初中数学知识点精讲精析 两条直线的位置关系
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全国初中数学优秀课一等奖教师说课稿:两条直线的位置关系–说课稿一. 教材分析《两条直线的位置关系》是人教版初中数学八年级上册第五章《几何图形》中的一节内容。
这部分教材主要介绍了两条直线在平面直角坐标系中的位置关系,包括相交、平行和重合三种情况。
通过学习,学生能够理解和掌握直线的平行、相交等基本概念,并能够运用这些概念解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、坐标系等基础知识,具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
但是,对于直线位置关系的理解还需要通过具体的实例和操作来加深。
因此,在教学过程中,我将以学生为主体,注重引导学生的思考和动手实践,提高学生对直线位置关系的理解和应用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标:学生能够理解直线平行、相交和重合的概念,掌握判断直线位置关系的方法,能够运用直线位置关系解决实际问题。
2.过程与方法目标:通过观察、操作、思考和交流,学生能够培养空间想象能力和逻辑思维能力,提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标:学生能够积极参与课堂活动,克服困难,勇于探索,增强对数学学习的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点:直线平行、相交和重合的概念及判断方法。
2.教学难点:直线位置关系的理解和运用,以及解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法,引导学生主动参与、积极思考。
2.教学手段:利用多媒体课件、实物模型和教学卡片等辅助教学,提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.导入新课:通过展示实际生活中的直线位置关系图片,引导学生关注直线的位置关系,激发学生的学习兴趣。
2.探究新知:学生分小组讨论直线平行、相交和重合的定义,教师引导学生总结判断方法。
3.例题解析:教师展示典型例题,引导学生运用所学知识解决问题,巩固新知。
4.实践操作:学生动手实践,利用教学卡片和实物模型,判断直线位置关系。
5.拓展提高:教师提出开放性问题,引导学生运用所学知识解决实际问题。
解析几何【2】两条直线的位置关系1、两条直线的位置关系(1)利用斜截式直线方程判断两条直线的位置关系:已知直线1l 和2l 的斜截式方程分别为111:l y k x b ,222:l y k x b ,则:①1212//l l k k 且12b b .②12121l l k k .③1l 与2l 相交12k k .④1l 与2l 重合1212,k k b b .注:当1l 和2l 都没有斜率时,1l 与2l 平行或重合;当1l 和2l 中有一条没有斜率而另一条斜率为零,则12l l .(2)利用一般式直线方程判断两条直线的位置关系:给定两条直线1111:0l a x b y c 与2222:0l a x b y c (1a 、1b 不同时为零,2a 、2b 不同时为零),1l 与2l 相交、平行或重合取决于方程组11122200a x b y c a x b y c 的解的情况:①1l 与2l 重合 方程组有无数组解 存在R ,使得12a a ,12b b 且12c c .②12//l l 方程组无解 存在R ,使得12a a ,12b b 但12c c .③1l 与2l 相交 方程组有唯一的解1221a b a b .2、两条直线的夹角(1)定义:两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角.夹角范围0,2 .(2)公式:cos ;(当两条直线的斜率1k 、2k 都存在时,1212tan 1k k k k )(3)1212120l l a a b b .【温馨点睛】1、两直线的位置关系包括相交、平行和重合.其中垂直在相交的位置关系中尤为重要,求直线方程时要考虑到直线没有斜率的情况,不能盲目的套用公式;两条直线斜率相等时,可能是平行,也可能是重合;斜率互为负倒数也不是两条直线垂直的充要条件.2、在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜率,可根据平行或垂直的充要条件判断;若直线无斜率时,要单独考虑.【考点一】两条直线的平行或垂直【例1】设m R ,并给出直线221:23410l m m x m m y m .在下列条件下求m 的值:(1)1l 与x 轴垂直;(2)1l 与y 轴垂直;(2)1l 与2:2350l x y 垂直;(4)1l 与3:2350l x y 平行.【同类变式】已知两直线21:60l x m y , 2:2320l m x my m ,当m 为何值时,1l 与2l :(1)相交;(2)平行;(3)重合.【考点二】两条直线的交点【例2】求经过直线1:3210l x y 和2:5210l x y 的交点,且垂直于直线3:3560l x y 的直线l 的方程.【同类变式】直线l 被两条直线1:430l x y 和2:3550l x y 截得的线段的中点为 1,2P ,求直线l 的方程.【考点三】两条直线的夹角【例3】在△ABC 中,边AB、AC 和BC 对应的方程依次为5x-y-9=0、x-5y+5=0和x+3y+4=0.求:(1)/A 的大小(2)∠A 的平分线所在直线的方程已知直线 :2311l a y a x .(1)求证;无论a 为何值,直线l 总经过第一象限;(2)直线l 是否有可能不经过第二象限?若有可能,求出a 的范围;若不可能,说明理由.【同类变式】已知直线方程为 22140m x m y .(1)该直线是否经过定点?若经过,求出该点坐标;若不经过,说明你的理由;(2)当m 为何值时,点 3,4Q 到直线的距离最大,最大值为多少?(3)当m 在什么范围时,该直线与两坐标轴负半轴均相交?【例ABO 的面积的最小(1)(2)若本例条件不变,求PA PB的最大值及此时直线l 的方程.【真题自测】1.现有下列四个命题:①经过定点 000,P x y 的直线都可以用方程 00y y k x x ;②经过任意两个不同的点 111,P x y 、 222,P x y 的直线都可以用方程121121x x y y y y x x 表示;③不经过原点的直线都可以用方程1x y a b表示:④经过定点 0,A b 的直线都可以用方程y kx b 表示..A 0;2..A .B .C .D 3.直线:tan 105l x y的倾斜角 .4.已知点 2,3A 、 1,4B ,则直线AB 的点法式方程为.5.已知点 3,4A 、 2,2B ,直线20mx y m 与线段AB 相交,则实数m 的取值范围是.6.1212x y y .k ,0k。
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明老师初中数学课堂两条直线的位置与关系
在初中数学课堂中,我们经常会学习到两条直线的位置与关系。
对于两条直线来说,它们可能有以下几种关系:
1. 相交:两条直线在某一点相交,这个点叫做交点。
2. 平行:两条直线没有交点,但是它们的方向相同或者相反。
3. 垂直:两条直线相交时,它们的交角为90度,这时我们称这
两条直线垂直。
通过掌握这些直线的位置与关系,我们可以解决很多有关几何的
问题。因此,在学习初中数学时,我们应该认真掌握这些知识点,为
以后的数学学习打下坚实的基础。
第一节两条直线的位置关系
要点精讲
一、两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系有平行和相交两种.
1.平行线的定义:
(1)如果在同一平面内的两条不相交的直线叫平行线.
(2)平行线用“∥”来表示;强调要在同一平面内,若不在同一平面内的两条直线,又不平行,又不相交,叫异面直线;线段、射线的平行关系根据它所在的直线来决定,若它们所在的直线不相交,就平行,若所在的直线相交,就不平行.
2.相交线的定义
若两条直线只有一个公共点,我们称这两条线为相交线.
三、特殊角
余角和补角:两角之和为90°则两角互为余角,两角之和为180°则两角互为补角.等角的余角相等,等角的补角相等.
对顶角:两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做互为对顶角.两条直线相交,构成两对对顶角.互为对顶角的两个角相等.邻补角:两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角.
内错角:互相平行的两条直线直线,被第三条直线所截,如果两个角都在两条直线的
四、两条直线互相垂直
1.两条直线相交成直角,就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”),读作“AB垂直于CD”(或“CD 垂直于AB”).
2.垂线的性质:
性质1:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.简称:垂线段最短.3.点到直线的距离:过A点作l的垂线,垂足为B点,线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.
相关链接
经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线).垂直平分线,简称“中垂线”,是初中几何学科中非常重要的一部分. 典型分析
1.如图,△ABC 中,∠C=90°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,若CD=4,则点D 到AB 的距离是________.
【答案】4
【解析】由三角形全等或角平分线性质定理易得D 到AB 的距离就是D 到AB 的距离CD .
中考案例
1. (2012重庆市4分)已知:如图,BD 平分∠ABC ,点E 在BC 上,EF ∥AB .若∠CEF=100°,则∠ABD 的度数为【 】
A .60°
B .50°
C .40°
D .30°
【答案】B 。
【解析】∵EF ∥AB ,∠CEF=100°,∴∠ABC=∠CEF=100°。
∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD=∠ABC=×100°=50°。
故选B 。
2.(2012山西省2分)如图,直线AB ∥CD ,AF 交CD 于点E ,∠CEF=140°,则∠A 等于【 】
A . 35°
B . 40°
C . 45°
D . 50°
【答案】B 。
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【解析】∵∠CEF=140°,∴∠FED=180°﹣∠CEF=180°﹣140°=40°。
∵直线AB ∥CD ,∴∠A=∠FED=40°。
故选B 。
针对训练
1.知∠=32º,则∠的补角为【 C 】
A .58º
B .68º
C .148º
D .168º
2.已知△ABC 中,∠B 是∠A 的2倍, ∠C 比∠A 大20° ,则∠A 等于( )
A . 40°
B . 60°
C . 80°
D . 90°
3.如图,小明在操场上从A 点出发,先沿南偏东30°方向走到B 点,再沿南偏东60°方向走到C 点.这时,∠ABC 的度数是( )
A .120°
B .135°
C .150°
D .160°
4.如图,如果在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向,那么太阳相对于你的方向是( )
A . 南偏西60°
B .南偏西30°
C .北偏东60°
D .北偏东30°
5.如图,B 处在A 处的南偏西45°方向,C 处在A 处的南偏东15°方向,C 处在B 处的北偏东80°方向,则∠ACB 等于( )
A . 40°
B . 75°
C . 85°
D . 140°
6.如图,AB ∥CD ,DB ⊥BC ,∠1=40°,则∠2的度数是( )
A .40°
B .50°
C .60°
D .140°
7.如图,直线a 、b 被直线c 所截,下列说法正确的是( )
α
α
A.当∠1=∠2时,一定有a∥b B.当a∥b时,一定有∠1=∠2
C.当a∥b时,一定有∠1+∠2=90° D.当∠1+∠2=180°时,一定有a∥b 8.一个锐角是38度,则它的余角是_________度.
参考答案
1.【答案】C
【解析】∵∠a=32°,∴∠a的补角为180°-32°=148°.
故选C.
2.【答案】A
【解析】∵∠B=2∠A, ∠C=∠A+20°,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+2∠A+(∠A+20°)=180°, ∴∠A=40°.故选A.
3.【答案】C
【解析】由题意得:∠1=30°,∠2=60°,
∵AE∥BF,
∴∠1=∠4=30°,
∵∠2=60°,
∴∠3=90°-60°=30°,
∴∠ABC=∠4+∠FBD+∠3=30°+90°+30°=150°,
故选:C.
4.【答案】A
【解析】由于人相对与太阳与太阳相对于人的方位正好相反,
∵在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向,
∴太阳相对于你的方向是南偏西60°.
故选A.
5.【答案】C
【解析】∵AE,DB是正南正北方向,
∴BD∥AE,
∵∠DBA=45°,
∴∠BAE=∠DBA=45°,
∵∠EAC=15°,
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°,
又∵∠DBC=80°,
∴∠ABC=80°﹣45°=35°,
∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣35°=85°.
故选C.
6.【答案】b
【解析】∵AB∥CD,DB⊥BC,∠1=40°,
∴∠3=∠1=40°,
∵DB⊥BC,
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣40°=50°.故选B.
7.【答案】A
【解析】A.若∠1=∠2不符合a∥b的条件,故本选项错误.
8.【答案】52°
【解析】这个角的余角为:90°-38°=52°.
故答案为:52°.
扩展知识
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.
注意到垂线的定义中,只是规定了两直线交角的大小(90°),并没有规定两条直线的位置如何.也就是说,不论一条直线的位置如何,只要另一条与它的交角是90°,其中任何一条直线就是另一条直线的垂线.
事实上,老师在讲“垂线”的概念时,总喜欢用铅垂线引入.说瓦工师傅砌墙时,为了使墙砌得与地面垂直,先吊一根铅垂线,即用一根细线吊一个重锤,重锤由于地球引力,呈与地面水平线垂直的状态下垂.这时,铅垂线与水平线互相垂直.这样的引入是很生动的,有助于同学对垂直概念的理解.但是,由于水平线、铅垂线的位置特殊,也给学生带来一些副作用,今后一提到垂线,总以为处于铅垂线的状态,从而使垂线的概念特殊化了.类似容易产生误解的概念,在几何中还有不少.如梯形,源于生活中常见的梯子.但梯子在使用时,总是放成一种特殊的位置,由此在大脑中形成梯形的典型位置,即梯形上下底处于水平位置,而对梯形的本质定义:“一双对边平行,另一双对边不平行的四边形”就比较陌生,一旦看到梯形的变式图形,就很不习惯了.学几何概念,常常从生活实例引入,这是很必要的.因为几何本来就来源于实践.实例可以帮助我们理解概念,形成概念.但是几何概念来源于生活,却高于生活.在实例的基础上,一定要上升到几何概念的本质,从本质属性上去掌握概念,摆脱实例的局限性,避免在概念理解上的特殊化.。