初二数学竞赛辅导资料(共12讲)

八年级数学竞赛辅导材料（上）17、奇数偶数18、式的整除19、因式分解20、代数恒等式的证明21、比较大小22、分式23、递推公式24、连续正整数的性质25、十进制的记数26、法选择题解法（一）27、识图28、三角形的边角性质初中数学竞赛辅导资料（17）奇数 偶数一、内容提要1． 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被2整除的整数是奇数，如－1，1，3。

如果n 是整数，那么2n 是偶数，2n －1或2n+1是奇数。

如果n 是正整数，那么2n 是正偶数，2n-1是正奇数。

2． 奇数、偶数是整数的一种分类。

可表示为：整数ìïïíïïî奇数偶数或 整数集合 就不是整数。

3． 奇数偶数的运算性质：奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，两个連续整数的和是奇数，积是偶数。

二、例题例1 求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数证明：设k 为整数，那么2k －1是任意奇数，（2k －1）2－1＝4k 2－4k ＋1－1＝4k(k －1)∵k(k －1)是两个連续整数的积，必是偶数 ∴4k(k －1)是8的倍数即任意奇数的平方减去1是8的倍数例2 已知：有n 个整数它们的积等于n ，和等于0求证：n 是4的倍数证明：设n 个整数为x 1,x 2,x 3,…x n 根据题意得 1231230n n x x x x n x x x x ì=ïïíï++++=ïî ①② 如果n 为正奇数，由方程（1）可知x 1,x 2,x 3,…x n 都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的0，所以n 一定是偶数；当n 为正偶数时，方程（1）左边的x 1,x 2,x 3,…x n 中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2个。

初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料初一上目录1数的整除（一） 2倍数约数 3质数合数4 零的特性5a n的个位数6数学符号 7用字母表示数 8 抽屉原则初一下目录9一元一次方程解的讨论10二元一次方程的整数解11二元一次方程组解的讨论12用交集解题13用枚举法解题14经验归纳法15乘法公式16整数的一种分类初二上目录17 奇数偶数18 式的整除19因式分解20 恒等式证明21 比较大小22 分式23递推公式24 连续正整数25 十进制的记数法26 选择题解法(一)27识图28三角形边角性质初中数学竞赛辅导资料初二下目录29概念的定义30概念的分类31勾股定理32中位线33同一法34 反证法35两种对称36三点共线37不等关系38、垂直平行39线段、角相等40线段、角和差倍分41线段的比、积、幂42形如1/a+1/b=1/c问题的证明43面积法44数的整除（二）初三上目录45一元二次方程46完全平方式（数）47配方法48非负数49对称式50 基本对称式51待定系数52换元法53 条件等式54整数解55未知数多于方程的个数56列表法57逆推法58观察法59“或者”“并且”60解三角形初三下目录61函数的图象62绝对值63动态几何的定值64最大最小值65图象法66辅助圆67参数法证平几68选择题(二)69数的整除(三) 70正整数简单性质的复习美文欣赏1、走过春的田野，趟过夏的激流，来到秋天就是安静祥和的世界。

秋天，虽没有玫瑰的芳香，却有秋菊的淡雅，没有繁花似锦，却有硕果累累。

秋天，没有夏日的激情，却有浪漫的温情，没有春的奔放，却有收获的喜悦。

清风落叶舞秋韵，枝头硕果醉秋容。

秋天是甘美的酒，秋天是壮丽的诗，秋天是动人的歌。

2、人的一生就是一个储蓄的过程，在奋斗的时候储存了希望；在耕耘的时候储存了一粒种子；在旅行的时候储存了风景；在微笑的时候储存了快乐。

聪明的人善于储蓄，在漫长而短暂的人生旅途中，学会储蓄每一个闪光的瞬间，然后用它们酿成一杯美好的回忆，在四季的变幻与交替之间，散发浓香，珍藏一生！3、春天来了，我要把心灵放回萦绕柔肠的远方。

初二数学竞赛辅导资料（共12讲）目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。

重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。

本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。

另外，在本次培训中，内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容。

其中《因式分解》为初二下册内容，但是考虑到它的重要性和工具性，将在本次培训进行具体解读。

注：有(某)标注的为选做内容。

本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲第二讲第三讲第四讲第五讲第六讲第七讲实数（一）实数（二）平面直角坐标系、函数一次函数（一）一次函数（二）全等三角形直角三角形与勾股定理株洲市初二数学竞赛模拟卷（未装订在内，另发）竞赛中整数性质的运用不定方程与应用因式分解的方法因式分解的应用考试（未装订在内，另发）试卷讲评第八讲第九讲第十讲第十一讲第十二讲第十三讲第十四讲第1讲实数（一）【知识梳理】一、非负数：正数和零统称为非负数1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a|≥0在数轴上，表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值，用|a|来表示(a0)a(a0)设a为实数，则|a|0aa0绝对值的性质：①绝对值最小的实数是0②若a与b互为相反数，则|a|＝|b|；若|a|＝|b|，则a＝±b③对任意实数a，则|a|≥a，|a|≥－a④|a2b|＝|a|2|b|，|a|a|(b≠0)|b|b|⑤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|（2）实数的偶次幂是非负数如果a为任意实数，则a2n≥0（n为自然数），当n＝1时，a2≥0（3）算术平方根是非负数，即a≥0，其中a≥0.算术平方根的性质：a2(a0)aa（a≥0）a2|a|＝0(a0)aa02、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零（3）若非负数不大于零，则此非负数必为零3、对于形如a的式子，被开方数必须为非负数；4、aa推广到a的化简；33nn5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。

目录本内容适合七年级进八年级学生暑假提高使用。

重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。

本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，是学生提高数学水平的好资料。

另外，在本次培训中，我们适当安排了函数方面的内容，给学生以学习上的提前量，对培养学生的学习兴趣有一定的帮助。

本次暑假培训具体计划如下，以供参考：第一讲全等三角形辅助线作法与证明技巧第二讲实数第三讲一次函数与反比例函数第四讲整式的运算第五讲因式分解第六讲竞赛中质数合数第七讲数学竞赛中的不定方程第八讲竞赛中整除的基本性质第九讲2007年希望杯全国数学竞赛试题第十讲“希望杯’’全国数学邀请赛初二第2试第十一讲初二竞赛思维训练第十二讲逻辑推理问题第十三讲考试图论思想第十四讲试卷讲评归纳与枚举第一讲 全等三角形辅助线作法与证明技巧全等三角形辅助线作法与证明技巧： 一：基础巩固：1. △ABC 中, AB=5, AC=a , BC 边上的中线AD=4, 则a 的取值范围为 （ ） A. 35a << B. 39a << C. 310a << D. 313a <<2. 如图,在等腰△ABC 中, 顶角100BAC ∠=o,延长AB 到D,AD BC =,则BCD ∠= （ ）A. 10oB. 15oC. 20oD. 30o3. 如图,123∠=∠=∠,DE DF =,则下面结论一定成立的是 （ ）A. AE FC =B. AE DE =C. AE FC AC +=D. AD FC AB +=4. 在矩形ABCD 中 ,16,8AB BC ==,将矩形沿对角线AC 折叠, 点D 落在E 点处, 且CE 与AB 交于点F, 则AF = 。

5如图所示, 60,30ABC BCD AD BC ∠=∠=+=o,BD 平分ABC ∠,//AD BC ,则四边形ABCD 的周长是 。

6. 如图所示, 在△ABC 中, AB BC AD ==, 则α与β的关系是（ ）A. 90αβ+=oB. 2180αβ+=oC. 3180αβ-=oD. 3180αβ+=o7. 等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角等于（ ）A. 30oB. 30o 或150oC. 120o 或150oD. 30o 、120o 或150o8. 如图所示, 六边形ABCDEF 中, A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠, 且11,3AB BC FA CD +=-=, 则BC DE += 。

淮安外国语学校初二数学竞赛辅导专题一概率概率是新课程增加的内容之一，概率题不只以“投骰子”和“扑克牌”为背景，更多是以生活实际、游戏和新课程核心内容为背景。

1.概率与实际问题例1.甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是 .例2.某省N市和S市之间每天有往返飞机航班各2趟，设从N 市飞往S市的航班为A、B，从S市飞往N 市的航班为以a、b，业务员小路和小乔同一天从N市飞往S市，第二天又从S市飞回N 市，如果他们可选择任一航班往返．求：(1)选择同一航班从N市飞往S市的概率是多少?(2)选择相同航班往返的概率是多少?解答中请用列表法或树形图分析．2.概率与函数例3.六个面上分别标有1 ,1 ,2 ,3 ,3 ,5六个数字的均匀立方体表面如图 3 所示. 掷这个立方体一次,记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标,朝下一面的数为该点的纵坐标. 按照这样的规定,每掷一次该立方体,就能得到平面内的一个点的坐标. 已知小明前两次掷得的两个点能确定一条直线l ,且这条直线l 经过点(4 ,7) . 那么,他第三次掷得的点也在这条直线上的概率是 .例4：（2013•恩施州）一个不透明的袋子里装有编号分别为1、2、3的球（除编号以为，其余都相同），其中1号球1个，3号球3个，从中随机摸出一个球是2号球的概率为．（1）求袋子里2号球的个数．（2）甲、乙两人分别从袋中摸出一个球（不放回），甲摸出球的编号记为x，乙摸出球的编号记为y，用列表法求点A（x，y）在直线y=x下方的概率．3.概率与几何问题例5（2013•临沂）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1（1，0），A2（2，0），B1（0，1），B2（0，2），分别以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（）B C D纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是．例7.一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4，口袋外有两张卡片，分别写有数字2，3，现随机从口袋里取出一张卡片，求这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率是.例8. 长为1、2、3、4、5的线段各一条，从这5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为．例9.（2013•苏州）如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点分别位于小正方形的顶点上．(1)现以D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不全．．等．但面积相等的三角形是（只需要填一个三角形）；(2)先从D，E两个点中任意取一个点，再从F，G，H三个点中任意取两个不同的点，以所取的这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC面积相等的概率（用画树状图或列表格求解）．4.概率与游戏概率起源于游戏和赌博，所以概率以游戏作为背景就不足为怪了．例10. (田忌赛马)齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马．田忌在按图7的方法比赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图8的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛．假如在不知道齐王出马顺序的情况下，田忌能赢得比赛的概率？例11. 甲、乙两同学下棋，胜一盘得2分，和一盘各得1分，负一盘得0分．连下三盘，得分多者胜．甲取胜的概率是．例12. 一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行．裁判在黑板上先写出正整数2，3，⋯，2006，然后随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数(即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去另一个数，如此下去)．若最后剩下的两个数互质，则判甲胜，否则，判乙胜．按照这种游戏规则，求甲获胜的概率．(用具体的数字回答)链接中考：1.（2013兰州）某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为兰州国际马拉松赛的志愿者，则选出一男一女的概率是．2. （2013•江西）甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．（1）下列事件是必然事件的是（）．A．乙抽到一件礼物B．乙恰好抽到自己带来的礼物C．乙没有抽到自己带来的礼物D．只有乙抽到自己带来的礼物（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A），请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．3. （2013•荆门）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时：（1）求三辆车全部同向而行的概率；（2）求至少有两辆车向左转的概率；（3）由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为．目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．。

初二数学竞赛班讲义第一讲因式分解(一) (1)第二讲因式分解(二) (10)第三讲实数的若干性质和应用 (17)第四讲分式的化简与求值 (26)第五讲恒等式的证明 (34)第六讲代数式的求值 (44)第七讲根式及其运算 (52)第八讲非负数 (63)第九讲一元二次方程 (73)第十讲三角形的全等及其应用 (81)第十一讲勾股定理与应用 (90)第十二讲平行四边形 (101)第十三讲梯形 (108)第十四讲中位线及其应用 (116)第十五讲相似三角形(一) (124)第十六讲相似三角形(二) (132)第十八讲归纳与发现 (153)第十九讲特殊化与一般化 (162)第二十讲类比与联想 (171)第二十一讲分类与讨论 (180)第二十二讲面积问题与面积方法 (188)第二十三讲几何不等式 (197)第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 (222)第二十七讲列方程解应用问题中的量与等量 (230)第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题(一) (239)第二十九讲生活中的数学(一) (247)第三十讲生活中的数学(二) (254)复习题 (260)自测题 (268)自测题一 (268)自测题二 (270)自测题三 (271)自测题四 (273)自测题五 (274)复习题解答 (276)自测题解答 (304)自测题一 (304)自测题二 (309)自测题三 (314)自测题四 (321)自测题五 (327)第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc ≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．第二讲因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x 的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．第三讲实数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的．性质1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．例1分析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．证设两边同乘以100得②-①得99x=261.54-2.61=258.93，无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．性质2 设a为有理数，b为无理数，则(1)a+b，a-b是无理数；有理数和无理数统称为实数，即在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，可以比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．例2分析证所以分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．证用反证法．所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得4m2＝2q2，q2＝2m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．分析设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．证将原式变形为(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，则反之，显然成立．说明本例的结论是一个常用的重要运算性质．是无理数，并说明理由．整理得由例4知a＝Ab，1=A，说明本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结有理数作为立足点，以其作为推理的基础．例6 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．分析只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．证因为a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以说明构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法．例7 已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存在无理数α，使得a＜α＜b成立？即由①，②有存在无理数α，使得a＜α＜b成立．b4+12b3+37b2+6b-20的值．分析因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20 =52+5-20=10．例9 求满足条件的自然数a，x，y．解将原式两边平方得由①式变形为两边平方得例10 设a n是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3，…，求证：0.a1a2a3…a n…是有理数．分析有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证0.a1a2a3…a n…是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．证计算a n的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…发现：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：a k+20=a k，若此式成立，说明0.a1a2…a n…是由20个数字组成循环节的循环小数，即下面证明a k+20=a k．令f(n)=12+22+…+n2，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2=10(2n2+42·n)+(12+22+…+202)．由前面计算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍数，故a k+20=a k成立，所以0.a1a2…a n…是一个有理数．练习三1．下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？为什么？5．设α，β为有理数，γ为无理数，若α+βγ=0，求证：α=β=0．第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1 化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2 求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．练习四1．化简分式：2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值．第五讲恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．证因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且证令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，则又因为所以所以说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．2．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3 求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．证因为所以所以说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．同理所以所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．说明本例采用的是比商法．3．分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．证要证a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要证a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要证ab=ac+bc，只要证c(a+b)=ab，只要证这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立．说明本题采用的方法是典型的分析法．例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．证由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以a＝b，c=d．所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以a＝c．故a=b＝c=d成立．说明本题采用的方法是综合法．4．其他证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0．a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)．所以6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)．以上三式相加，得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a-b+b-c+c-a)，即8a+9b+5c=0．说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8 已知a+b+c=0，求证2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立．说明本题证明过程中主要是进行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．证由已知说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例10 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc．联想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以将①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以a3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．说明由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x2y2z2=1．分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．证由已知有①×②×③得x2y2z2=1．说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．练习五1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．2．证明：(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．3．求证：5．证明：6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：x=y=z或x+y+z=0．7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．第六讲代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：。

目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。

注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。

本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。

另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。

注：有(*) 标注的为选做内容。

本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（一）第三讲平行四边形（二）第四讲梯形第五讲中位线及其应用第六讲一元二次方程的解法第七讲一元二次方程的判别式第八讲一元二次方程的根与系数的关系第九讲一元二次方程的应用第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形第十二讲专题复习三：相似三角形第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

目录本资料共分四个模块：分别讲述完八年级上册内容与八年级下册前两章，为秋季的学习打下预科基础。

模块一：第一讲整式的乘法第二讲乘法公式第三讲整式的除法与提公因式法第四讲因式分解第五讲数学竞赛中的因式分解应用模块二：第六，七讲分式的运算与分式方程模块三：第八讲变量与函数第九讲正比例函数与一次函数第十讲用函数的观点看方程与不等式模块四：第十一讲勾股定理第十二讲勾股定理的逆定理第十三讲考试与总复习第十四，十五讲全等三角形与一次函数提高练习第一讲 整式的乘法一、课标要求（学习本章节需要达到的目的）1、掌握同底数幂的乘法；2、幂的乘方；3、积的乘方；4、整式的乘法法则及运算规律.教学重点：同底数幂的乘法及幂的乘方、积的乘方运算. 教学难点：整式的乘法. 二、知识疏理知识点1：同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

nm n m a a a +=⋅(m, n 都是正整数)。

例1：计算。

(1)4322⨯ (2)251010⨯(3)54x x ⋅知识点2：幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。

mnn m a a =)((m, n 都是正整数)注意：nm n m a a ≠)(例2：计算。

(1)(32)3(2)(a m )2(3)―(x m )5(4)(a 2)3·a 5知识点3：积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

(ab )n ＝a n b n(n 为正整数)例3：计算。

(1)(ab )4(2)322)(y x -(3))()(2352xy x -⋅(4)322)(ab (5)22110⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛10知识点4：单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例4：计算：知识点5：单项式与多项式相乘的乘法法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

一元方程的解也叫做根。

例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。

2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后，讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab ； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。

（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解②无解③有无数多解④是正数解例2 k 取什么整数值时，方程①k (x +1)=k －2（x －2）的解是整数②（1－x ）k =6的解是负整数例3 己知方程a (x －2)=b (x +1)－2a 无解。

问a 和b 应满足什么关系例4 a 、b 取什么值时，方程（3x －2）a +（2x －3）b =8x －7有无数多解第三部分 典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。

精品文档姓名：八年级（下）数学竞赛班辅导资料（1）原班级：）等腰三角形的性质（1【一】等腰三角形有哪些性质？；（1）等腰三角形两底角_________________________________________________. ）等腰三角形具有“三线合一”的性质；“三线”指（2. 对称图形(3)对称性：等腰三角形是______A【二】例题精讲 1）等腰三角形两个内角的度数之比为1:2，这个等腰三角形例1 47底角的度数______________2cb）等腰AB的三边均为整数，且满则这样的三角形共__________. ________________.的度数AB=AC,BG=BH,AK=KG则BA2 如图，3（2012?淮安阅读理折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分如，AB中，沿BA的平分A重合，无论折叠多少次折叠，与叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿的平分n+的好角只要最后一次恰好重合，BA是AB，沿等腰三角AB顶角BA 小丽展示了确定BA是AB的好角的两种情形．情形一：如折叠，剪掉重复部分；将余BA的平分A折叠，A与重合；情形二：如，沿平分重合的平分折叠，此时与部分沿探究发_______填“是”或“不是”BAB=经过两次折叠是不是AB的好角中 AB）之间的＞的好角，请探究AB与（不妨设）小丽经过三次折叠发现了 BA是）（不妨设＞BA量关系．根据以上内容猜想：若经次折叠是AB的好角，则与____________________间的等量关系105°的两个角都是此60°）小丽找到一个三角形，三个角分别15°、60°、105°，发角形的好角4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个请你完成，如果一个三角形的最小角均是此三角形的好角．.精品文档 CB=2∠；分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠ C；BC=2∠B=∠C+∠AA（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A22122∠C=180°∠B+ABC的内角和定理知∠BAC+根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形；∠②，由①②可以求得∠B=3C ；B=n∠C利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠，B的好角，∠A=n∠∠A，∠ABC是△ABC）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC 是△ABC的好角，∠C=n（3、16、168；4、172；8∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是；88°、88°．44、132160；的好角；是△ABCC中，∠B=2∠，经过两次折叠，∠BAC解答：解：（1）△ABC ，理由如下：小丽展示的情形二中，如图3 折叠，的平分线AB∵沿∠BAC1；AAB∴∠B=∠11重合，与点CAB折叠，此时点BC又∵将余下部分沿∠BA的平分线11121；∠C∴∠ABC=11 C（外角定理），A∠C+∠B∵∠AAB=1111ABC的好角．C，∠BAC是△∴∠B=2∠故答案是：是；CBA折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠BAC如图所示，在△ABC中，沿∠的平分线AB（2）∠B=3∠C；111BAC 重合，则∠C折叠，点B与点BAC的平分线AB折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠的平分线AB2232212的好角．是△ABC ，AAB，∠ABC=∠∠证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AAB，∠C=ABC211 CC+∠ABC=2∴根据三角形的外角定理知，∠AAB=∠21222 B-2∠C=180°，C=∠BAC+2∠B∠221211；∠B+∠AA-∠AB∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+11 11 B+∠C=180°，的内角和定理知，∠BAC+∠ABC根据三角形 C；∴∠B=3∠的好角；BAC是△ABCC由小丽展示的情形一知，当∠B=∠时，∠的好角；BAC是△ABC由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠的好角；是△ABCB=3∠C时，∠BAC由小丽展示的情形三知，当∠ C；）之间的等量关系为∠B=n∠CABC是△的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠n故若经过次折叠∠BAC是好角，∴∠B=4n°；2）知设∠A=4°，∵∠C（3）由（4+4n+4mn=180为正整数得、nA是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m∵∠88°、132；；16、16044、；、；、三角形另外两个角的度数是∴如果一个三角形的最小角是4°，41728168 88°．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．【三】练一练.精品文档36?，则该等腰三角形的底角的度数为等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为___________.1.63?或27??????BAC、?EABAA?、BBDBCAB?BB?AA的度数为_____.,分别是的平分线，若则2.如图，ACB'EDB'9ACBA BDAE求证,3如图在AB中AC=BCA上一点交的延长线E AB的角平分.B4某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下设BAC(°9．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射AA上活动一如图甲所示，从开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直为根小棒数学思考(1小棒能无限摆下去吗？答_____填“能”或“不能)(2A===1①θ=______度；②若记小棒AA的长度为a(n为正整n2n-12n数，如AA=a，AA=a，…) 求出此时a，2212314a的值，并直接写出a(用含n的式子表n3示)．活动二：如图乙所示，从点A开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中AA为第1根小棒，且AAAA．111212=数学思考：(3)若已经摆放了3根小棒，θ=______，θ=______，θ=______；(用含θ的式子表示) 312(4)若只能摆放4根小棒，求θ的范围．解：（1）∵根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，∴小棒能继续摆下去．故答案为：能；.精品文档（2）①∵AA=AA，AA⊥AA，∴∠AAA=45°，∴∠AAA+∠θ=45°，1221321223231∵∠AAA=∠θ，∴∠θ=22.5°；12=1+，，AA∴AA =AAA=AA=AA=1，A⊥AA②∵311132223312又∵AA⊥AA，AA∥AA，同理；AA∥AA，∴∠A=∠AAA=∠AAA=∠AAA，∴AA=AA，AA=AA 625213353646142433453354，∴a=AA=AA=a+1)+Aa=AA=AA=1+，a=AAA=a+AA，∵AA=a∴23543323336355522325?1n；=(+1)∴a n2 =(+a（3）∵AA=AA，∴∠AAA=∠AAA=θ，∴∠AAA=θ=θ+θ，∴θ=2θ同理可得：θ=3θ，θ=4θ；4）如图：31112113121222（∵AA=AA，5344∴∠AAA=∠AAA=4θ°，353454∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，当∠AAB是钝角或直角时，不能继续摆放小棒了，45∴当∠AAA是锐角，∠AAB=5θ是钝角或直角时，只能摆放4根小棒，45453∴5θ≥90°，4θ＜90°，即，∴18°≤θ＜22.5°．3θ；4θθ（=22.5（（1）能；2）①∠θ°；②a=(+1)；3）2；n（4）18°≤θ＜22.5°．n?1；本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与相似三角形的性质相结合.精品文档八年级（下）数学竞赛班辅导资料（2）原班级：姓名：等腰三角形的性质（2）一、例题讲解：如图，已知内角度数的三个三角形，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC 分割成两个C等腰三角形．C84°°90°24°24ABBA36C104°52°°72BA CB二、练一练1．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．解：（1）证明：∵CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；（3分）（2）解：当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．（5分）∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形；（7分）（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．∵∠AOD=360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠AOD=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=50°，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵190°﹣α=50°，∴α=140°．综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．（12分）点评：本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力2．（2014?宁波）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：.精品文档定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．考点：相似形综合题；图形的剪拼分析：（1）45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法．（2）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验﹣﹣分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾AEC在同一直线上，易得2种三角形ABC．根据图形易得x的值．（3）因为∠C=2∠B，作∠C的角平分线，则可得第一个等腰三角形．而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图4图形为三分线．则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长．解答：解：（1）如图2作图，（2）如图3 ①、②作△ABC．①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20．②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．（3）如图4，CD、AE就是所求的三分线．设∠B=a，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=a，∠ADE=∠AED=2a，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE=AD=x，BD=CD=y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y=2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2：x=（x+y）：2，:3?2x:y?和．，即三分线长分别是所以联立得方程组，解得?2:yx?:2x(?)?点评：本题考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道很锻炼学生能力的题目．.精品文档姓名：原班级：八年级（下）数学竞赛班辅导资料（3））1 等腰三角形的判定（一、知识要点；相等的三角形是等腰三角形．简称__________________1．等腰三角形的判定方法：（1）两_____ ．相等的三角形是等腰三角形．简称______________________（2）两_____ ．解题技巧：构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用方法有：2 构造等腰三角形；2）“角平分线+垂线”+（1）“角平分线平行线”构造等腰三角形；（构造等腰三角形．）用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形；（4（3）用“垂直平分线”）顶角的平分线．2）底边上的中线；（33．等腰三角形中长作的辅助线：（1）底边上的高；（二、例题精讲. 的度数求∠BAOABC内一点，且∠OBC=10°，∠OCA=20°.在△例1 ABC中 AB=AC ，∠BAC=80°，O为△ A 70°O BC例2 如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，求FC的长.AF9DCM B.精品文档三、练一练上ACBAC=30°，在直线BC或1.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠ C ）是等腰三角形，则符合条件的P点有（取一点P，使得△PABA 个 D.8个个 A. 2个 B. 4 C. 6CB:??1 . 2求：的值ABC2.如图，△中，AD平分∠BAC,AB+BD=AC,A CBBD C?MCA?30?,?MAC?16???44BCA?BAC??.求,M为△ABC2.如图，在△中，ABC内一点，使得?BMC的度数.（北京市竞赛题） 150°BMAC.精品文档姓名：八年级（下）数学竞赛班辅导资料（4）原班级：）等腰三角形的判定（2一、例题精讲三点在一条直线E，A，60两个全等的含30°，°角的三角板ADE和三角板ABC 如图所示放置，C 的形状，并说明理由．ME，MC．试判断△EMC上，连接BD，取BD的中点M，连接EMC解：△是等腰直角三角形．理由如下：连接MA．，∴DA=AB，ED=AC，∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，∴∠DAB=90°，∵△EDA≌△CAB BD（三线合一），MBA=45°，AMDAB是等腰直角三角形．又∵M⊥为∠BD的中点，∴∠MDA=∴△1°，∠BD=MD，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴∠EDM=AM=MAC=1052ED=AC，∠MDE=∠CAM，MD=AM，∴△和△CAM中，MDE≌△MAC．在△MDE∴∠DME=∠AMC，ME=MC，又∵∠DMA=90°，∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°．∴△MEC是等腰直角三角形．二、练一练1．如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A'D'E'的位置，使点E'落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．（1）证明：略（2）解：相等证明：如图，过点E作EG⊥AC于G．又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，∴ED=EG．由平移的性质可知：D'E'=DE，∴D'E' =GE．∵∠ACB=90°．∴∠ACD+∠DCB=90°[来源:Z|xx|]B ∠ACD=∠°．∴D于．∴∠B+∠DCB=90 CD ∵⊥AB '中，'△CEG与Rt△BEDRt在''≌△EGBE'D∴CE=BEC''，EBDCGE=BGCE=∵∠∠，∠∠''CE=DE∴△其它证法可参照给分，）可知由（1CE=CF()．.精品文档2．如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．DMNAB3图C1）证明：如图，(1 NEM．MNE，∠ADM=∠∵EN∥AD，∴∠MAD=∠DM=EM．M为DE的中点，∴∵点NEM中，在△ADM和△AN的中点．．∴M为∴．∴△ADM≌△NEM．∴AM=MN 2，（2）证明：如图°．CBE=∠CEB=45BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠∵△BAD和△．∠NEA=180°∵AD∥NE，∴∠DAE+ ．．∴∠NEC=135°∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∠NEC﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=°∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180 ．，∴AB=NE（已证），∴AD=NE．∵AD=AB∵△ADM≌△NEM 中，和△NEC在△ABC NCE．AC=NC，∠ACB=∠≌△∴△ABCNEC．∴ACN为等腰直角三角形．∠BCE=90°．∴△∴∠ACN= ACN仍为等腰直角三角形．（3）△三点在同一条直线上．N、B、证明：如图3，此时A ．∠DAN=90°EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∵AD∥°=180．°﹣90°°∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360﹣90 °．ABC+∠CBN=180N∵A、B、三点在同一条直线上，∴∠．，∴AD=NE（已证）∠NEC．∵△ADM≌△NEM∴∠ABC= AB=NE，∴．∵AD=AB NEC中，在△ABC和△°BCE=90．∠．∴∠∠，∠．∴≌△∴△ABCNECAC=NCACB=NCEACN= ACN∴△为等腰直角三角形．.精品文档姓名：原班级：八年级（下）数学竞赛班辅导资料（5））等边三角形（1一、知识要点°；．等边三角形的性质：（1）三边相等，三角相等，每个角等于601 ；”（2）每条边上的高线、中线、所对角的平分线互相重合．简称“3）等边三角形内任意一点到三边距离和是一个定值，等于一边上的高．（2．判定等边三角形的基本方法：°；（2）从角入手，证明三角相等或证明两个角都为60（1）从边入手，证明三边相等；°的等腰三角形是等边三角形．（3）从边角入手，有一个角为60 二、例题精讲．、DE，若CE=DE，延长BA到E，使AE=BD，连CE如图，△ABC中，∠B=60°，延长BC到D 是等边三角形．求证：△ABC EACBD三、练一练，则该六边形的周长是，2 5．如图，一个六边形的每个角都是120°，连续四边的长依次是2.7, 3, 120.7____．5:6:7PC、PA、BPC、∠CPA 的大小之比是PB，则以．如图，2P是等边△ABC内部一点，∠APB、∠2:3:4 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是______________．A52372.PBC3．（2013?北京）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．﹣α，=90°∠﹣∠ACB=（180°A），∴∠AB=AC解：（1）∵，∠A=αABC=﹣α；DBC=60°，即∠ABD=30°，∠∠∵∠ABD=ABC﹣∠DBC（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC=BD，∠DBC=60°，.精品文档﹣α，且△BCD∠EBC=30°为等边三角形，DBE=∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°﹣∠BAC=α，BAD=∠CAD=∠ACD ∴△ABD≌△△在△ABD与ACD中，∴∠=α=∠150°BAD，，∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣∵∠BCE=150°在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE，∴△ABE是等边三角形；（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∵∠DEC=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC=CE=BC，EBC=（180°﹣150，∴∠°）=15°，∵∠BCE=150°﹣α=15°，∴αEBC=30°=30°．∵∠4．【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E时线段BC延长线上的任意一点”；“点E时线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．解答：证明：如图一，在B上截取AG，使AG=EC，连接EG，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．∵FC是外角的平分线，∠ECF=120°=∠AGE．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．中，ECF △在△AGE和∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；.精品文档姓名：八年级（下）数学竞赛班辅导资料（6）原班级：）等边三角形（21.问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：．若∠BON=60°，则BM=CN分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，、①如图1，在正三角形ABC中，MN BON=90°，则BM=CN．ADCD、上的点，BM与CN相交于点O，若∠②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是然后运用类比的思想提出了如下的命题：°，则相交于点O，若∠BON=108与、N分别是CD、DE上的点，BMCN③如图3，在正五边形ABCDE 中，M BM=CN．任务要求：（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索：BON，问当∠相交于点O分别是CD、DE上的点，BM与CNM①如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，、N BM=CN成立？（不要求证明）等于多少度时，结论°时，请，当∠BON=108上的点，、AEBM 与CN相交于点O②如图5，在五边形ABCDE中，M、N分别是DE BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．问结论BCN=60°，°，∴∠证明：在图1中，∵∠BON=60CBM+∠解：（1）选命题①，CAN，∴BM=CN°，∴△BCM≌△ACN∠ACN=60°，∴∠CBM=∠，又∵BC=CA，∠BCM=∠∵∠BCN+CAN=60 中，选命题②，证明：在图2 ，∠DCNBCN+∠DCN=90°，∴∠CBM=∵∠BON=90°，∴∠CBM+∠BCN=90°，∵∠ BM=CN，∴，°，∴△BCM≌△CDN又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90 3中，选命题③证明：在图°，BCN=108 BON=108°，∴∠CBM+∠∵∠∵∠BCN+∠DCN=108°，∴∠CBM=∠DCN，又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°，∴△BCM≌△CDN，∴BM=CN；（2）①当∠BON=时，结论BM=CN成立，②BM=CN成立，证明：如图5，连结BD、CE，在△BCD和△CDE中，∵BC=CD，∠BCD=∠CDE=108°，CD=DE，∴△BCD≌△CDE，∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD，∵∠OBC+∠OCB=108°，∠OCB+∠OCD=108°，∴∠MBC=∠NCD，又∵∠DBC=∠ECD=36°，∴∠DBM=∠ECN，∴△BDM≌△ECN。