2020高考数学总复习 第十八讲 两角和与差及二倍角公式 新人教版

2020年高考理科数学一轮总复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式[基础梳理]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(2)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.(3)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.(4)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．倍角公式(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α.(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.1．和、差、倍公式的转化2．公式的重要变形(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α＋βαtan β)． (4)辅助角公式：a sinx ＋b cosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. [四基自测]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( ) A.89 B.79C ．－79D ．－89解析：∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.故选B. 答案：B2．(教材改编)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝1517，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，56π，则sin α的值为( )A.817 B.153＋834C.15－8334D.15＋8334答案：D3．(教材改编)化简cos 15 °cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32 答案：A4．若α是第二象限角，且sin(π－α)＝35，则tan 2α＝________. 答案：－2475．(教材改编)tan 54π＋tan 512π1－tan 512π＝________.答案：－3考点一 两角和、差及倍角公式的直接应用◄考能力——知法[例1] (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝25，则sin 2α＝________.解析：sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2 sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252－1＝－1725.答案：－1725(2)(2019·抚顺模拟)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0)的最小正周期为10π.①求ω的值；②设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值． 解析：①由于函数f (x )的最小正周期为10π，所以10π＝2πω，所以ω＝15.②由①知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，所以2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－65，所以sin α＝35.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，所以2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝2cos β＝1617， 所以cos β＝817.又因为α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝45，sin β＝1517，所以cos(α＋β)＝cos α cos β－sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α ＝15， 解得tan α＝32. 答案：322．(2018·高考江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解析：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43 cos α. 因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β) ＝－211.考点二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用◄考素养——懂理 [例2] (1)计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12 B.12C.32 D ．－32解析：原式＝sin 70°sin 20°cos 225°－sin 225°＝cos 20°sin 20°cos 50° ＝12×sin 40°sin 40° ＝12. 答案：B(2)计算：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A ．sin(α＋2β) B ．sin α C ．cos(α＋2β)D ．cos α解析：原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. 答案：D(3)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°·tan 35°＝________.解析：原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3. 答案： 31.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．2.和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α＋βα·tan β)．3.倍角公式变形：降幂公式．[拓展]1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2± cos α22,1＋cos α＝2cos 2 α2，1－cos α＝2sin 2α2. 提醒：tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.解析：∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1. ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12， ∴sin(α＋β)＝－12. 答案：－12逻辑推理——三角恒等变换中的核心素养逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳与类比，另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.[例]已知：①tan 10°tan 20°＋tan 20° tan 60°＋tan 60° tan 10°＝1，②tan 5° tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1，③tan 20°tan 30°＋tan 30°·tan 40°＋tan 40°·tan 20°＝1成立．由此得到一个由特殊到一般的推广．此推广是什么？并证明．解析：观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°，20°＋30°＋40°＝90°，猜想此推广为：若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ都不为k·180°＋90°(k∈Z)，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.证明如下：因为α＋β＋γ＝90°，所以β＝90°－(α＋γ)，故tan β＝tan [90°－(α＋γ)]＝sin[90°－(α＋γ)]cos[90°－(α＋γ)]＝cos(α＋γ)sin(α＋γ)＝cos αcos γ－sin αsin γsin αcos γ＋cos αsin γ＝1－tan αtan γtan α＋tan γ.所以tan αtan β＋tan β tan γ＝1－tan αtan γ，即tan αtan β＋tan βtan γ＋tan αtan γ＝1.课时规范练A组基础对点练1．(2019·成都模拟)计算：sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝()A.32B．－32C．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12. 答案：D2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.79解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，所以22(sin θ＋cos θ)＝13，两边平方得12(1＋sin 2θ)＝19，解得sin 2θ＝－79. 答案：A3．(2019·大庆模拟)已知 α，β都是锐角，且sin αcos β ＝cos α(1＋sin β)，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：因为sin αcos β＝cos α(1＋sin β)， 所以sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，所以α－β＝π2－α，即2α－β＝π2. 答案：B4．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则cos 2β＝( )A ．－32 B ．－1 C ．0D ．1 解析：由题意知：cos α＝1－15＝255，cos(α－β)＝1－110＝31010.所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22.所以cos 2β＝2cos 2β－1＝2×12－1＝0.5．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )A.43B.34C ．－34D ．－43 答案：C6．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13D.12解析：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2 θ，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12.答案：D7．cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2 π8－sin 2π8＝cos(2×π8)＝22.答案：228．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17＋21－27＝3. 答案：39．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是__________．解析：∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案：π10．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75. 答案：75B 组 能力提升练11．(2019·肇庆模拟)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731解析：由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1＝－1731. 答案：D12．(2019·吉林大学附中检测)若α∈(π2，π)，且3cos 2α＝sin(π4－α)，则sin 2α的值为( ) A ．－356B ．－16C ．－3518D ．－1718解析：∵3cos 2α＝sin(π4－α)，∴3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，易知sinα≠cos α，故cos α＋sin α＝26，1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D. 答案：D13．若tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( )A ．－210 B.210 C.5210 D.7210。

4.3 两角和与差、二倍角的公式（二）●知识梳理 1.在公式S （α+β）、C （α+β）、T （α+β）中，当α=β时，就可得到公式S 2α、C 2α、T 2α，在公式S 2α、C 2α中角α没有限制在T 2α中，只有当α≠2πk +4π且α≠k π+2π时，公式才成立. 2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2α=cos 2α－sin 2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α.变形公式sin 2α=22cos 1α-，cos 2α=22cos 1α+.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用. ●点击双基 1.下列各式中，值为21的是 A.sin15°cos15°B.2cos 212π－1C.230cos 1︒+ D.︒-︒5.22tan 15.22tan 22.设a =sin14°+cos14°，b =sin16°+cos16°，c =66，则a 、b 、c 的大小关系是 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c3.若f （tan x ）=sin2x ，则f （－1）的值是 A.－sin2B.－1C.21 D.14.（春季上海，13）若cos α=53，且α∈（0，2π），则tan 2α=____________.5.（春季北京，11）已知sin 2θ+cos 2θ=332，那么sin θ的值为____________，cos2θ的值为____________.●典例剖析【例1】 试求函数y =sin x +cos x +2sin x cos x +2的最大值和最小值，若x ∈［0，2π］呢？【例2】 已知sin （x －4π3）cos （x －4π）=－41，求cos4x 的值.【例3】 已知α为第二象限角，cos 2α+sin2α=－25，求sin 2α－cos 2α和sin2α+cos2α的值.●闯关训练 夯实基础1.已知f （x ）=x -1，当θ∈（4π5，2π3）时，f （sin2θ）－f （－sin2θ）可化简为 A.2sin θB.－2cos θC.－2sin θD.2cos θ2.（春季上海，14）在△ABC 中，若A a cos =B b cos =C ccos ，则△ABC 是 A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形3.若8cos （4π+α）cos （4π－α）=1，则sin 4α+cos 4α=_______.4.若tan x =2，则xx x xcos sin 1sin 2cos 22+--=_______.5.化简xx x x x 2sin 1cos sin 1cos sin ））（（+--+.6.（江苏，17）已知0＜α＜2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin （α－3π）的值.培养能力7.已知f （x ）=2a sin 2x －22a sin x +a +b 的定义域是［0，2π］，值域是［－5，1］，求a 、b 的值.8.（湖北，17）已知6sin 2α+sin αcos α－2cos 2α=0，α∈［2π，π），求 sin （2α+3π）的值.探究创新9.将一块圆心角为120°，半径为20 cm 的扇形铁片截成一块矩形，如图，有2种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA 上或让矩形一边与弦AB 平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值.A ABBMMO O 甲乙●思悟小结 1.化简要求：（1）能求出值的应求出值. （2）使三角函数种数尽量少. （3）使项数尽量少.（4）尽量使分母不含三角函数. （5）尽量使被开方数不含三角函数. 2.常用方法：（1）直接应用公式.（2）切割化弦，异名化同名，异角化同角.（3）形如cos αcos2αcos22α…cos2n α的函数式，只需将分子、分母分别乘以2n +1sin α，应用二倍角正弦公式即可.教学点睛1.公式的熟与准，要依靠理解内涵，明确联系应用，练习尝试，不可机械记忆.2.要重视对遇到的问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，有利于缩短运算程序，提高学习效率.3.角的变换体现出将未知转化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一.拓展题例【例1】 若sin αcos β=21，求cos αsin β的取值范围.【例2】 （东北三校高三第一次联考题）已知a =（cos23x ，sin 23x ），b =（cos 2x ，－sin 2x ），x ∈［0，2π］. （1）求a ·b 及|a +b |；（2）若f （x ）=a ·b －2λ|a +b |的最小值是－23，求λ的值.。

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式对应学生用书P481．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[小题体验]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，－π2＜α＜0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝______. 答案：－122．化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为________． 答案：123．已知sin(α－π)＝35，则cos 2α＝________.答案：7254．化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝________.解析：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．[小题纠偏]1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案：162．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________. 解析：由已知可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π3对应学生用书P48考点一 三角公式的基本应用 (基础送分型考点——自主练透)对应学生用书P48[题组练透]1．(2018·苏州期末)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13，则sin αcos α＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13， ∴tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan⎝⎛⎭⎫α－π4＋11－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13＋11－⎝⎛⎭⎫－13＝12， ∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1214＋1＝25. 答案：252．(2018·海安高三学业质量测试)已知cos α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝________.解析：因为cos α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝45， 则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝12sin α＋32cos α＝4＋3310. 答案：4＋33103．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－12，∴sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 3[谨记通法]三角公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．考点二 三角公式的逆用与变形用 (重点保分型考点——师生共研)对应学生用书P49[典例引领]1．(2019·汇龙中学检测)计算：3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 解析：3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2(2cos 212°－1)·sin 12°＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12° ＝23·sin (12°－60°)cos 24°·2sin 12°cos 12°＝－23sin 48°cos 24°·sin 24°＝－4 3.答案：－4 32．已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝________.解析：由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝74， 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以0＜π4－θ＜π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34.2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝32. 答案：32[由题悟法]1．三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．2．三角函数公式逆用和变形用应注意的问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[即时应用]1．(2018·启东中学测试)sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.答案：122．(2019·南京四校联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435， 所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－45考点三 利用角的变换进行求值 (重点保分型考点——师生共研)对应学生用书P49[典例引领](2019·镇江模拟)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α－β)＝3314.(1)求tan 2α； (2)求β.解：(1)∵α为锐角，cos α＝17，∴sin α＝1－cos 2α＝437，则tan α＝sin αcos α＝4 3.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－8347. (2)∵α，β为锐角，∴－π2＜α－β＜π2，又sin(α－β)＝3314，∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314. ∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32， ∴β＝π3.[由题悟法]1．利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．角变换的几个注意点明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等． [即时应用]1．已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫α－π31＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12.答案：122．(2018·扬州高三期末)已知cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，则sin(π＋α)＝________. 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以π3＜π3＋α＜π2，故sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝223，所以sin(π＋α)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π3＋α＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋αcos 2π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋αsin2π3＝223×⎝⎛⎭⎫－12＋13×32＝3－226.答案：3－226一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·无锡调研)已知sin(α＋30°)＝35，60°＜α＜150°，则cos α＝________.解析：∵60°＜α＜150°，∴90°＜α＋30°＜180°， ∵sin(α＋30°)＝35，∴cos(α＋30°)＝－1－sin 2(α＋30°)＝－45，∴cos α＝cos [(α＋30°)－30°]＝cos(α＋30°)cos 30°＋sin(α＋30°)sin 30° ＝－45×32＋35×12＝3－4310.答案：3－43102．若2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3sin(π－θ)，则tan θ＝________. 解析：由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ， 即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32. 答案：323．(2018·苏锡常镇调研)若tan α＝12，tan(α－β)＝－13，则tan(β－2α)＝________.解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan(α＋α－β)＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－131－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－17.答案：－174．(2019·泰州调研)已知α∈(0，π)，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－35，则tan α＝________. 解析：因为α∈(0，π)，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－35，所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π，5π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ －1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34＝1＋tan α1－tan α，所以tan α＝－17. 答案：－175．(2018·常州模拟)已知cos(θ＋π)＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝________. 解析：cos(θ＋π)＝－13，所以cos θ＝13，sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－79. 答案：－796．(2018·江苏太湖高级中学检测)设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________． 解析：由题可知，tan α＝sin αcos α＝2，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案：－43二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·无锡一中检测)已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－x ＋tan 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝________. 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝13， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝89， 且sin ⎝⎛⎭⎫5π6－x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝13， ∴sin ⎝⎛⎭⎫5π6－x ＋tan 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝13＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x cos 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝13＋cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝13＋8919＝253. 答案：2532．(2018·苏州暑假测试)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则 cos β＝________.解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α＝13，所以sin α＝223.又α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，sin(α＋β)＝－35＜0，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，故cos(α＋β)＝－45，从而cos β＝cos [](α＋β)－α＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×13－35×223＝－4＋6215.答案：－4＋62153．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝________. 解析：由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718. 答案：17184．(2018·通州模拟)已知P (2，m )为角α终边上一点，且tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，则sin α＝________. 解析：∵P (2，m )为角α终边上一点，∴tan α＝m2，再根据tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝m 2＋11－m 2＝13，∴m ＝－1，故x ＝2，y ＝－1，r ＝|OP |＝4＋m 2＝5， 则sin α＝y r ＝－15＝－55.答案：－555．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝________. 解析：由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75. ① 由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725， 所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725. ②由①②可得cos α＋sin α＝－15. ③由①③可得sin α＝35.答案：356．(2019·如东模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α，则sin 2α的值为________． 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， ∴tan α＝2， 则sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. 答案：457．(2019·启东模拟)若sin α＋cos α＝233，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 解析：由sin α＋cos α＝233，可得sin 2α＝13， 故cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2α－π2＋12＝sin 2α＋12＝23. 答案：238．(2018·苏锡常镇调研)已知sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 解析：由题意可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12－π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π12， 即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π12－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12·cos π12＋3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π12， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－2tan π12＝－2tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝－23－21＋3＝23－4. 答案：23－49.(2019·南京调研)如图，已知OP Q 是半径为1，圆心角为π3的扇形，点A 在弧P Q 上(异于点P ，Q )，过点A 作AB ⊥OP ，AC ⊥O Q ，垂足分别为B ，C .记∠AOB ＝θ，四边形ACOB 的周长为l .(1)求l 关于θ的函数关系式；(2)当θ为何值时，l 有最大值，并求出l 的最大值． 解：(1)在Rt △OAB 中，∵OA ＝1，∠AOB ＝θ，∴OB ＝cos θ，AB ＝sin θ.在Rt △OAC 中，∵∠PO Q ＝π3，∴∠AOC ＝π3－θ，∴OC ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ，AC ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ. ∴l ＝sin θ＋cos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ ＝sin θ＋cos θ＋⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ＋⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ ＝3＋12sin θ＋3＋32cos θ ＝(3＋1)⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ＝(3＋1)sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3. (2)由(1)知，l ＝(3＋1)sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3 ，∴θ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3， ∴当θ＋π3＝π2，即θ＝π6时，l 取得最大值3＋1.10．(2018·盐城调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·南通模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6，则tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 得sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12－π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π12， 展开得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π12－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π12＋3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π12， 即－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π12＝4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π12， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－2tan π12. 又tan π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝tan π3－tan π41＋tan π3tan π4＝2－3， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－2(2－3)＝23－4. 答案：23－42．(2018·苏北四市一模)若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________． 解析：因为tan β＝2tan α，所以sin βcos β＝2sin αcos α，即cos αsin β＝2sin αcos β. 又因为cos αsin β＝23，所以sin αcos β＝13， 从而sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13－23＝－13. 答案：－133．(2019·海门中学检测)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， 所以 sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，所以cos 2α＝－32. 所以tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。

§1 两角和与差的三角函数知识梳理1.两角和与差的余弦公式（1）公式：cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β；cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.（2）理解和记忆：①上述公式中的α、β都是任意角.②和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(a±β)≠cos α±cos β.③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)= cos30°=21. ④第一章中所学的部分诱导公式可通过本节公式验证.⑤记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.2.两角和与差的正弦公式（1）公式：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β；sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.（2）理解和记忆：①上面公式中的α、β均为任意角.②与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β.③和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便. ④使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而采用整体思想，进行如下变形：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin ［(α+β)-β］=sin α，这也体现了数学中的整体原则.⑤记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相同.3.两角和与差的正切（1）公式：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+；tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. （2）理解和记忆：①公式成立的条件：α≠k π+2π，β≠k π+2π，α+β≠k π+2π或α-β≠k π+2π，以上k∈Z .当tan α、tan β、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决.②两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)就可以解决诸如tan25°+tan20°+tan25°tan20°的问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.③与和差角的弦函数公式一样，公式对分配律不成立，即tan(α+β)≠tan α+tan β. 知识导学要学好本节有必要复习任意角的三角函数和平面向量的数量积；本节的重点是公式的应用，难点是公式的变形应用；在学习过程中，要善于应用联系的观点看待问题.难疑突破1.形如函数f (x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值是什么？剖析：受思维定势的影响，总是认为y=sinx 和y=cosx 的最大值都是1，它们的最小值都是-1，则函数f(x)的最大值是|a|+|b|，最小值是 -|a|-|b|，其实不然.其突破口是分析y=sinx 和y=cosx 取最值时，自变量x 取值情况.当x=2k π+2π (k∈Z )时，y=sinx 取最大值1，当x=2k π-2π (k∈Z )时，y=sinx 取最小值-1；当x=2k π(k∈Z )时，y=cosx 取最大值1，当x=2k π+π(k∈Z )时，y=cosx 取最小值-1；由此看y=sinx 取最值时，y=cosx=0，而y=cosx 取最值时，y=sinx=0.所以y=sinx 和y=cosx 不能同时取最值，因此这样求最值是错误的.求形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值，常用方法是化归为求y=Asin(ωx+φ)+b 的最值.例如：求函数f(x)=2sinx-32cosx ，x∈R 的最值.可将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)后，再求最值. f(x)=2sinx-32cosx =4(21sinx-23cosx) =4(sinxcos3π-cosxsin 3π) =4sin(x-3π)， ∴函数f(x)的最大值是4，最小值是-4.很明显函数f(x)的最大值不是2±32，最小值不是-2-32.下面讨论函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)，x∈R 的最值. f(x)=asinx+bcosx=22b a +(22b a a+sinx+22b a b +cosx)， ∵(22b a a+)2+(22b a b +)2=1, ∴可设cos θ=22b a a +，sin θ=22b a b +,则tan θ=ab （θ又称为辅助角）. ∴f(x)= 22b a + (sinxcos θ+cosxsin θ)= 22b a +sin(x+θ).∴当x∈R 时， f(x)的最大值是22b a +，最小值是-22b a +.特别是当a b =±1，±3，±33时，θ是特殊角，此时θ常取4π，3π，6π. 对于形如y=asinx+bcosx(ab≠0)的式子引入辅助角化归为y=Asin(x+θ)的形式，可进行三角函数的化简，求周期、最值等，这是高考和模拟的必考内容之一.例如：2006江苏南京一模，7 若函数f(x)=sinax+cosax(a ＞0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ） A.(8π-,0) B.(0,0) C.(-81,0) D.(81,0) 思路分析：化为y=Asin(ωx+θ)形式，再讨论其对称中心.f(x)=sinax+cosax=2sin(ax+4π)(a ＞0)， ∴T=a π2=1.∴a=2π.∴f(x)=2sin(2πx+4π)(a ＞0).又∵f(x)与x 的交点是其对称中心，经验证仅有(-81,0)是函数f(x)的对称中心. 答案：C3.2 两角和与差的三角函数课堂导学三点剖析1.两角和与差的三角函数公式的简单运用【例1】 若sin α=55,sin β=1010且α、β是锐角，求α+β的值. 思路分析:可先求出α+β的某种三角函数值，然后再确定α+β的值.解:∵α、β是锐角，∴cos α=552)55(12=-,cos β=10103)1010(12=-. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=22. 又∵sin α=55<21,sin β=1010<21， ∴0°<α<30°，0°<β<30°.∴0°<α+β<60°.∴α+β=45°.各个击破类题演练 1计算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.解析:原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=23， 或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=23. 变式提升 1sin163°sin223°＋sin253°sin313°=___________.解析：原式=sin(180°-17°)·sin(180°+43°)+sin(270°-17°)+sin(270°+43°) =-sin17°sin43°+cos17°cos43° =cos(17°+43°)=cos60°=21. 答案：21 2.两角差的余弦公式的运用【例2】 已知cos(α+β)=31,cos(α-β)=51，求tan αtan β的值. 思路分析：题目中要求的是单角α与 β的函数值，所以自然要想到用和差公式分解，然后用商式求解. 解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+)2.(51sin sin cos cos )1(,31sin sin cos cos .51)cos(,31)cos(βαβαβαβαβαβα得 ①+②得cos αcos β=154, ②-①得sin αsin β=151-, ∴tan αtan β=βαβαcos cos sin sin =41-. 友情提示在利用两角和差公式的同时，运用同角三角函数关系，把不同类型的公式放在一起使用是本章题目的特点.类题演练 2设a∈(0,2π),若sin α=53,则2cos(α+4π)等于（ ） A.57 B.51 C.57- D.-51 解析：∵α∈(0,2π)，sin α=53,∴cos α=54, 又2cos(α+4π)=2(cos α·cos 4π-sin α·sin 4π) =cos α-sin α=51. 答案：B变式提升 2已知α、β为锐角，且cos α=71，cos(α+β)=1411-，求β的值. 解析：∵α是锐角，cos α=71,∴sin α=734)71(12=-. ∵α、β均为锐角，∴0<α+β<π.又cos(α+β)=1411-,∴sin(α+β)=1435)1411(12=--. ∴cos β=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=（1411-）·71+7341435∙=21. 又∵β为锐角，∴β=3π. 3.两角和与差的三角函数的变式应用【例3】 已知α,β∈(-2π,2π)，tan α,tan β是一元二次方程x 2+33x+4=0的两根，求 α+β.思路分析：由根与系数关系可得tan α+tan β、tan αtan β，因此可先求tan(α+β).解：由题意知tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,①∴tan(α+β)=3tan tan 1tan tan =-+βαβα. 又∵α,β∈(-2π,2π) 且由①知α∈(-2π,0),β∈(-2π,0), ∴α+β∈(-π,0).∴α+β=32π-. 类题演练 3计算tan10°+tan50°+3tan10°tan50°的值.解析：原式=tan(10°+50°)(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50° =3(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50°=3.变式提升 3求值:tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°.解析：原式=tan10°tan20°+3(tan10°+tan20°)=tan10°tan20°+3tan30°(1-tan10°tan20°)=1.。

第十八讲 两角和与差及二倍角公式一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.45解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝45 3∴32cos α＋32sin α＝453，3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝453，3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45.答案：C2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α－sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A.2＋33 B ．－2＋33 C.2－33 D.－2＋33解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.而sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－13＝23， 所以原式＝－33－23＝－2＋33.答案：B3．若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β为锐角，则α＋β的值为() A ．－π4 B.π4 C ．±π4 D.π3解析：解法一：依题意有cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝255，cos β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫10102＝31010， ∴cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝22＞0. ∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4. 解法二：∵α，β都是锐角，且sin α＝55＜22， sin β＝1010＜22， ∴0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π2， ∴cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝255， cos β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫10102＝31010， sin(α＋β)＝55×31010＋1010×255＝22. ∴α＋β＝π4. 答案：B 4．在△ABC 中，若cosA ＝45，cosB ＝513，则cosC 的值是( ) A.1665 B.5665C.1665或5665 D ．－1665解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cosA ＝45＞0，cosB ＝513＞0，得0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，从而sinA ＝35，sinB ＝1213， 所以cosC ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B) ＝sinA·sinB－cosA·cosB＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 答案：A5．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．± 3C ．0或 3D ．0或± 3解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3.答案：D评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．6．(2011·海口质检)在△ABC 中，已知sin(A －B)cosB ＋cos(A －B)sinB≥1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：sin(A －B)cosB ＋cos(A －B)sinB ＝sin[(A －B)＋B]＝sinA≥1，又sinA≤1，∴sinA＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7.2cos10°－sin20°sin70°的值是________． 解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案： 38．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4则cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α(α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4)＝________. 解析：∵cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos2α－sin2α22(sin α＋cos α) ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α) ＝2(cos α－sin α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则π4－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4. 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513. ∴原式＝1013. 答案：10139．(1＋3tan10°)·cos40°＝________.解析：(1＋3tan10°)cos40°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin10°cos10°cos40°＝3sin10°＋cos10°cos10°·cos40° ＝2sin(10°＋30°)cos10°·cos40° ＝2sin40°cos40°cos10°＝sin80°cos10°＝1. 答案：110．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________. 解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵α、β均为锐角 ∴sin β＋cos β≠0，必有cos α＝sin α∴α＝π4. 答案：π4三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：由已知得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角， ∴sin α＝1－cos2α＝7210，sin β＝1－cos2β＝55. ∴tan α＝7，tan β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan2β＝2tan β1－tan2β＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan α·tan2β＝7＋431－7×43＝－1. ∵α、β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4. 12．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2. (1)求tan2α的值；(2)求β的值．分析：由已知可求sin α，进而可求tan α，tan2α；由角的关系入手，利用角的变换β＝α－(α－β)可求得cos β.解：(1)由cos α＝17，0<α<π2， 得sin α＝1－cos2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. ∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3. 于是tan2α＝2tan α1－tan2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos2(α－β)＝3314由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. 所以β＝π3. 13．已知0<β<π4<α<34π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值． 解：∵π4<α<3π4， ∴－3π4<－α<－π4，－π2<π4－α<0. 又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45. 又∵0<β<π4，∴3π4<3π4＋β<π.又∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋(α＋β) ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×35－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝3665＋2065＝5665. 评析：三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的配角技巧α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.。

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式对应学生用书P48必过数材美1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±3 = sin ocos B±cos osin B; cos(a ? 3 = cos occos 6±sin osin 3 ,,亠 tan a±an 3tan( a ±3 4 5= i ?tan 伽 32. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a= 2sin_%cos_a;2.2 2 .2cos 2a = cos a — sin a = 2cos a — 1 = 1 一 2sin a;33.已知 sin(a — n=，贝V cos 2a= _________ .5Lrtan 2 a= 2tan a 1 — tan 2a［小题体验］答案：—2第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式2.化简 cos 18°os 42° — cos 72°in 42°勺值为.一 2sin( n — a 卄 sin 2a 4.化简：一2acos 2解析：2sin n — a + sin 2a 2sin a+ 2sin a cos a 2 a 1 cos 2 2 1 + cos a4sin a 1 + cos a .. = =4sin a .1 + cos a答案: z25必过易措关1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升 次、降次的灵活运用，要注意“ 1的各种变通.2 •在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围.［小题纠偏］1 .已知 sin 2a= 3，贝y CoS a+ n = _________ . 答案：12.若锐角 a, B 满足 tan a+ tan 3=(3 —J3tan atan 3,贝U a+ 3= _____________ ‘解析： 由已知可得1 — tan 如3='3，即丽好3 =3.n又 a+ 3^ (0, n)所以 a+ 3= 3. 3答案：n对应学生用书P48考点一三角公式的基本应用 基础送分型考点——自主练透对应学生用书P48［题组练透］解析：•/ tan a — n =— 3,1sin 久cos a tan a 2 2• • sin 况COS a= 2 厂= 2 = =_.sin a+ cos a tan a+ 1 1 + 1 5 42 答案：25答案：4sin a1. （2018苏州期末）若tan a —才=贝y sin acos a= (-2a€ 0, 2，则 sin a+二tan -11—答案: 3.设 sin 2a=— sin a, a€ 匕, n ， 则tan 2 a 的值是答案：3［谨记通法］三角公式的应用策略(1) 使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. (2) 使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考点二三角公式的逆用与变形用重点保分型考点一一师生共研对应学生用书［典例引领］1（2019汇龙中学检测）计算:4cos 2 12 ° 2 sin 12答案：—4 32.已知 e€ 0, n ，且 sin e — cos e=—亠严，贝 V 2cos e 114解析： 由 sin e — cos e=—■得 sin所以sin oc=54+ 3,3 ~10解析:•' sin 2 a= 2sin cocos a=— sin a, a€…cos a=—/• sin a=^, tan a=— • 3,tan 2 a= 2tan aT~ '■ 1 — tan a—列3=1— —P49；3tan 12 — 3, 3tan 12 ° 32 3 £sin 12 — cos 12 °3sin 12 — 3cos 122 2cos 12 2cos 24 sin 12cos 12解析：（4cos12。