2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末测试A新人教B版选修(I)

2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元测试新人教B 版选修一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A.3B.32C.83D.232已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则此双曲线的( )A ．焦距为10B ．实轴与虚轴分别为8和6C ．离心率是54或53D ．离心率不确定3P 是椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 的中点的轨迹方程为( )A.4x 29＋y 25＝1B.x 29＋4y 25＝1 C.x 29＋y 220＝1 D.x 236＋y 25＝1 4与圆x 2＋y 2－4x ＝0外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝8x (x ＞0)或y ＝0(x ＜0)C ．y 2＝8x 或y ＝0D ．y 2＝8x (x ≠0)5已知点A 为双曲线x 2－y 2＝1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( )A.33 B.332C ．3 3D ．63 6双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1、F 2分别是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 1|、|AF 2|的等差中项，则|BF 1|等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．87设A 、B ∈R ，A ≠B ，且A ·B ≠0，则方程Bx －y ＋A ＝0和方程Ax 2－By 2＝AB 在同一坐标系下的图象大致是图中的( )8设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( )A.45B.23C.47D.129已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(72，4)，则|P A |＋|PM |的最小值为( )A.72 B ．4 C.92D ．5 10双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点为F 1、F 2，|F 1F 2|＝2c ，P 为双曲线上一点，PF 1⊥PF 2，则P 到实轴的距离等于( )A.b 2cB.a 2cC.b 2aD.c 2a二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11椭圆x 2＋y 22＝1的离心率为________． 12若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为5－12，则双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的离心率是________．13直线l ：x －y ＋1＝0和椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.14已知双曲线x 24－y 2＝1的虚轴的上端点为B ，过点B 引直线l 与双曲线的左支有两个不同的交点，则直线l 的斜率的取值范围是________．15以下命题：①两直线平行的充要条件是它们的斜率相等．②过点(x 0，y 0)与圆x 2＋y 2＝r 2相切的直线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ④抛物线上任意一点M 到焦点的距离等于点M 到其准线的距离． 其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共4个小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(9分)动点P (x ，y )到定点A (2,0)与到定直线l ：x ＝4的距离之和为6，求点P 的轨迹． 17(10分)已知双曲线的方程是x 29－y 216＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．18(10分)设抛物线y 2＝4px (p ＞0)的准线与x 轴的交点为M ，过点M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点．(1)求线段AB 中点的轨迹方程；(2)若线段AB 的垂直平分线交对称轴于N (x 0,0)，求证：x 0＞3p . 19(11分)已知椭圆C 1的方程x 24＋y 2＝1.(1)F 1，F 2为C 1的左右焦点，求椭圆上满足PF 1→·PF 2→＝0的点P 的轨迹方程C 2； (2)若过曲线C 2内一点P 0(－1,1)作弦AB ，当弦AB 被点P 0平分时，求直线AB 的方程； (3)双曲线C 3的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 3的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 3恒有两个不同的交点M 和N ，且OM →·ON →＞2(其中O 为原点)．求k 的取值范围．参考答案1解析：a ＝2，c ＝2－m ，c a ＝2－m 2＝12，所以2－m ＝22.又m ＞0，所以m ＝32.所以选B.答案：B2解析：由双曲线渐近线方程y ＝±34x ，所以b a ＝43或b a ＝34.e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋ba2＝54或53.所以选C. 答案：C3解析：用代入法，设P (x 1，y 1)，中点(x ，y )，则x 1＝x ，y 1＝2y ，代入椭圆方程即得． 答案：B4解析：设圆心(x ，y )(x ≠0)，则x －22＋y 2＝2＋|x |，化简得y 2＝4x ＋4|x |，当x ＞0时，y 2＝8x ；当x ＜0时，y ＝0.答案：B5解析：由双曲线关于x 轴对称，可知BC ⊥x 轴． 设△ABC 边长为a ，则B 点坐标(32a －1，a2)， 代入双曲线方程，得(3a 2－1)2－a 24＝1，得a ＝23或a ＝0(舍去)．所以S △ABC ＝34(23)2＝3 3. 答案：C6解析：由题意，b ＝2，a ＝22，c ＝23，由|AB |是|AF 1|、|AF 2|的等差中项及双曲线的定义得|BF 1|＝a . 答案：C 7解析：方程Ax 2－By 2＝AB可变为x 2B －y 2A＝1，令x ＝0，直线可变为y ＝A .结合A 、B 、C 选项可知A ＜0，故不选C.令y ＝0，直线可变为x ＝－A B ，由选项A 可知－A B ＜0，则AB ＞0，与A 图矛盾．对于D ，A ＞0，x 2B －y 2A ＝1表示焦点在x 轴的双曲线，故与D 矛盾．所以选B项．答案：B8解析：由|BF |＝2小于点M 到准线的距离(3＋12)知点B 在A 、C 之间，由抛物线的定义知点B 的横坐标为32，代入得y 2＝3，则B (32，－3)〔另一种可能是(32，3)〕，那么此时直线AC 的方程为y －0－3－0＝x －332－3，即y ＝2x －32－3，把y ＝2x －32－3代入y 2＝2x ，可得2x 2－7x ＋6＝0，可得x ＝2，则有y ＝2，即A (2,2)，那么S △BCF ∶S △ACF ＝BC ∶AC ＝(32＋12)∶(2＋12)＝4∶5. 答案：A9解析：设抛物线焦点为F ，连结AF ，AF 与抛物线的交点P 为所求P 点，此时|P A |＋|PM |＝|P A |＋|PF |－12≥|AF |－12＝92.答案：C10解析：由PF 1⊥PF 2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2.∴点P 到实轴的距离为|PF 1||PF 2||F 1F 2|＝b 2c.答案：A 11答案：2212解析：e 1＝5－12＝a 2－b 2a ＝1－b 2a 2，b 2a 2＝5－12，双曲线的离心率e 2＝a 2＋b 2b 2＝a 2b 2＋1＝25－1＋1＝5＋12＋1＝6＋254＝5＋12. 答案：5＋1213解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 24＋y 23＝1可得7x 2＋8x －8＝0， 所以x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87.由弦长公式可得 |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋12·－872－4×－87＝247. 答案：24714解析：因为B (0,1)，设过点B 的直线l ：y ＝kx ＋1，与x 24－y 2＝1联立，消去y 得(14－k 2)x 2－2kx －2＝0.当14－k 2＝0，即k ＝±12，有一个交点； 当14－k 2≠0时，若有两个不同的交点，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2＋814－k 2＞0，2k 2－14＞0，2k 14－k2＜0，得12＜k ＜22. 综上所述得k 的取值范围为12＜k ＜22.答案：(12，22)15解析：①中斜率不一定存在；②点(x 0，y 0)不一定在圆上；③当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为线段．答案：④16分析：应用直接法求点P 的轨迹方程即可．解：作PQ ⊥l ，垂足为Q ，则P 点的轨迹就是集合{P ||P A |＋|PQ |＝6}， 即x －22＋y 2＋|x －4|＝6.当x ≥4时，方程为y 2＝－16(x －6)(x ≤6)； 当x ＜4时，方程为y 2＝8x (x ≥0)． 故P 点的轨迹为两条抛物线弧y 2＝8x (0≤x ＜4)和y 2＝－16(x －6)(4≤x ≤6)．17分析：由双曲线方程可求其右顶点坐标，从而求出抛物线的焦参数p . 解：∵双曲线x 29－y 216＝1的右顶点坐标是(3,0)，∴p2＝3，且抛物线的焦点在x 轴的正半轴上． ∴所求抛物线的方程和准线方程分别为y 2＝12x 和x ＝－3.18分析：应用点斜式设出l 的方程，借助于中点坐标公式及根与系数的关系求得AB 中点的轨迹方程．将x 用k 表示出来，通过k 的范围求得x 0的范围．解：(1)抛物线y 2＝4px (p ＞0)的准线为x ＝－p∴M(－p,0)．设l：y＝k(x＋p)(k≠0)，代入y2＝4px，得k2x2＋2(k2－2)px＋k2p2＝0，由Δ＝4(k2－2)2p2－4k4p2＞0得－1＜k＜1(k≠0)，设线段AB 的中点为Q (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22＝2k2－1p ，y ＝kx ＋p ＝2p k，消去k ，得y 2＝2p (x ＋p )(x ＞p )，这就是所求的轨迹方程．(2)由(1)知线段AB 的中点Q ((2k 2－1)p ，2p k )，线段AB 的垂直平分线方程为y －2p k ＝－1k [x－(2k 2－1)p ]，令y ＝0得x 0＝(2k2＋1)p ，因为0＜k 2＜1，所以x 0＞3p . 19解：(1)设点P (x ，y )，由x 24＋y 2＝1，知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，由PF 1→·PF 2→＝0得所求轨迹方程为x 2＋y 2＝3. (2)当弦AB 被点P 0平分时，OP 0⊥AB ， ∵kOP 0＝－1，∴k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. (3)设双曲线C 3的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＝4－1＝3.再由a 2＋b 2＝c 2得b 2＝1. 故C 3的方程为x 23－y 2＝1.将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝62k2＋361－3k 2＝361－k 2＞0.解得k 2≠13且k 2＜1.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1·x 2＝－91－3k2.由OM →·ON →＞2， 得x 1x 2＋y 1y 2＞2，而x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，可编辑修改精品文档 解此不等式，得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，且k ≠13，故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． .。

2019-2020年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末过关检测 新人教A 版选修2-1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8 B ．x 2－y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8 D ．y 2－x 2＝4 1．解析：焦点为(－4，0)，∴2a 2＝16，∴a 2＝8. 答案：A2．(xx·北京理科)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝( )．A. 3B.32 C.22 D.332．解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的渐近线方程为y ＝±1ax ，3x ＋y ＝0⇒y ＝－3x ，∵a ＞0，则－1a ＝－3，a ＝33.答案：D3．(xx·北京市西城区上学期期末)若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( )A ．a 2>b 2B.1a <1bC ．0<a <bD ．0<b <a3．解析：将椭圆方程变为x 21a＋y 21b＝1，由已知得1a >1b>0，所以0<a <b .故选C.答案：C4．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 4．解析：抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，所以所求距离为|3±0|3＋1＝32.故选B.答案：B5．已知M (－2，0)，N (2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2) D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)5．解析：依题意P 在以MN 为直径的圆上．根据圆的性质知顶点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．答案：D6．(xx·福建三明5月质检)抛物线y 2＋4x ＝0上的点P 到直线x ＝2的距离等于4，则P 到焦点F 的距离|PF |( )A ．1B ．2C ．3D ．46．解析：抛物线y 2＋4x ＝0的准线为x ＝1，因为抛物线y 2＋4x ＝0上的点P 到直线x ＝2的距离等于4，所以抛物线y 2＋4x ＝0上的点P 到准线为x ＝1的距离为3，根据抛物线的定义知，P 到焦点F 的距离|PF |＝3.故选C.答案：C7．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C. 2 D.327．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意b a ·(－b a )＝－1，故b 2a 2＝1，所以c 2－a 2a2＝1即e 2＝2，所以双曲线的离心率e ＝ 2.故选C.答案：C8．(xx·大纲全国卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 8．解析：根据题意，因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝ca ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.答案：A9．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线9．解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆的定义知，点P 的轨迹是椭圆．故选B.答案：B10．(xx·黑龙江省大庆一中下学期第二阶段考试)椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，弦AB 过F 1点，若△ABF 2的内切圆周长为π，A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为( )A.53 B.103 C.203 D.5310．解析：椭圆中a ＝5，b ＝4，所以c ＝a 2－b 2＝3，由已知内切圆半径为r ＝12，故S△ABF 2＝12×4a ×r ＝5＝12×2c ·|y 1－y 2|＝3|y 1－y 2|，所以|y 1－y 2|的值为53.故选D.答案：D11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．811．解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1，0)，点O (0，0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP→取得最大值6.故选C.答案：C12．(xx·福建文科)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F .短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，112．解析：设左焦点为F ，连接AF 1，BF 1.则四边形BF 1AF 是平行四边形，故|AF 1|＝|BF |，所以|AF |＋|AF 1|＝4＝2a ，所以a ＝2，设M (0，b )则4b 5≥45，故b ≥1，从而a 2－c 2≥1，0＜c 2≤3，0＜c ≤3，所以椭圆E 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32，故选A 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．过点(2，4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有________条． 13．214．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则它的长半轴长为________． 14．解析：当0<m <1时，y 21m＋x 21＝1，e 2＝a 2－b 2a 2＝1－m ＝34，m ＝14，a 2＝1m ＝4，a ＝2；当m >1时，x 21＋y 21m＝1，a ＝1.答案：1或215．以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．15．解析：设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a＝c b 2＋c2＝c2c＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m ，2a ＝(1＋2)m ，所以，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m（1＋2）m＝2－1.答案：22或2－1 16．(xx·辽宁卷)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________．16．解析：取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.答案：12三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分11分)已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程．17．解析：椭圆x 236＋y 249＝1的焦点为(0，±13)，离心率为e 1＝137.由题意可知双曲线的焦点为(0，±13)， 离心率e 2＝133，所以双曲线的实轴长为6. 所以双曲线的方程为y 29－x 24＝1.18.(本小题满分11分)自抛物线y 2＝2x 上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连接顶点O 与P 的直线和连接焦点F 与Q 的直线交于R 点，求R 点的轨迹方程．18．解析：设P (x 1，y 1)、R (x ，y )，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 1、F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴OP 的方程为y ＝y 1x 1x ，①FQ 的方程为y ＝－y 1⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②解得x 1＝2x 1－2x ，y 1＝2y 1－2x ，且x ≠12，代入y 2＝2x ，可得y 2＝－2x 2＋x . 故所求R 点的轨迹方程为y 2＝－2x 2＋x ⎝⎛⎭⎪⎫x ≠12.19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|PA |，|PO |，|PB |成等比数列，求PA →·PB →的取值范围．19．解析：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 即r ＝|－4|1＋3＝2.得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1，0)，B (x 2，0)，x 1＜x 2. 由x 2＝4即得A (－2，0)，B (2，0)．设P (x ，y )，由|PA |，|PO |，|PB |成等比数列，得 （x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2. PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＜4，x 2－y 2＝2， 由此得y 2＜1.所以PA →·PB →的取值范围为[－2，0)．20．(本小题满分12分)(xx·江淮协作体4月联考)已知直线x ＋y －1＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，点M 是线段AB 上的一点，AM →＝－BM →，且点M 在直线l ：y ＝12x 上．(1)求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦点关于直线l 的对称点在单位圆x 2＋y 2＝1上，求椭圆的方程． 20．解析：(1)由AM →＝－BM →知M 是AB 的中点，设A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2a 2＋y 2b2＝1得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，则x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，y 1＋y 2＝－(x 1＋x 2)＋2＝2b2a 2＋b2，所以M 点的坐标为(a 2a 2＋b 2，b 2a 2＋b 2)，又M 点的直线l 上：所以a 2a 2＋b 2－2b2a 2＋b 2＝0，所以a 2＝2b 2＝2(a 2－c 2)， 所以a 2＝2c 2，得e ＝c a ＝22.(2)由(1)知b ＝c ，根据对称性，不妨设椭圆的右焦点F (b ，0)关于直线l ：y ＝12x 的对称点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0－b ·12＝－1，x 0＋b 2－2·y 02＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝35b ，y 0＝45b ，由已知x 20＋y 20＝1，所以(35b )2＋(45b )2＝1，得b 2＝1，所以所求的椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.21.(本小题满分12分)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0，1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明四边形OABC 不可能为菱形．21．(1)解析：因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝± 3.所以|AC |＝2 3. (2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 在W 上且不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．22．(本小题满分12分)(xx·新课标全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 22．解析：(1)因为直线MN 的斜率为34，所以|MF 2||F 1F 2|＝34，因为点M 的横坐标为c ，代入椭圆方程得|MF 2|＝b 2a ，所以b 2a ×12c ＝34，又a 2＝b 2＋c 2，联立消去b ，将e ＝c a 代入，可得2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12，所以椭圆C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为线段F 1F 2的中点，MF 2平行于y 轴，所以线段MF 1与y 的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|F 1D |＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意得y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入椭圆C 方程，得9c 24a 2＋1b2＝1，②将①及c 2＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 所以a ＝7，b ＝27.2019-2020年高中数学第二章基本初等函数(I)幂函数教案新人教A版必修1教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点：重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．教学程序与环节设计：问题引入．教学过程与操作设计：。

第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是则点到另一个焦点的距离为A.2B.3C.5D.7解析:设点P到另一个焦点的距离为d,由椭圆定义可知P到两焦点的距离之和3+d=2a=10,则d=10-3=7.答案:D2已知抛物线C1:y=2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y=-x对称,则抛物线C2的准线方程是()A.x=C.x解析:抛物线C1:y=2x2关于y=-x对称的抛物线C2的解析式为-x=2(-y)2,即y2=故C2的准线方程为x答案:C3已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于则双曲线的方程是AC解析:由曲线C的右焦点为F(3,0),知c=3.由离心率e知则a=2,故b2=c2-a2=9-4=5,因此,双曲线C的方程为答案:B4已知动点P到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为 ≥ ),则点P轨迹的离心率的取值范围为()A, , ,,解析:由题意,得故点P的轨迹是椭圆,其中a于是e故选C.答案:C5已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1= °,则C的离心率为()A.1-解析:不妨设椭圆方程为分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.∵∠F2PF1=9 °,∠PF2F1= °,即∴e-答案:D6抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2的渐近线的距离是A解析:由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=即故由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d -答案:B7AB为过椭圆的中心的弦为一个焦点则△ABF1的最大面积是(c为半焦距)()A.acB.abC.bcD.b2解析:△ABF1的面积为c·|y A|,因此当|y A|最大,即|y A|=b时,面积最大.答案:C8如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2C.y299解析:由抛物线的定义,知|BF|等于点B到准线的距离,由|BC|=2|BF|,得∠BCM= °.又|AF|=3,从而,在抛物线上,代入抛物线方程y2=2px,解得p故抛物线方程为y2=3x.答案:B9若椭圆的焦点在轴上过点作圆的切线切点分别为直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点则椭圆方程为AC即m2+n2-n-2m=0,因为m2+n2=4,所以2m+n-4=0,即直线AB的解析:设切点坐标为(m,n),则--方程为2x+y-4=0,由于直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,因此2c-4=0,b-4=0,解得c=2,b=4,所以a2=b2+c2=20,故椭圆方程为答案:D10若F1,F2分别为椭圆的左、右焦点点是直线≠2,x≠±1)上的动点,直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,则的值为A.2BC.随点的位置而变化解析:由已知得F1(-1,0),F2(1,0),则有k1-因此--又因为P(x,y)在直线x+y-2=0上,所以--答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11双曲线的两条渐近线的方程为解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y=答案:y=12过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为 °的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=.解析:抛物线的焦点为, 设直线方程为y=x由,-,得x2-3px设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p.故|AB|=x1+x2+p=3p+p=8,即p=2.答案:213在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆上则答案:14已知抛物线y2=2px(p>0)焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为 则抛物线方程为解析:依题意, 所以|MF|=4·由抛物线的定义知点M的横坐标为2p因此其纵坐标y0满足故|y0|而△MFO的面积为所以解得p=4,故抛物线方程为y2=8x.答案:y2=8x15在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为以为圆心为半径作圆过点, 所作圆的两条切线互相垂直则椭圆的离心率解析:设点, 两个切点分别为P,Q.因为|MP|=|MQ|,MP⊥MQ,所以四边形MPOQ是正方形.又因为c=1,所以整理得a故e答案:三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)点A,B分别是椭圆的长轴的左、右端点点是椭圆的右焦点点在椭圆上且位于轴上方⊥PF.求点P的坐标.解:由已知可得点A(-6,0),B(6,0),F(4,0).设点P的坐标是(x,y),则,由已知,得) - ) ,解得x或x=-6.因为y>0,所以只能取x于是y所以点P的坐标是,17(8分)已知椭圆短轴顶点若椭圆内接三角形的重心是椭圆的左焦点求椭圆的离心率的取值范围解:如图,设M(x1,y1),N(x2,y2),且已知B(0,b),F(-c,0),由重心公式,得-,⇒-,-则弦MN的中点E的坐标为-,-又点E在椭圆内部,则--⇒e2⇒0<e故椭圆的离心率的取值范围为 ,18(9分)已知点P(3,4)是椭圆上的一点为椭圆的两焦点若⊥PF2,试求:(1)椭圆的方程;(2)△PF1F2的面积.解:(1)令F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),则b2=a2-c2.因为PF1⊥PF2,所以即-解得c=5,所以可设椭圆方程为-因为点P(3,4)在椭圆上,所以9-解得a2=45或a2=5.又因为a>c,所以a2=5(舍去).故所求椭圆方程为(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,②由2-②得2|PF1|·|PF2|=80,所以△·|PF2|=20.19(10分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线x相切(1)求该抛物线的方程;(2)在x轴的正半轴上,是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l与抛物线C交于A,B两点,使得为定值如果存在求出点的坐标如果不存在请说明理由解:(1)联立方程,有- ,,消去x,得y2-由直线与抛物线相切,得Δ=8p2-32p=0, 解得p=4.所以抛物线的方程为y2=8x.(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m>0).直线l:x=ty+m,由,,得y2-8ty-8m=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),有y1+y2=8t,y1y2=-8m.|AM|2=(x1-m)2|BM|2=(x2-m)2) )当m=4时为定值,所以M(4,0).20(10分)如图,点P(0,-1)是椭圆C1的一个顶点的长轴是圆的直径是过点且互相垂直的两条直线其中交圆于两点交椭圆于另一点(1)求椭圆C1的方程;(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.解:(1)由题意得 ,故椭圆C1的方程为(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为y=kx-1.又圆C2:x2+y2=4,故点O到直线l1的距离d则|AB|=-又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0.由 , ,消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0, 故x0=则|PD|设△ABD的面积为S,则S·|PD|故S≤·当且仅当k=时取等号.故所求直线l1的方程为y=。

第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.方程x2+2y2=4所表示的曲线是()A.焦点在x轴的椭圆B.焦点在y轴的椭圆C.抛物线D.圆解析方程化为=1,因此其表示焦点在x轴的椭圆.答案A2.双曲线=1的实轴长为()A.2B.4C. D.2解析双曲线=1,其中a=,b=2,其焦点在x轴上,则该双曲线与x轴的交点为(,0)与(-,0),则实轴长2a=2.故选D.答案D3.已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,则此双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析因为双曲线焦点在x轴上,所以,于是e=.答案D4.已知抛物线C:y2=8x焦点为F,点P是C上一点,O为坐标原点,若△POF的面积为2,则|PF|等于()A. B.3C. D.4解析由已知得F(2,0),设P(x0,y0),则·2·|y0|=2,所以|y0|=2,于是x0=,于是|PF|=x0+.答案A5.已知一个动圆P与圆O:x2+y2=1外切,而与圆C:x2+y2-6x+8=0内切,则动圆圆心P的轨迹是()A.双曲线的一支B.椭圆C.抛物线D.圆解析设动圆半径为R,依题意有|PO|=R+1,|PC|=R-1,因此|PO|-|PC|=2,而|OC|=3,由双曲线定义知点P的轨迹为双曲线的右支.答案A6.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,点F是抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA= 0°,则抛物线的准线方程是()A.x=-1B.x=-3C.x=-1或x=-3D.y=-1解析由题意∠BFA=∠OFA-90°= 0°,过点A作准线的垂线AC,过点F作AC的垂线,垂足分别为C,B.如图,A点到准线的距离为d=|AB|+|BC|=p+2=4,解得p=2,则抛物线的准线方程是x=-1.故选A.答案A7.过椭圆=1(a>b>0)中心的直线交椭圆于A,B两点,右焦点为F2(c,0),则△ABF2的最大面积为()A.abB.acC.bcD.b2|OF2|(|y A|+|y B|),而|y A|max=|y B|max=b,所以S max=bc.解析设A,B两点的纵坐标分别为y A,y B.△答案C8.已知双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,若双曲线的一个焦点坐标为(0,),且圆x2+(y-)2=1与双曲线的渐近线相切,则双曲线的方程是()A.-y2=1B.-x2=1C.-y2=1D.-x2=1解析双曲线的一个焦点坐标为(0,),则c=.由题意可知焦点在y轴上,设双曲线为=1,渐近线为by±ax=0.焦点到渐近线的距离为1==b,即b=1,a=-=2,则双曲线的方程是-x2=1,故选B.答案B9.已知点P(x0,y0)在椭圆=1上,其左、右焦点分别是F1,F2,若∠F1PF2为钝角,则x0的取值范围是()A.(-3,3)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-2,2)解析由已知得F1(-3,0),F2(3,0),所以=(-3-x0,-y0),=(3-x0,-y0),则00-9,而0=3-0,所以0-6.又∠F1PF2为钝角,所以0-6<0,解得-2<x0<2.答案D10.椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,若△AF1F2的面积为,且∠F1AF2=4∠AF1F2,则椭圆方程为()A.+y2=1B.=1C.+y2=1D.=1解析在△AF1F2中,AF1=AF2,∠F1AF2=4∠AF1F2,则∠AF1F2= 0°,所以.又△AF1F2面积为,即S=×2c×b=,解得b=1,c=,则a==2,所以椭圆方程为+y2=1.答案C11.过椭圆=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被点M平分,则这条弦所在直线的斜率等于()A.-2B.C.-D.2解析设所求直线的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两根,于是x1+x2=-.又M为AB的中点,所以-=2,解得k=-.答案C12.如图所示,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l,交抛物线于点A,B.交其准线于点C,若|BC|=|BF|,且|AF|=+1,则此抛物线的方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=xD.y2=3x解析如图,过点A作AD垂直于抛物线的准线,垂足为D,过点B作BE垂直于抛物线的准线,垂足为E,点P为准线与x轴的交点,由抛物线的定义,|BF|=|BE|,|AF|=|AD|=+1,因为|BC|=|BF|,所以|BC|=|BE|,所以∠DCA= °,|AC|=|AD|=2+,|CF|=2+-1=1,所以|PF|=,即p=|PF|=,所以抛物线的方程为y2=x,故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知双曲线C:=1的焦距为4,点P(1,)在双曲线C的渐近线上,则C的方程为.解析双曲线C:=1的渐近线方程为y=±x,∵双曲线C:=1的焦距为4,点P(1,)在C的渐近线上,可得a=b,∴2c=4,∵c2=a2+b2,∴a2=3,b2=1,∴双曲线C的方程为-x2=1.故答案为-x2=1.答案-x2=114.若直线x-my+m=0经过抛物线x2=2py(p>0)的焦点,则p=.解析∵直线x-my+m=0可化为x-m(y-1)=0,所以直线x-my+m=0过点(0,1),即抛物线x2=2py(p>0)的焦点F为(0,1),∴=1,则p=2,故答案为2.答案215.已知F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,且|PF1|=2|PF2|.若△PF1F2为等腰三角形,则该双曲线的离心率为.解析P为双曲线右支上的一点,则由双曲线的定义可得,|PF1|-|PF2|=2a,由|PF1|=2|PF2|,则|PF1|=4a,|PF2|=2a,由△PF1F2为等腰三角形,则|PF1|=|F1F2|或|F1F2|=|PF2|,即有4a=2c或2c=2a,即有e==2(e=1舍去).答案216.已知椭圆方程为=1(a>b>0),双曲线方程为=1(m>0,n>0),若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点,则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为.解析椭圆方程为=1(a>b>0),双曲线方程为=1(m>0,n>0),若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,可得椭圆的焦点坐标F2(c,0),F1(-c,0),正六边形的一个顶点A c.|AF1|+|AF2|=-=2a,∵c+c=2a,∴椭圆离心率e1=-1,因为双曲线的渐近线的斜率为,即,可得双曲线的离心率为e2==2.所以e1+e2=-1+2=+1.故答案为+1.答案+1三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知双曲线C的一个焦点与抛物线C1:y2=-16x的焦点重合,且其离心率为2.(1)求双曲线C的方程;(2)求双曲线C的渐近线与抛物线C1的准线所围成三角形的面积.解(1)抛物线C1:y2=-16x的焦点坐标为(-4,0),因此可设双曲线方程为=1(a>0,b>0),则依题意有 , ,解得a2=4,b2=12,故双曲线C的方程为=1.(2)抛物线C1的准线方程为x=4,双曲线C的渐近线方程为y=±x,于是双曲线C的渐近线与抛物线C1的准线的两个交点为(4,4),(4,-4),所围成三角形的面积S=×8×4=16.18.(本小题满分12分)已知抛物线x2=-2py(p>0)上纵坐标为-p的点到其焦点F的距离为3.(1)求抛物线的方程;(2)若直线l与抛物线以及圆x2+(y-1)2=1都相切,求直线l的方程.解(1)由已知得抛物线的准线方程为y=,则由抛物线的定义知p+=3,则p=2, 所以抛物线的方程为x2=-4y.(2)由题意知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+b,则有,-,消去y得x2+4kx+4b=0,则有Δ=16k2-16b=0,即k2=b.又直线l与圆x2+(y-1)2=1都相切,所以=1.解方程组,,得0,或 ,或- ,,故所求直线l的方程为y=0或y=x+3或y=-x+3.19.(本小题满分12分)已知F1,F2是椭圆M:=1(a>b>0)的两个焦点,椭圆M的离心率为,P(x0,y0)是M上异于上下顶点的任意一点,且△PF1F2面积的最大值为2.(1)求椭圆M的方程;(2)若过点C(0,1)的直线l与椭圆C交于A,B两点,=2,求直线l的方程.解(1)据题意,得,, -,∴a2=6,b2=2.∴椭圆M的方程为=1.(2)据题设知,直线AB的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1.据 ,,得(3+k2)x2+2kx-5=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.∵ =2,∴(-x1,1-y1)=2(x2,y2-1).∴x1=-2x2.∴x1+x2=-x2=-,则x2=.又x1x2=-2=-,∴,∴k=±.故直线l的方程为y=-x+1或y=x+1.20.(本小题满分12分)已知点F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,点M是抛物线上的定点,且=(4,0).(1)求抛物线C的方程;(2)直线AB与抛物线C交于不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x2-1=x1+m2(m为常数),直线l与AB平行,且与抛物线C相切,切点为N,试问△ABN的面积是否是定值.若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.解(1)设M(x0,y0),由题知F0,,所以-0,-0=(4,0).所以-0 ,-00,即0- ,代入x2=2py(p>0)中,得16=p2,解得p=4.所以抛物线C的方程为x2=8y.(2)由题意知,直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b.由, ,消去y,整理得x2-8kx-8b=0, 则x1+x2=8k,x1x2=-8b.∴y1+y2=k(x1+x2)+2b=8k2+2b, 设AB的中点为Q,则点Q的坐标为(4k,4k2+b).由条件,设切线方程为y=kx+t,由, ,消去y整理得x2-8kx-8t=0.∵直线与抛物线相切,∴Δ=64k2+32t=0.∴t=-2k2.∴x2-8kx+16k2=0,∴x=4k,∴y=2k2.∴切点N的坐标为(4k,2k2).∴NQ⊥x轴,∴|NQ|=(4k2+b)-2k2=2k2+b.∵x2-x1=m2+1,又∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=64k2+32b.∴2k2+b=.∴S△ABN=|NQ|·|x2-x1|=·(2k2+b)·|x2-x1|=.∵m为常数,∴△ABN的面积为定值,且定值为.21.(本小题满分12分)已知F1,F2分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,点P-1,在椭圆E 上,且抛物线y2=4x的焦点是椭圆E的一个焦点.(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点F2作不与x轴重合的直线l,设l与圆x2+y2=a2+b2相交于A,B两点,且与椭圆E相交于C,D 两点,当=1时,求△F1CD的面积.解(1)y2=4x焦点为F(1,0),则椭圆E的焦点F1(-1,0),F2(1,0).2a=|PF1|+|PF2|=2.解得a=,c=1,b=1,所以椭圆E的标准方程为+y2=1.(2)由已知,可设直线l方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).联立,,得(t2+1)y2+2ty-2=0,易知Δ>0.则-,-=(x1+1)(x2+1)+y1y2=(ty1+2)(ty2+2)+y1y2=(t2+1)y1y2+2t(y1+y2)+4=-.因为=1,所以-=1,解得t2=.联立 ,,得(t2+2)y2+2ty-1=0,Δ=8(t2+1)>0.设C(x3,y3),B(x4,y4),则-, -△|F1F2|·|y3-y4|=.22.(本小题满分12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的长轴长为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交椭圆C于点A,P(P在第一象限),且点M是线段PN 的中点.过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点Q,延长QM交椭圆C于点B.①设直线PM、QM的斜率分别为k,k',证明为定值;②求直线AB斜率取最小值时,直线PA的方程.解(1)由题意得2a=2,所以a=,c=1,b=--=1.故椭圆方程为+y2=1.(2)①设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m),所以直线PM的斜率k=-00,直线QM的斜率k'=--=-.此时=-,所以为定值-.②设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA的方程为y=kx+m, 直线QB的方程为y=-3kx+m.联立,,整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,由--0, 0-,可得x1=-,y1=kx1+m=k-+m,同理x2=-0,y2=-3kx2+m=-3k-+m.所以x1-x2=-,y1-y2=3k-0+k-,y1-y2=2k(m2-1)0=8k(m2-1),所以k AB=--6k+,由m>0,x0>0,可知k>0,所以6k+≥ ,当且仅当k=时取等号.由P(x0,2m),m>0,x0>0在椭圆C:+y2=1上,得x0=-,k=0-此时-,即m=,由Δ>0得,m2<2k2+1,所以k=时,m=符合题意.所以直线AB的斜率最小时,直线PA的方程为y=x+.。

2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程测评B 新人教A版选修2-1一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(xx·福建高考)若双曲线E:=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3解析:由双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=6.因为|PF1|=3,所以|PF2|=9.答案:B2.(xx·浙江高考)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()A.B.C.D.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义,得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,则,故选A.答案:A3.(xx·广东高考)已知双曲线C:=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:因为双曲线C的右焦点为F2(5,0),所以c=5.因为离心率e=,所以a=4.又a2+b2=c2,所以b2=9.故双曲线C的方程为=1.答案:C4.(xx·天津高考)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:因为双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以.①又因为抛物线y2=4x的准线为x=-,所以c=.②由①②,得a2=4,b2=3.故所求双曲线的方程为=1.答案:D5.(xx·四川高考)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)解析:如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当l的斜率不存在,即x1=x2时,符合条件的直线l必有两条.当l的斜率k存在,即x1≠x2时,有2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即k=.由CM⊥AB,得k CM==-,即x0=3.因为点M在抛物线内部,所以<4x0=12,又x1≠x2,所以y1+y2≠0,即0<<12.因为点M在圆上,所以(x0-5)2+=r2,即r2=+4.所以4<r2<16,即2<r<4,故选D.答案:D6.(xx·安徽高考)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是()A.x2-=1B.-y2=1C.-x2=1D.y2-=1解析:A,B选项中双曲线的焦点在x轴上,不符合要求.C,D选项中双曲线的焦点在y轴上,且双曲线-x2=1的渐近线方程为y=±2x;双曲线y2-=1的渐近线方程为y=±x,故选C.答案:C7.(xx·课标全国Ⅱ高考)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=()A. B.6 C.12 D.7解析:由已知得焦点F为,则过F且倾斜角为30°的直线方程为y=.联立方程消去y得x2-x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.又直线AB过焦点F,∴|AB|=x1+x2+=12.故选C.答案:C8.(xx·山东高考)已知a>b>0,椭圆C1的方程为=1,双曲线C2的方程为=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0解析:由题意,知椭圆C1的离心率e1=,双曲线C2的离心率为e2=.因为e1·e2=,所以,即,整理可得a=b.又双曲线C2的渐近线方程为bx±ay=0,所以bx±by=0,即x±y=0.答案:A9.(xx·课标全国Ⅰ高考)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C 的一个交点.若=4,则|QF|=()A.B.3 C.D.2解析:如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=4.过Q作QH⊥l于H,则|QH|=|QF|.由题意,得△PHQ∽△PMF,则有,∴|HQ|=3.∴|QF|=3.答案:B10.(xx·重庆高考)设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.3解析:根据双曲线的定义||PF1|-|PF2||=2a,可得|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=4a2.而由已知可得|PF1|2+2|PF1||PF2|+|PF2|2=9b2,两式作差可得-4|PF1||PF2|=4a2-9b2.又|PF1||PF2|=ab,所以有4a2+9ab-9b2=0,即(4a-3b)(a+3b)=0,得4a=3b,平方得16a2=9b2,即16a2=9(c2-a2),即25a2=9c2,,所以e=,故选B.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.(xx·湖南高考)设F是双曲线C:=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.解析:不妨设F(c,0)为双曲线右焦点,虚轴一个端点为B(0,b),依题意得点P为(-c,2b),又点P在双曲线上,所以=1,得=5,即e2=5,因为e>1,所以e=.答案:12.(xx·山东高考)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.解析:双曲线的渐近线为y=±x.由得A.由得B.∵F为△OAB的垂心,∴k AF·k OB=-1.即=-1,解得,∴,即可得e=.答案:13.(xx·陕西高考)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.解析:双曲线x2-y2=1的焦点为F1(-,0),F2(,0).抛物线的准线方程为x=-.因p>0,故-=-,解得p=2.答案:214.(xx·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.解析:直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x平行,且两平行线间的距离为.由图形知,双曲线右支上的动点P到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于,要使距离d大于c恒成立,只需c≤ 即可,故c的最大值为.答案:15.(xx·江西高考)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.解析:由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),则可得①-②,并整理得=-.(*)∵M是线段AB的中点,且过点M(1,1)的直线斜率为-,∴x1+x2=2,y1+y2=2,k==-.∴(*)式可化为,即a2=2b2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,即.∴e=.答案:三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)(xx·安徽高考)设椭圆E的方程为=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B 的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.解:(1)由题设条件知,点M的坐标为,又k OM=,从而,进而得a=b,c==2b,故e=.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为=1,点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且k NS·k AB=-1,从而有解得b=3.所以a=3,故椭圆E的方程为=1.17.(6分)(xx·湖南高考)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.(1)求C2的方程;(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且同向.①若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;②设C1在点A处的切线与x轴的交点为M.证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.解:(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以=1.②联立①,②得a2=9,b2=8.故C2的方程为=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).①因同向,且|AC|=|BD|,所以,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-.⑤将④,⑤代入③,得16(k2+1)=,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.②由x2=4y得y'=,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=.令y=0得x=,即M,所以.而=(x1,y1-1),于是-y1+1=+1>0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.18.(6分)(xx·江西高考)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上;(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.(1)证明:依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8,直线AO的方程为y=x;BD的方程为x=x2.解得交点D的坐标为注意到x1x2=-8及=4y1,则有y==-2.因此D点在定直线y=-2上(x≠0).(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由Δ=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.故切线l的方程可写为y=ax-a2.分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为N1,N2.则|MN2|2-|MN1|2=+42-=8,即|MN2|2-|MN1|2为定值8.19.(7分)(xx·天津高考)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解:(1)由已知有,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有,解得k=.(2)由(1)得椭圆方程为=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c,或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为.由|FM|=,解得c=1,所以椭圆的方程为=1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知,得t=,解得-<x<-1,或-1<x<0.设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m2=.①当x∈时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是m=,得m∈.②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=-,得m∈.综上,直线OP的斜率的取值范围是.。

第二章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知平面内动点P到两定点F1,F2的距离的和等于常数2a,关于动点P的轨迹有以下说法:①点P 的轨迹一定是椭圆;②2a>|F1F2|时,点P的轨迹是椭圆;③2a=|F1F2|时,点P的轨迹是线段F1F2;④点P的轨迹一定存在;⑤点P的轨迹不一定存在.则上述说法中,正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:C2.双曲线x29−x216=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于()A.√3B.3C.4D.2 答案:C3.抛物线y=4ax2(a>0)的焦点坐标是()A.(14x ,0)B.(0,116x)C.(0,-116x)D.(116x,0)答案:B4.设抛物线的顶点在原点,焦点F在y轴上,若抛物线上的点(k,-2)与点F的距离为4,则k等于()A.4或-4B.5C.5或-3D.-5或3答案:A5.若椭圆x22+x2x=1的离心率为12,则实数m=()A.32或83B.32C.38D.32或38答案:A6.双曲线x2x2−x2x2=1(a>0,b>0),过焦点F1的直线交双曲线的一支上的弦长|AB|=m,另一焦点为F2,则△ABF2的周长为()A.4aB.4a-mC.4a+2mD.4a-2m解析:由双曲线的定义知,|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a.所以|AF2|+|BF2|-|AF1|-|BF1|=|AF2|+|BF2|-|AB|=|AF2|+|BF2|-m=4a,所以|AF2|+|BF2|=4a+m.故|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.答案:C7.设点P是椭圆x24+x23=1上的动点,F1,F2是焦点,设k=|PF1|·|PF2|,则k的最大值为()A.1B.2C.3D.4解析:因为点P在椭圆x24+x23=1上,所以|PF1|+|PF2|=2a=4.所以4=|PF1|+|PF2|≥2√xx1·xx2,故|PF1|·|PF2|≤4.答案:D8.P是椭圆x29+x25=1上的动点,过点P作椭圆长轴的垂线,垂足为点M,则PM的中点的轨迹方程为()A.4x29+x25=1B.x29+4x25=1C.x29+x220=1D.x236+x25=1解析:用代入法,设点P的坐标为(x1,y1),PM的中点的坐标为(x,y),则x1=x,y1=2y,代入椭圆方程即得PM的中点的轨迹方程.答案:B9.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()A.√2B.√3C.√3+12D.√5+12解析:设双曲线方程为x2x2−x2x2=1(a>0,b>0),F(c,0),B(0,b),则k BF=−xx,双曲线的渐近线方程为y=±xxx,∴−xx ·xx=−1,即b2=ac,c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,解得e=1±√52.又e>1,∴e=√5+12,故选D.答案:D10.双曲线的虚轴长为4,离心率e=√62,F1,F2分别是它的左,右焦点,若过点F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且|AB|是|AF1|,|AF2|的等差中项,则|BF1|等于()A.8√2B.4√2C.2√2D.8解析:由题意,b=2,a=2√2,c=2√3,由|AB|是|AF1|,|AF2|的等差中项及双曲线的定义得|BF1|=a.答案:C二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.若双曲线x 24−x 2x 2=1(b>0)的渐近线方程为y=±12x ,则b= .解析:由双曲线渐近线方程知x 2=12,则b=1.答案:1 12.椭圆x 29+x 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .解析:由椭圆定义得|PF 2|=2a-|PF 1|=6-4=2.由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=−12, 又∠F 1PF 2是三角形的内角,故∠F 1PF 2=2π3.答案:22π313.若抛物线y 2=2px (p>0)上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6,则抛物线方程为 .解析:设该点坐标为(x ,y ).由题意知x=10−x 2,|y|=6.代入抛物线方程得36=2x (10-x2),解得p=2或p=18. 答案:y 2=4x 或y 2=36x 14.过点(√2,-2)且与双曲线x 22−x 2=1有公共渐近线的双曲线方程是 .解析:设双曲线方程为x 22−x 2=m (m ≠0),将已知点的坐标代入可得m=-3.故所求双曲线方程为x 23−x 26=1.答案:x 23−x 26=115.以下命题:①两直线平行的充要条件是它们的斜率相等.②过点(x 0,y 0)与圆x 2+y 2=r 2相切的直线方程是x 0x+y 0y=r 2. ③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. ④抛物线上任意一点M 到焦点的距离等于点M 到其准线的距离.其中正确命题的序号是 .解析:①中斜率不一定存在;②点(x 0,y 0)不一定在圆上;③当2a=|F 1F 2|时,轨迹为线段. 答案:④三、解答题(本大题共3个小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知抛物线y 2=8x ,过点M (2,1)的直线交抛物线于A ,B 两点,如果点M 恰是线段AB 的中点,求直线AB 的方程.分析:利用“设而不求”和“点差法”解决.解:由题意知,直线斜率显然存在.设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),直线斜率为k ,则y 2+y 1=2.将A ,B 两点坐标代入抛物线方程得x 12=8x 1, ① x 22=8x 2,②②-①得(y 2-y 1)(y 2+y 1)=8(x 2-x 1)故k =x 2-x 1x 2-x 1=8x2+x 1=82=4.所以所求直线方程为y-1=4(x-2),即4x-y-7=0. 17.(8分)已知椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的离心率e =√32,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程;(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ,B ,若点A 的坐标为(-a ,0),|AB|=4√25,求直线l 的倾斜角. 分析:(1)由离心率e =xx =√32和连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积2ab=4可求得a ,b 的值.(2)用“设而不求”的方法和“弦长公式”解题. 解:(1)由e =xx =√32,得3a 2=4c 2.再由c 2=a 2-b 2,解得a=2b.由题意可知12×2a ×2b=4,即ab=2. 解方程组{x =2x ,xx =2,得a=2,b=1.所以椭圆的方程为x 24+x 2=1.(2)由(1)可知点A 的坐标是(-2,0).设点B 的坐标为(x 1,y 1),直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为y=k (x+2).于是A ,B 两点的坐标满足方程组{x =x (x +2),x 24+x 2=1.消去y 并整理,得(1+4k 2)x 2+16k 2x+(16k 2-4)=0.由-2x 1=16x 2-41+4x 2,得x 1=2-8x 21+4x 2.从而y 1=4x1+4x 2.所以|AB|=√(-2-2-8x 21+4x 2)2+(4x 1+4x 2)2=4√1+x21+4x 2.由|AB|=4√25,得4√1+x 21+4x 2=4√25.整理得32k 4-9k 2-23=0,即(k 2-1)(32k 2+23)=0.解得k=±1.所以直线l 的倾斜角为π4或3π4.18.(9分)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明动点D在定直线上;(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.(1)证明:依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8,直线AO的方程为y=x1x1x;BD的方程为x=x2.解得交点D的坐标为{x=x2,x=x1x2x1,注意到x1x2=-8及x12=4y1,则有y=x1x1x2x12=-8x14x1=−2.因此D点在定直线y=-2上(x≠0).(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由Δ=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.故切线l的方程可写为y=ax-a2.分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为N1(2x +x,2),N2(-2x+x,-2).则|MN2|2-|MN1|2=(2x -x)2+42−(2x+x)2=8,即|MN2|2-|MN1|2为定值8.。

2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末测试B 新人教B 版选修2-1一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1C.3x 225－3y 2100＝1D.3x 2100－3y225＝1 3．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( ) A ．焦距相等 B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等4．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 35．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．36．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，17．(2014课标全国Ⅰ高考)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3 C.52D ．2 8．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x9．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝010．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为__________．12．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.13已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝__________.14．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是__________．15．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为__________．三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(6分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．17．(6分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .18．(6分)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程．(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．19．(7分)(2013广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．参考答案1．解析：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋p 2＝5，则x 0＝5－p2.又点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p2＋(y －y 0)y ＝0.将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即y 202－4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.由y 20＝2px 0，得16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解之，得p ＝2，或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C. 答案：C2．解析：由于双曲线焦点在x 轴上，且其中一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，所以c ＝5.又因为一条渐近线与l 平行，因此b a ＝2，可解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线方程为x 25－y 220＝1，故选A.答案：A3．解析：因为0＜k ＜9，所以方程x 225－y 29－k ＝1与x 225－k －y 29＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1中，其实轴长为10，虚轴长为29－k ，焦距为225＋9－k ＝234－k ；双曲线x 225－k －y 29＝1中，其实轴长为225－k ，虚轴长为6，焦距为225－k ＋9＝234－k .因此两曲线的焦距相等，故选A.答案：A4．解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即±3x －y ＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d ＝|±3－0|2＝32. 答案：B5．解析：设A 点坐标为(x 0，y 0)，则由题意，得S △AOB ＝|x 0|·|y 0|＝ 3.抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，所以x 0＝－p 2，代入双曲线的渐近线的方程y ＝±b a x ，得|y 0|＝bp2a.由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＋b 2＝c 2，得b ＝3a ，所以|y 0|＝32p .所以S △AOB ＝34p 2＝3，解得p ＝2或p ＝－2(舍去)．答案：C6．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，kPA 2＝y 0x 0－2，kPA 1＝y 0x 0＋2，于是kPA 1·kPA 2＝y 20x 20－22＝3－34x 20x 20－4＝－34.故kPA 1＝－341kPA 2.∵kPA 2∈[－2，－1]，∴kPA 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.故选B. 答案：B7．解析：如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p ＝|FM |＝4.过Q 作QH ⊥l 于H ，则|QH |＝|QF |. 由题意，得△PHQ ∽△PMF ， 则有|HQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝34，∴|HQ |＝3.∴|QF |＝3. 答案：B8．解析：由离心率为3，可知c ＝3a ，∴b ＝2a ， ∴渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ，故选B. 答案：B9．解析：由题意，知椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为e 2＝a 2＋b 2a.因为e 1·e 2＝32， 所以a 2－b 2a 2＋b 2a 2＝32， 即a 2－b 2a 2＋b 2a 4＝34， 整理可得a ＝2b .又双曲线C 2的渐近线方程为bx ±ay ＝0， 所以bx ±2by ＝0，即x ±2y ＝0.答案：A10．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y 22b 2＝1，②①－②，得x 1＋x 2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，即b 2a 2＝－y 1＋y 2y 1－y 2x 1＋x 2x 1－x 2，∵AB 的中点为(1，－1)， ∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝0－－13－1＝12， ∴b 2a 2＝12. 又∵a 2－b 2＝9， ∴a 2＝18，b 2＝9，∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.故选D.答案：D11．解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .答案：y ＝±34x12．解析：抛物线的准线方程为y ＝－p2，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝3＋p 42，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点得p ＝32|AB |，即p 2＝34×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 42，所以p ＝6.答案：613．解析：如图所示．根据余弦定理|AF |2＝|BF |2＋|AB |2－2|AB |·|BF |cos ∠ABF ，即|BF |2－16|BF |＋64＝0，得|BF |＝8.又|OF |2＝|BF |2＋|OB |2－2|OB |·|BF |cos ∠ABF ，得|OF |＝5. 根据椭圆的对称性|AF |＋|BF |＝2a ＝14，得a ＝7. 又|OF |＝c ＝5，故离心率e ＝57.答案：5714．解析：由双曲线方程可知，它的渐近线方程为y ＝b a x 与y ＝－b ax ，它们分别与x －3y ＋m ＝0联立方程组，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b .由|PA |＝|PB |知，可设AB 的中点为Q ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－am a －3b ＋－am a ＋3b 2，－bm a －3b ＋bm a ＋3b 2，由PQ ⊥AB ，得k PQ ·k AB ＝－1，解得2a 2＝8b 2＝8(c 2－a 2)，即c 2a 2＝54.故c a ＝52. 答案：5215．解析：设B 在x 轴上的射影为B 0，由题意得，|B 0F 1|＝13|F 1F 2|＝2c3，得B 0坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，0，即B 点横坐标为－5c 3.设直线AB 的斜率为k ，又直线过点F 1(－c,0)，∴直线AB 的方程为y ＝k (x ＋c )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1得(k 2＋b 2)x 2＋2ck 2x ＋k 2c 2－b 2＝0，其两根为－5c3和c ，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧－53c ＋c ＝－2ck 2k 2＋b2，－53c ×c ＝k 2c 2－b2k 2＋b2，解之，得c 2＝13，∴b 2＝1－c 2＝23.∴椭圆方程为x 2＋32y 2＝1.答案：x 2＋32y 2＝116．分析：(1)利用椭圆的几何性质可得BF 2＝a ＝2，再把点C 的坐标代入即可求出椭圆方程；(2)写出B ，F 2的坐标，用b ，c 表示直线AB 的方程，联立椭圆方程表示出点A 的坐标，利用点A 与点C 的对称性，表示出点C 的坐标，利用直线F 1C 的斜率及kF 1C ·k AB ＝－1建立a ，b ，c 的关系，再结合平方关系求离心率．解：设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )， 所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上， 所以169a 2＋19b2＝1.解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋y b＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x c ＋y b ＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝bc 2－a 2a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b c 2－a 2a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b a 2－c 2a 2＋c 2.因为直线F 1C 的斜率为b a 2－c 2a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－－c ＝b a 2－c 23a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc，且F 1C ⊥AB ，所以b a 2－c 23a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15.因此e ＝55. 17．分析：在第(1)问中，根据椭圆中a ，b ，c 的关系及题目给出的条件可知点M 的坐标，从而由斜率条件得出a ，c 的关系，再利用离心率公式可求得离心率，注意离心率的取值范围；在第(2)问中，根据题目条件，O 是F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，可得a ，b 之间的一个关系式，再根据条件|MN |＝5|F 1N |，可得|DF 1|与|F 1N |的关系，然后可求出点N 的坐标，代入C 的方程，可得a ，b ，c 的另一关系式，最后利用a ，b ，c 的关系式可求得结论．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |， 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.18．分析：第(1)问求动点M 的轨迹C 的方程，就是找出动点M (x ，y )中x 与y 的关系，依据点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴距离多1建立等式|MF |＝|x |＋1，而|MF |可用两点间距离公式表示，化简整理可得轨迹C 的方程．而对于第(2)问，由于直线过定点(－2,1)，可用点斜式得直线方程y －1＝k (x ＋2)，讨论直线l 与曲线C 公共点个数问题可转化为直线与曲线方程联立得到的方程组解的个数问题．由第(1)问知曲线C 的方程分为两段：一段是抛物线，一段为射线，而由直线与抛物线联立得到的是二次项含字母的方程，需对二次项系数以及根的判别式作出讨论，还要注意与抛物线联立后有解时x 的取值为非负这一条件．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即x －12＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x ). 故点M 的轨迹C 的方程为y2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x ＜0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝kx ＋2，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①ⅰ)当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. ⅱ)当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(a)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ<0，x 0<0，由②③解得k ＜－1，或k ＞12. 即当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(b)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或－12≤k ＜0. 即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点． 当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． (c)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 0<0，由②③解得－1＜k ＜－12，或0＜k ＜12. 即当k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合ⅰ，ⅱ可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点； 当k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点． 19．解：(1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ， 由|0－c －2|2＝322，结合c ＞0，解得c ＝1. 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎝⎛⎭⎪⎫其中y 1＝x 214，y 2＝x 224， 则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)， 即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0， 同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0. 因为切线PA ，PB 均过点P (x 0，y 0)， 所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0. 所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ， 消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0.由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20， 所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2.所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92. 所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.。

第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1过点(0,1)且与抛物线y2=x只有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:过(0,1)且与抛物线只有一个公共点的直线有2条切线和一条交线(y=1).答案:C2双曲线的焦点在y轴上,且它的一个焦点在直线5x-2y+20=0上,两焦点关于x轴对称,cc =53,则该双曲线的方程是()A.c236−c264=1B.c264−c236=1C.c236−c264=−1D.c264−c236=−1解析:∵两焦点关于x轴对称,焦点在y轴,又焦点在直线5x+2y+20=0上,∴当x=0时,y=-10.∴c=10.∵cc=53,∴c2=36,c2=64.答案:D3已知双曲线c2c2−c2c2=1的一条渐近线方程为c=43c,则该双曲线的离心率为()A.53B.43C.54D.32解析:本题已知cc =43,不能直接求出a,c,可用整体代入变用公式.由e=cc=√c2+c2c=√c2+c2c2=√1+c2c2=√1+c2(其中k为渐近线的斜率).这里cc =43,则e=cc=√1+(43)2=53,故选A.答案:A4已知点F,A分别为双曲线C:c2c2−c2c2=1(c>0,c>0)的左焦点、右顶点,点c(0,c)满足cc⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·cc⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线的离心率为()A.√2B.√3C.1+√32D.1+√52解析:∵cc⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·cc⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴cc⊥AB,∴b2=ac.又∵b2=c2-a2,∴c2-a2-ac=0.两边同除以a2,得e2-1-e=0,∴e=1+√52.答案:D5已知双曲线c2c2−c2c2=1(c>0,c>0)的一个焦点在直线c:√3c+3c+12=0上,且其一条渐近线与直线c平行,则该双曲线的方程为()A.c248−c216=1B.c216−c248=1C.c212−c24=1D.c24−c212=1解析:依题意,双曲线焦点在y轴上,又直线l与y轴交点为(0,-4),所以双曲线焦点坐标为(0,±4), 即c=√c2+c2=4.又因为直线l斜率为−√33,因此cc=√33,解得a2=4,b2=12,故双曲线方程为c24−c212=1.答案:D6已知椭圆E:c2c2+c2c2=1(c>c>0)的右焦点为c(3,0),过点c的直线交c于c,c两点.若cc的中点坐标为(1,−1),则该椭圆的方程为()A.c245+c236=1B.c236+c227=1C.c227+c218=1D.c218+c29=1解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在椭圆上,∴{ c 12c 2+c 12c 2=1,①c 22c 2+c 22c 2=1.② ①-②,得(c 1+c 2)(c 1-c 2)c 2+(c 1+c 2)(c 1-c 2)c 2=0,即c 2c 2=−(c 1+c 2)(c 1-c 2)(c 1+c 2)(c 1-c 2). ∵AB 的中点为(1,-1),∴y 1+y 2=-2,x 1+x 2=2. 而c 1-c 2c 1-c 2=ccc =0-(-1)3-1=12,∴c 2c 2=12. 又∵a 2-b 2=9,∴a 2=18,b 2=9.∴椭圆E 的方程为c 218+c 29=1.故选D .答案:D7已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,过P 作PA ⊥l 于点A ,当∠AFO=30°(O 为坐标原点)时,|PF|=( )A .43B .83C .2D .3解析:设l 与y 轴交于点B ,在Rt △ABF 中,∠AFB=30°,|BF|=2,所以|AB|=2√33.设P (x 0,y 0),则x 0=±2√33,于是y 0=13,从而|PF|=|PA|=y 0+1=43.答案:A8如图,F 1,F 2是椭圆C 1:c 24+c 2=1与双曲线c 2的公共焦点,c ,c 分别是c 1,c 2在第二、四象限的公共点.若四边形cc 1cc 2为矩形,则双曲线c 2的离心率是( )A .√2B .√3C .32D .√62解析:在椭圆C1中,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=2√3.又因为四边形AF1BF2为矩形,所以∠F1AF2=90°.所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,所以|AF1|=2−√2,|cc2|=2+√2.所以在双曲线C2中,2c=2√3,2c=|cc2|−|cc1|=2√2,故e=cc =√3√2=√62,故选D.答案:D9如图,南北方向的公路l,A地在公路的正东2千米处,B地在A地北偏东60°方向2√3千米处,河流沿岸cc(曲线)上任一点到公路c和到c地的距离相等.现要在曲线cc上选一处c建一座码头,向c,c两地转运货物,经测算从c到c,从c到c修建公路的费用均为c万元/千米,则修建这两条公路的总费用最低是()A.(2+√3)c万元B.(2√3+1)c万元C.5a万元D.6a万元解析:分别过点M,B,A作直线MM'⊥l,BB'⊥l,AA1⊥l,垂足分别为M',B',A1,过点B作BB1⊥AA1,垂足为B1.由已知,得|AB1|=|AB|cos30°=2√3×√32=3.∵|AA1|=2,∴|BB'|=3+2=5.又∵|AM|=|MM'|,∴修路费用为(|AM|+|MB|)a=(|MM'|+|MB|)a ≥|BB'|·a=5a (万元).答案:C10已知椭圆c 2c2+c 2c2=1(c >c >0)的离心率的取值范围是[35,1),其左、右焦点分别为c 1,c 2,若c 是椭圆上位于c 轴右侧的一点,则|cc 1||cc 2|=( )A .53B .3C .4D .5解析:依题意|PF 1|>|PF 2|,设|cc 1||cc 2|=c (c >1),则|PF 1|=λ|PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a ,因此|PF 2|=2cc +1,又因为F 2是右焦点,所以|PF 2|≥a-c ,因此2c c +1≥a-c ,整理得e ≥c -1c +1,于是有c -1c +1=35,故λ=4. 答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,O 为坐标原点,点P 在抛物线C 上,且PF ⊥OF ,则|cc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −cc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=__________________.解析:易知|OF|=1,|PF|=2,则|cc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −cc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|cc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|cc |2+|cc |2=√5. 答案:√512椭圆Γ:c 2c 2+c 2c 2=1(c >c >0)的左、右焦点分别为c 1,c 2,焦距为2c .若直线c =√3(c +c )与椭圆c 的一个交点c 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 . 解析:由直线y =√3(c +c ),知其倾斜角为60°. 由题意知∠MF 1F 2=60°, 则∠MF 2F 1=30°,∠F 1MF 2=90°. 故|MF 1|=c ,|MF 2|=√3c .由|MF 1|+|MF 2|=2a ,得(√3+1)c =2c ,即e=√3+1=√3−1.答案:√3−113O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4√2c的焦点,c为c上的一点,若|cc|=4√2,则△POF的面积为.解析:抛物线的焦点F(√2,0),准线方程x=−√2.∵|PF|=4√2,∴|PF|=4√2=cc+√2,即x P=3√2,∴c c2=4√2×3√2=24,即|y P|=√24=2√6.故△POF的面积为12×√2×2√6=2√3.答案:2√314已知抛物线y2=8x的准线过双曲线c2c2−c2c2=1(c>0,c>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为_________________.解析:抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,则双曲线c2c2−c2c2=1(c>0,c>0)的左焦点为(-2,0),即a2+b2=4.由e=cc=2,易求得a2=1,b2=3,则该双曲线的方程为x2−c23=1.答案:x2−c23=115已知抛物线y2=2px(p>0)在第一象限内的一点A(3,b)到抛物线焦点F的距离为4,若P为抛物线准线上任意一点,则当△PAF的周长最小时,以PF为直径的圆的标准方程为.解析:由已知|AF|=4,根据抛物线定义得点A到准线的距离为4,因此有3+c2=4,解得p=2,故抛物线方程为y2=4x,从而A(3,2√3).△PAF 的周长最小即|PA|+|PF|最小,由于F 关于准线的对称点F 1(-3,0),连接AF 1与准线的交点即为使得|PA|+|PF|最小的点,此时可求得c (-1,2√33),故以PF 为直径的圆的圆心为(0,√33),半径等于2√33,故圆的标准方程为x2+(c -√33)2=43.答案:x2+(c -√33)2=43三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线方程是x=-1. (1)求此抛物线的方程;(2)设点M 在此抛物线上,且|MF|=3,若O 为坐标原点,求△OFM 的面积. 解:(1)因为抛物线的准线方程为x=-1,所以c 2=1,得p=2,所以抛物线的方程为y 2=4x.(2)设M (x 0,y 0),因为点M (x 0,y 0)在抛物线上,且|MF|=3, 由抛物线的定义,知|MF|=x 0+c 2=3,得x 0=2.将(2,y 0)代入方程y 2=4x ,得y 0=±2√2,所以△OFM 的面积为12|cc ||c 0|=12×1×2√2=√2.17(8分)设P是椭圆c 2c 2+c 2c 2=1(c >c >0)上的一点,c 1,c 2是其左、右焦点.已知∠F 1PF 2=60°,求椭圆离心率的取值范围.解:根据椭圆的定义,知|PF 1|+|PF 2|=2a.① 在△F 1PF 2中,由余弦定理,得 cos60°=|cc 1|2+|cc 2|2-|c 1c 2|22|cc 1||cc 2|=12,即|PF 1|2+|PF 2|2-4c 2=|PF 1||PF 2|.②①式平方,得|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=4a 2.③由②③,得|PF 1||PF 2|=4c 23.④由①和④运用基本不等式,得|PF 1||PF 2|≤(|cc 1|+|cc 2|2)2,即4c 23≤a 2.由b 2=a 2-c 2,得43(c 2−c 2)≤a 2,解得e =cc ≥12.∵e<1,∴该椭圆的离心率的取值范围是[12,1).18(9分)已知直线y=kx-1与双曲线x 2-y 2=1的左支交于A ,B 两点,若另有一条直线l 经过P (-2,0)及线段AB 的中点Q. (1)求k 的取值范围;(2)求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围. 解:(1)将y=kx-1代入双曲线方程x 2-y 2=1, 化简整理,得(1-k 2)x 2+2kx-2=0,由题设条件,得{ 4c 2+8(1-c 2)>0,-2c1-c 2<0,-21-c 2>0⇒−√2<c <−1.即k 的取值范围是{k|−√2<c <−1}. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),Q (x ,y ), 则x =c 1+c 22=cc 2-1,c =1c 2-1,故直线l 的方程为y =12c 2+c -2(c +2). 令x=0时,则b =22c 2+c -2=22(c +14)2-178.∵−√2<c <−1,c =2c 2+c −2为减函数, ∴-1<u<2−√2.∵c ≠0, ∴b<-2或b>2+√2.即b 的取值范围是{b|b<-2或b>2+√2}.19(10分)设F 1,F 2分别是椭圆E :c 2c 2+c 2c 2=1(c >c >0)的左、右焦点,过c 1且斜率为1的直线c 与c 相交于c ,c 两点,且|cc 2|,|cc |,|cc 2|成等差数列. (1)求椭圆E 的离心率;(2)设点P (0,-1)满足|PA|=|PB|,求椭圆E 的方程. 解:(1)由椭圆定义知|AF 2|+|BF 2|+|AB|=4a , 又2|AB|=|AF 2|+|BF 2|,得|AB|=43c . 直线l 的方程为y=x+c ,其中c =√c 2-c 2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点坐标满足方程组{c =c +c ,c 2c 2+c 2c 2=1.化简得(a 2+b 2)x 2+2a 2cx+a 2(c 2-b 2)=0, 则x 1+x 2=-2c 2cc 2+c 2,c 1c 2=c 2(c 2-c 2)c 2+c 2. 因为直线AB 斜率为1,所以|AB|=√2|c 2−c 1|=√2[(c 1+c 2)2-4c 1c 2], 得43c =4cc 2c 2+c 2,故a 2=2b 2.故E 的离心率e =cc =√c 2-c 2c=√22. (2)设AB 的中点为N (x 0,y 0),由(1)知x 0=c 1+c 22=-c 2cc 2+c 2=−23c ,c 0=c 0+c =c3.由|PA|=|PB|得k PN =-1, 即c 0+1c 0=−1,得c=3,从而a=3√2,c =3.故椭圆E 的方程为c 218+c 29=1.20(10分)如图,M 是抛物线y 2=x 上的一点,动弦ME ,MF 分别交x 轴于A ,B 两点,且MA=MB.(1)若M 为定点,证明:直线EF 的斜率为定值;(2)若M 为动点,且∠EMF=90°,求△EMF 的重心G 的轨迹方程. (1)证明设定点M (c 02,c 0),直线ME 的斜率为k (k>0), 由|MA|=|MB|可知直线MF 的斜率为-k , 即直线ME 的方程为y-y 0=k (x −c 02).由{c -c 0=c (c -c 02),c 2=c ,消去x ,得ky 2-y+y 0(1-ky 0)=0. 解得y E =1-cc 0c,则x E =(1-cc 0)2c 2.同理可得y F =1+cc 0-c,cc =(1+cc 0)2c 2.故k EF =c c -c c c c -c c=1-cc 0c -1+cc 0-c(1-cc 0)2c 2-(1+cc 0)2c 2=2c-4cc 0c 2=−12c 0(定值).因此,直线EF 的斜率为定值. (2)解设动点M (c 02,c 0).∵当∠EMF=90°时,∠MAB=45°,∴k=1. ∴直线ME 的方程为y-y 0=x −c 02. 由{c -c 0=c -c 02,c 2=c得E ((1-y 0)2,1-y 0). 同理可得F ((1+y 0)2,-(1+y 0)).设重心G (x ,y ),则有{c =c c +c c +c c3=c 02+(1-c 0)2+(1+c 0)23=2+3c 023,c =c c +c c +c c3=c 0+(1-c 0)-(1+c 0)3=-c 03,消去参数y 0,得y 2=19c −227(c >23).11。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )A ．2B ．1C ．4D ．8【解析】 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以点P到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线准线的距离等于4，故选C.【答案】 C2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．23B ．4C ．6D ．43【解析】 据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |，∴PM ⊥抛物线的准线．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m24＝错误!，得m ＝2错误!，∴等边三角形的边长为4，其面积为4错误!，故选D.【答案】 D3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段A B 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y21＝2px1， ①y22＝2px2， ②①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．又∵y 1＋y 2＝4，∴y1－y2x1－x2＝2p 4＝p2＝k ＝1，∴p ＝2.∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．73【解析】 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋32＝212＋32＝12，故选C.【答案】 C5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4【解析】 由题意知p ＝2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.故选B. 【答案】 B 二、填空题6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为错误!，由题意有x ＋错误!＝错误!，∴x ＝错误!，∴y ＝±错误!，∴此点坐标为错误!.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫18，±24 7．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________.【解析】 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消去y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.【答案】 0或18．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________.【导学号：15460049】【解析】 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)， 设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－p 2.∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3，∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0， 得8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 【解】(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －32.联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92. [能力提升]1．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF||BF|∈(0,1)，则|AF||BF|＝( )A.15B ．14C ．13D ．12【解析】 因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF||BF|＝|xA||xB|＝13，故选C. 【答案】 C2．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB→＝0，则k ＝( )A.12 B ．22C ．2D ．2【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则过焦点且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.【答案】 D3．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.【导学号：15460050】【解析】由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x2－y2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为 A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3＋14p2，－p 2，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3＋14p2，－p 2，所以AB ＝23＋14p2.由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6.【答案】 64．已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1,0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．【解】 过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)， 由方程组错误!消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1.设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，∴S △OAB ＝12错误!＝错误!错误!＝错误!，解得k ＝－16或16.。