《复数复习小结》教学设计方案(含教学反思)

《复数复习小结》教学设计方案一、教学背景分析复数是英语中的一个重要语法现象，掌握复数形式和用法对学生的英语学习和交流都至关重要。

然而，由于复数的变化规则比较复杂，学生常常会出现混淆和错误的情况。

因此，本课旨在通过复习和巩固复数的知识点，帮助学生掌握正确的复数形式和用法，提高他们的英语写作和口语表达能力。

二、教学目标1.知识目标：复习和巩固英语中名词的复数形式和用法。

2.能力目标：能正确使用复数形式来表达多个数量。

3.情感目标：通过成功的复习和巩固，提高学生对英语学习的兴趣和信心。

三、教学重难点1.教学重点：掌握复数形式的变化规则和用法。

2.教学难点：正确使用复数形式来表达多个数量。

四、教学方法本课采用听说读写相结合的综合教学方法。

在教学过程中，通过多媒体教学和小组合作学习等方式，激发学生的参与和积极性。

五、教学过程1.导入新课教师拿出一张包含不同名词的图片，并问学生如何用英语来表达这些名词的复数形式。

学生们回答后，教师指出一些错误，并引导学生进行讨论和纠正。

2.复习复数形式和用法教师以故事的形式复习复数形式和用法，并激发学生的兴趣和思考。

教师通过拿出实物或图片等方式，让学生猜测复数形式，并进行讨论和解释。

3.巩固复数形式教师给学生分发一张练习纸，让学生根据所给名词写出复数形式，并检查答案。

然后，教师板书出一些常见名词的复数形式，并让学生进行背诵和默写。

4.运用复数形式教师出示一些图片，让学生以小组为单位，用正确的复数形式来描述图片中的物品。

学生们在一起讨论和交流，并写下自己的描述。

5.拓展练习教师出示一篇小短文，让学生根据所给的名词填写出正确的复数形式。

学生完成后，教师让几个学生上前演讲自己填写的答案，并进行讨论和纠正。

6.总结复习教师以问答形式对本课的内容进行总结和复习，并布置一些小练习作为课后作业。

七、教学评价方法1.教师观察法：通过观察学生的课堂表现，包括学生的注意力和积极参与程度等，来评价他们的学习情况。

复数小结（考点小析） 教学时间： 第7课时考纲要求：1. 理解复数的基本概念．2. 理解复数相等的充要条件．3. 了解复数的代数表示形式及其几何意义．4. 会进行复数代数形式的四则运算．5. 了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义.学情分析：本班为文科普通班，学生基础较差，理解力较为困难，学习积极性不够高。

教学目标：掌握复数相关知识的基础上能完成高考中常常出现的几种考点形式的题目。

教学重点：复数的有关概念、复数的几何意义与运算法则在考点中的应用和理解。

教学难点：怎样去落实考点得到此分。

教学方法：讲练结合教学过程：一、知识回顾1．定义： 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部(i 为虚数单位)2．分类：满足条件(a ，b 为实数)复数的分类 a ＋b i 为实数⇔__b=0____ a ＋b i 为虚数⇔__b ≠0__ a ＋b i 为纯虚数⇔_a ＝0且b ≠0___________3.复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔ a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．4．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔ a ＝c,b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．5．复数的模：向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝ a 2＋b 2 (a ，b ∈R )．二、例题选讲考点一 复数的基本概念(1)处理有关复数基本概念的问题，关键是掌握复数的相关概念，找准复数的实部与虚部(即实部和虚部必须是实数)，从定义出发解决问题；(2)利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法．(3)实数的共轭复数是它本身．【例1】(1) 设m ∈R ，(m +2) (m －1)＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝__________.【思路点拨】根据纯虚数的定义可得(m +2) (m －1)＝0，m 2－1≠0，由此解得实数m 的值．【解答过程】因为复数z ＝(m +2) (m －1)＋(m －1)i 为纯虚数，所以(m +2) (m －1)＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.【跟踪训练1】若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为i(x ＋y i)＝x i －y ＝3＋4i ，x ，y ∈R ，所以x ＝4，－y ＝3，即x ＝4，y ＝－3.所以|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.考点二 复数的几何意义复数与复平面内的点，以及复平面内以原点为起点的向量是一一对应的，只要把复数与向量对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．【例2】(1)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【思路点拨】 (1)化简复数z ，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案；【解答过程】(1)z ＝i·(1＋i)＝－1＋i ，故复数z 对应的点为(－1,1)，在复平面的第二象限．【跟踪训练2】已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A (0,1)，B (－1,3)，则z 2z 1＝( ) A ．－1＋3i B ．－3－iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意可得z 1＝i ，z 2＝－1＋3i.所以z 2z 1＝－1＋3i i ＝－i (－1＋3i )－i 2＝i ＋3. 考点三 复数的代数形式的运算(1)两个复数相除，可以先把他们的商写成分式的形式，然后把分子、分母同乘以分母的共轭复数，把结果化简；(2)在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度：①(1＋i)2＝2i ；②(1－i)2＝－2i ；③1＋i 1－i ＝i ；④1－i 1＋i＝－i ；⑤－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；⑥i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，n ∈N *.【例3】已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( )A ．－3＋4iB ．－3－4iC ．3＋4iD ．3－4i【思路点拨】 利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果；解析：由(3＋4i)z ＝25，得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝3－4i. 【跟踪训练3】已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i解析： 先由共轭复数的条件求出a ，b 的值，再求(a ＋b i)2的值．由题意知a －i ＝2－b i ，所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.三.巩固练习高考真题复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】∵z ＝i(－2＋i)＝－1－2i ，(1＋i)(2＋i)等于( )A．1－i B．1＋3iC．3＋i D．3＋3i【解析】(1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i－1＝1＋3i.四.课后小结复数的基本概念复数的几何意义复数的代数形式的运算五.课后作业配套练习复习题。

课题名称《复数复习小结》莆田第十三中学李春涵一、概述本节课的内容是《选修1—2》最后一章《复数》的复习小结，涉及复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用。

教学对象是本校高二（4）班。

所需课时一节课。

《复数》是高中文科数学的最后一章，固然内容不多、难度不大，但它扩大了数域，当然扩大了我们的视野，也再给了我们一个联系数与形的崭新工具，尤其在提高数学思想方法水平上具有积极的意义。

教学重点：复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用．教学难点：梳理复数的知识结构。

二、教学目标分析（融合知识与技能、过程与方法、情感态度价值观）1.理解复数的有关概念、掌握复数的代数表示及向量表示.2.会运用复数的分类、复数相等的充要条件求出相关复数的实参数值.3.掌握复数加法、乘法运算律；能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算。

4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义5.领会复数问题实数化的思想方法，能应用数形结合、待定系数法等数学思想方法解决复数问题。

6.领会数系扩充的过程。

三、学习者特征分析1.学生是莆田第十三中学（农村一般校）的高二文科重点班学生，学习自觉性较强，一般都能预习。

2.作为高二学生，好奇心较强，对数学有较强的探究欲望；3.学生有过较多的小组合作经验；4.学生已经熟练掌握实数的有关概念、运算律、数学思想方法等知识；5.学生已经学过复数的有关概念、运算律、数学思想方法等的基础知识；6.学生能够进行简单的复数计算和应用；四、教学策略选择与设计这是一节《复数》的复习课，零零碎碎的知识点很多。

只能以学生为主体，自主学习；教师起主导作用，给以适当的辅导。

所以我采用的策略是通过导课语激发学生的兴趣和求知欲后，播放PPT，让学生阅读知识点。

老师适当点拨，后又进行总结归纳梳理出本章的知识体系图。

这样才能把复习知识点的时间控制在15分钟内而且又能达到让学生系统把握本章知识的目的。

而复习的根本目的是提高知识的应用能力，由于学生都有预习，所以对P.110－111的例题1——2采用阅读提问指导的方法来教学，时间控制在10分钟内。

《复数复习小结》课题名称莆田第十三中学李春涵一、概述本节课的內容是《选修1—2》最后一幸《复数》的复习小结，涉及复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用。

教学对象是本校高二（4）班。

所需课时一节课。

《复数》是高中文科数学的置后一章，固然內容不多、难度不大，但它扩大了数域，当然扩大了我们的视野，也再给了我们一个联系数与形的崭新工具，尤其在提高数学思想方法水平上具有积极的意头。

教学重点：复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用.教学难点：梳理复数的知识结构。

二、教学目标分析（融合知识与技能、过程与方法、情感态度价值观）1. 理解复数的有关概念、掌握复数的代数表示及向量表示.2. 会运用复数的分类、复数相等的充要条件求出相关复数的实参数值.3•掌握复数加法、乘法运算律；能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算。

4•掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义.5•领会复数问题实数化的思想方法，能应用数形结合、待定系数法等数学思想方法解决复数问题。

6•领会数系扩充的过程。

三、学习者特征分析1. 学生是莆田第十三中学（农村一般校）的鬲二文科重点班学生，学习自觉性较强，一般都能预习。

2. 作为离二学生，好奇心较强，对数学有较强的探究欲望；3. 学生有过较多的小组合作经验：4•学生已经熟练掌握实数的有关槪念、运算律、数学思想方法等知识：5•学生已经学过复数的有关概念、运算律、数学思想方法等的基忌知识； 6.学生能够进行简单的复数计算和应用；四、教学策略选择与设计这是一节《复数》的复习课，零零碎碎的知识点很多。

只能以学生为主体，自主学习：教师起主导作用，给以适当的辅导。

所以我采用的疑略是通过导课语激发学生的兴趣和求知欲后，扌番放PPT,让学生阖读知识点。

老师适当点拨，后又进行总结归纳梳理出本幸的知识体系图。

这样才能把复习知识点的时间控制在15分钟内而且又能达到让学生系统把握本幸知识的目的。

复数复习小结教学目的：1.理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示.2.会运用复数的分类求出相关的复数(实数、纯虚数、虚数等)对应的实参数值.3.能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算.4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义教学重点：复数的有关概念、运算法则的梳理和具体的应用．教学难点：复数的知识结构的梳理授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、知识要点：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 ;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i3. i 的周期性：i 4n+1= , i 4n+2= , i 4n+3= , i 4n =4.复数的定义：形如 的数叫复数，a 叫复数的 ，b 叫复数的 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 表5. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当 时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当 时，复数z =a +bi 叫做虚数；当 时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当 时，z 就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 9. 复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面， x 轴叫做 ，y 轴叫做 实轴上的点都表示 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了 外，虚轴上的点都表示 10．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )= 11. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )= 12. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1. 13. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 14．乘法运算规则：设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 15.乘法运算律： (1)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 ; (2)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3; (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3. 16.除法运算规则： 17．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数 18．复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量1、2OP ，那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量就是z 1+z 2的和所对应的向量 17.复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 18．复数的模：2||||||z a bi OZ a =+==二、讲解范例： 例1对于下列四个命题，正确的是 ( ) ①z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2)2+(z 2－z 3)2=0，则z 1=z 3 ②设z ∈C ，则z +z 1∈R 的充要条件是｜z ｜=1③复数不能比较大小④z 是虚数的充要条件是z +z ∈RA.0个B.1个C.2个D.3个例2.当n ∈N *，计算i n ，下列四个结论正确的是( )A.i n =(i 4)4n =14n =1B.i n =(i 2)n n)1(2-=其值不定C.i n =(i 3)33)(n ni -=其值不定 D.i n 值可能是±i ，也可能是±1例3 非零复数a 、b 满足a 2+ab +b 2=0，则19991999)()(b a bb a a+++的值是( )A.－1B.1C.－2D.2例4已知复数z =1－2i ，求适合不等式log 0.5211||≤+-a i az 的实数a 的取值范围. 解：原不等式化为21)21(1||≥+-a i az ， 即⎪⎩⎪⎨⎧>++⋅≥--,01,122|)21(|a a i i a 即⎪⎩⎪⎨⎧->+⋅≥++,1,122)12(22a a a a 即⎪⎩⎪⎨⎧->-≤-≥1,2151a a a 或 ∴a ≥－51或－1＜a ≤－21. 点评：本题是对数不等式和复数模的概念的综合应用 三、课堂练习： 1．设集合I =C ={复数}， R ={实数}，M ={纯虚数}，那么 A.R ∪M =C B.R ∩M ={0} C.R ∪R =C D.C ∩R =M 2.a =0是复数a +bi (a ,b ∈R )为纯虚数的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 3.若(m 2－m )+(m 2－3m +2)i 是纯虚数，则实数m 的值为 A.1 B.1或2 C.0 D.－1，1，2 4.若实数x ,y 满足(1+i )x +(1－i )y =2,则xy 的值是 A.1 B.2 C.－2 D.－3 5.已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R )分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值四、小结：通过系统复习复数的知识，及例题的训练，进一步体会数学转化的思想、方程的思想、数形结合思想的运用。

课题名称《复数复习小结》莆田第十三中学李春涵一、概述本节课的内容是《选修1—2》最后一章《复数》的复习小结，涉及复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用。

教学对象是本校高二（4）班。

所需课时一节课。

《复数》是高中文科数学的最后一章，固然内容不多、难度不大，但它扩大了数域，当然扩大了我们的视野，也再给了我们一个联系数与形的崭新工具，尤其在提高数学思想方法水平上具有积极的意义。

教学重点：复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用．教学难点：梳理复数的知识结构。

二、教学目标分析（融合知识与技能、过程与方法、情感态度价值观）1.理解复数的有关概念、掌握复数的代数表示及向量表示.2.会运用复数的分类、复数相等的充要条件求出相关复数的实参数值.3.掌握复数加法、乘法运算律；能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算。

4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义5.领会复数问题实数化的思想方法，能应用数形结合、待定系数法等数学思想方法解决复数问题。

6.领会数系扩充的过程。

三、学习者特征分析1.学生是莆田第十三中学（农村一般校）的高二文科重点班学生，学习自觉性较强，一般都能预习。

2.作为高二学生，好奇心较强，对数学有较强的探究欲望；3.学生有过较多的小组合作经验；4.学生已经熟练掌握实数的有关概念、运算律、数学思想方法等知识；5.学生已经学过复数的有关概念、运算律、数学思想方法等的基础知识；6.学生能够进行简单的复数计算和应用；四、教学策略选择与设计这是一节《复数》的复习课，零零碎碎的知识点很多。

只能以学生为主体，自主学习；教师起主导作用，给以适当的辅导。

所以我采用的策略是通过导课语激发学生的兴趣和求知欲后，播放PPT，让学生阅读知识点。

老师适当点拨，后又进行总结归纳梳理出本章的知识体系图。

这样才能把复习知识点的时间控制在15分钟内而且又能达到让学生系统把握本章知识的目的。

而复习的根本目的是提高知识的应用能力，由于学生都有预习，所以对P.110－111的例题1——2采用阅读提问指导的方法来教学，时间控制在10分钟内。

精品教学教案设计| Excellent teaching plan教师学科教案[20 -20学年度第—学期]任教学科：________________ 任教年级：________________ 任教老师：________________xx市实验学校r \・课题名称复习小结》莆田第十三中学李春涵一、概述本节课的内容是《选修1—2》最后一章《复数》的复习小结，涉及复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用。

教学对象是本校高二（ 4 ）班。

所需课时一节课。

《复数》是高中文科数学的最后一章，固然内容不多、难度不大，但它扩大了数域，当然扩大了我们的视野，也再给了我们一个联系数与形的崭新工具，尤其在提高数学思想方法水平上具有积极的意义。

教学重点：复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用.教学难点：梳理复数的知识结构。

二、教学目标分析（融合知识与技能、过程与方法、情感态度价值观）1•理解复数的有关概念、掌握复数的代数表示及向量表示2. 会运用复数的分类、复数相等的充要条件求出相关复数的实参数值3•掌握复数加法、乘法运算律；能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算。

4. 掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义5. 领会复数问题实数化的思想方法，能应用数形结合、待定系数法等数学思想方法解决复数问题。

6. 领会数系扩充的过程。

三、学习者特征分析1. 学生是莆田第十三中学（农村一般校）的高二文科重点班学生，学习自觉性较强，一般都能预习。

2. 作为高二学生，好奇心较强，对数学有较强的探究欲望；3. 学生有过较多的小组合作经验；4. 学生已经熟练掌握实数的有关概念、运算律、数学思想方法等知识；5. 学生已经学过复数的有关概念、运算律、数学思想方法等的基础知识；6. 学生能够进行简单的复数计算和应用；四、教学策略选择与设计这是一节《复数》的复习课，零零碎碎的知识点很多。

只能以学生为主体，自主学习；教师起主导作用，给以适当的辅导。

《复数》整章小结教学设计一、内容和内容解析1．内容复数的概念、复数的四则运算、复数的三角形式*2．内容解析本章通过解方程引入了复数，进而研究复数的表示和运算，以及它们的几何意义，将实数系扩充成复数系．教科书从解方程入手，通过总结数系不断扩充的过程，特别是从有理数集扩充到实数集的过程，总结了数系扩充的一般规则，即扩充后的数系与原数系中的运算协调一致，且保持运算律不变，进而通过类比规定了复数的概念以及复数相等的概念，将实数集扩充到了复数集．在数学史上，实数集扩充到复数集，是一个漫长而曲折的过程，显示了人类理性思维的强大作用．对数系扩充的学习，有助于提升学生的数学抽象素养．复数本质上是一对有序数对，因此复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的，这就是复数的两种几何意义．复数几何意义的学习有助于提升学生的直观想象素养．引入一类数，就要研究它的运算，复数的四则运算中，加法、乘法运算是核心，减法、除法运算分别是它们的逆运算．教科书类比实数的四则运算法则得到了复数的加法法则和乘法法则以及相应的运算律，通过减法和加法、乘法和除法互为逆运算，得到了复数的减法和除法法则以及相应的运算律．复数代数形式的加减运算的几何意义，就是相应平面向量的加减运算．对复数四则运算的学习有助于培养学生的数学运算素养和直观想象素养．由复数的向量表示可以进一步得到复数的三角表示，进而研究复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．复数乘、除运算的三角表示形式简洁，在很多情况下可以简化复数的乘、除运算；其几何意义就是平面向量的旋转、伸缩，因此，可以方便地解决很多平面向量和平面几何问题．对复数三角表示的学习有助于提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养．数系通常包括两个要素，一是组成数系的数，二是数系中的运算及运算律；另外，数系的扩充过程也很关键．因此，本章复习的重点是：数系的扩充过程，复数的代数形式及其几何意义，复数的加、减、乘、除四则运算，复数加、减运算的几何意义．特别需要指出的是，复数的三角表示将复数、平面向量和三角函数三者紧密相连，这种形式在复数体系中乃至整个数学中具有极为重要的地位，但鉴于《课程标准（2017年版）》将其定位为选学内容，不作为考试要求，因此不将它作为本章复习的重点．但建议一旦选学复数的三角表示，也应将复数的三角表示式、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义列为本章复习的教学重点．二、目标和目标解析1．目标（1）通过方程的解，认识复数．（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．（3）掌握复数代数形式表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．（4）通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）能够说出复数系扩充的规则和过程，会解复数系范围内的一元二次方程．（2）能够说出复数的几何意义，会利用复数的几何意义解决相关问题．（3）能熟练运用复数的四则运算法则和复数加减运算的几何意义解决有关复数的计算问题．（4）选学“复数的三角表示”的同学，要能够运用复数的三角表示乘除运算的运算法则和几何意义解决相关运算问题．三、教学问题诊断分析理解并掌握实数系扩充到复数系所遵循的规则，是培养学生理性思维的重要抓手，但学生在学习过程中可能不易理解，也不太重视，因此，复习教学中，要回顾并梳理从自然数到复数的扩充过程，进一步理解其“扩充规则”，感受理性思维在数系扩充中发挥的重要作用．复数代数形式的加、减运算与平面向量加、减运算的联系，复数三角表示式以及复数的乘、除运算与平面向量、三角函数的联系是本章的重点内容，也是难点内容，学生在利用几何意义解决问题时可能不太熟练，要通过典型例题的讲解，分析几何意义的本质，举一反三，突破难点．四、教学过程设计（一）复数的概念问题1：数系是怎样逐步扩充的？请对“自然数——整数——有理数——实数——复数”的数系扩充过程进行整理．师生活动：学生梳理并口述数系扩充的过程，教师用PPT呈现．追问1：数系扩充的规则是什么？你能说说数学史上数系扩充的历程吗？师生活动：师生共同回顾归纳数系扩充的规则：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．学生口述历史上数系扩充的历程，教师补充完善，并指出理性思维在数系扩充过程中发挥了强大作用．设计意图：梳理复数扩充的过程和规则，体会理性思维在数系扩充中发挥的作用．追问2：复数是怎么规定的？实数、虚数、纯虚数、复数之间有什么区别和联系？追问3：复数相等是怎么规定的？什么是共轭复数？师生活动：学生思考回答，教师反馈补充，追问1和追问2的答案通过PPT 进行呈现．设计意图：复习巩固复数的相关概念，体会理性思维在数系扩充中发挥的作用．问题2：复数的几何意义是什么？实数和复数几何意义的区别是什么？复数的模是什么？师生活动：学生思考口答，教师用PPT展示．设计意图：进一步明确复数、复平面内的点以及平面向量三者一一对应的关系，体会复数与向量的联系性．设计意图：复习巩固复数、虚数、纯虚数的概念．练习：1．设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，则满足条件的点Z的集合是什么？答案：以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环，包括圆环的边界．设计意图：复习巩固复数的几何意义．（二）复数的四则运算问题3：复数代数形式的四则运算法则是怎么规定的？满足什么运算律？问题4:复数代数形式加减运算的几何意义是什么？追问：你对复数代数形式的加、减运算与向量的加、减运算的一致性有什么体会？师生活动：学生思考回答，教师补充完善，答案通过PPT进行呈现．练习：2．若(1-i)+(2+3i)=a+bi（a,b∈R，i是虚数单位），则a,b的值分别等于（）．（A）3,-2（B）3,2（C）3,-3（D）-1,4设计意图：复习巩固复数相等的充要条件，复数的加、减运算法则．答案为B．设计意图：复习巩固复数代数表示式四则运算法则，提升学生的运算求解能力．师生活动：学生独立完成，教师巡视，及时指出学生解题时出现的问题，对基础较弱的学生进行个别指导．完成后，生生互评，教师点评．答案为：（1）-1；（2）-9i．（A）-5+5i（B）-5-5i（C）5+5i（D）5-5i师生活动：学生自主完成，教师评价反馈．教师强调复数和平面向量之间的联系性，复数的运算问题可以转化为平面向量的运算问题去解决，反过来，平面向量的运算问题也可以转化为复数的运算问题去解决．答案为D．设计意图；帮助学生进一步理解复数的几何意义，复数和相应的平面向量的一一对应关系，复习巩固复数的减法运算的几何意义．例4．在复平面上，正方形ABCD的两个顶点A，B对应的复数分别为1+i，2-3i．求另外两个顶点C，D对应的复数．师生活动：师生共同分析，学生自主完成，同时请学生到黑板上板演，之后生生、师生之间进行反馈点评、修改完善．所以，点C，D对应的复数分别为-2-4i,-3i；或6-2i，5+2i.设计意图：复习巩固复数加、减运算几何意义和复数加、减运算的运算法则，提升学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力和数学运算素养．（三）复数的三角表示（备注：此部分为选学内容，可根据学情自主安排）问题5：什么是复数的三角形式？它与复数的几何意义之间有什么联系？复数的代数形式与三角形式之间有什么关系？问题6：复数三角表示乘法运算的运算法则是什么，用文字语言如何描述？问题7：复数乘除运算的三角表示及其几何意义分别是什么？利用复数的乘除运算的几何意义能够解决什么问题？师生活动：教师利用PPT给出问题，学生根据问题回归课本，回顾所学知识．设计意图：通过问题串，引导学生回顾复数三角表示的基础知识，将知识系统化、条理化．设计意图：巩固复数乘法的几何意义、复数的三角表示和代数表示的互化以及复数三角表示的乘、除运算的相关知识，提升学生的数学运算素养．练习：设计意图：巩固复数的三角表示和辐角主值概念．答案为D．（四）归纳总结、布置作业师生活动：请学生用思维导图梳理复数一章的基础知识和解决问题的基本方法．并进行展示交流．布置作业：教科书复习参考题2复习巩固第1，2，3，4，5题．五、目标检测设计设计意图：本题主要评价学生对复数四则运算法则的掌握程度和对复数几何意义的理解程度，同时评价数形结合的思想方法．答案为D．2．已知复数z满足（z-1）i=1+i，则z=（）．（A）-2-i（B）-2+i（C）2-i（D）2+i设计意图：本题主要评价学生对复数代数表示式四则运算法则和运算律的掌握程度，同时评价数学运算能力．答案为C．设计意图：本题主要评价学生对复数的几何意义，复数加法运算的几何意义的理解程度，同时评价运算求解能力．答案为．。

一、教学内容回顾在本次教学中，我主要教授了名词复数的相关知识。

通过讲解和练习，让学生掌握了名词复数的基本规则，如在单数名词后加-s或-es，以及一些特殊变化的名词复数形式。

同时，我还引导学生理解了名词复数的意义和用法，使其在实际语境中能够正确运用。

二、教学过程反思1. 引入环节：在讲解名词复数之前，我通过展示图片和引导学生回忆之前学过的知识，有效地激发了学生的兴趣和注意力。

但在此过程中，我发现部分学生对之前学过的知识掌握不牢，因此在引入环节需要花费较多时间进行复习和巩固。

2. 讲解环节：在讲解名词复数的规则时，我采用了简洁明了的语言，并通过举例进行解释。

在此过程中，我注意到学生们对某些特殊变化的名词复数形式存在疑惑，因此在讲解时需要重复强调和举例说明。

此外，我还应补充一些常见的易错点，以帮助学生更好地掌握名词复数规则。

3. 练习环节：在练习环节，我设计了不同难度的题目，让学生在课堂上进行实时练习。

这一环节的目的在于检验学生对名词复数知识的掌握程度，以及提高他们在实际语境中的运用能力。

但在此过程中，我发现部分学生在解答题目时存在困惑，对一些特殊情况进行处理不够熟练。

因此，在今后的教学中，我需要加强对学生的个别辅导，提高他们的解题能力。

4. 总结环节：在课堂的最后，我进行了简要的总结，强调了名词复数的重要性和运用。

但反思认为，这一环节可以进一步改进，例如让学生自己总结名词复数的规则，或者通过设计有趣的课后任务，让学生在实际生活中运用所学知识，从而提高他们的学习兴趣和实际运用能力。

三、教学方法反思1. 讲授法：在本次教学中，我主要采用了讲授法进行教学。

这种方式能够系统地传授知识，让学生对名词复数有全面的认识。

然而，讲授法也存在一定的局限性，如学生可能在学习过程中产生疲劳，注意力不集中。

因此，在今后的教学中，我应适当采用多种教学方法，激发学生的学习兴趣。

2. 互动式教学：在本次教学中，我并未充分运用互动式教学。

课题名称《复数复习小结》莆田第十三中学李春涵一、概述本节课的内容是《选修1—2》最后一章《复数》的复习小结，涉及复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用。

教学对象是本校高二（4）班。

所需课时一节课。

《复数》是高中文科数学的最后一章，固然内容不多、难度不大，但它扩大了数域，当然扩大了我们的视野，也再给了我们一个联系数与形的崭新工具，尤其在提高数学思想方法水平上具有积极的意义。

教学重点：复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用．教学难点：梳理复数的知识结构。

二、教学目标分析（融合知识与技能、过程与方法、情感态度价值观）1.理解复数的有关概念、掌握复数的代数表示及向量表示.2.会运用复数的分类、复数相等的充要条件求出相关复数的实参数值.3.掌握复数加法、乘法运算律；能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算。

4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义5.领会复数问题实数化的思想方法，能应用数形结合、待定系数法等数学思想方法解决复数问题。

6.领会数系扩充的过程。

三、学习者特征分析1.学生是莆田第十三中学（农村一般校）的高二文科重点班学生，学习自觉性较强，一般都能预习。

2.作为高二学生，好奇心较强，对数学有较强的探究欲望；3.学生有过较多的小组合作经验；4.学生已经熟练掌握实数的有关概念、运算律、数学思想方法等知识；5.学生已经学过复数的有关概念、运算律、数学思想方法等的基础知识；6.学生能够进行简单的复数计算和应用；四、教学策略选择与设计这是一节《复数》的复习课，零零碎碎的知识点很多。

只能以学生为主体，自主学习；教师起主导作用，给以适当的辅导。

所以我采用的策略是通过导课语激发学生的兴趣和求知欲后，播放PPT，让学生阅读知识点。

老师适当点拨，后又进行总结归纳梳理出本章的知识体系图。

这样才能把复习知识点的时间控制在15分钟内而且又能达到让学生系统把握本章知识的目的。

而复习的根本目的是提高知识的应用能力，由于学生都有预习，所以对P.110－111的例题1——2采用阅读提问指导的方法来教学，时间控制在10分钟内。

复数小结与复习(二)·教案示例目的要求1．通过本课的小结与复习，对本章第二单元(复数的三角形式)知识内容进行一次梳理，注意知识间的相互联系，在综合运用知识解决问题的能力上有所提高．2．通过复习，进一步强化学生运用数形结合、化归与转化等数学思想方法解决问题的意识．内容分析首先，应正确理解复数的三角形式．复数z＝r(cosθ＋i sinθ)是三角形式，必须满足以下几个条件：①r≥0；②括号中的前后两个角度一致；③括号中用“＋”号连接．应避免出现诸如＝θ＋θ∈，＝θ＋≥，＝z a(cos i sin)(a R)z r(cos i sin)(r0)zr(cosθ－i sinθ)(r≥0)等似是而非的复数三角形式．复数的代数式z＝a＋bi(a，b∈R)与三角形式z＝r(cosθ＋i sinθ)之间的互化的难点在于将代数式转化为三角式，突破难点的办法在于确定点(a，b)在哪个象限，从而正确得到复数z的辐角(或其主值)．另外，还应注意三角变换和反三角函数的概念．其次，应当充分注意复数的三角式的乘、除、乘方、开方运算的几何意义及与其相应的运算法则，借助复数的三角形式进行乘、除、乘方、开方运算，不仅可以使复数的乘、除、乘方、开方运算变得简洁明快，而且使得复数的乘、除、乘方、开方运算的几何意义跃然纸上，变得形象生动起来．通过本章教学可以发现，复数的三种形式，即代数式、向量式、三角式是相互联系，相互转换的．一般地说，复数的加、减法取代数形式较方便；乘、除、乘方、开方取三角形式较方便．由于新教科书中已学过平面向量，必要时借助平面向量的有关运算来理解复数的某些运算也是完全可以的．复数的各种运算都有鲜明的几何意义，在解题时，应充分运用它的几何意义解决问题，从而提高数形结合的能力．把复数问题转化为实数问题是解决复数问题的主要途径，在解决复数问题时应注意到这点，从而提高化归与转化问题的能力．教学过程1．内容小结要求学生对复数三角形式的相关内容自行小结，并交流．然后，教师予以评价．2．注意的问题针对复数三角式的特征，复数三角式与代数式的互化、复数运算的几何意义等方面应注意的问题进行简要陈述，并通过简单实例说明数形结合、化归与转化的思想方法在复数解题中的重要性．3．讲解例题例已知≤θ＜π，计算＋θ＋θ．1 0(1cos2i sin2)22解法1：因为cos2θ＋i sin2θ是模为1、辐角为2θ的复数的三角形式，所以根据棣莫佛公式，有(1＋cos2θ＋i sin2θ)2＝[1＋(cos2θ＋i sin2θ)]2＝1＋2(cos2θ＋i sin2θ)＋(cos2θ＋i sin2θ)2＝1＋(2cos2θ＋2i sin2θ)＋(cos4θ＋i sin4θ)＝1＋2cos2θ＋2i sin2θ＋2cos22θ－1＋2i sin2θcos2θ＝2cos2θ(1＋cos2θ)＋2i sin2θ(1＋cos2θ)＝2(1＋cos2θ)(cos2θ＋i sin2θ)＝4cos2θ(cos2θ＋i sin2θ)解法2：1＋cos2θ＋i sin2θ＝(1＋cos2θ)＋i sin2θ＝2cos2θ＋2i sinθcosθ＝2cosθ(cosθ＋i sinθ)．由≤θ＜π，知θ＞，所以θθ＋θ是模为0cos02cos(cos i sin)22cosθ、辐角为θ的复数的三角形式，根据棣莫佛公式，有(1＋cos2θ＋i sin2θ)2＝[2cosθ(cosθ＋i sinθ)]2＝4cos2θ(cos2θ＋i sin2θ)．点评：比较上述两种解法可以发现，借助复数三角形式来进行复数的乘方运算，确有其独特作用，可以简化运算，从而提高运算的准确程度．4．课堂练习已知：z＝1＋cosθ＋i sinθ，就下面两种情形求argz．①若π＜α＜π；②π＜α＜π．答案：①π＋α；②α32222()5．讲解例题例2 设复数z满足2|z－3i－3|＝|z|，试求|z|的最大值和最小值．解法1：设z＝x＋yi，则依题意，有2(x3)2－＋－＝＋，()y x y3222化简得 (x－4)2＋(y－4)2＝8．于是可知，对应的点的轨迹是以，为圆心、以为半径的z(44)22圆，易由图形知|z|62|z|22m ax m in＝，＝．点评：通过代数形式，利用模的概念，将复数问题实数化，这是解复数问题的一般思路，由于注意了数形结合，使解题过程显得简捷．解法2：由2|z －3－3i|＝|z|，有－－＝，即＋－＝．|z 33i ||33i z 1|z 1212 令α－＝，可知，α对应的点的轨迹是以，为圆心、以|1|(10)1212 为半径的圆，综合上图易知α＝，||max 32 ||z min α＝，而＝＋α，则1233i |z||33i |6|z||33i |2max maxmin min ＝＋α＝，＝＋α＝．22点评：本题解法、思路较为新颖，通过变形、换元，结合复数的几何意义，简化了运算，这表明，了解复数的一些整体性质，有时不必设z ＝x ＋yi ，而直接用z 进行运算反而简便．6．课堂练习设|z|＝1，argz ＝θ，求使|z ＋1－i|最大的θ值．()答：θ＝π747．归纳小结根据本节课的例题及习题，引导学生进行知识与思想方法上的概括与小结． 布置作业教科书复习参考题B 组第6、7题．。

（一）教法分析因为复数和实数的研究过程和方法是一致的，，所以我采取以下的教学方法（1）基于本节课的内容特点和所教学生的年龄特征，按照聊城一中提出的“六环节”教学模式即提出问题－→学生自学－→小组讨论－→分组展示－→点拨提升－→检测归纳来完成教学。

(2) 我大胆的放手给学生，尝试“兵教兵”的模式，让学生当老师，通过动手，观察，归纳定义，通过分析，计算求出标准方程，在此过程中，渗透类比，数形结合，分类讨论的数学思想。

(二)学法分析“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生，我注意以学生为主体，调动学生的探索，合作，尽可能的增加学生参与的时间和空间，我利用了以下学法指导：类比学习，探究定向性学习，小组合作学习。

学情分析1、学生以了解复数的概念与定义以及复数在数域内的地位。

2、学生知识经验与学习经验较为丰富，以具有类比知识点的学习方法。

3、学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

4、学生的知识面广，思维活跃。

本节课教学，采用问题驱动教学模式，从概念产生的背景到概念的建立、辨析再到概念的应用，层层深入，最后完成评价检测目标的达成。

这样教学，符合“感知—辨认—概括—定义—应用”的概念学习模式。

此外，复数的概念，并不是通过教师的讲授来实现的，而是让学生在问题解决中感悟、体验。

学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价。

我采用及时点评、延时点评与学生互评相结合，全面考查学生在知识、思想、能力等方面的发展情况。

复数是选修2-2第三章的内容，一般说来，高考只有一个选择题，由复数在整个高中数学所处的地位看，复数的考查从分值上、难度上在逐渐下降，这也是目前教学内容改革的趋势，在今后的命题中，复数将以填空、选择题的形式出现，由于难度要求降低，将多以考查基本概念、基本运算的题目出现.考查的内容将是复数的基本概念，加、减、乘、除四则运算，复数的向量表示及简单的几何意义，要注意复数问题实数化处理的化归思想、方程思想和数形结合的思想方法.复习时应注意以下几点：(1)了解引进复数的必要性，理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示和几何意义.(2)掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算.(3)了解从自然数系到复数系扩充的基本思想.1．已知a －2i i＝b ＋i(a ，b ∈R )，则a －b ＝( )． A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－32．若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________. 3.已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.归纳反思。

教学设计课程基本信息学科数学年级高一学期春季课题第七章《复数》小结——复数及其运算的几何意义再探教科书书名：普通高中教材出版社：人民教育出版社教学目标在充分理解复数与有序实数对一一对应的基础上，类比实数的几何意义，思考复数的几何意义. 通过有序实数对与平面内的点一一对应，建立复平面的概念，理解复数()R=、与复平面内的点()ba+Z,一一对应，进而理解构建复数abbiaz∈的第一种几何形态. 通过平面向量的坐标表示及相等向量坐标相同，平面内相等向量亦和一有序实数对一一对应，理解复数()R+z∈=、与向量()bbabia=OZ，a一一对应，进而构建复数的第二种几何形态. 通过提取复数的模r与复数的辐角主值θ，形成有序数对()θ,r，该有序数对也和复数一一对应，因此复数的三角形式亦可理解为复数的又一种几何形态.同时，本节教学目标还包括：通过几何意义理解复数的模及共轭复数的概念，在复数运算中能结合复数的几何意义，融会使用坐标方法及向量方法，促进复数概念几何意义上的理解，提升数形结合、直观想象、逻辑推理的素养.教学内容教学重点：复数的两种几何意义，复数的模及共轭复数的几何意义，复数四则运算的几何意义，复数几何意义的初步运用.教学难点：复数几何意义的产生及运用.教学过程（一）教学流程设计（二）教学过程设计环节一：温故导入，启发思考教师：漫威蜘蛛侠3《英雄无归》影片中，为我们描述了平行宇宙的存在性. 同样的角色，在不同的世界中确有不一样的经历与成长.例如，影片中有一个情节是蜘蛛侠2代在自己的世界里与敌人搏斗痛失爱人，而在3代的世界里，2代通过调整技术拯救了3代的爱人，也弥补了自己的遗憾.教师提问：同学们，这部影片中所刻画的“平行宇宙”给了我们怎样的启发呢？设计意图：以影片情节启发学生思考同样的事物是否可以以不同的形态存在，必要时通过转化形态以帮助解决现实问题，为复数的两种形式（代数形式、几何形式）的转化和应用进行铺垫.思考：（1）实数存在几何形式吗？从代数形式到几何形式如何转化？（2）类比实数，复数存在几何形式吗？从代数形式到几何形式如何转化？师生活动：学生类比初中实数轴定义，由复数的代数形式进行几何表达的扩展思考，教师作引导.设计意图：通过回顾及类比，让学生再次识别复数“有序数对”的本质. 类比实数的几何表示，学生可以联想到复数空间是从一维数轴到二维平面的扩建.答案：（1）实数存在几何形式；每一个实数a都和实数轴上的一个点一一对应，因此可由实数轴上对应的点来表达，这个点的位置记为“ax ”；（2）类比实数，猜想复数亦存在几何形式；由于复数的代数形式是()R b a bi a z ∈+=,，确定一个复数需要同时确定它的实部a 和虚部b ，即有序实数对()b a ，.因此类比一维数轴上的点，考虑可以用平面直角坐标系内的点()b a ，来刻画复数. 同时，有序实数对除了点，还可以有平面向量相对应.环节二：推陈出新，构建新知问题1：尝试在平面直角坐标系内刻画复数：1、2、0、i 、i +1、i -1、i 3-2、思考：每一个复数都可以在平面直角坐标系内刻画吗？存在平面直角坐标系以外的复数吗？复数在平面直角坐标系内对应的点唯一吗？平面直角坐标系内的点表示的复数唯一吗？师生活动：学生动手尝试，在体验数的几何表示过程中感受数与点的一一对应关系，在思考中掌握一一对应关系的理解与判断.设计意图：在第一册函数概念教学中，学生对“一一对应”关系有了一定的理解和判断，在构建不同形态事物的“一一对应”关系中，学生的初判可能是模糊的、直观性的、片面的，我们可以让学生自主尝试数与形的转化过程，在数实例中感受“一一对应”关系的意义. 思考题的设置是帮助学生建立“一一对应”关系的明确认知，将“一一对应”关系的判断依据细化在逐级思考题中，深化学生对“一一对应”关系的认知与理解.答案：在平面直角坐标内作图如下：图1思考：每一个复数都可以在平面直角坐标系内刻画；不存在平面直角坐标系以外的复数；复数在平面直角坐标系内对应的点唯一；平面直角坐标系内的点表示的复数唯一.问题1拓展：（1）实数与实数轴上的点一一对应，其坐标形式如何？（2）对于一般形式的复数()R b a bi a z ∈+=,，在平面直角坐标系下也有点的一一对应关系吗？其坐标形式如何？尝试用图形表示出来.师生活动：教师引导学生类比思考，学生回答问题，教师作点评.设计意图：通过类比，理解在本质上，复数是实数从一元数到二元数的衍生；在代数结构上，复数是从“()R a a ∈”到“()R b a bi a ∈+、 ”的衍生；在坐标表示上，复数是从“()R a a x ∈=”到“()()R b a b a ∈、，”的衍生；在几何空间上，复数集是从实轴到实虚轴新建的复平面的衍生.答案：（1）实数的坐标表示为“()R a a x ∈=”；（2）有，关于复数()R b a bi a z ∈+=、，在平面直角坐标系内，取x 轴上射影为a 、y 轴上射影b 的点()b a Z ，，分别对应复数的实部a 与虚部b ，这样就找到了复数在平面直角坐标系下所对应的点Z ，()b a Z ，亦可作为复数的坐标表示.图2 实数与复数三种形态下的类比 问题2：复数与平面直角坐标系下的点一一对应，这个坐标平面有什么特点，实数、虚数、纯虚数分别在坐标平面的哪些位置？师生活动：教师展示复数的几何形式图，学生就图作出思考、回答.图3 复数的几何形式设计意图：在映射过程中，我们了解到复数点在x 轴、y 轴的投影恰好是复数的实、虚部；反之，找好x 轴、y 轴上的映像位置，我们也可以唯一确定复数所对应点的位置. 由此，我们可以把确定复数实虚部结构的x 轴、y 轴，分别称之为实轴、虚轴. 只要明晰复数的代数形式，就可以根据其代数结构找到复数点的相应位置，并进行归类.答案：复数在此坐标平面内可找到唯一的点与之对应，坐标平面内的点也有唯一的复数与之对应，这个坐标平面囊括了复数系中的每一个数. 根据各类复数的代数形式，我们不难发现，实数均落在x 轴上；反之，虚数落在除x 轴外的位置上；纯虚数则落在y 轴非原点处.教师：我们把上述能表示复数点的直角坐标系平面叫做复平面，x 轴叫做实轴、y 轴叫做虚轴. 我们可以得出结论，复数()R b a bi a z ∈+=、与复平面内的点()b a Z ,一一对应.这是复数的第一种几何意义.图4 复数的几何意义一教师：点可以用坐标（有序数对）表示，还有什么也可以用坐标（有序数对）表示？学生：（思考片刻）“向量”也可以用坐标表示.教师提问：（1）向量与坐标（有序数对）是一一对应的吗？（2）如何理解“相等向量”，“相等向量”的坐标相同吗？对应的复数相同吗？（3）在相等向量中你觉得用哪一种形式表示向量()2,1最简洁？师生活动：学生思考并进行小组交流，教师点评学生结论.设计意图：问题（1）中学生会因“自由向量”的概念产生误判，因此在问题（2）中，教师引导学生对“相等向量”这一概念做出思考.“相等向量”是复数第二种几何意义能否自然过渡的关键一笔. 事实上，在“自由向量”概念的基础上，“相等向量”亦可理解为“同一向量”，只要满足大小相等方向相同（亦即坐标表示相同），向量是唯一确定的.因此，相等向量坐标相同，对应的复数亦是相同的. 反之，相同的复数也对应相等的向量. 问题（3），自由向量下同一向量可以有多种形式的表达，只需满足向量终点减去起点的坐标不变即可.因此，我们努力找到更简洁直接的向量形式，例如表示向量()2,1，可取起点()0,0O 、终点()2,1Z ，向量()2,1可以简洁地用OZ 表示.答案：（1）向量与坐标（有序数对）一一对应；（2）在“自由向量”概念上，“相等向量”亦可理解为“同一向量”，这样一来“相等向量”的坐标是相同的，对应的复数也是相同的；（3）在相等向量中，取起点()0,0O 、终点()2,1Z ，向量()2,1用OZ 表示最为简洁.教师：我们知道，复数与有序数对是一一对应的，而有序数对除了与坐标平面内的点一一对应外，还和平面内的向量一一对应. 这样一来，我们不难得出结论，复数()R b a bi a z ∈+=、与平面向量OZ 一一对应.这是复数的第二种几何意义.图5 复数的几何意义二环节三：辨析理解，巩固新知（一）复数的几何意义“再”认识问题3：虚数有大小之分吗？有正负之分吗？尝试作几何解释.师生活动：学生回顾实数有关“大小”、“正负”的论述，教师帮助学生回顾概念，引导学生作出思考.设计意图：问题3是复数几何形式初步运用，也是让学生辨析理解，深化概念的第一个问题.在复数有关“大小关系”的思考中，教师可以借助例子“i 32+和i 23+哪个大”引导学生作出思考，体会虚数“二元数”的本质，也可和向量进行类比，向量其代数形式上亦是二元数，亦不能直接比较大小,这里彰显了复数几何意义的初步运用.在复数有关“正负”的思考中，我们知道实数系还有一类重要的划分体系就是“正数、0、负数”，这也是在学生头脑中根深蒂固的数系特征. 在复数系的扩展后，学生很容易将以往固化了的数系特征也迁移至复数系中，导致紊乱. 例如，学生在本例中会举出诸如“i 为正数、i -为负数”，或是“i +1为正数、i -1-为负数”的例子，这时教师可引导学生再思考多一些例子“i -2”、“i +2-”等.事实上，正因为虚数无大小关系，无法和0作比较，因此也无正负之分.答案：虚数无大小之分，无正负之分.（二）复数运算律的几何认识教师：我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？师生活动：学生回顾复数几何意义及向量加法几何意义，教师引导学生作图辅助思考.设计意图：在回顾中，学生感悟复数具有几何意义——与平面内以原点为起点的向量一一对应；与此同时，向量加法也具其几何意义：用有向线段作“三角形”或“平行四边形”加法法则. 因此，我们可以借助复平面内作图，引导学生借助坐标工具，实现“复数——向量——向量加法几何意义——复数加法几何意义”的思想过渡.答案：设()R b a bi a z ∈+=,1，()R d c di c z ∈+=,2，向量1OZ ，2OZ 分别与复数1z 、2z 对应，则有()b a OZ ,1=，()d c OZ ,2=.由复数加法法则，我们有：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21；由平面向量的坐标运算法则，得()()()d b c a d c b a OZ OZ ++=+=+,,,21；复数()()i d b c a +++恰好对应向量()d b c a ++,，说明两个复数之和所对应的向量正是原对应向量之和.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义.我们也可用以下图象对复数加法的几何意义作出解释：图6 复数加法的几何意义教师： 类比复数加法的几何意义，你能得到复数减法的几何意义吗？师生活动：学生思考并作图辅助，教师点评.设计意图：在前面复数加法几何意义的铺垫下，学生尝试用向量作减法几何意义思考.答案：设()R b a bi a z ∈+=,1，()R d c di c z ∈+=,2，向量1OZ ，2OZ 分别与复数1z 、2z 对应，则有()b a OZ ,1=，()d c OZ ,2=.由复数减法法则，我们有：()()()()i d b c a di c bi a z z ----21+=++=；由平面向量的坐标运算法则，得()()()d b c a d c b a OZ OZ -,-,-,-21==；复数()()i d b c a --+恰好对应向量()d b c a -,-，说明两个复数之差所对应的向量正是原对应向量之差.因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义.我们也可用以下图象对复数减法的几何意义作出解释：图7 复数减法的几何意义问题4：实数的绝对值是什么？复数也有绝对值吗？尝试作几何解释.师生活动：学生回顾初中“绝对值”，学生回顾概念作出思考.设计意图：问题4是复数几何形式初步运用，也是让学生辨析理解，深化概念的第三个问题.在回顾中，我们获知初中关于绝对值的定义是“数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ”，可以发现这一定义亦可在复数中实现衍生和统一. 同时，由向量“模”的属性，猜想复数亦有“模”这一属性.答案：参照实数绝对值的定义，虽然复数的本质已然不同于以往的实数，但我们依然可以大胆地猜测复数也有“绝对值”这一数字特征.教师：复数()R b a bi a z ∈+=、与平面向量OZ 一一对应.我们把向量OZ 的模叫做复数()R b a bi a z ∈+=、的模或绝对值，记作z 或bi a +，即：22b a bi a z +=+=，其中R b a ∈、. 特别的，如果0=b ,那么bi a z +=是一个实数a ，它的模就等于a （a 的绝对值）.问题5：共轭复数有什么关系吗？尝试作几何解释.师生活动：学生思考后作答，教师作点评.设计意图：问题5是复数几何形式初步运用，也是让学生辨析理解，深化概念的第四个问题.共轭关系是虚数不同于实数所具有的新关系.需特别注意，虚数的共轭关系不同于以往的相反关系，只在虚部取相反数，实部保持不变.通过共轭复数几何表示关系的思考，能让学生在数形结合中深化对共轭关系的理解，同时也是复数几何意义的应用体现.答案：共轭复数相加为实数，相减为纯虚数，模相等.课堂练习1：（2020新课标Ⅱ）设复数1z 、2z 满足221==z z ，i z z +=+321.则=-21z z .师生活动：课堂练习在学生思考的基础上师生共同完成.设计意图：用代数法和几何法分别求解复数方程，凸显复数几何意义运用的便捷和巧妙.答案：（代数法）设()R b a bi a z ∈+=、1，()R d c di c z ∈+=、2由题知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+13442222d b c a d c b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====1320d c b a故i z 21=，i z -=32，故i z z 3311+-=-，故3211=-z z .（几何法）课堂练习2：探究以下结论是否成立.（1）2121z z z z +=+；（2）2121z z z z -=-.师生活动：课堂练习在学生思考的基础上师生共同完成.21=z 22=z 221=+z z 32-21=z z设计意图：考查学生对共轭复数重要性质的理解与验证，在运算结果中理解共轭复数“对称”的重要性质，在代数证明和几何说明的对比中，凸显复数几何意义运用的便捷和巧妙.答案：（1）（代数证明）设()R b a bi a z ∈+=、1、()R d c di c z ∈+=、2，则()()()()i d b c a i d b c a z z +-+=+++=+21，且()()()()i d b c a di c bi a z z +-+=-+-=+21，故2121z z z z +=+成立.（几何说明）1z 与1z 关于x 轴对称，2z 与2z 关于x 轴对称，故有21z z +与21z z +关于x 轴对称.又21z z +本身与21z z +对称，故2121z z z z +=+成立.图8 （2）（代数证明）设()R b a bi a z ∈+=、1、()R d c di c z ∈+=、2，则()()()()i b d c a i d b c a z z -+-=-+-=-21，且()()()()i b d c a di c bi a z z -++=---=-21，故2121z z z z -=-成立.（几何说明）1z 与1z 关于x 轴对称，2z 与2z 关于x 轴对称，故有21z z -与21z z -关于x 轴对称.又21z z -本身与21z z -对称，故2121z z z z -=-成立.图9yxb b-a ()b a Z ,1()d c Z ,221z z -yxbb-a ()b a Z ,1()d c Z ,221z z +课堂练习3：求解复数方程1=-i z .师生活动：课堂练习在学生思考的基础上师生共同完成.设计意图：用代数法和几何法分别求解复数方程，再次凸显复数几何意义运用的便捷和巧妙.答案：（1）（代数方法）设复数()R b a bi a z ∈+=、，则()()R b a i b a i z ∈-+=-、1，则()()11122=-+=-+=-b a i b a i z ， 化简得()1122=-+b a . （2）（几何法一）设复数()R b a bi a z ∈+=、，则i z -可理解为z 对应的点()b a ，到点()10，的距离. 由圆的定义可知，复数z 所对应的点()b a ，满足方程()1122=-+b a . （3）（几何法二）设复数()R b a bi a z ∈+=、，复平面内z 对应向量()b a OZ ，=→，i 对应向量()10，=→OP . 则()1122=-+==-=-→→→b a PZ OP OZ i z ， 化简得()1122=-+b a .环节四：新知应用，巩固内化巩固练习1:如果P 是复平面内表示复数()R b a bi a ∈+、的点、分别指出在下列条件下点P 的位置.（1）00>>b a ，； （2）00><b a ，； （3）0<b ；（4）00≤=b a ，； （5）0=+b a .师生活动：巩固练习由学生自主完成，教师做点评.设计意图：本题改编自课本P73页习题7.1第4题，数形结合考查学生对复数几何意义一的理解.答案：（1） （2） （3）（4） （5） 巩固练习2:设C z ∈，在复平面内z 对应的点为Z ，那么满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？（1）1=z ；（2）1≤z ； （3）21<<z .师生活动：巩固练习由学生自主完成，教师做点评.设计意图：本题为课本例3，数形结合考查学生对复数模的几何意义的理解. 答案：（1）满足1=z 的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，如下图;（2）满足1≤z 的点在以原点为圆心，1为半径的圆面上，如下图;（3）满足21<<z 的点在以原点为圆心，1及2为半径的两圆所夹的圆环内（不包括圆环的边界），如下图.（1） （2） （3） 巩固练习3:设C z ∈，在复平面内z 对应的点为Z ，那么满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？（1）3i -2-=z ； （2）2-<i z ； （3）i z z +=-1.师生活动：巩固练习由学生自主完成，教师做点评.设计意图：数形结合考查学生对复数减法几何意义及其模的理解.答案：（1）()32-2=+=--i z i z ，满足()32-=+i z 的点在以()1,2为圆心，3为半径的圆上，如下图;（2）满足1-<i z 的点在以()1,0为圆心，1为半径的圆内部，如下图;（3）满足i z z +=-1的点在以()0,1、()01-，为端点的线段的中垂线上，如下图.（1） （2） （3）巩固练习4:快速写出下列复数方程的解.（1）1=z ；（2）11-=z ；（3）1=+i z ；（4）132=+-i z .师生活动：巩固练习由学生自主完成，教师做点评.设计意图：考查学生对复数方程几何认识的掌握.答案：（1）122=+b a ；（2）()1122=+-b a ；（3）()1122=++b a ；（4）()()13222=++-b a .环节五:归纳总结,反思提升问题6：（1）在本节课中，你学习到了复数及其运算律有哪些几何意义？（2）复数的几何意义相比于实数有什么区别和联系？（3）复数运算律的几何意义相比于实数有什么区别和联系？师生活动：学生思考、总结，进行组内交流，以师生对话的形式进行小结. 设计意图：学生总结本节课的第一个重点知识“复数的两种几何意义”，在总结中收获复数在几何形式下的理解与应用.在总结中，学生理解复数的第一种几何意义是在实数基础上做延伸，将实数轴扩充为复平面；而复数的第二种几何意义亦是在共线向量的基础上衍生至共面向量.通过两种几何意义的回顾，在几何角度上完成实、复数的区分与统一.同时，在几何意义背景下从复数概念到复数运算的迁移与思考，使得复数概念的几何意义得到应用与深化.学生总结本节课的第二个重点知识“复数加（减）法运算的几何意义”，明确复数加（减）法运算本质上是关于其实、虚结构的一次二项式加（减）法.在复数加（减）法几何意义中，考虑到实数本身是作为复数的真子集，复数的加（减）运算及几何意义也应适用于实数集，但实数集显然更具特殊性.事实上，在实数加（减）法的几何意义探讨上，我们只需将平面向量特殊成与x 轴共线的向量即可.答案：（1）复数的几何意义一：复数与复平面内的点一一对应；复数的几何意义二：复数与平面向量OZ 一一对应.复数加（减）法运算与点坐标加（减）法运算、向量加（减）法运算相呼应.复数的加减运算同样也具有相关的几何意义.例如i z 211+=，i z 322-=，在复数的几何意义一下，复数1z 对应点()2,11Z ，复数2z 对应点()3-,22Z ，则21z z +所对应的点Z 可理解为点()2,11Z 作迁移运动，即将点()2,11Z 往右平移2个单位长度，再往下平移3个单位长度，得到的新点()1,3-Z ；在复数的几何意义二下，复数1z 对应向量()2,11=OZ ，复数2z 对应向量()3-,22=OZ ，则21z z +所对应的向量可理解为向量1OZ 与向量2OZ 的和向量，即()()()1-33-22,121，，=+=+=OZ OZ OZ .（2）实数作为一类特殊的元素存在于复数系中，同样和复数具有相同的几何意义，实数对应的点与向量所在的几何空间，亦是复数所在几何空间的一部分特殊结构.（3）复数加（减）的几何意义在实数中仍然适用.教学反思复数的几何意义是从几何角度重新认识复数，也是从“形”的角度说明了虚数的存在性.从复数有序数对的本质出发，通过有序数对与点、平面向量的一一对应，实现了复数与点、平面向量的一一对应的过渡.本节课着重培养学生数形结合、直观想象、逻辑推理的素养. 让学生在类比思考、下笔尝试、讨论交流中不断丰富对复数几何意义的认识，也在两种几何意义中实现复数与实数的区分与统一.本节课的第一个难点在于复数与平面向量一一对应过程的实现，以及复数模的相关应用. 在解决第一个教学难点中，借助了“相等向量”这一重要概念. 通过“相等向量坐标相等”，完成了“复数”——“坐标——“向量”的对应关系的过渡，并为使直观简洁，之后统一使用向量OZ （O 为坐标原点，Z 为复数z 在复平面内对应的点）作为复数z 的向量表示. 在解决第二个教学难点中，采用逐级引问的形式，从“复数的绝对值是否存在”，到“复数的模（绝对值）概念的引入”，再到“复数的模的形式的几何理解”，通过复数的两种几何意义形态对“复数模的几何理解进行验证”,最后到“复数模的具体应用”，引导学生自主完成复数模的概念理解与应用，也是从几何角度实现复数概念的又一次理解与深化.“数”与“运算”是数系扩充两个不可缺少的方面. 本节继新数概念之后，对新数加（减）运算、运算律及几何意义作出探讨，在数系扩充中不乏严谨性与理论性. 在教学中，根据学生实际，注重创设情境、注重自主探究、注重深入浅出、注重类比深化，在问题的层级引导中让学生体会数系扩充中运算层面的思考，引导学生在新数概念之后对数系有更深层次亦更具有系统性的认识，也是对数系扩充这一过程的一次较为严谨的学术上的体验.复数概念的几何意义本身已是难点，在复数概念基础上对复数运算也引入几何意义的思考，是对学生的又一次思维上的考验. 本节课之前，若时间充裕，建议可以给学生适当复习向量运算及坐标表示，帮助学生实现“复数运算——坐标运算——向量运算”的顺利过渡，体会复数概念及复数运算几何意义的相统一. 备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加.。

本章小结1.理解复数引入的必要性，了解数系的扩充，理解复数的代数表示及其几何意义、复数相等的条件.2.掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加减运算的几何意义.教学重点：复数的概念及四则运算.教学难点：复数几何意义的理解.PPT课件.一、知识回顾问题1：阅读课本第187页，绘制本章知识结构图.师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结.预设的答案：设计意图：通过阅读课本，让学生明晰学习目标，完善搭建本章知识结构图二、问题导入问题1在数系的扩充过程中，实际需求和数学内部需求起到了什么作用？师生活动：学生思考回忆，教师补充.预设的答案：推动了数系的扩充.设计意图：理解数系扩充的必要性.问题2复数四则运算中最主要的是什么？为什么？师生活动：学生回忆、教师点拨.预设的答案：复数四则运算中最主要是乘法运算，因为乘法运算包含函了复数的加减运算，除法运算，可以转化为乘法运算，因此是四则运算最重要的.设计意图：通过复习回忆，对本章进行一个小结-----本章小结.（板书）【新知探究】1.复数的基本概念问题3：处理复数概念问题的需要注意什么？师生活动：学生分析、老师点拨预设的答案：需要注意：(1)当复数不是a＋b i(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋b i 的形式，以便确定其实部和虚部.(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.追问：复数问题实数化的理论依据是什么？师生活动：学生分析、老师点拨预设的答案：是复数相等的充要条件设计意图：培养学生分析和归纳的能力.2. 复数的几何意义问题4：如何利用复数的几何意义解决问题？师生活动：学生分析、老师点拨预设的答案：复数具有明显的几何意义,与向量关系密切.复数与复平面内的点是一一对应的,与复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的.当条件中出现与复数模有关或与平面图形有关的问题时,一般要联想复数的几何意义.设计意图：培养学生分析和归纳的能力.3.复数的四则运算问题5：在复数运算的过程中常用的公式有哪些？ 师生活动：学生分析、老师点拨预设的答案：(1)i 的乘方：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i (n ∈N *).(2)(1±i )2＝±2i.,(3)122⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭3＝－1.问题6：求解复数的四则运算求复数的一般思路是什么？ 师生活动：学生分析、老师点拨预设的答案：复数的运算包括加、减、乘、除，在解题时应遵循“先定性、后解题”的原则，化虚为实，充分利用复数的概念及运算性质实施等价转化.问题7：求复数的模的最值，常用的方法有哪些？ 师生活动：学生分析、老师点拨预设的答案：(1)设出代数形式，利用求模公式，把模表示成实数范围的函数，然后利用函数来求最值；(2)利用不等式||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|求解；(3)利用几何法求解. 设计意图：培养学生分析和归纳的能力.二、题型探究例1.已知复数i(0,)z a a a R =+>∈，i 为虚数单位，且复数2z z+为实数. （1）求复数z ；（2）在复平面内，若复数2()m z +对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.师生活动：分析思路，解出答案.预设的答案：（1）因为i(0)z a a =+>，所以z ＋2z ＝a ＋i ＋2ia + ＝i a +＋2(i)(i)(i)a a a -+-＝i a +＋222i1a a -+＝22221i 11a a a a ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，由于复数z ＋2z为实数，所以1－221a +＝0，因为0a >，解得1a =，因此，1i z =+.（2）由题意22()(1i)m z m +=++22(1)12(1)i (2)2(1)i m m m m m =+-++=+++，由于复数2()m z +对应的点在第一象限，则()220210m m m ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩，解得0m >.因此，实数m 的取值范围是(0,)+∞.设计意图：理解复数的概念、掌握复数的运算.例2(1) 已知z 是z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i (2)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝232i(2i)++，则12z z ＝( )A.－4＋3iB.3＋4iC.3－4iD.4－3i师生活动：学生分析解题思路，教师写出解题过程.预设的答案：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，代入z ·z i ＋2＝2z 中得，(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，∴2＋(a 2＋b 2)i ＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得，22222a a b b =⎧⎨+=⎩，∴11a b =⎧⎨=⎩，∴z ＝1＋i ，故选A. (2) 12z z ＝2(23i)(2i)32i -++＝2(23i)(32i)(2i)(32i)(32i)--++-＝－13i(34i)13+＝4－3i.【变式设问1】本例题(1)中已知条件不变，则zz＝ . 【解析】由例(1)解析知z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，z z ＝1i 1i+-＝i.【变式设问2】本例题(2)中已知条件不变，则z 1z 2＝ . 【解析】z 1z 2＝2(23i)(32i)(2i)-++ ＝125i (125i)(34i)34i (34i)(34i)---=++-＝221663i 1663i 342525-=-+. 设计意图：运用复数的运算解决问题.例3. 已知复数24i1im z +=-（,i m R ∈是虚数单位）. （1）若z 是纯虚数，求m 的值和|z|；（2）设z 是z 的共轭复数，复数2z z -在复平面上对应的点位于第三象限，求m 的取值范围.师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程. 预设的答案：（1）由题复数24i1im z +=-（,i m R ∈是虚数单位）， 化简2224i (24i)(1+i)24i 42i(12)(21)i 1i (1i)(1+i)1i m m m mi z m m +++++====-++--- 若z 是纯虚数，则120210m m -=⎧⎨+≠⎩ ，解得12m =， 此时2i z = 所以||2z =.（2）由（1）可知(12)(21)i z m m =-++，所以(12)(21)i z m m =-++，221(21)i z z m m -=-++，又因为复数2z z -在复平面上对应的点位于第三象限， 所以210210m m -<⎧⎨+>⎩ ，即1122m -<<.设计意图：运用复数的运算、复数的模解决问题.例4 把下列复数转化为三角形式.(1)－1；(2)2i ；i.师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程.预设的答案：(1)r 1，辐角的主值为θ＝arg(－1)＝π， 所以－1＝cos π＋isin π.(2)r 2，辐角的主值为θ＝arg(2i)＝2π，所以2i ＝2(cos isin )22ππ+.(3)r 2，由tan θ3=-和点1)在第四象限，得θ＝－i)＝2π－1166ππ=，i ＝21111(cosisin )66ππ+. 设计意图：运用复数三角形式解决问题.【板书设计】2.总结概括：问题8：（1）解决复数问题是否用到待定系数法？ （2）解决复数问题用到什么思想方法？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）待定系数法是数学中特别重要的一种解题方法，在本章的复数的运算当中，待定系数法用的较多，常设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，建立a ，b 的关系式，然后求解问题. （2）一般设出复数z 的代数形式，即z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则涉及复数的分类讨论思想，复数几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x ，y 应满足的条件，即复数问题实数化的思想.设计意图：通过梳理本章的内容，能让学生更加明确本章的有关知识.布置作业： 【目标检测】1.（2020年新高考全国Ⅱ卷）2i12i-=+（ ） A.1 B.−1 C.i D.−i设计意图：检查学生对复数运算的掌握情况. 2.（2020年全国Ⅲ）复数113i-的虚部是（ ） A.310-B.110- C.110 D.310设计意图：检查学生对复数概念的掌握情况3.（2020年全国Ⅱ卷）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z，12i z z +=，则12||z z -=__________. 设计意图：检查学生对复数模长的求解，涉及到复数相等的应用. 4. 设复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R )，z 2＝3－4i （1）若z 1＋z 2是实数，求z 1·z 2的值； （2）若12z z 是纯虚数，求|z 1|.设计意图：检查学生对复数概念、运算的掌握情况. 参考答案：1.D2i (2i)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5----===-++-. 2.D 因为113i 13i 13i (13i)(13i)1010z +===+--+， 所以复数113iz =-的虚部为310.3. 【解析】方法一：设1i,(,)z a b a R b R =+∈∈，2i,(,)z c d c R d R =+∈∈，12()i i z z a c b d ∴+=+++=，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=，2ac bd ∴+=-，12()()i z z a c b d ∴-=-+-()22()()82a c b d ac bd =-+-=-+8423=+=.方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 由已知12312OZ OZ OP =+===,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ ∆∆都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=，∴1212z 23z Z Z -==.4.解析：（1）1i 2z a =+（其中)a R ∈，234i z =-，125(4)i z z a ∴+=+-，由12z z +是实数，得4a =.1i 24z ∴=+，234i z =-，则12(24)(34i i)4i 22z z ⋅=+-=+.（2）由122(2)(34)643834(34)(34i i i i i i )25i 25z a a a a z +++-+===+--+是纯虚数， 得640380a a -=⎧⎨+≠⎩，即32a =，1395|||2|42i 42z ∴=+=+.。

复数小结与复习(一)·教案示例目的要求1．通过本课的小结与复习，对本章第一单元(复数及其四则运算)知识内容进行梳理，突出知识间的内在联系，在综合运用知识解决问题的能力上提高一步．2．通过对例题的讲解、讨论及相关训练，进一步理解复数的有关概念、复数的代数表示与向量表示、复数代数形式的运算及相关的几何背景．内容分析1．本单元内容大致可分为三个部分：(1)复数的概念数集的扩充过程是：自然数集(N *)→整数集(Z)→有理数集(Q)→实数集(R)→复数集(C)．教学中应强调数集扩充的必要性，以及复数产生的必然性．2．复数的表示：代数表示与几何表示任一复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)和复平面内的一点Z(a ，b)对应，也可以和点，的位置向量对应，这些对应都是一一对应，即→Z(a b)OZ在这些对应下，复数的各种运算都有特定的几何意义．3．复数的四则运算复数的加、减、乘、除与实数四则运算相类似，学生不难掌握．关键是四则运算的几何意义，学生掌握起来有点困难．教师在教学时，应先复习一下平面向量的相关知识，再结合前面复数与向量的一一对应关系就可迎刃而解．教学过程1．内容小结对本章第一单元知识作一番小结，可采用列提纲或填表格形式，让学生自己归纳总结所学知识内容．教师可因势利导，对一些关键之处予以强调点拨，如复数＝＋与复平面上的点，和位置向量之→z a bi Z(a b)OZ间的对应关系、复数加法与减法的几何意义、平行四边形法则与三角形法则的用法等等．2．注意的问题(1)应注意实数、虚数、纯虚数、复数之间的区别与联系．它们的关系可用以下图表示：(2)复数z ＝a ＋bi 用复平面内的点Z(a ，b)表示，点Z 的坐标是(a ，b)而不是(a ，bi)，也就是说，复平面内纵坐标的单位长度是1，而不是i ．(3)复数虽然不能一概地去比较大小，但因为复数的模是实数，可以比较大小，利用复数的模可得出一些不等式，如||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|及|z|＜r 等等，这些复数模的不等式都有鲜明的几何意义，应加以留心．(4)复数的加减运算与用坐标表示的平面向量的加减运算是一致的．一般地，用复数的代数形式进行复数的加减运算较为方便．3．讲解例题例已知、∈，＝＝，＋＝，求－．1 z z C |z ||z |1|z z ||z z |121212123解法1：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ，z 1－z 2＝(a －c)＋(b －d)i ．∵＝＝，＋＝．|z ||z |1|z z |12123∴a 2＋b 2＝1①c 2＋d 2＝1②(a ＋c)2＋(b ＋d)2＝3③将①、②代入③可得ac bd ＋＝．12于是|z 1－z 2|＝1．解法2：由|z 1|＝|z 2|＝1可知，z 1、z 2所对应的点在单位圆上．如图5－13所示，设z 1、z 2、z 1＋z 2分别对应A 、B 、C 之点．则|OA||OB|1|OC|→→→＝＝，＝．3又＝＋，→→→OC OA OB∴四边形OACB 是平行四边形．∴∠＝＋－·＝＋－＋＝－．→→→→→cos OAC (||||||)||||||||||||||OA AC OC OA OC z z z z z z 2221222122122212 ∴∠OAC ＝120°，∠AOB ＝60°．因此，△是正三角形，故－＝＝→AOB |z z ||AB|112例2 复平面内点A 对应的复数是1，经过点A 作虚轴的平行线l ，设上的点对应的复数为，求所对应点的轨迹．l z 1z分析：因为在复平面上的点A 的坐标为(1，0)，l 过点A 平行于虚轴．因此，直线l 上的点对应的复数z 的实部为1，可设z ＝1＋bi(b ∈R)，然后再求所对应的点的集合．1z解：如图5－14所示，因为点A 对应的复数为1，直线l 过点A 且平行于虚轴，所以，可设直线l 上的点对应的复数为z ＝1＋bi(b ∈R)．因此，＋－＋，1z =11bi =1bi 1b 2 设＝＋，于是1zx yi x yi i ＋＝＋－＋．11122b b b 根据复数相等的条件，有x y ＝＋，＝－＋．11122b b b ⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 消去b 可得x y (b 1b )x 2222＋＝＋＋－＋＝．1122()b ∴x 2＋y 2＝x(x ≠0)．即－＋＝≠．(x )y (x 0)221214 ∴所对应点的集合是以、为圆心，为半径的圆，但不包112z (120) 括原点O(0，0)．4．课堂练习教科书复习参考题A 组第6、9题．5．归纳小结着重对上述例题的解题思路进行小结．布置作业教科书复习参考题B 组第4、7题．。

复习内容：数的认识（二）复习目标:1、使学生进一步理解和掌握分数、小数的基本性质。

2、使学生进一步理解因数、倍数、质数、合数等意义，能熟练地找出两个数的公因数、公倍数等。

3、熟练掌握2、3、5倍数的特征，并正确解决有关问题。

复习过程：一、回顾与交流1、分数的基本性质与小数的基本性质。

（1）分数的基本性质。

%1分数的基本性质是什么？板书：分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外）分数的大小不变。

%1填一填。

%1分数大小不变，但什么变了？（分数单位变了）（2）小数的基本性质。

%1小数的基本性质是什么？板书：小数末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变。

%1把下面的小数改写成两位小数。

0. 300 2.5 4.3 000%1小数大小不变，但什么变了？（小数计数单位变了）（3）小数的基本性质与分数的基本性质是一•致的.如：0.3 二0.30 二0.300（3）小数点移动位置，小数的大小会发生什么变化？如果把小数点向右移动一位、两位、三位……这个小数比原来的数就扩大10倍、100倍、1000倍……如果把小数点向左移位一位、两位、三位……这个数就比原来的数缩小10倍、100 倍、1000倍……2.倍数与因数。

(1)什么是倍数？什么是因数？举例说明。

%14 X5=2020是5和4的倍数。

4和5都是20的因数。

%120的因数还有哪些？ -•共有多少个？20的因数有1, 20, 2, 10, 4, 5o 一,共有6个。

%14的倍数还有哪些？一共有几个？4的倍数有4, 8, 12,……,有无数个。

%1着重说明：最小最大个数因数1本身有限倍数本身/ 无限(2)2、3、5倍数的特征。

%12的倍数特征是什么？举例说明。

什么是偶数？什么是奇数？个位上是0, 2, 4, 6, 8的数都是2的倍数。

是偶数。

%15的倍数特征是什么？举例说明。

个位上是0或5的数，都是5的倍数。

如：10, 25, 45, 60等。

%13的倍数特征是什么？举例说明。