一种联合修正的稳健Capon波束形成算法

Capon 波束形成器推导()t x 表示阵列接收信号，其中包括有用信号、噪声和干扰， w 表示阵列加权系数，在不同准则下，其最有加权计算方法不一样。

则空间匹配滤波器的表达式为：()()y t t =H w x其中 ()=()()()s I t t t t ++x x x n ，()s t x 为有用信号，有方向，()I t x 为干扰信号，也有方向，()t n 为噪声，与信号和干扰独立，并且没有方向。

阵列输出信号为：s ()()=()()i+n y t t t t =+H H H w x w x w x输出功率为：{}22s s s s s () ()() =()()()() =()()()() =+out i+n Hi+n i+n H Hi+n i+n s i+n P E y t E t t E t t t t E t t E t t R R ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤+⎣⎦⎣⎦H H H H H HH H H H w x w x w x w x w x w x w x x w w x x w w w w w在最小噪声方差（MNV ）准则下，欲使噪声方差最小，故有：所以Capon 波束形成器的推导可以转化为如下数学优化问题：约束条件保证0θ方向的来波增益恒定，解该约束问题通过拉格朗日乘子法（附录介绍）构造目标函数，再对其针对w 进行求导，即可解出让噪声方差最小的w ，如下：解之得：（注意：100()()H n a R a θθ-为一个数）至此，求得使噪声方差最小的opt w 。

将opt w 带入min out P 的表达式中即可求出最小输出功率。

综上，Capon 波束形成器的方向图形成表达式为：()()H optp wa θθ=附录：拉格朗日乘子法介绍。

一种稳健的盲波束形成方法刘骐玮;马彦恒;李根;董健【摘要】针对现有的盲波束形成方法在采用级联模式时存在的结构复杂的问题和在采用并联模式时系统的稳定性较差的问题,在时频分析的基础上利用能量的定向积累作用获得频率轴的截距与信号的一维线性分布关系,然后根据二阶差分运算确定导向矢量的不确定集,最后由二阶锥规划约束精确地估计导向矢量并利用Capon 波束形成方法实现多目标盲波束的并行输出.理论分析及实验结果表明,该方法较之现有方法计算量较小,可精确估计出导向矢量并形成波束,实现对期望信号的接收,干扰信号的抑制.【期刊名称】《电光与控制》【年(卷),期】2019(026)007【总页数】6页(P9-14)【关键词】阵列信号处理;盲波束形成算法;时频分析;能量积累;导向矢量估计;二阶锥规划【作者】刘骐玮;马彦恒;李根;董健【作者单位】陆军工程大学石家庄校区,石家庄 050003;陆军工程大学石家庄校区,石家庄 050003;陆军工程大学石家庄校区,石家庄 050003;陆军工程大学石家庄校区,石家庄 050003【正文语种】中文【中图分类】TN911.70 引言自适应波束形成是阵列信号处理的重要组成部分，在雷达信号处理、通信、声呐等领域有着广泛而深远的影响[1-3]。

传统的波束形成主要依靠获知期望阵列流型和信号来向等先验信息准确形成期望波束。

但在实际应用中，先验信息的获取往往是困难的，即使获得也存在一定的偏差，导致算法的效果较之期望值有较大的下降[4]，而盲波束形成算法的优点是在无法获得阵列流型和信号来向的情况下估计参数时，仍能形成波束,较大地提高了波束形成算法的稳健性和输出性能，降低了在先验条件不足情况下的算法恶化。

目前为止，较成熟的盲波束形成算法主要有恒模算法[5](Constant Modulus Algorithm,CMA)，基于循环平稳性的盲波束形成算法[6](Spectral Self-Coherence Restoral,SCORE)，高阶累积量的盲波束形成算法[7](High-Order Cumulant， HOC)和基于独立分量分析(Indepen dent Component Analysis,ICA)的盲波束形成算法[8]。

波束合成算法波束合成算法是一种用于无线通信中的信号处理技术，它可以将多个天线的信号进行合成，从而提高通信系统的性能和可靠性。

本文将介绍波束合成算法的原理、应用和未来发展方向。

一、引言随着无线通信技术的迅速发展，人们对于高速、高质量的通信需求越来越大。

而传统的单天线通信系统在传输速率和通信质量方面存在一定的限制。

为了克服这些限制，波束合成算法被提出并应用于无线通信系统中。

波束合成算法的核心思想是利用多个天线的信号进行合成，形成一个更强的波束，从而增强信号的传输和接收能力。

具体而言，波束合成算法分为两个阶段：波束形成和波束跟踪。

1. 波束形成在波束形成阶段，系统利用多个天线发射的信号相位差异来形成一个指向特定方向的波束。

通过调整每个天线的相位和幅度，可以将波束的主瓣指向所需的方向，并将副瓣的能量降低，从而提高信号的传输效果。

2. 波束跟踪在波束形成之后，波束合成系统需要实时跟踪目标信号的方向，以保持波束的指向。

波束跟踪算法通过不断调整每个天线的相位和幅度，使得波束能够随着目标信号的移动而跟踪，并保持最佳接收状态。

三、波束合成算法的应用波束合成算法在无线通信领域有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 无线通信系统波束合成算法可以应用于无线通信系统中，通过合成波束可以提高信号的传输速率和通信质量。

特别是在高速移动通信环境下，波束合成算法可以显著提高系统的可靠性和抗干扰能力。

2. 雷达系统雷达系统需要对目标进行准确的探测和跟踪。

波束合成算法可以帮助雷达系统形成更为集中的波束，从而提高目标的探测概率和测距精度。

同时，波束跟踪算法可以保持波束的指向，随着目标的移动进行实时跟踪。

3. 无线电天文学无线电天文学需要对天空中的无线电信号进行接收和分析。

波束合成算法可以帮助天文学家将多个天线的信号合成为一个更为敏感的接收系统，从而提高无线电天文观测的灵敏度和分辨率。

四、波束合成算法的未来发展方向随着无线通信技术的不断发展和应用需求的不断增加，波束合成算法也在不断演进和改进。

MVDR 自适应波束形成算法研究1 MVDR 自适应波束形成算法研究摘要波束形成技术和信号空间波数谱预计是自由空间信号阵列办理的两个主要研究方面。

MVDR 是一种鉴于最大信干噪比（ SINR）准则的自适应波束形成算法。

MVDR 算法能够自适应的使阵列输出在希望方向上功率最小同时信干噪比最大。

将其应用于空间波数谱预计上能够在很大程度上提升分辨率和噪声克制性能。

本文将在深入剖析 MVDR 算法原理的基础上，经过计算机仿真和海上试验数据办理的结果，剖析了 MVDR 算法在高分辨率空间波数谱预计应用中的性能。

同时经过比较对角加载前后的数据办理结果，剖析对角加载对 MVDR 的改良成效。

重点词：波束形成；空间波数谱预计；MVDR ；对角加载Study of MVDR Self-adapting Beam-forming AlgorismAbstractBeamforming technology and signal special beam-number spectral estimation are the two major researching emphasis in array signal processing. MVDR is a self-adapting algorism based on the maximal SINR principle. It can self-adaptingly make the array output reach maximum on the expected direction with the lowest SINR. Applying this algorism to special beam-number spectral estimation can to great extent increase the resolution and the inhibition capability. This paper makes a further analysis of MVDR algorism with the result of computer emulation and the processing of experimental data. Furthermore, this paper also shows the improvement of diagonal-loading technology to MVER algorism.Keywords: Beam-forming ；Spatial Wave-number spectral estimation；MVDR ；Diagonal loading目录1．前言 (4)2．MVDR 自适应波束形成算法原理 (4)2． 1MVDR 权矢量 (4)2． 2协方差矩阵预计 (6)2． 3MVDR 性能剖析 (7)2． 4MVDR 算法在空间波数谱预计中的应用 (8)仿真切验 1 (8)仿真切验 2 (9)应用实例 1 (9)3． MVDR 性能改良 (11)3． 1 快拍数不足对 MVDR 算法的影响 (11)仿真切验 3 (13)3． 2 对角加载 (14)仿真切验 4 (15)3． 3 R xx代替R NN的偏差剖析 (16)仿真切验 5 (17)3． 4 对角加载应用实例 (18)应用实例 2 (18)总结 (21)参照文件 (22)MVDR 自适应波束形成算法研究4一．前言MVDR （ Minimum Variance Distortionless Response）是 Capon 于 1967 年提出的一种自适应的空间波数谱预计算法。

阵列信号处理中的DOA（窄带）空域滤波波束形成：主要研究信号发射/接收过程中的信号增强。

空间谱估计空域参数估计：从而对目标进行定位/给空域滤波提供空域参数。

测向波达方向估计(DOA)空间谱：输出功率P关于波达角θ的函数，P(θ).延迟——相加法/经典波束形成器注，延迟相加法和CBF法本质相同，仅仅是CBF法的最优权向量是归一化了的。

1、传统法常规波束形成CBF/Bartlett波束形成器常规波束形成（CBF：Conventional Beam Former）Capon最小方差法/Capon 波束形成器/MVDR波束形成器最小方差无畸变响应（MVDR：minimum variance distortionless response）Root-MUSIC算法多重信号分类法解相干的MUSIC算法（MUSIC）基于波束空间的MUSIC算法2、[object Object]TAM旋转不变子空间法 LS-ESPRIT （ESPRIT）TLS-ESPRIT确定性最大似然法（DML：deterministic ML）3、最大似然法随机性最大似然法（SML：stochastic ML）4、综合法：特性恢复与子空间法相结合的综合法，首先利用特征恢复方案区分多个信号，估计空间特征，进而采用子空间法确定波达方向最大似然估计法是最优的方法，即便是在信噪比很低的环境下仍然具有良好的性能，但是通常计算量很大。

同子空间方法不同的是，最大似然法在原信号为相关信号的情况下也能保持良好的性能。

阵列流形矩阵（导向矢量矩阵）只要确定了阵列各阵元之间的延迟τ，就可以很容易地得出一个特定阵列天线的阵列流形矩阵A。

传统的波达方向估计方法是基于波束形成和零波导引概念的，并没有利用接收信号向量的模型（或信号和噪声的统计特性）。

知道阵列流形 A 以后，可以对阵列进行电子导引，利用电子导引可以把波束调整到任意方向上，从而寻找输出功率的峰值。

①常规波束形成(CBF)法CBF法，也称延迟—相加法/经典波束形成器法/傅里叶法/Bartlett波束形成法,是最简单的DOA 估计方法之一。

doi:10.3969/j.issn.1003-3114.2023.05.024引用格式:唐佳雨,杨竞舟,胡登辉,等.一种联合修正的稳健Capon 波束形成算法[J].无线电通信技术,2023,49(5):971-978.[TANG Jiayu,YANG Jingzhou,HU Denghui,et al.A Joint Modified Robust Capon Beamforming Algorithm[J].Radio Communications Technology,2023,49(5):971-978.]一种联合修正的稳健Capon 波束形成算法唐佳雨1,杨竞舟2∗,胡登辉1,张㊀暘2,李大鹏1(1.南京邮电大学通信与信息工程学院,江苏南京210003;2.中国电子科技集团新一代移动通信创新中心,江苏南京210019)摘㊀要:Capon 波束形成算法在导向矢量失配与协方差矩阵中含有期望信号的情况下输出信号干扰噪声比(SINR)会大幅下降㊂针对这一现象,提出一种联合修正的稳健Capon 波束形成算法㊂基于导向矢量与噪声空间的正交性,对估计的期望信号导向矢量进行修正㊂再基于对残余噪声消除和对干扰功率的估计构造投影矩阵,消除接收信号中的期望信号,修正协方差矩阵㊂结果表明,该算法相较于其他算法有较高的输出信干噪比,对于导向矢量失配不敏感,具有较高的稳健性㊂关键词:Capon 波束形成;导向矢量优化;协方差矩阵重构;空间投影;残余噪声中图分类号:TN911.7㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀开放科学(资源服务)标识码(OSID):文章编号:1003-3114(2023)05-0971-08A Joint Modified Robust Capon Beamforming AlgorithmTANG Jiayu 1,YANG Jingzhou 2∗,HU Denghui 1,ZHANG Yang 2,LI Dapeng 1(1.School of Communications and Information Engineering,Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210003,China;2.CETC Advanced Mobile Communication Innovation Center,Nanjing 210019,China)Abstract :The Capon beamforming algorithm significantly reduces the Signal to Interference Noise Ratio (SINR)of the output sig-nal when the steering vector mismatch and the covariance matrix contain the expected signal.A Joint Modified Robust Capon (JMRC)beamforming algorithm is proposed to address this phenomenon.Firstly,based on the orthogonality between the steering vector and the noise space,the estimated expected signal steering vector is modified.Based on the elimination of residual noise and the estimation ofinterference power,a projection matrix is constructed to eliminate the expected signal in the received signal and correct the covariance matrix.Results show that this algorithm has higher output signal to interference noise ratio than other algorithms,is insensitive to steer-ing vector mismatch,and has higher robustness.Keywords :Capon beamforming;steering vector optimization;covariance matrix reconstruction;space projection;residual noise收稿日期:2023-05-17基金项目:国家自然科学基金(61801240)Foundation Item :National Natural Science Foundation of China(61801240)0　引言自适应波束形成(Adaptive Beamforming)是阵列信号处理的一个重要分支[1],它是一种空域滤波技术,可以根据通信环境状况,不断地调整权重矢量,以达到增强期望信号㊁抑制干扰的目的㊂20世纪60年代,Capon 在文献[2]中提出了具有高分辨率和高干扰抑制能力的自适应波束形成算法,但该算法在某些情况下输出的SINR 会大幅降低㊂为了提高Capon 波束形成算法的稳健性,文献[3-5]提出了对角加载技术,本质是在接收信号的协方差矩阵上加上一个对角阵,等同于扩大了接收信号中噪声的功率㊂其中,文献[3]通过在样本协方差矩阵中加载一个缩放的特征矩阵,从而提高了算法的稳健性,但是在实际的应用过程中,很难确定加载量的大小㊂文献[4-5]虽然可以自动选择加载量,快拍数较低时仍能够输出较大的SINR,但在输入信号的信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)较高时,性能会明显下降㊂近来又提出了可以提高算法稳健性的导向矢量优化技术㊂文献[6-9]提出了基于特征空间的优化技术㊂其中,文献[6]将协方差矩阵特征分解,但是在低SNR的环境下,噪声子空间与信号子空间的特征向量容易发生误判,所以输出性能会急剧恶化㊂文献[10-13]提出了不确定集约束技术㊂其中,文献[10]的主要思想是将导向矢量约束在假定的球面或椭球面上,导向矢量可通过求解二次约束二次规划(Quadratic Constrained Quadratic Programming)问题得出㊂文献[11]为了解决积分带来的运算量问题,将积分区域划分为网格,对每个网格的计算结果进行累加,极大地减小了计算量㊂文献[12]表明,如果积分的范围越大,则收集的冗余信号越多,在文献[10]的基础上增加了约束条件,使导向矢量被约束在一个不确定集内,将球面积分转化为圆环积分,但减少了一个干扰抑制的自由度㊂文献[13]由推导出的闭式解,采用图像法确定参数,完成算法的优化求解㊂导向矢量优化仅优化了信号来向估计不准的问题,并未考虑协方差矩阵的影响㊂据此,文献[14-16]提出了协方差矩阵重构的技术㊂其中,文献[14]提出了基于线性积分的协方差矩阵重构算法,并且给出了积分求解的约束条件㊂除此以外,文献[16]基于干扰导向矢量和功率估计将干扰信号导向矢量约束在一个不确定集内并通过优化求解得出干扰噪声协方差矩阵㊂这一方法可以得到稳健的波束形成器,但是计算繁琐,一般需要借助工具包实现㊂本文首先构建了一个远场窄带匀直阵列模型,得到了接收天线的接收阵列信号㊂接着由Capon波束形成算法的最优权矢,分析需要优化的问题㊂根据问题引出本文提出的联合修正的稳健Capon波束形成算法并进行求解,得到修正后的期望信号导向矢量和干扰噪声协方差矩阵,带入Capon波束形成器即可得到优化后的最优权矢,最后通过仿真验证本文提出的算法性能㊂1㊀系统模型与问题分析1.1㊀匀直阵列系统模型设想一个如图1所示的匀直阵列模型㊂假设有一个1ˑN的SIMO信道,且位于远场的发射端有一个期望信号和M个互不相关的干扰信号,它们都是窄带信号,则接收的信号为:X(t)=A S(t)+n(t)=a(θ0)s0(t)+ðM k=1a(θk)s k(t)+n(t),(1)式中:A=[a(θ0),a(θ1), ,a(θM)]为Nˑ(1+M)的导向矢量矩阵,a(θ0)为期望信号导向矢量, a(θ1)㊁a(θ2)㊁ ㊁a(θM)为M个干扰信号的导向矢量,其中a(θk)=[1,e jβk, ,e j(N-1)βk],βk=2πd sinθk/λ,λ为波长,d为阵元间距,S(t)为期望信号与干扰信号的复包络,n(t)为Nˑ1的噪声向量㊂图1㊀匀直阵列模型Fig.1㊀Uniform linear array model1.2㊀Capon波束形成技术根据接收信号X(t),可以得到接收信号的协方差矩阵为:R=E[X(t)X H(t)]=σ20a(θ0)a H(θ0)+ðM k=1σ2k a(θk)a H(θk)+σ2n I,(2)式中:σ20为期望信号功率,σ2k为第k个干扰信号的功率,σ2n为噪声功率,I为单位矩阵,[㊃]H表示复共轭转置运算㊂式(2)中:Rs=σ20a(θ0)a H(θ0),(3)Ri+n=ðM k=1σ2k a(θk)a H(θk)+σ2n I,(4)式中:R s㊁R i+n分别表示期望信号协方差矩阵和干扰加噪声协方差矩阵㊂接收信号协方差矩阵可通过下式计算得到:R^=ðK k=1X(k)X H(k),(5)式中:K表示快拍数,X(k)表示第k个快拍的接收信号㊂Capon 波束形成器原理是通过在将信号来向的响应设置为常量的约束条件下,选择能将阵列接收到的信号的功率最小的权矢[17]㊂所以,标准Capon 波束形成的权重矢量为:w opt =R ^-1a (θ0)a H(θ0)R ^-1a (θ0)=P ㊃R ^-1a (θ0),(6)式中:P 为Capon 波束形成器的功率谱㊂1.3㊀问题分析在应用过程中,一般使用谱估计的方法得到信号的入射角度,进而得到导向矢量,这会产生导向矢量失配的问题,即由于信号入射的角度估算偏差而导致的导向矢量误差㊂对导向矢量估计不准,就会使输出的SINR 降低㊂在SNR 较高时,由于期望信号功率较高,接收信号协方差矩阵中包含期望信号,根据式(6)可知,此时输出SINR 将急剧降低㊂如图2所示,期望信号方向为0ʎ,干扰信号为-27ʎ和45ʎ,当协方差矩阵中含有期望信号时,期望信号0ʎ位置也产生了零陷㊂图2㊀协方差矩阵中含有期望信号的方向图Fig.2㊀Directional patterns containing expectedsignals in the covariance matrix近来,围绕Capon 算法的优化,都基于这两个问题开展㊂但现有的很多算法的灵活性和稳健性都不够高㊂本文提出一种联合修正的稳健Capon 波束形成(Joint Modified Robust Capon,JMRC)算法,首先将接收信号协方差矩阵特征分解为信号空间和噪声空间,基于导向矢量与噪声空间的正交性,使期望信号导向矢量在噪声子空间的投影最优,对估计的期望信号导向矢量进行修正㊂该算法采用拉格朗日乘子法求解,可通过动态调节约束参数,达到在不同通信环境下都能在期望信号方向上获得最大输出响应的目的㊂再基于对残余噪声消除和对干扰功率的估计,对期望信号协方差矩阵特征分解,并由此得到投影矩阵,消除接收信号中的期望信号,修正协方差矩阵㊂将结果带入即可得到修正后的Capon 最优权矢㊂该算法可以很大程度上解决现有很多算法稳健性和灵活性不足的问题㊂2㊀联合修正的稳健Capon 波束形成算法(JMRC )㊀㊀JMRC 算法包含两部分:导向矢量修正和干扰噪声协方差矩阵重构㊂2.1㊀导向矢量修正假设期望信号个数与干扰信号个数之和小于阵列天线数,即1+M <N ㊂对接收信号的协方差矩阵进行特征分解:R =ð㊀Ni =1λi e i e H i =E s ðs E H s +E n ðn E Hn ,(7)式中:λ1ȡλ2ȡ ȡλM +1ȡλM +2=λM +3= =λN ,其中,前M +1个为由大到小排列的信号子空间的特征值,其余为噪声子空间的特征值,且满足λM +2=λM +3= =λN =σ2n ,e i 为特征值对应的特征向量,E s 为信号子空间特征矩阵,ðs 为由信号子空间特征值构成的对角矩阵,E n 为噪声子空间特征矩阵,ðn 为由噪声子空间特征值构成的对角矩阵㊂对于协方差矩阵R ,右乘E n 可得:RE n =[E s ,E n ]ðE H s E H néëêêùûúúE n =[E s ,E n ]σ2sI 00σ2n I éëêêùûúú0I éëêêùûúú=σ2n E n ,(8)而由式(2)可得:RE n =AR s A H E n +σ2n E n ,(9)式中:A =Span {a (θ0),a (θ1), ,a (θM +1), ,a (θN )}为导向矢量张成的矩阵空间㊂由式(8)和式(9)可得:AR s A H E n =0,(10)左乘E H n 可得:(A H E n )H R s (A H E n )=0㊂(11)式(11)成立的充要条件为A H E n =0,即:e H i a (θ0)=0,i =M +2,M +3, ,N ,(12)可改写为:E H n a (θ0) 22=0,(13)式中: ㊃ 2为矩阵-2范数㊂由于导向矢量失配,事实上 E Hna^(θ0) 22ȡ0,当且仅当a^(θ0)=a (θ0)时,等号成立㊂为计算方便,将a (θ0)简记为a 0,a^(θ0)简记为a ^0㊂由此可基于椭圆不确定集(a 0-a^0)H C (a 0-a ^0)ɤ1对导向矢量修正如式(14)㊂为不失一般性,取C =εI ㊂㊀min aE H n a 0 22s.t.㊀ a 0-a^0 22ɤε{,(14)式中:ε为约束参数,文献[1]将其限制为εɤ a ^0 22㊂由于其最小值一定取在约束条件的边界上,对于式(14)的求解可使用拉格朗日乘子法㊂所以构造如下拉格朗日函数:f = E Hna 0 22+λ( a 0-a^0 22-ε),(15)式中:λ为拉格朗日乘子㊂式(15)中,对a 0求偏导可得:∂f∂a 0=2E n E H n a 0+2λ(a 0-a ^0)㊂(16)令式(16)等于0得:a 0=E n E H nλ+I()-1a^0,(17)带入约束条件可得:E n E H n λ+I()-1a^0-a ^022㊀=ε,(18)由特征分解的性质可得:EE H=E s E H s+E n E H n=I ,则:E n E H nλ+I =E n E H n λ+E s E H s +E n E Hn =1+λλE n E H n +E s E H s ,(19)对式(19)求逆:E n E Hnλ+I()-1=[E n ,E s ]1+λλI 00I éëêêêùûúúú-1E H n E H séëêêùûúú=[E n ,E s ]λ1+λI 00I éëêêêùûúúúE H n E H s éëêêùûúú=λ1+λE n E H n +E s E Hs ,(20)带入式(18)可得:E nE Hnλ+I ()-1a^0-a ^0 22= -11+λE nE H na ^022=ε㊂(21)设P =E n E H n a ^0,则称p l =e l e H l a ^0,l=M +2, ,N 为调节波束,用于调节估计的导向矢量㊂此时,式(21)可以写为:-11+λE n E H n a^022=11+λ()2ðNl =M +2|e l e H l a ^0|2=㊀㊀11+λ()2ðNl =M +2|p l |2=ε,(22)解出λ为:λ=1εðNl =M +2|p l |2-1㊂(23)结合式(17)~式(23)的结果可以得解出修正后的期望信号导向矢量a 0㊂2.2㊀干扰噪声协方差矩阵修正设有一个功率为σ2的信号从δ角度入射,此时接收信号的协方差矩阵为:R =σ2a (δ)a H (δ)+σ2n I ㊂(24)由式(6)可知此时的功率谱为:P (δ)=1a H(δ)(σ2a (δ)a H (δ)+σ2n I )-1a (δ)=σ2nN+σ2,(25)表明入射信号功率谱谱峰位置的功率由大小为σ2n /N 的残余噪声功率与大小为σ2的入射信号功率构成㊂在实际过程中残余噪声可以用式(26)求得:σ-2n=1K ðK k =11a -H (θk )R ^-1a -(θk ),(26)式中:K 为采样点数,θɪΘ且Θ为除期望信号与干扰信号所在角度外的区域,θk 为角度区域上第k 个采样点㊂由式(24)~式(26)可得实际噪声功率与噪声协方差矩阵为:σ^2n =Nσ-2n R ^n =σ^2n I{㊂(27)残余噪声会影响协方差矩阵重构的稳健性㊂可以在消除残余噪声后对功率谱在期望信号角度区域内积分求得期望信号协方差矩阵,即:㊀R ^s=ʏΘs(P ^(θ)-σ-2n )a -(θ)a -H (θ)d θ=ʏΘs㊀a -(θ)a -H (θ)㊀a -H (θ)R ^-1a -(θ)d θ-ʏΘsσ-2n a -(θ)a -H(θ)d θ,(28)式中:Θs 为期望信号所在角度区域㊂式(28)的积分值为正值,所以Θs 取使P ^(θ)-σ-2n为正的部分㊂与式(7)相同,对式(28)的结果进行特征分解:R ^s =ðN n =1βn b n b H n,(29)式中:βn (β1ȡβ2ȡ ȡβn )为R ^s 的特征值,b n 为对应的特征向量㊂R ^s 的主特征值包含了绝大部分信号能量,其余的为信号的残差分量㊂故期望信号导向矢量可以估计为:a^0=N b 1㊂(30)设B =Span {b 1,b 2, ,b n }=[B 1,B 2],其中B 1=Span {b 1,b 2, ,b J }为R ^s前J (J =1,2, ,N )个特征向量张成的特征空间,则a^0属于子空间B 1B H1㊂设期望信号来向为0ʎ,绘制 (I -B 1B H 1)a ^0(θ) 22的图像如图3所示,其中Θs ɪ[-5ʎ,5ʎ]㊂由图3可知,当J =3时,对于∀θɪΘs 都有 (I -B 1B H 1)a ^0(θ) 22=0,即a^0与(I -B 1B H1)空间正交㊂图3㊀a ^0与子空间(I -B 1B H1)的正交性Fig.3㊀Orthogonality of a ^0and (I -B 1B H1)假设Q =Q H =I -B 1B H 1,可以利用投影矩阵QH实现对期望信号的消除㊂对于k 快拍数的接收信号X (k )有:X ~(k )=Q H X (k )=Q H [X s (k )+X i (k )+X n (k )]=Q H X i (k )+Q H X n (k ),i (k )+Q H X n (k ),(31)带入式(31):R~=1K ðKk =1X ~(k )X ~H (k )=1K ðK k =1Q H X (k )X H (k )Q =Q H R^Q ,(32)而:R~=1KðKk =1X ~(k )X ~H (k )=1K ðK k =1Q H[X i (k )+X n (k )][X i (k )+X n (k )]H Q =Q H R ^i Q +σ^2n Q H Q ㊂(33)由图3可知,当N =8,J =3时,对于∀θ∉Θs ,矩阵Q 几乎不会改变导向矢量的模值,可以认为Q H R ^i Q ʈR ^i 成立㊂联立式(32)~式(33)可得R ^iʈQ H R ^Q -σ^2n Q H Q ㊂但在实际过程中,投影矩阵由于误差并不能完全消除期望信号,得到的干扰协方差矩阵并不准确,本文采取对Capon 功率谱的二次积分计算消除误差㊂用R ^i 替换R ^-1对干扰信号所在角度区域再次积分得到更为准确的干扰协方差矩阵,即:R ~i=ʏΘia -(θ)a -H (θ)a -H (θ)R ^ia -(θ)d θ,(34)式中:Θi 为干扰信号所在角度区域㊂则修正后的干扰噪声协方差矩阵为:R ~i +n =R ~i +R ~n =R ~i +σ^2n I ㊂(35)2.3㊀算法流程综合前文,本文JMRC 算法步骤如下:步骤1㊀对接收信号协方差矩阵特征分解,由式(7)得到噪声特征向量并由此张成噪声子空间E n ㊂步骤2㊀基于E n 对期望信号导向矢量修正㊂选定约束参数ε,结合求得的p l ,由式(23)计算出拉格朗日乘子λ的值㊂将λ的值带入式(17)即可得到修正后的导向矢量a 0㊂步骤3㊀由式(29)对消除残余噪声后的期望信号协方差矩阵特征分解㊂选定参数J ,得到子空间B 1㊂步骤4㊀构造投影矩阵Q H =I -B 1B H 1消除期望信号,并由式(32)~式(33)得到干扰协方差矩阵R ^i㊂步骤5㊀由式(35)对干扰信号所在角度区域再次积分得到修正后的干扰协方差矩阵R ~i ㊂再与噪声协方差矩阵R ~n 相加得到修正后的干扰噪声协方差矩阵R ~i +n ㊂步骤6㊀将修正后的导向矢量a 0和修正后的干扰噪声协方差矩阵R ~i +n 带入可得Capon 波束形成最优权矢为:w opt =R ~-1i +n a 0a H 0R ~-1i +n a 0㊂(36)3　仿真分析为了验证本文JMRC 算法的性能,选取最优算法㊁文献[13,16]对角加载与本文提出算法进行对比,其中最优算法指导向矢量不存在失配且协方差矩阵中不含期望信号的Capon 算法㊂设阵元个数N =8,阵元为间距为半波长的匀直阵列(UniformLinear Array,ULA)㊂快拍数为K =512㊂为仿真方便,本文假设有一个来自0ʎ的期望信号和两个分别来自-27ʎ㊁45ʎ的干扰信号㊂两个干扰信号的功率均为30dBm,各个信道噪声是功率为0dBm 互不相关的高斯白噪声㊂假设存在5ʎ的角度失配,即期望信号来向被估为5ʎ㊂输出SINR 与拉格朗日乘子的关系如图4所示,由图可知,拉格朗日乘子λ的值接近0时的归一化输出SINR 近乎最大㊂拉格朗日乘子与约束参数的关系如图5所示,若拉格朗日乘子的值近似于0,此时的约束参数ε的值约为2.5㊂故为了获取最佳性能,本次仿真的ε=2.5㊂图4㊀输出SINR 与拉格朗日乘子的关系Fig.4㊀Relationship between output SINR andLagrangemultiplier图5㊀拉格朗日乘子与约束参数的关系Fig.5㊀Relationship between Lagrange multiplierand constraint parameter图6给出了各算法的方向增益图,可以看出,本文的优化算法不仅在干扰方向-27ʎ㊁45ʎ上形成了很深的零陷,而且在期望信号0ʎ方向获得了最大归一化输出SINR㊂其他算法虽然也在干扰方向上形成了零陷,但是文献[13]与对角加载技术在期望信号方向上也形成了较深的零陷,说明此时接收到的协方差矩阵中包含大量期望信号㊂文献[16]相较于上述两个算法性能有了很大提升,但是输出SINR 与本文JMRC 算法相比还存在一定差距㊂图6㊀各算法方向图Fig.6㊀Directional diagram of each algorithm图7给出了输出SINR 与输入SNR 变化的关系,可以看出,在SNR 很低时,仿真的5种算法输出SINR 都呈递增趋势,但对角加载技术由于未对导向矢量进行优化,输出SINR 最低,且在-5dB 左右位置对角加载技术的输出SINR 开始急剧下降,这是因为协方差矩阵中已包含了大量的期望信号㊂在10dB 附近,文献[13]算法输出SINR 也出现了下降趋势㊂而本文JMRC 算法呈一条直线,未出现输出SINR 下降的情况,且在SNR 较高时,相较文献[16],输出SINR 也有较高的提升㊂图7㊀输出信号SINR 与输入SNR 的关系Fig.7㊀Relationship between output signal SINRand input SNR图8给出了输出SINR 与导向矢量失配角度的关系,可以看出,当不存在导向矢量失配的问题时,5种算法的输出SINR 大体一致㊂当角度误差增大时,对角加载技术㊁文献[13]和文献[16]算法的输出SINR 明显降低,而本文JMRC 算法输出SINR 降低的幅度较小㊂图8㊀输出SINR 与导向矢量失配角度的关系Fig.8㊀Relationship between output SINR and steeringvector mismatch angle图9给出了输出SINR 与快拍数的关系,可以看出,除对角加载技术与文献[13]算法外,其他算法对于快拍数K 的变化并不敏感㊂对于本文JMRC 算法而言,其与最优算法几乎有相同的输出SINR,且性能优于其他算法㊂图9㊀输出SINR 随快拍数的关系Fig.9㊀Relationship between output SINR and thenumber of snapshots taken图10给出了SNR =20dB 下的输出SINR 与干扰个数的关系,可以看出,本文JMRC 算法㊁文献[16]算法对于干扰个数并不敏感,但本文算法对干扰个数的容忍程度大于文献[16],且输出SINR 与最优算法相比并无较大差异㊂而对角加载技术和文献[13]算法的输出SINR 显著降低㊂图10㊀输出SINR 与干扰个数的关系Fig.10㊀Relationship between output SINR and thenumber of interferences在算法复杂度方面,文献[13,16]在求解时需要解决的凸优化问题复杂度高,一般需要使用CVX工具包实现㊂而本文算法主要使用特征分解求解,复杂度低且系统可以复用这一结构,减小了系统的额外开销㊂4　结论本文首先对导向矢量进行修正㊂优化求解采用了拉格朗日乘子法,因为约束参数ε与拉格朗日乘子λ的关系,所以可以动态调节ε的取值而获得最大的输出SINR,具有较高的灵活性㊂选取ε=2.5即可得到最大的输出SINR,解决了导向矢量失配导致输出SINR降低的问题㊂然后对协方差矩阵进行修正,利用构造的投影矩阵Q对期望信号消除后再对干扰功率积分得到修正后的协方差矩阵,解决了协方差矩阵中存在期望信号而导致的期望信号方向产生零陷的问题㊂仿真结果表明,本文JMRC算法的输出SINR不会因为输入SNR增大而减小,且对于导向矢量失配角度㊁快拍数㊁干扰个数的变化不敏感㊂在通信质量较差的环境下仍然能够获得较高的输出SINR,稳健性高㊂但JMRC算法要求各个干扰信号之间相互独立,且入射信号需为远场窄带信号㊂因此,在未来的工作中,需要进一步研究适用于相干干扰㊁近场非平面波的稳健算法㊂参考文献[1]㊀LI J,STOICA P,WANG Z.On Robust Capon Beamform-ing and Diagonal Loading[J].IEEE Transactions on Sig-nal Processing,2003,51(7):1702-1715.[2]㊀CAPON J.High-resolution Frequency-wavenumber Spec-trum Analysis[J].Proceedings of the IEEE,1969,57(8):1408-1418.[3]㊀CARLSON B D.Covariance Matrix Estimation Errors andDiagonal Loading in Adaptive Arrays[J].IEEE Transac-tions on Aerospace and Electronic Systems,1988,24(4):397-401.[4]㊀王靖宇,李言俊,张科,等.自适应对角加载在波束形成中的仿真研究[J].计算机应用研究,2011,28(6):2304-2305.[5]㊀DU L,LI J,STOICA P.Fully Automatic Computation ofDiagonal Loading Levels for Robust Adaptive Beamform-ing[J].IEEE Transactions on Aerospace and ElectronicSystems,2010,46(1):449-458.[6]㊀FELDMAN DD,GRIFFITHS L J.A Projection Approachfor Robust Adaptive Beamforming[J].IEEE Transactionson Signal Processing,1994,42(4):867-876. [7]㊀杨亦凡,王华奎,柯恒英.自适应波束形成采样矩阵求逆算法的改进[J].无线电通信技术,2009,35(4):30-32.[8]㊀FELDMAN D D.An Analysis of the Projection Method forRobust Adaptive Beamforming[J].IEEE Transactions onAntennas and Propagation,1996,44(7):1023-1030.[9]㊀HUANG F,SHENG W,MA X.Modified ProjectionApproach for Robust Adaptive Array Beamforming[J].Signal Processing,2012,92(7):1758-1763. [10]VOROBYOV S A,GERSHMAN A B,LUO Z Q.RobustAdaptive Beamforming Using Worst-case Performance Op-timization:A Solution to the Signal Mismatch Problem[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2003,51(2):313-324.[11]阳辉,刘湘伟,嵇海祥,等.一种基于协方差矩阵重构的波束形成算法[J].太赫兹科学与电子信息学报,2021,19(6):1002-1007.[12]HUANG L,ZHANG J,XU X,et al.Robust AdaptiveBeamforming with a Novel Interference-plus-noise Covari-ance Matrix Reconstruction Method[J].IEEE Transac-tions on Signal Processing,2015,63(7):1643-1650.[13]冯晓宇,谢军伟,张晶,等.改进的稳健Capon波束形成算法性能分析[J].现代雷达,2018,40(9):32-35. 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稳健波束域MVDR高分辨算法作者：魏涛沈文苗来源：《声学与电子工程》2021年第01期摘要针对阵列失配误差情况下阵元域最小方差无失真响应（Minimum Variance Distortionless Response， MVDR）分辨能力下降以及运算量大的问题，研究了两种稳健波束域MVDR（BMVDR）高分辨算法。

兩种算法分别在Capon加权向量范数约束法（Norm Constrained Capon Beamformer，NCCB）和稳健Capon波束形成器（Robust Capon Beamformer，RCB）的框架下，引入波束域降维处理，减小计算量的同时提高算法稳健性。

仿真实验表明，在误差情况下波束域RCB（BRCB）和波束域NCCB（BNCCB）具有高分辨性能，且运算时间更少，易于工程实现。

仿真验证了BRCB、BNCCB和BMVDR三种算法在不同误差情况下的稳健性。

关键词波束域；高分辨；范数约束；稳健性用声基阵探测目标时，传统的方法采用常规波束形成（Conventional BeamForming，CBF），但是它的方位估计精度和分辨能力较差，特别是在低信噪比下，当多个目标方位互相靠近时，CBF算法的分辨能力就显得很有限。

针对这一局限性，Capon于1969年提出了具有良好的分辨能力的MVDR波束形成器[1]，但是该算法对阵列失配敏感，在阵列校准失配、快拍数少等情况下，性能严重下降。

现在已有许多方法来提高MVDR算法的稳健性[2-7]，其中包括NCCB和RCB[4]，它们都属于对角加载法。

NCCB根据阵列失配程度利用加权范数约束来自适应地求解加载量；RCB利用阵列导向矢量的不确定集求解加载量。

然而NCCB和RCB在运算过程中计算量都较大，在实际工程中难以应用。

为了降低计算量，文献[8]提出在RCB框架下的Krylov子空间降维技术，以实现低复杂度且快速收敛的稳健自适应波束形成器。

文献[9]提出通过划分子阵的方式来进行降维处理，以牺牲一定的分辨率来减小算法的复杂度，具有一定的工程应用价值。