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新课标高中数学人教A 版必修5章节素质测试题——第三章 不等式（考试时间：120分钟 满分：150分）姓名__________评价_________一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分. 以下给出的四个备选答案中,只有一个正确） 1.（11广东文5）不等式0122>--x x 的解集是（ ）A ．1(,1)2-B ．（1， +∞）C ．（-∞，1）∪（2，+∞）D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞2.（11上海理15）若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A. 222a b ab +>B. a b +≥C.11a b +> D. 2b a a b +≥ 3.（11陕西文3）设0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ）A．2a b a b +<<<B．2a ba b +<<< C．2a b a b +<<< D2a ba b +<<<4.（11重庆文7）若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在x a =处取最小值，则a =（ ）A．1+B．1．3D ．45.（12福建理5）下列不等式一定成立的是（ ）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+6.（12广东理5）已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．3D ．1-7.（09湖北文8）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元 8.（10重庆理7）已知822,0,0=++>>xy y x y x ，则y x 2+的最小值是（ ）A.3B.4C.29 D.211 9．（10全国Ⅰ文7）已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且,()()f a f b =,则a b +的取值范围是（ ）A.(1,)+∞B.[1,)+∞C. (2,)+∞D. [2,)+∞ 10.（09山东文5）在R 上定义运算⊙: a ⊙b a ab b ++=2，则满足x ⊙)2(-x <0的实数x 的取值范围为（ ）A. {}20＜＜x xB. {}12＜＜x x - C. {}12>-<x x x ，或 D. {}21＜＜x x -11.（11浙江理理5）设实数y x 、满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，若y x 、为整数，则34x y +的最小值是（ ） A ．14B ．16C ．17D ．1912.（09陕西理11）若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是（ ）A. （1-，2 ）B. （4-，2 ）C. (4,0]-D. (2,4)- 二、填空题（每小题5分，共20分. 将你认为正确的答案填写在空格上） 13.（10山东文14）已知+∈R y x ,，且满足134x y+=，则xy 的最大值为____________． 14.（08江苏4）A={}73)1(x 2+<-x x ，则Z A I 的元素的个数为 ． 15.（11新课标理13）若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 .16.（10安徽文15）若200=+>>b a b a ，，，则下列不等式对一切满足条件的b a ，恒成立的是 . （写出所有正确命题的编号）．①1≤ab ； ②2≤+b a ； ③222≥+b a ； ④333≥+b a ；⑤211≥+ba 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）已知R a ∈，试比较a+24与a -2的大小. 18.（本题满分12分，07江西文17）已知函数21(0)()21(1)x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤满足29()8f c =．（Ⅰ）求常数c 的值；（Ⅱ）解不等式()18f x >+．19.（本题满分12分，11安徽理19）（Ⅰ）设1,1≥≥y x ，证明xy yx xy y x ++≤++111； （Ⅱ）设c b a ≤≤<1，证明c b a a c b a c b c b a log log log log log log ++≤++.20.（本题满分12分，08福建文20）已知{}n a 是正整数组成的数列，11a =，且点*1)()n a n N +∈在函数21y x =+的图像上： （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足111,2na n nb b b +==+，求证：221n n n b b b ++⋅<.21.（本题满分12分，福建文21）设函数f （θ）cos θθ+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0θπ≤≤. （1）若点P 的坐标为1(,22，求f ()θ的值； （II ）若点P （x ，y ）为平面区域Ω：x+y 1x 1y 1≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数()f θ的最小值和最大值.22.（本题满分12分，10广东19）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？13.__3__. 14. 6 ． 15. -6 . 16. ①,③,⑤． 三、解答题 17.解：aa a a a +-+-=--+2)2)(2(4)2(24 ,22)4(422+=+--=a a a a ①当2-<a 时，0)2(24<--+a a ，<+a24a -2； ②当02≠->a a 且时，0)2(24>--+a a ，>+a 24a -2；③当0=a 时，0)2(24=--+a a ，=+a24a -2.18. 解：（Ⅰ）因为01c <<，所以2c c <； 由29()8f c =，即3918c +=， 12c =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得411122()211x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤，由()18f x >+得， ①当102x <<时，121+x ＞182+，解得x ＞42，所以142x <<； ②当112x <≤时，124+-x ＞182+， 即x42-＞25321222-=，x 4-＞25-，解得x ＜85，所以1528x <≤.综上所述，不等式()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．19. 证明：（Ⅰ）由于x ≥1,y ≥1，所以xy yx xy y x ++≤++111 2)(1)(xy x y y x xy ++≤++⇔将上式中的右式减左式，得)1)(1)(1()1)(1()1)(()1)(1())()(()1)(()1)(())((22---=+---=-+--+=+-+--=++-++y x xy y x xy xy xy y x xy xy y x y x xy xy y x xy xy x y 既然x ≥1,y ≥1，所以0)1)(1)(1(≥---y x xy ，从而所要证明的不等式成立. （Ⅱ）设y c x b b a ==log ,log ，由对数的换底公式得xy c yb x a xy a ac b c ====log ,1log ,1log ,1log 于是，所要证明的不等式即为xy yx xy y x ++≤++111 其中1log ,1log ≥=≥=c y b x b a 故由（Ⅰ）立知所要证明的不等式成立.20. 解：（Ⅰ）由已知得1)(21+=+n n a a ，即11=-+n n a a ，又11a =, 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列. 因此.1)1(1)1(1n n d n a a n =⋅-+=-+=故数列{}n a 的通项公式为).(*N n n a n ∈= (Ⅱ)由（Ⅰ）知：n a n =，从而nn n b b 21=-+.)()()()(12123121----+-⋯⋯+-+-+=n n n n n b b b b b b b b b b.1221)21(1222112-=--⋅=++⋯⋯++=--n n n n因为212212)12()12)(12(----=-⋅++++n n n n n n b b b.02)1222()1222(122222<-=+⋅--+--=++++n n n n n n 所以b n ·b n +2＜b 21+n .21. 解：（Ⅰ）由点P的坐标和三角函数的定义可得sin 1cos .2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩于是1()cos 2.22f θθθ=+=+= （Ⅱ）作出平面区域Ω（即三角形区域ABC ）如图所示，其中A （1，0），B （1，1），C （0，1）.于是0.2πθ≤≤又()cos 2sin()6f πθθθθ=+=+，且2,663πππθ≤+≤故当,623πππθθ+==即，()f θ取得最大值，且最大值等于2；当,066ππθθ+==即时，()f θ取得最小值，且最小值等于1.22. 解：设为该儿童分别预订x 个单位的午餐和y 个单位的晚餐，设费用为z 元，则目标函数为y x z 45.2+=，由题意知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥+≥+≥+Ny x y x y x y x 、54106426664812，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥+≥+≥+N y x y x y x y x 、275371623. 画出可行域：由⎩⎨⎧=+=+27537y x y x 得⎩⎨⎧==34y x ，所以直线7=+y x 与2753=+y x 的交点为)3,4(A .当直线045.20=+y x l ：自左至右平行移动经过点)3,4(A 时，.2245.2min =+=y x z 答：应当为儿童分别预定4个单位午餐和3个单位晚餐，能满足上述的营养要求，并且花费最少.。
描述：例题：高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 不等式 3.4 基本不等式一、学习任务掌握基本不等式 （）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）．二、知识清单均值不等式的含义均值不等式的应用 均值不等式的实际应用三、知识讲解1.均值不等式的含义均值定理如果 ，，那么 ．当且仅当 时，等号成立．对任意两个正实数，，数 叫做 ， 的算术平均值，数 叫做 ， 的几何平均值．均值不等式可以表达为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．均值不等式也称为基本不等式 ．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．⩽ab −−√a +b2a >0,b >0a b ∈R +⩾a +b2ab −−√a =b a b a +b2a b ab −−√a b 设 ，，下列不等式中不成立的是（ ）A． B．C． D．解：D，故 A 中不等式成立；，所以，所以 B 中不等式成立；，， ，所以不等式两边同时平方可得 ，故 C 中不等式成立．因为 的符号不确定，当时，不等式不成立.a >0b >0+⩾2b a a b+⩾2ab a 2b2ab ⩽()a +b22a −b +⩾21a −b+⩾2=2b a ab ⋅b a ab −−−−−−√(a −b ⩾0)2+⩾2aba 2b 2a >0b >0⩽a +b 2ab −−√⩾ab ()a +b 22a −b a ⩽b 已知 ，，且 ，求 的最大值．解：由均值不等式可得 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，当且仅当 ， 时等号成立，所以 的最大值为 ．x y ∈R +x +4y =1xy x +4y ⩾2x ⋅4y −−−−−√x =4y xy ⩽116x =12y =18xy 116描述：例题：2.均值不等式的应用基本不等式的应用非常广泛，如求函数最值，证明不等式，比较大小，求取值范围，解决实际问题等．其中，求最值是其最重要的应用 ．利用均值不等式求最值时应注意“一正，二定，三相等”，三者缺一不可．求函数 (x>3)\) 的最小值．解：因为 ，所以，所以当且仅当，即 时，取 “” 号，所以 ．y =+x 1x −3x >3x −3>0y =+x =+(x −3)+3⩾5,1x −31x −3x −3=1x −3x =4==5y min （1）求函数的最小值；（2）求函数 的最大值．解：（1）当，所以，，所以当且仅当 ，即 时， 取得最小值 ．（2）当，所以 ，，所以当且仅当 ，即 时， 取得最大值 ．f (x )=+3x (x >0)12x f (x )=+3x (x <0)12x x >0>012x3x >0f (x )=+3x ⩾2=12,12x ⋅3x 12x−−−−−−√=3x 12xx =2f (x )12x <0−>012x−3x >0f (x )=+3x 12x=−[(−)+(−3x )]12x ⩽−2(−)⋅(−3x )12x −−−−−−−−−−−−−√=−12,−=−3x 12xx =−2f (x )−12求函数的最大值．解：因为 ，所以 ，所以f (x )=x (1−3x )(0<x <)130<x <130<1−3x <1描述：例题：3.均值不等式的实际应用利用基本不等式解决实际问题的一般步骤：①正确理解题意，设出变量，一般可以把要求最大（小）值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④正确写出答案．当且仅当 ，即 时， 取得最大值 ．f (x )=x (1−3x )=×3x (1−3x )13⩽13()3x +1−3x 22=,1123x =1−3x x =16f (x )112设 ，求证：．证明：因为 ，，，所以当且仅当 时，等号成立，所以 ．a ,b ,c ∈R ++⩾ab +bc +ca a 2b 2c 2+⩾2ab a 2b 2+⩾2bc b 2c 2+⩾2ca c 2a 2(+)+(+)+(+)⩾2ab +2bc +2ca ,a 2b 2b 2c 2c 2a 2a =b =c ++⩾ab +bc +ca a 2b 2c 2建造一个容积为 ，深为 的长方形无盖水池，如果池底的造价是每平方米 元，池壁的造价是每平方米 元，求这个水池的最低造价．解：设水池的造价为 元，池底的长为 ，则宽为．所以当且仅当 ，即 时，等号成立．所以当 时，．答：水池的最低造价为元．8m 32m 12080y x m 4xm y =4×120+2(2x +)×808x=480+320(x +)4x ⩾480+320×2x ⋅4x−−−−−√=1760,x =4xx =2x =2=1760y min 1760某种汽车，购车费用是 万元，每年使用的保险费、汽油费约为 万元，年维修费第一年是 万元，以后逐年递增 万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？解：设使用 年时，年平均费用 最少．由于“年维修费第一年是 万元，以后逐年递增 万元”，可知汽车每年维修费构成以 万元为首项， 万元为公差的等差数列．因此汽车使用 年的总维修费用为万元，所以100.90.20.2x y 0.20.20.20.2xx (0.2+0.2x )2四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）当且仅当 ，即 时， 取得最小值．答：汽车使用 年时年平均费用最少．y =10+0.9x +x (0.2+0.2x )2x =10+x +0.1x 2x =1++10x x 10⩾1+2⋅10x x10−−−−−−−√=3=10xx 10x =10y 10答案：1. 若 ，下列不等式中总能成立的是 A ．B ．C ．D ．Ca >b >0()>>2aba +ba +b2ab −−√>>a +b 22ab a +b ab−−√>>a +b 2ab −−√2ab a +b>>2ab a +bab −−√a +b 2答案：2. 下列各式中最小值是 的是 A ．B ．C ．D ．D2()+x y y x+5x 2+4x 2−−−−−√tan x +cot x+2x 2−x答案：解析：3. 已知 ，则函数 的最大值是A ．B ．C ．D ．C ，由 可得 ，根据基本不等式可得，当且仅当 即 时取等号，则 ．x <12y =2x +12x −1()21−1−2y =−[(1−2x )+]+111−2x x <121−2x >0(1−2x )+⩾211−2x 1−2x =11−2x x =0=−1y max 答案：4. 如果正数 满足 ，那么 A ． ，且等号成立时 的取值唯一B ． ，且等号成立时 的取值唯一C ． ，且等号成立时 的取值不唯一D ． ，且等号成立时 的取值不唯一Aa ,b ,c ,d a +b =cd =4()ab ⩽c +d a ,b ,c ,d ab ⩾c +d a ,b ,c ,d ab ⩽c +d a ,b ,c ,d ab ⩾c +d a ,b ,c ,d高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
第三章过关测试卷（100分，45分钟）一、选择题（每题6分，共48分）1.设a ＜b ＜0,下列不等式一定成立的是（ ）A.a 2＜ab ＜b 2B.b 2＜ab ＜a 2C.a 2＜b 2＜abD.ab ＜b 2＜a 2 2.关于x 的不等式022>-+bx ax 的解集是⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,3121, ,则ab 等 于（ ）A.24B.6C.14D.14- 3.〈四川〉不等式32+-x x ≤2的解集是（ ） A.{}38->-<x x x 或 B.{}38->-≤x x x 或 C.{}23≤≤-x x D.{}23≤<-x x 4.已知函数y =f (x )的图象如图1所示，则不等式0112>⎪⎭⎫⎝⎛-+x x f 的解集为（ ）A.()1,∞-B. ()1,2-C. ()2,-∞-D. ()()+∞-∞-,12,图1 图25.设x ,y ∈R ,a ＞1,b ＞1，若a x =b y =3,32=+b a ,则yx 11+的最大值为（ ） A.2 B.23 C.1 D.21 6.若不等式x 2+ax +1≥0对一切x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0成立，则a 的最小值为（ ）A.0B. 2-C.25-D. 3- 7.如图2，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车的运营总利润y （单位：十万元）与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系.若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营 运（ ）A.3年B.4年C.5年D.6年8.设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--,0,0,02,063y x y x y x 若目标函数z =ax +by (a ＞0,b ＞0)的最大值为12，则b a 32+的最小值为（ ） A.625 B. 38 C. 311 D.4 二、填空题（每题5分，共15分）9.〈许昌五校联考〉已知实数x ,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≥+-,0,30,02y x y x 则目标函数y x z -=2的最大值是 .10.已知二次函数f (x )=ax 2+2x +c (x ∈R )的值域为［0,+∞),则ac c a 11+++的最小值为 . 11.〈安徽理〉设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.①若ab ＞c 2,则3π<C ;②若a +b ＞2c ,则3π<C ;③若a 3+b 3=c 3,则2π<C ; ④若(a +b )c ＜2ab ,则2π>C ;⑤若(a 2+b 2)c 2＝2a 2b 2,则3π>C .三、解答题（14题13分，其余每题12分，共37分） 12.已知x ＞0,y ＞0且082=-+xy y x ,求： （1）xy 的最小值； （2）x +y 的最小值.13.医院用甲、乙两种原料给手术后的病人配营养餐，甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？14.设a ＞0,b ＞0,对任意的实数x ＞1,有b x xax >-+1成立，试比较1+a 和b 的大小.参考答案及点拨一、1.B 点拨：∵a ＜b ＜0,∴()()0,022>-=->-=-b a b b ab b a a ab a ,∴a 2＞ab ,ab ＞b 2,∴a 2＞ab ＞b 2,故选B.2.A 点拨：由题意知3121，-是方程022=-+bx ax 的根，故有⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯--=+-,23121,3121a a b ∴a =12,b =2,∴ab =24. 3.B 点拨：原不等式可化为232-+-x x ≤0，即38+--x x ≤0，即(x +3)(x +8)≥0且3-≠x ,解得：x ≤-8或3->x .4.B 点拨：由函数y =f (x )的图象知：要使0112>⎪⎭⎫⎝⎛-+x x f ,则需1112<-+x x ,即012<-+x x ,利用穿根法得12<<-x （如答图1）. ∴原不等式的解集为()1,2-.答图15.C 点拨：∵a x =b y =3,∴3log ,3log b a y x ==.∴()3lg ·lg 3lg lg 3lg lg 3log 13log 111b a b a y x b a =+=+=+. ∵ab b a 232≥+=,即ab ≤3（当且仅当a =b 时，取“=”），由⎩⎨⎧==+，b a b a ,32得⎩⎨⎧==.3,3b a ∴当3==b a 时，ab 有最大值3. ∴yx 11+的最大值为1.故选C. 6.C 点拨：∵不等式12++ax x ≥0对一切⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0x 成立，∴对一切⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0x ,12--≥x ax ,即x x a 12+-≥成立.令⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=x x x x x g 11)(2.易知⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x g 1)(在⎥⎦⎤⎝⎛21,0内为增函数. ∴当21=x 时，25)(max -=x g .∴a 的取值范围是25-≥a ,即a 的最小值是25-.故选C.7.C 点拨：由题图知抛物线顶点坐标为（6，11），且过点（4，7）.设()1162+-=x a y ,将（4，7）代入，得()116472+-=a ,∴1-=a .∴()251211622-+-=+--=x x x y .∴年平均利润为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=x x x x x y 25121225.∵1025≥+x x （当且仅当x x 25=,即x =5时，取“=”）,∴当x =5时，xy有最大值2.故选C. 8.A 点 拨：不等式组表示的平面区域如答图2所示的阴影部分，当直线ax +by =z (a ＞0,b ＞0)过直线02=+-y x 与直线063=--y x 的交点（4，6）时，目标函数by ax z += (a ＞0,b ＞0)取得最大值12，即4a +6b =12,即2a +3b =6, 而62526136136323232=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+•⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a a b b a b a b a (当且仅当a =b =56时取“=”),故选A.答图2 答图3二、9. 6 点拨：平面区域如答图3所示，平移直线02=-y x ,当直线过点A (3,0)时，目标函数的值最大，最大值为6.10.4 点拨：依题意f (x )的最小值为0，所以a ＞0且0211=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-c aa a f ,即a ＞0且ac =1,所以c ＞0,故422112222=+≥+++=+++=+++ac ac c a c a accc a a a c c a ，当且仅当a =c =1时，等号成立.11.①②③ 点拨：对于①,∵ab ＞c 2,∴212222cos 22222=-≥-+>-+=ab ab ab ab ab b a ab c b a C (当且仅当a =b 时取“=”).又∵C ∈(0,π),∴⎪⎭⎫⎝⎛∈3,0πC ,∴①正确. 对于②，∵a +b ＞2c ＞0,∴4)(22b ac +<.∴()()21222143242cos 22222222=≥-+=+-+>-+=ab ab ab abb a abb a ba abcb a C (当且仅当a =b 时取“=”). 又∵C ∈(0,π),∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,0πC ,∴②正确.对于③, ∵333c b a =+, ∴()()()()=-+=+-+=-+33422423332232322233b a b a b a b a b a c b a()04233332222>≥-+b a ab b a b a （当且仅当a =b 时取“=”）.∴(a 2+b 2)3＞(c 2)3,即a 2+b 2＞c 2.∴02cos 222>-+=ab c b a C ,∴2π<C ,∴③正确. 对于④，∵0＜(a +b )·c ＜2ab , ∴()ab b a b a c ≤+<22224 (当且仅当a =b 时取“=”).∴021222cos 22222>=≥-+>-+=ab ab ab ab b a ab c b a C (当且仅当a =b 时取“=”),∴2π<C ,故④不正确.对于⑤，∵(a 2+b 2)·c 2=2a 2b 2, ∴ab ab b a b a b a c =≤+=2222222222(当且仅当a =b 时取“=”), ∴212222cos 22222=-≥-+≥-+=ab ab ab ab ab b a ab c b a C (当且仅当a =b 时取“=”).又∵C ∈(0,π),∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈30π，C ,故⑤不正确.∴正确命题为：①②③.三、12.解：（1）由082=-+xy y x ,得128=+yx ,又x ＞0, y ＞0，则xy y x y x 8282281=⋅≥+=,得xy ≥64.当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+,28,128yx yx 即⎩⎨⎧==4,16y x 时等号成立.此时（xy ）min =64.(2)由082=-+xy y x ,得128=+yx , 则()1882210821028=⋅+≥++=+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+xyy x x yy x y x y x y x . 当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+,82,128x y yx yx 即⎩⎨⎧==6,12y x 时等号成立.此时(x +y )min =18.13.解：设甲、乙两种原料各用10x g 、10y g ，所需费用为z 元.由题意，得z =3x +2y ,线性约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,40410,2275y x y x y x 画出可行域如答图4中阴影部分.作直线l 0:3x +2y =0,则易知当l 0平移至l 位置时，z 有最小值，此时l 过点A .由⎩⎨⎧=+=+40410,3575y x y x 得⎪⎭⎫ ⎝⎛3,514A .∴用甲、乙原料分别为514×10=28(g),3×10=30(g)时，费用最省. 温馨提示：本题设“甲、乙原料分别为10x g 、10y g ”比设“甲、乙原料分别为x g,y g ”运算方便.答图414.解：设()1-+=x x ax x f ,则()()1111111)(-+-++=-++=x x a a x ax x f , ∵x ＞1,∴1-x ＞0,∴()2121)(+=++≥a a a x f .当且仅当()()1111>-=-x x x a ,即ax 11+=时，上式取“=”，又f (x )＞b 恒成立，∴()21+<a b ,又∵a ＞0,b ＞0,∴b a >+1.。
新课标人教版必修5高中数学 第3章 不等式单元检测试卷1．设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是 ( )A ．d b c a ->-B ．bd ac >C ．d b c a +>+D ．c b d a +>+2． “0>>b a ”是“222b a ab +<”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．不等式b ax >的解集不可能是 ( )A ．φB ．RC ．),(+∞a bD ．),(ab --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a -的值等于 ( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．105．不等式||x x x <的解集是 ( ) A ．{|01}x x <<B ．{|11}x x -<<C ．{|01x x <<或1}x <-D ．{|10,1}x x x -<<> 6．若011<<ba ，则下列结论不正确的是 ( ) A ．22b a < B ．2b ab < C ．2>+ba ab D ．||||||b a b a +>+7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为 ( )A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f =C ．)()(x g x f <D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是 ( )A ．y x ＋x yB ．4522++x x C ．tan x ＋cot x D ． x x -+229．下列各组不等式中，同解的一组是 ( )A ．02>x 与0>xB ．01)2)(1(<-+-x x x 与02<+xC ．0)23(log 21>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,则a 的取值范围是 ( )A. }8|{<a aB. }8|{>a aC. }8|{≥a aD. }8|{≤a a 11．若+∈R b a ,，则b a 11+与ba +1的大小关系是 .12．函数121lg+-=x xy 的定义域是 . 13．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨.14. 已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，, 则不等式3)2(≤+x f 的解集___ _ ____.15．已知()f x 是奇函数，且在(－∞，０)上是增函数，(2)0f =，则不等式()0xf x <的解集是___ _ ____. 16．解不等式:21582≥+-x x x17．已知1<a ，解关于x 的不等式12>-x ax．18．已知0=++c b a ，求证:0≤++ca bc ab 。
第三章测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若1a <1b <0，则下列不等式中不正确的是( ) A ．a ＋b <ab B.b a ＋ab >2 C ．ab <b 2D ．a 2<b 2解析 由1a <1b <0，可得b <a <0，∴a 2<b 2. 答案 D2．若a ，b >0，且P ＝a ＋b2，Q ＝a ＋b ，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≥QD ．P ≤Q解析 P 2－Q 2＝a ＋b ＋2ab2－(a ＋b ) ＝－(a －b )22≤0， 所以P 2≤Q 2，即P ≤Q . 答案 D3．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(y －1,1)，x ，y ∈R ＋，若a ∥b ，则t ＝x ＋1x ＋y ＋1y 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析 由a ∥b ，得x ＋y ＝1.∴t ＝t (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1y (x ＋y )＝1＋1＋y x ＋xy ＋1≥3＋2y x ·x y ＝5.当且仅当x ＝y ＝12时，t 取最小值5. 答案 B4．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x ∈N *|x ≤5}，则A ∩B 是( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析 因为集合A ＝{x |－12<x <3}，又集合B ＝{x ∈N *|x ≤5}，所以A ∩B ＝{1,2}，故选B.答案 B5．若m <n ，p <q 且(p －m )(p －n )<0，(q －m )(q －n )<0，则m ，n ，p ，q 从小到大排列顺序是( )A ．p <m <n <qB ．m <p <q <nC ．p <q <m <nD ．m <n <p <q解析 将p ，q 看成变量，则m <p <n ，m <q <n . 答案 B6．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，z ＝3x ＋27y ＋1的最小值是( )A ．339 B ．7 C ．1＋2 2D ．6解析 z ＝3x ＋27y ＋1≥23x ·27y ＋1＝23x ＋3y ＋1＝232＋1＝7.答案 B 7.如图，目标函数z ＝kx －y 的可行域为四边形OEFG (含边界)，若点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45是目标函数的最优解，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－125，45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫310，125 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－125，－310D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－103，－512解析 k GF ＝－310，k EF ＝－125，由题意，知k EF ≤k ≤k GF . 答案 C8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x >1)，－1(x ≤1)，则不等式xf (x )－x ≤2的解集为( )A.[]－2，2B.[]－1，2C.(]1，2D.[]－2，－1∪(]1，2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，x 2－x ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，－x －x ≤2，解得－1≤x ≤2.答案 B9．某金店用一杆不准确的天平(两臂不等长)称黄金，某顾客要买10 g 黄金，售货员先将5 g 的砝码放入左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5 g 的砝码放入右盘，将另一黄金放入左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金( )A ．大于10 gB ．小于10 gC ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析 设天平的两边臂长分别为a ，b ，两次所称黄金的重量分别为x g ，y g.则⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝xb ，ya ＝5b ，所以x ＋y ＝5a b ＋5b a >2 5a b ·5ba ＝10.答案 A10．对任意的a ∈[]－1，1，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(3，＋∞)解析 y ＝φ(a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，x ＝2时，y ＝0，所以x ≠2.只需⎩⎪⎨⎪⎧φ(－1)>0，φ(1)>0.答案 B11．设a >0，b >0，若3是3a与3b的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14解析 ∵a >0，b >0,3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2 b a ·a b ＝4.答案 B12．对于使－x 2＋2x ≤m 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做－x 2＋2x 的上确界．若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A ．－3B ．－4C ．－14D ．－92解析 ∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，∴12a ＋2b ＝a ＋b 2a ＋2(a ＋b )b ＝12＋b 2a ＋2a b ＋2≥52＋2 b 2a ·2a b ＝92，∴－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设a >b ，则①ac 2>bc 2；②2a >2b ；③1a <1b ；④a 3>b 3；⑤|a |>|b |.正确的结论有________．答案 ②④14．函数y ＝2x 2＋8x 2＋1的最小值是________．解析 y ＝2x 2＋8x 2＋1＝2(x 2＋1)＋8x 2＋1－2≥22(x 2＋1)8x 2＋1－2＝2×4－2＝6.当且仅当2(x 2＋1)＝8x 2＋1.即x ＝±1时，等号成立．答案 615．已知不等式x 2－ax －b <0的解集为(2,3)，则不等式bx 2－ax －1>0的解集为________．解析 依题意知方程x 2－ax －b ＝0的两根为2,3，根据韦达定理可求得a ＝5，b ＝－6，所以不等式为6x 2＋5x ＋1<0，解得－12<x <－13.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－13 16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费________元．解析 设购买35kg 的x 袋，24kg 的y 袋，则35x ＋24y ≥106，x∈N ，y ∈N ，共花费z ＝140x ＋120y ，作出由⎩⎪⎨⎪⎧35x ＋24y ≥106，x ∈N ，y ∈N ，对应的平面区域，则知目标函数在(1,3)点处取得最小值为500元．答案 500三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知a ，b ，x ，y >0且1a >1b ，x >y ， 求证：x x ＋a >yy ＋b.证明：x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b ).由1a >1b >0，可得b >a >0.又∵x >y >0，∴bx >ay ，x ＋a >0，y ＋b >0，∴bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0，∴x x ＋a >y y ＋b . 18．(12分)设f (x )＝(m ＋1)x 2－mx ＋m －1. (1)当m ＝1时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若不等式f (x )＋1>0的解集为(32，3)，求m 的值． 解 (1)当m ＝1时，f (x )>0，即 2x 2－x >0⇒x (2x －1)>0⇒x <0，或x >12.∴此时不等式的解集为(－∞，0)∪(12，＋∞)． (2)由f (x )＋1>0，得(m ＋1)x 2－mx ＋m >0. ∵不等式的解集为(32，3)，∴32和3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两个根， 且m ＋1<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧32＋3＝m m ＋1，32×3＝m m ＋1，m ＋1<0，解得m ＝－97.19．(12分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．解 (1)∵不等式kx 2－2x ＋6k <0的解集是{x |x <－3或x >－2}， ∴方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根为－3，－2，且k <0.由根与系数的关系得⎩⎨⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k .∴k ＝－25.(2)∵不等式kx 2－2x ＋6k <0的解集为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－4k ×6k <0.解得⎩⎨⎧k <0，k <－66或k >66.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－66.20．(12分)某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？解 设每盒盒饭需要面食x 百克，米食y 百克，所需费用为z ＝0.5x ＋0.4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥8，4x ＋7y ≥10，x ≥0，y ≥0，作出可行域，如图所示．由图可知，平行直线系y ＝－54x ＋52z 过点A 时，纵截距52z 最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ＝8，4x ＋7y ＝10，解得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1315，1415. 所以每盒盒饭为面食1315百克，米食1415百克时，既科学又费用最少． 21．(12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x >0，y >0满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，若f (2)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <2.解由f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <2，得⎩⎪⎨⎪⎧f [x (x ＋3)]<2，x ＋3>0，x >0.即⎩⎨⎧f [x (x ＋3)]<2，x >0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫42＝f (4)－f (2)，∴f (4)＝2f (2)＝2.∴⎩⎨⎧f [x (x ＋3)]<f (4)，x >0.∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x <4，x >0，解得0<x <1. 22．(12分)某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．(1)该船捕捞几年开始盈利？(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)(2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪一种方案较为合算，请说明理由．解 (1)设捕捞n 年后开始盈利，盈利为y 元，则y ＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n (n －1)2×4－98＝－2n 2＋40n －98. 由y >0，得n 2－20n ＋49<0， 解得10－51<n <10＋51(n ∈N )．则3≤n ≤17，故n ＝3.即捕捞3年后，开始盈利． (2)①平均盈利为y n ＝－2n －98n ＋40≤－22n ·98n ＋40＝12，当且仅当2n ＝98n ，即n ＝7时，年平均盈利最大．故经过7年捕捞后年平均盈利最大，共盈利12×7＋26＝110万元．②∵y ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102， ∴当n ＝10时，y 的最大值为102.即经过10年捕捞盈利总额最大，共盈利102＋8＝110万元． 综上知两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算．。
绝密★启用前人教新课标A版高中数学必修5第三章不等式单元测试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟。
一、选择题(共12小题，每小题5.0分,共60分)1.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m．用不等式表示为()A．v≤120 km/h或d≥10 mB．C．v≤120 km/hD．d≥10 m2.若a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是()A．a2＋b2≥2abB．a＋b≥2C．a2＋b2≥(a＋b)2D．＋<(a≠b)3.设a＝2－1，b＝－1(t∈R)，则a与b的大小关系是()A．a≥bB．a≤bC．a<bD．a>b4.不等式组的解集为()A． {x|－2<x<－1}B． {x|－1<x<0}C． {x|0<x<1}D． {x|x>1}5.设f(x)＝x2＋bx－3，且f(－2)＝f(0)，则f(x)≤0的解集为()A． (－3,1)B． [－3,1]C． [－3，－1]D． (－3，－1]6.函数y＝的定义域是()A． {x|x<－4或x>3}B． {x|－4<x<3}C． {x|x≤－4或x≥3}D． {x|－4≤x≤3}7.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是()A． (－2,2)B． (－2,2]C． (－∞，－2)∪[2，＋∞)D． (－∞，2)8.若a>0，b>0，则不等式－b<<a等价于()A．－<x<0或0<x<B．－<x<C．x<－或x>D．x<－或x>9.当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A． (0，＋∞)B． [0，＋∞)C． [0,4)D． (0,4)10.在平面直角坐标系中，点在直线的右上方，则的取值范围是（）A．（1，4）B．（-1，4）C．（-∞，4）D．（4，+∞）11.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为()A．－3B． 3C．－1D． 112.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为() A． 0B． 1C．D． 3第ⅠⅠ卷二、填空题(共4小题，每小题4.0分,共16分)13.已知|a|<1，则与1－a的大小关系为________．14.已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是________．15.记不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．16.设x，y为实数，若，则的最大值是________．三、解答题(共6小题,第17-21题每小题12.0分,第22题14分，共74分)17.(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy；(2)设1<a≤b≤c，证明：log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c.18.已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：a m＋n＋b m＋n≥a m b n＋a n b m.19.已知定义在R上的函数f(x)＝x2－(3－a)x＋2(1－a)(其中a∈R)．(1)解关于x的不等式f(x)>0；(2)若不等式f(x)≥x－3对任意x>2恒成立，求a的取值范围．20.营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪，1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg?将已知数据列成下表：21.已知实数x，y满足(1)试求z＝的最大值和最小值；(2)试求z＝x2＋y2的最大值和最小值．22.已知函数．(1) 当时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意，恒成立，试求实数的取值范围．答案解析1.【答案】B【解析】考虑实际意义，知v≤120 km/h且d≥10 m.2.【答案】D【解析】显然有a2＋b2≥2ab，a＋b≥2，又a2＋b2－(a＋b)2＝a2＋b2－ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥(a＋b)2，故选D.3.【答案】B【解析】∵t2≥0，∴t2－1≥－1，∵函数y＝2x在x∈R上是单调递增的，∴2－1≤－1，即a≤b，故选B.4.【答案】C或【解析】由得所以0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.5.【答案】B【解析】∵f(－2)＝f(0)，∴x＝－＝＝－1，∴b＝2，∴f(x)≤0⇒x2＋2x－3≤0⇒(x＋3)(x－1)≤0，∴－3≤x≤1.6.【答案】C【解析】由x2＋x－12≥0，即(x＋4)(x－3)≥0，x≥3或x≤－4.7.【答案】B8.【答案】D【解析】－b<<a⇔或⇔或⇔x>或x<－.9.【答案】C【解析】当k＝0时，不等式变为1>0，成立；当k≠0时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则即0<k<4，所以0≤k<4.10.【答案】D【解析】取原点（0，0），因为，且原点在直线的左下方，所以不等式表示的区域在直线的左下方.11.【答案】A【解析】－＝＝，∴a＝－3.12.【答案】B【解析】由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1.13.【答案】≥1－a【解析】－(1－a)＝＋a－1＝＝，∵|a|<1，即－1<a<1，∴a＋1>0，a2≥0，∴≥0，故≥1－a.14.【答案】[－2，)【解析】由题意知(a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0恒成立，当a＝－2时，不等式化为－1<0，显然恒成立；当a≠－2时，则即－2<a<，综上实数a的取值范围是[－2，)．15.【答案】【解析】直线y＝a(x＋1)恒过定点P(－1,0)且斜率为a，作出可行域后数形结合可解．不等式组所表示的平面区域D为如图所示阴影部分(含边界)，且A(1,1)，B(0,4)，C.直线y＝a(x＋1)恒过定点P(－1,0)且斜率为a.由斜率公式可知kAP＝，kBP＝4.若直线y＝a(x＋1)与区域D有公共点，数形结合可得≤a≤4.16.【答案】【解析】∵，∴，即∴，∴，即.17.【答案】证明(1)由于x≥1，y≥1，所以要证x＋y＋≤＋＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，只需证[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]≥0，即(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数的换底公式得log c a＝，log b a＝，log c b＝，log a c＝xy，于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，其中x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．18.【答案】证明a m＋n＋b m＋n－(a m b n＋a n b m)＝(a m＋n－a m b n)－(a n b m－b m＋n)＝a m(a n－b n)－b m(a n－b n)＝(a m－b m)(a n－b n)．当a>b时，a m>b m，a n>b n，∴(a m－b m)(a n－b n)>0；当a<b时，a m<b m，a n<b n，∴(a m－b m)(a n－b n)>0；当a＝b时，a m＝b m，a n＝b n，∴(a m－b m)(a n－b n)＝0.综上，(a m－b m)(a n－b n)≥0.故a m＋n＋b m＋n≥a m b n＋a n b m.19.【答案】(1)f(x)＝(x－2)[x－(1－a)]，设函数f(x)＝0的两根为x1＝2，x1＝1－a，且x1－x2＝2－1＋a＝a＋1，f(x)>0等价于(x－2)[x－(1－a)]>0，于是当a<－1时，x1<x2，原不等式的解集为(－∞，2)∪(1－a，＋∞)；当a＝－1时，x1＝x2，原不等式的解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a>－1时，x1>x2，原不等式的解集为(－∞，1－a)∪(2，＋∞)．(2)不等式f(x)≥x－3，即a≥－恒成立，又当x>2时，－＝－(x－2＋)≤－2(当且仅当x＝3时取“＝”号)，∴a≥－2.20.【答案】每天食用食物A kg，食物B kg，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．【解析】设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z，那么⇒目标函数为z＝28x＋21y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，把目标函数z＝28x＋21y变形为y＝－x＋，它表示斜率为－且随z变化的一族平行直线.是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小．如图可见，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．解方程组得M点的坐标为.所以z min＝28x＋21y＝16.21.【答案】(1)z＝的最大值为3和最小值为；(2)z＝x2＋y2的最大值为13和最小值为．【解析】解(1)由于z＝＝，所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，如图所示，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，又∵B(0,2)，C(1,0)，∴z max＝kMB＝3；z min＝kMC＝.∴z的最大值为3，最小值为.(2)z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点A的距离最大，原点到直线BC的距离最小．故z max＝|OA|2＝13，z min＝2＝2＝.反思与感悟当斜率k，两点间的距离，点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．22.【答案】【解析】(1) ∵，∴, 当时取等号．即当时，.(2)，恒成立，即,恒成立．等价于在上恒成立，令，，∴，即.∴的取值范围是。
不等式单元测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．不等式x (x －2)>0的解集是( ) A ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) B ．(－2,0) C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)2．直线a >b >0，那么下列不等式成立的是( )A ．－a >－bB ．a ＋c <b ＋c C.1a >1bD ．(－a )2>(－b )23．y ＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3·1x 2＋x －2的定义域是( )A ．{x |x ≤1或x ≥3}B ．{x |x <－2或x >1}C ．{x |x <－2或x >3}D ．{x |x ≤－2或x >3} 4．若x ，y ∈R, x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1 B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值15．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，x ＋y ≤1y ≥－1，，则z ＝－2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．－12 C ．2 D ．－56．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b 7．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．58．不等式3x 2＋2x ＋2x 2＋x ＋1≥m 对任意实数x 都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤2B ．m <2C ．m ≤3D ．m <39．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2＝2a 2，则cos A 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－1211．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4912．若对满足条件3x ＋3y ＋8＝2xy (x ＞0，y ＞0)的任意x 、y ，(x ＋y )2－a (x ＋y )＋16≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，8]B ．[8，＋∞)C ．(－∞，10]D ．[10，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设常数a >0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，x ≥0，y ≥0，则w ＝4x ＋2y －16x －3的取值范围是________．15．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．16．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a ，b ，c 为不相等的正数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.18.(12分)解不等式0<x －12x ＋1<1，并求适合此不等式的所有整数解．19．(12分)(1)已知x >0，求f (x )＝2x＋2x 的最小值和取到最小值时对应x 的值；(2)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．20.(12分)已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．21．(12分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．22.(12分)某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱可获利润40元，B 种糖果每箱可获利润50元．其生产过程分混合、烹调、包装三道工序．下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：min).混合 烹调 包装 A 1 5 3 B24130 h ，包装的设备最多只能用机器15 h ，每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？答案与解析1．C 不等式x (x －2)>0， ∴x <0或x >2，故选C.2．D ∵a >b >0，∴a 2>b 2，(－a )2＝a 2，(－b )2＝b 2，∴D 成立．3．C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，1x 2＋x －2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2＋x －2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <1，x >1或x <－2，∴x >3或x <－2，故选C.4．B 由x 2＋y 2＝1, 0≤y 2＝1－x 2≤1, ∴(1＋xy )(1－xy )＝1－x 2y 2＝1－x 2(1－x 2)＝x 4－x 2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－122＋34.∵0≤x 2≤1, ∴当x 2＝12时有最小值34.当x 2＝0或1时有最大值1，故选B. 5．A 不等式组所表示的平面区域如图示．直线z ＝－2x ＋y 过B 点时z 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－1，得B (－1，－1)，∴z max ＝1.6．B ∵a ＝log 37，∴1<a <2.∵b ＝21.1，∴b >2.∵c ＝0.83.1，∴0<c <1.故b >a >c . 7．C 1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ≥22×2＝4，当且仅当1a ＝1b且21ab＝2ab ，即a ＝b ＝1时，“＝”号成立，故选C.8．A ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴不等式可化为3x 2＋2x ＋2≥m (x 2＋x ＋1)，即(3－m )x 2＋(2－m )x ＋2－m ≥0对任意实数x 都成立，当m ＝3时，不等式化为－x －1≥0不恒成立．当m ≠3时，有⎩⎪⎨⎪⎧3－m >0，2－m 2－4×3－m ×2－m ≤0，即m ≤2.综上，实数m 的取值范围是m ≤2，故选A. 9．D 作出可行域如图中阴影部分所示．由z ＝y －ax 得y ＝ax ＋z ，知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距． 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.10．C cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2＋c 222bc ＝b 2＋c 24bc ≥2bc 4bc ＝12，当且仅当b ＝c 时等号成立，故选C.11．C 作出可行域如图(阴影部分)．由题意知，圆心C (a ，b )，半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，y ＝1，得A (6,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，y ＝1，得B (－2，1)，而目标函数z ＝a 2＋b 2表示点C 到原点距离的平方，所以当点C 与A (6,1)重合时，a 2＋b 2取到最大值37.12．C ∵xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴3x ＋3y ＋8＝2xy ≤x ＋y22，∴x ＋y22－3(x ＋y )－8≥0，解得x ＋y ≥8，∵(x ＋y )2－a (x ＋y )＋16≥0恒成立，即a ≤x ＋y ＋16x ＋y， 又x ＋y ＋16x ＋y≥10.∴只需a ≤10，故选C. 13.⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析：∵a >0，x >0，∴9x ＋a 2x ≥29x ·a 2x ＝6a .当且仅当9x ＝a 2x，即3x ＝a 时取等号，要使9x ＋a 2x≥a ＋1成立，只要6a ≥a ＋1，即a ≥15.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.14.[5,6]解析：w ＝4x ＋2y －16x －3＝4x －3＋2y －4x －3＝4＋2×y －2x －3，设k ＝y －2x －3.则k 的几何意义是区域内的点到定点D (3,2)的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：由图象得AD 的斜率最小，BD 的斜率最大，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，B (1,0)，此时k AD ＝12－20－3＝12，此时w 最小为w ＝4＋2×12＝4＋1＝5，k BD ＝0－21－3＝1，此时w 最大为w ＝4＋2×1＝6， 故5≤w ≤6. 15．6解析：画出可行域如图所示，其中z ＝x ＋y 取得最小值时的整点为(0,1)，取得最大值时的整点为(0,4)，(1,3)(2,2)(3,1)及(4,0)共5个整点．故可确定5＋1＝6条不同的直线．16．18解析：由2x ＋8y －xy ＝0得2y ＋8x＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x≥18.当且仅当2x 2＝8y 2，即x ＝2y 时，等号成立．17．证明：证法一：∵a ，b ，c 为不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝ 1bc＋1ca＋1ab <1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c.故原不等式成立． 证法二：∵a ，b ，c 为不等正数，且 abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2>abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .故原不等式成立． 18．解：∵0<x －12x ＋1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －12<x ＋1，x －1≠0，∴0<x <3，且x ≠1.故不等式的解集为{x |0<x <3，且x ≠1}， ∴适合此不等式的所有整数解为x ＝2.19.解：(1)f (x )＝2x ＋2x ≥22x·2x ＝4，当且仅当2x＝2x ，即x ＝1时，等号成立，∴f (x )的最小值为4，此时对应的x 的值为1. (2)∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13·⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1－3x 22＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，∴x ＝16时，等号成立，∴y ＝x (1－3x )的最大值为112.20．解：(1)由已知得f (1)＝－a 2＋6a ＋3>0. 即a 2－6a －3<0.解得3－23<a <3＋2 3.∴不等式f (1)>0的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)∵f (x )>b ，∴3x 2－a (6－a )x ＋b －6<0，由题意知，－1,3是方程3x 2－a (6－a )x ＋b －6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6－a3＝2，b －63＝－3.∴⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.21.解：(1)由x >0, y >0, y ＝3n －nx >0， 得0<x <3.所以x ＝1或x ＝2，即D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记y ＝－nx ＋3n 为l, l 与x ＝1, x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1, y 2, 则y 1＝2n, y 2＝n, ∴a n ＝3n (n ∈N ＋)．(2)∵S n ＝3(1＋2＋…＋n )＝3nn ＋12，∴T n ＝n n ＋12n. 又T n ＋1T n ＝n ＋22n>1⇒n <2， ∴当n ≥3时， T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32.所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32， ＋∞. 22．解：设生产A x 箱，生产B y 箱，可获利润z 元，即求z ＝40x ＋50y 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤720，5x ＋4y ≤1 800，3x ＋y ≤900，x ≥0， y ≥0下的最大值．解得z max ＝40×120＋50×300＝19 800.所以生产A 120箱，生产B 300箱时，可以获得最大利润19 800元．。
第三章不等式（数学人教实验A版必修5）7.已知函数f（x）=1,1,0,x xx x-+<0,⎧⎨-≥⎩则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（）A.{x|-1≤x-1}B.{x|x≤1}C.{x|x-1}D.{x|1≤x-1}8. 设，且a b （a、b、），则M的取值范围是（）A.，18B. ［，1）C.［，）D.［8，+∞）9.对于满足等式x2+（y-1）2=1的一切实数x、y，不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（）A.（-∞，0］B.+∞）C.-1，+∞）D.［1，+∞）10.如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）A.ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯B.ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C.ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d 的取值不唯一D.ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d 的取值不唯一11. 一个直角三角形的周长为2p，则其斜边长的最小值为（）A.B.C.D.12.某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(按30天计算)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，为使每月所获利润最大，这个摊主应每天从报社买进( )份晚报. A.250 B.400C.300D.350二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.不等式2242x x+-≤12的解集为.14.函数y=1xa-（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（mn＞0）上，则1m+1n 的最小值为.15.若不等式x22a x a＞0对x∈R恒成立，则关于t的不等式a2t1＜a t22t3的解集为 .16.设x，y，z∈R，则最大值是 .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共74分）告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏目的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告版面的高与宽的尺寸（单位:cm ）能使矩形广告的面积最小? 18.（12分）不等式（m 2-2m-3）x 2-（m-3）x-1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.19.（12分）某人上午7时乘摩托艇以匀速 v km/h(4≤v ≤20)从A 港出发到距50 km 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30≤w ≤100)从B 港向距 300 km 的C 市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C 市.设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是x h 、y h.若所需的经费p =100+3(5-y )+2(8-x )元，那么v ，w 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.20.（12分）已知二次函数f（x）满足f（-2）=0，且2x≤f（x）≤242x+对一切实数x都成立.（1）求f（2）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）设b n=1()f n，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＞43(3)nn+.21.（12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？22.（14分）某村计划建造一个室内面积为72 m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？第三章不等式（数学人教实验A版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题13． 14． 15． 16．三、解答题17．18.19.20.21.22.第三章 不等式（数学人教实验A 版必修5）参考答案一、选择题1.D 解析：∵ y 2x 是增函数，而0＜b ＜a ＜1，∴ 1＜2b ＜2a ＜2.2.D 解析：∵ t-s =a+2b-a-b 2-1=-（b-1）2≤0，∴ t ≤s .3.C 解析：不等式组表示的平面区域如图所示， 由34,34x y x y +=⎧⎨+=⎩得交点A 的坐标为（1，1），又B ，C 两点的坐标分别为（0，4），(0，43)， 故S △ABC =12 (4-43)×1=43. 第3题答图 4.B 解析：特殊值法.令a =7，b =3，c =1，满足a ＞b ＞c ＞0，∴2log (11)1+＞2log (31)3+＞2log (71)7+. 5. A 解析：不等式组可化为 xy ＞0，x y ＞0，或 xy ＜0，x y ＜0，在平面直角坐标系中作出符合上面两个不等式组的平面区域，如图中的阴影部分所示， ∴ 不等式组（x y ）（x y ）＞0，0 x2表示的平面区域为三角形. 第5题答图6.B 解析：取测试点（0，1）可知C ，D 错，再取测试点（0，-1）可知A 错，故选B.7.C 解析：依题意得10,10,(1)()1(1)1x x x x x x x x +<+≥⎧⎧⎨⎨++-≤++≤⎩⎩或，所以1,1,11x x x x ≥-⎧<-⎧⎪⇒⎨⎨∈≤≤⎪⎩⎩R 或x ＜-1或-1≤x-1 x-1，故选C. 8. D 解析：M≥9.C 解析：令x = cos θ，y =1+ sin θ，则-（x+y ）=- sinθ-cos θ-1=sin (θ+π4)-1.∴ -（x+y ）max-1.∵ x+y+c ≥0恒成立，故c ≥-（x+y ）max-1，故选C.10.A 解析：因为a+b =cd =4，由基本不等式得a+b ≥ab ≤4.又cd ≤2()4c d +，故c+d ≥4，所以ab ≤c+d ，当且仅当a =b =c =d =2时，等号成立.故选A.11.A 解析：设直角三角形的一个锐角为θ，斜边长为c ， 则根据题意得c （sin θ+cos θ+1）=2p ， ∴ c =2sin cos 1p θθ++∵ π，当θ=π时，等号成立，∴ c，当此三角形为等腰直角三角形时，等号成立. ∴ 斜边c.故选A. 12. B 解析：若设每天从报社买进x (250≤x ≤400，x ∈N )份晚报，则每月共可销售(20x ＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x -250)份，每份亏损0.15元，建立月利润函数f (x )，再求f (x )的最大值，可得一个月的最大利润.设每天从报社买进x 份晚报，每月获得的总利润为y 元，则依题意，得 y ＝0.10(20x ＋10×250)-0.15×10(x -250)＝0.5x ＋625，x ∈［250，400］.∵ 函数y =0.5x +625在［250，400］上单调递增，∴ 当x ＝400时，y ＝825. 即摊主每天从报社买进400份晚报时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元.13.{x |-3≤x ≤1} 解析：依题意x 2+2x-4≤-1 （x+3）（x-1）≤0 x ∈［-3，1］. 14.4 解析：由题意知A （1，1），∴ m+n-1=0，∴ m+n =1，∴1m +1n =(1m +1n )（m+n ）=2+n m +mn≥2+=4. 15.（-2，2） 解析：由x 2-2ax +a ＞0对x ∈R 恒成立得Δ 4a 24a ＜0，即0＜a ＜1， ∴ 函数y ax是R 上的减函数，∴ 2t 1＞t22t3，解得-2＜t ＜2.16.222 解析： x22y 2z222221 22xy z 2x 22y 2z21122xy z 2.17.解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab =9 000.①广告版面的高为a+20，宽为2b+25，其中a ＞0，b ＞0.广告的面积S =（a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500=18 500+25a+40b ≥18 500+=18 500+当且仅当25a =40b 时等号成立，此时b =58a ，代入①式得a =120，从而b =75，即当a =120，b =75时，S 取得最小值24 500.故广告版面的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小. 18.解：若m 2-2m-3=0，则m =-1或m =3.当m =-1时，不合题意；当m =3时，符合题意.若m 2-2m-3≠0，设f （x ）=（m 2-2m-3）x 2-（m-3）x-1，则由题意，得22230,230,m m m m m ∆2⎧--<⎨=[-(-3)]+4(--)<⎩ 解得-15<m <3.综合以上讨论，得-15<m ≤3.19.解：依题意得 4 50x 20，30 300y 100， 9 x y 14，x ＞0，y ＞0，考察z =2x +3y 的最大值，作出可行域，平移直线2x +3y =0， 当直线经过点(4，10)时，z 取得最大值38.故当v =12.5，w =30时所需要经费最少，此时所花的经费为93元. 20.（1）解：∵ 242()2+≤≤x x f x 对一切实数都成立，∴ 4≤f （2）≤4，∴ f （2）=4.（2）解：设f （x ）=ax 2+bx+c （a ≠0）.∵ f （-2）=0，f （2）=4，∴424,1,42024.a b c b a b c c a ++==⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩ ∵ ax 2+bx+c ≥2x ，即ax 2-x+2-4a ≥0，∴ Δ=1-4a （2-4a ）≤0⇒（4a-1）2≤0，∴ a =14，c =2-4a =1，故f （x ）=24x +x+1. （3）证明：∵ b n =1()f n =24(2)n +＞4(2)(3)n n ++=4(12n +-13n +)， ∴ S n =b 1+b 2+…+b n ＞4[(13-14)+(14-15)+…+(12n +-13n +)] =4×13-13n +=43(3)n +. 21.解：设投资人分别用x ，y 万元投资甲，乙两个项目，由题意，得10,0.30.1 1.8,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数为z =x+0.5y . 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即为可行域.作直线l 0:x+0.5y =0，并作平行于直线l 0的一组直线x+0.5y =z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M ，此时z 最大，这里点M 是直线x+y =10与直线0.3x+0.1y =1.8的交点. 第21题答图解方程组10,0.30.1 1.8,x y x y +=⎧⎨+=⎩得4,6,x y =⎧⎨=⎩此时，z =4+0.5×6=7（万元）.∴ 当x =4，y =6时，z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大.22.解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则ab=72，蔬菜的种植面积S=（a-4）（b-2）=ab-4b-2a+8=80-2（a+2b）≤80-（m2）.当且仅当a=2b，即a=12，b=6时，S max=32.答：矩形温室的边长为6 m，12 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32 m2.。
新课程标准数学必修5第三章课后习题解答第三章 不等式3．1不等关系与不等式 练习（P74）1、（1）0a b +≥； （2）4h ≤； （3）(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、（1）>； （2）<； （3）>； （4）<；习题3.1 A 组（P75）1、略.2、（1）24<； （2>.3、证明：因为20,04x x >>，所以21104x x x ++>+>因为22(1)02x +>>，所以12x+>4、设A 型号帐篷有x 个，则B 型号帐篷有(5)x +个，050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时，方案B 的投入不少于方案A 的投入.所以，(1)5105002n n n -+⨯≥ 即，2100n ≥.习题3.1 B 组（P75）1、（1）因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>，所以2225956x x x x ++>++ （2）因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--（3）因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>，所以321x x x >-+（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+> 所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明：因为0,0a b c d >>>>，所以0ac bd >>又因为0cd >，所以10cd >于是0a bd c>>>3、设安排甲种货箱x 节，乙种货箱y 节，总运费为z .所以 352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥ 所以28x ≥，且30x ≤所以 2822x y =⎧⎨=⎩，或2921x y =⎧⎨=⎩，或3020x y =⎧⎨=⎩所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节. 当3020x y =⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=（万元），此时运费较少. 3．2一元二次不等式及其解法 练习（P80） 1、（1）1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤； （2）R ； （3）{}2x x ≠； （4）12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （5）31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （6）54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或； （7）503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、（1）使2362y x x =-+的值等于0的x的集合是1⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭；使2362y x x =-+的值大于0的x的集合为11x x x ⎧⎪<>⎨⎪⎪⎩⎭或；使2362y x x =-+的值小于0的x的集合是11x x ⎧⎪<<+⎨⎪⎪⎩⎭.（2）使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-； 使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<； 使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或. （3）因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上，且与x 轴无交点 所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的小于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的大于0的集合为R. （4）使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2； 使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅；使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠. 习题3.2 A 组（P80）1、（1）35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （2）x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭；（3）{}2,5x x x <->或； （4）{}09x x <<.2、（1）解2490x x -+≥，因为200∆=-<，方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ，所以y R. （2）解2212180x x -+-≥，即2(3)0x -≤，所以3x =所以y {}3x x =3、{33m m m <-->-+或；4、R.5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒. 依题意，20122v t gt ->，即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2（精确到秒）答：能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒. 6、设每盏台灯售价x 元，则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤习题3.2 B 组（P81）1、（1）52x ⎧+⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭； （2）{}37x x <<； （3）∅； （4）113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 2、由22(1)40m m ∆=--<，整理，得23210m m +->，因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13，所以11m <-，或213m >，m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为3322x x x ⎧⎪<-<+⎨⎪⎪⎩⎭或.4、设风暴中心坐标为(,)a b ，则a =22450b +<，即150150b -<<151)13.72=≈（h ），3001520=.所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 练习（P86） 1、B . 2、D . 3、B .4解：设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张.对于A 类桌子，x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min 对于B 类桌子，y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ，所以有105450x y +≤. 类似地，612480x y +≤，69450x y +≤ 在实际问题中，0,0x y ≥≥；所以，题目中包含的限制条件为 1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习（P91）1、（1）目标函数为2z x y =+，可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩得(2,1)C -，所以，max 222(1)3z x y =+=⨯+-=.（2）目标函数为35z x y =+，可行域如图所示，作出直线35z x y =+ 可知，直线经过点B 时，Z 取得最大值. 直线经过点A 时，Z 取得最小值. 解方程组 153y x x y =+⎧⎨-=⎩，和15315y x x y =+⎧⎨+=⎩（第1题）可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-2、设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是 2400250000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥，作直线30002000z x y =+当直线经过点A 时，z 取得最大值. 解方程组 24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A ，z 的最大值为800000元. 习题3.3 A 组（P93）1、画图求解二元一次不等式：（1）2x y +≤； （2）22x y ->； （3）2y -≤； （4）3x ≥2、3（第2题）解：设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y目标函数为6020z x y =+，所以，题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4)，所以max 6020200z x y =+= 答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率. 4、设每周生产空调器x 台，彩电y 台，则生产冰箱120x y--台，产值为z . 则，目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++ 所以，题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即，312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图，解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(10,90)，所以max 2240350z x y =++=（千元）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.习题3.3 B 组（P93）1、画出二元一次不等式组 231223600x y x y x y +⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥，所表示的区域如右图2、画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的区域.3、设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z . 则乙粮库要向A 镇运送大米(70)x -吨、向B 镇运送大米(110)y -吨，目标函数（总运费）为122025101512(70)208(110)60z x y x y x y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++. 所以，题目中包含的限制条件为 100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y ==时，总运费最省 min 37100z =（元） 所以当0,100x y ==时，总运费最不合理 max 39200z =（元）使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.3．42a b+练习（P100）1、因为0x >，所以12x x +≥当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，所以当1x =时，即1x x+的值最小，最小值是2. 2、设两条直角边的长分别为,a b ，0,a >且0b >，因为直角三角形的面积等于50.即 1502ab =，所以20a b +==≥，当且仅当10a b ==时取等号.答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20.（第2题）3、设矩形的长与宽分别为a cm ，b cm. 0a >，0b > 因为周长等于20，所以10a b +=所以 2210()()2522a b S ab +===≤，当且仅当5a b ==时取等号.答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大.4、设底面的长与宽分别为a m ，b m. 0a >，0b >因为体积等于323m ，高2m ，所以底面积为162m ，即16ab =所以用纸面积是 222324()32323264S ab bc ac a b =++=+++=+=≥ 当且仅当4a b ==时取等号答：当底面的长与宽均为4米时，用纸最少. 习题3.4 A 组（P100） 1、（1）设两个正数为,a b ，则0,0a b >>，且36ab =所以 12a b +==≥，当且仅当6a b ==时取等号. 答：当这两个正数均为6时，它们的和最小.（2）设两个正数为,a b ，依题意0,0a b >>，且18a b +=所以2218()()8122a b ab +==≤，当且仅当9a b ==时取等号.答：当这两个正数均为9时，它们的积最大. 2、设矩形的长为x m ，宽为y m ，菜园的面积为S 2m . 则230x y +=，S x y =⨯由基本不等式与不等式的性质，可得211219002252()222242x y S x y +=⨯⨯=⨯=≤. 当2x y =，即1515,2x y ==时，菜园的面积最大，最大面积是22522m . 3、设矩形的长和宽分别为x 和y ，圆柱的侧面积为z ，因为2()36x y +=，即18x y +=. 所以222()1622x y z x y πππ+=⨯⨯⨯=≤， 当x y =时，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大.4、设房屋底面长为x m ，宽为y m ，总造价为z 元，则12xy =，12y x=123600312006800580048000012480058000z y x x x⨯=⨯+⨯+=+++=≥ 当且仅当1236004800x x⨯=时，即3x =时，z 有最小值，最低总造价为34600元. 习题3.4 B 组（P101）1、设矩形的长AB 为x ，由矩形()ABCD AB AD >的周长为24，可知，宽12AB x =-. 设PC a =，则DP x a =-所以 222(12)()x x a a -+-=，可得21272x x a x -+=，1272x DP x a x-=-=.所以ADP ∆的面积 211272187272(12)66[()18]2x x x S x x x x x--+-=-=⨯=⨯-++ 由基本不等式与不等式的性质6[18]6(18108S ⨯-=⨯-=-≤ 当72x x=，即x =m 时，ADP ∆的面积最大，最大面积是(108-2m . 2、过点C 作CD AB ⊥，交AB 延长线于点D .设BCD α∠=，ACB β∠=，CD x =.在BCD ∆中，tan b c x α-=. 在ACD ∆中，tan()a cxαβ-+= 则tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++⋅()()1a c b ca b x x a c b c a c b c x x x x----==----+⋅+))c =当且仅当()()a cbc x x--=，即x =tan β取得最大，从而视角也最大.第三章 复习参考题A 组（P103）1<2、化简得{}23A x x =-<<，{}4,2B x x x =<->或，所以{}23A B x x =<<3、当0k <时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，即二次函数2328y kx kx =+-在x 轴下方，234(2)()08k k ∆=--<，解之得：30k -<<.当0k >时，二次函数2328y kx kx =+-开口朝上一元二次不等式23208kx kx +-<不可能对一切实数x 都成立，所以，30k -<<. 4、不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域的整点坐标是(1,1)--.5、设每天派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，成本为z .所以 070494860360x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≤≤≤≥，目标函数为160252z x y =+把160252z x y =+变形为40163252y x z =-+，得到斜率为4063-，在y 轴上的截距为1252z ，随z 变化的一族平行直线. 在可行域的整点中，点(5,2)M 使得z 取得最小值. 所以每天派出A 型车5辆，B 型车2辆，成本最小，最低成本为1304元.6、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为 12S xy =扇形的周长为2Z x y =+≥ 当2x y =，即x =y =Z可以取得最小值，最小值为. 7、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为2P x y =+扇形的面积为221112(2)()244216x y P Z xy x y +===≤当2x y =，即4P x =，2P y =时，Z 可以取得最大值，半径为4P时扇形面积最大值为216P .8、设汽车的运输成本为y ， 2()s say bv a sbv v v=+⨯=+当sasbv v=时，即v =c 时，y 有最小值.2sa y sbv v =+=≥2c 时，由函数sa y sbv v =+的单调性可知，v c =时y 有最小值，最小值为sa sbc c+. 第三章 复习参考题B 组（P103）1、D2、（1）32264x x x x ⎧⎫<--<<>⎨⎬⎩⎭或或 （2）⎧⎨⎩3、1m =4、设生产裤子x 条，裙子y 条，收益为z .则目标函数为2040z x y =+，所以约束条件为 10210600x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥人教A 版高中数学课后习题解答答案11 5、因为22x y +是区域内的点到原点的距离的平方所以，当240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩ 即2,3A A x y ==时，22x y +的最大值为13. 当4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，22x y +最小，最小值是45. 6、按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p ，购n kg ，第二次购物时的价格为2p ，仍购n kg ，按这种策略购物时两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=. 若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1m p kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购2m p kg 物品，两次购物的平均价格为12122211m m m p p p p =++ 比较两次购物的平均价格：221212121212121212121222()4()011222()2()p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +++---=-==++++≥ 所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济. 一般地，如果是n 次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.。
河北省人教新课标A版高中数学必修5 第三章不等式 3.4基本不等式同步测试姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2017高一下·宿州期中) 在下列函数中，最小值为2的是（）A . y=2x+2﹣xB . y=sinx+ （0＜x＜）C . y=x+D . y=log3x+ （1＜x＜3）2. （2分）设等差数列的公差为d，若的方差为2，则d等于（）A . 1B . 2C . ±1D . ±23. （2分） (2019高二下·蕉岭月考) 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A .B .C .4. （2分） (2015高一下·湖州期中) 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A .B .C . 5D . 65. （2分） (2017高二下·平顶山期末) 已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞ }，则f（10x）＞0的解集为（）A . {x|x＜﹣1或x＞﹣lg2}B . {x|﹣1＜x＜﹣lg2}C . {x|x＞﹣lg2}D . {x|x＜﹣lg2}6. （2分） (2018高二上·玉溪期中) 已知m，n R，且m﹣2n+6=0，则的最小值为（）A .B . 4C .D . 37. （2分） (2017高一下·晋中期末) 若b＞a＞0，则的最小值为（）B . 3C .D . 28. （2分）已知等比数列中，公比，若，则的最值情况为（）A . 有最小值B . 有最大值C . 有最小值12D . 有最大值129. （2分）已知正数x,y满足，则的最小值为（）A . 8B . 4C . 2D . 010. （2分）(2020·普陀模拟) 若直线：经过第一象限内的点，则的最大值为（）A .B .C .D .11. （2分）若，则的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·温州期中) 设正实数a，b满足a+b=1，则（）A . 有最大值4B . 有最小值C . 有最大值D . a2+b2有最小值13. （2分） (2018高二上·泰安月考) 关于的不等式的解集是空集，则实数的范围为（）A .B .C .D .14. （2分）设a= ，c=x+y，若对任意正实数x，y都存在以a，b，c为三边的三角形，则实数p的取值范围是（）A . （1，3）B . （0，1）∪（3，+∞）C . （2，4）D . （2，3）15. （2分）已知，设函数的零点为m，的零点为，则的最大值为（）A . 8B . 4C . 2D . 1二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2016高二上·湖州期末) 已知x，y为正实数，且x+2y=1，则的最大值是________，的最小值是________．17. （1分） (2016高三上·江苏期中) 已知正数a，b满足 = ﹣5，则ab的最小值为________．18. （1分） (2018高一下·芜湖期末) 已知函数，，则的最小值是________．19. （1分） (2019高三上·嘉兴期末) 已知正实数，满足，则的最大值为________.20. （1分） (2018高一下·双鸭山期末) 已知，若恒成立，则实数的取值范围________；三、解答题 (共5题；共25分)21. （5分） (2019高二上·郑州期中) 在中，内角，，的对边分别是，，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）点满足，且线段，求的最大值.22. （5分） (2017高一上·定州期末) 2015年春，某地干旱少雨，农作物受灾严重，为了使今后保证农田灌溉，当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠（水渠的横断面如图所示），为减少水的流失量，必须减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面的面积设计为定值S，渠深为h，则水渠壁的倾斜角α（0＜α＜）为多大时，水渠中水的流失量最小？23. （5分） (2016高一下·霍邱期中) 解答（1）已知正数x，y满足x+2y=1，求 1 x + 1 y 的最小值（2）已知x＞1，求：y=x+最小值，并求相应的x值．24. （5分）如图，一矩形铁皮的长为8m，宽为3m，在四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V（单位：m3）是关于截去的小正方形的边长x（单位：m）的函数．（1）写出关于x（单位：m）的函数解析式；（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？25. （5分）解关于x的不等式 +1＜0（k≥1）．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共25分) 21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、第11 页共11 页。
