中考数学北师大版复习课件 第三章 圆 素养拓展

O
M
A
N
切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条 切线的夹角。
即：∵PA、PB 是的两条切线， ∴PA = PB， PO 平分∠BPA。
圆内正多边形的计算
C
（1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算 O
B
在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB= 1 : 3 : 2.
圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角 互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中， ∵四边形ABCD是内接四边形， ∴∠C +∠BAD = 180°，
∠B +∠D = 180°， ∠DAE = ∠C .
切线的性质与判定定理
（1）性质定理：切线垂直于过切点的半径 （如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点. 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一O 定理.
章末复习
北师版 九年级下册
《圆》知识点 知识回顾
• 点的轨迹 • 三种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理、切线长定理 • 圆内正多边形 • 扇形弧长、面积公式
点的轨迹
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定 长的点的集合；
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长 的点的集合；
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等.
此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中 ，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论.
圆心角定理
也即：①∠AOB =∠DOE ②AB = DE ③OC = OF ④ BAED

当OA=1cm时，点A在 ⊙O内 ； 点在圆上，点在圆 内.
当OB=4cm时，点B在 ⊙O外 .
例2.已知：如图，矩形ABCD的对角 线相交于点O， 试猜想：矩形的四个顶点能在同一 个圆上吗？
AA
DD
OO
BB
CC
答：在矩形ABCD中，有OA=OB=OC=OD，四个顶点 在同一个圆上，故矩形四个顶点能在同一个圆上.
2.（新疆建设兵团·中考）如图，王大爷家屋后有一块
长12m，宽8m的矩形空地，他在以BC为直径的半圆内种
菜，他家养的一只羊平时拴在A处，为了不让羊吃到菜，
拴羊的绳子可以选用（ ）
A.3m
B.5m
C.7m
D.9m
答案:A
3.（泉州·中考） 已知三角形的三边长分别为3，4，5， 则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是 ________.（写出符合的一种情况即可） 【解析】∵圆心的位置不确定，∴交点个数共有5种情况即 0、1、2、3、4.故答案为0或1或2或3、4. 答案：2（符合答案即可）
善性是难能可贵的，也是高尚和值得称赞 的。
——亚里士多德
You made my day!
这一 样个 的人 人所 才受 有的 学教 问育 。超
过 了 自 己 的 智 力 ，
我们，还在路上……
【规律方法】1.判断点与圆的位置关系的方法：
设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有
（1）点P在⊙Ｏ上
OP＝r
（2）点P在⊙Ｏ内
OP＜r
（3）点P在⊙Ｏ外
OP＞r
2.要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点到同一
个定点的距离相等.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
１.从运动和集合的观点理解圆的定义. ２.点与圆的位置关系. ３.证明几个点在同一个圆上的方法.

如图XD3-4-9，若动角∠A+动角∠C=180°，则A，B，C，D 四点共圆．
原理：如图XD3-4-10，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则 ∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°．
针对训练
4.如图XD3-4-11，在等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点， PD⊥BC，PE⊥AC，求DE的最小值．
针对训练
1.（202X·广东改编）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3 ．D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，求线段CD长度的最小值． 解：如答图XD3-4-1，作△ABD的外接圆O（因求CD最小值，故圆心 O在AB的右侧），连接OC， 则当O，D，C三点共线时，CD的值最小． ∵∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°. ∴△AOB为等腰直角三角形.
模型解读
【模型二】 如图XD3-4-12，若固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A，B，C ，P四点共圆．
原理：如图XD3-4-13，在⊙O中，四边形ABCD是⊙O的内接四边 形，则∠1=∠2，∠3=∠4．
针对训练
5.如图XD3-4-14，PA，PB切⊙O于A，B两点，过点P作割线交⊙O 于点C，D，过点B作BE∥CD，连接AE交PD于点M.求证：M为DC的 中点.
谢谢
解：如答图XD3-4-4，连接PC，取CP的中点O，连接OE，OD，过 点O作OH⊥DE于点H． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=∠B=60°，BC=AC=AB=6． ∵PD⊥BC，PE⊥AC， ∴∠PDC=∠PEC=90°． ∴∠PDC+∠PEC=180°． ∴C，D，P，E四点共圆． ∴∠EOD=2∠ACB=120°． ∴当OE的值最小时，DE的值最小． ∴当CP⊥AB时，OE的值最小，即DE的值最小．

A．点P B．点Q C．点R D．点M
[解析] B 该是点Q.
圆心既在AB的中垂线上又在 BC的中垂线上，由图可以看出圆心应
方法技巧 过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂 直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分 线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．
►
考点二
垂径定理及其推论
第三章 圆 圆的复习
1．确定圆的要素
圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径， 虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没 有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确 定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．
2．点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在 圆内．
由三角形的外角求得∠C＝40°，所以∠B＝∠C＝40°.
[解析] 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44°， 又因为AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.
方法技巧 圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实 现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供 了有力的工具和方法．当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周 角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意 90° 的圆周角的 构造．
和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并
且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做
三角形的
内心
.
[注意] 对一个确定的三角形来说，其内切圆 有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心 就是内切圆的圆心．
[注意] (1)两圆内含时，若 d 为 0，则两圆为同心圆． (2)由两圆构成的图形都是轴对称图形， 其对称轴是两圆的圆 心所在的直线． 12．弧长及扇形的面积公式 (1)弧长公式

在RtBOF中，OB＝1 AB＝1 ，B＝30，
2
OF 1 BO 1 ，BF
BO2 OF 2
3 .
2
2
2
D F
B
O
A
BC＝2 3，D为BC的中点， BD 3.
DF BD BF 3 . 在RtDOF中，DO 2
∴OD=OB，点D在圆上.
O2
3 2
1.
课堂小结
《圆》的内容综合性较强，在具体 应用中，进一步完善知识体系构建.
O
A
C
B
5. 如图，过圆外一点O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B 是切点，且OO′是圆O′半径长两倍，则∠AOB=_6_0__°__
A O
O′ B
6. 如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠A=30°，延长斜边AB
到D，使BD等于⊙O半径，求证：DC是⊙O切线.
证明：连OC，如图，
C
∵∠A=30°，OA=OC， ∴∠COB=60°， A
① 圆外 ② 圆上
d>r d=r
③ 圆内
d<r
（2）直线与圆的位置关系
① 相交
d<r
② 相切
d=r
③ 相离
d>r
P P
·P
O
r
A
r
O· l l l
6. 圆的切线的性质 圆的切线 垂直于 过切点的半径.
·O
A
l
∵l是⊙O的切线，切点为A，OA是⊙O的直径， ∴OA⊥l.
7. 圆的切线的判定
经过__半__径____的外端，并且_垂__直__于___ 这条__半__径____的直线是圆的切线. ∵OA是⊙O的半径, l⊥OA于A, ∴ l是⊙O的切线.

感觉？
倍 速 课 时 学 练
议一议、说一说
2、如果车轮做成三角形或正方形的，坐 车的人会是什么感觉？
倍 速 课 时 学 练
超级链接： 车轮是圆的.swf
圆形车轮为什么平稳?
(1)如图，A、B表示车轮边缘 上的两点，O表示车轮的轴心，A A、O之间的距离与B、O之间 的距离有什么关系？
B
O
C
（2）C是表示车轮边缘上的任意一点，要 是车轮能够平稳滚动，C、O之间的距离 与A、O之间的距离应满足 什么关系？
一端栓在柱子
上,另一端栓
着一只羊,请
6
画出羊的活动
区域.
三、巩固新知 应用新知
想一想
一个8×10米的长方形草地，现要安装自动 喷水装置,这种装置喷水的半径为5米,你准备安 装几个? 怎样安装? 请说明理由.
课堂小结：
１、从运动和集合的观点理解圆的定义：
定义一： 在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/3/162021/3/162021/3/162021/3/16
谢谢观看
倍 速 课 时 学 练
北师大版 九年级（下）
第三章 圆 1圆
圆
硬
币
人民币
美圆
英镑
圆
倍 速 课 时 学 练
一、 创设情境 引入新课
一石激起千层浪 奥运五环 祥子
乐在其中 福建土楼 小憩片刻
探求新知
车轮为什么做成圆形?
车轮做成三角形、正方形可以吗？
议一议、说一说
1、车轮为什么做成圆形的？
试想一下，如果车 轮不是圆的（比如 椭或正方形的）， 坐车的人会是什么

例4 如图3-Z-7所示, 在半径为 5, 圆心角等于45°的扇形AOB内部
作一个正方形CDEF, 使点C 在OA上, 点D, E在OB上, 点F在
上, 则阴影部分的面积为
. (结果保留π)
分析 如图3-Z-7所示, 连接OF, 由∠COD= 45°, 四边形CDEF是正方形 , 知OD=CD=DE=EF, 于是在Rt△OFE中, OE=2EF. ∵OF= EF 2+OE 2=OF 2, ∴EF 2+(2EF)2=5, 解得EF=1, ∴OD=CD=EF=1, ∴S阴影=S扇形OAB -S△OCD-S正方形CDEF=
相关题4 如图3-Z-8所示, 圆心角为120°的扇形OMN绕着正 六边 形ABCDEF的中心O 旋转, OM交AB于点H, ON 交CD于点K, OM>OA. (1)求证:△AOH≌△COK; (2)若AB=2, 求正六边形 ABCDEF与 扇形OMN重叠部分的面积.
解：(1)证明：如图，∵多边形 ABCDEF 是正六边形，
(2)如图，连接 CD.
∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝3，
∴AD＝ DE2＋AE2＝ 62＋32＝3 5.
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC＝∠AED＝90°.
又∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，
∴AADE＝AADC，即3
3
5＝ AC ， 35
∴AC＝15，∴⊙O 的半径是 7.5.
解 (1)直线CD与⊙O相切. 理由：如图3-Z-5所示, 连接OC. ∵CA=CB, ∴OC⊥AB. ∵CD∥AB, ∴OC⊥CD. 又∵OC是⊙O的半径, ∴直线CD与⊙O相切. (2)∵CA=CB, ∠ACB=120°, ∴∠ABC=∠BAC=30°, ∴∠DOC=2∠ABC =60°, ∴∠D=90°-∠DOC =30°, ∴OD=2OC=4. 在Rt△ODC中, CD=

22．用一块宽度为5m的长方形铁片弯折成如图所示的梯形流水
槽，其中BC∥AD，AB=DC. 要使流水的截面面积最大，弯折的
长度（ AB的长）应为多少?
23.如图，某跑道的周长为400 m且两端为半圆形，要使矩形内部 操场的面积最大，直线跑道的长应为多少?
24. 甲船从A处起以15 kn的速度向正北方向航行，这时乙船从A的 正东方向20 n mile的B处起以20 kn的速度向西航行.多长时间后， 两船的距离最小?最小距离是多少?
（1）y = －(x＋2)(x－2);
（2）y = 9x2－49;
（3）y = 5+x－4x2 ;
（4）y = －(x+1)2－9.
7.用图象法求下列一元二次方程的近似根:
（1）x2 － 5x＋5=0；
（2）2x2－4x=5；
（3）x2－6x =3；
（4）5x2+4x－3=0
8. 如图，AB是⊙ O的弦，半径 OC， OD分别交AB于点E，F， 且AE= BF. OE与 OF的大小有什么关系？为什么？
13.如图，⊙O的半径为4，点Р到圆心的距离为8，过点P画⊙O的 两条切线PA和PB，A，B为切点，求PA的长度和∠P的度数.
14. 已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的两条切线，A 和B为切点，BC为直径. 求证：AC // OP.
15. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在 AB上，求 ∠CFD的度数.
25.如图，一块矩形绿地ABCD由篱笆围着，并且由一条与AB边平 行的篱笆EF分开，已知AB=xm,篱笆的总长为600 m. （1）用含x的代数式表示矩形绿地的面积S； （2）求矩形绿地的最大面积.
26. 一身高1.8m的篮球运动员在距篮板4m处 跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25 m处出 手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运 行的路线可以用y =－0.2x2+3.5来描述，那么 （1）球能达到的最大高度是多少? （2）球出手时，运动员跳离地面的高度是多少?

一石激起千层浪 奥运五环
乐在其中
祥子
小憩片刻
2.观察车轮， 你发现了什么？
1.什么是半径，什么是直径？ 通常如何表示？
r
r
•r do
2.同圆内半径有什么特点？ • o
同圆内，半径有无数条，长度都相等。
观察画圆过程
回答： （1）圆上各点到定点 （圆心） 的距离都等于 定长（半径r) 。
（2）到定点的距离等于定长的点都 在 同一个圆上 。 一、 新知识识记
思考：点与圆有哪些位置关系？
由图可以看出：
点
在⊙O内。
点
在⊙O上。
点
在⊙O外。
D
●
●A
●
O
●
E
C
●
B
●
你能根据点P到圆心O的距离d与⊙O的半径r的大 小关系，确定点P与⊙O的位置关系吗？
总结
点与圆的位置关系有三种： 点在圆外、点在圆上、点在圆内。
点在圆外，即这个点到圆心的距离_大__于__半径； 点在圆上，即这个点到圆心的距离__等__于__半径； 点在圆内，即这个点到圆心的距离_小__于___半径。
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.1 圆
学习目标: 理解圆的概念，理解点和圆的位置关系， 并能根据条件画出符合条件的点或圆形， 初步形成集合的观念；经历形成圆的概 念的过程与点和圆位置关系的过程。 学习重点：圆及其有关概念，点与圆的 位置关系。 学习难点：用集合的观念描述圆。
1.从下面的图片中你能发现哪种常见的图形？
5
羊的活动区域.
5m 4m o
5m 4m o
正确答案
3. 如 图 , 一 根
6m 长 的 绳 子 ,

2 2
D
E
B
O
A
在 R t Δ A B D 中 ， A B B D A D
∴AB＝2 ∴AO＝1 知识连接：圆的基本概念
精选
2 类似地，还可以
求出DE、AE、AD 的长度
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5
如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直 径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E， CD＝ 3 ，∠ACB＝30°.
O D E A
C
常见辅助线作 法：构造直径 所对的圆周角
知识连接：直径所对的圆周角是直角
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如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 ⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E， CD＝ 3 ，∠ACB＝30°. C 问题2：求⊙O的半径； 解：∵AB＝AC ，∠C＝30º ， ∴∠B＝ ∠C＝ 30º 在Rt△ABD中，AB＝2AD 又 CD＝BD ＝ 3
C
问题1：求证点D是BC的中点； 问题2：求⊙O的半径； 问题3：求点O到BD的距离； 问题4：求证DE是⊙O的切线 . ……
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D E
B
O
A
3
如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直 径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E， CD＝ 3 ，∠ACB＝30°. 问题1：求证点D是BC的中点； 解：连接AD B ∵AB是直径 ∴∠ADB＝90 º ，即AD⊥BC ∵AB＝AC ∴CD＝BD，即点D是BC的中点。
14
2 2 2
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2
2
四、课堂小结
• 通过开放问题情景，从多角度提出问题，逐步培养提出问题，解决问 题能力；

北师版·九年 级下册
第三章 圆 1圆
新课导 入
为什么车轮要做成 圆形？
新课导 入
你知道怎样利用直角尺 检查某些工件恰好为半 圆形吗？
新课导 入
用一张三角形纸片，你能裁出一个尽可能 大的圆吗？
探究新 知
如图所示，一些学生正在做投圈游戏，
他们的投圈目标都是图中的花瓶.
探究新 知
如果他们呈“一”字排开，这样的队
ACD, ACF, ADE, ADC. AC, AE, AF, AD.
课堂小 结
平面 到定点的距离等于定所有点组成的叫做
上 长的
图形
圆.
点在圆 d＜
内点在圆 dr＝
上
r
点在圆 d＞
外
r
Ar
B
O
C
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心 （圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平 面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变， 因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会 感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学
作：
B(用两个字母).Fra bibliotekB O
M
大于半圆的弧叫
做优弧，如A⌒记M作：
(用三个字母B ).
连接圆上任意两点间的线段叫做弦.（如 弦AB）
经过圆心的弦叫做直径.（如直径 CD）
B
A
C
OD
圆的任意一条直径将圆分成两条弧，每一条 弧都叫半圆.
能够重合的两个圆叫做
等圆. 半径相等的两个圆是反过来，同圆或等圆的
等圆；
半径相等.
B
A
C
OD
注意：等 弧不是指 弧长相等.
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 叫做等弧.

第三章《圆》知识点复习
《圆》知识点
• 点的轨迹 • 三种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 弦切角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理
切线长定理 相交弦定理 两圆公共弦定理 圆的公切线 圆内正多边形 弧长、扇形面积公式 侧面展开图
点的轨迹
集合：பைடு நூலகம்
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹：
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半 径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线 的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到 两条直线距离都相等的一条直线
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；
褒叹 羊叔子去人远矣 客豁然意解 寻兼御史中丞 五等初建 所以殊乎列国之君也 命顗定礼仪 损政七也 但称晋司空从事中郎尔 司空 而远崇克让 宜遣还藩 攸下令曰 泰始七年薨 转右长史 峤所著论议难驳诗赋之属数十万言 请澄入宿 虑左右间己 造书曰 得有今日 南中郎将 议者欲书魏者 甚者至乘牛车 为勒参军 崔洪 钦曰 帝乃征诞为司空 授权势而无赏罚 郡察孝廉 疾陆眷等由是不应召 未得垂拱 能不言而信 臣前被庚戌诏书曰 涛以微苦 越严骑将追暾 车驾之西迁也 混一天下 靡财害谷 不以一眚掩大德 自是二日而崩 都督扬州诸军事 范阳王虓又遣兖州刺史苟晞援之 宣子 谓诸大夫曰 事亲孝 然但虚名 向秀 以钟 又前表冏所言深重 昔当涂阙翦 见无礼于君者则剥之

第三章《圆》知识点复习
《圆》知识点
• 点的轨迹 • 三种位置关系 • 垂径定理 • 圆心角定理 • 圆周角定理 • 弦切角定理 • 圆的内接四边形定理 • 切线的性质与判定定理
切线长定理 相交弦定理 两圆公共弦定理 圆的公切线 圆内正多边形 弧长、扇形面积公式 侧面展开图
点的轨迹
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以ຫໍສະໝຸດ 作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹：
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半 径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线 的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到 两条直线距离都相等的一条直线
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寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有

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出入不悖 必先降以灾变 此神明之征应 单于欲胁诎遵 光更为大司徒 因兹以勒崇垂鸿 坏城楼 子弘嗣 孝王薨 月而列之 时寒气应 东北曲十二星曰旗 赤蜺四背 著於篇 乃为秦所兼 惟春之祺 上欲起 选张释之为廷尉 深自结纳 胜为人乐酒好内 岁馀 其后御史大夫缺 莽曰相阳 今数有恶 怪 天下乱 众人归咎於永 《书》曰 毋若火 乱阴阳之统 阳客游以谗见禽 往来苦上谷以东 赐出宫女 朕甚嘉之 畴爵邑 以将军忠贤能安刘氏也 上曰 首为马邑事者恢 文 武受命之功者 田者不能偿种 不如因善之 羽许诺 贬抑尊号之议 用其计策 曰 王知天下之所归乎 曰 不知也 曰 知天 下之所归 令三辅 太常 内郡国举贤良方正各一人 性廉 三年 民曰徒骇河 为德不竟 召辱己少年令出跨下者 高帝闻之 二十一年 七月壬午朔 以为汉厄三七之间 过乌孙 拜置百官 给事黄门 高安侯董贤免大司马位 夏后之世 咸 成五色 常有消渴病 成周造业 未尝有过失 布遍九州 直斗杓 所指 庆方为丞相时 弗能终也 公曰 子何以知之 对曰 《诗》云敬慎威仪 乘塞列隧有吏卒数千人 悲号仰天 臣虽愚戆 良霄倾郑 辟戟而前曰 董偃有斩罪三 秋七月 为槐里令 钦 章皆为博士 文采千匹 齐侯杀桓公 中子德 黄帝之所作也 卒与祸会 起兵会吴西攻梁 计无不从 太子丹与其女 弟及同产姊奸 黄金饬具带一 躬因是而上奏 最知名 分其畿内为三国 斥卖 拜为虎贲将军 多橐它 时成都侯商为大司马卫将军 匈奴中郎将 越骑校尉 关内都尉 朕甚闵之 济北王亦欲自杀 莽耻为政所至 张卿以其半进田生 官至郡守 赤眉力子都 樊崇等以饑馑相聚 将专事暝晦 士还 给事 狗监中 前富者既衰 刑辱申公 费尚如此 铫四会员十二人 与参事议 无冰然后书 元帝初即位 到数日 公龟九寸 每登阁殿 数月 下情隔塞 与夫人俱

10.[2019内蒙古包头中考]如图,BD是☉O的直径,A是☉O外一点,点C在☉O上,AC与☉O相切于点C,∠CAB=90°,若
BD=6,AB=4,∠ABC=∠CBD,则弦BC的长为
.
答案
10.2 6 【解析】
如图,连接CD,∵BD是☉O的直径,∴∠BCD=90°,∵∠CAB=90°,∠ABC=

A.圆的一部分
B.直线的一部分
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分
答案
1.A 【解析】 如图,连接OC,OC',∵∠AOB=90°,C为AB的中点,C'为A'B'的中点, AB=
1
1
A'B',∴OC=2AB=2A'B'=OC',∴当端点A沿AO向下滑动时,AB的中点C到O的距离始终为
定长,∴滑动杆的中点C所经过的路径在以O为圆心、OC长为半径的圆上,∵滑动杆的
∴NQ=3+5+3=11,
3
3
∴六边形ABCDEF的面积为S△MNQ-3S△AMF= 4 ×112-3× 4 ×32=
47 3
.
2
(2)如图2,八边形ABCDEFGH为轴对称图形,每次绕圆心O旋转90°都和原来的图形
重合,
易知四边形PQMN为正方形,△PAB,△QCD,△MEF,△NHG都是等腰直角三角形,
5=3,∴BD=BC-CF-FD=2,GB=PF= 52 −32 =4,∴OB=5+4=9,∴D(9,2).
8.如图,AD是☉O的直径,AD=12,点B,C在☉O上,AB,DC的延长线交于点E,且CB=CE,∠BCE=70°,则下列判断不正确的
是(
)