固体物理-能带理论

第六章 能带理论 (习题参考答案)1. 一矩形晶格，原胞长10a 210m-=⨯，10b410m-=⨯（1）画出倒格子图（2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和第二布里渊区（3）画出自由电子的费米面（设每个原胞有2个电子）解：（1）因为a =a i=20A i b =b j=40A j倒格子基矢为12a iA*=, 014bj A*=以a *b *为基矢构成的倒格子如图。

由图可见，矩形晶格的倒格子也是矩形格子。

(2)取任一倒格子点O作为原点，由原点以及最近邻点A i,次近邻点B i的连线的中垂线可以围成第一，第二布里渊区，上图这就是布里渊区的广延图。

如采用简约形式，将第二区移入第一区，我们得到下图。

(3) 设晶体中共有N个原胞，计及自旋后，在简约布里渊区中便有2N个状态。

简约布里渊区的面积21()8A a bA ***-=⨯=而状态密度22()16()N g K N A A*==当每个原胞中有2个电子时，晶体电子总数为 22()216Fk FN g k kdk N k ππ=⨯=⎰所以1/211111()0.2()210()8F k A m π---=≈=⨯这就是费米圆的半径。

费米圆如下图所示2. 已知一维晶体的电子能带可写成()2271cos cos 2,88E k ka ka m a ⎛⎫=-+⎪⎝⎭式中a 是晶格常数。

试求： （i ）能带的宽度；（ii ）电子在波矢k 状态时的速度； （iii ）能带底部和顶部电子的有效质量。

()()()()()()()()22222m in 2m ax 22m ax m in 22222m in 71cos cos 2,8811cos 24400,2;221sin 24sin 404k i E k ka ka m a ka m a k E k E am a E E E m am aii v E kv ka ka m aiii E k kk E E mπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦====∆=-=∴=∇∴=--==+解：当时，当时，能带的宽度为：在能带底部，将在附近用泰勒级数展开，可得：()()()22m in 22m ax 22m ax 220342203k E mm m E k k E E k mk E mm m ππδδδ****=+∴===-=+∴=-在能带顶部，将在附近用泰勒级数展开，令k=+k 可得：aa3. 试证明：如果只计及最近邻的相互作用，用紧束缚方法导出的简单立方晶体中S 态电子的能带为()2cos 2cos 2cos 2s x y z E k E A J ak ak ak πππ⎡⎤=--++⎣⎦并求能带的宽度。

固体物理中关于能带理论的认识摘要:本文运用能带理论就晶体中的电子行为作一些讨论,以期对能带理论的概念更细致的把握。

关键词:能带理论电子共有化绝热近似平均场近似周期场假定引言能带理论(Energy band theory)是研究晶体(包括金属、绝缘体和半导体的晶体)中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。

它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动,即是单电子近似的理论，对于晶体中的价电子而言,等效势场包括原子核的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来的交换作用,是一种晶体周期性的势场。

能带理论认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子,并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动。

1 能带理论的假定能带理论是目前的固体电子理论中最重要的理论。

量子自由电子理论可作为一种零级近似而归入能带理论。

能带理论是一个近似理论,下面对该理论所作的假定作为一探讨。

实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。

如果不采用一些简化近似,从理论上研究固体的能级和波函数是极为困难的。

1.1 绝热近似考虑到电子与核的质量相差悬殊。

可以把核与电子的运动分开考虑,相当于忽略了电子——声子相互作用。

电子运动时,可以认为核是不动的。

电子是在固体不动的原子核产生的势场中运动。

1.2 平均场近似因为所有电子的运动是关联的。

可用一种平均场来代替价电子之间的相互作用，即假定每个电子所处的势场都相同。

使每个电子的电子间相互作用能仅与该电子的位置有关，而与其它电子的位置无关，在上述近似下，每个电子都处在同样的势场中运动，既所有电子都满足同样的薛定谔方程，只要解得方程，就可得晶体电子体系的电子状态和能量。

使多电子问题简化为一个单电子问题，所以上述近似也称单电子近似。

1.3 周期场假定薛定谔方程中势能项是原子实对电子的势能，具有与晶格相同的周期性。

代表一种平均势能，应是恒量。

因此，在单电子近似和晶格周期场假定下，就把多电子体系问题简化为在晶格周期势场的单电子定态问题，上述在单电子近似基础上的固体电子理论称能带论。

能带和态密度引言能带和态密度是固体物理学中的重要概念，它们对于理解物质的电子结构和导电性质具有重要意义。

能带理论是固体物理学中最基本的理论之一，它描述了电子在晶体中的运动方式和能量分布。

态密度则是描述在一定能量范围内，单位体积内存在的电子态数目。

本文将深入探讨能带和态密度的概念、性质以及在固体物理学研究中的应用。

一、能带1.1 能带结构在晶体中，原子之间存在相互作用力，导致了电子在晶格中运动时受到周期性势场的束缚。

根据量子力学原理，电子具有波粒二象性，在晶格势场下形成了波动性质。

根据布洛赫定理，在周期势场下，波函数可以表示为平面波与周期函数之积。

通过对波函数解析形式进行数学推导，可以得到离散化的能量分布。

根据离散化得到的能量分布图谱，在一维情况下可以将其表示为离散化点之间相连的线段，称为能带。

能带的形状和特征取决于晶体的结构和原子之间的相互作用。

晶体中存在多个能带，其中价带和导带是最为重要的两个能带。

价带是电子在晶体中受束缚状态下的能量分布，而导带则是电子在晶体中具有较高能量状态下的分布。

两者之间存在禁闭区域，称为禁闭区。

1.2 能带理论为了更好地理解电子在固体中运动和分布规律，科学家提出了多种模型和理论。

其中最著名且广泛应用于固体物理学研究中的是紧束缚模型和自由电子模型。

紧束缚模型假设原子之间存在较强相互作用力，电子主要局域在原子附近运动。

该模型通过考虑原子轨道之间的重叠以及相互作用力来描述电子在晶格中运动。

该模型更适用于描述局域化电子行为以及强关联效应。

自由电子模型则假设固体中的电子可以自由地运动，并且不受到其他粒子或者势场限制。

该模型通过简化数学形式，将电子视为自由粒子，从而得到了一维、二维和三维情况下的能带结构。

自由电子模型适用于描述弱关联电子行为以及导体、半导体等材料的电子结构。

二、态密度2.1 态密度的概念态密度是描述在一定能量范围内，单位体积内存在的电子态数目。

在固体物理学中，态密度是研究材料中电子行为和导电性质的重要物理量。

固体物理学中的能带理论固体物理学是研究固体物质特性和行为的学科。

其中，能带理论是固体物理学中的重要内容之一。

这个理论的提出和发展，深刻地影响着我们对物质的认识和应用。

在本文中，将介绍能带理论的基本概念、理论构建的主要过程以及对实际应用的影响。

1. 能带理论的基本概念能带理论是描述固体材料中电子结构的理论框架。

它基于量子力学的原理，认为在固体中，电子的运动状态和能量分别由多个能带和能带间的禁带带宽所决定。

能带是指具有类似能量水平的电子能级。

禁带带宽则表示在能带之间禁止电子的能量范围。

2. 理论构建的主要过程能带理论的构建经历了一系列的发展过程。

最早的一些能带理论如卢瑟福模型和Drude模型，是基于经典力学和经典电动力学的假设，对于一些简单情况具有一定的解释能力。

然而，这些模型无法解释复杂固体中的行为，因为它们没有考虑到量子力学效应。

在量子力学的框架下，人们使用薛定谔方程和波函数的理论来描述电子在固体中的行为。

经典的能带理论建立在Bloch定理的基础上，该定理认为固体中的电子具有周期性的晶格势场作用下的波函数形式。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到电子的能量本征值和本征态。

3. 对实际应用的影响能带理论的提出和发展对固体物理学的研究产生了深远的影响。

首先，能带理论提供了解释固体材料电子运动行为的一个理论模型。

它可以解释金属、绝缘体和半导体等不同类型材料的电导特性，以及它们在外界条件下的响应。

其次，能带理论对材料的设计和合成起着重要作用。

通过对能带结构的调控，我们可以设计出具有特定能带特性的新材料。

例如，针对光电子器件应用的材料，我们可以通过调节能带结构来实现不同波长的能带过渡和光电转换。

而且，能带理论也对半导体器件的工作原理给出了关键的解释。

例如，能带理论对于理解和优化半导体二极管、晶体管和太阳能电池等器件的性能至关重要。

它可以揭示不同物理机制对器件行为的影响，为器件的设计和优化提供了指导。

总结起来，能带理论是固体物理学中一项重要的理论构建。