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高二数学选修2-1一、教材简介《高二数学选修2-1》是高中数学选修课程的一部分，适用于高二年级学生。
本教材是由教育出版社出版的，主要内容包括数列与数学归纳法、函数与方程、数学推理等方面的知识。
通过学习本教材，学生将进一步巩固和拓展数学基础，为高中数学学习打下坚实的基础。
二、教学目标《高二数学选修2-1》的教学目标主要包括：1.掌握数列与数学归纳法的基本概念和常见解题方法；2.掌握函数基本性质及其在实际问题中的应用；3.熟练掌握一元二次方程的解法和性质；4.培养学生的数学思维能力、分析问题和解决问题的能力。
通过达到以上教学目标，学生将提高数学学习的兴趣和能力，为更高层次的数学学习打下坚实的基础。
三、教学内容1. 数列与数学归纳法数列是一组数按照一定规律排列的序列。
本章主要涉及数列的基本概念、通项公式，以及数列的求和公式。
数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，通过归纳法可以证明数学命题的正确性。
2. 函数与方程函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都对应到另一个集合中的一个元素。
本章主要讲解函数的定义、性质，以及函数的图像和应用。
方程是等式的一种特殊形式，本章将介绍一元二次方程的解法和性质。
3. 数学推理数学推理是运用逻辑推理方法解决数学问题的过程。
本章将介绍数学推理的基本思路和方法，并通过一些具体的例题帮助学生理解和掌握数学推理的技巧。
四、教学方法教学方法是指教师在教学过程中所采用的教学策略和教学手段。
对于《高二数学选修2-1》这门课程，教师可以采用以下几种教学方法：1.讲授与演示相结合：教师可以通过讲解数学知识点的基本概念和定理，同时配以具体的例题和实际应用来演示，帮助学生理解和掌握知识。
2.合作学习：鼓励学生之间互相合作，共同解决问题，培养学生的团队合作精神和解决问题的能力。
3.思维导图：可以利用思维导图的形式，将复杂的概念和知识点进行整理和梳理，帮助学生更好地理解和记忆知识。
五、教学评价教学评价是教学活动中的一项重要环节，它可以帮助教师了解学生的学习情况，及时调整教学策略和方法，提高教学效果。
第一章常用逻辑用语1.3.1 推出与充分条件、必要条件高中数学选修2-1·精品课件引入课题观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？解：①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A不一定闭合，即p⇒q，q⇏p；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A 必须闭合，即p⇏q，q⇒p；③开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即p⇔q；④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即p⇏q，且q⇏p.课前热身1．充分条件和必要条件当命题“如果p ，则q ”经过推理证明断定是真命题时，就说由p 可以推出q ，记作 ，读作“ ”，称p 是q 的 ，q 是p 的 .2．充要条件如果 且 ，则称p 是q 的充分且必要条件，简称p 是q 的 ，记作 ，显然q 也是p 的 ．p 是q 的充要条件，又常说成“”或“ ”.p ⇒q p 推出q 充分条件 必要条件 p ⇒q q ⇒p 充要条件 p ⇔q 充要条件 q 当且仅当p p 与q 等价1.对充分条件、必要条件的理解①一般地，若p⇒q，则p是q的充分条件．“充分”的意思是：要使q成立，条件p成立就足够了．即是说有条件p成立，q就一定成立．另一方面，q又是p的必要条件．“必要”是说缺少q，p就不会成立．②可以用集合的关系来理解：若A⊆B，则A是B的充分条件，同时B是A的必要条件．例如A＝[0,1]，B＝[0,2]．若x∈A，则x∈B，所以A是B的充分条件．若x∉B，则一定有x∉A，也就是说，若B不成立，A也就不成立了．因此，B是A的必要条件．BA2．充分不必要条件，必要不充分条件如果“p⇒q，且q⇏p ”，那么称p是q的充分不必要条件．例如，x＝2⇒x2＝4，反过来x2＝4⇏x＝2，所以称x＝2是x2＝4的充分不必要条件．qp如果“p⇏q，且q⇒p”，那么称p是q的必要不充分条件．例如，p：“四边形对角线相等”,q：“四边形为正方形”显然p⇏q，且q⇒p，所以p是q的必要不充分条件.p q“p是q的充分不必要条件”等价于“q是p必要不充分条件”题型一 用定义判定充分条件与必要条件例1 下列命题中，p是q的充分条件的是( )①p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；②p：x>5，q：x>3；③p：四边形是矩形；q：四边形对角线相等；④已知α，β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b无公共点，命题q：α∥β.A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【解析】①∵a＋b＝0⇏a2＋b2＝0，即p⇏q，∴p不是q的充分条件．②∵x>5⇒x>3，即p⇒q，∴p是q的充分条件．③∵四边形是矩形⇒对角线相等，即p⇒q，∴p是q的充分条件．④∵a，b无公共点不能推出α，β无公共点，即p⇏q，∴p不是q的充分条件．【答案】②③提升习题A题型二 充分不必要条件，必要不充分条件的判定例2 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：|a·b|＝a·b，q：a·b>0.解：(1)∵p⇒q，且q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．(2)∵p⇒q，且q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p⇏q，且q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．(4)∵a·b＝0时，|a·b|＝a·b，|a·b|＝a·b⇏a·b>0，而a·b>0时，有|a·b|＝a·b，∴p是q的必要不充分条件．提升习题提升习题解：(1)在△ABC中，A>B⇏tan A>tan B.反过来tan A>tan B⇏A>B.∴p是q的既不充分也不必要条件． (2)∵x＝3⇒(x＋2)(x－3)＝0，而(x＋2)(x－3)＝0⇒x＝－2或x＝3.∴p⇒q，但q⇏p.∴p是q的充分不必要条件．提升习题典例分析题型三充要条件的判断例3 指出下列各组命题中，p是q的什么条件.(1)p：△ABC中，b2＞a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.(1)p是q的充分不必要条件．解：(2)p是q的必要不充分条件．(3)p是q的充要条件．提升习题在下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：a＞b，q：a2＞b2；(2)p：两直线平行，q：内错角相等；(3)p：直线l与平面α所成角大小为90°，q：l⊥α；(4)函数f(x)＝log a x(a＞1)，p：f(x1)＞f(x2)，q：x1＞x2＞0.解：在(1)中，p⇏q，q⇏p，∴(1)中的p不是q的充要条件．在(2)(3)(4)中，p⇔q，所以(2)(3)(4)中的p是q的充要条件．典例分析题型四充要条件的证明例4 试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.证明：提升习题求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件是4a＋2b＋c＝0.证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，∴x＝2满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a·22＋b·2＋c＝0，即4a＋2b＋c＝0，∴必要性成立．题型五 充分条件、必要条件、充要条件的应用例5 是否存在实数m，使“4x＋m<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出m的取值范围．【分析】“4x＋m<0”是条件，“x2－x－2>0”是结论，先解出这两个不等式，再利用集合间的包含关系探求符合条件的m的范围．解：-12提升习题B 使不等式x2－2x－3>0成立的充分不必要条件是( )A．x>3，或x<－1 B．x>5C．x>0 D．x<1【解析】∵x2－2x－3>0⇔x>3或x<－1，∴x>3是x2－2x－3>0成立的充分不必要条件，而x>5⇒x>3.∴x>5是使不等式成立的充分不必要条件．归纳小结1.充分条件的特征是：当p成立时，必有q成立，但当p不成立时，未必有q不成立.因此要使q成立，只需要条件p即可，故称p是q成立的充分条件.2.必要条件的特征是：当q不成立时，必有p不成立，但当q成立时，未必有p 成立.因此要使p成立，必须具备条件q，故称q是p成立的必要条件.。
数学选修 2－1第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则 q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。
若原命题为“若p ，则 q ”，它的逆命题为“若q ，则 p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题. 中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则 q ”，则它的否命题为“若p ，则q ”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。
其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。
若原命题为“若p ，则 q ”，则它的否命题为“若q ，则p ”。
6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：1 2两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件．若 p q ，则 p 是 q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作p q．当 p 、 q 都是真命题时， p q 是真命题；当p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时， p q是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作p q．当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q 是真命题；当p 、q两个命题都是假命题时，p q 是假命题．对一个命题 p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ．若 p 是真命题，则p 必是假命题；若p 是假命题，则p 必是真命题．9、短语“对所有的” 、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对中任意一个 x ，有p x 成立”，记作“x， p x ”．短语“存在一个” 、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在中的一个 x ，使p x成立”，记作“x， p x ”．10、全称命题p ：x， p x ，它的否定p ：x，p x 。
