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4-1 绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹1、()()()()54*++=s s s K s H s G解：（1）3个开环极点为：p 1=0，p 2=-4，p 3=-5。
（2）实轴上的根轨迹（-4，0），（-∞，-5）（3）303054011-=----=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,,331212ππππϕ±±=+=-+=k mn k a(4) 分离点：1110d 45d d ++=++ d=-1.47, d=-4.53(舍) （5）与虚轴的交点：在交点处，s=j ω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：()020********=++--=+++*=*K j j K s s sj s ωωωω整理得： 0203=-ωω；092=-*ωK 解得01=ω；203,2±=ω；18092==*ωK 最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。
2、()()()()11.02*++=s s s K s H s G 解：（1）开环极点有3个，分别为：p 1=p 2=-0，p 3=-1，开环零点为z=-0.1 （2）实轴上的根轨迹为：[-1 -0.1] (3) 渐进线有两条，45.0131.010011-=-+--=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,23,2131212ππππϕ±±=-+=-+=k mn k a (4) 分离点：1111d 10.1d d d ++=++ d=0, d=--0.4(舍), d=0.25(舍)分离角：()() ,23,221212ππππϕ±±=+=+=k lk d 最后，精确地画出根轨迹。
4-3 已知系统的开环传递函数为()()()2*1+=s s K s H s G ① 绘制系统的根轨迹图；② 确定实轴上的分离点及K *的值； ③ 确定使系统稳定的K *值范围。
第四章 根轨迹法教学时数：10学时 教学目的与要求：1. 正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。
2. 正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。
熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。
3. 正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统K 从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。
4. 正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。
能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。
5. 了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。
教学重点：根轨迹与根轨迹方程、绘制根轨迹的基本法则、广义根轨迹、系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系、系统阶跃响应的根轨迹分析。
教学难点：根轨迹基本法则及其应用。
闭环控制系统的稳定性和性能指标主要有闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。
根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。
这给系统的分析与设计带来了极大的方便。
§4－1 根轨迹与根轨迹方程一、根轨迹定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K ）从零变到无穷时，闭环特征根在s 平面上移动的轨迹。
当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根轨迹；而负反馈系统的轨迹为180︒根轨迹。
例子 如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：()(0.51)K G s s s =+图4-1 二阶系统结构图开环传递函数有两个极点120,2p p ==-。
没有零点，开环增益为K 。
闭环传递函数为：2()2()()22C s K s R s s s K φ==++闭环特征方程为： 2()220D s s s K =++= 闭环特征根为：1211s s =-+=--从特征根的表达式中看出每个特征根都随K 的变化 而变化。
自动控制原理第二版第四章课后答案【篇一：《自动控制原理》第四章习题答案】4-1 系统的开环传递函数为g(s)h(s)?k*(s?1)(s?2)(s?4) 试证明点s1??1?j3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益k*和开环增益k。
解若点s1在根轨迹上，则点s1应满足相角条件?g(s)h(s)??(2k?1)?，如图解4-1所示。
对于s1= -1+j3，由相角条件?g(s1)h(s1)?0??(?1?j3?1)??(?1?j3?2)??(?1?j3?4)? 0??2??3??6???满足相角条件，因此s1= -1+j3在根轨迹上。
将s1代入幅值条件： g(s1)h（s1?k*?1?1?j3?1??1?j3?2??1?j3?4k8*解出： k=12 ，k=*?324-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。
解根轨如图解4-2所示：4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ g(s)?ks(0.2s?1)(0.5s?1)k(s?5)s(s?2)(s?3)* ⑵ g(s)?⑶ g(s)?k(s?1)s(2s?1)解⑴ g(s)?ks(0.2s?1)(0.5s?1)=10ks(s?5)(s?2)系统有三个开环极点：p1?0,p2= -2,p3 = -5①实轴上的根轨迹：???,?5?, ??2,0?0?2?57?????a??33②渐近线： ????(2k?1)????,?a?33?③分离点：1d?1d?5?1d?2?0解之得：d1??0.88，d2?3.7863(舍去)。
④与虚轴的交点：特征方程为 d(s)=s3?7s2?10s?10k?0?re[d(j?)]??7?2?10k?0令 ? 3im[d(j?)]????10??0?解得?????k?7。
根轨迹如图解4-3(a)所j）与虚轴的交点（0，?示。
⑵根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：??5,?3?, ??2,0?0?2?3?(?5)????0a??2②渐近线： ????(2k?1)????a?22?③分离点： 1d?1d?2?1d?3?1d?5用试探法可得 d??0.886。
实验一 典型环节的电路模拟一、实验目的1．熟悉THKKL-5型 控制理论·计算机控制技术实验箱及“THKKL-5”软件的使用； 2．熟悉各典型环节的阶跃响应特性及其电路模拟；3．测量各典型环节的阶跃响应曲线，并了解参数变化对其动态特性的影响。
二、实验设备1．THKKL-5型 控制理论·计算机控制技术实验箱；2．PC 机一台(含“THKKL-5”软件)、USB 数据采集卡、37针通信线1根、16芯数据排线、USB 接口线。
三、实验内容1．设计并组建各典型环节的模拟电路；2．测量各典型环节的阶跃响应，并研究参数变化对其输出响应的影响。
四、实验原理自控系统是由比例、积分、微分、惯性等环节按一定的关系组建而成。
熟悉这些典型环节的结构及其对阶跃输入的响应，将对系统的设计和分析十分有益。
本实验中的典型环节都是以运放为核心元件构成，其原理框图 如图1-1所示。
图中Z 1和Z 2表示由R 、C 构成的复数阻抗。
1．比例（P ）环节比例环节的特点是输出不失真、不延迟、成比例地复现输出信号的变化。
图1-1 它的传递函数与方框图分别为：KS U S U S G i O ==)()()(当U i (S)输入端输入一个单位阶跃信号，且比例系数为K 时的响应曲线如图1-2所示。
2．积分（I ）环节 图1-2积分环节的输出量与其输入量对时间的积分成正比。
它的传递函数与方框图分别为：设U i (S)为一单位阶跃信号，当积分系数为T 时的响应曲线如图1-3所示。
TsS U S Us G i O1)()()(==图1-33．比例积分(PI)环节比例积分环节的传递函数与方框图分别为：)11(11)()()(21211212CSR R R CSR R R CSR CS R S U S U s G i O +=+=+==其中T=R 2C ，K=R 2/R 1设U i (S)为一单位阶跃信号，图1-4示出了比例系数(K)为1、积分系数为T 时的PI 输出响应曲线。
4-1 根轨迹法使用于哪类系统的分析?4-2 为什么可以利用系统开环零点和开环极点绘制闭环系统的根轨迹?4-3 绘制根轨迹的依据是什么?4-4 为什么说幅角条件是绘制根轨迹的充分必要条件?4-5 系统开零环、极点对根轨迹形状有什么影响？4-6 求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。
(1))2)(1()3()(+++=s s s K s W g K (2))2)(3()5()(+++=s s s s K s W g k (3) )10)(5)(1()3()(++++=s s s s K s W g k解：第（1）小题 由系统的开环传递函数)2)(1()3()(+++=s s s K s W g K 得知1． 起点：0=g K 时，起始于开环极点，即 11-=-p 、22-=-p2． 终点：=∝g K 时，终止于开环零点，31-=-z3． 根轨迹的条数，两条，一条终止于开环零点，另一条趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间为3~-∝-和1~2--5． 分离点与会合点，利用公式0312111=+-+++d d d ()()()()()()()()()0321213132=+++++-+++++d d d d d d d d d 即：0762=++d d解上列方程得到：586.11-=d ，414.42-=d根据以上结果画出根轨迹如下图：解：第（2）小题 由系统的开环传递函数)2)(3()5()(+++=s s s s K s W g K 得知1． 起点：0=g K 时，起始于开环极点，即 00=-p 、21-=-p 、32-=-p2． 终点：=∝g K 时，终止于开环零点，51-=-z3． 根轨迹的条数，三条，一条终止于开环零点，另两条趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间为3~5--和0~2-5． 分离点与会合点，利用公式05131211=+-++++d d d d 8865.0-=d6． 根轨迹的渐进线 渐进线倾角为：0009013)21(180)21(180 =-+=-+=μμϕm n 渐进线的交点为：01352311=--+=---=-∑∑==m n z p m i in j j k σ 根据以上结果画出根轨迹如下图：解：第（3）小题 由系统的开环传递函数)10)(5)(1()3()(++++=s s s s K s W g K 得知1． 起点：0=g K 时，起始于开环极点，即 10-=-p 、51-=-p 、102-=-p2． 终点：=∝g K 时，终止于开环零点，31-=-z3． 根轨迹的条数，三条，一条终止于开环零点，另两条趋于无穷远。
徐丽娜08011308 东南大学自动化学院 实 验 报 告
课程名称： 控制基础 第 4 次实验
实验名称： 串联校正研究 院 （系）： 自动化学院 专 业： 自动化 姓 名： 徐丽娜 学 号： 08011308 实 验 室： 416 实验组别： 同组人员： 刘燊燊 实验时间： 2013年 12月 20日 评定成绩： 审阅教师： 徐丽娜08011308 一、实验目的： （1） 熟悉串联校正的作用和结构 （2） 掌握用Bode图设计校正网络 （3） 在时域验证各种网络参数的校正效果
二、实验原理： （1）校正的目的就是要在原系统上再加一些由调节器实现的运算规律，使控制系统满足性能指标。 由于控制系统是利用期望值与实际输出值的误差进行调节的，所以，常常用“串联校正”调节方法，串联校正在结构上是将调节器Gc(S)串接在给定与反馈相比误差之后的支路上，见下图。
实际上，校正设计不局限这种结构形式，有局部反馈、前馈等。若单从稳定性考虑，将校正网络放置在反馈回路上也很常见。 （2）本实验取三阶原系统作为被控对象，分别加上二个滞后、一个超前、一个超前-滞后四种串联校正网络，这四个网络的参数均是利用Bode图定性设计的，用阶跃响应检验四种校正效果。由此证明Bode图和系统性能的关系，从而使同学会设计校正网络。
三、实验设备： THBDC-1实验平台 THBDC-1虚拟示波器
四、实验线路：
五、实验步骤：
设定 校正网络Gc(S) 被控对象H(S) 徐丽娜08011308 （1）不接校正网络，即Gc(S)=1，如总图。观察并记录阶跃响应曲线，用Bode图解释； （2）接人参数不正确的滞后校正网络，如图4-2。观察并记录阶跃响应曲线，用Bode图解释； （3）接人参数较好的滞后校正网络，如图4-3。观察并记录阶跃响应曲线，用Bode图解释； （4）接人参数较好的超前校正网络，如图4-4。观察并记录阶跃响应曲线，用Bode图解释； （5）接人参数较好的混合校正网络，如图4-5，此传递函数就是工程上常见的比例-积分-微分校正网络，即PID调节器。观察并记录阶跃响应曲线，用Bode图解释；
六、预习与回答： （1） 写出原系统和四种校正网络的传递函数，并画出它们的Bode图，请预先得出各种校正后的阶跃响应结论，从精度、稳定性、响应时间说明五种校正网络的大致关系。 （2） 若只考虑减少系统的过渡时间，你认为用超前校正还是用滞后校正好？ （3） 请用简单的代数表达式说明用Bode图设计校正网络的方法
七、报告要求： （1）画出各种网络对原系统校正的BODE图，从BODE图上先得出校正后的时域特性，看是否与阶跃响应曲线一致。 （2）为了便于比较，作五条阶跃曲线的坐标大小要一致。 八、预习题回答 一、 预习思考 （1）写出原系统和四种校正网络的传递函数，并画出它们的Bode图，请预先得出各种校正后的阶跃响应结论，从精度、稳定性、响应时间说明五种校正网络的大致关系。
答：原系统开环传递函数：)1051.0)(1094.0)(12.0(2.10)(ssssG
原系统的Bode图： 徐丽娜08011308 1、参数不好的校正网络的传递函数为： 11()0.21Css 该校正网络的Bode图：
由校正环节的Bode图发现，加上该滞后环节之后，会将系统的幅频特性曲线中高频段部分拉低，使得系统的截止频率变小，相角裕度变大。但由于该环节的转折频率为5srad/，与原系统的转折频率相同，起到负面影响。 截止频率减小，系统的响应时间和调节时间将会变长，从而对系统的瞬态性能造成影响。增加该校正环节也有可能影响系统的稳定性，使原系统不再稳定。 同时由于加入该环节后并不影响到系统的型别，且开环增益不变，所以系统的稳态性能不受影响。对于阶跃输入其响应仍存在一个稳态误差。
2、滞后校正网络的传递函数为：21()41Css 该校正网络的Bode图： 徐丽娜08011308 由校正环节的Bode图发现，加上该滞后环节之后，会将系统的幅频特性曲线中高频段部分拉低，使得系统的截止频率变小，相角裕度变大。 截止频率减小，系统的响应时间和调节时间将会变长，从而对系统的瞬态性能造成影响。同时，对比参数不好的滞后校正环节可以发现系统的稳定性能得以保证。 同时，加入该环节之后，系统的开环增益不变，型别不变，即稳态性能和稳态精度不受影响。存在一个稳态误差。
3、超前校正网络的传递函数为：1011.010010)(3sssC 该校正网络的Bode图： 徐丽娜08011308 由校正环节的Bode图发现，加入该超前校正环节，会将系统的幅频特性曲线部分抬高，从而使系统的截止频率增大。截止频率增大，系统的响应时间和调节时间将会变短，从而能改善系统的瞬态性能，快速性变好。 该校正环节产生的超前角，能使得相角裕度增大，系统的相对稳定性得到增强。 该环节依旧不改变系统的开环增益及型别，故其对系统的稳态性能没有影响。
4、PID校正网络的传递函数为：sssssC201.00002.013.002.0)(224 该校正网络的Bode图： 徐丽娜08011308 分析该校正环节的传递函数可以发现，该环节相当于一个超前校正环节、一个积分环节和一个微分环节的串联。 在低频段，积分环节和微分环节的作用相互抵消。 由前面的分析可知，超前校正环节能增加系统的截止频率，调节时间变短，系统瞬态性能得以改善；同时增大相角裕度，系统的相对稳定性增强。
由于加入该环节的同时，加入了一个纯积分环节s1，系统变为I型，稳态性能变化，系统对于阶跃输入的响应的稳态误差为0。
（2）、若只考虑减少系统的过渡时间，你认为用超前校正还是用滞后校正好？ 只从减小过渡时间的角度看，应该使用超前调节比较好。因为超前调节会使得开环传递函数对应的Bode曲线与0值交点对应的w的值变大。 由开环传递函数与闭环传递函数的关系可以知道，当开环传递函数绝对值稳定的达到1时，系统达到了调节目的。由频域分析与时域分析的关系可知，w越大，也就意味着调节时间的减小。故应该选择超前调节。
（3）请用简单的代数表达式说明用Bode图设计校正网络的方法 答：超前环节：11)(TsssC，>>T，其中1s起主要作用；
滞后环节：11)(TsssC，<超前滞后(PID)环节：)1)(1()1)(1()(2121sTsTssssC，是两者综合作用的结果。 徐丽娜08011308 校正环节与BODE图关系： （1）超前环节作用于系统BODE图的中频段，“抬高”部分幅频特性曲线使截止频率增大，并利用超前校正装置产生的相位超前效应，提供超前角，相角增大，相位裕度增加； （2）滞后环节作用于系统BODE图的中高频段，不衰减低频特性，从而“拉低”部分幅频特性曲线使截止频率减小，相角裕度增加，提高系统的相对稳定性；
（3）PID环节是超前滞后校正的综合，由于可以加入纯积分环节s1，提高系统的型别，对于阶跃输入，其稳态误差为零。 九、实验数据分析 1、原系统的Bode图：
原系统实验所得的阶跃响应曲线： 徐丽娜08011308
阶跃响应曲线振荡，并在一定的振荡后趋于稳定，有可能是临界稳定。 同时，由系统的Bode图可以发现，此时系统的幅值裕度和相角裕度都很小，大致可以认为属于系统处于临界稳定状态。 实验所得与预先所得的结论一致。 计算：
输出最大电压y=4.5641
稳定电压0y=5.386 超挑量%=84.74% 调节时间st=16.3742
2、加入参数不好的校正网络的传递函数为：)12.0)(1051.0)(1094.0)(12.0(2.10)(sssssG 系统的Bode图： 徐丽娜08011308 实验得系统的阶跃响应曲线： 由幅频特性曲线可知，在加入该惯性环节后，幅频特性部分拉低，系统的截止频率变小。但由于参数设置的不合适，在0)(cL前，已经出现了负穿越，同时系统没有开环右极点，所以系统不稳定。发生了自激震荡。 实验所得与预先所得的结论一致。 徐丽娜08011308 3、加入滞后校正网络的传递函数为：)14)(1051.0)(1094.0)(12.0(2.10)(sssssG 系统的Bode图：
实验得系统的阶跃响应曲线： 加入参数合适的滞后校正环节，系统的截止频率变低，相角裕度增大，系统处于稳定状态。同时由于c减小，调节时间会变长。由实验曲线可知，系统超调量适当，调节时间变长；系统为0型，所以对于徐丽娜08011308 阶跃输入其响应存在一个稳态误差。 实验所得与预先所得的结论一致。 计算：
输出最大电压y=1.7910v
稳定电压0y=3.768v 超挑量%=47.53% 调节时间st=5.2569s
4、加入超前校正网络的传递函数为：)1011.0)(1051.0)(1094.0)(12.0()10010(2.10)(ssssssG 系统的Bode图：
实验得系统的的阶跃响应曲线：
