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圆对称性1

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苏科9上教案 5.2圆的对称性(1)

苏科9上教案 5.2圆的对称性(1)

5.2圆的对称性（1）备课时间: 主备人:一、学习目标:1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程2、理解圆的中心对称性及有关性质3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 重点：理解圆的中心对称性及有关性质难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 二、知识准备：1、什么是中心对称图形?2、我们采用什么方法研究中心对称图形? 三、学习内容：1、按照下列步骤进行小组活动：⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O '⑵在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接AB 、''B A ⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '重合（如图）⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合 在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流 _______________________________________________2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流.你能够用文字语言把你的发现表达出来吗? 3、圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等4、试一试：如图，已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦填空：（1）若AB=CD ，则 ，（2）若AB= CD ，则 ，（3'，则 ，5么如何来刻画弧的大小呢？’’C ︵ ︵弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等例1、如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？例题2、已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？四、知识梳理：1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；2、圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

3.2.1圆的对称性(垂径定理)

3.2.1圆的对称性(垂径定理)

想一想P91 2
驶向胜利 的彼岸
例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD, 点o是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且 oE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
E F
●
老师提示: 注意闪烁 的三角形 的特点. O
设弯路的半径为Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 D CF CD 600 300(m). 2 2 OC 2 CF 2 OF 2 ,即 根据勾股定理, 得
5.已知: AB 和 CD 是⊙O的两条弧,且
AB =2 CD ,则( C )
A.AB=2CD C.AB<2CD B.AB>2CD D.都不对
D F
6.已知直径AB被弦CD分成AE=4, EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
A C
E
O
B
1 2 35 的弦心距OF=____;CD=_____.
垂径定理的应用
弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C A D O
B
挑战自我做一做

4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A H
M
· N 0
G
D
B
E
F
C
挑战自我 做一做
5. 已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6cm， CD=8cm，⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形 （2）求出AB、与CD间的距离。
R
O
做一做P补 8

在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面 垂径定理的应用 如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如 图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.

苏科9上教案 5.2圆的对称性(1)

苏科9上教案 5.2圆的对称性(1)

5.2圆的对称性（1）--( 教案)备课时间: 主备人:一、学习目标:1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程2、理解圆的中心对称性及有关性质3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题重点：理解圆的中心对称性及有关性质难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题二、知识准备：1、什么是中心对称图形?2、我们采用什么方法研究中心对称图形?三、学习内容：1、按照下列步骤进行小组活动：⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O '⑵在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接AB 、''B A⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '重合（如图）⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流_______________________________________________2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流.你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?3、圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等4、试一试：如图，已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦填空：（1）若AB=CD ，则 ，（2）若AB= CD ，则 ，（3'，则 ，5么如何来刻画弧的大小呢？’ ’ C ︵ ︵弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等例1、如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？例题2、已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？四、知识梳理：1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；2、圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

32圆的对称性(1)垂径定理

32圆的对称性(1)垂径定理
九年级数学(下)第三章 圆
2. 圆对称性(1) 垂径定理
想一想P88 1
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称
轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
●O
你能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个
图中相等的线段有 : .
图中相等的劣弧有: .
B M
E D
A OF
C
N
试一试P93 14
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C
A
D
B
O
试一试P93 15
挑战自我画一画
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
想一想P91 9
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③
结论
命题
③④⑤
D 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
问题的?
想一想P88 2
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.

圆的对称性(1)

圆的对称性(1)
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理 及其逆定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造 直角三角形，可解决弦长、半径、弦 心距等计算问题．
2020/2/6
[例一心]段)如，圆右其弧图中(所即C示D图=，中60一C0⌒m条D，，公点E路为O的是C⌒转DC⌒上弯D的一处圆点是， 且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求 这段弯路的半径．
想一想：
1、如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平 分AB的直径CD，交AB于点M．同学们利用圆纸片 动手做一做，然后回答：
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？
2020/2/6
说一说你的理由。
总结得出垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示

∵∴CAMD⊥=BAMB，，A⌒CDD=为⌒B⊙D，O的A⌒C直=径B⌒C.
2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 如图, 弦AB，弦CD
3．直径：经过圆心的弦叫直径。
如图,直径CD
2020/2/6
做一做：按下面的步骤做一做
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下， 把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线， 得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即 垂足．
（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么 ?
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理 2.由总。结得出垂径定理的逆定理：平分弦（不是直 径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示

4.1圆的对称性(1)

4.1圆的对称性(1)

D
想一想
9
A
C M └
●
B
垂径定理及逆定理
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ 结论 命题
O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
1.下列说法不正确的是（ A 平分弦的直径垂直于弦 B C D
）
平分弦的直径也平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
2.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24米，拱的半径为13米，则拱高为_______米
返回
4. ⊙O的直径为10，弦AB=8，P为弦AB上的一动 点，那么OP长的取值范围是______________.
D
③⑤
④⑤
垂径定理的推论（知二推三）
1.直径 2.垂直于弦 4.平分弦所对的劣弧 5.平分弦所对的优弧 3.平分弦
如果把上面的五个量中的任意两个作为条件， 那么就可以推出其余三个结论.
如图，MN所在的直线垂直平分AB， 利用这样的工具，最少两次就可以找 到圆形工件的圆心，你能说出理论依 据吗？
（垂直平分弦的直线必过圆心）
出示例题：课本109页例1

27.1.2圆的对称性(1)


2.在同一个圆（或等圆）中，如果弧相等，那么所 对的圆心角_相__等__、所对的弦__相__等__， 所对的弦
的弦心距_相__等__。
倍 3.在同一个圆（或等圆）中，如果弦相等，那么所
速 课 时 学 练
对的圆心角_相__等__、所对的弧_相__等___,所对的弦的
弦心距_相__等__。
以上三句话如没有在
O
倍
速C
课
时
学 练
N
D
圆是轴对称图形，
经过圆心的 每一条直线都是 它的对称轴。
B
M
A
D 或： 任意一条
直径所在的直线
都是圆的对称轴。
O
任意一条直径都是
倍 速C
圆的对称轴（
）
课 时
B
学
练
N
探究一：
将图中的扇形AOB绕点O逆时针旋转 某个角度。在得到的图形中，同学们可 以通过比较前后两个图形，发现有何关 系？
倍 速 课 时 学 练
C
B O
你会做吗？
如图，在⊙O中，AC=BD，
1 45 ,求∠2的度数。
解：∵ AC=BD （已知）
∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质）
倍 速
∴ AB=CD
图 23.1.5
课
时 学
∴∠1=∠2=45°（在同圆中，相等的弧
练
所对的圆心角相等）
例1: 已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点， ∠1=∠2。 求证：AC=BD
的弦心距中，有一组量相等，
倍 那么它们所对应的其余各组量
速 课
也分别相等．
时
学
练
∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心 角是1º.同时整个圆也被分成了360份. 则每一份这样的弧叫做1º的弧.

5.2圆的对称性(1)

利用多媒体劝态演示，使得内容直观形象，从学生接受的情况看还是不错的，达到 了本节课的学习目标。但是，学生知识的掌握并不代表能力的提高。很多学生眼高 手低，在具体的几何逻辑推理中常常不能严谨的进行推理，或叙述不准确或定理不 会运用，这都需要在平时的教学中要注意规范和引导的。
5
学生踊跃发言，气氛 生认识到原来
（2）我们采用的是什么方法来研究中 热闹
生活中处处有
心对称图形的呢？
数学，从而激
（3）出示投影片 1（轮子转动）
学生想象儿时的摩天 发学生学习数
二、探索活动：
轮
学的兴趣。
活动一：尝试与交流
师：请同学们拿出课前准备好的两张透明
白纸，并出示投影片 2
（1）分别作半径都为 5 ㎝的⊙O、⊙O'；
苏教版九年级数学上册第五章第二节第一课时教学设计
5.2 圆的对称性（1）
江苏省赣榆县初级中学 陈庆霞 邮编：222100
一、教材简解：
本节内容是学生在小学学过的一些圆的知识及学习本册教材第五章第一节
圆的有关概念的基础上，进一步探索和圆有关的性质。本究过程中通过师生动手
n 度的圆心角
n 度的弧
关键：将顶点在圆心的周角分成 360 份，
每一份的圆心角是 1º的角，于是，整个圆
也被等分成 360 份。我们把 1º的圆心角所
对的弧叫做 1º的弧。
【板书二】
（二）、弧的大小：
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
注意：1.圆心角的度数与它所对的弧的度
数相等，不是角与弧相等；
分组讨论后，学生板 演，教师加以讲评， 及时纠正一些解题规 范。
学生解答，并板演， 教师点评。
拓宽学生的知 识面，让学生 对圆心角与弧 有进一步的了 解。同时又培 养了学生用类 比的思想去解 决一些问题。

2.2《圆的对称性(1)》教学课件


AB＝A′B′;
AB＝A′B′.
∠AOB＝∠ A′O′ B′. ∠AOB ＝∠ A′O′ B′.
观察思考
1°的圆心角
C D
1°的弧
O
B
n°的弧
A n°的圆心角
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
例题探究
例1 如图, AB、AC、BC都是⊙O的弦,∠AOC＝
∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
AB ＝ A′B′
AB＝A′B′
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦相等．
议一议
在同圆或等圆中,如果圆心角所对的弧相等,那么 它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?为什么?
B A B′ A′
O
O′
AB＝A′B′ AB＝A′B′
∠AOB ＝∠ A′O ′B ′
在同圆或等圆中,如果圆心角所对的弦相等,那
B
A B O C 图2
O 图1
2．如图2,在⊙O中, AB＝ AC ,∠A＝40º，求
∠ABC的度数.
拓展练习
如图,在同圆中,若AB＝2CD,则AB与2CD的大小 关系是( B )． B．AB＜2CD D．不能确定
B O D A C
A．AB＞2CD C． AB＝2CD
拓展：在同圆中，若AB ＞ CD ，那么AB与CD的 大小关系关系如何？
课堂小结
通过本节课的学习,你对圆的对称性有哪些认识？ 1．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 2．在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两 条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组都分 别相等. 3．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
课后作业
课本P48 第2、3、4.
2.2

2.2圆的对称性(1)教案

2.2圆的对称性（1）教案【教学目标】1、知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；2、理解圆的对称性；掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系；会运用圆心角、弧、弦之间的相等关系来解决具体的问题。

3、经历用“叠合法”、旋转的思想探索圆的对称性的过程，引出圆心角、弧、弦之间的相等关系定理，体现了知识之间的密切联系。

4、通过分析、观察、归纳、类比等数学活动，激励学生努力探求未知知识的积极性，并从中获取解决具体问题的方法。

【重点、难点】重点：认识圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，同时圆还具有旋转不变性，从而得出圆心角、弧、弦之间的相等关系。

难点：如何运用圆心角、弧、弦之间的相等关系来解决具体的问题。

【教学过程】一、情境创设：情境1：（1）我们在八年级已经学过中心对称图形，那什么是中心对称图形呢？（2）我们采用的是什么方法来研究中心对称图形的呢？让几位学生回答（直至有学生回答中有“旋转”一词）通过引出“旋转”的概念，为下面的操作、思考埋下伏笔。

情境2：操作、思考：把学生分四个学习小组学生动手活动、折叠、旋转圆的图片，多媒体演示，引导学生观察、归纳探究本节课的第一个知识点。

将其中一个圆旋转任意角度，两个圆还能重合吗？利用旋转的方法可以得到：一个圆绕它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合。

特别是：圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

设计意图：以复习中心对称的概念作为情境创设，并指出旋转变换是我们研究中心对称图形的常用方法，引起学生思考：是否可以用类似的方法研究圆的中心对称性呢？二、探索活动：活动一：尝试与交流 请同学们拿出课前准备好的两张透明白纸，（操作步骤）（1）分别作半径都为5㎝的⊙O 、⊙O /； （2）在⊙O 、⊙O /中，分别作相等的圆心角∠AOB 、∠A /O /B /，连接AB 、A /B /； （3）将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O /重合；（4）用图钉固定圆心，将其中的一个圆旋转某个角度，使得OA 与O /A /重合。

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拓展： 如图，AB是⊙O的弦 ①CD是直径；② CD⊥AB ； ⌒ ⌒ ③CD平分AB； ④ AC=BC ⑤ AD=BD
⌒ ⌒
D C
A
O
M
●
B
在以上五元素中，由其二即可得其余三.
例.如右图所示，一条排水管截面是圆形， 圆心为O，半径为10分米，若水宽AB=16分米， 求水深. 变式1.如果没有图形，求水深.
B
O
●
D
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，其对 称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一 说你的理由。
C
问题2： 如图，AB是⊙O的一条弦， CD交AB于M，且CD平分AB，
CD ⊥ AB
∟
A
M
B
O
●
AC=BC
⌒ ⌒
⌒ ⌒
D
AD=BD
垂直于弦 直径平分弦 平分弧 ∵ CD为⊙O的直径， 垂径定理的逆定理： AM=BM 平分弦(不是直径 )的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的 ∴ CD⊥AB ， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 弧.，点P是⊙O内一点，过点P的最 长弦为10，最短弦为8，,则OP的长是 3 D 4 _____. B 过点P的整数弦有____条.
●
O A
●
P
C
练习 3.若AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， AB=8cm，CD=6cm，⊙O的直径为10求两弦之 间的距离. Q
C
D
O
A C
O A O C
● ●
B
A
C D
D
∟
B
变式2.如右图所示，一条排水管截面是圆 形，圆心为O，水深为4分米，若水宽AB=16 分米，求半径长.
O A
●
C D
∟
B
练习 1.如右图所示， ⊙O的直径为10，弦AB长 为8，P是弦上一动点，则OP的取值范围是 3≤OP≤5 _________.
O A
●
C P
圆的对称性（1）
什么叫轴对称图形？什么叫对称轴？
轴对称图形的定义:
把一个图形沿某条直线对折，如果直线 两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴 对称图形.这条直线叫对称轴. 圆是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是 什么?你能找到多少条对 称轴? 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过 圆心的直线.
●
O
B D A
●
P Q
1cm 1cm或7cm
∟
P
B
7cm
练习 4.已知：AB、CD是⊙O的两条弦， AB∥CD， ⌒ 求证： ⌒ AC=BD
C O
A
Q
●
D
P M
B
1．本节课我们探索了圆的对称性．
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可 解决弦长、半径、弦心距等计算问题．
●
C
问题1： 如图，AB是⊙O的一条弦， CD是直径，CD⊥AB于M
∟
A
M
B
O
●
D
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，其对 称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一 说你的理由。
C
问题1： 如图，AB是⊙O的一条弦， CD是直径，CD⊥AB于M
AM=BM AC=BC
∟
A
M
B
O
●
⌒ ⌒
⌒ ⌒
D
AD=BD
平分弦 直径垂直于弦 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条 弦，并且平分弦所对的弧。 平分弧 ∵CD⊥AB，CD为 ⊙O的直径 ∴AM=BM， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD=BD，AC=BC.
C
问题2： 如图，AB是⊙O的一条弦 (不是直径），CD是直径， CD交AB于M，且CD平分AB，
∟
A
M