(小学奥数)2-3-3 列不定方程解应用题.教师版

列不定方程解应用题知识框架一、知识点说明 历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

重难点（1） 根据题目叙述找到等量关系列出方程 （2） 根据解不定方程方法解方程 （3） 找到符合条件的解例题精讲一、不定方程与数论【例 1】 把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数．【考点】列不定方程解应用题【解析】 这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x 和13y ，则有：11132001x y +=，要让x 取最小值，y 取最大值． 可把式子变形为：2001111315312132122153131313x x x x y x -⨯+-++===-+，可见12213x+是整数，满足这一条件的x 最小为7，且当7x =时，148y =． 则拆成的两个数分别是71177⨯=和148131924⨯=．【答案】则拆成的两个数分别是77和1924．【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【考点】列不定方程解应用题【解析】 设甲搬的是18x 块，乙搬的是23y 块．那么1823300x y +=．观察发现18x 和300都是6的倍数，所以y 也是6的倍数．由于3002313y <÷≈，所以y 只能为6或12． 6y =时18162x =，得到9x =；12y =时1824x =，此时x 不是整数，矛盾．所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块．【答案】甲比乙搬得多，多24块【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.【考点】列不定方程解应用题【解析】 若是四位数abcd ，则()161636<1000a b c d ⨯+++⨯≤，矛盾，四位以上的自然数也不可能。

不定方程精选题型（第一课时）一．例题精析：例1．一个水池装一个进水管和三个同样的出水管，先打开进水管，等水池存一些水后再打开出水管（进水管不关闭）．若同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，则5分钟后水池空．那么出水管比进水管晚开40分钟．【分析】设出水管比进水管晚开x分钟，进水管的速度为y，出水管的速度为z，再根据进水量=出水量列出方程求解即可．解：例2．某果蔬饮料由果汁、疏菜汁和纯净水按一定质量比配制而成，纯净水、果汁、蔬菜汁的价格比为1：2：2，因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），那么该种饮料中果汁与蔬菜汁的质量和与纯净水的质量之比为2：3．【分析】设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为a，2a，2a，设纯净水、果汁、疏菜汁按一定质量比为x：y；z，根据因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），可列出方程求解．解：例3．某班有若干人参加一次智力竞赛，共a、b、c三题，每题或者得满分或者得0分．其中题a、题b、题c满分分别为20分、30分、40分．竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，只答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，则这个班参赛同学的平均成绩是51分．【分析】设答对a的人数为x，答对b的人数为y，答对c 的人数为z，根据题意可得三元一次方程组，解出可得出x、y、z的值，进而算出参加竞赛的总人数，让总分数除以总人数即为竞赛的平均成绩．解：例4．山脚下有一个池塘，山泉以固定的流量向池塘里流淌，现在池塘中有一定的水，若一台A型抽水机1小时刚好抽完，若两台A型抽水机20分钟刚好抽完，若三台A型抽水机同时抽12分钟可以抽完．【分析】设池塘中的水有a，山泉每小时的流量是b，一台A 型抽水机每小时抽水量是x．根据一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，得x=a+b；根据用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，得×2x=a+b，用x表示a和b．设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，再进一步根据3tx=a+bt求解解：二．课堂精练：1．古人对付秋燥的饮食良方：“朝朝淡盐水，晚晚蜂蜜水”．秋天即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、丙三种蜂蜜，已知销售每瓶甲蜂蜜的利润率为10%，每瓶乙蜂蜜的利润率为20%，每瓶丙蜂蜜的利润率为30%．当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%．那么当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，这个商人得到的总利润率为．2．我校创造节插花艺术比赛中同学们制作了若干个甲、乙、丙三种造型的花篮．甲种花篮由9朵玫瑰花、16朵水仙花和10朵百合花搭配而成，乙种花篮由6朵玫瑰花、8朵水仙花搭配而成．丙种花篮由6朵玫瑰花、12朵水仙花和10朵百合搭配而成．这些花篮一共用了240朵玫瑰花，300朵百合花，则水仙花一共用了朵．3．冬季降至，贫困山区恶劣的地理环境加之其落后的交通条件，无疑将使得山区在漫长冬季里物资更加匮乏，“让冬天不冷让爱心永驻”，重庆市公益组织心驿家号召全市人民为贫困山区的孩子们捐赠过冬衣物，本次捐赠共收集了11600件棉衣、7500件羽绒服及防寒服若干，自愿者将所有衣物分成若干A、B、C类组合，由自愿者们分别送往交通极其不便利的各个山区，一个A类组合含有60件棉衣，80件防寒服和50件羽绒服；一个B类组合含有40件棉衣，40件防寒服；一个C类组合含有40件棉衣，60件防寒服，50件羽绒服；求防寒服一共捐赠了件．三．课后巩固：1．某超市销售水果时，将A、B、C三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售，每箱的成本分别为箱中ABC三种水果的成本之和，箱子成本忽略不计．甲种方式每箱分别装A、B、C三种水果6kg，3kg，1kg，乙种方式每箱分别装A、B、C三种水果2kg，6kg，2kg．甲每箱的总成本是每千克A成本的12.5倍，每箱甲的销售利润率为20%，每箱甲比每箱乙的售价低25%，丙每箱在成本上提高40%标价后，打八折销售获利为每千克A成本的1.2倍，当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：3：3时，则销售的总利润率为．2．2018年9月，为鼓励学生努力学习，将来为国家作出更大贡献，重庆二外设立了“力宏奖学金”其中科技创新发明奖共有60人获奖，原计划一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，后来经校长会研究决定，在奖项总奖金不变的情况下，各顶级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元．调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多元．3．A，B，C三种大米的售价分别为40元/kg、50元/kg、70元/kg，其中B，C两种大米的进价为40元/kg、50元/kg，经核算，三种大米的总利润相同，且A，B两种大米的销售量之和是C种大米之和的6倍，则A种大米的进价是．不定方程精选题型（第二课时）一．例题精析：例 1. 有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需 1.05元．【分析】等量关系为：3×铅笔的单价+7×练习本的单价+1×圆珠笔的单价=3.15；4×铅笔的单价+10×练习本的单价+1×圆珠笔的单价=4.2，把两个方程相减后乘3，再让第2个方程减去得到的方程可得购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需的钱数．例2．晨光文具店有一套体育用品：1个篮球，1个排球和1个足球，一套售价300元，也可以单独出售，小攀同学共有50元、20元、10元三种面额钞票各若干张．如果单独出售，每个球只能用到同一种面额的钞票去购买．若小面额的钱的张数恰等于另两种面额钱张数的乘积，那么所有可能中单独购买三个球中所用到的钱最少的一个球是60元．【分析】设50元、20元、10元的钞票分别有x、y、z张，然后根据总售价列出一个方程，再根据三者之间的关系列出一个方程组成三元一次方程组，整理消掉z，再根据x、y都是整数讨论求解即可．例3.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t=15．【分析】由于在某一时刻，货车在前，小轿车在后，客车在货车与小轿车的中间，所以设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为s千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a、b、c（千米/分），由过了10分钟，小轿车追上了客车可以列出方程10（a﹣b）=s，由又过了5分钟，小轿车追上了货车列出方程15（a﹣c）=2s，由再过t分钟，客车追上了货车列出方程（t+10+5）（b﹣c）=s，联立所有方程求解即可求出t的值．例4.一次数学比赛，有两种给分方法：一种是答对一题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对一题给3分，不答不给分，答错扣1分，用这两种方法评分，某考生都得81分，这张试卷共有22题．【分析】此题可以设答对a题，未答b题，答错c题未知数，列出方程组，进行推理可得：5a+2b=81①，40+3a﹣c=81②，由①②推出a的取值范围，并确定处a 的值，从而推出b、c的值，解决问题．二．课堂精练：1．某超市分两次购进一批月饼礼盒．第一次购买了A、B两种月饼礼盒，用去17670元；第二次购买了C、D两种月饼礼盒，用去11310元，其中A、B两种月饼礼盒的数量分别与C、D两种礼盒的数量相等，且A种月饼礼盒与D种礼盒的进价相同，B种月饼礼盒与C种礼盒的进价相同．若A、B两种礼盒的进价之和为315元，则该超市购进的这批礼盒一共有盒．2．我国的经济总量已居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量，现有一批货物，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运次（每辆车每次都满载重量）．3．今年是天猫双十一创立以来的第11年，现在，已经彻底改变了中国人这一天的生活．某商家为迎接双十一活动准备购进一批服装，清理库存有A，B，C三种服装，其中服装C的数量为总库存数的，根据市场预测再购进A，B，C三种服装的数量之比为5：4：7，则购进后A的总数量为购进后三种服装总量的，B的新购数量与购进后三种服装总数量之比为2：17，则购进后B的总数量与购进后C的总数量之比为．三．课后巩固：1．春节即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、两三种糖果，已知销售甲糖果的利润率为10%，乙糖果的利润率为20%，丙糖果的利润率为30%，当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为3：2：1时，商人得到的总利率为20%．那么当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为5：1：1时，这个商人得到的总利润率为．2．育德文具厂生产的一种文具套装深受学生喜爱，已知该文具套装一套包含有1个笔袋，2只笔，3个笔记本，巅峰文具超市向该厂订购了一批文具套装，需要厂家在15天内生产完该套装并交货．育德文具厂将员工分为A、B、C三个组，分别生产笔袋、笔、笔记本，他们于某天零点开始工作，每天24小时轮班连续工作（假设每小时工作效率相同），若干天后的零点A组完成任务，再过几天后（不少于一天）的中午12点B组完成低务，再过几天（不少于一天）后的6时C组完成任务．已知A、B、C三个组每天完成的任务数分别是270个、360个、360个，则巅峰文具超市一共订购了套文具套装．3．某水稻种植中心培育了甲、乙、丙三种水稻，将这三种水稻分别种植于三块大小各不相同的试验田里．去年，三种水稻的平均亩产量分别为300kg，500kg，400kg，总平均亩产量为450kg，且丙种水稻的的总产量是甲种水稻总产量的4倍，今年初，研究人员改良了水稻种子，仍按去年的方式种植，三种水稻的平均亩产量都增加了．总平均亩产量增长了20%，甲、丙两种水稻的总产量增长了30%，则乙种水稻平均亩产量的增长率为．不定方程精选题型（第三课时）一．例题精析：例1．购买甲7件，乙3件，丙4件商品共需25元．若购买甲5件，乙1件，丙商品2件共需13元．那么购买甲乙丙商品各一件需6元．【分析】先设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，然后根据题意列出方程，再解方程即可．例2．2015年5月18日华中旅游博览会在汉召开．开幕式上用到甲、乙、丙三种造型的花束，甲种花束由3朵红花、2朵黄花和1朵紫花搭配而成，乙种花束由2朵红花和2朵黄花搭配而成，丙种花束由2朵红花、1朵黄花和1朵紫花搭配而成．这些花束一共用了580朵红花，150朵紫花，则黄花一共用了430朵．【分析】题中有两个等量关系：甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=580朵，甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=150朵．据此可列出方程组，设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆，用含x的代数式分别表示y、z，即可求出黄花一共用的朵数．例3．重庆修建园博园期间，需要A、B、C三种不同的植物，如果购买A种植物3盆、B种植物7盆、C种植物1盆，需付人民币315元；如果购买A种植物4盆、B种植物10盆、C种植物1盆，需付人民币420元；某人想购买A、B、C各1盆，需付人民币105元．【分析】设A种植物x元一盆、B种植物y元一盆、C种植物z元一盆，就可以得出3x+7y+z=315，4x+10y+z=420，再由这两个方程构成方程组，再解这个不定方程组求出其解即可．例4．一家小吃店原有三个品种的馄饨，其中菜馅馄饨售价为3元/碗，鸡蛋馅馄饨售价为4元/碗，肉馅馄饨售价为5元/碗，现该店新增了由上述三个品种搭配而成的混合馄饨，每碗都有10个馄饨．那么共有3种搭配得到定价是3.8元的混合馄饨（每种馄饨至少有一个）．【分析】设菜馅馄饨x个，鸡蛋馅馄饨y个，鸡蛋馅馄饨z 个，根据题意列出方程组，解方程组即可．二．课堂精练：1．过年了，甲、乙、丙三人相约去买坚果，甲买了3袋A 坚果、3袋B坚果和1袋C坚果，乙买了4袋A坚果、1袋B坚果和1袋C坚果，丙买了3袋B坚果和7袋C坚果．三人结账时发现：甲和乙总共消费200元，丙比乙多消费100元，如果A、B、C三种坚果各3袋组合成坚果礼盒出售，每种坚果均可在原价的基础上打九折，则每盒坚果礼盒的售价是元．2. 甲、乙、丙三人到商店去买东西，每人都花了整数元，他们一共花了32元．甲、乙两人花费的差额（即两人所花钱的差的绝对值，下同）是19元，乙、丙两人花费的差额是7元，甲、丙两人花费的差额是12元，则甲花费了21元．【分析】由于19=7+12，则分两种情况：1、甲比乙少19，则乙比丙多7元，甲比丙少12元，2、甲比乙多19，则乙比丙少7元，甲比丙多12元，进而得出答案．3．现有甲、乙、丙三种含铜比例不同的合金．若从甲、乙、丙三种合金中各切下一块重量相等的合金，并将切下来的三块合金放在一起熔炼后就成为含铜量为12%的合金；若从甲、乙、丙三种合金中按3：2：5的重量之比各切取一块，将其熔炼后就成为含铜量为9%的合金．那么若从甲、乙两种合金中按重量之比为2：3各切取一块将其熔炼后的合金的含铜百分比是18%．【分析】设甲合金含铜量为x%、乙合金含铜量为y%、丙合金含铜量为z%．则依据“三块合金放在一起熔炼后就成为含铜量为12%的合金、甲、乙、丙三种合金中按3：2：5的重量之比各切取一块，将其熔炼后就成为含铜量为9%的合金．”列出方程组并解答．三．课后巩固：1．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需630元；若购甲4件，乙10件，丙1件共需840元，现购甲、乙、丙各一件共需210元．【分析】假设购甲每件x元，购乙每件y元，购丙每件z元．列方程组得：，然后求得x+y+z的值．2．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需150元钱．【分析】设出购甲、乙、丙三种商品各一件的未知数，建立方程组，整体求解．3．某商店将录音机、钢笔、书包三种物品降价促销．若购买录音机3台，钢笔6支，书包2个，共需302元；若买录音机5台，钢笔11支，书包3个，共需508元．则购买录音机1台、钢笔1支、书包1个共需96元．【分析】设收录机、钢笔和书包三种物品的单价分别为x、y 和z元，继而根据购买收录机3台，钢笔6支，书包2个共需302元，购买收录机5台，钢笔11支，书包3个共需508元，列出方程组，进而求解即可．第一课时参考答案与试题解析1．古人对付秋燥的饮食良方：“朝朝淡盐水，晚晚蜂蜜水”．秋天即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、丙三种蜂蜜，已知销售每瓶甲蜂蜜的利润率为10%，每瓶乙蜂蜜的利润率为20%，每瓶丙蜂蜜的利润率为30%．当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%．那么当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，这个商人得到的总利润率为19%．【分析】设甲、乙、丙三种蜂蜜的进价分别为a、b、c，丙蜂蜜售出瓶数为cx，则当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为ax、3bx；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为3ax、2bx；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为5ax、6bx；列出方程，解方程求出，即可得出结果．【解答】解：设甲、乙、丙三种蜂蜜的进价分别为a、b、c，丙蜂蜜售出瓶数为cx，由题意得：，解得：，∴＝＝＝19%，故答案为：19%．2．我校创造节插花艺术比赛中同学们制作了若干个甲、乙、丙三种造型的花篮．甲种花篮由9朵玫瑰花、16朵水仙花和10朵百合花搭配而成，乙种花篮由6朵玫瑰花、8朵水仙花搭配而成．丙种花篮由6朵玫瑰花、12朵水仙花和10朵百合搭配而成．这些花篮一共用了240朵玫瑰花，300朵百合花，则水仙花一共用了440朵．【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，然后变形，即可求得水仙花一共用了多少朵．【解答】解：设甲种花篮a个，乙种花篮b个，丙种花篮c个，，化简，得，（①+②）×4，得16a+8b+12c＝440，∵水仙花一共用了：16a+8b+12c，∴水仙花一共用了440朵，故答案为：440．3．冬季降至，贫困山区恶劣的地理环境加之其落后的交通条件，无疑将使得山区在漫长冬季里物资更加匮乏，“让冬天不冷让爱心永驻”，重庆市公益组织心驿家号召全市人民为贫困山区的孩子们捐赠过冬衣物，本次捐赠共收集了11600件棉衣、7500件羽绒服及防寒服若干，自愿者将所有衣物分成若干A、B、C类组合，由自愿者们分别送往交通极其不便利的各个山区，一个A类组合含有60件棉衣，80件防寒服和50件羽绒服；一个B类组合含有40件棉衣，40件防寒服；一个C类组合含有40件棉衣，60件防寒服，50件羽绒服；求防寒服一共捐赠了14600件．【分析】根据题意，可以先设A类组合x个，B类组合y 个，C类组合z个，然后根据题意可以列出三元一次方程组，从而可以得到x、z与y的关系，然后即可求得需要防寒服多少件，本题得以解决．【解答】解：设A类组合x个，B类组合y个，C类组合z 个，，化简，得，∴需要的防寒服为：80x+40y+60z＝80（280﹣2y）+40y+60（2y﹣130）＝22400﹣160y+40y+120y﹣7800＝14600，故答案为：14600．4．某超市销售水果时，将A、B、C三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售，每箱的成本分别为箱中ABC三种水果的成本之和，箱子成本忽略不计．甲种方式每箱分别装A、B、C三种水果6kg，3kg，1kg，乙种方式每箱分别装A、B、C三种水果2kg，6kg，2kg．甲每箱的总成本是每千克A成本的12.5倍，每箱甲的销售利润率为20%，每箱甲比每箱乙的售价低25%，丙每箱在成本上提高40%标价后，打八折销售获利为每千克A成本的1.2倍，当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：3：3时，则销售的总利润率为23.6%．【分析】分别设每千克A、B、C三种水果的成本为x、y、z，设丙每箱成本为m，然后根据题意将甲、乙、丙三种方式的每箱成本和利润用x表示出来即可求解．【解答】解：设每千克A、B、C三种水果的成本分别为x、y、z，依题意得：6x+3y+z＝12.5x，∴3y+z＝6.5x，∴每箱甲的销售利润＝12.5x•20%＝2.5x乙种方式每箱成本＝2x+6y+2z＝2x+13x＝15x，乙种方式每箱售价＝12.5x•（1+20%）÷（1﹣25%）＝20x，∴每箱乙的销售利润＝20x﹣15x＝5x，设丙每箱成本为m，依题意得：m（1+40%）•0.8﹣m＝1.2x，解得m＝10x．∴当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：3：3时，总成本为：12.5x•2+15x•3+10x•3＝100x，总利润为：2.5x•2+5x•3+1.2x•3＝23.6x，销售的总利润率为＝23.6%，故答案为：23.6%．5．2018年9月，为鼓励学生努力学习，将来为国家作出更大贡献，重庆二外设立了“力宏奖学金”其中科技创新发明奖共有60人获奖，原计划一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，后来经校长会研究决定，在奖项总奖金不变的情况下，各顶级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元．调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多370元．【分析】设原来一等奖为x元，二等奖为y元，三等奖为z元，则调整后一等奖为（x﹣80）元，二等奖为（y﹣50）元，三等奖为（z﹣30）元．构建方程组，求出x﹣y即可解决问题．【解答】解：设原来一等奖为x元，二等奖为y元，三等奖为z元，则调整后一等奖为（x﹣80）元，二等奖为（y ﹣50）元，三等奖为（z﹣30）元．由题意：，整理得，∴x﹣y＝400，∴调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多：（x﹣80）﹣（y﹣50）＝x﹣y﹣30＝370（元），故答案为370．6．A，B，C三种大米的售价分别为40元/kg、50元/kg、70元/kg，其中B，C两种大米的进价为40元/kg、50元/kg，经核算，三种大米的总利润相同，且A，B两种大米的销售量之和是C种大米之和的6倍，则A种大米的进价是35．【分析】可设A种大米的进件是m元/kg，且A种大米销售了xkg，B大米销售了ykg，则C大米销售了（x+y）kg，根据三种大米的总利润相同，列出方程．先解方程得出x ＝3y，从而求出m的值．【解答】解：设A种大米的进件是m元/kg，且A种大米销售了xkg，B大米销售了ykg，则C大米销售了（x+y）kg，三种大米每千克的利润分别是（40﹣m）元、10元、20元，根据题意知：10y＝（40﹣m）x＝20×（x+y），即由10y＝（x+y），解得x＝2y，代入10y＝（40﹣m）x中，解得m＝35．故答案为：35．第二课时1．某超市分两次购进一批月饼礼盒．第一次购买了A、B 两种月饼礼盒，用去17670元；第二次购买了C、D两种月饼礼盒，用去11310元，其中A、B两种月饼礼盒的数量分别与C、D两种礼盒的数量相等，且A种月饼礼盒与D种礼盒的进价相同，B种月饼礼盒与C种礼盒的进价相同．若A、B两种礼盒的进价之和为315元，则该超市购进的这批礼盒一共有184盒．【分析】根据A、B两种礼盒的进价之和为315元，设A 种月饼礼盒的进价为x元/盒，可以表示B种月饼礼盒的进价，因为A种月饼礼盒与D种礼盒的进价相同，B种月饼礼盒与C种礼盒的进价相同，可以表示C和D礼盒的进价，根据A、B两种月饼礼盒的数量分别与C、D两种礼盒的数量相等，再设两个未知数表示A种月饼礼盒和B种月饼礼盒，列方程组，根据题意可知：只要知道2y+2z的值就可以，因此将方程组相加可得结论．【解答】解：设A种月饼礼盒的进价为x元，则B种月饼礼盒与C种礼盒的进价都是（315﹣x）元，D种月饼礼盒的进价为x元，设购进y盒A种月饼礼盒，z盒B种月饼礼盒，则购进y 盒C种月饼礼盒，z盒D种月饼礼盒，根据题意得：，化简得：，①+②得：315z+315y＝28980，y+z＝92，∴2y+2z＝184，答：则该超市购进的这批礼盒一共有184盒．故答案为：184．2．我国的经济总量已居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量，现有一批货物，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运8次（每辆车每次都满载重量）．【分析】设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意列出方程组解得x便可．【解答】解：设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C 型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意得，，②﹣①，得9a＝3c，∴a＝c，。

赤峰市巴林右旗小学数学小学奥数系列2-2-3不定方程与不定方程组
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！
一、 (共10题；共50分)
1. （5分）求方程 2x－3y＝8的整数解。

2. （5分）求方程2x＋6y＝9的整数解。

3. （5分）求方程4x＋10y＝34的正整数解。

4. （5分）求方程3x＋5y＝12的整数解。

5. （5分）解不定方程：。

（其中x，y均为正整数）
6. （5分）求不定方程的正整数解有多少组？
7. （5分）求方程3x＋5y＝31的整数解。

8. （5分）解方程。

（其中x、y均为正整数）
9. （5分）解方程（其中a、b、c均为正整数）
10. （5分）解不定方程（其中x、y、z均为正整数）
参考答案
一、 (共10题；共50分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、。

不定方程如$知识梳理］在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。

有三个未知数，就需要有三个 方程。

当未知数的个数多于方程的个数时， 这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图,不定方程也称为丢番图方程。

不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足 轻重的地位。

而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。

不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。

不过， 我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而 且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。

这种 情况也不排除它的取值不止一种。

不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。

如果考虑到题中 以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整 数的分拆有很大关系）。

解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确 求解。

特色讲解］【例1】★求方程5x 2y 27的正整数解。

【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数x 1x 3 x 5 , ,y 11 y 6 y 1【小试牛刀】求方程 4x + 10y = 34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34，两边约去2后，得2x + 5y = 17, 5y 的个位是0 或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17, 5y 的个位只能是5, y 为奇数即可；2x 的个位为2,所以 x 的取值为1、6、11、16……x= 1 时，17-2x = 15, y = 3, x= 6 时，17-2x = 5 , y = 1 , x= 11 时，17 — 2x = 17 — 22,无解 所以方程有两组整数解为：dx 1 x y 3，y【例2】★ 设A , B 都是正整数，并且满足 A11［解析］3A 11B 17 33333A+11B=17,因为 A 、B 为正整数，所以 A=2, B=1, A+B=3【例3】★ ★（北大附中入学考试真题） 14个大、中、小号钢珠共重 100克，大号钢珠每个重 12克，中号每个重 8克，小号每个重 5克。

列不定方程解应用题教学目标1、熟练掌握不定方程的解题技巧2、能够根据题意找到等量关系设未知数解方程3、学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解模块一、不定方程与数论【例 1】把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数．【巩固】甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【巩固】现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？【例 2】用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.模块二、不定方程与应用题【例 3】有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？【例 4】在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5，让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？【巩固】某人打靶，8发共打了53环，全部命中在10环、7环和5环上．问：他命中10环、7环和5环各几发？【例 5】某次聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，现在有13的成人各带一个孩子，总共收了2160元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？【巩固】单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有13的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？【例 6】张师傅每天能缝制3件上衣，或者9件裙裤，李师傅每天能缝制2件上衣，或者7件裙裤，两人20天共缝制上衣和裙裤134件，那么其中上衣是多少件？【巩固】小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？【例 7】甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A配件与一个B配件组成．甲每天生产300个A配件，或生产150个B配件；乙每天生产120个A配件，或生产48个B配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？【巩固】某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？【例 8】有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成，现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了天．【例 9】实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共306人恰好坐满了5辆大巴车和3辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载客人数．【巩固】实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共306人恰好坐满了7辆大巴车和2辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载客人数．【巩固】每辆大汽车能容纳54人，每辆小汽车能容纳36人．现有378人，要使每个人都上车且每辆车都装满，需要大、小汽车各几辆？【巩固】小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿．”那么小峰养了多少兔和鸡？【例 10】一个家具店在1998年总共卖了213张床．起初他们每个月卖出25张床，之后每个月卖出16张床，最后他们每个月卖出20张床．问：他们共有多少个月是卖出25张床？【例 11】五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组．若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参加B组的有_______人．【例 12】将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组．已知甲乙丙的平均年龄分为37，23，41.甲乙两组人合起来的平均年龄为29；乙丙两组人合起来的平均年龄为33．则这一群人的平均年龄为.【例 13】14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号钢珠每个重8克，小号钢珠每个重5克．问：大、中、小号钢珠各有多少个？【巩固】袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是43．问：小明最多摸出几个标有数字2的球？【例 14】公鸡1只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱100，买鸡100只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？【巩固】小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分．小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分．问：小明至多套中小鸡几次？【例 15】开学前，宁宁拿着妈妈给的30元钱去买笔，文具店里的圆珠笔每支4元，铅笔每支3元．宁宁买完两种笔后把钱花完．请问：她一共买了几支笔？【巩固】小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔多少支．【例 16】蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有100名男、女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确定了参加决赛的人选．已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数，占初赛的女选手人数的12.5%，而且比参加初赛的男选手的人数多．参加决赛的男、女选手各有多少人？【巩固】今有桃95个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有29是坏的，其他是好的；乙班分到的桃有316是坏的，其他是好的．甲、乙两班分到的好桃共有几个？【例 17】甲、乙两人各有一袋糖，每袋糖都不到20粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的3倍．甲、乙两人共有多少粒糖？【巩固】有两小堆砖头，如果从第一堆中取出100块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍．如果相反，从第二堆中取出若干块放到第一堆中去，那么第一堆将是第二堆的6倍．问：第一堆中的砖头最少有多少块？【例 18】甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册，乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各卷4册，6人各捐7册，其余各捐9册。

小学奥数-不定方程(教师版)不定方程是解决列方程组应用问题时的一种方法。

当未知数的个数多于方程的个数时，就会出现不定方程。

不定方程也称为丢番图方程，以纪念古希腊数学家丢番图。

在数学研究中，不定方程有着举足轻重的地位。

因此，在小学阶段打下扎实的基础非常重要。

不定方程出现的原因是联立方程的条件不足，因此一般情况下会有无数多个解。

但是，我们需要注意到它的预定义条件，如未知项是自然数，数码不仅是自然数，而且是一位数等等。

题干中也可能给出限制条件，这样就使得不定方程的解得以确定。

然而，这种情况下的解不止一种。

不定方程的解有时比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。

如果考虑到题中的限制范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解。

解答这类方程必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。

例如，求解方程5x+2y=27的正整数解。

因为2y为偶数，27为奇数，所以5x为奇数，即x为奇数。

因此，x可以取1、3、5等奇数，对应的y分别为11、6、1.再例如，求解方程4x+10y=34的正整数解。

因为4与10的最大公约数为2，而2可以整除34，因此两边约去2后，得到2x+5y=17.5y的个位数只能是0或5，而2x的个位数是2，因此x的取值为1、6、11等。

代入方程可得到两组整数解：x=1时，y=3；x=6时，y=1.最后，以一个实际问题为例，假设有14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。

问：大、中、小号钢珠各多少个？这是一个不定方程问题。

设大、中、小号钢珠的个数分别为a、b、c，则可以列出方程12a+8b+5c=100.解方程可得a=2，b=1，c=6，因此大号钢珠有2个，中号有1个，小号有6个。

y≤15)又因为小花狗和波斯猫每次见面都要各自叫两声，所以总共叫声数为4x+3y。

又知总共见面次数为x+y，所以4x+3y=2(x+y)，化简得2x=3y，因此x和y必须同时是3的倍数。

1、 熟练掌握不定方程的解题技巧2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程3、 学会解不定方程的经典例题一、知识点说明历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解模块一、不定方程与数论【例 1】 把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数．【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x 和13y ，则有：11132001x y +=，要让x取最小值，y 取最大值．知识精讲教学目标列不定方程解应用题可把式子变形为：2001111315312132122153131313x x x x y x -⨯+-++===-+，可见12213x +是整数，满足这一条件的x 最小为7，且当7x =时，148y =． 则拆成的两个数分别是71177⨯=和148131924⨯=．【答案】则拆成的两个数分别是77和1924．【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设甲搬的是18x 块，乙搬的是23y 块．那么1823300x y +=．观察发现18x 和300都是6的倍数，所以y 也是6的倍数．由于3002313y <÷≈，所以y 只能为6或12．6y =时18162x =，得到9x =；12y =时1824x =，此时x 不是整数，矛盾．所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块．【答案】甲比乙搬得多，多24块【巩固】 现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设5角和8角的邮票分别有x 张和y 张，那么就有等量关系：5847x y +=．尝试y 的取值，当y 取4时，x 能取得整数3，当y 再增大，取大于等于6的数时，x 没有自然数解．所以8角的邮票需要4张．【答案】8角的邮票需要4张【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】北大附中，资优博雅杯【解析】 若是四位数abcd ，则()161636<1000a b c d ⨯+++⨯≤，矛盾，四位以上的自然数也不可能。

小学奥数2-3-1列方程解应用题教师版列方程解应用题教学目标1、会解一元一次方程2、根据题意寻找等量关系的方法来构建方程3、合理规划等量关系，设未知数、列方程知识精讲知识点说明：一、等式的基本性质1、等式的两边同时加上或减去同一个数，结果还是等式.2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，结果还是等式.二、解一元一次方程的基本步骤1、去括号；2、移项；3、未知数系数化为1，即求解。

三、列方程解应用题（一）、列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值．这个含有未知数的等式就是方程．列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算．解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程．（二）、列方程解应用题的主要步骤是1、审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系；2、设这个量为，用含的代数式来表示题目中的其他量；3、找到题目中的等量关系，建立方程；4、运用加减法、乘除法的互逆关系解方程；5、通过求到的关键量求得题目答案．例题精讲板块一、直接设未知数【例1】长方形周长是64厘米，长比宽多3厘米，求长方形的长和宽各是多少厘米？【考点】列方程解应用题【难度】2星【题型】解答【解析】解：设长方形的宽是某厘米，则长方形的长厘米（厘米）答：长方形的长18厘米，长方形的宽是15厘米．【答案】长方形的长18厘米，长方形的宽是15厘米【巩固】一个三角形的面积是18平方厘米，底是9厘米，求三角形的高是多少厘米？【考点】列方程解应用题【难度】2星【题型】解答【解析】解：设三角形的高是某厘米，则有答：三角形的高是4厘米．【答案】三角形的高是4厘米【巩固】(全国小学数学奥林匹克)一个半圆形区域的周长等于它的面积，这个半圆的半径是．(精确到，)【考点】列方程解应用题【难度】2星【题型】解答【解析】设半圆的半径为，则，即，所以，半圆的半径．【答案】半圆的半径【例2】用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球，如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与3个黑色皮块及3个白色皮块相邻接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设这个足球上共有某块白色皮块，则共有3某条边是黑白皮块共有的．另一方面，黑色皮块有块，共有条边是黑白皮块共有的（如图）．由于在这个足球上黑白皮块共有的边是个定值，列得方程：，解得．即这个足球上共有20块白色皮块．【答案】共有20块白色皮块【例3】(年全国小学数学奥林匹克)某八位数形如，它与3的乘积形如，则七位数应是．【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设，则，，，即七位数应是8571428【答案】8571428【巩固】有一个六位数乘以3后变成，求这个六位数．【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】解：设，则有六位数和，有，解得，所以原六位数是142857．【点评】本题的巧妙之处在于始终没有分开，所以我们把它看作一个整体．【答案】142857【巩固】有一个五位数，在它后面写上一个7，得到一个六位数；在它前面写上一个7，也得到一个六位数．如果第二个六位数是第一个六位数的5倍，那么这个五位数是．【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯【解析】设五位数是某，那么第一个六位数是，第二个六位数是．依题意列方程，解得．【答案】【例4】有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是，求这三个连续整数.【考点】列方程解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设最小的那个数为，那么中间的数和最大的数分别为和．则．所以这三个连续整数依次为10、11、12．【答案】10、11、12【巩固】已知三个连续奇数之和为，求这三个数。

1、 熟练掌握不定方程的解题技巧2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程3、 学会解不定方程的经典例题一、知识点说明历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解模块一、不定方程与数论【例 1】 把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数．【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x 和13y ，则有：11132001x y +=，要让x取最小值，y 取最大值．可把式子变形为：2001111315312132122153131313x x x x y x -⨯+-++===-+，可见12213x +是整数，满足这一条件的x 最小为7，且当7x =时，148y =．则拆成的两个数分别是71177⨯=和148131924⨯=．【答案】则拆成的两个数分别是77和1924．【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？知识精讲教学目标列不定方程解应用题【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设甲搬的是18x 块，乙搬的是23y 块．那么1823300x y +=．观察发现18x 和300都是6的倍数，所以y 也是6的倍数．由于3002313y <÷≈，所以y 只能为6或12．6y =时18162x =，得到9x =；12y =时1824x =，此时x 不是整数，矛盾．所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块．【答案】甲比乙搬得多，多24块【巩固】 现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设5角和8角的邮票分别有x 张和y 张，那么就有等量关系：5847x y +=．尝试y 的取值，当y 取4时，x 能取得整数3，当y 再增大，取大于等于6的数时，x 没有自然数解．所以8角的邮票需要4张．【答案】8角的邮票需要4张【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】北大附中，资优博雅杯【解析】 若是四位数abcd ，则()161636<1000a b c d ⨯+++⨯≤，矛盾，四位以上的自然数也不可能。

列不定方程解應用題教學目標1、熟練掌握不定方程的解題技巧2、能夠根據題意找到等量關係設未知數解方程3、學會解不定方程的經典例題知識精講一、知識點說明歷史概述不定方程是數論中最古老的分支之一．古希臘的丟番圖早在西元3世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程．中國是研究不定方程最早的國家，西元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，西元5世紀的《張丘建算經》中的百雞問題標誌著中國對不定方程理論有了系統研究．宋代數學家秦九韶的大衍求一術將不定方程與同餘理論聯繫起來．考點說明在各類競賽考試中，不定方程經常以應用題的形式出現，除此以外，不定方程還經常作為解題的重要方法貫穿在行程問題、數論問題等壓軸大題之中．在以後初高中數學的進一步學習中，不定方程也同樣有著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學生學會利用不定方程這個工具，並能夠在以後的學習中使用這個工具解題。

二、運用不定方程解應用題步驟1、根據題目敘述找到等量關係列出方程2、根據解不定方程方法解方程3、找到符合條件的解模組一、不定方程與數論【例 1】把2001拆成兩個正整數的和，一個是11的倍數（要儘量小），一個是13的倍數（要儘量大），求這兩個數．【巩固】甲、乙二人搬磚，甲搬的磚數是18的倍數，乙搬的磚數是23的倍數，兩人共搬了300塊磚．問：甲、乙二人誰搬的磚多？多幾塊？【巩固】現有足夠多的5角和8角的郵票，用來付4.7元的郵資，問8角的郵票需要多少張？【例 2】用十進位表示的某些自然數，恰等於它的各位數字之和的16倍，則滿足條件的所有自然數之和為___________________.模組二、不定方程與應用題【例 3】有兩種不同規格的油桶若干個，大的能裝8千克油，小的能裝5千克油，44千克油恰好裝滿這些油桶．問：大、小油桶各幾個？【例 4】在一次活動中，丁丁和冬冬到射擊室打靶，回來後見到同學“小博士”，他們讓“小博士”猜他們各命中多少次．“小博士”讓丁丁把自己命中的次數乘以5，讓冬冬把自己命中的次數乘以4，再把兩個得數加起來告訴他，丁丁和冬冬算了一下是31，“小博士”正確地說出了他們各自命中的次數．你知道丁丁和冬冬各命中幾次嗎？【巩固】某人打靶，8發共打了53環，全部命中在10環、7環和5環上．問：他命中10環、7環和5環各幾發？【例 5】某次聚餐，每一位男賓付130元，每一位女賓付100元，每帶一個孩子付60元，的成人各帶一個孩子，總共收了2160元，問：這個活動共有多少現在有13人參加(成人和孩子)？的職工【巩固】單位的職工到郊外植樹，其中有男職工，也有女職工，並且有13各帶一個孩子參加．男職工每人種13棵樹，女職工每人種10棵樹，每個孩子都種6棵樹，他們一共種了216棵樹，那麼其中有多少名男職工？【例 6】張師傅每天能縫製3件上衣，或者9件裙褲，李師傅每天能縫製2件上衣，或者7件裙褲，兩人20天共縫製上衣和裙褲134件，那麼其中上衣是多少件？【巩固】小花狗和波斯貓是一對好朋友，它們在早晚見面時總要叫上幾聲表示問候．若是早晨見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫一聲；若是晚上見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫三聲．細心的小娟對它們的叫聲統計了15天，發現它們並不是每天早晚都見面．在這15天內它們共叫了61聲．問：波斯貓至少叫了多少聲？【例 7】甲、乙兩人生產一種產品，這種產品由一個A配件與一個B配件組成．甲每天生產300個A配件，或生產150個B配件；乙每天生產120個A配件，或生產48個B配件．為了在10天內生產出更多的產品，二人決定合作生產，這樣他們最多能生產出多少套產品？【巩固】某服裝廠有甲、乙兩個生產車間，甲車間每天能生產上衣16件或褲子20件；乙車間每天能生產上衣18件或褲子24件．現在要上衣和褲子配套，兩車間合作21天，最多能生產多少套衣服？【例 8】有一項工程，甲單獨做需要36天完成，乙單獨做需要30天完成，丙單獨做需要48天完成，現在由甲、乙、丙三人同時做，在工作期間，丙休息了整數天，而甲和乙一直工作至完成，最後完成這項工程也用了整數天，那麼丙休息了天．【例 9】實驗小學的五年級學生租車去野外開展“走向大自然，熱愛大自然”活動，所有的學生和老師共306人恰好坐滿了5輛大巴車和3輛中巴車，已知每輛中巴車的載客人數在20人到25人之間，求每輛大巴車的載客人數．【巩固】實驗小學的五年級學生租車去野外開展“走向大自然，熱愛大自然”活動，所有的學生和老師共306人恰好坐滿了7輛大巴車和2輛中巴車，已知每輛中巴車的載客人數在20人到25人之間，求每輛大巴車的載客人數．【巩固】每輛大汽車能容納54人，每輛小汽車能容納36人．現有378人，要使每個人都上車且每輛車都裝滿，需要大、小汽車各幾輛？【巩固】小偉聽說小峰養了一些兔和雞，就問小峰：“你養了幾只兔和雞？”小峰說：“我養的兔比雞多，雞兔共24條腿．”那麼小峰養了多少兔和雞？【例 10】一個傢俱店在1998年總共賣了213張床．起初他們每個月賣出25張床，之後每個月賣出16張床，最後他們每個月賣出20張床．問：他們共有多少個月是賣出25張床？【例 11】五年級一班共有36人，每人參加一個興趣小組，共有A、B、C、D、E五個小組．若參加A組的有15人，參加B組的人數僅次於A組，參加C組、D組的人數相同，參加E組的人數最少，只有4人．那麼，參加B組的有_______人．【例 12】將一群人分為甲乙丙三組，每人都必在且僅在一組．已知甲乙丙的平均年齡分為37，23，41.甲乙兩組人合起來的平均年齡為29；乙丙兩組人合起來的平均年齡為33．則這一群人的平均年齡為 .【例 13】14個大、中、小號鋼珠共重100克，大號鋼珠每個重12克，中號鋼珠每個重8克，小號鋼珠每個重5克．問：大、中、小號鋼珠各有多少個？【巩固】袋子裏有三種球，分別標有數字2，3和5，小明從中摸出12個球，它們的數字之和是43．問：小明最多摸出幾個標有數字2的球？【例 14】公雞1只值錢5，母雞一只值錢3，小雞三只值錢1，今有錢100，買雞100只，問公雞、母雞、小雞各買幾只？【巩固】小明玩套圈遊戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分．小明共套了10次，每次都套中了，每個小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分．問：小明至多套中小雞幾次？【例 15】開學前，寧寧拿著媽媽給的30元錢去買筆，文具店裏的圓珠筆每支4元，鉛筆每支3元．寧寧買完兩種筆後把錢花完．請問：她一共買了幾支筆？【巩固】小華和小強各用6角4分買了若干支鉛筆，他們買來的鉛筆中都是5分一支和7分一支的兩種，而且小華買來的鉛筆比小強多．小華比小強多買來鉛筆多少支．【例 16】藍天小學舉行“迎春”環保知識大賽，一共有100名男、女選手參加初賽，經過初賽、復賽，最後確定了參加決賽的人選．已知參加決賽的男選手的人數，占初賽的男選手人數的20%；參加決賽的女選手的人數，占初賽的女選手人數的12.5%，而且比參加初賽的男選手的人數多．參加決賽的男、女選手各有多少人？【巩固】今有桃95個，分給甲、乙兩班學生吃，甲班分到的桃有2是壞的，其他9是壞的，其他是好的．甲、乙兩班分到的好桃是好的；乙班分到的桃有316共有幾個？【例 17】甲、乙兩人各有一袋糖，每袋糖都不到20粒．如果甲給乙一定數量的糖後，甲的糖就是乙的2倍；如果乙給甲同樣數量的糖後，甲的糖就是乙的3倍．甲、乙兩人共有多少粒糖？【巩固】有兩小堆磚頭，如果從第一堆中取出100塊放到第二堆中去，那麼第二堆將比第一堆多一倍．如果相反，從第二堆中取出若干塊放到第一堆中去，那麼第一堆將是第二堆的6倍．問：第一堆中的磚頭最少有多少塊？【例 18】甲乙丙三個班向希望工程捐贈圖書，已知甲班有1人捐6冊，有2人各捐7冊，其餘都各捐11冊，乙班有1人捐6冊，3人各捐8冊，其餘各捐10冊；丙班有2人各卷4冊，6人各捐7冊，其餘各捐9冊。