三角形的外接圆和内切圆(复习)

相似三角形的内切圆与外接圆在数学中，当两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例时，我们称这两个三角形为相似三角形。

在相似三角形中，存在着一些特殊的圆，即内切圆和外接圆。

本文将讨论相似三角形与它们的内切圆和外接圆之间的关系。

一、相似三角形的内切圆内切圆是能够与三角形的三条边都相切的圆。

对于相似三角形而言，它们的内切圆有一个重要的性质：内切圆的半径与三角形的相似比例相等。

假设有两个相似三角形ABC和DEF，且它们的相似比例为k，则内切圆的半径R满足以下关系：R(ABC) / R(DEF) = k这个结论可以通过相似三角形的性质来证明。

因为相似三角形的对应角相等，所以它们的切点、顶点和圆心共线，从而可以得到三角形的内切圆。

二、相似三角形的外接圆外接圆是能够与三角形的三个顶点相切的圆。

对于相似三角形而言，它们的外接圆有一个重要的性质：外接圆的半径与三角形的相似比例的倒数相等。

仍假设有两个相似三角形ABC和DEF，且它们的相似比例为k，则外接圆的半径r满足以下关系：r(ABC) / r(DEF) = 1 / k这个结论可以通过相似三角形的性质来证明。

因为相似三角形的对应角相等，所以它们的顶点、圆心和切点共线，从而可以得到三角形的外接圆。

三、内切圆与外接圆的关系在相似三角形中，内切圆和外接圆之间存在着一定的关系。

如果两个三角形是相似的，它们的内切圆和外接圆的圆心可以看做是同一个点。

实际上，内切圆和外接圆的圆心都位于相似三角形的相似中心上。

相似中心是一个点，使得从它出发，分别向两个相似三角形的对应顶点连线的比等于相似比例。

通过这个性质，我们可以进一步得到内切圆和外接圆的半径之间的关系。

设R为内切圆的半径，r为外接圆的半径，则有：R / r = k其中，k为相似比例。

结论综上所述，相似三角形的内切圆与外接圆之间存在着一些关系。

内切圆的半径与相似比例相等，而外接圆的半径与相似比例的倒数相等。

此外，内切圆和外接圆的圆心可以看做是同一个点，即相似三角形的相似中心。

三角形内切圆和外接圆的半径公式三角形是几何学中的基本图形之一，而内切圆和外接圆是与三角形密切相关的重要概念。

本文将介绍三角形内切圆和外接圆的半径公式以及相关性质和应用。

一、三角形内切圆的半径公式内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。

假设三角形的三边长分别为a、b和c，内切圆的半径为r，则根据三角形的性质，可以得到内切圆半径的计算公式：r = √[(s-a)(s-b)(s-c)/s]其中，s表示三角形的半周长，即s = (a + b + c)/2。

这个公式的原理是利用海伦公式，将三角形的面积与半周长s关联起来。

根据海伦公式，三角形的面积S可以表示为：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]而内切圆的半径r与三角形的面积S之间存在如下关系：S = rs将上述海伦公式和内切圆半径的关系代入，即可得到内切圆半径的计算公式。

二、三角形外接圆的半径公式外接圆是指能够将三角形的三个顶点都与圆上某一点相切的圆。

假设三角形的三个顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)，外接圆的圆心坐标为O(x, y)，半径为R。

根据圆的性质，可以得到外接圆半径的计算公式：R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)其中，a、b和c分别为三角形的三边长，A、B和C为对应的内角。

这个公式的推导基于正弦定理。

根据正弦定理，三角形的边长与对应内角的正弦值之间存在如下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC将上述关系变形，即可得到外接圆半径的计算公式。

三、内切圆和外接圆的相关性质和应用1. 内切圆和外接圆的圆心和半径关系：内切圆的圆心与三角形的三条角平分线的交点重合，而外接圆的圆心与三角形的三个顶点的垂直平分线的交点重合。

内切圆的半径r 和外接圆的半径R满足如下关系：r = √[(s-a)(s-b)(s-c)/s]，R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)。

三角形的内切圆和外接圆综合练习题三角形是几何学中的基本图形之一，而三角形的内切圆和外接圆是与三角形密切相关的重要概念。

本文将针对内切圆和外接圆，提供一些综合练习题，帮助读者更好地理解和掌握这些概念。

练习题一：内切圆的性质1. 证明：对于任意三角形ABC，其内切圆的圆心O与三角形的内心I和重心G共线。

2. 若三角形ABC的内切圆的半径为r，三角形的半周长为s，证明：AI+BI+CI=2s。

3. 若三角形ABC的内切圆的半径为r，三角形的面积为S，证明：S=r*s，其中s为三角形的半周长。

练习题二：内接圆与外接圆关系1. 如果一个三角形的内切圆和外接圆的半径分别为r和R，证明：r<=R/2。

2. 若一个三角形的内切圆和外接圆的半径分别为r和R，证明：r^2=2Rr，其中r和R分别为内切圆和外接圆的半径。

3. 若一个三角形的内切圆和外接圆的半径分别为r和R，证明：r(R+r)=s，其中s为三角形的半周长。

练习题三：内切圆和外接圆的半径关系1. 三角形ABC的内切圆半径为r，外接圆半径为R，外接圆的圆心为O。

若角A=60°，角B=90°，求R:r。

2. 已知三角形ABC的内切圆半径为r，三角形BCD的外接圆半径为R，求证：(R-r)^2=(a-b)(a-c)，其中a、b、c分别为三角形BCD的三边长。

这些练习题旨在帮助读者巩固对于三角形内切圆和外接圆的理解，掌握相关的性质和公式，并能够运用这些知识解决具体的问题。

通过练习，读者将能更加深入地理解三角形的性质与相关的几何概念。

总结：本文围绕三角形的内切圆和外接圆的知识点，给出了一些综合练习题。

这些练习题覆盖了内切圆和外接圆的性质、关系和半径之间的关系。

通过解答这些练习题，读者能够提高对于三角形相关概念的理解和应用能力，为进一步的几何学知识的学习打下坚实的基础。

继续努力学习和练习，相信读者能够在几何学领域取得更大的成就！。

三角形的外接圆与内切圆的关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个内角组成。

而在三角形中，外接圆和内切圆是两个与之密切相关的圆形。

外接圆，正如其名所示，是指可以完整地包围三角形的圆。

它的圆心位于三角形的外部，且圆心到三角形的每个顶点距离相等，这个距离叫做外接圆的半径。

那么，三角形的外接圆与内切圆之间存在着怎样的关系呢？内切圆是指可以刚好与三角形的三条边相切的圆形。

内切圆的圆心位于三角形的内部，且圆心到三角形的每条边的距离相等，这个距离叫做内切圆的半径。

根据三角形的性质，三角形的三条角平分线交于一个点，而这个点恰好是内切圆的圆心。

由此可见，三角形的内切圆与角平分线有紧密的关系。

除此之外，三角形的外接圆和内切圆还存在着一些相互关系。

首先，两个圆的圆心和三角形的顶点是共线的，也就是说它们在同一条直线上。

此外，三角形的任意一条边都是两个圆的切线，也可以说两个圆与三角形的每条边相切。

这一属性对于解决一些与圆有关的几何问题非常有用。

进一步地，我们还可以通过三角形的边长和角度来确定外接圆和内切圆的半径。

对于外接圆而言，其半径等于三角形的边长之积除以四倍三角形的面积。

而内切圆的半径则等于三角形的面积除以半周长（半周长等于三边之和的一半）。

利用外接圆和内切圆的性质，我们可以解决一些实际问题，比如计算三角形的面积、判断三角形的类型等。

在工程学、建筑学以及地理学等领域，对三角形的外接圆和内切圆的关系有着广泛的应用。

综上所述，三角形的外接圆与内切圆存在着紧密的关系。

两个圆的圆心和三角形的顶点共线，圆与三角形的顶点和边存在相切关系。

通过三角形的边长和角度，我们可以推导出外接圆和内切圆的半径。

这些性质不仅仅是几何学的基础知识，还在实际中有着重要的应用和意义。

1 / 24.2 与圆有关的位置关系考点5 三角形与圆1．(2019·衡阳)已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 ．2．(2019·宿迁)直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为 ．3．(2019·荆门)如图，△ABC 内心为I ，连接AI 并延长交△ABC 的外接圆于D ，则线段DI 与DB 的关系是( )A ．DI ＝DBB ．DI ＞DBC ．DI ＜DBD ．不确定4.(2019 山东省德州市)如图，点O 为线段BC 的中点，点A ，C ，D 到点O 的距离相等，若40ABC ∠=︒，则ADC ∠的度数是( )A ．130︒B ．140︒C ．150︒D ．160︒5．（2018•河北）如图，点I 为△ABC 的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB 平移使其顶点与I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ）A ．4.5B ．4C ．3D ．26．如图，△ABC 是一张周长为17cm 的三角形的纸片，BC ＝5cm ，⊙O 是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O 的右侧沿着与⊙O 相切的任意一条直线MN 剪下△AMN ，则剪下的三角形的周长为（ ）A ．12cmB ．7cmC ．6cmD ．随直线MN 的变化而变化7．(2019·常州)如图，半径为3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB ，BC 都相切，连接OC ，则tan ∠OCB ＝ ．2 / 28.（2018年山东省威海市）如图，在扇形CAB 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为 ．9．(2019·鄂州)如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C 为圆心的圆与y 轴相切．点A ，B 在x 轴上，且OA ＝OB.点P 为⊙C 上的动点，∠APB ＝90°，则AB 长度的最大值为 ．10. (2019 山东省淄博市)如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，点E 在AC 上，以AE 为直径的O e 经过点D ．（1）求证：①BC 是O e 的切线；②2CD CE CA =g ；（2）若点F 是劣弧AD 的中点，且3CE =，试求阴影部分的面积．11．(2018·江西)如图，在△ABC 中，O 为AC 上一点，以点O 为圆心，OC 为半径作圆，与BC 相切于点C ，过点A 作AD ⊥BO 交BO 的延长线于点D ，且∠AOD ＝∠BAD.(1)求证：AB 为⊙O 的切线；(2)若BC ＝6，tan ∠ABC ＝43，求AD 的长．。

6《三角形的内切圆、外接圆》专题练习试卷1. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AC ＝10，AB ＝8，BC ＝9，点D ，E 分别为BC ，AC 上的点，且DE 为⊙O 的切线，则△CDE 的周长为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．81题图 2题图 3题图2. 如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，切点分别是P 、C 、D ．若AB ＝5，AC ＝3，则BD 的长是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13. 如图，△ABC 内接于圆，D 是BC 上一点，将∠B 沿AD 翻折，B 点正好落在圆点E 处，若∠C ＝50°，则∠BAE 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．90°4．已知：如图，∠C ＝90°，内切圆O 分别与BC 、AC 相切于点D 、E ，判断四边形ODCE 的形状，并说明理由．4题图65．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠C ＝70°，点O 是△ABC 的内心，BO 的延长线交AC 于点D ，求∠BDC 的度数．5题图弧长和扇形面积题型：1. 已知正六边形的边长为8，则较短的对角线长为 ．2. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O 其边长为2，则⊙O 的内接正三角形ACE 的边长为 ．2题图 5题图 3．一圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角是( )．A ．120° B．180° C．240° D．300°4．底面圆半径为3cm ，高为4cm 的圆锥侧面积是( )．A ．7.5π cm 2B ．12π cm 2C ．15πcm 2D ．24π cm 25．如图是两个半圆，点O 为大半圆的圆心， AB 是大半圆的弦关与小半圆相切，且AB =24．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．6．如图，若⊙O的周长为20πcm，⊙A、⊙B的周长都是4πcm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？6题图参考答案1. C. 解析：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM＝x，根据切线长定理，得CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．则有9﹣x+10﹣x＝8，解得：x＝5.5．所以△CDE的周长＝CD+CE+QF+DQ＝2x＝11．故选：C．1题图2. C. 解析：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝3，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．故选：C．63. C. 解析：连接BE，如图所示：，由折叠的性质可得：AB＝AE，∴AB AE∴∠ABE＝∠AEB＝∠C＝50°，∴∠BAE＝180°﹣50°﹣50°＝80°．故选：C．Array3题图4. 解：四边形ODCE为正方形，理由如下：∵内切圆O分别与BC、AC相切于点D、E，∴OE⊥AC，OD⊥BC．∵∠C＝90°，∴四边形ODCE为矩形．又∵OD＝OE，∴四边形ODCE为正方形．5. 解：∵∠A＝60°，∠C＝70°，∴∠ABC＝50°，∵点O为△ABC的内心，∴∠DBC＝∠ABC＝25°，∵∠ACB＝78°，∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣78°﹣25°＝77°．66弧长和扇形面积题型：1. 8. 解析：如图，六边形ABCDEF 是正六边形，连接BF ，作AH ⊥BF 于点H ，1题图根据题意可知：BF 为较短对角线，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB ＝AF ＝8，∠BAF ＝120°，∵AH ⊥BF ，∴∠BAH=12∠BAF ＝60°， ∴∠ABH ＝30°，∴AH=12AB ＝4， 根据勾股定理，得4，∴BF ＝2BH ＝8． 故答案为：8．2. 2. 解析：连接OB 交AC 于H ．2题图在正六边形ABCDEF 中，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，6∴AB BC =，∴OB ⊥AC ，∴∠ABH ＝∠CBH ＝60°，AH ＝CH ，∴AH，∴AC ＝，故答案为．3. B. 解析：由得，∴．∴n ＝180°． 4. C. 解析：可求圆锥母线长是5cm ．∴圆锥的侧面积为：π×3×5=15π.5. 解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB ，过O 作OC ⊥AB 于C 点，则AC=BC =12，∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC 为小圆的半径，∴S 阴影部分=S 大半圆-S 小半圆=12π•OB 2-12π•OC 2=12π（OB 2-OC 2）=12πAC 2=72π． 故答案为72π．5题图6. 解：∵圆O 的周长为20πcm ，∴圆O 的半径=10cm ，∵圆A 圆B 周长都是4πcm ，∴圆A 圆B 周长半径都是2，∴圆A 在圆O 内沿圆O 滚动半径是10﹣2=8，圆B 在圆O 外沿圆O 滚动半径是10+2=12∴要回到原来的位置，圆B 转动的周数=12÷2=6，圆A 转动的周数=8÷2=4．22rl r ππ=2l r =22180n r r ππ=。

三角形的外心与内切圆关系性质解析三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有丰富的性质与关系。

其中，外心与内切圆是三角形中重要的概念。

本文将对三角形的外心与内切圆的关系性质进行解析。

一、外心与内切圆的定义1. 外心：三角形的外接圆的圆心被称为外心，它是三条边的垂直平分线的交点。

外接圆的半径等于外心到三角形任意顶点的距离。

2. 内切圆：三角形内切圆的圆心被称为内心，它是三角形三条内切线的交点。

内切圆的半径等于内心到三条边的距离。

二、外心与内切圆的位置关系1. 外心与内心的连线垂直于三角形的一条边：外心与内心之间的连线垂直于三角形的一条边。

根据垂直平分线的性质可知，外心与该边的中点相重合。

2. 外心是三角形三条高的交点：三角形的高是指从三个顶点到对边的垂线段。

外心是三条高的交点，同时也是三条边上的垂直平分线的交点。

3. 内心是三角形内角的平分线的交点：三角形的内心是三个内角的平分线的交点。

内心到三条边的距离相等，等于内切圆的半径。

4. 内切圆切分三角形的面积：三角形被内切圆切分成三个小三角形，每个小三角形的面积等于半周长与边长之差的乘积。

三、外心与内切圆的关系性质1. 外心、内心和重心共线：重心是三角形三条中线的交点，它也是三角形内接圆三条角平分线的交点。

根据欧拉定理可知，外心、内心和重心三点共线，且内心与重心在外心与重心的连线上的一半距离。

2. 内切圆半径与外接圆半径的关系：内切圆半径r和外接圆半径R之间有如下关系：r = R / 2，即内切圆半径是外接圆半径的一半。

3. 外心到顶点的距离等于外接圆半径：外心到三角形任意顶点的距离等于外接圆的半径，即OA = OB = OC = R，其中O为外心，A、B、C为三角形的顶点。

4. 内心到顶点的距离等于内切圆半径：内心到三角形任意顶点的距离等于内切圆的半径，即IA = IB = IC = r，其中I为内心。

四、应用与拓展外心与内切圆的关系性质不仅在几何学中有重要应用，也在其他学科中有广泛的拓展。

三角形的外接圆和内切圆推导在数学中，三角形是一个非常基础且重要的几何形状。

而与三角形相关的一个重要概念是外接圆和内切圆。

本文将推导三角形的外接圆和内切圆的相关性质和推论。

外接圆是指一个圆恰好可以通过三角形的三个顶点，即三个顶点位于圆上的三角形。

下面我们来推导一下三角形的外接圆的性质。

设三角形的三个顶点分别为A、B、C，它们所对应的三条边分别为a、b、c。

我们可以通过下面的推导来得到外接圆的性质。

首先，设三角形的外接圆O半径为R。

根据圆的性质，O到三个顶点的距离都等于R。

设点D为BC边的中点，即D=(B+C)/2。

根据圆的性质，OD为OA的中垂线，因此OD垂直于BC，并且OD的长度等于R。

又根据勾股定理，可以得到OD^2 = BD^2 - BO^2。

由于BD = BC/2，因此BD = c/2。

又由于BO = R，所以BO^2 =R^2。

将这些值代入上述公式中，得到OD^2 = (c/2)^2 - R^2。

类似地，我们可以推导出OE^2 = (a/2)^2 - R^2（E为AC边的中点），OF^2 = (b/2)^2 - R^2（F为AB边的中点）。

根据上述推导结果，我们可以得到以下等式：OD^2 = OE^2 = OF^2 = R^2。

由此可知，三条垂直平分线的交点O就是三角形的外接圆圆心，并且外接圆的半径R可以通过OD、OE或OF求得。

接下来，我们来推导一下三角形的内切圆的性质。

内切圆是指一个圆恰好与三角形的三个边相切，即与三角形的内部正好有一个相切点。

下面我们来推导一下三角形的内切圆的性质。

设三角形的内切圆I半径为r。

根据圆的性质，I到三个边的距离都等于r。

设点M为BC边上与内切圆I相切的点。

根据圆的性质，IM是BI和CI的角平分线，因此IM垂直于BC，并且IM的长度等于r。

又根据勾股定理，可以得到IM^2 = BM^2 -BI^2。

由于BM = p - a（p为三角形的半周长），BI = r，所以BM^2 - BI^2 = (p - a)^2 - r^2。

三角形内接圆和外接圆的半径公式
三角形内切圆和外切圆半径计算公式：
1、三角形内切圆半径：r=2s/(a+b+c)。

式中s是三角形的面积，(a+b+c)是三角形的周长。

2、三角形外接圆的半径：R=abc/4s公式中a，b，c分别为三角形的三边，S为面积。

3、与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。

三角形一定有内切圆且内切圆圆心定在三角形内部。

4、与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。

三角形有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。

三角形的外接圆圆心是任意两边的垂直平分线的交点。

三角形外接圆圆心叫外心。