集合竞赛试题

高中数学集合的运算竞赛练习卷使用对象：学生版，答案在最后面难度：难版本：适合各地版本，题型：填空题18道，选择题56道，解答题23道，共97道有无答案：均有答案或解析价格：6元页数：47页1．设集合}|,sin cos ||{22R ∈-==x x x y y M ，{|||1N x =<，i 为虚数单位，}R ∈x ，则M ∩N 为（ ）A ．（0，1）B ．（0，1]C ．[0，1）D ．[0，1] 2．集合P ＝{x|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z}，Q ＝{α|－4≤α≤4}．则P ∩Q ＝( ) A.B. {α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}C. {α|－4≤α≤4}D. {α|0≤α≤π}3．已知{|24}A x Z x =∈-<<，2{|1}1B x x =≥-，则()R AC B 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知集合U R =,2{|30 }A x x x =->，2{|log (1), }B y y x x A ==+∈，则()U A C B 为（ ）A.[2,3)B. (2,3)C. (0,2)D. φ5．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为()P A ，用()n A 表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A ，都有()A P A ∈；②存在集合A ，使得()3n P A =⎡⎤⎣⎦；③用∅表示空集，若A B =∅，则()()P A P B =∅；④若A B ⊆，则()()P A P B ⊆；⑤若()n A -()1n B =，则()()2n P A n P B =⨯⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦其中正确的命题个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.16．已知M=3(,)|3,{(,)|20}2y x y N x y ax y a x -⎧⎫==++=⎨⎬-⎩⎭且M N =∅，则a=（ ）A ．-6或-2B ．-6C ．2或-6D ．-27．函数y =A ，函数()ln 21y x =+的定义域为集合B ，则()A B =A ．11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．已知集合{12},{2,1,0,1,2}s x R x T =∈+≥=--，则S T 的子集的个数（ ）A.2B.4C.5D.79．若,A x ∈则,1A x∈就称A 是伙伴关系集合，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=4,3,2,1,21,31,0,1M 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为A.15B.16C.82D. 5210．.已知集合{}1121<-<-=x x M ,{}|31x N x =>，则MN =A.{}|01x x <<B. {}|0x x <C.{}|1x x <D. ∅11．已知集合{12},{2,1,0,1,2}s x R x T =∈+≥=--,则S T 的子集的个数（ ）A.2B.4C.5D.712．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．813．设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）I ð （A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，414．对于集合M 、N ，定义：M x x N M ∈=-|{且}N x ∉，)()(M N N M N M --=⊕ ，设A ＝),3|{2R x x x y y ∈-=，{})(log 2x y x B -==，则B A ⊕= （ ）A ．0]B ．0)C ．．15．已知集合M= {|ln(1)}x y x =-，集合(){,|,}(x N x y y e x R e ==∈为自然对数的底数），则NM =（ ）A ．}1|{<x xB ．}1|{>x xC ．}10|{<<x xD ．∅16．设集合}30|{<≤=x x M ，}043|{2<--=x x x N ，则集合N M 等于 ( ▲ ) ．A ．}30|{<≤x xB ．}30|{≤≤x xC ．}10|{≤≤x xD ．}10|{<≤x x17．已知集合{}12,A x x x Z =-≤≤∈，集合{}420，，=B ，则B A ⋃ 等于 A ．{}4,2,1,0,1- B ．{}4,2,0,1- C ．{}420，， D ．{}4210，，，18．设集合}5,4,3,2,1{=U ，}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则 )(B A U 等于 A ．}2{ B ．}5{ C ．}4,3,2,1{ D ．}5,4,3,1{19．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U A B ==，(){}2,4,6UAB =ð，则集合B =D ．{}1,2,3,4,5,6,720．若集合{1,2,3}A =, 则满足A B A =的集合B 的个数是 (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 10 21．____{|11(1,2),}P m m R αα==-+∈（，），____{|(1,2)(2,3),}Q n n R ββ==-+∈是两个向量集合, 则=Q P(A) {(1,-2)} (B) {(-13,-23)} (C) {(-12, -7)} (D) {(-23,-13)}22．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()A B =R R ð，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a <C ．2a ≥D ．2a >23．已知集合{}1,1M =-，1124,2x N x x Z +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（A ）{}1,1- （B ） {}1- （C ）{}0 （D ） {}1,0-24．设集合S={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A 1⊕A=A b ,其中k 为I+j 被4除的余数，I,j=0,1,2,3.满足关系式=（x ⊕x ）⊕A 2=A 0的x(x ∈S)的个数为A.4B.3C.2D.125．已知全信U ＝（1，2，3， 4，5），集合A ＝{}23Z <-∈x x ,则集合C u A 等于（A ）{}4,3,2,1 （B ）{}4,3,2 (C) {}5,1 (D) {}526．设集合{12345}U =，，，，，{13}A =，，{234}B =，，，则()()U UA B =痧（ ）27．若集合012|),{(},2,1,0{≥+-==y x y x N M 且M y x y x ∈≤--,,012}，则N 中元素的个数为 A ．9 B ．6 C ．4 D ．228．已知全集R =U ，集合{}240M x x =-≤ ，则U M =ð （A ）{}22x x -p p （B ）{}22x x -≤≤ （C ）{}22x x x -p f 或 （D ） {}22x x x ≤-≥或29．若集合A =｛0，1，2，3｝，B =｛1，2，4｝，则集合AB =A ．｛0，1，2，3，4｝B ．｛1，2，3，4｝C ．｛1，2｝D ．｛0｝30．集合{}12A x x =-≤≤，{}1B x x =<,则A ∩B = (A) {}1x x <（B ）{}12x x -≤≤(C) {}11x x -≤≤（D ）{}11x x -≤<31．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()UN M =ð（A ）{}1,3 （B ）{}1,5 （C ）{}3,5 （D ）{}4,532，则A B =（ ） A ．[0,)+∞ B ．[1,)+∞C ．),1[+∞-D ．[0,1]33．已知集合{}1,2M =，{}21N a a M =-∈，则M N =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．∅34．已知集合{}3M 0,31x x N x x x +⎧⎫=≤=≤-⎨⎬-⎩⎭，则R ()MN =ð ( )A ．{}1x x ≤B ．{}1x x ≥C ．{}1x x <D ．{}1x x >35．2{|230}M x x x =-->2{|0}N x x ax b =++≤MN R =(3,4]MN =3a =4b =- 3a =-4b = 3a =4b = 3a =-4b =-36．定义{}|A B x x A x B -=∈∉且，若{}{},2,3,4,5,2,3,6M N==1，则N M -=（ ）A ．{}6B ．{},4,51C ．MD ．N37．已知A={a 1，a 2，a 3，a 4，a 5},B={a 12，a 22，a 32，a 42，a 52}, a i ∈N （i=1,2,3,4,5） 设a 1<a 2<a 3<a 4<a 5且A ∩B={a 1,a 4}，a 1+a 4=10，又A ∪B 元素之和为224， 求：（1）a 1 ，a 4 （2）A38．设集合2{|||3,},{|,}M x x x R N y y x x M =≥∈==∈，则M ∩N= （ ） A ．M B ．NC ．φD ．R39．设集合A={x ｜x ＜2}，B={x ｜x 2≤1}，则A ∪B= （ ）A ．{x ｜-1≤x ＜2}B ．{x ｜x ≤1}C ．{x ｜x ＜2}D ．{x ｜1≤x ＜2}40．已知{}1,2,3,4M ⊆，且{}{}1,21,2M =则集合的个数是A ．1B ．2C ．3D ．441．已知三个集合B A U ,,及元素间的关系如图所示，则B A C U ⋂)(=（ ）A. {}6,5B. {}6,5,3C. {}3D. {}0,4,5,6,7,842．集合2{|},{|1,}A x y x R B y y x x R =∈==-∈，则A B =( )A ．{(B ．{|1z z ≤C ．{|1z z -≤D ．{|0z z ≤≤43．已知{}{}∅≠-<<+=≤≤-=121,72m x m x B x x A ，若A B A = ，则（ ）（A ）43≤≤-m （B ）43<<-m （C ）42<<m （D ）42≤<m44．设集合{}{}31,,31,M x x n nN y y nn ==+∈==-∈Z Z ，若00,x M y N ∈∈，则00x y 与,M N 的关系是（ ）A ．M y x ∈00B ．N y x ∈00C ．N M y x ∈00D ．N M y x ∉0045．设集合{}{}31,,31,M x x n n N y y nn ==+∈==-∈Z Z ，若00,x M y N ∈∈，则00x y 与,M N 的关系是（ ）A ．M y x ∈00B ．N y x ∈00C ．N M y x ∈00D ．N M y x ∉0046．设集合{|1}P x x =>，2{|0}Q x x x =->，则下列结论正确的是 A ．P Q = B ．P Q R = C ．P Q ÜD ．Q P Ü47．设集合3.022},032|{=≤-=m x x x P ，则下列关系中正确的是 （ ）A ．P m ⊂B ．P m ∉C ．P m ∈}{D ．}{m P ≠⊄48．设集合︒=≤=40sin },4|{m x x A ，则下列关系中正确的是 （ ）A ．A m ⊂B ．A m ⊄C ．A m ∈}{D ．A m ∉}{49．设全集U 是实数集R，函数y =M ，2{|log (1)1}N x x =-<，则如图所示阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <50．设集合M ＝｛直线｝，P ＝｛圆｝，则集合P M 中的元素的个数为 （ ） A 、0B 、1C 、2D 、0或1或251． 已知(){}()(){}222,,,1E x y y x F x y x y a =≥=+-≤，那么使E F F =成立的充要条件是 （ ）()54A a ≥()54B a = ()1C a ≥ ()0D a >（ ）A ．{}1,AB y y => B.{}2A B y y =>C.{}21A B y y ⋃=-<<D. {}21A B y y y ⋃=<>-或53．已知集合}123),{(+=--=a x y y x A ,}15)1()1(),{(2=-+-=y a x a y x B ,若,Φ=B A 则a 的取值是（ ） 1,1.-A 25,1.-B 25,1.±C 25,4,1.-±D54．设集合{|12},{|}.M x x N x x a M N =-≤<=≤≠∅若,则实数a 的取值范围是 A ．(,2]-∞ B ．[1,)-∞ C ．(－1,+∞) D．(－∞,－1)55．正整数集合k A 的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列，则并集1759A A 中的元素个数为（ ）．A 、119B 、120；C 、151；D 、154.56．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（） A ．[1,2)- B ．[1,2]- C ．[0,3] D ．[0,3)57．若集合A ＝{x|x 2＋2x －8<0}，B ＝{x|5－m<x<2m －1}．若U ＝R ，A∩( ∁U B)＝A ，则实数m 的取值范围是________． 58．（5分）（2011•陕西）设集合M={y|y=|cos 2x ﹣sin 2x|，x ∈R}，N={x||x ﹣|＜，i 为虚数单位，x ∈R}，则M∩N 为（ ） A.（0，1） B.（0，1] C.[0，1） D.[0，1]59．已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和记为S ，又设13521,,,,2482n n n B -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(),2n N n *∈≥，n B 的所有非空子集中的最小元素的和为T ，则22014S T +≥的最小正整数n 为 ．60．设集合A={a|f(x)=8x 3-3ax 2+6x 是(0,+∞)上的增函数},B=[]5y y=,x 1,32x ⎧⎫∈-⎨⎬+⎩⎭|,则∁R (A∩B)= .61．给出下列结论：①函数y =的定义域为3(,)4+∞；②s i n 6002︒=；③函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④若角的集合,24k A k ππαα⎧⎫==+∈Z ⎨⎬⎩⎭,,4B k k πβαπ⎧⎫==±∈Z ⎨⎬⎩⎭,则A B =；⑤函数tanx y =的最小正周期是π,对称轴方程为直线()2k x k π=∈Z .其中正确结论的序号是 _______.62．用||S 表示集合S 中的元素的个数，设A B C 、、为集合，称(,,)A B C 为有序三元组．如果集合A B C 、、满足1A B B C C A ===I II ，且A B C =∅I I ，则称有序三元组(,,)A B C 为最小相交．由集合{}1,2,3,4的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 ．63．设集合A R ⊆，如果0x R ∈满足：对任意0a >，都存在x A ∈,使得00||x x a <-<，那么称0x 为集合A 的一个聚点，则在下列集合中：（1）z z +-；（2）R R +-;(3)1|,*x x n N n ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭;(4)|,*1n x x n N n ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭，以0为聚点的集合有 （写出所有你认为正确的结论的序号）．65．已知A ＝{x|1≤x≤2}，B ＝{x|x 2＋2x ＋a≥0}，A ，B 的交集不是空集，则实数a 的取值范围是________．66．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数k ，对定义域中的任意x ，等式()f kx ＝2k ＋()f x 恒成立．现有两个函数：()()0f x a x b a =+≠，()2log g x x =，则函数()f x 、()g x 与集合M 的关系为 .67则N M 等于 ___68．已知集合A=(x ，y ）|x 一2y 一l=0},B={(x ，y)|ax-by+1=0}，其中a ，b ∈{1,2，3，4，5，6}，则A ∩B=φ的概率为 .69．设集合M={x|0≤x -≤1}，函数()f x =的定义域为N ，则M∩N= 。

【2013浙江】集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（ ）A. 3a ≥B. 1a ≤-.C. 1a ≤-或 3a ≥D. 13a -≤≤答案 C{02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ⋂=∅，则12a -≥或10a +≤。

解得1a ≤-或 3a ≥。

【2013浙江】若,,R αβ∈ 则90αβ+= 是sin sin 1αβ+>的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案 D当0,90sin sin 1αβαβ==⇒+= 。

当60sin sin 31αβαβ==⇒+=> ，但90αβ+≠ 。

【2013河北】已知集合{}11,10,,lg ,10A B y y x x A ⎧⎫===∈⎨⎬⎩⎭，则A B = . 答案：{}0,1,1B =-，{}1A B = .【2013辽宁】已知集合{}{}23100,121A x x x B x m x m =--≤=+≤≤-，当A B =∅ 时，实数m 的取值范围是（ ）(A) 24m <<(B) 24m m <>或 (C) 142m -<< (D) 142m m <->或 答案：B.,B B =∅≠∅.【2013吉林】已知函数[](),0,1f x ax b x =+∈，20a b +>是()0f x >恒成立的（ ）(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件答案：B【2013湖北】设集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,18B =，{},C a b a A b B =+∈∈，则集合C 的所有元素之和为 .答案：178【2013陕西】设AB 是两个非空的有限集，全集U A B = 且U 中含有m 个元素，若()()U U C A C B 中含有n 个元素，则A B 中含有元素的个数为 .答案：m-n【2013甘肃】设集合{}2A x x a =-<，{}2230B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 .答案：3a ≥.【2013黑龙江】已知全集U R =，集合112x N x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2680M x x x =-+≤，图中阴影部分所表示的集合为（）（A ）{}0x x ≤（B ）{}24x x ≤≤（C ）{}024x x x <≤≥或（D ）{}024x x x ≤<>或答案：3a ≥.【2013黑龙江】命题“所有实数的平方都是正数”的否定 （ ）（A ）所有实数的平方都不是正数（B ）有的实数的平方是正数（C ）至少有一个实数的平方不是正数（D ）至少有一个实数的平方是正数答案：C.【2013江苏】已知全集{}20122013log log A x x x =<，{}2B x x ax a x =-+<，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 . 答案：{}01A x x =<<，因为A B ⊆，所以{}1B x a x =<<，故0a ≤.【2013全国】设集合{}0,1,2,3A =，{}2,2B x x A x A =-∈-∉，则集合B 的所有元素之和为 .答案：-5U N M《复数》汇编【2013河北】已知复数z 满足2z z i +=+，那么z = . 答案：34z i =+ 【2013辽宁】第3题【2013山东】已知复数z 满足1z =，则21z z -+的最大值为 . 答案：21z z -+=22131332424z z ⎛⎫-+≤-+≤ ⎪⎝⎭，当1z =-时达到最大值3. 【2013黑龙江】已知i 是虚数单位，2342013i i i i i +++++=(A) i(B) 1-(C) 0(D) 1答案：A【2013四川】已知i 是虚数单位，23420131z i i i i i =++++++ ，把复数z 的共轭复数记为z ，则z z = .答案：234,,10,n n n n a i a a i i i +==+++=则1z i =+，所以1z i =-，则2z z = .【2013浙江】已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（ ）(A)22z i =+(B)22z i =--(C)22,z i =-+或22z i =-(D)22,z i =+或22z i =--答案 D。

1981年--2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编1、集合部分2018A1、设集合{}99,,3,2,1 =A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B 的元素个数为24★解析：由条件知，{}48,,6,4,2 =C B ，故C B 的元素个数为24。

2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是◆答案：31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 三、（本题满分50分）设集合{}n A ,,2,1 =，Y X ,均为A 的非空子集（允许Y X =）．X 中的最大元与Y 中的最小元分别记为Y X min ,max ．求满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目。

★解析:先计算满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目.对给定的X m max =，集合X 是集合{}1,,2,1-m 的任意一个子集与{}m 的并，故共有12-m 种取法.又Y m min ≤，故Y 是{}n m m m ,,2,1, ++的任意一个非空子集，共有121--+m n 种取法.因此，满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目是：()[]()12122122111111+⋅-=-=-∑∑∑=-==-+-n nm m n m n nm mn m n 由于有序集合对),(Y X 有()()()2121212-=--nnn个，于是满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目是()()124122122+-=-+⋅--n n n n n n n 2017B 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集+N 分拆为k 个互不相交的子集k A A A ,,,21 ，每个子集i A 中均不存在4个数d c b a ,,,（可以相同），满足m cd ab =-．★证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+ 设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡∙-∙=+，故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m-=2017B 四、（本题满分50分）。

数学奥林匹克竞赛训练题：代数部分（1）集合、数与式B1－001把含有12个元素的集分成6个子集，每个子集都含有2个元素，有多少种分法？【题说】1969年～1970年波兰数学奥林匹克三试题5.【解】将12个元素排成一列有12！种方法.排定后，从左到右每2个一组就得到6个2元子集.同一组中2个元素顺序交换得到的是同一子集.6个子集顺序交换得到的是同样的分法，因此共有种不同的分法.[别解]设a1是集中的一个元素，将a1与其余11个元素中的任一个结合，就得到含a1的2元子集，这种2元子集共有11种.确定含a1的子集后，设a2是剩下的一个元素，将a2与其余9个元素中的任一个结合，就得到含a2的2元子集，这种子集共有9种.如此继续下去，得到6个2元子集.共有11³9³7³5³3=10395种分法.B1－002证明：任一个有限集的全部子集可以这样地排列顺序，使任何两个邻接的集相差一个元素.【题说】1971年～1972年波兰数学奥林匹克三试题5.【证】设有限集A含n个元素.当n=1时，子集序列φ，A即满足条件.假设n=k时命题成立，对于k＋1元集A=｛x1，x2，…，x k+1｝由归纳假设，{x1，x2，…，x k}的子集可排成序列B1，B2，…，B t（t=2k）满足要求.因此A的子集也可排成序列B1，B2，…，B t，B t∪{x k+1}，B t-1∪{x k+1}，…，B2∪{x k+1}B1∪{x k+1}，满足要求.于是命题对一切自然数n均成立.B1－003设1≤r≤n，考虑集合{1，2，3，…，n}的所有含r个元素的子集及每个这样的子集中的最小元素，用F（n，r）表示一切这样的子集各自的最小元素的算术平均数.证明：【题说】第二十二届（1981年）国际数学奥林匹克题2.这n－k个数中选出）.所以将（1）式右边的和写成一个表将上表每一行加起来，再将这些行和相加便得（1）的右边的分子，现B1－004定义一个数集的和为该集的所有元素的和.设S是一些不大于15的正整数组成的集，假设S 的任意两个不相交的子集有不相同的和，具有这个性质的集合S的和的最大值是多少？【题说】第四届（1986年）美国数学邀请赛题12.【解】先证明S元素个数至多是5.如果多于5个，则元素个数不S的元素个数≤5，所以S的和≤15＋14＋13＋12＋11=65.如果S的和≥62，则S的元数为5，并且15、14均在S中（S的和至多比15＋14＋13＋12＋11少3）.这时S中无其它的连续整数，因而只有一种情况即｛15，14，13，11，9），不难看出它不满足条件.所以，S的和≤61.特别地，S={15，14，13，11，8}时，和取最大值61.B1－006对有限集合A，存在函数f：N→A具有下述性质：若|i－j|是素数，则f（i）≠f（j），N={1，2，…}.求有限集合A的元素的最少个数.【题说】1990年巴尔干地区数学奥林匹克题4.【解】1，3，6，8中每两个数的差为素数，所以f（1），f（3），f（6），f（8）互不相同，|A|≥4.另一方面，令A={0，1，2，3}.对每一自然数n，令f（n）为n除以4所得余数，则在f（i）=f（j）时，|i－j|被4整除.因而f是满足条件的函数.于是，A的元素个数最少为4.B1－007集合{1，2，3，…，100}的某些子集，满足条件：没有一个数是另一个数的2倍.这样的子集中所含元素的个数最多是多少？【题说】1991年河南省数学奥林匹克集训班一试题1（6）.原题为选择题.【解】令A1=｛51，52，…，100｝，A2=｛26，27，…，50｝，A3=｛13，14，…，25｝，A4=（7，8，9，10，11，12），A5=（4，5，6｝，A6={2，3}，A7={1}.A1∪A3∪A5∪A7共50＋13＋3＋1=67个元素，每一个都不是另一个的两倍.若集合B｛1，2，…，100｝，其中每一个数都不是另一个的两倍，则在a∈B∩A2时，2a B，因此|B∩A2|＋|B∩A1|≤50.同样|B∩A4|＋|B∩A3|≤13，|B∩A6|＋|B∩A5|≤3.因此|B|≤67.本题答案为67.B1－008设集合S n={1，2，…，n）.若X是S n的子集，把X中所有数之和称为X的“容量”（规定空集容量为0）.若X的容量为奇（偶）数，则称X为S n的奇（偶）子集.（1）求证：S n的奇子集与偶子集个数相等；（2）求证：当n≥3时，S n的所有奇子集容量之和，与所有偶子集容量之和相等.（3）当n≥3时，求S n所有奇子集的容量之和.【题说】1992年全国联赛二试题2.【证】设S为S n的奇子集，令则T是偶子集，S→T是奇子集的集到偶子集的一一对应，而且每个偶子集T，均恰有一个奇子集与之对应，所以（1）的结论成立.对任一i（1≤i≤n），含i的子集共2n-1个，用上面的对应方法可知在i≠1时，这2n-1个集中有一半是奇子集.在i=1时，由于n≥3，将上边的1换成3，同样可得其中有一半是奇子集.于是在计算奇子集容量之和时，元素i的贡献是2n-2²i.奇子集容量之和是根据上面所说，这也是偶子集容量之和，两者相等.B1－009用σ（S）表示非空整数集S中所有元素的和.设A=｛a1，a2，…，a n｝是正整数集，且a1＜a2＜…＜a11.若对每个正整数n≤1500，存在A的子集S，使得σ（S）=n.试求满足上述要求的a10的最小值.【题说】第二十一届（1992年）美国数学奥林匹克题3.【解】令S k=a1＋a2＋…＋a k（1≤k≤11）.若a k＞S k-1＋1，则不存在S A，使σ（S）=S k-1＋1所以，S k=S k-1＋a k≤2S k-1＋1 （1）又由题设得S1=a1=1.于是由（1）及归纳法易得S k≤2k－1（1≤k≤m）（2）若S10＜750，则a11≤1500（否则750无法用σ（S）表出），S11=S10＋a11＜1500，所以S10≥750.又S8≤28－1=255，于是2a10≥a9＋a10=S10－S8≥495所以，a10≥248.另一方面，令A={1，2，4，8，16，32，64，128，247，248，750}当n≤255=27＋26＋…＋2＋20时，可找到S｛1，2，4，…，128｝，使σ（S）=n.当n≤255＋247=502时，存在S（1，2，4，…，128，247），使σ（S）=n；当n≤502＋248=750时，存在S{1，2，4，…247，248}，使σ（S）=n；当n≤750＋750=1500时，存在S A，使σ（S）=n.于是a10的最小值为248.B1－010给定集合S=｛Z1，Z2，…，Z1993｝，其中Z1，Z2，…，Z1993为非零复数（可视为平面上非零向量）.求证：可以把S中元素分成若干子集，使得（1）S中每个元素属于且仅属于一个子集；（2）每一子集中任一复数与该子集所有复数之和的夹角不超过90°；（3）将任二子集中复数分别作和，所得和数之间夹角大于90°.【题说】1993年中国数学奥林匹克（第八届数学冬令营）题4.【证】现对任意正整数n给以证明.设非零复数集S=｛Z1，…，Z n｝.对S每个非空子集A，其中所有数之和，称为A之和.S共有2n－1个非空子集，其中必有一个子集S1，其和的模|a1|最大.若S≠S1，对S\S1，取其非空子集S2，使其和的模|a2|最大.如比等等.因S为有限集，故经若干步后，即得S的一个划分：S1，S2，…，S k，它们的和a1，a2，…，a k的模分别是S，S\S1，S\（S1∪S2），…，S\（S1∪S2∪…∪S k-1）的非空子集和的最大模.这样的划分，条件（1）显然满足.若某个S r中有一元素Z与a r的夹角＞90°，则如图a，|a r－Z|＞|a r|.a r－Z是S\（S1U…US r-1）的非空子集S r\{Z}之和，与S r的选取矛盾.若a r与a t（1≤r＜t≤k）的夹角≤90°，则如图（b），|a r＋a t|＞|a r|.a r＋a t是S\（S1∪…∪S r-1）不空子集S r∪S t之和，这又与S r选取矛盾.因此，所述划分满足条件（1）～（3）.【注】因为平面上至多有三个向量，它们之间两两的夹角都大于90°，故S至多分为三个子集.B1－011设集合A=｛1，2，3，…，366｝.如果A的一个二元子集B=｛a，b｝满足17|（a＋b），则称B具有性质p.（1）求A的具有性质p的二元子集的个数；（2）A一组二元子集，两两不相交并且具有性质P这组二元子集的个数最多是多少？【题说】1994年全国联赛河北省预赛二试题1.【解】将1，2，…，366按17除的余数分为17类：17类：[0]，[1]，…，[16].因为366=17³21＋9，所以[1]，[2]，…[9]中各有22个数，[10]，…，[16]，[0]中各有21个数.当且仅当a∈[k]，b∈[17－k]时，{a，b}具有性质p.当a∈[k]，b∈[17－k]，k=1，2，…，7时，具有性质p的子集所以A的具有性质p的二元子集个数共有210＋462³7＋484=3928（个）（2）为使二元子集两两不变，可如下搭配：a∈[0]，b∈[0]，有10个子集；a∈[k]，b∈[17－k]，k=1，2，…，7，有21个子集；a∈[8]，b∈[9]，有22个子集.故A的具有性质p两两不交的二元子集共有10＋21³7＋22=179（个）B1－012设|v|、σ（v）和π（v）分别表示由正整数组成的有限集合v的元素的个数，元素的和以及元素的积（如果集合v是空集，则|v|=0，σ（v）=0，П（v）=1）.若S是由正整数组成的有限集合.证明对所有的正整数m≥σ（S）成立.【题说】第二十三届（1994年）美国数学奥林匹克题5.【证】设S={a1，a2，…，a n}.长为m的、由m－n个0与n个1将这样的数列分为n＋1段，第一段a1个数，第二段a2个数，…，第n段a n个数.前n段的每一段中恰有1个1的数列，由于第i段的1有a i种位置（1≤i≤n），所以这样的数列共有a l a2…a n＝П（S）个.个.根据容斥原理，即本题的等式成立.B1－015设M={1，2，…，1995}，A是M的子集，且满足条件：当x∈A时，15x A，试求A中元素个数的最大值.【题说】1995年全国联赛一试题2（6）.原为填空题.【解】由题设，当k=9，10，…，133时，k与15k不能同时在A中，故至少有133－8=125个数不在A中，即|A|≤1995－125=1870另一方面，M的子集A={1，2，...，8}∪{134， (1997)满足条件.它恰好有1780个元素.故｜A｜的最大数是1870.B1-016 已知集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}.求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素的差的绝对值大于1.【题说】1996年爱朋思杯——上海市赛题3.【解】设a n是集合{1，2，…，n}的具有题设性质的子集个数.集合{1，2，…，n，n+1，n+2}的具有题设性质的子集可分为两类：第一类子集包含元n+2，这样的子集有a n+n个（即每个{1，2，…，n}的这种子集与{n+2}的并集，以及{1，n+2}，{2，n+2}，…，{n，n+2}）；第二类子集不包含n+2，这样的子集有a n+1个.于是，有a n+2=a n+a n+1+n显然，a3=1，a4=3（即{1，3}，{2，4}，{1，4}）.所以a5=7，a6=14，a7=26，a8=46，a9=79，a10=133.B1-017 对任意非空实数集S，令σ（S）为S的元素之和.已知n个正整数的集A，考虑S跑遍A的非空子集时，所有不同和σ（S）的集.证明这些和可以分为n类，每一类中最大的和与最小的和的比不超过2.【题说】第二十五届（1996年）美国数学奥林匹克题2【解】设A={a1，a2，…，a n}，a1＜a2＜…＜a n.令f j=a1+a2+…a j，e j=max{a j，f j-1}｝，则f j=f j-1+a j≤2e j（1≤j≤n）.每个和a i1+a i2+…+a it，i1＜i2＜…＜i t，必在某个区间（f j-1，f j]中.因为a i1+a i2+a it＞f j-1=a1+a2+…a j-1所以i t≥j从而a i1+a i2+…+a it≥a j于是a i1+a i2+…+a it∈[e j，f j].这样σ（S）被分为n个类，在e j与f j之间的和为第j类（1≤j≤n），f j本身在第j类，而e j=f j-1时，e j不在第j类；e j＞f j-1时，e j在第j类.每一类中最大的和与最小的和的比不超过2.B1-018 设S={1，2，3，4），n项的数列：a1，a2，…，a n有下列性质，对于S的任何一个非空子集B（B的元素个数记为｜B｜），在该数列中有相邻的｜B｜项恰好组成集合B.求n的最小值.【题说】1997年爱朋思杯——上海市赛决赛题3.【解】n的最小值为8.首先证明S中的每个数在数列a1，a2，…，a n中至少出现2次.事实上，若S中的某个数在这个数列中只出现1次，由于含这个数的二元子集共有3个，但在数列中含这个数的相邻两项至多只有两种取法，因而3个含这个数的二元子集不可能都在数列相邻两项中出现.由此可见n≥8.另一方面，8项数列：3，1，2，3，4，1，2，4满足条件，因此，所求最小值为8.B1-019 求两个正整数m与n之间（m＜n），一切分母为3的既约分数的和.【题说】1962年成都市赛高三二试题1.3（n-m）+1项.其和但其中整数项的和故所求之和S=S1-S2=n2-m2B1-020 证明cos10°是无理数.【题说】1963年合肥市赛高二二试题3.【证】利用公式cos3x=4cos3x-3cos x，可得cos30°=4cos310°-3cos10°（1）即若cos10°是一个有理数，则（1）右端为有理数，而左端是一个无理数，矛盾，故cos10°为无理数.B1-021 求出所有四元实数组（x1，x2，x3，x4），使其中任一个数与其余三数积的和等于2.【题说】第七届（1965年）国际数学奥林匹克题4.本题由原苏联提供.【解】设x1x2x3x4=d，则显然d≤1.有以下五种情况：所以d=1，x1=x2=x3=x4=1.所以d=1，x1=x2=x3=x4=1.综上所述，x1、x2、x3、x4或者全为1；或者其中有三个为-1，一个为3.B1-022设P（x）是自然数x在十进制中各位数字的乘积.试求出所有能使P（x）=x2-10x-22成立的自然数.【题说】第十届（1968年）国际数学奥林匹克题2.本题由捷克斯洛伐克提供.【解】设n位数x满足P（x）=x2-10x-22 （1）若n≥3，则x≥10n-1≥100，9n≥P（x）=x（x-10）-22≥90x-22≥90²10n-1-22=9²10n-22＞10n矛盾.若n=1，则x=P（x）=x2-10x-22即x2-11x-22=0但此方程无正整数解.因此n=2.若x≥20，则x2-10x-22=x（x-10）-22≥10x-22≥200-22＞92≥P（x）因此x=10+y，y∈{0，1，2，…，9}.（1）变成y=（10+y）2-10（10+y）-22易知y=2，x=12.B1-023证明：如果三个正数的积为1，而它们的和严格地大于它们的倒数之和，那么，它们中恰好有一个数大于1.【题说】第四届（1970年）全苏数学奥林匹克八年级题2.【证】设这三个数为a，b，c，则（a-1）（b-1）（c-1）=abc-（ab+bc+ca）+（a+b+c）-1左边有一个或三个因子为正.但abc=1，所以a、b、c不可能全大于1，从而a、b、c中有且只有一个数大于1.B1-024若干个正整数的和为1976，求这些正整数的积的最大值.【题说】第十八届（1976年）国际数学奥林匹克题4.本题由美国提供.【解】设这些正整数为a1，…，a n，则a1+…+a n=1976不妨设a i＜4（1≤i≤n），这是因为当a i≥4时a i≤2（a i-2），故把a i换成2和a i-2不会使积减小.再注意2³2³2＜3³3，所以只需考虑积2a²3b，其中a=0，1，2，且2a+3b=1976.由此得a=1，b=658，故所求的最大值为2³3658.B1-025确定最大的实数z，满足x+y+z=5 （1）xy+yz+zx=3 （2）并且x、y也是实数.【题说】第十届（1978年）加拿大数学奥林匹克题3.【解】由（1）得（x+y）2=（5-z）2，由（2）得xy=3-z（5-z）.于是0≤（x-y）2=（x+y）2-4xy=（5-z）2-4[3-z（5-z）]=-3z2+10z+13=（13-3z）（1+z）因此有-1≤z≤13/3当x=y=1/3时，z=13/3.因此z最大值是13/3.B1-026已知a、b、c、d、e是满足a+b+c+d+e=8，（1）a2+b2+c2+d2+e2=16 （2）的实数，试确定e的最大值.【题说】第七届（1978年）美国数学奥林匹克题1.【解】由Cauchy不等式，（8-e）2=（a+b+c+d）2≤4（a2+b2+c2+d2）=4（16-e2），即B1-027已知：0.301029＜lg2＜0.301030，0.477120＜lg3＜0.477121求20001979的首位数字.【题说】1979年安徽省赛二试题1.【解】因为lg20001979=1979（3+lg2）=5937+1979lg2595.736391＜1979lg2＜595.738370而lg5=1-lg2＜0.70lg6=lg2+lg3＞0.77所以6532+lg5＜lg20001979＜6532+lg6即5³106532＜20001979＜6³106532所以20001979的首位数字是5.B1-028已知a1，a2，…，a8均为正数，且a1+a2+…+a8=20 （1）a1a2…a8=4 （2）试证：a1，a2，…，a8之中至少有一个数小于1.【题说】1979年湖北省赛二试题5.【证】用反证法.如果a1，a2，…，a8都不小于1，则可设a i=1+b i（b i＞0，i＝1，2， (8)再由（1）即得B1+b2+…+b8=12于是a1a2…a8=（1+b1）（1+b2）…（1+b8）＝1+（b1+b2+…+b8）+…+b1b2…b8≥1+（b1+b2+…+b8）=1+12=13与条件（2）矛盾.所以八个数中至少有一个数小于1.B1-029 求所有实数a，使得存在非负实数x1，x2，x3，x4，x5满足关系：【题说】第二十一届（1979年）国际数学奥林匹克题5.本题由以色列提供.【解】利用柯西不等式及题设条件，有故中间不等式只能取等号，这意味着在x k≠0时，由此推知，x1，x2，x3，x4，x5中至多一个非0.因此，只能有下面两种情况：（1）x1=x2=x3=x4=x5=0，此时a=0；（2）某个x k=c≠0，其余x i=0（i≠k）.这时由已知得kc=a，k3c=a2，k5c=a3.从而k2=a，c=k总之，当且仅当a=0，1，4，9，16，25时，存在非负实数x1，x2，x3，x4，x5满足题中三个方程. B1-030下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正.【题说】1981年全国联赛题2.【解】lg3、lg0.27、lg9的值同为正确或同为错误.因表中只有两处错误，故三者都对.同理，lg2、lg5、lg8、lg6都对.再若lg7=2（b+c），则lg14=lg7+lg2=1-a+2b+c，lg0.021=lg3+lg7-3=2a+b+2c-3，lg2.8=2lg2+lg7-1=1-2a+2b.即lg7=2（b+c）对，就推出lg14、lg0.021、lg2.8三个值都错，与题设矛盾，故知lg7不对.应为lg7=lg l4-lg2=2b+c.lg1.5的值也不对，应为lg1.5=lg3+lg5-1=3a-b+c-1.B1－001把含有12个元素的集分成6个子集，每个子集都含有2个元素，有多少种分法？【题说】1969年～1970年波兰数学奥林匹克三试题5.【解】将12个元素排成一列有12！种方法.排定后，从左到右每2个一组就得到6个2元子集.同一组中2个元素顺序交换得到的是同一子集.6个子集顺序交换得到的是同样的分法，因此共有种不同的分法.[别解]设a1是集中的一个元素，将a1与其余11个元素中的任一个结合，就得到含a1的2元子集，这种2元子集共有11种.确定含a1的子集后，设a2是剩下的一个元素，将a2与其余9个元素中的任一个结合，就得到含a2的2元子集，这种子集共有9种.如此继续下去，得到6个2元子集.共有11³9³7³5³3=10395种分法.B1－002证明：任一个有限集的全部子集可以这样地排列顺序，使任何两个邻接的集相差一个元素.【题说】1971年～1972年波兰数学奥林匹克三试题5.【证】设有限集A含n个元素.当n=1时，子集序列φ，A即满足条件.假设n=k时命题成立，对于k＋1元集A=｛x1，x2，…，x k+1｝由归纳假设，{x1，x2，…，x k}的子集可排成序列B1，B2，…，B t（t=2k）满足要求.因此A的子集也可排成序列B1，B2，…，B t，B t∪{x k+1}，B t-1∪{x k+1}，…，B2∪{x k+1}B1∪{x k+1}，满足要求.于是命题对一切自然数n均成立.B1－003设1≤r≤n，考虑集合{1，2，3，…，n}的所有含r个元素的子集及每个这样的子集中的最小元素，用F（n，r）表示一切这样的子集各自的最小元素的算术平均数.证明：【题说】第二十二届（1981年）国际数学奥林匹克题2.这n－k个数中选出）.所以将（1）式右边的和写成一个表将上表每一行加起来，再将这些行和相加便得（1）的右边的分子，现B1－004定义一个数集的和为该集的所有元素的和.设S是一些不大于15的正整数组成的集，假设S 的任意两个不相交的子集有不相同的和，具有这个性质的集合S的和的最大值是多少？【题说】第四届（1986年）美国数学邀请赛题12.【解】先证明S元素个数至多是5.如果多于5个，则元素个数不S的元素个数≤5，所以S的和≤15＋14＋13＋12＋11=65.如果S的和≥62，则S的元数为5，并且15、14均在S中（S的和至多比15＋14＋13＋12＋11少3）.这时S中无其它的连续整数，因而只有一种情况即｛15，14，13，11，9），不难看出它不满足条件.所以，S的和≤61.特别地，S={15，14，13，11，8}时，和取最大值61.B1－006对有限集合A，存在函数f：N→A具有下述性质：若|i－j|是素数，则f（i）≠f（j），N={1，2，…}.求有限集合A的元素的最少个数.【题说】1990年巴尔干地区数学奥林匹克题4.【解】1，3，6，8中每两个数的差为素数，所以f（1），f（3），f（6），f（8）互不相同，|A|≥4.另一方面，令A={0，1，2，3}.对每一自然数n，令f（n）为n除以4所得余数，则在f（i）=f（j）时，|i－j|被4整除.因而f是满足条件的函数.于是，A的元素个数最少为4.B1－007集合{1，2，3，…，100}的某些子集，满足条件：没有一个数是另一个数的2倍.这样的子集中所含元素的个数最多是多少？【题说】1991年河南省数学奥林匹克集训班一试题1（6）.原题为选择题.【解】令A1=｛51，52，…，100｝，A2=｛26，27，…，50｝，A3=｛13，14，…，25｝，A4=（7，8，9，10，11，12），A5=（4，5，6｝，A6={2，3}，A7={1}.A1∪A3∪A5∪A7共50＋13＋3＋1=67个元素，每一个都不是另一个的两倍.若集合B｛1，2，…，100｝，其中每一个数都不是另一个的两倍，则在a∈B∩A2时，2a B，因此|B∩A2|＋|B∩A1|≤50.同样|B∩A4|＋|B∩A3|≤13，|B∩A6|＋|B∩A5|≤3.因此|B|≤67.本题答案为67.B1－008设集合S n={1，2，…，n）.若X是S n的子集，把X中所有数之和称为X的“容量”（规定空集容量为0）.若X的容量为奇（偶）数，则称X为S n的奇（偶）子集.（1）求证：S n的奇子集与偶子集个数相等；（2）求证：当n≥3时，S n的所有奇子集容量之和，与所有偶子集容量之和相等.（3）当n≥3时，求S n所有奇子集的容量之和.【题说】1992年全国联赛二试题2.【证】设S为S n的奇子集，令则T是偶子集，S→T是奇子集的集到偶子集的一一对应，而且每个偶子集T，均恰有一个奇子集与之对应，所以（1）的结论成立.对任一i（1≤i≤n），含i的子集共2n-1个，用上面的对应方法可知在i≠1时，这2n-1个集中有一半是奇子集.在i=1时，由于n≥3，将上边的1换成3，同样可得其中有一半是奇子集.于是在计算奇子集容量之和时，元素i的贡献是2n-2²i.奇子集容量之和是根据上面所说，这也是偶子集容量之和，两者相等.B1－009用σ（S）表示非空整数集S中所有元素的和.设A=｛a1，a2，…，a n｝是正整数集，且a1＜a2＜…＜a11.若对每个正整数n≤1500，存在A的子集S，使得σ（S）=n.试求满足上述要求的a10的最小值.【题说】第二十一届（1992年）美国数学奥林匹克题3.【解】令S k=a1＋a2＋…＋a k（1≤k≤11）.若a k＞S k-1＋1，则不存在S A，使σ（S）=S k-1＋1所以，S k=S k-1＋a k≤2S k-1＋1 （1）又由题设得S1=a1=1.于是由（1）及归纳法易得S k≤2k－1（1≤k≤m）（2）若S10＜750，则a11≤1500（否则750无法用σ（S）表出），S11=S10＋a11＜1500，所以S10≥750.又S8≤28－1=255，于是2a10≥a9＋a10=S10－S8≥495所以，a10≥248.另一方面，令A={1，2，4，8，16，32，64，128，247，248，750}当n≤255=27＋26＋…＋2＋20时，可找到S｛1，2，4，…，128｝，使σ（S）=n.当n≤255＋247=502时，存在S（1，2，4，…，128，247），使σ（S）=n；当n≤502＋248=750时，存在S{1，2，4，…247，248}，使σ（S）=n；当n≤750＋750=1500时，存在S A，使σ（S）=n.于是a10的最小值为248.B1－010给定集合S=｛Z1，Z2，…，Z1993｝，其中Z1，Z2，…，Z1993为非零复数（可视为平面上非零向量）.求证：可以把S中元素分成若干子集，使得（1）S中每个元素属于且仅属于一个子集；（2）每一子集中任一复数与该子集所有复数之和的夹角不超过90°；（3）将任二子集中复数分别作和，所得和数之间夹角大于90°.【题说】1993年中国数学奥林匹克（第八届数学冬令营）题4.【证】现对任意正整数n给以证明.设非零复数集S=｛Z1，…，Z n｝.对S每个非空子集A，其中所有数之和，称为A之和.S共有2n－1个非空子集，其中必有一个子集S1，其和的模|a1|最大.若S≠S1，对S\S1，取其非空子集S2，使其和的模|a2|最大.如比等等.因S为有限集，故经若干步后，即得S的一个划分：S1，S2，…，S k，它们的和a1，a2，…，a k的模分别是S，S\S1，S\（S1∪S2），…，S\（S1∪S2∪…∪S k-1）的非空子集和的最大模.这样的划分，条件（1）显然满足.若某个S r中有一元素Z与a r的夹角＞90°，则如图a，|a r－Z|＞|a r|.a r－Z是S\（S1U…US r-1）的非空子集S r\{Z}之和，与S r的选取矛盾.若a r与a t（1≤r＜t≤k）的夹角≤90°，则如图（b），|a r＋a t|＞|a r|.a r＋a t是S\（S1∪…∪S r-1）不空子集S r∪S t之和，这又与S r选取矛盾.因此，所述划分满足条件（1）～（3）.【注】因为平面上至多有三个向量，它们之间两两的夹角都大于90°，故S至多分为三个子集.B1－011设集合A=｛1，2，3，…，366｝.如果A的一个二元子集B=｛a，b｝满足17|（a＋b），则称B具有性质p.（1）求A的具有性质p的二元子集的个数；（2）A一组二元子集，两两不相交并且具有性质P这组二元子集的个数最多是多少？【题说】1994年全国联赛河北省预赛二试题1.【解】将1，2，…，366按17除的余数分为17类：17类：[0]，[1]，…，[16].因为366=17³21＋9，所以[1]，[2]，…[9]中各有22个数，[10]，…，[16]，[0]中各有21个数.当且仅当a∈[k]，b∈[17－k]时，{a，b}具有性质p.当a∈[k]，b∈[17－k]，k=1，2，…，7时，具有性质p的子集所以A的具有性质p的二元子集个数共有210＋462³7＋484=3928（个）（2）为使二元子集两两不变，可如下搭配：a∈[0]，b∈[0]，有10个子集；a∈[k]，b∈[17－k]，k=1，2，…，7，有21个子集；a∈[8]，b∈[9]，有22个子集.故A的具有性质p两两不交的二元子集共有10＋21³7＋22=179（个）B1－012设|v|、σ（v）和π（v）分别表示由正整数组成的有限集合v的元素的个数，元素的和以及元素的积（如果集合v是空集，则|v|=0，σ（v）=0，П（v）=1）.若S是由正整数组成的有限集合.证明对所有的正整数m≥σ（S）成立.【题说】第二十三届（1994年）美国数学奥林匹克题5.【证】设S={a1，a2，…，a n}.长为m的、由m－n个0与n个1将这样的数列分为n＋1段，第一段a1个数，第二段a2个数，…，第n段a n个数.前n段的每一段中恰有1个1的数列，由于第i段的1有a i种位置（1≤i≤n），所以这样的数列共有a l a2…a n＝П（S）个.个.根据容斥原理，即本题的等式成立.B1－015设M={1，2，…，1995}，A是M的子集，且满足条件：当x∈A时，15x A，试求A中元素个数的最大值.【题说】1995年全国联赛一试题2（6）.原为填空题.【解】由题设，当k=9，10，…，133时，k与15k不能同时在A中，故至少有133－8=125个数不在A中，即|A|≤1995－125=1870另一方面，M的子集A={1，2，...，8}∪{134， (1997)满足条件.它恰好有1780个元素.故｜A｜的最大数是1870.B1-016已知集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}.求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素的差的绝对值大于1.【题说】1996年爱朋思杯——上海市赛题3.【解】设a n是集合{1，2，…，n}的具有题设性质的子集个数.集合{1，2，…，n，n+1，n+2}的具有题设性质的子集可分为两类：第一类子集包含元n+2，这样的子集有a n+n个（即每个{1，2，…，n}的这种子集与{n+2}的并集，以及{1，n+2}，{2，n+2}，…，{n，n+2}）；第二类子集不包含n+2，这样的子集有a n+1个.于是，有a n+2=a n+a n+1+n显然，a3=1，a4=3（即{1，3}，{2，4}，{1，4}）.所以a5=7，a6=14，a7=26，a8=46，a9=79，a10=133.B1-017对任意非空实数集S，令σ（S）为S的元素之和.已知n个正整数的集A，考虑S跑遍A的非空子集时，所有不同和σ（S）的集.证明这些和可以分为n类，每一类中最大的和与最小的和的比不超过2.【题说】第二十五届（1996年）美国数学奥林匹克题2【解】设A={a1，a2，…，a n}，a1＜a2＜…＜a n.令f j=a1+a2+…a j，e j=max{a j，f j-1}｝，则f j=f j-1+a j ≤2e j（1≤j≤n）.每个和a i1+a i2+…+a it，i1＜i2＜…＜i t，必在某个区间（f j-1，f j]中.因为a i1+a i2+a it＞f j-1=a1+a2+…a j-1所以i t≥j从而a i1+a i2+…+a it≥a j于是a i1+a i2+…+a it∈[e j，f j].这样σ（S）被分为n个类，在e j与f j之间的和为第j类（1≤j≤n），f j本身在第j类，而e j=f j-1时，e j不在第j类；e j＞f j-1时，e j在第j类.每一类中最大的和与最小的和的比不超过2.B1-018设S={1，2，3，4），n项的数列：a1，a2，…，a n有下列性质，对于S的任何一个非空子集B（B的元素个数记为｜B｜），在该数列中有相邻的｜B｜项恰好组成集合B.求n的最小值.【题说】1997年爱朋思杯——上海市赛决赛题3.【解】n的最小值为8.首先证明S中的每个数在数列a1，a2，…，a n中至少出现2次.事实上，若S中的某个数在这个数列中只出现1次，由于含这个数的二元子集共有3个，但在数列中含这个数的相邻两项至多只有两种取法，因而3个含这个数的二元子集不可能都在数列相邻两项中出现.由此可见n≥8.另一方面，8项数列：3，1，2，3，4，1，2，4满足条件，因此，所求最小值为8.B1-019求两个正整数m与n之间（m＜n），一切分母为3的既约分数的和.【题说】1962年成都市赛高三二试题1.3（n-m）+1项.其和但其中整数项的和故所求之和S=S1-S2=n2-m2B1-020证明cos10°是无理数.【题说】1963年合肥市赛高二二试题3.【证】利用公式cos3x=4cos3x-3cos x，可得cos30°=4cos310°-3cos10°（1）即若cos10°是一个有理数，则（1）右端为有理数，而左端是一个无理数，矛盾，故cos10°为无理数.B1-021求出所有四元实数组（x1，x2，x3，x4），使其中任一个数与其余三数积的和等于2.【题说】第七届（1965年）国际数学奥林匹克题4.本题由原苏联提供.【解】设x1x2x3x4=d，则显然d≤1.有以下五种情况：所以d=1，x1=x2=x3=x4=1.所以d=1，x1=x2=x3=x4=1.综上所述，x1、x2、x3、x4或者全为1；或者其中有三个为-1，一个为3.B1-022设P（x）是自然数x在十进制中各位数字的乘积.试求出所有能使P（x）=x2-10x-22成立的自然数.【题说】第十届（1968年）国际数学奥林匹克题2.本题由捷克斯洛伐克提供.【解】设n位数x满足P（x）=x2-10x-22 （1）若n≥3，则x≥10n-1≥100，9n≥P（x）=x（x-10）-22≥90x-22≥90²10n-1-22=9²10n-22＞10n矛盾.若n=1，则x=P（x）=x2-10x-22即x2-11x-22=0但此方程无正整数解.因此n=2.若x≥20，则x2-10x-22=x（x-10）-22≥10x-22≥200-22＞92≥P（x）因此x=10+y，y∈{0，1，2，…，9}.（1）变成y=（10+y）2-10（10+y）-22易知y=2，x=12.B1-023证明：如果三个正数的积为1，而它们的和严格地大于它们的倒数之和，那么，它们中恰好有一个数大于1.【题说】第四届（1970年）全苏数学奥林匹克八年级题2.【证】设这三个数为a，b，c，则（a-1）（b-1）（c-1）=abc-（ab+bc+ca）+（a+b+c）-1左边有一个或三个因子为正.但abc=1，所以a、b、c不可能全大于1，从而a、b、c中有且只有一个数大于1.B1-024若干个正整数的和为1976，求这些正整数的积的最大值.【题说】第十八届（1976年）国际数学奥林匹克题4.本题由美国提供.【解】设这些正整数为a1，…，a n，则a1+…+a n=1976不妨设a i＜4（1≤i≤n），这是因为当a i≥4时a i≤2（a i-2），故把a i换成2和a i-2不会使积减小.再注意2³2³2＜3³3，所以只需考虑积2a²3b，其中a=0，1，2，且2a+3b=1976.由此得a=1，b=658，故所求的最大值为2³3658.B1-025确定最大的实数z，满足x+y+z=5 （1）xy+yz+zx=3 （2）并且x、y也是实数.【题说】第十届（1978年）加拿大数学奥林匹克题3.【解】由（1）得（x+y）2=（5-z）2，由（2）得xy=3-z（5-z）.于是0≤（x-y）2=（x+y）2-4xy=（5-z）2-4[3-z（5-z）]=-3z2+10z+13=（13-3z）（1+z）因此有-1≤z≤13/3当x=y=1/3时，z=13/3.因此z最大值是13/3.B1-026已知a、b、c、d、e是满足a+b+c+d+e=8，（1）a2+b2+c2+d2+e2=16 （2）的实数，试确定e的最大值.【题说】第七届（1978年）美国数学奥林匹克题1.【解】由Cauchy不等式，（8-e）2=（a+b+c+d）2≤4（a2+b2+c2+d2）=4（16-e2），即B1-027已知：0.301029＜lg2＜0.301030，0.477120＜lg3＜0.477121求20001979的首位数字.【题说】1979年安徽省赛二试题1.【解】因为lg20001979=1979（3+lg2）=5937+1979lg2595.736391＜1979lg2＜595.738370而lg5=1-lg2＜0.70lg6=lg2+lg3＞0.77所以6532+lg5＜lg20001979＜6532+lg6即5³106532＜20001979＜6³106532所以20001979的首位数字是5.B1-028已知a1，a2，…，a8均为正数，且a1+a2+…+a8=20 （1）a1a2…a8=4 （2）试证：a1，a2，…，a8之中至少有一个数小于1.【题说】1979年湖北省赛二试题5.【证】用反证法.如果a1，a2，…，a8都不小于1，则可设a i=1+b i（b i＞0，i＝1，2， (8)再由（1）即得B1+b2+…+b8=12于是a1a2…a8=（1+b1）（1+b2）…（1+b8）＝1+（b1+b2+…+b8）+…+b1b2…b8≥1+（b1+b2+…+b8）=1+12=13与条件（2）矛盾.所以八个数中至少有一个数小于1.B1-029求所有实数a，使得存在非负实数x1，x2，x3，x4，x5满足关系：【题说】第二十一届（1979年）国际数学奥林匹克题5.本题由以色列提供.【解】利用柯西不等式及题设条件，有故中间不等式只能取等号，这意味着在x k≠0时，由此推知，x1，x2，x3，x4，x5中至多一个非0.因此，只能有下面两种情况：（1）x1=x2=x3=x4=x5=0，此时a=0；（2）某个x k=c≠0，其余x i=0（i≠k）.这时由已知得kc=a，k3c=a2，k5c=a3.从而k2=a，c=k总之，当且仅当a=0，1，4，9，16，25时，存在非负实数x1，x2，x3，x4，x5满足题中三个方程.B1-030下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正.【题说】1981年全国联赛题2.【解】lg3、lg0.27、lg9的值同为正确或同为错误.因表中只有两处错误，故三者都对.同理，lg2、lg5、lg8、lg6都对.再若lg7=2（b+c），则lg14=lg7+lg2=1-a+2b+c，lg0.021=lg3+lg7-3=2a+b+2c-3，lg2.8=2lg2+lg7-1=1-2a+2b.即lg7=2（b+c）对，就推出lg14、lg0.021、lg2.8三个值都错，与题设矛盾，故知lg7不对.应为lg7=lg l4-lg2=2b+c.lg1.5的值也不对，应为lg1.5=lg3+lg5-1=3a-b+c-1.把n2个互不相等的实数排成下表：a11，a12，…，a1na21，a22，…，a2n…a n1，a n2，…，a nn取每行的最大数得n个数，其中最小的一个是x；再取每列的最小数，又得n个数，其中最大的一个是y，试比较x n与y n的大小.【题说】1982年上海市赛二试题2【解】设x=a ij，y=a pq，则a ij≥a iq≥a pq所以x≥y.（1）当n是奇数时，x n≥y n.（2）当n是偶数时（i）如果x≥y≥0，则x n≥y n；（ii）如果0≥x≥y，则x n≤y n；（iii）如果x≥0≥y，则当x≥-y时，x n≥y n；当x≤-y时，x n≤y n.B1-032对任意实数x、y.定义运算x*y为：x*y=ax+by+cxy其中a、b、c为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法.现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数x，都有x*d=x，求d的值.【题说】1985年全国联赛一试题2（4）.原题为填空题.【解】由所设条件，有1*2=a+2b+2c=3 （1）2*3=2a+3b+6c=4 （2）x*d=ax+bd+cxd=（a+cd）x+bd=x（3）由（3）得a+cd=1 （4）B d=0 （5）因d≠0，故由（5）式得b=0.再解方程（1）及（2），得a=5，c=-1，最后由（4）式得d=4.B1-033计算下式的值：【题说】第五届（1987年）美国数学邀请赛题14.注意324=4³34.【解】x4+4y4=（x2+2y2）2-（2xy）2=[（x2+2y2）-2xy][（x2+2y2）+2xy]=[（x-y）2+y2][（x+y）2+y2]。

集合练习1.【2021年新疆预赛】若实数集合{3,6,9,x}的最大元素与最小元素之积等于该集合的所有元素之和，则x的值为 .【答案】94【解析】若x是最大元素，则3x=18+x,解得x=9,不合题意；；若x是最小元素，则9x=18+x,解得x=94若x既不是最大元素也不是最小元素，则27=18+x,解得x=9,不合题意；.所以x=942.【2021年全国高中数学联赛A卷一试】设集合A={1,2,m},其中m为实数.令B={a2∣a∈A},C=A∪B.若C的所有元素之和为6,则C的所有元素之积为.【答案】−8【解析】由条件知1,2,4,m,m2(允许有重复）为C的全部元素.注意到,当m为实数时,1+2+4+m+m2>6,1+2+4+m2>6,故只可能是C={1,2,4,m},且1+2+4+m=6.于是m=−1(经检验符合题意),此时C的所有元素之积为1×2×4×(−1)=−8.3.【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设集合X={1,2,⋯,20},A是X的子集,A的元素个数至少是2,且A的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A的个数为 . 【答案】190【解析】每个满足条件的集合A可由其最小元素a与最大元素b唯一确定,其中a,b∈X,a<b,这样的(a,b)的取法共有C202=190种,所以这样的集合A的个数为190.4.【2020年福建预赛】已知[x]表示不超过实数x的最大整数,集合A={x∣x2−x−6<0},B= {x∣2x2−3[x]−5=0}.则A∩B= .}【答案】{−1,√222【解析】易知,A=(−2,3).若x∈A,则[x]=−2,−1,0,1,2.当[x]=−2时,若x∈B,则2x2+6−5=0,x不存在.当[x]=−1时,若x∈B,则2x2+3−5=0⇒x=±1.经检验,x=1不符合要求,x=−1符合要求.当[x]=0时,若x∈B,则2x2−0−5=0⇒x=±√102，均不符合要求.当[x]=1时,若x∈B,则2x2−3−5=0⇒x=±2,均不符合要求.当[x]=2时,若x∈B,则2x2−6−5=0⇒x=±√222.经检验,x=√222符合要求,x=−√222不符合要求.故A∩B={−1,√222}.5.【2020年甘肃预赛】设集合:A={(x,y)∣log a x+log a y>0},B=|(x,y)|x+y<a}.若A∩B=∅,则a的取值范围是 .【答案】(1,2]【解析】若a>1,则A={(x,y)∣xy>1}.而当x+y=a与xy=1相切时，x+1x=a⇒x2−ax+1=0⇒a=2.于是,当a∈(1,2]时,A∩B=∅.若a<1,则A={(x,y)∣xy<1},此时，A∩B≠∅.综上,a∈(1,2].6.【2020年浙江预赛】一个正整数若能写成20a+8b+27c(a ,b ,c∈N)形式,就称其为“好数".则集合{1,2,⋯,200}中好数的个数为 .【答案】153【解析】先考虑20a+8b=4(5a+2b).5a+2b可取2,4,5,6,⋯,50.则20a+8b可取8,16,20,24,⋯,200.故当c=0时共有48个非零好数(4k型）；c=1时共有42个好数(4k+3型),此时好数为27,35,43,47,⋯,199;c=2时共有35个好数(4k+2型),此时好数为54,62,70,74,⋯,198;c=3时共有28个好数(4k+1型),此时好数为81,89,97,101,⋯,197.综上,共有48+42+35+28=153个好数.7.【2020年新疆预赛】已知集合A={1,2,3,⋯,2020},对于集合A的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为 .【答案】2020【解析】集合A的22020−1个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：1，2，…，2020,1×2,1×3⋯,2019×2020,⋯,1×2×⋯×2020,它们的倒数和为1+12+⋯+12020+11×2+11×3+⋯+12019×2020+⋯+11×2×⋯×2020=(1+1)(1+12)⋯(1+12020)−1=2×32×⋯×20212020−1=2020.8.【2019年全国】若实数集合{1,2,3,x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为 .【答案】−32【解析】由题意知，x为负值，∴3−x=1+2+3+x⇒x=−32.9.【2019年江苏预赛】已知集合A={x|x2−3x+2≥0}，B={x|√x−a≥1}，且A∩B= {x|x≥3}，则实数a的值是 .【答案】2【解析】A={x|x≥2或x≤1}，B={x|x≥a+1}.又A∩B={x|x≥3}，故a+1=3，解得a=2.10.【2019年江西预赛】将集合{1,2,⋯,19}中每两个互异的数作乘积,所有这种乘积的和为.【答案】16815【解析】所求的和为12[(1+2+⋯+19)2−(12+22+⋯+192)]=12[36100−2470]=1681511.【2019年浙江预赛】已知集合A ={k +1,k +2,⋯,k +n },k,n 为正整数，若集合A 中所有元素之和为2019，则当n 取最大值时，集合A = .【答案】A ={334,335,336,337,338,339} 【解析】由已知2k+n+12⋅n =3×673.当n =2m 时，得到(2k +2m +1)m =3×673⇒m =3,n =6,k =333; 当n =2m +1时，得到(k +m +1)(2m +1)=3×673⇒m =1,n =3. 所以n 的最大值为6，此时集合A ={334,335,336,337,338,339}.12.【2019年福建预赛】已知f (x )=x 2-2x ，集合A ={x |f (f (x ))=0}，则集合A 中所有元素的和为.【答案】4【解析】方程f (f (x ))=0化为f (x 2-2x )=0，即(x 2−2x )2−2(x 2−2x )=0.∴ (x 2−2x )(x 2−2x −2)=0.解得，x 1=0, x 2=2, x 3=1−√3, x 4=1+√3. ∴A ={0,2,1−√3,1+√3}，A 中所有元素的和为4.13.【2019年福建预赛】已知集合U ={1，2，3，4，5}，I ={X|X ⊆U}，从集合I 中任取两个不同的元素A 、B ，则A ∩B 中恰有3个元素的概率为 .【答案】562【解析】当A ∩B 确定后，如A ∩B ={3，4，5}时，设A =A ′∪{3,4,5}，B =B ′∪{3,4,5}. ，A ′∩B ′=∅，则{A ′,B ′}的情况有:{∅,{1}}，{∅,{2}}，{∅,{1,2}}，{{1},{2}}，共4种情形. ∴所求的概率为C 53×4C 322=10×4×232×31=562.14.【2019年贵州预赛】已知集合A ={1,2,3,……,2019},对于集合A 的每一个非空子集的所有元素,计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为.【答案】2019【解析】解法1:集合A 的22019−1个非空子集中,每一个集合的所有元素之积分别为: 1,2,…,2019,1×2,1×3,2018×2019,……，1×2×⋯×2019,它们的倒数和：1+12+⋯+12019+11×2+11×3+⋯+12018×2019+⋯+11×2×⋯×2019 =(1+1)(1+12) (1)12019)−1=2×32×⋯×20202019−1=2019解法2:当A={1}时,结果是1;当A={1,2}时,结果是1+12+11×2=2；当A={1,2,3}时,结果是1+12+13+11×2+11×3+12×3+11×2×3=3.由数学归纳法可证(省略):当A={1,2,3,…,2019}时,结果是2019.15.【2019高中数学联赛B卷（第01试）】已知实数集合{1，2，3，x}的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x的值为 .【答案】−3【解析】条件等价于1，2，3，x中除最大数以外的另外三个数之和为0.显然x<0，从而1+2+x=0，得x=－3.16.【2018年江苏预赛】在1，2，3，4，…，1000中，能写成a2−b2+1(a∈N)的形式，且不能被3整除的数有________个。

集合竞赛试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B的结果。

A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 2, 3, 4}D. {1, 4}2. 若集合C={x | x是偶数}，D={x | x是奇数}，则C∩D的结果是什么？A. 空集B. {1}C. {2}D. {0}3. 集合E={x | x^2 - 5x + 6 = 0}，求E的元素。

A. {2, 3}B. {1, 6}C. {-1, 6}D. {-2, 3}4. 集合F={x | x是自然数，且x < 10}，求F的元素个数。

A. 9B. 10C. 8D. 115. 集合G={x | x是素数}，H={x | x是合数}，I={x | x是1, 2,3, ..., 20之间的整数}，求(G∩I)∪(H∩I)的结果。

A. {1, 2, 3, ..., 20}B. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}C. 空集D. {4, 6, 8, 9, 10, ..., 20}二、填空题（每题3分，共15分）6. 集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，A∩B的结果是_________。

7. 若集合M={x | x是大于10的整数}，N={x | x是小于20的整数}，则M∪N的结果是_________。

8. 集合P={x | x是小于100的质数}，Q={x | x是小于100的合数}，则P∩Q的结果是_________。

9. 集合R={x | x^2 - 4 = 0}，求R的元素。

10. 集合S={x | x是三角形的内角}，求S的元素。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 给定集合T={x | x是正整数，且x < 100}，求T中所有元素的和。

12. 集合U={x | x是正整数，且x^2 < 100}，求U中所有元素的乘积。

1.设集合P={x，1}，Q={y，1，2}，其中x，y∈{1，2，…，9}，且.将满足这些条件的每一个有序整数对(x，y)看做一个点，这样的点的数目是().A.9B.14C.15D.212.有一个含三个正整数元素的集合{a，b，c}，若a×b×c=2310，则这样的集合个数为().A.36B.43C.45D.463.已知集合M={(x，y)|x+y=2}，N={(x，y)|x-y=4}，那么集合M∩N为().A.x=3，y=-1B.(3，-1)C.{3，-1}D.{(3，-1)}4.给出了以下三个命题：①[(P)∩M]∩[M]=；②P∪[M∩(P)]=P∪M；③[P∩(P)]∪(P∩M)=P.其中正确命题的个数是().A.0B.1C.2D.35.在集合{1，2，3，…，50}的子集S中任意两个元素的和都不能被7整除，这样的子集S 中元素个数最多的是().A.23B.22C.7D.6二、填空题6.若集合A={1，2，3，m}，B={m2，3}满足A∪B={1，2，3，m}，则实数m=________.7.设集合A={x|2lgx=lg(8x-15)，x∈R}，B={x|cos＞0，x∈R}，则A∩B的元素个数为______ _____.8.对于集合M={x|x=3n，n=1，2，3，4}，N={x|x=3k，k=1，2，3}.若有集合S满足，则这样的S有__________个.9.已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}至多只有一个真子集，则a的取值范围是_______.10.已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+(a-1)=0}，C={x|x2-bx+2=0}.若，，则实数a，b 的值分别为__________.11.从{1，2，3，4，…，20}中选取四个不同的数a，b，c，d，满足a+c=b+d.若不考虑a，b，c，d的顺序，则选取方法的总数为___________.三、解答题12.设Sn表示自然数集合{1，2，…，n}的一切子集的元素之和(规定空集元素和为0)，求S 2004.13.在1到100这100个正整数中，最多可选出多少个数，使得其中没有一个数是另一个的3倍.14.称子集是好的，如果它有下述性质：如果2k∈A且2k+1∈A(空集和M都是好的)，问M 有多少个好子集？。

高一数学学科素养能力竞赛集合部分综合测试题第I 卷（选择题）一、单选题: 本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,1A =-，{}1B x ax ==，若A B B =，则a 的取值集合为（ ） A ．{}1B ．{}1-C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-【答案】D【分析】由题意知B A ⊆，分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，即可得出结果.【详解】由A B B =，知B A ⊆，因为{}1,1A =-，{|1}B x ax ==，若B =∅，则方程1ax =无解，所以0a =满足题意； 若B ≠∅，则1{|1}B x ax x x a ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭， 因为B A ⊆，所以11a=±，则满足题意1a =±； 故实数a 取值的集合为{}1,0,1-.故选：D.2．设a ，b 是实数，集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}|||3,B x x b x R =->∈，且A B ⊆，则a b -的取值范围为（ ）A ． []0,2B ．[]0,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】D【分析】解绝对值不等式得到集合,A B ，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解. 【详解】集合{}{}1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+，{}{3,|3B x x b x R x x b =-∈=<-或}3x b >+ 又A B ⊆，所以13a b +≤-或13a b -≥+即4a b -≤-或4a b -≥，即4a b -≥ 所以a b -的取值范围为[)4,+∞故选：D3．若1|12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂,则A B ⨯=（ ）A ．13,01,22⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．13,01,22⎛⎤⎛⎫-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(0,1]【答案】B【分析】本题抓住新定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂中x 满足的条件，解不等式得到集合,A B ，进而求得A B ，A B ，最后求出()()A B A B ⋃即为所求. 【详解】1113|111|2222A x x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=-<=-<-<=-<<⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭ {}11|1|0|01x B x x x x x x -⎧⎫⎧⎫=≥=≥=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭{}|01A B x x ∴⋂=<≤，13|22A B x x ⎧⎫⋃=-<<⎨⎬⎩⎭ 1|02A B x x ⎧∴⨯=-<≤⎨⎩或312x ⎫<<⎬⎭13,01,22⎛⎤⎛⎫=-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解绝对值不等式和分式不等式，理解题目中{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂中x 满足的条件是解题的关键，考查学生的分析试题能力与转化与化归能力，属于较难题.4．设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（ ）A ．32B ．56C ．72D ．84【答案】B【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案.【详解】若1,3在集合A 内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；若1,4在集合A 内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若1,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有6+5+4+3+2+1=21个.若2,4在集合A 内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若2,5在集合A 内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若2,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有5+4+3+2+1=15个.若3,5在集合A 内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若3,6在集合A 内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若3,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有4+3+2+1=10个.若4,6在集合A 内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若4,7在集合A 内，则还有一个元素为9,10中的一个；若4,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有3+2+1=6个.若5,7在集合A 内，则还有一个元素为9,10中的一个；若5,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有2+1=3个.若6,8,10在在集合A 内，只有1个.总共有21+15+10+6+3+1=56个故选：B.5．设{}1,2,3,4,I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,3A B =，则称(,)A B 为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）A ．16B ．9C ．8D ．4【答案】B【分析】根据题意，子集A 和B 不可以互换，从子集A 分类讨论，结合计数原理，即可求解.【详解】由题意，对子集A 分类讨论：当集合{}1,3A =，集合B 可以是{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3}，共4种结果；当集合{}1,2,3A =，集合B 可以是{1,3,4},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,3,4A =，集合B 可以是{1,2,3},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,2,3,4A =，集合B 可以是{1,3}，共1种结果，根据计数原理，可得共有42219+++=种结果.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合新定义及其应用，其中解答正确理解题意，结合集合子集的概念和计数原理进行解答值解答额关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.6．定义{|,}A B x x A x B -=∈∉，设A 、B 、C 是某集合的三个子集，且满足()()A B B A C -⋃-⊆，则()()A C B B C ⊆-⋃-是AB C =∅的（ ） A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】作出示意图，由()()A B B A C -⋃-⊆可知两个阴影部分均为∅，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】如图，由于()()A B B A C -⋃-⊆，故两个阴影部分均为∅，于是,,A I IV V B III IV V C I II III V =⋃⋃=⋃⋃=⋃⋃⋃，（1）若A B C =∅，则V =∅，A I IV ∴=⋃，而()()C B B C I II IV -⋃-=⋃⋃，()()A C B B C ∴⊆-⋃-成立；（2）反之，若()()A C B B C ⊆-⋃-，则由于()()()C B B II I C I V =⋃-⋃-⋃，()A I IV V =⋃⋃，()()I IV V I II IV ∴⋃⋃⊆⋃⋃，V ∴=∅，A B C ∴⋂⋂=∅，故选：A【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想的应用，属于较难题.7．已知集合{}1,2,3,4,5P =，若A ，B 是P 的两个非空子集，则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ,B )的个数为（ ）A ．49B ．48C ．47D ．46【答案】A【分析】利用分类计数法，当A 中的最大数分别为1、2、3、4时确定A 的集合数量，并得到对应B 的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.【详解】集合{}1,2,3,4,5P =知：1、若A 中的最大数为1时，B 中只要不含1即可：A 的集合为{1}，而B 有 42115-=种集合，集合对(A ,B )的个数为15；2、若A 中的最大数为2时，B 中只要不含1、2即可：A 的集合为{2},{1,2}，而B 有3217-=种，集合对(A ,B )的个数为2714⨯=；3、若A 中的最大数为3时，B 中只要不含1、2、3即可：A 的集合为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}，而B 有2213-=种，集合对(A ,B )的个数为4312⨯=；4、若A 中的最大数为4时，B 中只要不含1、2、3、4即可：A 的集合为{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}，而B 有1211-=种，集合对(A ,B )的个数为818⨯=；∴一共有151412849+++=个，故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题.8．设a ，b ，c 为实数，记集合2{|()()0S x x a x bx c =+++=，}x R ∈，2{|(1)(1)0T x ax cx bx =+++=，}x R ∈.若||S ，||T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）A ．||1S =且||0T =B ．||1S =且||1T =C ．||2S =且||2T =D ．||2S =且||3T = 【答案】D【分析】要发现0x a +=与10ax +=､20x bx c ++=与210cx bx ++=的解的关系，同时考虑0a =，0c 以及判别式对方程的根的个数的影响，通过假设最高次含参数的方程10ax +=有一个解，210cx bx ++=有两个解，逆推集合S 的解的情况即可.【详解】令()2()0x a x bx c +++=，则方程至少有1个实数根x a =-，当240b c -=时，方程还有一个根2b x =-， 只要2b a ≠，方程就有2个实数根，2b a =，方程只有1个实数根，当240b c -<时，方程只有1个实数根，当240b c ->时，方程有2个或3个实数根，当0a b c ===时，||1S =且||0T =，当0,0,0a b c >=>时，||1S =且||1T =，当1,2a c b ===-时，||2S =且||2T =，若||3T =时，10ax +=有一个解，210cx bx ++=有两个解，且10ax +=的解1x a=-不是210cx bx ++=的解， ∴211()()0c b c a a-+-+≠，即20a ab c -+≠， 0x a ∴+=的解不是20x bx c ++=的解，又210cx bx ++=有两个解，故240b c ∆=->，20x bx c ++=有两个不等的根，2()()0x a x bx c ∴+++=有3个解，即3S =，故D 不可能成立，故选：D .【点睛】本题考查集合的元素个数，一元一次方程与一元二次方程的解的关系，还要考虑一元一次方程的解是否为一元二次方程的解，通过判别式判断一元二次方程方程的根的个数，属于难题.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．（多选）若非空实数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈， x y M -∈，则称M 为“优集”．已知,A B 是优集，则下列命题中正确的是（ ）A ．AB 是优集B ．A B 是优集C ．若A B 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D ．若A B 是优集，则A B 是优集【答案】ACD【解析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.【详解】对于A 中，任取,x A B y A B ∈∈，因为集合,A B 是优集，则,x y A x y B +∈+∈，则 x y A B +∈， ,x y A x y B -∈-∈，则x y A B -∈，所以A 正确；对于B 中，取{|2,},{|3,}A x x k k Z B x x m m Z ==∈==∈，则{|2A B x x k ⋃==或3,}x k k Z =∈，令3,2x y ==，则5x y A B +=∉⋃，所以B 不正确；对于C 中，任取,x A y B ∈∈，可得,x y A B ∈，因为A B 是优集，则,x y A B x y A B +∈-∈，若x y B +∈，则()x x y y B =+-∈，此时 A B ⊆；若x y A +∈，则()x x y y A =+-∈，此时 B A ⊆，所以C 正确；对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A =为优集；或B A ⊆，则A B B =为优集，所以A B 是优集，所以D 正确.故选：ACD.【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.10．用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()*A B C A C B =-.已知集合2|10A x x ，{}22(3)(2)0B x ax x x ax =+++=，若*1A B =，则实数a 的取值可能是（ ）A．-B ．0 C ．1 D ．【答案】ABD【解析】先分析()2C A =，又由*1A B =，分析易得()1C B =或3，即方程22(3)(2)0ax x x ax +++=有1个根或3个根，分析方程22(3)(2)0ax x x ax +++=的根的情况，可得a 可取的值，即可得答案．【详解】根据题意，已知{1A =，2}，则()2C A =，又由*1A B =，则()1C B =或3，即方程22(3)(2)0ax x x ax +++=有1个根或3个根；若22(3)(2)0ax x x ax +++=，则必有230ax x +=或220x ax ++=，若230ax x +=，则0x =或30ax +=，当0a =时，{0}B =，()1C B =，符合题意；当0a ≠时，230ax x +=对应的根为0和3a -；故∴需220x ax ++=有两等根且根不为0和3a -，当∴0=时，a =±a ={0B =，-，，()3C B =，符合题意；a =-{0B =，，()3C B =，符合题意； ∴当3a -是220x ax ++=的根时，解得3a =±；3a =，此时{0B =，1-，2}-，()3C B =，符合题意；3a =-，此时{0B =，1，2}，()3C B =，符合题意；综合可得：a 可取的值为0，3±，故选：ABD【点睛】本题考查集合的表示方法，关键是依据()C A 的意义，分析集合B 中元素的个数，进而分析方程22(3)(2)0ax x x ax +++=的根的情况．11．设集合{}Z y x y x a a M ∈-==,,22，则对任意的整数n ，形如4,41,42,43n n n n 的数中，是集合M 中的元素的有A ．4nB ．41n +C ．42n +D ．43n + 【答案】ABD【分析】将4,41,43n n n ++分别表示成两个数的平方差，故都是集合M 中的元素，再用反证法证明42n M . 【详解】∴224(1)(1)nn n ，∴4n M . ∴2241(21)(2)n n n ，∴41n M . ∴2243(22)(21)nn n ，∴43n M . 若42n M ，则存在,Z x y 使得2242x y n ， 则42()(),n x y x y x y 和x y -的奇偶性相同.若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数，不成立；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，不成立，∴42n M .故选ABD.【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质P ，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.12．设集合X 是实数集R 的子集，如果实数0x 满足：对任意0r >，都存在x X ∈，使得00x x r <-<成立，那么称0x 为集合X 的聚点.则下列集合中，0为该集合的聚点的有（ ）A ．1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭B ．,1n x x n N n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭C ．{},0x x Q x ∈≠D ．整数集Z【答案】AC【分析】利用集合聚点的新定义，集合集合的表示及元素的性质逐项判断. 【详解】A.因为集合1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭中的元素是极限为0的数列，所以对于任意0r >，都存在1n r >，使得10x r n <=<成立，所以0为集合1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭的聚点，故正确； B. 因为集合11,11n x x n N n n *⎧⎫==-∈⎨⎬++⎩⎭中的元素是极限为1的数列，除第一项外，其余项都至少比0大12，所以对于12r <时，不存在满足0x r <<的x ，所以0不为集合11,11n x x n N n n *⎧⎫==-∈⎨⎬++⎩⎭的聚点，故错误； C. 对任意0r >，都存在2=r x ，使得02x r r <=<成立，那所以0为集合{},0x x Q x ∈≠的聚点，故正确；D. 对任意0r >，如0.5r =，对任意的整数，都有00x x -=或01x x -≥成立，不可能有000.5x x <-<成立，所以0不是集合整数集Z 的聚点，故错误；故选：AC第II 卷（非选择题）三、填空题: 本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知集合{}2280,R A x x x x =--≤∈ ，(){}2550,R B x x m x m x =-++≤∈ ，设全集为R ，若R B A ⊆，则实数m 的取值范围为______．【答案】()4,+∞【分析】解不等式求得R A ，根据R B A ⊆，分类讨论m 的取值，确定集合B ，从而求得m 的取值范围.【详解】解不等式2280x x --≤，得24x -≤≤，所以R {2A x x =<-或4}x > ， (){}()(){}2550,R 50B x x m x m x x x x m =-++≤∈=--≤ ， 因为R B A ⊆，当5m =时，{}5B =，满足题意；当5m >时，[]5,B m =，满足题意．当5m <时，[],5B m =， 由R B A ⊆，得4m >，所以45m <<．综上，m 的取值范围为()4,+∞．故答案为：()4,+∞ 14．{}{}(){}220,10,,2,R A x x px q B x qx px A B A B ϕ=++==++=⋂≠⋂=-则p q += _____．【答案】-1或5 【分析】由题意可得m A ∈，一点有1∈B m，再由A B φ⋂≠，可得1m =±，进而可得结果.【详解】设2,0∈∴++=m A m pm q两边同除2m ，可得210++=p q m m ，所以 1∈B m由A B φ⋂≠，一定有m A ∈，1∈A m ，即 1,1=∴=±m m m (){2}R A B =-，则 2,{2,1}-∈=-A A 或{2,-1}=-A代入可得4201102p q p p q q -+==⎧⎧⇒⎨⎨++==-⎩⎩或 4203102p q p p q q -+==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以1p q +=-或5故答案为：-1或5 【点睛】关键点点睛：通过两个方程的关系可得m A ∈，一点有1∈B m，是解题的关键.本题考查了逻辑推理能力和计算能力，属于中档题. 15．集合{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---有10个元素，设M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i =每一个i M 中所有元素乘积为i m ()1,2,,1023i =，则1231023m m m m ++++=___________. 【答案】-1【分析】分析可得M 的所有非空子集为i M 可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积i m ，综合即可得答案.【详解】集合M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i =可以分成以下几种情况 ∴含元素0的子集共有92512=个，这些子集中所有元素乘积0i m =；∴不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有821255-=个∴不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有821255-=个其中∴∴中元素是一一对应的，且为相反数，则i m 的和为0，∴只含元素-1的子集1个，满足1i m =-，综上：所有子集中元素乘积12310231m m m m ++++=-. 故答案为：-116．若集合()()()(){}10*,122022,Z,N M x y x x x y x y =++++⋅⋅⋅++=∈∈，则集合M 中元素有______个.【答案】242【分析】由题可得111010(21)23337y x y ++=⋅⋅，然后可得21y x y ++与必为一奇一偶，偶数必是1123337m n ⋅⋅，进而即得.【详解】由题可得(21)(1)(2)()2y x y x x x y ++++++⋅⋅⋅++=， ∴111010(21)23337y x y ++=⋅⋅，又21y x y ++与必为一奇一偶， 而偶数必是1123337m n ⋅⋅,*,N ,010,010m n m n ∈≤≤≤≤，共有121种情况，又21y x y ++与奇偶未定，故集合M 中元素只有242个.故答案为：242.四、解答题: 本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合{}13A x x =-≤ ，{}22240B x x mx m =-+-≤.(1)命题p ：x ∴A ，命题q : x ∴B ，且p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围:(2)若A ∩B ≠,∅求实数m 的取值范围.【答案】(1)[]02m ∈，(2)[]46m ∈-，【分析】(1)要使p 是q 的必要不充分条件，则 B A 即可；(2)求A B =∅时m 的取值范围，然后求其补集.（1）因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，B 集合：()22444160m m ∆=--=>，所以B 不可能为空集，因为()()222422x mx m x m x m ⎡⎤⎡⎤-+-=---+⎣⎦⎣⎦， 所以{}22B x m x m =-≤≤+， 集合{}24A x x =-≤≤，所以2224m m -≥-⎧⎨+<⎩或2224m m ->-⎧⎨+≤⎩，分别解不等式组，取并集后可得[]02m ∈，. （2）由（1）知{}{}2422A x x B x m x m =-≤≤=-≤≤+，，当A B =∅时：22m +<-或24m ->，解之得：4m <-或6m >，则A B ⋂≠∅时，[]46m ∈-，. 18．设函数2()(,)f x x px q p q R =++∈，定义集合{|(()),}R f D x f f x x x ==∈，集合{|(())0,}R f E x f f x x ==∈．(1)若0p q ==，写出相应的集合f D 和f E ；(2)若集合{0}f D =，求出所有满足条件的,p q ；(3)若集合f E 只含有一个元素，求证：0,0p q ≥≥．【答案】(1){0,1}f D =，{0}f E =(2)1,0p q ==(3)证明见解析【分析】（1）由4x x =、40x =解得x ，可得f D ，f E ；（2）由(())0f f x x -=得2(1)10x p x p q +++++=或2(1)0x p x q +-+=，然后由21(1)4(1)∆=+-++p p q ，221(1)4∆=-->∆p q ，方程(())0f f x x -=只有一个实数解0，得210,0∆=∆<， 转化为2(1)0x p x q +-+=有唯一实数解0，可得答案；（3）由条件，(())0f f x =有唯一解，得()0f x =有解，分()0f x =有唯一解0x 、()0f x =有两个解1212,()x x x x <，结合()f x 的图像和实数解的个数可得答案.(1)2()f x x =，4(())=f f x x ，由4x x =解得0x =或1x =，由40x =解得0x =，所以{0,1}f D =，{0}f E =．(2)由22(())(())()()()()()f f x x f f x f x f x x f x pf x x px f x x -=-+-=+--+-=22(()1)(())((1)1)((1))0f x x p f x x x p x p q x p x q +++-=++++++-+=，得2(1)10x p x p q +++++=或2(1)0x p x q +-+=，221(1)4(1)(1)44p p q p q ∆=+-++=---，2221(1)4(1)4p q p q ∆=--=-->∆，而方程(())0f f x x -=只有一个实数解0，所以210,0∆=∆<，即只需2(1)0x p x q +-+=有唯一实数解0，所以1,0p q ==．(3)由条件，(())0f f x =有唯一解，所以()0f x =有解，∴若()0f x =有唯一解0x ，则20()()f x x x =-，且0()f x x =有唯一解，结合()f x 图像可知00x =，所以2()f x x =，所以0p q ==．∴若()0f x =有两个解1212,()x x x x <，则12()()()f x x x x x =--，且两个方程1()f x x =，2()f x x =总共只有一个解，结合()f x 图像可知2()f x x =有唯一解，所以20x <，10x <，所以120q x x =>，且()f x 的对称轴02p x =-<，所以0p >，所以0,0p q >>．综上，0,0p q ≥≥．【点睛】本题主题考查了二次函数与二次方程之间的关系的相互转换，方程根与系数的应用，考查了系数对新定义的理解能力及计算能力.19．对于正整数集合{}()*12,,,,3n A a a a n n =∈≥N ，如果去掉其中任意一个元素()1,2,,i a i n =之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”.(1)判断集合{}1,2,3,4,5与{}1,3,5,7,9是否为“和谐集”（不必写过程）；(2)求证：若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数；(3)若集合A 是“和谐集”，求集合A 中元素个数的最小值.【答案】(1){}1,2,3,4,5不是“和谐集”，{}1,3,5,7,9不是“和谐集”(2)证明见解析(3)7【分析】（1）由“和谐集”的定义判断（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明（3）由（2）知n 为奇数，根据n 的取值讨论后求解（1）对于{}1,2,3,4,5，去掉2后，{1,3,4,5}不满足题中条件，故{}1,2,3,4,5不是“和谐集”， 对于{}1,3,5,7,9，去掉3后，{1,5,7,9}不满足题中条件，{}1,3,5,7,9不是“和谐集” （2）设{}12,,,n A a a a =中所有元素之和为M ，由题意得i M a 均为偶数，故()1,2,,i a i n =的奇偶性相同 ∴若i a 为奇数，则M 为奇数，易得n 为奇数，∴若i a 为偶数，此时取2i i a b =，可得{}12,,,n B b b b =仍满足题中条件，集合B 也是“和谐集”， 若i b 仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由∴知n 为奇数 综上，集合A 中元素个数为奇数（3）由（2）知集合A 中元素个数为奇数，显然3n =时，集合不是“和谐集”，当5n =时，不妨设12345a a a a a <<<<，若A 为“和谐集”，去掉1a 后，得2534a a a a +=+，去掉2a 后，得1534a a a a +=+，两式矛盾，故5n =时，集合不是“和谐集”当7n =，设{1,3,5,7,9,11,13}A ，去掉1后，35791113+++=+，去掉3后，19135711++=++，去掉5后，91313711+=+++，去掉7后，19113513++=++，去掉9后，13511713+++=+，去掉11后，3791513++=++，去掉13后，1359711+++=+，故{1,3,5,7,9,11,13}A 是“和谐集”，元素个数的最小值为720．对于函数()f x ，若()f x x =，则称实数x 为()f x 的“不动点”，若()()f f x x =，则称实数x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，()(){}B x f f x x ==. (1)对于函数()21f x x =-，分别求出集合A 和B ；(2)对于所有的函数()f x ，集合A 与B 是什么关系？并证明你的结论；(3)设()2f x x ax b =++，若{}1,3A =-，求集合B .【答案】(1){1}A =，{1}B =(2)证明见解析；(3){B =-【分析】(1)由f (x )＝x ，解出x 的值即集合A 的元素，由()f f x x ⎡⎤⎣⎦＝，解出x 的值即集合B的元素； (2)分别讨论A =∅与A ≠∅的情况,当A ≠∅时,设t A ∈,则()f t t =，即[()]=()f f t f t t =，进而得证；(3)由{1,3}A =-可得(1)1(3)3f f -=-⎧⎨=⎩,则13a b =-⎧⎨=-⎩,进而求解()f f x x ⎡⎤⎣⎦＝即可. (1)由f (x )＝x ，得21x x -＝，解得1x ＝； 由()f f x x ⎡⎤⎣⎦＝，得221)1(x x --＝，解得1x ＝， ∴集合A ＝{1}，B ＝{1}．(2)若A =∅，则A B ⊆显然成立；若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，由[()]=()f f t f t t B =∈，可得A B ⊆.(3)解：∴{1,3}A =-，∴(1)1(3)3f f -=-⎧⎨=⎩，即2211333a b a b ⎧--+=-⎨++=⎩（），∴13a b =-⎧⎨=-⎩， ∴2()3f x x x =--，∴2222[()](3)(3)(3)3f f x f x x x x x x x =--=------=，∴222(3)0x x x ---=，∴22(3)23)0x x x ---=（，∴(1)(3)0x x x x +-=，∴x =1x =-或3x =，∴{B =-.21．设集合A 为非空数集，定义{|A x x a b +==+，a 、}b A ∈，{|||A x x a b -==-，a 、}b A ∈．(1)若{1A =-，1}，写出集合A +、A -；(2)若1{A x =，2x ，3x ，4}x ，1234x x x x <<<，且A A -=，求证：1423x x x x +=+；(3)若{|02021A x x ⊆，}x N ∈且A A +-=∅，求集合A 元素个数的最大值．【答案】(1){}{}2,0,20,2A A +-=-=，；(2)证明见解析；(3)1348.【分析】(1)根据新定义，直接得出集合A A +-、；(2)根据两集合相等即可得出1234x x x x 、、、的关系；(3)通过假设A 集合{124042}m m m ++，，，，(2021)m m N ≤∈，， 求出相应的A A +-、，根据=A A +-∅列出不等式即可求出结果.（1） 由题意知，{11}A =-，， 得{202}{02}A A +-=-=，，，，； （2）由于集合12341234{}A x x x x x x x x =<<<，，，，，且A A -=，所以集合A -中有且仅有4个元素，即213141{0}A x x x x x x -=---，，，剩下的元素满足213243x x x x x x -=-=-，即1423x x x x +=+；（3）设12{}k A a a a =，，，满足题意，其中12k a a a <<<， 则11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<， 所以21A k +≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<<-，所以A k -≥，因为=A A +-∅，由容斥原理，31A A A A k +-+-=+≥-， A A +-最小的元素为0，最大的元素为2k a ，所以21k A A a +-≤+，所以*31214043()k k a k N -≤+≤∈，解得1348k ≤，实际上当{6746752021}A =，，，时满足题意，证明如下： 设{122021}A m m m =++，，，，()m N ∈， 则{221224042}A m m m +=++，，，，，{0122021}A m -=-，，，，， 依题意，有20212m m -<，即26733m >，所以m 的最小值为674， 于是当674m =时，集合A 中的元素最多，即{6746752021}A =，，，时满足题意. 综上所述，集合A 中元素的个数的最大值为1348.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.22．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；（2）已知集合{}1,2,3,4,5,6M =，根据提示解决问题.∴求集合M 所有非空子集的元素和的总和；提示：方法1：x M ∀∈，先求出x 在集合M 的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为k ，可以用k 表示出M 的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和.∴求集合M 所有非空子集的交替和的总和.【答案】（1）12；（2）∴672，∴192【分析】（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案.（2）∴求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M 中各数字出现的次数，即可得答案.∴分别求得集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和总和，根据规律，总结出n 个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案.【详解】（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，集合{2，1}的交替和为2-1=1，集合{3，1}的交替和为3-1=2，集合{3，2}的交替和为3-2=1，集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2，所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.（2）∴集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现242=次，集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}， 其中数字1、2、3、4各出现382=次，在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为42=16，故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现42=16次，同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现52=32次， 所以集合M 所有非空子集的元素和的总和为32(123456)672⨯+++++=.∴设集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和分别为1234,,,S S S S ， 集合{1}的所有非空子集的交替和为11S =集合{1，2}的所有非空子集的交替和212(21)4S =++-=，集合{1，2，3}的非空子集的交替和3123(21)(31)(32)(321)12S =+++-+-+-+-+=， 集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和41234(21)(31)(41)S =++++-+-+-(32)(42)(43)(321)(421)(431)(432)(4321)32+-+-+-+-++-++-++-++-+-=所以根据前4项猜测集合{1,2,,}n ⋅⋅⋅的所有非空子集的交替和总和为12n n S n -=⋅，所以集合M 所有非空子集的交替和的总和5662192S =⨯=【点睛】解题的关键是根据题意，列出非空子集，求得元素和、交替和，总结规律，进行猜想，再代数求解，分析理解难度大，属难题.。