2017届人教A版 直线与圆锥曲线的位置关系 单元检测 无答案

直线与圆锥曲线的位置关系测试题与详解答案A 级——保大分专练1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截得的弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2yD ．x 2＝y解析：选 C 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标分别为(0,0)和(4p,8p )，则4p28p2＝4 5.∵p ＞0，∴p ＝1.故抛物线C 的方程为x 2＝2y .故选C.2．若直线x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y2＝5上，则m 的值为( )A ．± 2B ．±2C ．±1D ．± 3解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x －y ＋m ＝0，得x 2－2mx －m 2－2＝0(Δ＞0)，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m ，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，∴m 2＋(2m )2＝5，∴m ＝±1.3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：选B 因为直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，所以4m 2＋n2＞2，所以m 2＋n2＜4.所以m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2≤1，所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y24＝1的内部，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个．4．过点P (2,2)作直线与双曲线x 24－y 2＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线( )A ．存在一条，且方程为x －4y ＋6＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为x －4y ＋6＝0或x ＋4y －10＝0D ．不存在解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4，且有⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 21＝1，x224－y 22＝1，两式相减得x 1－x 2x 1＋x 24－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝14，即直线AB 的斜率k ＝14，故所求直线方程为y －2＝14(x －2)，即x －4y ＋6＝0.联立直线AB 和双曲线方程得，3y 2－12y ＋8＝0，Δ＝(－12)2－4×3×8＝48＞0，故该直线存在．5．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32B ．3C ．2 3D ．413x .解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝ ±设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选B.法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则 ∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －2y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3， 所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.6．若直线y ＝52x ＋b 和曲线4x 2－y 2＝36有两个不同的交点，则b 的取值范围是________．解析：联立直线方程和曲线方程，消去y 得，94x 2＋5bx ＋b 2＋36＝0，因为直线和曲线有两个不同的交点，所以Δ＝25b 2－9(b 2＋36)＞0，解得b ＜－92或b ＞92.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫92，＋∞7．经过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为π6的直线交C 于M ，N 两点，O 为坐标原点，若△OMN 的面积为94，则抛物线的方程为________．解析：法一：直线MN 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即y ＝33x －3p 6，代入y 2＝2px 整理得y 2－23py －p 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝23p ，y 1y 2＝－p 2，S △OMN ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12·|OF |y 1＋y 22－4y 1y 2＝12×p2×23p2－4p 2＝94，即p 2＝94，得p ＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .法二：直线MN 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即y ＝33x －3p 6，代入y 2＝2px 整理得13x 2－ 73px ＋112p 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝7p ，|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝7p ＋p ＝8p ，又原点O (0,0)到直线MN 的距离d ＝36p 23＝p 4，∴S △OMN ＝12|MN |d ＝12×8p ×p 4＝94，即p 2＝94，得p ＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .答案：y 2＝3x8．设直线l ：2x ＋y ＋2＝0关于原点对称的直线为l ′，若l ′与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A ，B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为12的点P 的个数为________．解析：易知直线l ′的方程为2x ＋y －2＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得交点分别为椭圆顶点(1,0)和(0,2)，则|AB |＝5，由△PAB 的面积为12，得点P 到直线AB 的距离为55，而平面上到直线2x ＋y －2＝0的距离为55的点都在直线2x ＋y －1＝0和2x ＋y －3＝0上，而直线2x ＋y －1＝0与椭圆相交，2x ＋y －3＝0与椭圆相离，∴满足题意的点P 有2个．答案：29．已知点A ，B 的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C ，D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．解：(1)设M (x ，y )，因为k AM ·k BM ＝－2， 所以y x ＋1·yx －1＝－2(x ≠±1)， 化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，即为动点M 的轨迹方程． (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．法一：当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，62，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－62，此时CD 的中点不是N ，不符合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，将C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)得⎩⎪⎨⎪⎧2x 21＋y 21＝2，2x 22＋y 22＝2，两式相减，整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2x 1＋x 2y 1＋y 2＝－2×2×122×1＝－1，∴直线l 的方程为y －1＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0.法二：当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，62，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－62，此时CD 的中点不是N ，不符合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，将其代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，化简得(2＋k 2)x 2＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 22－2＝0(x ≠±1)，所以Δ＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 22－4(2＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 22－2＞0，①则x 1＋x 2＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k22＋k2， 又由N 为线段CD 的中点，得x 1＋x 22＝－k ⎝⎛⎭⎪⎫1－k 22＋k 2＝12，解得k ＝－1，将k ＝－1代入①中可知满足条件．此时直线l 的方程为y －1＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0.10．(2019·合肥调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，左焦点为 F (－3，0)．(1)求椭圆E 的方程；(2)若A 是椭圆E 的右顶点，过点F 且斜率为12的直线交椭圆E 于M ，N 两点，求△AMN 的面积．解：(1)由题意得椭圆E 的右焦点为(3，0)，即c ＝3， 则由椭圆的定义得3＋32＋14＋12＝2a ，解得a ＝2. 又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)过F (－3，0)且斜率为12的直线的方程为y ＝12(x ＋3)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋3x24＋y 2＝1消去x ，得8y 2－43y －1＝0，显然Δ＞0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝32，y 1y 2＝－18，∴|y 1－y 2|＝52， ∵A 是椭圆E 的右顶点，∴|AF |＝2＋3，∴△AMN 的面积S ＝12|AF |·|y 1－y 2|＝12×(2＋3)×52＝25＋154.B 级——创高分自选1．(2019·南昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求证：点(m ，k )在定圆上．解：(1)由已知得e ＝c a ＝32，2b ＝2， 又a 2－b 2＝c 2，∴b ＝1，a ＝2， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0， 化简得m 2＜4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2， ∴(4k 2－5)·4m 2－14k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0， 化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54，∴点(m ，k )在定圆x 2＋y 2＝54上．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0,1)，离心率为32，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝2x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝20351，求直线l 的方程． 解：(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝32，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a＝2，b ＝1，c ＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题设知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝3， 所以圆心到直线l 的距离d ＝|m |5，由d ＜3得|m |＜15. 所以|CD |＝23－d 2＝2515－m 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得17x 2＋16mx ＋4m 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－16m 17，x 1x 2＝4m 2－417，所以|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝451717－m 2，由|AB ||CD |＝20351，得 17－m 215－m 2＝233， 解得m ＝±3，满足|m |＜15.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋3或y ＝2x －3.。

学年高中数学考点直线与圆锥曲线的位置关系含高考试题新人教A版 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】考点38直线与圆锥曲线的位置关系一、 选择题1.(2017·全国甲卷文·T12)过抛物线C:y 2=4x 的焦点F,的直线交C 于点M(M 在x 轴上方),l 为C 的准线,点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为 ( )【命题意图】抛物线的性质、直线与抛物线的关系以及点到直线的距离公式,意在考查学生的推理论证能力和运算求解能力.【解析】选C.方法一:由题意知与抛物线y 2=4x 联立得3x 2-10x+3=0,解得x 1=13,x 2=3,所以),因为MN ⊥l,所以N(-1,23),又F(1,0),所以NF:y=-3(x-1),即3x+y-3=0,所以M到直线NF的距离为()2233233=2331⨯+-+.方法二:由方法一知3则3()()22223-+设M到NF的距离为d,则S△MNF=12|NF|d=12|MN|·yM即4d=4×3故d=23.、二、填空题2.(2017·全国甲卷理科·T16).已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C 上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .【命题意图】本题考查抛物线的几何性质和两点间的距离公式.意在考查学生的数形结合的思想以及运算能力.【解析】设N(0,a),F(2,0),那么M 1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭,点M 在抛物线上,所以24a =8,解得a=±4,所以N(0,±),那么|FN|=答案:6 三、简答题3.(2017·全国乙卷理科·T20)已知椭圆C:22x a+22y b =1(a>b>0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,P 41,2⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程.(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点.【命题意图】主要考查椭圆的标准方程的求法,直线与圆锥曲线的位置关系问题,突出考查考生解决综合问题及运算能力. 【解析】(1)根据椭圆对称性,必过P 3,P 4,又P 4横坐标为1,椭圆必不过P 1,所以过P 2,P 3,P 4三点,将P 2()0.1,P 31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得22211,3141,b a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a 2=4,b 2=1.所以椭圆C 的方程为:24x +y 2=1.(2)①当斜率不存在时,设l:x=m,A (),A m y ,B (),A m y -,2P A k +2P B k =1A y m -+1A y m --=2m-=-1,得m=2,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.① 斜率存在时,设l:y=kx+n ()1n ≠,A ()11,x y ,B ()22,x y ,联立22440y kx nx y =+⎧⎨+-=⎩整理得()214k +x 2+8knx+4n 2-4=0,x 1+x 2=2814knk -+,x 1·x 2=224414n k -+,则2P A k +2P B k =121211y y x x --+=()()21212112x kx n x x kx n x x x +-++-=222228888144414kn k kn knk n k --++-+=()()()81411k n n n -+-=-1, 又n ≠1n=-2k-1,此时Δ=-64k,存在k 使得Δ>0成立, 所以直线l 的方程为y=kx-2k-1, 当x=2时,y=-1, 所以l 过定点()2,1-.【反思总结】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况.另外,在设直线方程之前,若题设中未告知斜率情况,则一定要讨论直线斜率不存在和存在的情况,接着通法是联立方程组,求判别式、根与系数的关系,根据题设关系进行化简.4.(2017·天津高考理科·T19)设椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为12.已知A 是抛物线y 2=2px(p>0)的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程.(2)设l 上两点P,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B(B 异于点A),直线BQ 与x 轴相交于点D.若△APD 求直线AP 的方程.【命题意图】本题考查圆锥曲线的定义、方程、几何性质以及直线与圆锥曲线综合问题,考查学生的应用能力和计算能力. 【解析】(1)设F 的坐标为(-c,0).依题意,c a= 12, P2=a,a-c=12,解得a=1,c=12,p=2,于是b 2=a 2-c 2=34.所以,椭圆的方程为x 2+243y =1,抛物线的方程为y 2=4x.(2)设直线AP 的方程为x=my+1(m ≠0),与直线l 的方程x=-1联立,可得点P 21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故Q 21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.将x=my+1与x 2+243y=1联立,消去x,整理得(3m 2+4)y 2+6my=0,解得y=0,或y=2634mm -+.由点B 异于点A,可得点B 222346,3434m m m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭.由Q 21,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,可得直线BQ 的方程为262,34mm m -⎛⎫- ⎪+⎝⎭(x+1)-22342134m y m m ⎛⎫-+⎛⎫+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=0,令y=0,解得x=222332m m -+,故D 2223,032m m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭,所以|AD|=1-222332m m -+=22632m m +.又因为△APD 的面积为故12×22632m m +×2m 整理得3m 2|m|+2=0,解得所以m=±3.所以,直线AP 的方程为y-3=0,或y-3=0.5.(2017·天津高考理科·T20)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为22 b.(1)求椭圆的离心率.(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=32c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.【命题意图】本题考查圆锥曲线的定义、方程、几何性质以及直线与圆锥曲线综合问题,考查学生的应用能力和计算能力.【解析】(1)设椭圆的离心率为e,由已知,可得12(c+a)c=22b.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=1 2 .所以,椭圆的离心率为1 2 .(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为1 m .由(1)知a=2c,可得直线AE 的方程为2x c +yc=1,即x+2y-2c=0,与直线FP 的方程联立,可解得x=()2m-2c m+2,y=32cm +,即点Q 的坐标为()223,22m c c m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭. 由已知|FQ|=32c ,有()2222m c c m -⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦+232c m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=232c ⎛⎫ ⎪⎝⎭,整理得3m 2-4m=0,所以m=43,即直线FP 的斜率为34.②由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为222243x y c c+=1.由①得直线FP 的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立22223430143x y c x y c c-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得7x 2+6cx-13c 2=0,解得x=-137c(舍去),或x=c.因此可得点P 3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭,进而可得=5c 2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=32c-32c=c.由已知,线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离,故直线PM 和QN 都垂直于直线FP.因为QN ⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan ∠QFN=32c ×34=98c,所以△FQN 的面积为12|FQ||QN|=22732c ,同理△FPM 的面积等于27532c ,由四边形PQNM 的面积为3c,得27532c -22732c =3c,整理得c 2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为2211612x y +=.6.(2017·全国甲卷文·T20)(12分)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C:22x +y 2=1上,过点M 作x 轴的垂线,垂足为N,点P 满足NP. (1)求点P 的轨迹方程.(2)设点Q 在直线x=-3上,且OP ·PQ =1.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.【命题意图】椭圆的几何性质、曲线与方程,向量的坐标运算以及直线方程.意在考查学生的数形结合能力和逻辑推理、运算能力. 【解析】(1)设P(x,y),M(x',y'),N(x',0),已知NP,即(0,y'),所以0x x y '-=⎧⎪⎨'=⎪⎩所以x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩因为M 在椭圆上,所以代入椭圆方程得x 2+y 2=2, 所以点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2.(2)设P(x 1,y 1),Q(-3,y 2),椭圆的左焦点为F(-1,0), OP =(x 1,y 1),PQ =(-3-x 1,y 2-y 1),OP ·PQ =x 1·(-3-x 1)+y 1(y 2-y 1)=1,即-3x 1-21x + y 1·y 2-21y =1,-3x 1+y 1·y 2-(21x +21y )=1,即-3x 1+y 1·y 2=3,①,故l OQ :y=-23y ·x.所以过P 与直线OQ 垂直的直线l 为:y-y 1=23y ·(x-x 1), 当x=-1时,y=y 1+23y (-1-x 1)=y 1+23y --123x y =y 1-123x y -23y =12123y y x y ⋅--23y ,将①代入得y=0, 所以过P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.。

第六节 直线与圆锥曲线的位置关系A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·四川，10)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) A.(1,3)B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)2.(2016·新课标全国Ⅱ，21)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积. (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.3.(2016·新课标全国Ⅲ，20)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.4.(2016·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.5.(2016·山东，21)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k ′k 为定值.②求直线AB 的斜率的最小值.6.(2016·四川，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.7.(2015·天津，19)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55.(1)求直线BF 的斜率；(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |. ①求λ的值；②若|PM |sin ∠BQP ＝759，求椭圆的方程.8.(2015·北京，20)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.9.(2015·江苏，18)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程.10.(2015·湖北，22)一种画椭圆的工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3，当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点.若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.11.(2015·山东，21) 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.12..(2015·湖南，20)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点.C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向. (1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率.13.(2014·山东，21)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105.(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点).点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2.证明：存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值； ②求△OMN 面积的最大值.14.(2014·江西，20)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点).(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值.15.(2014·北京，19)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点.若点A 在直线y ＝2上,点B 在椭圆C 上,且OA ⊥OB ,求线段AB 长度的最小值.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·东北四校联考)设P 是椭圆x 225+y 29＝1上一点,M ,N 分别是两圆：(x +4)2+y 2＝1和(x -4)2+y 2=1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A.9，12 B.8，11C.8，12 D.10，122.(2016·四川成都第二次诊断)已知抛物线y ＝x 2的焦点F ，过点(0，2)做直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点F 关于直线OA 的对称点为C ，则四边形OCAB 面积的最小值为( ) A.23B.3C.32D.33.(2016·山东东营第二次质量检测)已知抛物线y 2＝8x 的准线与双曲线x 2a 2－y 216＝1相交于A ，B两点，点F 为抛物线的焦点，△ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为( ) A.3 B.2C.6D. 34.(2016·湖北八校联考)点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( ) A.2B.3C.5D. 65.(2015·太原模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若|AB |＝|AF 2|，∠F 1AF 2＝90°，则双曲线的离心率为( ) A.6＋32 B.6＋3C.5＋222D.5＋2 2 6.(2015·马鞍山模拟)以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的中心O (坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线交于M 点(第一象限)，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，过点M 作x 轴垂线，垂足恰为OF 2的中点，则双曲线的离心率为( ) A.3－1 B.3C.3＋1 D.27.(2016·云南师大附中适应性月考)已知点P (x ，y )在椭圆x 264＋y 239＝1上，若定点A (5，0)，动点M 满足|AM →|＝1，且PM →²AM →＝0，则|PM →|的最小值是________.8.(2015·广西南宁三模)已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，以抛物线y 2＝16x 的焦点为其中一个焦点，以双曲线x 216－y 29＝1的焦点为顶点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若E ，F 是椭圆上关于原点对称的两点，则当直线PE ，PF 的斜率都存在，并记为k PE ，k PF 时，k PE ²k PF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.9.(2015·巴蜀中学一模)已知椭圆的焦点坐标是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过点F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|PQ |＝3. (1)求椭圆的方程；(2)过F 2的直线与椭圆交于不同的两点M ，N ，则△F 1MN 的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.解析设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1+y 2)(y 1-y 2)＝4(x 1-x 2)，当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当l 的斜率存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22²y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0²k ＝2，由CM ⊥AB 得k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0k ＝5－x 0，2＝5－x 0，∴x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，有－23＜y 0＜23，∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16， 又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4，故选D.答案D2.解(1)设M (x 1,y 1),则由题意知y 1>0,由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A (-2,0),因此直线AM 的方程为y =x +2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0,解得y ＝0或y ＝127,所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝2（3－4k 2）3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k 23k 2＋4.由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0， 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8,则k 是f (t )的零点,f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0,所以f (t )在(0,＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.3.(1)证明由题设F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解设过AB 的直线为l ,设l 与x 轴的交点为D (x 1,0),则S △ABF ＝12|b -a |·|FD |＝12|b -a |⎪⎪⎪⎪x 1－12,S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)， 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ).当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y .所以y 2＝x －1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1. 4.(1)解由椭圆过点A (2，0)，B (0，1)知a ＝2，b ＝1.所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1，又c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆离心率e ＝c a ＝32.(2)证明 设P 点坐标为(x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，由B 点坐标(0，1)得直线PB方程为：y －1＝y 0－1x 0(x －0)，令y ＝0，得x N ＝x 01－y 0，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，由A 点坐标(2，0)得直线P A 方程为y －0＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝2y 02－x 0，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，所以S 四边形ABNM ＝12|AN |²|BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2）＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.即四边形ABNM 的面积为定值2.5.(1)解设椭圆的半焦距为c .由题意知2a ＝4，2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0).由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m ). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k为定值－3.②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).直线P A 的方程为y ＝kx ＋m . 直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m .同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m .所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0，y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m ＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎫6k ＋1k ， 由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”.∵P (x 0，2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，∴x 0＝4－8m 2，故此时2m －m 4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意.所以直线AB 的斜率的最小值为62. 6.解(1)由已知，a ＝2b ，又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝⎛⎭⎫3，12，故34b 2＋14b 2＝1,解得b 2＝1.所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4m 2－4(2m 2－2)，由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2.所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎫－m ，m 2，直线OM 方程为y ＝－12x ， 由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝⎛⎭⎫－2，22，D ⎝⎛⎭⎫2，－22.所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2). 又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2). 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.7.解 (1)设F (-c ，0).由已知离心率c a ＝55及a 2＝b 2＋c 2,可得a ＝5c ,b ＝2c ,又因为B (0,b )，F (-c ,0)，故直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2cc ＝2.(2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M ).①由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c .将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，整理得3x 2＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c3.因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－12x ＋2c ,与椭圆方程联立,消去y ，整理得21x 2－40cx ＝0，解得x Q ＝40c21.又因为λ＝|PM ||MQ |，及x M ＝0，可得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝78.②由①有|PM ||MQ |＝78，所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝715，即|PQ |＝157|PM |.又因为|PM |sin ∠BQP ＝759，所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝157|PM |sin ∠BQP ＝553.又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－43c ，所以|BP |＝⎝⎛⎭⎫0＋5c 32＋⎝⎛⎭⎫2c ＋4c 32＝553c ，因此553c ＝553，得c ＝1.所以，椭圆方程为x 25＋y 24＝1.8.解 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2.所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63.(2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)， 直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)，令x ＝3，得M (3，2－y 1)， 所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1.(3)直线BM 与直线DE 平行，证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE ， 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2).令x ＝3，得点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k （x －1），得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k 2，直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2，因为k BM －1＝k （x 1－1）＋x 1－3－k （x 2－1）（x 1－2）－（3－x 2）（x 1－2）（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）[－x 1x 2＋2（x 1＋x 2）－3]（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3（3－x 2）（x 1－2）＝0，所以k BM ＝1＝k DE .所以BM ∥DE ， 综上可知，直线BM 与直线DE 平行. 9.解(1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意. 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.10.解 (1)因为|OM |≤|MN |＋|NO |＝3＋1＝4，当M ，N 在x 轴上时，等号成立； 同理|OM |≥|MN |－|NO |＝3－1＝2，当D ，O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立. 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216＋y 24＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12³4³4＝8.②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎫k ≠±12， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)2x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4.①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝⎛⎭⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|m |1＋k 2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ＝12|PQ |²d ＝12|m ||x P －x Q |＝12²|m |²⎪⎪⎪⎪2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2.②将①代入②得，S △OPQ ＝⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2＝8|4k 2＋1||4k 2－1|. 当k 2>14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋14k 2－1＝8⎝⎛⎭⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋11－4k 2＝8⎝⎛⎭⎫－1＋21－4k 2. 因0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝⎛⎭⎫－1＋21－4k 2≥8， 当且仅当k ＝0时取等号.所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合①②可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8. 11.解 (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1.又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0).因为x 204＋y 20＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. (ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，① 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m 21＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0＜t ≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23， 当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.12.解 (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.② 联立①，②得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4).因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4， 于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0. 而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2，⑤ 将④，⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4³649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162³9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16³9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.13.解 (1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2.将y ＝x 代入可得x ＝±5a 5，因此2³25a 5＝4105，可得a ＝2.因此b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1.所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1). 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1，0).可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此存在常数λ＝－12使得结论成立.②直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝⎛⎭⎫0，－34y 1.由①知M (3x 1，0)， 可得△OMN 的面积S ＝12³3|x 1|³34|y 1|＝98|x 1||y 1|.因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值98， 所以△OMN 面积的最大值为98.14.证明(1)依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2,代入x 2＝4y ,得x 2＝4(kx ＋2),即x 2－4kx －8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8，直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ；BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1.注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2，因此D 点在定直线y ＝－2(x ≠0)上.(2)依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0，由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2.故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2. 分别令y ＝2、y ＝－2得N 1、N 2的坐标为N 1⎝⎛⎭⎫2a ＋a ，2，N 2⎝⎛⎭⎫－2a ＋a ，－2， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝⎛⎭⎫2a －a 2＋42－⎝⎛⎭⎫2a ＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8. 15.解 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →²OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4， 所以|AB |2＝(x 0-t )2＋(y 0-2)2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 2+4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4). 因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8. 故线段AB 长度的最小值为2 2.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|P A |＋|PB |＝2a ＝10，连接P A ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|P A |＋|PB |－2R ＝8；连接P A ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|＋|PN |最大，最大值为|P A |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8，12.] 答案C2.解析不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<0<x 2)，即点A 在点B 左侧，当直线斜率不存在时，不满足题意，故可设直线方程为y ＝kx ＋2，联立抛物线方程可得x 2－kx －2＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2，y 1y 2＝4∴S OCAB ＝S △OAB ＋S △OF A ＝12×2×(x 2－x 1)＋12×14×(－x 1)＝x 2＋98(－x 1)≥298（－x 1x 2）＝3. 答案 D3.解析由题意知，抛物线的准线x ＝－2，△ABF 是等腰直角三角形，如图易知A (－2，4)，代入x 2a 2－y 216＝1，即得a ＝2，∴双曲线的离心率为e ＝c a ＝a 2＋16a ＝182＝3.答案 A4.解析不妨设点A 在第一象限，A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，C 2的渐近线为y ＝±b a x ，得b a ·p 2＝p ，即ba ＝c 2－a 2a ＝2，e ＝ 5. 答案C5.解析设|AF 1|＝x ，|AF 2|＝y ，则有y －x ＝2a ①，又因为∠F 1AF 2＝90°，所以x 2＋y 2＝4c 2 ②，F 2A ⊥BF 1，又因为|AB |＝|AF 2|＝y ，所以BF 2＝2y ，则|BF 1|－|BF 2|＝x ＋y －2y ＝2a ③，联立①②③得e 2＝c 2a 2＝33－22，所以e ＝6＋3，故选B.答案B6.解析过点M 作x 轴垂线，交x 轴于点A ，由|MF 2|2＝|F 2A |·|F 1F 2|得|MF 2|＝c ，由双曲线定义|MF 1|－|MF 2|＝2a ，得|MF 1|＝2a ＋c ，由|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，得c 2－2ac －2a 2＝0，即e 2－2e －2＝0，得e ＝3＋1. 答案C7.解析由|AM →|＝1可知点M 的轨迹为以点A 为圆心，1为半径的圆，过点P 作该圆的切线，则|P A |2＝|PM |2＋|AM |2，得|PM |2＝|P A |2－1，所以要使|PM →|的值最小，则要|P A →|的值最小，而|P A →|的最小值为a －c ＝3，此时|PM →|＝2 2. 答案2 28.解(1)由抛物线y 2＝16x 的焦点为(4，0)可得c ＝4.可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0).∵双曲线x 216－y 29＝1的焦点为(±5，0).∴由题意知a ＝5，b 2＝a 2－b 2＝25－16＝9.故椭圆标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)k PE ·k PF 为定值，该定值为－925.理由：E ，F 是椭圆上关于原点对称的两点.设E (m ，n )，则F (－m ，－n )，又设P 点坐标为(x ，y ).则m 225＋n 29＝1，x 225＋y 29＝1.两式相减可得x 2－m 225＋y 2－n 29＝0，即y 2－n 2x 2－m 2＝－925. (由题意知x 2－m 2≠0).又k PE ＝y －n x －m ，k PF ＝y ＋n x ＋m ，则k PE ·k PF ＝y 2－n 2x 2－m 2＝－925.∴k PE ·k PF 为定值，且为－925. 9.解(1)设椭圆的方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由交点的坐标得c ＝1,由|PQ |＝3,可得2b 2a ＝3,解得a ＝2,b ＝3,故椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，不妨设y 1＞0，y 2＞0， 设△F 1MN 的内切圆半径是R ，则△F 1MN 的周长是4a ＝8， S △F 1MN 最大，R 就最大， S △F 1MN ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝y 1－y 2，由题知，直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 解得y 1＝－3m －6m 2＋13m 2＋4，y 2＝－3m ＋6m 2＋13m 2＋4，则S △F 1MN ＝12m 2＋13m 2＋4，令t ＝m 2＋1，则t ≥1，则S △F 1MN ＝123t ＋1t ，令f (t )＝3t ＋1t ，f ′(t )＝3－1t2，当t ≥1时，f ′(t )≥0，f ′(t )在[1，＋∞)上单调递增，有f (t )≥f (1)＝4，S △F 1MN ≤124＝3，即当t ＝1，m ＝0时，S △F 1MN ≤124＝3，S △F 1MN ＝4R ，所以R max ＝34，此时所求内切圆面积的最大值是9π16，故直线l ：x ＝1，△F 1MN 内切圆的面积最大值是9π16.。

直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．若过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝( )A ．－2B ．－12 C ．－4D ．－116解析：由y ＝2x 2，得x 2＝12y .其焦点坐标为F (0，18)，取直线y ＝18，则其与y ＝2x 2交于A (－14，18)，B (14，18)，∴x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14·⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－116. 答案：D2．(2016·浙江舟山模拟)已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3解析：根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m >0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝22(m ＝－22舍)．答案：B3．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：①斜率不存在时，方程为x ＝1符合． ②设斜率为k ，y －1＝k (x －1)，kx －y －k ＋1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－y 2＝4，y ＝kx －k ＋1，(4－k 2)x 2＋(2k 2－2k )x －k 2＋2k －5＝0. 当4－k 2＝0，k ＝±2时符合；当4－k 2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条． 答案：A4．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A ．3 2 B ．2 3 C.303D.32 6解析：设y －1＝k (x －1)，∴y ＝kx ＋1－k . 代入椭圆方程，得x 2＋2(kx ＋1－k )2＝4. ∴(2k 2＋1)x 2＋4k (1－k )x ＋2(1－k )2－4＝0. 由x 1＋x 2＝4k (k －1)2k ＋1＝2，得k ＝－12，x 1x 2＝13.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4－43＝83.∴|AB |＝1＋14·263＝303.答案：C5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3D ．5解析：由题，易得抛物线的焦点为(3,0)，∴双曲线的右焦点为(3,0)，∴b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，∴双曲线的一条渐近线方程为y ＝52x ，即5x －2y ＝0，∴所求距离为d ＝|35|5＋4＝ 5.答案：A6．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线联立方程组，整理，得ky 2－8y ＋16k 2＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点，当k ≠0时，由Δ＝64－64k 2≥0，解得－1≤k ≤1且k ≠0，综上－1≤k ≤1.答案：C7．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,12解析：如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|P A |＋|PB |＝2a ＝10，连接P A ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|P A |＋|PB |－2R ＝8；连接P A ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|P A |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8,12.答案：C8．(2016·河南洛阳统考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，斜率为1的直线过双曲线C 的左焦点且与该双曲线交于A ，B 两点，若OA→＋OB →与向量n ＝(－3，－1)共线，则双曲线C 的离心率为( ) A. 3 B.233 C.43D ．3解析：由题意得直线方程为y ＝x ＋c ，代入双曲线的方程并整理可得(b 2－a 2)x 2－2a 2cx －a 2c 2－a 2b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2c b 2－a 2，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2c ＝2b 2c b 2－a2，∴OA →＋OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c b 2－a2，2b 2c b 2－a 2，又∵OA →＋OB →与向量n ＝(－3，－1)共线，∴2a 2c b 2－a 2＝3·2b 2c b 2－a2，∴a 2＝3b 2，又c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝233.故选B.答案：B9．已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A.2613B.22613C.21313D.41313解析：由题意可知，c ＝2，由e ＝c a ＝2a .可知e 最大时需a 最小．由椭圆的定义|P A |＋|PB |＝2a ，即使得|P A |＋|PB |最小，设A (－2,0)关于直线y ＝x ＋3的对称点D (x ，y )，由⎩⎨⎧y －0x ＋2·1＝－1，0＋y 2＝－2＋x2＋3，可知D (－3,1)．所以|P A |＋|PB |＝|PD |＋|PB |≥|DB |＝12＋52＝26，即2a ≥26. 所以a ≥262，则e ＝c a ≤2262＝22613.故选B.答案：B10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在该双曲线的右支上，且|PF 1|＋|PF 2|＝10a ，PF 1→·PF 2→＝－6a 2，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4 C. 2D. 6解析：由双曲线的定义及已知可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝10a ，即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ，则cos ∠F 1PF 2＝PF 1→·PF 2→|PF 1→|·|PF 2→|＝－6a 26a ·4a ＝－14，设双曲线的焦距为2c (c >0)，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×(－14)，所以c 2＝16a 2，故双曲线的离心率为c a ＝4.故选B.答案：B 二、填空题11．设过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 的中点为P ，O 为坐标原点，则OP →·PF→的取值范围为________． 解析：椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点为F (1,0)，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1中，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，所以x 0＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k 1＋2k2，OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋2k 2，k 1＋2k 2，所以OP →·PF →＝2k 2(1＋2k 2)2－k 2(1＋2k 2)2＝k 2(1＋2k 2)2＝k 21＋4k 2＋4k4，当k ＝0时，OP →·PF →＝0，当k ≠0时，OP →·PF →＝k 21＋4k 2＋4k4＝14＋1k 2＋4k 2≤18，当且仅当k 2＝12时等号成立，且OP →·PF→>0.当直线AB 的斜率不存在时，F 与P 重合，所以OP →·PF →＝0. 综上，OP →·PF →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，18. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1812．已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，在抛物线AOB 这段曲线上有一点P ，则△APB 的面积的最大值为________．解析：由弦长公式知|AB |＝35，只需点P 到直线AB 距离最大就可保证△APB 的面积最大．设与l 平行的直线y ＝2x ＋b 与抛物线相切，解得b ＝12. ∴d ＝9510，∴(S △APB )max ＝12×35×9510＝274. 答案：27413．(2016·河南郑州质检)已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________．解析：∵椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1，∴a 21＝m ＋2，b 21＝－n ，c 21＝m ＋2＋n ，e 21＝m ＋2＋n m ＋2＝1＋n m ＋2.∵双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1，∴a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n .由题意可得m ＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1，∴e 21＝1－1m ＋2.由m >0，得m ＋2>2. ∴0<1m ＋2<12，－1m ＋2>－12，∴1－1m ＋2>12，即e 21>12. 而0<e 1<1，∴22<e 1<1. 答案：22<e 1<114．设P 为直线l ：x ＋y ＝4上任意一点，椭圆x 212＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，则l 与椭圆的位置关系是______，|PF 1|＋|PF 2|的最小值是________．解析：把x ＝4－y 代入椭圆方程并整理，得y 2－2y ＋1＝0，它有两个相等的根，∴l 与椭圆相切．如图，连接PF 1，与椭圆交于Q (由于P 在椭圆外，则Q 在P ，F 1之间)，连接QF 2，则|PF 1|＋|PF 2|＝|QF 1|＋|PQ |＋|PF 2|≥|QF 1|＋|QF 2|＝2a ＝43，当且仅当Q 在线段PF 2上，即P 在椭圆上时取等号，∴|PF 1|＋|PF 2|的最小值是4 3. 答案：相切 4 3 三、解答题15．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O ，F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程； (2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．解：(1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)． ∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上． 设M (－12，t )，则圆半径r ＝|(－12)－(－2)|＝32. 由|OM |＝r ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2.∴所求圆的方程为(x ＋12)2＋(y ±2)2＝94. (2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 代入x 22＋y 2＝1.整理，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根，如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)．则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1.∴AB 的垂直平分线NG 的方程为 y －y 0＝－1k (x －x 0)，令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2.∵k ≠0，∴－12<x G <0.∴点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 16．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6＋4 2.(1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值．解：(1)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6＋42，所以2a ＋2c ＝6＋42，又椭圆的离心率为223，即c a ＝223，所以c ＝223a ，所以a ＝3，c ＝22，故b 2＝a 2－c 2＝1. 椭圆M 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)方法1：不妨设直线BC 的方程为y ＝n (x －3)，(n >0)． 则直线AC 的方程为y ＝－1n (x －3)．由⎩⎨⎧ y ＝n (x －3)，x 29＋y 2＝1，得(19＋n 2)x 2－6n 2x ＋9n 2－1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为3x 2＝81n 2－99n 2＋1，所以x 2＝27n 2－39n 2＋1. 同理可得x 1＝27－3n 29＋n 2. 所以|BC |＝1＋n 269n 2＋1，|AC |＝1＋n 2n 6n 29＋n 2， S △ABC ＝12|BC ||AC |＝2(n ＋1n )(n ＋1n )2＋649.设t ＝n ＋1n ≥2，则S ＝2t t 2＋649＝2t ＋649t≤38，当且仅当t ＝83时取等号．所以△ABC 面积的最大值为38.方法2：不妨设直线AB 的方程x ＝ky ＋m (m ≠3)． 由⎩⎨⎧ x ＝ky ＋m ，x 29＋y 2＝1，消去x ，得(k 2＋9)y 2＋2kmy ＋m 2－9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－2km k 2＋9，y 1y 2＝m 2－9k 2＋9.① 因为以AB 为直径的圆过点C (3,0)，所以CA →·CB→＝0. 由CA →＝(x 1－3，y 1)，CB →＝(x 2－3，y 2)， 得(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝0.将x 1＝ky 1＋m ，x 2＝ky 2＋m 代入上式． 得(k 2＋1)y 1y 2＋k (m －3)(y 1＋y 2)＋(m －3)2＝0. 将①代入上式，解得m ＝125或m ＝3(舍)．所以m ＝125(此时直线AB 经过定点D (125，0)，与椭圆有两个交点)，所以S △ABC ＝12|DC ||y 1－y 2|＝12×35(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝9525(k 2＋9)－14425(k 2＋9)2. 设t ＝1k 2＋9，0<t ≤19，则S △ABC ＝95－14425·t 2＋t .所以当t ＝25288∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19时，S △ABC 取得最大值38.。

第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系[学生用书P180])1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋1k2|y 1－y 2| ＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.1．辨明两个易误点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．2．“点差法”求解弦中点问题的步骤 设点—设出弦的两端点坐标 ↓代入—代入圆锥曲线方程 ↓作差—两式相减，再用平方差公式把上式展开 ↓整理—转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解1．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于( ) A.12 B ．13C.14D ．4C [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x ＋1＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a ＝0，解得a ＝14.2．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k ＞－baB ．k ＜baC ．k ＞b a 或k ＜－b aD ．－b a ＜k ＜baD [解析] 由双曲线渐近线的几何意义知 －b a ＜k ＜ba.3．过点⎝⎛⎭⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( )A ．－12B ．－14C ．－4D ．无法确定B [解析] 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx －12，代入抛物线方程得2x 2＋2kx －1＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－12， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 1－12⎝⎛⎭⎫kx 2－12＝(k 2＋1)·x 1x 2－12k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋1)－12k ·(－k )＋14＝－14.故选B ．4．过点A (1，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线y 2＝2x 交于M 、N 两点，则|MN |＝________．[解析] 过A (1，0)且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －1，代入y 2＝2x 得x 2－4x ＋1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·16－4＝2 6. [答案] 2 65．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条．[解析] 结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．[答案] 3直线与圆锥曲线的位置关系[学生用书P181][典例引领]在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．【解】 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)， 所以c ＝1.将点P (0，1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b ＝1， 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点．[解] 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组错误!将①代入②， 整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．弦长问题[学生用书P181][典例引领](2017·宜春中学与新余一中联考)设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋1交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△P AB 的面积．【解】 (1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22，由2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22x －3＝0，且⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－22x 1x 2＝－34，所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝3·12＋3＝422.又P 到直线AB 的距离为d ＝13，所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝12·422·13＝144.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．[注意] 两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．(2017·石家庄模拟)已知以A 为圆心的圆(x －2)2＋y 2＝64上有一个动点M ，B (－2，0)，线段BM 的垂直平分线交AM 于点P ，点P 的轨迹为Z .(1)求轨迹Z 的方程；(2)过A 点作两条相互垂直的直线l 1，l 2分别交曲线Z 于D ，E ，F ，G 四个点，求|DE |＋|FG |的取值范围．[解] (1)连接PB ，依题意得|PB |＝|PM |，所以|PB |＋|P A |＝|AM |＝8， 所以点P 的轨迹Z 是以A ，B 为焦点，4为长半轴长的椭圆， 所以a ＝4，c ＝2，则b ＝2 3. 所以轨迹Z 的方程是x 216＋y 212＝1.(2)当直线l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，|DE |＋|FG |＝6＋8＝14；当直线l 1的斜率存在且不为0时，设直线l 1的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 216＋y212＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－48＝0， 所以x 1＋x 2＝16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，所以|DE |＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2 ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝24（1＋k 2）3＋4k 2，同理可得|FG |＝24（1＋k 2）4＋3k 2，所以|DE |＋|FG |＝168（k 2＋1）2（4＋3k 2）（3＋4k 2），设t ＝k 2＋1，则t >1， 所以|DE |＋|FG |＝16812＋t －1t2，当t >1时，易证y ＝t －1t 2在(1，2)上递增，在(2，＋∞)上递减，所以0<y ≤14，所以|DE |＋|FG |的取值范围是⎣⎡⎭⎫967，14. 综上，|DE |＋|FG |的取值范围是⎣⎡⎦⎤967，14.中点弦问题[学生用书P182][典例引领](2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．【解】 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：法一：设直线l ：y ＝kx ＋b 1(k ≠0，b 1≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 1代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kb 1x ＋2b 21－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 12k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b 1＝b 12k 2＋1.于是直线OM 的斜率k O M ＝y M x M ＝－12k ，即k O M ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则x 218＋y 214＝1，① x 228＋y 224＝1，② ①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）8＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－12.又y 1＋y 2＝2y 0，x 1＋x 2＝2x 0，所以2y 02x 0·k AB ＝－12.即k OM ·k AB ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值－12.在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.求M 的方程．[解] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2（x 2＋x 1）a 2（y 2＋y 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.[学生用书P370(独立成册)]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)C [解析] 因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，则由题意得ba>2，所以e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋4＝ 5.2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8C [解析] 因为y 2＝4x ，所以F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3，23)，所以AK ＝4，所以S △AKF ＝12×4×23＝4 3.3．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条B [解析] 若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k (x －12)，代入抛物线y 2＝2x 得，k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，因为A 、B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝±2.所以这样的直线有两条．4．(2017·河南重点中学联考)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3；④y ＝－2x ＋3. A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条C [解析] 直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.5．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13B [解析] 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，所以OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.6．(2017·江西五市八校二模)已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327A [解析] 由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有ax 21＋by 21＝0①，ax 22＋by 22＝0②，由①－②得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22)．即a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)，由题意可知x 1≠x 2，且x 1＋x 2≠0，所以y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－a b ，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，所以－32×(－1)＝－a b ，所以a b ＝－32，故选A.7．(2017·广州市高考模拟)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足AF →＝2FB →，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________．[解析] 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为AF →＝2FB →，所以1－x A ＝2(x B －1)，又x A x B ＝1，所以x A ＝2，x B ＝12，弦AB 的中点到抛物线准线的距离为x A ＋x B 2＋1＝2＋122＋1＝94.[答案] 948．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．[解析] c ＝5，设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y ＝43(x －5)，即4x －3y －20＝0，联立直线与双曲线方程，求得y B ＝－3215，则S ＝12×(5－3)×3215＝3215. [答案] 32159．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于________． [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由直线l 的倾斜角为60°，则直线l 的方程为y －0＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2， 即y ＝3x －32p ，联立抛物线方程， 消去y 并整理，得12x 2－20px ＋3p 2＝0，则x 1＝32p ，x 2＝16p ， 则|AF ||BF |＝32p ＋12p 12p ＋16p ＝3. [答案] 310．(2017·辽宁沈阳二中模拟)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．[解析] 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)． 由方程组错误!消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0. 则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝ （1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553. [答案] 55311．已知点Q 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)上异于坐标原点O 的点，过点Q 与抛物线C 2：y ＝2x 2相切的两条直线分别交抛物线C 1于点A ，B ．若点Q 的坐标为(1，－6)，求直线AB的方程及弦AB 的长．[解] 由Q (1，－6)在抛物线y 2＝2px 上，可得p ＝18，所以抛物线C 1的方程为y 2＝36x .设抛物线C 2的切线方程为y ＋6＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝k （x －1），y ＝2x 2，消去y ，得2x 2－kx ＋k ＋6＝0， Δ＝k 2－8k －48.由于直线与抛物线C 2相切，故Δ＝0，解得k ＝－4或k ＝12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝－4（x －1），y 2＝36x ，得A ⎝⎛⎭⎫14，－3； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝12（x －1），y 2＝36x ，得B ⎝⎛⎭⎫94，9. 所以直线AB 的方程为12x －2y －9＝0，弦AB 的长为237.12．已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2，1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程．[解] (1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，焦半距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3， 两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为M (2，1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6.故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)，即6x －y －11＝0.13．(2017·河北唐山统考)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，则直线AD 的斜率k 2＝( )A.12B ．－12C ．－14D ．－2B [解析] 设AB 的中点为G ，则由椭圆的对称性知，O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO ∥AD ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有错误!两式相减得错误!＝－错误!，整理得x 1＋x 22（y 1＋y 2）＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12.又G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12，即k 2＝－12，故选B ． 14．(2017·湖南四地联考)若抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m对称，且x 1x 2＝－12，则实数m 的值为________． [解析] 由题意可设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝2x 2得2x 2＋x －b ＝0，所以x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－b 2＝－12， 所以b ＝1，即直线AB 的方程为y ＝－x ＋1.设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，代入y 0＝－x 0＋1， 得y 0＝54，则M ⎝⎛⎭⎫－14，54， 又M ⎝⎛⎭⎫－14，54在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m .所以m ＝32. [答案] 3215．(2017·北京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4，0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求OA →·OB →的取值范围．[解] (1)由题意知e ＝c a ＝12， 所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14， 所以a 2＝43b 2. 因为双曲线y 22－x 2＝1的焦点坐标为(0，±3)， 所以b ＝3，所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线l 的倾斜角为0°时，不妨令A (－2，0)，B (2，0)，则OA →·OB →＝－4，当直线l 的倾斜角不为0°时，设其方程为x ＝my ＋4，由错误!⇒(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0，由Δ>0⇒(24m )2－4×(3m 2＋4)×36>0⇒m 2>4，设A (my 1＋4，y 1)，B (my 2＋4，y 2)．因为y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4， 所以OA →·OB →＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＋y 1y 2＝1163m 2＋4－4， 因为m 2>4，所以OA →·OB →∈⎝⎛⎭⎫－4，134. 综上所述，OA →·OB →的取值范围为⎣⎡⎭⎫－4，134. 16．(2017·赣南五校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x ＋y ＋1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上一点，若过点M (2，0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，满足OS →＋OT →＝t OP →(O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围．[解] (1)由题意知，以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|c ＋1|2＝a ，(*) 因为椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， 所以b ＝c ，a ＝2b ＝2c ，代入(*)式得b ＝c ＝1，所以a ＝2b ＝2，故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，将直线l 的方程代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，所以Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝－16k 2＋8>0，所以k 2<12. 设P (x 0，y 0)，S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2， 对于OS →＋OT →＝t OP →，当t ＝0时，直线l 为x 轴，P 点在椭圆上任意位置均适合题意．当t ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧tx 0＝x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，ty 0＝y 1＋y 2＝k （x 1＋x 2－4）＝－4k 1＋2k 2， 所以x 0＝1t ·8k 21＋2k 2，y 0＝1t ·－4k 1＋2k 2. 因为点P 在椭圆上，所以32k 4t 2（1＋2k 2）2＋16k 2t 2（1＋2k 2）2＝1， 整理得t 2＝16k 21＋2k 2，由k 2<12知，0<t 2<4， 所以t ∈(－2，0)∪(0，2)．综上可得t ∈(－2，2)．。

直线与圆锥曲线综合（一）（人教A版）一、单选题(共8道，每道12分)1.直线与曲线()的公共点的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题2.已知抛物线的方程为,过点和点的直线与抛物线没有公共点,则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题3.若直线与圆没有公共点,则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数是( )A.0B.1C.2D.1或2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题4.过抛物线的焦点的弦两端点的横坐标分别是,若,则的长为( )A.20B.24C.16D.18答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题5.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题6.过抛物线的焦点作直线l交抛物线于两点,若线段的中点的横坐标为4,则等于( )A.14B.12C.10D.8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题7.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点,则等于( )A.3B.4C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题8.若椭圆上有两点关于直线对称,则的中点的坐标是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题。

因为以AB为直径的圆恰过坐标原点，故所以0⋅=，OA OB212高考数学（文科）专题练习直线与圆锥曲线的位置关系解析1．解析：直线y=kx-k+1，即y-1=k(x-1)，恒过点A(1，1)．因为+<1，所以点A在椭圆内，故直线与椭圆相交，选A．2．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+p=4，又p=1，所以x1+x2=3，所以点C的横坐标是=．3．解析：由解得A(，)，B(-，-)．故|AB|=|-(-)|=．而F(，0)，点F到直线y=x的距离d==．故△FAB的面积S=|AB|×d=××=．故选B．4．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y=-(x-)，与抛物线方程联立，消去y整理得x2-3px+=0，可得x1+x2=3p．根据中点坐标公式，有=3，p=2，因此抛物线的准线方程为x=-1．故选C．5．解析：设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=8，y1+y2=4，两式相减，得+=0，所以=-，所以k==-．故选B．6．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A，B作直线x=-2的垂线，垂足分别为D，E．因为|PA|=|AB|，所以又得x1=，则点A到抛物线C的焦点的距离为1+=．选A．7．解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4，由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|，所以|FA|+|FB|=4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：+=1(y≠0)8．解析：设A(x A，y A)，B(x B，y B)，因为y2=4x，所以抛物线的准线为x=-1，F(1，0)，又A到抛物线准线的距离为4，所以x A+1=4，所以x A=3，因为xAxB==1，所以xB=，所以|AB|=xA+xB+p=3++2=．答案：9．解：(1)由直线l1的方程知，直线l1与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为，短轴端点到直线l1的距离为，求得a=2，b=1．所以C1的标准方程为+y2=1．(2)依题意设直线l：y=x+t(t≠0)由得5x2+8tx+4t2-4=0，判别式Δ=64t2-16×5(t2-1)>0解得-<t<，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则故y1y2=(x1+t)(x2+t)=x1x2+(x1+x2)t+t2=．因为以AB为直径的圆恰过坐标原点，故OA⊥OB，所以·=0，即x1x2+y1y2=+=0，解得t=±，满足-<t<且t≠0，故所求直线l的方程为y=x+或y=x-．【能力提升】10．解析：因为△ABF2的内切圆周长为π，所以△ABF2的内切圆的半径为，所以△ABF2的面积为×4×5×=5，又因为△ABF2的面积为|y2-y1|×|F1F2|=3|y2-y1|，所以3|y2-y1|=5，所以|y2-y1|=，故选D．11．解析：圆心O到直线l的距离d==3，所以|AB|=2=2，由题知直线l的倾斜角为30°，所以|CD|===4．答案：412．略13．略14．略。

§10。

4 直线与圆锥曲线的位置关系考点 直线与圆锥曲线的位置关系8。

（2014辽宁,10,5分）已知点A(-2,3）在抛物线C ：y 2=2px 的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B,记C 的焦点为F,则直线BF 的斜率为( ）A.12 B 。

23 C 。

34 D 。

43答案 D 易知p=4，直线AB 的斜率存在，抛物线方程为y 2=8x,与直线AB 的方程y-3=k(x+2)联立，消去x 整理得ky 2-8y+16k+24=0,由题意知Δ=64—4k （16k+24）=0,解得k=—2或k=12。

因为直线与抛物线相切于第一象限,故舍去k=—2，故k=12,可得B(8,8),又F （2,0）,故k BF =8-08-2=43,故选D.9。

（2013浙江,15,4分）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点,过点P （-1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点。

若|FQ ｜=2，则直线l 的斜率等于 。

答案 ±1解析 设直线AB 方程为x=my-1,A （x 1，y 1),B(x 2,y 2），联立直线和抛物线方程，整理得，y 2-4my+4=0，由根与系数关系得y 1+y 2=4m ，y 1·y 2=4。

故Q(2m 2-1，2m ）.由｜FQ ｜=2知：√(2m)2+(2m 2-1-1)2=2,解得m 2=1或m 2=0(舍去),故直线l 的斜率等于±1(此时直线AB 与抛物线相切,为满足题意的极限情况）。

10。

(2012浙江，16，4分）定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线C 1:y=x 2+a 到直线l ：y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+（y+4）2=2到直线l ：y=x 的距离，则实数a= 。

答案94解析 曲线C 2到l 的距离d 等于圆心到直线的距离减去半径，即d=|4|√2-√2=√2,所以曲线C 1到l 的距离为√2，而C 1到l 的距离为与l 平行的直线l’与C 1相切时两直线间的距离。

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．(×)(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．(×)(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．(√)(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．(√)。

章末复习一、圆锥曲线的定义及标准方程 1．求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系,只需把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型,可设出方程形式,再根据条件确定待定的系数． 2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．例1 (1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|,则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对答案 C解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点,直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．(2)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ,设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时,动点M 满足PD →＝2MD →,动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程．解 方法一 由PD →＝2MD →,知点M 为线段PD 的中点,设点M 的坐标为(x ,y ),则点P 的坐标为(x ,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 2＋(2y )2＝4,所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.方法二 设点M 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标是(x 0,y 0), 由PD →＝2MD →,得x 0＝x ,y 0＝2y , 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 20＋y 20＝4,(*)把x 0＝x ,y 0＝2y 代入(*)式,得x 2＋4y 2＝4, 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决．跟踪训练1 (1)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为________． 答案 x 2－y 23＝1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3,因此双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点,F 是抛物线的焦点,点M 的坐标是(2,3),求|PM |＋|PF |的最小值,并求出此时点P 的坐标．解 抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2,那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离,过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2,垂足为D ,那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示,根据平面几何知识,当M ,P ,D 三点共线时,|PM |＋|PF |的值最小, 且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4, 所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3,所以其横坐标为98,即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3. 二、圆锥曲线的几何性质1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质,其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点． (2)已知圆锥曲线的性质求其方程,基本方法是待定系数法,其步骤可以概括为“先定位、后定量”．2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．例2 (1)如图,F 1,F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4,|F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形, 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12,所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4, 所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8, 所以|AF 2|－|AF 1|＝22,因此对于双曲线有a ＝2,c ＝3, 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.(2)已知a >b >0,椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1,双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1,C 1与C 2的离心率之积为32,则C 2的渐近线方程为________． 答案 x ±2y ＝0解析 设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2,则e 1＝a 2－b 2a ,e 2＝a 2＋b 2a.因为e 1·e 2＝32,所以a 4－b 4a 2＝32,即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14,所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x , 即x ±2y ＝0.反思感悟 求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观．跟踪训练2 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ,A ,B 分别是长轴、短轴的一个端点,O 为原点,若△ABO 的面积是3c 2,则此椭圆的离心率是( ) A.12 B.32 C.22 D.33 答案 A解析 12ab ＝3c 2,即a 2(a 2－c 2)＝12c 4,所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0,所以a 2＝4c 2,a ＝2c ,故e ＝c a ＝12.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的焦距为2c ,右顶点为A ,抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ,且|FA |＝c ,则双曲线的渐近线方程为_________．答案 x ±y ＝0 解析 c 2＝a 2＋b 2,①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知, 双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫c ，－p 2,即c 2a 2－p 24b2＝1.② 由|FA |＝c ,得c 2＝a 2＋p 24,③由①③得p 2＝4b 2.④将④代入②,得c 2a 2＝2.∴a 2＋b 2a 2＝2,即ba＝1,故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ,即x ±y ＝0. 三、直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式．2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养．例 3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0,3),离心率为12,左、右焦点分别为F 1(－c ,0),F 2(c ,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两点,且满足|AB ||CD |＝534,求直线l 的方程． 解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2,b ＝3,c ＝1, ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知,以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1,∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5, 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0,由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ,x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4m 2－3]＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534,得 4－m25－4m2＝1, 解得m ＝±33,满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.反思感悟 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断． (2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．跟踪训练3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0),其焦点为F 1,F 2,离心率为22,直线l ：x ＋2y－2＝0与x 轴,y 轴分别交于点A ,B .(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点,求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,求a 的取值范围． 解 (1)由椭圆的离心率为22,得a ＝2c , 由A (2,0),得a ＝2, ∴c ＝2,b ＝2, ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22,设椭圆方程为x 2a 2＋2y2a2＝1,联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0,若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,则线段AB 与椭圆E 有公共点,等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解． 设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4, 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤233，2. 四、圆锥曲线的综合问题1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题,解决的基本思路是利用代数法,通过直线与圆锥曲线的方程求解．2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．例4 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)经过点P (2,2),A ,B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点,其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程； (2)若OA ⊥OB ,求△AOB 面积的最小值．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (2,2)知4p ＝4,解得p ＝1. 则抛物线C 的方程为y 2＝2x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,准线方程为x ＝－12.(2)由题意知,直线AB 不与y 轴垂直,设直线AB ：x ＝ty ＋a ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝2x ，消去x ,得y 2－2ty －2a ＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝2t ,y 1y 2＝－2a . 因为OA ⊥OB ,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0,即y 21y 224＋y 1y 2＝0,解得y 1y 2＝0(舍去)或y 1y 2＝－4. 所以－2a ＝－4,解得a ＝2.所以直线AB ：x ＝ty ＋2. 所以直线AB 过定点(2,0)．S △AOB ＝12×2×||y 1－y 2＝y 21＋y 22－2y 1y 2＝y 21＋y 22＋8≥2||y 1y 2＋8＝4. 当且仅当y 1＝2,y 2＝－2或y 1＝－2,y 2＝2时,等号成立． 所以△AOB 面积的最小值为4.反思感悟 (1)解决最值问题常见的题型,可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手,利用直线系或曲线系方程或函数方程思想,通过联想与类比,使问题获解．跟踪训练4 已知动圆P 与圆O 1：x 2－x ＋y 2＝0内切,且与直线x ＝－1相切,设动圆圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上一点M (2,y 0)(y 0>0)作两条直线l 1,l 2与曲线C 分别交于不同的两点A ,B ,若直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,且k 1k 2＝1.证明：直线AB 过定点．(1)解 由题意可知,动圆圆心P 到点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与到直线x ＝－12的距离相等,所以点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点,直线x ＝－12为准线的抛物线,所以曲线C 的方程为y 2＝2x .(2)证明 易知M (2,2),设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为x ＝my ＋b ,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，得y 2－2my －2b ＝0,所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m 2＋2b ，x 1x 2＝b 2，因为k 1k 2＝y 1－2x 1－2·y 2－2x 2－2＝1, 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2), 所以b 2－2b －4m 2＋4m ＝0, 所以(b －1)2＝(2m －1)2, 所以b ＝2m 或b ＝－2m ＋2.当b ＝－2m ＋2时,直线AB 的方程为x ＝my －2m ＋2过定点(2,2)与M 重合,舍去； 当b ＝2m 时,直线AB 的方程为x ＝my ＋2m 过定点(0,－2),所以直线AB 过定点(0,－2)．1．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( ) A ．2sin 40° B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°答案 D解析 由题意可得－b a＝tan 130°, 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130° ＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos 130°|＝1cos 50°.2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点,则p 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．8 答案 D解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0,椭圆的焦点坐标为(±2p ,0), 所以p2＝2p ,解得p ＝8,故选D.3．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |,|AB |＝|BF 1|,则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0),连接F 1A ,令|F 2B |＝m ,则|AF 2|＝2m ,|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知,4m ＝2a ,得m ＝a2,故|F 2A |＝a ＝|F 1A |,则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点),则sin θ＝c a＝1a.在等腰三角形ABF 1中,cos 2θ＝2m2＋3m 2－3m 22×2m ·3m＝13,因为cos 2θ＝1－2sin 2θ,所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2,得a 2＝3.又c 2＝1,所以b 2＝a 2－c 2＝2,椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1,故选B.4．(2019·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为(1,0),且经过点A (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点,直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2,求证：直线l 经过定点． (1)解 由题意,得b 2＝1,c ＝1, 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0,得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1.又y 1＝kx 1＋t ,从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理,|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0,则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2,x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2.所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k t －1x 1＋x 2＋t －12＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t .又|OM |·|ON |＝2,所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0,所以直线l 经过定点(0,0)．。