ，则下列向量中与a 平行的是() A ．()1，1，1 B ．()－2，－3，5 C ．()2，－3，5 D ．()－4，6，－2【解析】选D.对于A 选项，因为12 ≠1－3 ≠11 ，A 选项中的向量与a 不平行；对于B 选项，因为－22 ≠－3－3 ≠51 ，B 选项中的向量与a 不平行；对于C 选项，因为22 ＝－3－3 ≠51 ，C 选项中的向量与a 不平行；对于D 选项，因为－42 ＝6－3 ＝－21 ，D 选项中的向量与a 平行．2．(2020·某某高二检测)在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且AF ＝2FD ，E 为BC 的中点，则EF →等于()A ．EF → ＝AC →＋12 AB → －23 AD →B ．EF →＝－12 AC → －12 AB → ＋23 AD →C ．EF →＝12 AC → －12 AB → ＋23 AD →D ．EF →＝－12 AC → ＋12 AB → －23AD →【解析】选B.在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且AF ＝2FD ，E 为BC 的中点，所以EF →＝EB → ＋BA → ＋AF → ＝12 ⎝⎛⎭⎫AB →－AC → －AB → ＋23 AD → ＝－12 AC → －12 AB → ＋23 AD → ，即EF → ＝－12 AC →－12 AB → ＋23AD → .3．若向量a ＝(0，1，－1)，b ＝(1，1，0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值是() A ．－1 B ．0 C ．－2 D ．1 【解析】选C.因为(a ＋λb )⊥a ， 所以(a ＋λb )·a ＝a 2＋λb ·a ＝(2 )2＋λ×(0＋1＋0)＝0，解得λ＝－2.4．已知直线l 1：2x ＋y ＋n ＝0与l 2：4x ＋my －4＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为355 ，则m ＋n ＝()A ．－3或3B ．－2或4C ．－1或5D ．－2或2【解析】选A.由2m －4＝0，解得m ＝2.满足l 1∥l 2.l 2的方程为2x ＋y －2＝0，有|n ＋2|5＝35 5 ，则|n ＋2|＝3，解得n ＝1或－5，故m ＋n ＝±3.5．(2020·某某高二检测)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋2a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦长为4，则实数a 的值是()A ．－3B ．－2C ．－1D ．－4【解析】选 B.圆心为()－1，1 ，圆心到直线距离为22＝2 ，故圆的半径为22＋()22＝6 ，即2－2a ＝6 ，a ＝－2. 6．(2020·某某高二检测)双曲线C 1：x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(c ，0)(c>0)，且双曲线C 1的两条渐近线与圆C 2：(x －c)2＋y 2＝c 24 均相切，则双曲线C 1的渐近线方程为()A ．x ± 3 y ＝0B ．3 x ±y ＝0 C ．5 x ±y ＝0 D ．x ±5 y ＝0【解析】选A.根据题意知：焦点F(c ，0)到渐近线 y ＝bax 的距离为d ＝bca 2＋b 2＝c 2 ，故a 2＝3b 2，故渐近线为x ±3 y ＝0. 7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤2，若将军从点A(3，0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为() A ．2 5 B ．17 －2C ．17 D ．3－2【解析】选B.设点A 关于直线x ＋y ＝4的对称点A ′(a ，b)，设军营所在区域的圆心为C ，根据题意，|A ′C|－ 2 为最短距离，先求出A ′的坐标，AA ′的中点为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋32，b 2 ，直线AA ′的斜率为1，故直线AA ′为y ＝x －3，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋32＋b2＝4，b ＝a －3，联立得a ＝4，b ＝1，所以|A ′C|＝42＋12 ＝17 ，故|A ′C|－2 ＝17 －2 .8．(2020·浏阳高二检测)在椭圆x 24＋y 2＝1上有两个动点P ，Q ，E ()1，0 为定点，EP ⊥EQ ，则EP → ·QP →的最小值为()A ．4B ．3－3 C ．23D ．1【解析】选C.由题意得EP → ·QP → ＝EP → ·⎝⎛⎭⎫EP →－EQ → ＝EP → 2－EP → ·EQ → ＝EP → 2， 设椭圆上一点P ()x ，y ，则EP →＝()x －1，y ，所以EP → 2＝(x-1)2＋y 2＝(x-1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－x 24＝34 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43 2＋23，又－2≤x ≤2，所以当x ＝43 时，EP → 2取得最小值23.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．(2020·某某高二检测)若a ＝()－1，λ，－2 ，b ＝()2，－1，1 ，a 与b 的夹角为120°，则λ的值为()A ．17B ．－17C ．－1D ．1【解析】选AC.由已知a ·b ＝－2－λ－2＝－λ－4，||a ＝1＋λ2＋4 ＝5＋λ2 ，||b ＝4＋1＋1 ＝ 6 ， 所以cos 120°＝a ·b||a ·||b ＝－λ－45＋λ2·6＝－12 ，解得λ＝17或λ＝－1.10．(2020·启东高二检测)设有一组圆C k ：(x －1)2＋(y －k)2＝k 4(k ∈N *).下列四个命题正确的是()A ．存在k ，使圆与x 轴相切B ．存在一条直线与所有的圆均相交C ．存在一条直线与所有的圆均不相交D ．所有的圆均不经过原点【解析】选ABD.根据题意得圆的圆心为(1，k)，半径为k 2，选项A ，当k ＝k 2，即k ＝1时，圆的方程为(x-1)2+(y-1)2＝1，圆与x 轴相切，故正确；选项B ，直线x ＝1过圆的圆心(1，k)，x ＝1与所有圆都相交，故正确；选项C ，圆k ：圆心(1，k)，半径为k 2，圆k ＋1：圆心(1，k ＋1)，半径为(k ＋1)2，两圆的圆心距d ＝1，两圆的半径之差R －r ＝2k ＋1，(R －r ＞d)，C k 含于C k ＋1之中，若k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；选项D ，将(0，0)代入圆的方程，则有1＋k 2＝k 4，不存在k ∈N *使上式成立，即所有圆均不过原点，正确．11．(2020·某某高二检测)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足||PF 2 ＝||F 1F 2 ，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是() A ．渐近线方程为4x ±3y ＝0 B ．渐近线方程为3x ±4y ＝0 C ．离心率为53D ．离心率为54【解析】选AC.设||PF 2 ＝||F 1F 2 ＝2c ， 由||PF 1 －||PF 2 ＝2a ，可得||PF 1 ＝2c ＋2a ， 由F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，设PF 1的中点为M ，由等腰三角形PF 1F 2的性质可得，F 2M ⊥PF 1， 即有||PF 1 ＝2（2c ）2－（2a ）2 ＝4c 2－a 2 ＝4b ，所以2c ＋2a ＝4b ，即c ＋a ＝2b ，可得c 2＝a 2＋b 2＝(2b －a)2，即有3b ＝4a ，则双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0，离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋169 ＝53.12．(2020·潍坊高二检测)已知抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q.若抛物线C 上存在一点E(t ，2)到焦点F 的距离等于3.则下列说法正确的是() A ．抛物线的方程是x 2＝2y B ．抛物线的准线是y ＝－1 C ．sin ∠QMN 的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【解析】选BC.抛物线C ：x 2＝2py()p>0 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ，得抛物线的准线方程为y ＝－p 2 ，点E ()t ，2 到焦点F 的距离等于3，可得2＋p2＝3，解得p ＝2，则抛物线C 的方程为x 2＝4y ，准线为y ＝－1，故A 错误，B 正确；由题知直线l 的斜率存在，F ()0，1 ，设A ()x 1，y 1 ，B ()x 2，y 2 ，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以y 1＋y 2＝k ()x 1＋x 2 ＋2＝4k 2＋2，所以AB 的中点Q 的坐标为()2k ，2k 2＋1 ，||AB ＝y 1＋y 2＋p ＝4k 2＋2＋2＝4k 2＋4，故线段AB 的最小值是4，即D 错误；所以圆Q 的半径为r ＝2k 2＋2，在等腰△QMN中，sin ∠QMN＝||y Qr＝2k 2＋12k2＋2＝1－12k2＋2≥1－12＝12，当且仅当k＝0时取等号，所以sin ∠QMN的最小值为12，即C正确．三、填空题(每小题5分，共20分)13．(2020·某某高二检测)设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2－a＝0，直线l2：2x＋(a＋2)y＋1＝0.若l1∥l2，则实数a的值为______．【解析】依题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧()a＋1()a＋2－6＝0()a＋1×1－2()2－a≠0，解得a＝－4.答案：－414．(2020·某某高二检测)平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，已知底面四边形ABCD为正方形，且∠A1AB＝∠A1AD＝π3，其中，设||AB＝||AD＝1，||AA1＝c，体对角线||A1C＝2，则c的值是________．【解析】1A C＝AB→＋AD→－1AA，故|1A C|2＝|AB→＋AD→－1AA|2＝AB→2＋AD→2＋1AA2＋2AB→·AD→－21AA·AB→－2AD→·1AA＝c2＋2－2c＝4，解得c＝ 3 ＋1.答案： 3 ＋115．(2020·新高考全国Ⅰ卷)斜率为 3 的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________．【解析】因为抛物线的焦点为(1，0)，所以由题意知直线AB 的方程为 y ＝3 (x －1)，与y 2＝4x 联立得3(x －1)2＝4x ，即3x 2－10x ＋3＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103 ，所以|AB|＝x 1＋x 2＋2＝163 .答案：16316．(2020·某某高二检测)双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交曲线C 右支于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1，若3||PQ ＝4||PF 1 ，则C 的离心率等于________．【解析】如图，设|PQ|＝4t(t>0)， 由3||PQ ＝4||PF 1 可得||PF 1 ＝3t ， 由双曲线定义，有|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 所以||PF 2 ＝3t －2a ，||QF 2＝|PQ|－|PF 2|＝t ＋2a ，又|QF 1|－|QF 2|＝2a ，所以|QF 1|＝t ＋4a ，因为PQ ⊥PF 1，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，|PF 1|2＋|PQ|2＝|QF 1|2， 即(3t)2＋(3t －2a)2＝4c 2①， (3t)2＋(4t)2＝(t ＋4a)2②，由②解得t ＝a ，代入①得(3a)2＋(3a －2a)2＝4c 2， 即10a 2＝4c 2，所以e＝ca＝104＝102.答案：102四、解答题(共70分)17．(10分)已知向量a＝(2，4，－2)，b＝(－1，0，2)，c＝(x，2，－1).(1)若a∥c，求|c|.(2)若b⊥c，求(a－c)·(2b＋c)的值．【解析】(1)因为a∥c，所以存在实数k使得c＝k a，可得：⎩⎪⎨⎪⎧x＝2k，2＝4k，－1＝－2k，解得x＝1.所以|c|＝12＋22＋（－1）2＝ 6 .(2)b⊥c，所以b·c＝－x＋0－2＝0，解得x＝－2.所以c＝(－2，2，－1).所以(a－c)·(2b＋c)＝(4，2，－1)·(－4，2，3)＝－16＋4－3＝－15.18．(12分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1A＝AB，∠ABC＝90°，侧面A1ABB1⊥底面ABC.(1)求证：AB 1⊥平面A 1BC ；(2)若AC ＝5，BC ＝3，∠A 1AB ＝60°，求二面角B ­A 1C ­C 1的余弦值． 【解析】(1)在侧面A 1ABB 1中，因为A 1A ＝AB ， 所以四边形A 1ABB 1为菱形，所以AB 1⊥A 1B. 因为侧面A 1ABB 1⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°， 平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB ， 所以CB ⊥侧面A 1ABB 1.因为AB 1⊂平面A 1ABB 1，所以CB ⊥AB 1. 又因为A 1B ∩BC ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BC. (2)在Rt △ABC 中，AC ＝5，BC ＝3，所以AB ＝4， 在菱形A 1ABB 1中，因为∠A 1AB ＝60°， 所以△A 1AB 为正三角形．如图，以菱形A 1ABB 1的对角线交点O 为坐标原点，OA 1所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴，过点O 且与BC 平行的直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A 1(2，0，0)，B(－2，0，0)，C(－2，0，3)，B 1(0，－2 3 ，0)，C 1(0，－23 ，3)，所以1C C ＝(－2，23 ，0)，11C A ＝(2，23 ，－3).设n ＝(x ，y ，z)为平面A 1CC 1的法向量，则111C C 0C A 0.⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋23y ＝0，2x ＋23y －3z ＝0.令x ＝3，得n ＝(3， 3 ，4)为平面A 1CC 1的一个法向量．又1OB ＝(0，－23 ，0)为平面A 1BC 的一个法向量，cos 〈n ，1OB 〉＝11OB |||OB |n n ＝－627×23＝－2114 .由直观图知，二面角B ­A 1C ­C 1的平面角为钝角， 所以二面角B ­A 1C ­C 1的余弦值为－2114.19．(12分)一动点到两定点距离的比值为正常数λ，当λ≠1时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．已知两定点A ，B 的坐标分别为：A(4，0)，B(1，0)，动点M 满足|AM|＝2|BM|. (1)求动点M 的阿波罗尼斯圆的方程； (2)过P(2，3)作该圆的切线l ，求l 的方程． 【解析】(1)设动点M 的坐标为(x ，y)， 则|AM|＝（x －4）2＋y 2 ，|BM|＝（x －1）2＋y 2 ，又知|AM|＝2|BM|， 则（x －4）2＋y 2 ＝2（x －1）2＋y 2 ，得x 2＋y 2＝4.(2)当直线l 的斜率存在且为k 时，直线l 的方程为：y ＝kx －2k ＋3，l 与圆相切， 则d ＝|－2k ＋3|k 2＋1 ＝2，得：k ＝512 ，此时l 的方程为：5x －12y ＋26＝0，当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为：x ＝2，综上，直线l 的方程为x ＝2，5x －12y ＋26＝0.20．(12分)(2020·新高考全国Ⅰ卷)如图，四棱锥P ­ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，设平面PAD 与平面PBC 的交线为l .(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知PD ＝AD ＝1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值． 【解析】(1)因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥AD. 又底面ABCD 为正方形，所以AD ⊥DC ，又DC ∩PD ＝D ，DC ，PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥平面PDC.因为AD ∥BC ，AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ，由平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，可得l ∥AD.因此l ⊥平面PDC.(2)以D 为坐标原点，DA → 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，DC → ＝(0，1，0)，PB →＝(1，1，－1).由(1)可设Q(a ，0，1)，则DQ →＝(a ，0，1)，设n ＝(x ，y ，z)是平面QCD 的一个法向量， 则⎩⎨⎧n ·DQ →＝0，n ·DC →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，y ＝0.可取n ＝(－1，0，a).所以cos<n ，PB →>＝n ·PB →|n |·|PB →|＝－1－a 3·1＋a 2.设PB 与平面QCD 所成角为θ，则sin θ＝33 ×|a ＋1|1＋a 2＝331＋2aa 2＋1 .因为331＋2aa 2＋1 ≤63，当且仅当a ＝1时等号成立，所以PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为63.21．(12分)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2 ＋x 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6 .过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC → 与BD →同向． (1)求C 2的方程；(2)若|AC|＝|BD|，求直线l 的斜率．【解析】(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1). 因为F 也是椭圆C 2的一个焦点， 所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26 ，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫±6，32 ，所以94a 2 ＋6b 2 ＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29 ＋x 28＝1.(2)如图，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4).因AC → 与BD →同向，且|AC|＝|BD|， 所以AC → ＝BD → ，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4， 于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4. ③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. ④ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x 28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0. 而x 3，x 4是这个方程的两根， 所以x 3＋x 4＝－16k9＋8k 2 ，x 3x 4＝－649＋8k 2 . ⑤将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2 ＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64 ，即直线l 的斜率为±64.22．(12分)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的离心率为22 ，且过点A(2，1). (1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ|为定值．【解析】(1)由题意得4a 2 ＋1b 2 ＝1，a 2－b 2a 2 ＝12 ，解得a 2＝6，b 2＝3.所以C 的方程为x 26 ＋y 23＝1.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2).若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26 ＋y 23 ＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2 ，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2 .①由AM ⊥AN 知AM → ·AN →＝0，故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，可得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0.将①代入上式可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2 －(km －k －2)4km 1＋2k 2 ＋(m －1)2＋4＝0. 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A(2，1)不在直线MN 上， 所以2k ＋m －1≠0，故2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1(A(2，1)不在直线MN 上).于是MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23 －13 (k ≠1).所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13 .若直线MN 与x 轴垂直，可得N(x 1，－y 1).由AM → ·AN →＝0得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0. 又x 21 6 ＋y 213 ＝1，可得3x 21 －8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13 .令Q 为AP 的中点，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13 .若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ|＝12 |AP|＝223 .若D 与P 重合，则|DQ|＝12|AP|.综上，存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13 ，使得|DQ|为定值．。

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课堂检测·素养达标1.下列命题是全称量词命题的是( )A.有的三角形是等边三角形B.所有2的倍数都是偶数C.有一个实数,使|x|≤0D.至少有一个x∈{x|x是无理数},x2是无理数【解析】选B.对于A、C、D中,分别含有存在量词“有的”“有一个”“至少有一个”,所以A、C、D都是存在量词命题,B中含有全称量词“所有”,所以B是全称量词命题.2.下列命题中是真命题的是( )A.∃x∈R,x2+1<0B.∃x∈Z,3x+1是整数C.∀x∈R,|x|>3D.∀x∈Q,x2∈Z【解析】选B.A是假命题.因为∀x∈R,x2+1≥1;B是真命题.当x=1时,3x+1=4是整数;C是假命题.如x=2,|x|<3;D是假命题.如x=,x2∉Z.3.下列命题中,是全称量词命题的有________,是存在量词命题的有________. (填序号)①有的集合的真子集个数为0;②所有有两个角是60°的三角形是等边三角形;③任意一个集合与空集的交集都是空集;④至少有一个无理数的平方是有理数;⑤所有正数都是实数吗?【解析】①④为存在量词命题,②③为全称量词命题,而⑤不是命题.答案:②③①④4.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是______________(填全称量词命题或存在量词命题),用符号表示为______________.【解析】命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是存在量词命题,用符号表示为∃x,y ∈R,x+y>1.答案:存在量词命题∃x,y∈R,x+y>1【新情境·新思维】用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题,并判断真假.(1)不等式x2-x+≥0对一切实数x都成立.(2)存在实数x,使得=.【解析】(1)∀x∈R,x2-x+≥0恒成立.x2-x+=≥0,故该命题为真命题.(2)∃x∈R,使得=.因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,所以≤<.故该命题是假命题.关闭Word文档返回原板块。

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课堂检测·素养达标1.“-1<x<6”是“-<x<3”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为(-1，6)，所以“-1<x<6”是“-<x<3”成立的必要不充分条件.2.设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D.“a>b”推不出“a2>b2”，例如，2>-3，但4<9；“a2>b2”也推不出“a>b”，例如，9>4，但-3<2.3.若“x>a”是“x>2”的充分条件，则实数a的取值范围是________. 【解析】由题意得(a，+∞)⊆(2，+∞)，所以a≥2.答案：[2，+∞)4.函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是________. 【解析】函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是k>0，b>0.答案：k>0，b>0【新情境·新思维】在下列电路图中，分别判断闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：【解析】如题图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件. 如题图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件.如题图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件.如题图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件.关闭Word文档返回原板块。

2019-2020学年新教材高中数学单元素养评价（二）新人教A版必修第一册编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年新教材高中数学单元素养评价（二）新人教A版必修第一册）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019-2020学年新教材高中数学单元素养评价（二）新人教A版必修第一册的全部内容。

单元素养评价(二）（第三章）（120分钟150分）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列函数：（1)y=;(2）y=;（3）y=1（-1≤x〈1).其中与函数y=1是同一个函数的有( )A。

3个 B.2个C。

1个D。

0个【解析】选D。

（1）要求x≠0,与函数y=1的定义域不同,两函数不是同一个函数;（2）虽然化简后为y=1,但要求t≠—1，即定义域不同，不是同一个函数;（3)显然定义域不同,故不是同一个函数.2。

已知函数f（x)=(m2—m—5）x m-1是幂函数,且f（x)在(0,+∞)上单调递增，则实数m的值为( )A.—2B.3C.—2或3D.2或—3【解析】选B.函数f（x）=（m2—m-5)x m-1是幂函数，所以m2-m—5=1,解得m=3或m=-2,又因为f（x)在(0,+∞）上单调递增，所以m—1>0,故m=3。

3。

下列函数是奇函数的是（)A.y=2x2-3B.y=C.y=x，x∈[0，1］D。

y=x【解析】选D。

A中函数为偶函数，B，C中函数定义域不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数，D中函数定义域为R，图象关于原点对称,为奇函数。

全册综合检测(时间：120分钟满分:15０分)一、选择题（本大题共１2小题,每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为Ｒ,集合A={x|2x≥1},Ｂ＝{x|x2-3x＋2<０｝,则A∩∁R B＝（ )A．｛x|０≤ｘ≤1｝ﻩ B.{x｜0≤x≤1或ｘ≥2}C.{x|1<x〈2｝ D．{x|0≤x〈1或x〉2}解析:选ＢＡ={ｘ|2x≥1}＝{x|x≥0｝,B={x｜x2－３x＋２<０｝＝｛x|(ｘ-１)(x－2）〈0}={x|1〈x<2},则∁R B＝{x|x≥2或x≤１｝,则A∩∁RＢ=｛x｜0≤ｘ≤1或x≥２｝.2.函数f（x）＝错误!未定义书签。

＋ｌｎ（１－x)的定义域是()A.[－1,2)ﻩ B．(－2,1）Ｃ.(-2，1］ﻩ D.[-2,1）解析:选D由题意得错误!解得－２≤x〈1，∴函数f（x)的定义域是[－2，１）.故选Ｄ。

3.已知n〈ｍ＜0,则下列不等式正确的是( )A。

错误!未定义书签。

<1ｍB.错误!m〉错误!ｎC.loｇ4(－m）〈log4（－n）D.ｎ2<m2解析：选C若n〈m＜0,则错误!未定义书签。

>错误!，故A错误,错误!未定义书签。

m〈错误!n,故B错误,-n＞－m>０，则lｏg４(-m)＜log4(-n）成立,故C正确，n２>m2,故Ｄ错误.4．(2019·北京高考）下列函数中，在区间（０，+∞）上单调递增的是（)A.y=x错误!ﻩ B．ｙ=2-xC.y=ｌｏg错误!xﻩＤ．ｙ=错误!未定义书签。

解析：选A y=x错误!＝错误!未定义书签。

，y=2－x=错误!ｘ,ｙ=log错误!未定义书签。

x，ｙ=错误!未定义书签。

的图象如图所示.ﻬ由图象知，只有y =x ＼f （1,2)在(0，＋∞)上单调递增.故选A.5．若幂函数f (x )=x ｍ在区间(0,＋∞）上单调递减，则实数m 的值可能为（ ) A ．1 ﻩB ．错误!未定义书签。

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课堂检测·素养达标1.下列说法正确的是( )A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”B.小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x>y”C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”【解析】选C.对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x<y，故B不正确；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误.2.已知a+b>0，b<0，那么，a，b，-a，-b的大小是( )A.a>b>-b>-aB.a>-b>-a>bC.a>-b>b>-aD.a>b>-a>-b【解析】选C.令a=5，b=-2满足a+b>0，所以a>-b>b>-a.3.已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )A.若a>b，c>b，则a>cB.若a>-b，则c-a<c+bC.若a>b，c<d，则>D.若a2>b2，则-a<-b【解析】选B. 选项A，若a=4，b=2，c=5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0<d时，不成立；选项D只有a>b>0时才可以.否则如a=-1，b=0时不成立.4.用反证法证明“a，b，c 三个数中至少有一个不小于”时，假设内容是_______.【解析】“a，b，c中至少有一个不小于”的反面是“a，b，c都小于”.答案：a，b，c都小于【新情境·新思维】如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列不等式不一定成立的是________.①ab>ac②c(b-a)>0 ③cb2<ab2④ac(a-c)<0【解析】由c<b<a，且ac<0知a>0，c<0，而b的值不确定，当b=0时③不成立.①②④均成立.答案：③关闭Word文档返回原板块。

单元素养评价(一)(第一、二章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若ab≠0且a<b,则下列不等式一定成立的是( )A.>B.a2<b2C.a2>b2D.-a>-b【解析】选D.A.a=-3,b=2排除;B.a=-2,b=1排除;C.a=,b=1排除;D 正确.2.命题“存在实数x,使x>1”的否定是( )A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x,使x≤1C.对任意实数x,都有x≤1D.存在实数x,使x≤1【解析】选C.利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解,“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.a=3时A={1,3},显然A⊆B.但A⊆B时,a=2或3.4.已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(R P)∩Q等于( )A.{x|0≤x<1}B.{x|0<x≤2}C.{x|1<x<2}D.{x|1≤x≤2}【解析】选C.因为P={x|x≥2或x≤0},R P={x|0<x<2},所以(R P)∩Q={x|1<x<2}.5.已知(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是R,则实数a的取值范围是( )A.a<-或a>1B.-<a<1C.-<a≤1或a=-1D.-<a≤1【解析】选D.a=1显然满足题意,若该不等式为一元二次不等式,则必有a2<1,由Δ=(a-1)2+4(a2-1)<0,解得-<a<1.综上可知-<a≤1.6.已知4枝郁金香和5枝丁香的价格小于22元,而6枝郁金香和3枝丁香的价格大于24元.设2枝郁金香的价格为A元,3枝丁香的价格为B元,则A,B的大小关系为( )A.A>BB.A=BC.A<BD.不确定【解析】选A.设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为x元和y元,由已知,得即不等式①两边同乘以4,不等式②两边同乘以11,得所以22x+11y>16x+20y.所以6x>9y, 即2x>3y.故2枝郁金香的价格比3枝丁香的价格贵,即A>B.7. 一次函数y=-x+的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( ) A.m>1,且n<1 B.mn<0C.m>0且n<0D.m<0且n<0【解析】选B.因为y=-x+经过第一、三、四象限,故->0,<0,即m>0,n<0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn<0.8.已知正实数a,b满足4a+b=30,使得+取最小值时,实数对(a,b)是( )A.(5,10)B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)【解析】选A.因为a,b为正实数,所以+=(4a+b)=≥×(5+2)=,当且仅当时取“=”.即a=5,b=10.9.已知条件p:x2+2x-3>0;条件q:x>a,且q的一个充分不必要条件是p,则a的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]【解析】选A.由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由q的一个充分不必要条件是p,可知p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件,所以{x|x>a}⊆{x|x<-3或x>1},所以a≥1.10.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选B.不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则1+a++≥a+2+1≥9,所以≥2或≤-4(舍去),所以正实数a的最小值为4.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)11.已知集合A={-2,-1,0,1},B={x|(x-1)(x+2)≤0},则( )A.A∩B={-2,-1,0,1}B.A∪B={-2,-1,0,1}C.A∩B={-1,0,1}D.A∪B={x|-2≤x≤1}【解析】选A、D.由A={-2,-1,0,1},B={x|(x-1)(x+2)≤0}={x|-2≤x≤1},得A∩B={-2,-1,0,1},A∪B={x|-2≤x≤1}.12.下列四个命题,其中假命题为( )A.∀x∈R,x2-3x+2>0恒成立B.∃x∈Q,x2=2C.∃x∈R,x2+1=0D.∀x∈R,4x2>2x-1+3x2【解析】选A、B、C、D.因为在x2-3x+2=0中,Δ=(-3)2-4×2>0,所以当x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立,所以A为假命题.当且仅当x=±时,x2=2,所以不存在x∈Q,使得x2=2,所以B 为假命题.对∀x∈R,x2+1≠0,所以C为假命题.4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,即当x=1时, 4x2=2x-1+3x2成立,所以D为假命题.13.若0<a<b,且a+b=1,则在a,a2+b2,2ab,b四个数中( )A.a2+b2>2abB.a<C.b<D.b>a2+b2【解析】选A、B、D.由于0<a<b,则a2+b2>2ab,又a+b=1则0<a<<b<1,又a2+b2-b=(a+b)2-2ab-b=1-2ab-b=a-2ab=a(1-2b)<0则b>a2+b2.三、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上)14.命题“∀x∈R,x2+2x+5≠0”是________命题(填“真”或“假”),它的否定是________.【解析】x2+2x+5=(x+1)2+4>0,故该命题为真命题,又因为全称量词命题的否定为存在量词命题,故命题的否定为“∃x∈R,使得x2+2x+5=0”.答案:真∃x∈R,使得x2+2x+5=015.若关于x的不等式tx2-6x+t2<0的解集为(-∞,a)∪(1,+∞),则a 的值为________.【解析】不等式tx2-6x+t2<0的解集为(-∞,a)∪(1,+∞),所以1,a是方程tx2-6x+t2=0的两根,由根与系数的关系可得1+a=,a=t,所以a=-3,a=2(舍去).答案:-316.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________.【解析】因为1∉{x|x2-2x+a>0},所以1∈{x|x2-2x+a≤0},即1-2+a≤0,所以a≤1.答案:{a|a≤1}17.设正数a,b,c满足++≤,则=________.【解析】由++≤得:(a+b+c)≤36.即1+++4+++9++≤36,即+++++≤22,因为+++++=++≥22,所以b=2a,c=3a时取等号,所以==.答案:四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)18.(12分)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}且A∩B=(-1,n),求m,n.【解析】A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5<x<1},由A∩B=(-1,n)可知m<1,则B={x|m<x<2},画出数轴,可得m=-1,n=1.19.(14分)已知p:(a-1)2≤1,q:∀x∈R,ax2-ax+1≥0,判断p是q成立的什么条件.【解析】由(a-1)2≤1解得0≤a≤2,所以p:0≤a≤2.当a=0时,ax2-ax+1≥0对∀x∈R恒成立;当a≠0时,得0<a≤4,所以q:0≤a≤4.所以p是q成立的充分由-不必要条件.20.(14分)设x∈R,比较与1-x的大小.【解析】作差:-(1-x)=,①当x=0时,因为=0,所以=1-x;②当1+x<0,即x<-1时,因为<0,所以<1-x;③当1+x>0且x≠0,即-1<x<0或x>0时,因为>0,所以>1-x.21.(14分) 已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},求k的值.(2)若不等式的解集为R,求k的取值范围.【解析】(1)因为不等式kx2-2x+6k<0的解集为{x|x<-3或x>-2},所以x1=-3与x2=-2是方程kx2-2x+6k=0(k≠0)的两根,所以--==-3-2,所以k=-.(2)若不等式的解集为R,即x∈R,kx2-2x+6k<0恒成立,则满足所以k<-.-22.(14分) 已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值.(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.【解析】(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>0且a>0由根与系数的关系得解得(2)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0,即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0,当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时不等式(x-2)(x-c) <0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.23.(14分)玩具所需成本费用为P元,且P与生产套数x的关系为P=1 000+5x+ x2,而每套售出的价格为Q元,其中Q(x)=a+(a,b∈R),(1)问:该玩具厂生产多少套时,使得每套所需成本费用最少?(2)若生产出的玩具能全部售出,且当产量为150套时利润最大,此时每套价格为30元,求a,b的值.(利润=销售收入-成本)【解析】(1)每套玩具所需成本费用为==x++5≥2+5=25,当x=,即x=100时等号成立,故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少.(2)利润为x·Q(x)-P=x-=-x2+(a-5)x-1 000,由题意得---解得a=25,b=30.单元素养评价(二)(第三章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列函数:(1)y=;(2)y=;(3)y=1(-1≤x<1).其中与函数y=1是同一个函数的有 ( )A.3个B.2个C.1个D.0个【解析】选D.(1)要求x≠0,与函数y=1的定义域不同,两函数不是同一个函数;(2)虽然化简后为y=1,但要求t≠-1,即定义域不同,不是同一个函数;(3)显然定义域不同,故不是同一个函数.2.已知函数f(x)=(m2-m-5)x m-1是幂函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为 ( )A.-2B.3C.-2或3D.2或-3【解析】选B.函数f(x)=(m2-m-5)x m-1是幂函数,所以m2-m-5=1,解得m=3或m=-2,又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以m-1>0,故m=3.3.下列函数是奇函数的是( )A.y=2x2-3B.y=C.y=x,x∈[0,1]D.y=x【解析】选D.A中函数为偶函数,B,C中函数定义域不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数,D中函数定义域为R,图象关于原点对称,为奇函数.4.函数f(x)=---则f的值为( )A. B.- C. D.18【解析】选C.由题意得f(3)=32-3-3=3,那么=,所以f=f=1-=.5.已知函数f(x)=-x,则下列选项错误的是( )A.f(x+1)=f(x)+1B.f(3x)=3f(x)C.f(f(x))=xD.f=【解析】选A.根据题意,依次分析选项:对于A,f(x+1)=-(x+1)=-x-1,f(x)+1=-x+1,f(x+1)≠f(x)+1,错误;对于B, f(3x)=-3x,3f(x)=3(-x)=-3x,f(3x)=3f(x),正确;对于C,f(x)=-x,f(f(x))=-(-x)=x,正确;对于D,f=-=-,=-=-,则f=,正确.6.函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为( )A.[3,+∞)B.(-∞,2),(4,+∞)C.(2,3),(4,+∞)D.(-∞,2],[3,4]【解析】选C.函数f(x)=|x2-6x+8|,当x2-6x+8>0,即x>4或x<2时,可得f(x)=x2-6x+8=(x-3)2-1,即有f(x)在(4,+∞)上递增;当x2-6x+8<0,即2<x<4时,可得f(x)=-x2+6x-8=-(x-3)2+1,即有f(x)在(2,3)上递增;则f(x)的增区间为(2,3),(4,+∞).7.已知函数f(x)=ax2+x+1满足f(1+x)=f(1-x),则a= ( )A.-1B.-C.D.1【解析】选B.根据题意,函数f(x)=ax2+x+1满足f(1+x)=f(1-x),则二次函数的对称轴x=-=1,解得a=-.的图象大致是( )8.函数f(x)=-【解析】选A.因为函数f(x)=,是奇函数,当x=时,y=>0,故D错-误;x<-1时,y>0恒成立;x>1时,y<0恒成立,故B和C错误,由排除法得正确选项是A.9.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(2)=-2,则满足f(x-1)≥-2的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.[-1,-3]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)【解析】选B.根据题意,偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=-2, 可得f(x)=f(|x|),若f(x-1)≥-2,即有f(|x-1|)≥f(2),可得|x-1|≥2,解得:x≤-1或x≥3,即x的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).10.某地实行阶梯电价,以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价,即:一户居民用户全年不超过2 880度(1度=1千瓦时)的电量,执行第一档电价标准,每度电0.488 3元;全年超过2 880度至4 800度之间的电量,执行第二档电价标准,每度电0.538 3元;全年超过4 800度以上的电量,执行第三档电价标准,每度电0.788 3元.下面是关于阶梯电价的图形表示,其中正确的有( )参考数据:0.488 3元/度×2 880度≈1 406.30元,0.538 3元/度×(4 800-2 880)度+1 406.30元≈2 439.84元.A. B. ③ C. ③ D. ③【解析】选B.依题意,当全年用电量在2 880度至4 800度之间时,电价分两段, 即全年电量中的2 880度(1度=1千瓦时)的每度电0.488 3元、超出部分按每度电0.538 3元计算, 故图象①不正确; 记用电量为x度,电费为f(x)元/年, 当0≤x≤2 880时,f(x)=0.488 3x,当2 880<x≤4 800时,f(x)=0.4 883×2 880 +0.538 3(x-2 880)=1 406.3+0.538 3(x-2 880),当x>4 800时,f(x)=2 439.84+0.788 3(x-4 800),故②③均正确; 综上所述,正确的是②③.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)11.对于集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},则由下列图形给出的对应关系中,能构成从A到B的函数的有( )【解析】选A、C、D.根据函数的定义可知,A,C,D中的图形给出的对应关系能构成从A到B的函数.12.下列关于函数y=ax+1,x∈[0,2]的说法正确的是( )A.当a<0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1B.当a<0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1C.当a>0时,此函数的最大值为1,最小值为2a+1D.当a>0时,此函数的最大值为2a+1,最小值为1【解析】选A、D.当a<0时,一次函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递减,当x=0时,函数取得最大值为1,当x=2时,函数取得最小值为2a+1;当a>0时,一次函数y=ax+1在区间[0,2]上单调递增,当x=0时,函数取得最小值为1,当x=2时,函数取得最大值为2a+1.13.设函数f(x)的定义域为A,且满足任意x∈A恒有f(x)+f(2-x)=2的函数可以是( )A.f(x)=2-xB.f(x)=(x-1)2C.f(x)=D.f(x)=(x-2)3-【解析】选A、C.方法一:A项,f(x)+f(2-x)=2-x+[2-(2-x)]=2为定值,故A项正确;B项,f(x)+f(2-x)=2(x-1)2不为定值,故B项错误;C项,f(x)+f(2-x)=-+--=--=2,符合题意,故C项正确;D项,f(x)+f(2-x)=(x-2)3-x3不为定值,故D项不正确.方法二:因为任意x∈A恒有f(x)+f(2-x)=2,所以函数的图象关于点(1,1)中心对称,函数f(x)=2-x的图象是过点(1,1)的直线,符合题意;函数f(x)=-=1+-的图象关于点(1,1)中心对称,符合题意;B,D项的两个函数的图象都不是关于点(1,1)的中心对称图形,不符合题意.三、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上)14.已知函数f(x)=-,则f(1)=________,函数y=f(x)的定义域为______.【解析】由题意得,f(1)==2,由-解得x≤5且x≠0,所以函数y=f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,5].答案:2 (-∞,0)∪(0,5]15.已知3f(x)+2f(-x)=x+3,则f(x)的解析式为________.【解析】因为3f(x)+2f(-x)=x+3①,用-x替换x得:3f(-x)+2f(x)=-x+3②,①×3-②×2得:5f(x)=5x+3,所以f(x)=x+.答案:f(x)=x+16.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都单调递减,则实数a的取值范围为________.【解析】因为f(x)=-x2+2ax在[1,2]上单调递减,且函数f(x)的图象的对称轴为x=a,所以a≤1,因为g(x)=在区间[1,2]上单调递减,所以a>0,综上知,a的取值范围为(0,1].答案:(0,1]17.已知定义在R上的偶函数f(x)满足以下两个条件: 在(-∞,0]上单调递减;f(1)=-2.则使不等式f(x+1)≤-2成立的x的取值范围是________.【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递减,f(1)=-2,则由f(1+x)≤-2,即f(1+x)≤f(1),可得:|x+1|≤1,解得:-2≤x≤0.答案:-2≤x≤0四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).18.(12分)已知函数f(x)=-(1)求函数f(x)的定义域.(2)判定f(x)的奇偶性并证明.【解析】(1)由1-x2≠0,得x≠±1,即f(x)的定义域为{x|x≠±1}.(2)f(x)为偶函数.证明如下:由(1)知f(x)的定义域为{x|x≠±1},因为∀x∈{x|x≠±1},都有-x∈{x|x≠±1},且f(-x)=---=-=f(x),所以f(x)为偶函数.19.(14分)已知函数f(x)=---(1)求f(-4),f(5)的值.(2)画出函数f(x)的图象,并直接写出处于图象上升阶段时x的取值集合.(3)当x∈[-2,0]时,求函数的值域.【解析】(1)因为-4<0,5>0,所以f(-4)=(-4)2+2×(-4)-3=5,f(5)=-5-3=-8.(2)如图所示,图象上升时x的取值集合为{x|-1≤x≤0}.(3)当x∈[-2,0]时,函数的值域为[-4,-3].20.(14分)若二次函数满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式.(2)若g(x)=f(x)-mx在[2,4]上是单调函数,求实数m的取值范围. 【解析】(1)设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax2+bx+1.因为f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.即2ax+a+b=2x,根据系数对应相等所以-所以f(x)=x2-x+1.(2)因为g(x)=f(x)-mx=x2-(1+m)x+1的图象关于直线x=对称, 又函数g(x)在[2,4]上是单调函数,所以≤2或≥4,解得m≤3或m≥7,故m的取值范围是(-∞,3]∪[7,+∞).21.(14分)定义在R上的偶函数f(x),当x∈(-∞,0]时,f(x)=-x2+4x-1.(1)求函数f(x)在x∈(0,+∞)上的解析式.(2)求函数f(x)在x∈[-2,3]上的最大值和最小值.【解析】(1)根据题意,设x>0,则-x<0,则f(-x)=-x2-4x-1,又由y=f(x)为偶函数,则f(x)=-x2-4x-1,x∈(0,+∞).(2)由(1)的结论:f(x)=-----y=f(x)在x∈[-2,0]上单调递增,在x∈[0,3]上单调递减,则f(x)max=f(0)=-1;f(x)min=min{f(-2),f(3)}=f(3)=-22,函数f(x)在[-2,3]上的最大值是-1,最小值是-22.22.(14分)设函数f(x)=-5x+a为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.(1)求实数a的值.(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义法证明f(x)在(0,+∞)上的单调性.【解析】(1)因为f(x)是奇函数,x≠0,所以f(-x)=-f(x),所以-+5x+a=-+5x-a,所以2a=0,所以a=0,经检验a=0为所求.(2)f(x)=-5x的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),没有单调增区间,当x>0时,设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=---=-+5(x2-x1)=(x2-x1)>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.23.(14分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间是f(x)=-(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,根据上述分析结果回答下列问题:(1)请你说明,当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.【解析】(1)由题意知,当0<x≤30时,f(x)=30<40,公交群体的人均通勤时间恒大于自驾群体的人均通勤时间;当30<x<100时,f(x)=2x+-90>40,即(x-20)(x-45)>0,解得x<25(舍去)或x>45,所以45<x<100,所以当x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当0<x≤30时,g(x)=30x%+40(1-x%)=40-,当30<x<100时,g(x)=-x%+40(1-x%)=-+58,所以g(x)=--当0<x≤30时,g(x)=40-单调递减,g(30)=37,当30<x<100时,g(x)=-+58=(x-32.5)2+36.875,且g(30)=37,所以函数g(x)在(0,32.5)上单调递减,在(32.5,100)上单调递增,实际意义:说明该地上班族S中小于32.5%的人自驾时,随着自驾占比增大,人均通勤时间是递减的;大于32.5%的人自驾时,随着自驾占比增大,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最短.单元素养评价(三)(第四章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是( )【解析】选C.能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有f(a)·f(b)<0,A,B中不存在f(x)<0,D中函数不连续.2.函数f(x)=x2-3x-4的零点是( )A.(1,-4)B.(4,-1)C.1,-4D.4,-1【解析】选D.由x2-3x-4=0,可得x=4或-1,所以函数f(x)=x2-3x-4的零点是4,-1.3.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1【解析】选D.因为函数单调递减,所以0<a<1,当x=1时log a(x+c)=log a(1+c)<0,即1+c>1,即c>0,当x=0时log a(x+c)=log a c>0,即c<1,即0<c<1.4.下列四个数中最小的是( )A.lo 2B.-0.30.7C.lo 3D.-1【解析】选C.lo3=-log23<-1,-1<-0.30.7<0,lo2=-log32∈(-1,0),所以下列四个数中,最小的是lo 3.5.方程e x+8x-8=0的根所在的区间为( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C. D.【解析】选C.令函数f(x)=e x+8x-8,则方程e x+8x-8=0的根即为函数f(x)的零点,再由f(0)=1-8=-7<0,且f(1)=e>0,可得函数f(x)在上有零点.6.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费x i 和年销售量y i(i=1,2,…,6)进行整理,得数据如表所示:根据表中数据,下列函数中,适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是( )A.y=0.5(x+1)B.y=log3x+1.5C.y=2x-1D.y=2【解析】选B.根据表中数据可得函数随着x的增长而增长,且增长速度越来越趋向于平缓,显然y=0.5(x+1)与y=2x-1不符合,当x=1时,y=log31+1.5=1.5,y=2=2,当x=3时,y=log33+1.5=2.5,y=2≈3.5,故适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是y=log3x+1.5.7.函数y=-的值域是( )A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(0,1]D.[1,+∞)【解析】选D.由于-≥0,所以函数y=-≥30=1,故函数的值域为[1,+∞).8.为了求函数f(x)=2x+3x-7的一个零点,某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值,如表所示:则方程2x+3x=7的近似解(精确度0.1)可取为( )A.1.32B.1.39C.1.4D.1.3【解析】选A.由题表知f(1.312 5)·f(1.375)<0,且1.375-1.312 5=0.062 5<0.1,所以方程的一个近似解可取1.32.9.设f(log2x)=2x(x>0),则f(3)的值是( )A.128B.256C.512D.8【解析】选B.设log2x=t,则x=2t,所以f(t)=,即f(x)=,则f(3)= =28=256.10.甲、乙二人从A地沿同一方向去B地,途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1<v2),甲前一半的路程使用速度v1,后一半的路程使用速度v2;乙前一半的时间使用速度v1,后一半的时间使用速度v2,关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系,有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间,纵轴s表示路程,C是AB的中点),则其中可能正确的图示分析为 ( )【解析】选A.由题意可知,开始时,甲、乙速度均为v1,所以图象是重合的线段,由此排除C,D.再根据v1<v2可知两人的运动情况均是先慢后快,图象是折线且前“缓”后“陡”,故图示A分析正确.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)11.已知函数f(x)=f(a)=2,则a=( ) A.-2 B.2 C.6 D.3【解析】选A、B.因为f(x)=f(a)=2,所以当a>0时,f(a)=log2(a+2)=2,解得a=2;a≤0时,f(a)==2,解得a=-2或a=6(舍),综上,a=±2.12.方程x3+3x-m=0在[0,1]上有实数根,则m可取的值有( ) A.0 B.-2 C.3 D.5【解析】选A、C.方程x3+3x-m=0,化为x3+3x=m,令f(x)=x3+3x,则f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)的值域为[0,4],方程x3+3x-m=0在[0,1]上有实数根,即f(x)在[0,1]上与y=m有交点,所以m∈[0,4].13.设函数f(x)=-若f(x)-b=0有三个不等实数根,则b可取的值有( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B、C.作出函数f(x)=-的图象如图:f(x)-b=0有三个不等实数根,即函数y=f(x)的图象与y=b有3个不同交点,由图可知,b的取值范围是(1,3],故b可取2,3.【加练·固】(多选题)若关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不同的实数解,则实数m可取的值有( )A.1B.2C.4D.6【解析】选B、C.因为关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不同的实数解,所以令f(x)=|x|2-4|x|+5=(|x|-2)2+1,h(x)=m,画出函数f(x)的图象,因为要使f(x)的图象与h(x)的图象有四个交点,则直线h(x)=m应该在直线l和直线n之间,所以1<m<5,故可取2,4.三、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上)14.若函数f(x)=mx2-2x+3只有一个零点,则实数m的取值是________.【解析】若m≠0,则Δ=4-12m=0,m=,又m=0也符合要求,所以m=0或.答案:0或15.化简:(a2·)÷(·)=________(用分数指数幂表示).【解析】(a2·)÷(·)=·÷·=÷=÷=-=.答案:16.已知函数f(x)=-为定义在区间[-2a,3a-1]上的奇函数,则a=______, b=________.【解析】因为f(x)是定义在[-2a,3a-1]上的奇函数, 所以定义域关于原点对称,即-2a+3a-1=0,所以a=1, 因为函数f(x)=-为奇函数,所以f(-x)=--=·-=--,-即b·2x-1=-b+2x,所以b=1.答案:1 1-17.已知函数f(x)=(1)若f(1)=3,则实数a=________.(2)若函数y=f(x)-2有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是【解析】(1)由f(1)=12-a=3得,a=-2.(2)当x>1时,f(x)=log3 x,由f(x)=2得,log3x=2,得x=9满足x>1, 当x≤1时f(x)=x2-ax,因为y=f(x)-2有且仅有两个零点,所以f(x)=2有且仅有两个实根,所以x2-ax-2=0在(-∞,1]上有且仅有一个实根,令g(x)=x2-ax-2,则g(1)<0,即12-a-2<0,解得:a>-1.答案:(1)-2 (2)(-1,+∞)四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)18.(12分)(1)已知log2(16-2x)=x,求x的值.+810.75--×+log57·log725.(2)计算:--【解析】(1)因为log2(16-2x)=x,所以2x=16-2x,化简得2x=8,所以x=3.(2)原式=1+(34-3×(23+·=1+27-12+2=18.19.(14分)已知函数f(x)=2x-1+a(a为常数,且a∈R)过点(1,2).(1)求a的值.(2)若f(x)≥2x,求实数x的取值范围.【解析】(1)f(1)=20+a=1+a=2,解得a=1.(2)由f(x)=2x-1+1=+1≥2x,得≤1,即2x-1≤1=20,即x-1≤0,解得x ≤1,因此,实数x的取值范围是(-∞,1].20.(14分)某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λ t,其中Nλ是正的常数,e为自然对数的底数.0,(1)判断函数是增函数还是减函数.(2)把t表示成原子数N的函数.【解析】(1)由已知可得N=N0,因为λ是正的常数,e>1,所以e λ>1,即0<<1,又N0是正的常数,所以N=N0是关于t的减函数.(2)因为N=N0e-λt,所以e-λt=,所以-λt=ln,即t=-ln(其中0<N≤N0).21.(14分)设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点.(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1. 所以函数f(x)的零点为3或-1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4×(4a)<0⇒a2-a<0,解得0<a<1,因此实数a的取值范围是(0,1).22.(14分)已知函数f(x)=2a·9x-3x+1+1.(1)当a=1时,求函数f(x)的零点.(2)若f(x)有零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=2·9x-3·3x+1.令f(x)=0,即2·(3x)2-3·3x+1=0,解得3x=1或3x=.所以x=0或x=-log32,函数f(x)的零点为0,-log32.(2)若f(x)有零点,则方程2a·9x-3x+1+1=0有解,于是2a=·-=-=--+,所以2a≤,即a≤.所以实数a的取值范围为-∞ .--23.(14分)已知函数f(x)=(1)计算f的值.(2)讨论函数f(x)的单调性,并写出f(x)的单调区间.(3)设函数g(x)=f(x)+c,若函数g(x)有三个零点,求实数c的取值范围.【解析】(1)由已知得f=f(-2)=-2×(-2)2-4×(-2)+1=1.所以f=f(1)=1+1=2.(2)当x≤0时,f(x)=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3.根据抛物线的性质知,f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间[-1,0]上单调递减;当x>0时,f(x)=x+1,显然f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.综上,f(x)的单调增区间是(-∞,-1)和(0,+∞),单调减区间是[-1,0]. (3)作出f(x)的图象,如图:函数g(x)有三个零点,即方程f(x)+c=0有三个不同实根,又方程f(x)+c=0等价于方程f(x)=-c,所以当f(x)的图象与直线y=-c有三个交点时,函数g(x)有三个零点. 数形结合得,c满足:1<-c<3,即-3<c<-1.因此,函数g(x)有三个零点,实数c的取值范围是(-3,-1).单元素养评价(四)(第五章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在0°～360°的范围内,与-510°终边相同的角是( )A.330°B.210°C.150°D.30°【解析】选B.因为-510°=-360°×2+210°,因此与-510°终边相同的角是210°.2.已知sin=,那么cos α等于( )A.-B.-C.D.【解析】选C.因为sin=cos α=,所以cos α=.3.函数f(x)=cos 2x+6cos-的最大值为( )A.4B.5C.6D.7【解析】选B.因为f(x)=cos 2x+6cos-=cos 2x+6sin x=1-2sin2x+6sin x=-2-+,又sin x∈[-1,1],所以当sin x=1时,f(x)取得最大值5.4.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式是( )A.f(x)=2sinB.f(x)=2sin-C.f(x)=2sinD.f(x)=2sin-【解析】选D.由图象可得T=π-π,所以T=π,则ω=2.又图象过点,所以2sin=2,又因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin-.5.已知a=tan-,b=cos,c=sin-,则a,b,c的大小关系是( )A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.a>c>b【解析】选A.a=tan--=-tan=-,b=cosπ=cos-=cos=,c=sin-=sin--=-sin=-,所以b>a>c.6.化简4cos 50°-tan 40°等于 ( ) A. B.C. D.2 -1 【解析】选C.4cos 50°-tan 40° = ° °- °°=°- ° °=° ° - °°= ° °- ° °= ° °= .7.函数y=1-sin x,x ∈[0,2π]的大致图象是 ( )【解析】选B.取x=0,则y=1,排除C,D;取x=,则y=0,排除A.8.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是 ( )A.y=cosB.y=sinC.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x【解析】选A.y=cos=-sin 2x,最小正周期T==π,且为奇函数,其图象关于原点对称,故A正确;y=sin=cos 2x,最小正周期为π,且为偶函数,其图象关于y轴对称,故B不正确;C,D均为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,故C,D不正确.9.被称为“华东第一高”的济南动物园大摩天轮,它的最高点离地面160米,直径为156米,并以每30分钟一周的速度匀速旋转,若从最低点开始计时,则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为( )A.41米B.43米C.78米D.118米【解析】选B.摩天轮转轴离地面高160-=82(米),ω==,摩天轮上某个点P离地面的高度h(米)与时间t(分钟)的函数关系是h=82-78cos,当摩天轮运行5分钟时,其离地面高度为h=82-78cos=82-78×=43(米).10.函数f(x)=Asin ωx(ω>0),对任意x有f-=f,且f-=-a,那么f等于( )A.aB.2aC.3aD.4a【解析】选A.由f-=f,得f(x+1)=f=f-=f(x),即1是f(x)的周期.且f(x)为奇函数,则f=f=-f-=a.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)11.若一个α角的终边上有一点P(-4,a),且sin α·cos α=,则a 的值为( )A.4B.-4C. D.-【解析】选B、D.由三角函数定义可知,r=,sin α=,cos α=-,sin α·cos α=-=得a=-4或-.12.将函数y=sin cos的图象沿x轴向右平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的取值可能是( )A.-B.-C.D.【解析】选A、B、D.y=sin cos=sin(2x+φ),向右平移个单位后,得到y=sin-=sin-为偶函数,所以φ-=+kπ,k∈Z;所以φ=+kπ,k∈Z,当k=0时,φ=;当k=-1时,φ=-;当k=-2时,φ=-;故选A、B、D.13.函数y=sin 2x-cos 2x的图象的对称轴方程为( )A.x=B.x=-C.x=D.x=【解析】选A、B、C.y=sin 2x-cos 2x=2sin-,令2x-=+kπ,k∈Z;得x=+π,k∈Z;当k=0时,x=;当k=1时,x=;当k=-1时,x=-.三、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上)14.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是__________弧度,扇形面积是________.【解析】圆心角α===,扇形面积S=l r=×12×8=48.答案:4815.设f(n)=cos,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)等于________.【解析】f(n)=cos的周期T=4,且f(1)=cos=cos=-,f(2)=cos=-,f(3)=cos=,f(4)=cos=.所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)=f(1)+f(2)+f(3)=-.答案:-16.若tan α=,则tan-=________,tan 2α【解析】由题意知tan-=-=-=,tan 2α=-=-=.答案:17.给出下列4个命题:函数y=-的最小正周期是; 直线x=是函数y=2sin-的一条对称轴;③若sin α+cos α=-,且α为第二象限角,则tan α=-;④函数y=cos(2-3x)在区间上单调递减.其中正确的是________.(写出所有正确命题的序号)【解析】函数-的最小正周期是,故①正确.对于②,当x=π时,2sin-=2sinπ=-2,故②正确.对于③,由(sin α+cos α)2=得2sin αcos α=-,α为第二象限角, 所以sin α-cos α=-=,所以sin α=,cos α=-,所以tan α=-,故③正确.对于④,函数y=cos(2-3x)的最小正周期为,而区间长度>,显然④错误.答案:①②③四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)18.(12分)已知0<α<,sin α=.(1)求tan α的值.(2)求---的值.【解析】(1)因为0<α<,sin α=, 所以cos α=,故tan α=.(2)---=--=-=-=4.19.(14分)已知α是第四象限角,f(α)=-----.(1)化简f(α).(2)若cos-=,求f(α)的值. 【解析】(1)f(α)=-----=----=··-·=-cos α.(2)因为cos-=cos-=-sin α=,所以sin α=-.因为α是第四象限角,所以cos α=,所以f(α)=-cos α=-.20.(14分)已知f(x)=2sin+a+1(a为常数).(1)求f(x)的单调递增区间.(2)若当x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值.【解析】(1)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为-(k∈Z).(2)当x∈时,2x+∈,故当2x+=,即x=时,f(x)有最大值a+3=4,所以a=1.21.(14分)(2018·江苏高考)已知α,β为锐角,tan α=,cos (α+β)=-.(1)求cos 2α的值.(2)求tan(α-β)的值.【解析】(1)因为tan α=,所以tan α==,所以sin α=cos α.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,因此cos 2α=2cos2α-1=-.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π),又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=-=,因此tan (α+β)=-2.因为tan α=,所以tan 2α==-,-因此,tan(α-β)=tan [2α-(α+β)]=-=-.22.(14分)设函数f(x)=cos(ωx+φ)-的最小正周期为π,且f=.(1)求ω和φ的值.(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象.(3)若f(x)>,求x的取值范围.【解析】(1)因为函数的最小正周期T==π,所以ω=2.因为f=cos=cos=-sin φ=,所以sin φ=-.又-<φ<0,所以φ=-.(2)由(1)知f(x)=cos-,列表如下:描点、连线得到图象如图所示:(3)由题意得cos->,所以2kπ-<2x-<2kπ+,k∈Z,2kπ+<2x<2kπ+,k∈Z,所以kπ+<x<kπ+,k∈Z,即x的取值范围是∈.23.(14分)已知函数f(x)=sin-sin x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)讨论f(x)在上的单调性.【解析】(1)f(x)=sin-sin x-cos2x=cos xsin x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin--,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为-.(2)当x∈时,0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减,综上可知,f(x)在上单调递增,在上单调递减.。