2015年中考郧西县锐角三角函数的专题目训练

锐角三角函数及应用专题15測试时闫；20分4: ____________ 班级：学校： _____________ 姓名 （） tan45o 的值为1.【江苏省无锡市 2015年中考数学试题】212 ... CDA_ 22【答案】B.【解析】根据特殊角的三角函数值可得 tan45o=1 ,故选B.【考点定位】特殊角的三角函数值 .2.【江苏省南通市海安县 2015届九年级上学期期末考试数学试题】 如图，△ ABC 中，/ C=90°,15352. 【解析】 在RtA/EC 中，ZC=SO 6 ； AC=2? DC=1,由勾股主理「得【考点定位】锐角三角函数的定义.ABCODOC 同侧），外若锐角△（与点内接于O ，点 在O 在年中考数学试题】3.【江苏省扬州市D 中，？ ； ？？则下列三个结论：；正确的结论ABCD ?? ???????2525【答案】C.___________ &广 JdC* -I ■月■ COsB =—=〒=匚故迭C-AB &5AC=2, BC=1,贝U cosB 的值是（c【解祈】D【答案】.试H分析「如图！连捋财，根据團周幫定理，可得ZC=Z^5,'.■厶也—3验代厶LE3AZ& /*ZC>ZD,扌遞観角三角也函散的増谶性，可独期NO辟:4,故①正确；^jZC<i5jZZ»t故②葡島r^ZO宓匚鼻旅③正确故迤D【考点定位】锐角三角函数，圆周角定理^4. 【江苏省南通市海安县2015届九年级上学期期末考试数学试题】苏中七战七捷纪念馆位于江苏海安县城中心，馆内纪念碑碑身造型似一把刺刀矗立在广袤的苏中大地上，堪称世界之最，被誉为“天下第一刺刀” •如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测纪念碑碑身的高度AB,小明在D处用高1.5m测角仪CD,测得纪念碑碑身顶端A的仰角为30°,然后向纪念碑碑身前进20m到达E 处，又测得纪念碑碑身顶端A的仰角为45°,已知纪念碑碑身下面的底座高度BH 为1.8m •则纪念碑碑身的高度AB为（）m （结果|/ 1.41421.73532.236精确到个位，参考数据:A. 27 B16 C . 37 D 15. .A【答案】.试題分析： 由题意睜:GH^FE=CD=1.钊 然后衽虫戈Hd 、EtAiGF 中求出 验誠而求出AE 的畏.适题解*斤；由题育希；C7=&E=20, CH-FE=CD=1. E,4G」G在附/SAGC 中，CC 匸 -- 二护4G 、衣F+A M F 中. 心二——=AG,tsu 30^ tan 45c/- CF=CG - H?=占 £G - AG= ( -Ji - 1) AG*格点 A 、B 、■ C,贝U sin / ABC= . _____________9145.【答案】145【解析】首先过点A 作AD 丄BC 于点D,连接AC,进而结合 S 得岀AD 的长,再利用锐角三角函数关系求BCAO .岀答案•如图所示：过点 A 作AD 丄BC 于点D ,连接AC,■\ AB=AS+J H - BH=27.32+L. □ ' L 6^2" (mS故选A.【考点定位】解直角三角形的应用 -仰角俯角问题.■5. 【江苏省南京市鼓楼区 2015届九年级下学期中考二模考试数学试题】如图,—r ___tL —11111X,AXX =BC, XX 4-=20-2S ■/ 5- XX 2 XX 14=9SAD=92BCABC --------------------- 222225. 5AD 91414595 ABC=故答案为:X 20=21. Z2I --------- 厂方格纸中有三个5AD= AD=9,解得:145AB 14529【考点定位】1.勾股定理；2.锐角三角函数的定义. 日6. 【江苏省苏州市区2015届九年级下学期中考数学一模试题】如图，一侧面为矩形的建筑物ABCDAP为建.筑物上一灯杆（垂直于地面），夜晚灯杆顶端灯亮时，EH段是建筑物在斜坡EF上的影子•己知BC=8米，AP=12米，CE=6米，斜坡EF的坡角/ FEG=30°, EH=4米，且B, C, E, G在同一水平线上，题中涉及的各点均在同一平面内，建筑物的高度AB为米（结果保留根号）3.【答案】11+3【解析】作HM L BG于点M,延长DH交BG于点N,首先在直角三角形EMH中求得HM EM的长，然后求得MN的长，最后利用三角形相似求得DC的长即可求得建筑物的高•作HML BG于点M,延长DH交BG于点N,厂P 2 4 . ZFEN-300 $ Efh4j 存3 EH-2V3 f\ 、即二 --- - 、解得匸Jflp-、AD MV & A/V 3DC=ll+3 J3(*:).啟警耒勺：11+375.坡度坡角问题.-【考点定位】解直角三角形的应用.,CDE2015届九年级下学期中考数学一模试题】如图，在正方形PA DC~A D~CXABCD外作等腰直角△7.【江苏■."△FADS厶PCWj即＞解侍:省苏州市区.sin / AED= DE=CE ,连接AE,则______________________£5案】.【答.■ 5长AE的EG根据等腰直角三角形的性质得岀AG和的长度，再根据勾股定理得岀点作【解析】过AAGL ED, . ED，如图：度，最后利用三角函数解答即可•过A点作AG丄说正方书炯力的边并術”，•”•尊腰直宦池匚加，——片ZCDE^B* , /.A^GD也是等睚直角莎形, …AG—GD—a# !甲AE=751 +（芈口），厚…•小s片—==吃.放答案为:2 2 AE5AG解直角三角形•的性质； 2.等腰直角三角形；3.【考点定位】1.正方形处岀发，先航A【江苏省江阴市华士实验中学距75B的北偏东°且与点于点23. 2015届九年级下学期期中考试数学试题】如图，轮船从点8.200km相B处，相距的南偏西行至位于点A15°且点A100km的点B再航行至位）1.732「1.414AC.C的点处则点与点的距离约为~参考数据：（）1km精确到（km【答案】173km.【解析】过点Alt 10丄BC于点山根据题青可得N A KTS—I卯一®在Rd®中》求得d AE的长, 在联皿⑦口亍得AJ的长即可腐法丄;如答圉2,过点A作AD丄放產足为口由圉得『厶班二75^-15° = 60°. 在R L AADD中，■/ZADC^O* , AD-1O0； .\DD-5Q；AD=/DC=200^ /.CD-BC-BD-1DD.'.在氏t^ACD 中,JAf：= yjAD-^CD1= 100V5 «173 (kit).薛註U：如答團乩取阿的中点D,连揺砒日團得，ZABC= 75°- t5fl-flO c•：■!)为BC 的中点，BC-2C0j .\CD=BD~100.在电，TBLlOOj AB=100/ZABC=S6°』:.AALB为等辺三屋形J.'.U>=Er=CCi, ^ADB=SO s』.INDM二4?魁3胪..\ZEUC=ZBAD+ZrAC=SO° J 二AC=加-月护=倔的"3(km).幅索対:173kn.【考点定位】解直角三角形的应用 (方向角问题)；特殊角的三角函数值；勾股定理和逆定理. 9.【江苏省苏州市吴中、相城、吴江区2015届九年级中考一模数学试题】某研究性学习小组，为了测量某池塘边A、B两点间的距离，让一架航模在直线AB的正上方24米的高度飞行，当航模位于点D处时，在A点处测得航模仰角为60 °，5分钟后，当航模在点C处时，在B点测得航模仰角为45°，己知航模飞行的精确到BA米，试计算速度为每分钟【答案】A、B两点的距离214.8米.【解析】•忙酚析：作血丄血于心BN1CD于兀则DI=EN-24米，任RtAJOM中.由^ZPM=60°,故可得出AJT的长』同理可得出CM的长> 根据炉AW十朋印可得端论•试题解析：如图所示，作DML AB于M, BN± CD于N,贝U DM=BN=24米,恻由题意/ NCB=45，二 DN=DC-NC=4$ 5-24=201 米,3+201=214.8 米，••• AB=AM+MB=8答: A 、B 两点的距离 214.8 米.【考点定位】解直角三角形的应用 -仰角俯角问题.OAC 处，轮船乙位于码头年中考数学试题】如图，轮船甲位于码头的正西方向10.【江苏省南京市2015CCA =45 °，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的的正北 方向处，测得/ kmhkmhhBDDBO B °,此0.1速度分别为45处，测得/ /36和，轮船甲行驶至/ 处，轮船乙行驶至，经过BOsincostan 58°~ 1，60）时处距离码头 km 【答案】13.5【解析】BOxkmRtCAORtDBOCODODC根据三角函数求得中，再利用和， 设试题分析：处距离码头，分别 在△和COx 的值即可.- ，得岀BOxkm ，处距离码头试题解析：设CD 在 中.* :.CO-AO •⑷T /心；?- £4左・tan^ =4.5-Hr,AO在 Rt^D3O 中，・:.O=x •切i 丸。

§6.4 锐角三角函数A 组 2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·浙江丽水，8，3分)如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是( ) A.BD BC B.BC AB C.AD AC D.CD AC解析 ∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠α＋∠BCD ＝∠ACD ＋∠BCD ，∴∠α＝∠ACD ，∴cos α＝cos ∠ACD ＝BD BC ＝BC AB ＝DC AC ，只有选项C 错误，符合题意．答案 C2．(2015·浙江衢州，9，3分)如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tanα＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( )A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm 解析 由题意得EF BC ＝2.56，∴BC ＝144，∴CD ＝72. 又∵tan α＝AD CD ＝52，所以AD ＝180 cm.答案 B3．(2015·山东威海，7，3分)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝26°，BC ＝5.若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是( )A.5÷tan 26＝B.5÷sin 26＝C.5×cos 26＝D.5×tan 26＝解析 由tan B ＝AC BC ，得AC ＝BC ·tan B ＝5×tan 26 °.答案 D4．(2015·山东日照，9，4分)如图，在Rt △BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC ＝12BD ，连结AC ，若tan B＝53，则tan ∠CAD 的值 ( ) A.33 B.35 C.13 D.15解析 延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由tan B ＝53，即AD AB ＝53，设AD ＝5x ，则AB ＝3x ，然后可证明△CDE ∽△BDA ，然后利用相似三角形的对应边成比例可得：CE AB ＝DE AD ＝CD BD ＝12，进而可得CE ＝32x ，DE ＝52x ，从而可求tan ∠CAD ＝EC AE ＝15.答案 D5．(2015·四川绵阳，10，3分)如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为( )A ．(11－22)米B ．(113－22)米C ．(11－23)米D ．(113－4)米解析 如图，延长OD ，BC 交于点P .∵∠ODC ＝∠B ＝90°，∠P ＝30°，OB ＝11米，CD ＝2米，∴在直角△CPD 中，DP ＝DC ÷tan 30°＝23m ，PC ＝CD ÷(sin 30°)＝4米，∵∠P ＝∠P ，∠PDC ＝∠B ＝90°，∴△PDC ∽△PBO ，∴PD PB ＝CD OB ，∴PB ＝PD ·OB CD ＝23×112＝113米，∴BC ＝PB －PC ＝(113－4)米．答案 D6．(2015·湖南衡阳，12，3分)如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB (单位：米)为 ( )A ．50 3B ．51C ．503＋1D ．101解析 设AG ＝x ，在Rt △AEG 中，∵tan ∠AEG ＝AG EG ，∴EG ＝AG 3＝33x .在Rt △ACG 中，∵tan ∠ACG ＝AG CG ，∴CG ＝x tan 30°＝3x ，∴3x －33x ＝100， 解得：x ＝50 3.则AB ＝503＋1(米)．答案 C二、填空题7．(2015·浙江绍兴，12，5分)如图，已知点A (0，1)，B (0，－1)，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于________度．解析 由题意可知cos ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝60°.答案 608．(2015·甘肃武威，15，3分)已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________． 解析 ∵|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，∴sin α＝12，tan β＝1，∴α＝30°，β＝45°，则α＋β＝30°＋45°＝75°.答案 75°9．(2015·上海，18，3分)已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，∠BAC ＝30°，将△ABC绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处，延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于______．解析 作CH ⊥AE 于H ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB ＝12(180°－∠BAC )＝75°，再根据旋转的性质得AD ＝AB ＝8，∠CAD＝∠BAC ＝30°，则利用三角形外角性质可计算出∠E ＝45°，接着在Rt △ACH 中利用含30度的直角三角形三边的关系得CH ＝12AC ＝4，AH ＝3CH ＝43，所以DH ＝AD －AH＝8－43，然后在Rt △CEH 中利用∠E ＝45°得到EH ＝CH ＝4，于是可得DE ＝EH －DH ＝43－4.答案 43－410．(2015·黔东南州，14，4分)如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，且AM ＝100海里．那么该船继续航行________海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．解析 如图，过M 作东西方向的垂线，设垂足为N .易知：∠MAN ＝90°－60°＝30°.在Rt △AMN 中，∵∠ANM ＝90°，∠MAN ＝30°，AM ＝100海里，∴AN ＝AM ·cos ∠MAN ＝100×32＝503海里．故该船继续航行503海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．答案 50 311．(2015·浙江宁波，16，4分)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9 m，则旗杆AB的高度是________m(结果保留根号)．解析根据在Rt△ACD中，tan∠ACD＝ADCD，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，tan∠BCD＝BDCD，求出BD的值，最后根据AB＝AD＋BD，即可求出答案．答案9＋3 3三、解答题12．(2015·浙江金华，16，4分)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点A，B，C在同一直线上，且∠ACD＝90°.图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC′D′，最后折叠形成一条线段BD″.(1)小床这样设计应用的数学原理是________．(2)若AB∶BC＝1∶4，则tan∠CAD的值是________．解(1)小床这样设计应用的数学原理是：三角形具有稳定性；故答案为：三角形具有稳定性；(2)∵AB∶BC＝1∶4，∴设AB＝x，DC＝y，则BC＝4x，C″D″＝y，由图形可得：BC″＝4x，则AC″＝3x，AD＝AD″＝3x＋y，故AC 2＋DC 2＝AD 2，即(5x )2＋y 2＝(3x ＋y )2，解得：y ＝83x ，则tan ∠CAD 的值是：DC AC ＝83x 5x ＝815.故答案为：815.13．(2015·浙江嘉兴，22，12分)小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB 与底板OA 所在水平线的夹角为120°，感觉最舒适(如图1)，侧面示意图为图2.使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO ′后，电脑转到AO ′B ′位置(如图3)，侧面示意图为图4.已知OA ＝OB ＝24 cm ，O ′C ⊥OA 于点C ，O ′C ＝12 cm.(1)求∠CAO ′的度数．(2)显示屏的顶部B ′比原来升高了多少？(3)如图4，垫入散热架后，要使显示屏O ′B ′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O ′B ′应绕点O ′按顺时针方向旋转多少度？解 (1)∵O ′C ⊥OA 于C ，OA ＝OB ＝24 cm ，∴sin ∠CAO ′＝O ′C O ′A＝O ′C OA ＝1224＝12， ∴∠CAO ′＝30°.(2)过点B 作BD ⊥AO 交AO 的延长线于D .∵sin ∠BOD ＝BD OB ，∴BD ＝OB ·sin ∠BOD .∵∠AOB ＝120°，∴∠BOD ＝60°，∴BD ＝OB ·sin ∠BOD ＝24×32＝12 3.∵O ′C ⊥OA ，∠CAO ′＝30°，∴∠AO ′C ＝60°.∵∠AO ′B ′＝120°，∴∠AO ′B ′＋∠AO ′C ＝180°，∴O ′B ′＋O ′C －BD ＝24＋12－123＝36－123，∴显示屏的顶部B ′比原来升高了(36－123)cm.(3)显示屏O ′B ′应绕点O ′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O ′B ′与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO ′F ＝120°，∴∠FO ′A ＝∠CAO ′＝30°.∵∠AO ′B ′＝120°，∴∠EO ′B ′＝∠FO ′A ＝30°，∴显示屏O ′B ′应绕点O ′按顺时针方向旋转30°.B 组 2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2013·浙江温州，8，4分)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则sin A 的值是 ( ) A.34B.43C.35D.45解析 ∵∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，∴sin A ＝∠A 的对边斜边＝BC AB ＝35.故选C. 答案 C2．(2012·浙江宁波，8，3分)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝6，cos B ＝23，则BC 的长为 ( )A ．4B ．2 5 C.181313D.12313 解析 ∵cos B ＝23，∴CB AB ＝23.∵AB ＝6，∴CB ＝23×6＝4，答案 A3．(2014·浙江湖州，6，3分)如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．4 5解析 ∵tan A ＝12＝BC AC ，AC ＝4，∴BC ＝2，故选A.答案 A4．(2013·浙江杭州，9，3分)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sin A ＝35，则斜边上的高等于( )A.6425B.4825C.165D.125 解析 根据题意画出图形，如图所示，在Rt △ABC 中，AB ＝4，sin A ＝35， ∴BC ＝AB sin A ＝2.4，根据勾股定理得：AC ＝AB 2－BC 2＝3.2.∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝4825.答案 B5．(2013·浙江衢州，8，3分)如图，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB )为1.6 m ，则这棵树的高度为(结果精确到0.1 m ，3≈1.73) ( )A ．3.5 mB ．3.6 mC ．4.3 mD ．5.1 m解析 如图，设CD ＝x m ，在Rt △ACD 中，∵∠DAC ＝30°，∴AC ＝xtan 30°＝3x .在Rt △ECD 中，∵∠DEC ＝60°，∴EC ＝x tan 60°＝33x .∵AE ＝4 m ，∴3x －33x ＝4，解得x ＝23≈3.5.∴DF ＝DC ＋CF ≈3.5＋1.6＝5.1(m)．故选D.答案 D6．(2012·浙江衢州，6，3分)如图，点A ，B ，C 在⊙O上，∠ACB ＝30°，则sin ∠AOB 的值是 ( ) A.12B.22C.32D.33解析 ∵∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝60°，∴sin ∠AOB ＝sin 60°＝32.答案 C二、填空题7．(2014·黔西南州，18，3分)如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝15，AC ＝9，则tan ∠ADC ＝________．解析 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝15，AC ＝9，∴BC ＝AB 2－AC 2＝152－92＝12.∵∠ADC 和∠ABC 都是AC ︵所对的圆周角，∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝AC BC ＝912＝34.答案 348．(2013·浙江杭州，13，4分)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论：①sin A ＝32；②cos B ＝12；③tan A ＝33；④tan B ＝3，其中正确的结论是________．(只需填上正确结论的序号)解析 ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝（2BC ）2－BC 2＝3BC .∴sin A ＝BC AB ＝12，∴①错误；cos B ＝BC AB ＝12，∴②正确；tan A ＝BC AC ＝BC 3BC＝33，∴③正确；tan B ＝AC BC ＝3BC BC ＝3，∴④正确．故正确的是：②③④.答案 ②③④9．(2014·江苏苏州，15，3分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12∠BAC ，则tan ∠BPC ＝________.解析 作AD ⊥BC 于D ，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝8，∴BD＝CD ＝12BC ＝4，∠BAD ＝12∠BAC .在Rt △ABD 中，AD＝AB 2－BD 2＝52－42＝3.∵∠BPC ＝12∠BAC ，∴tan ∠BPC ＝tan ∠BAD ＝BD AD ＝43.答案 4310．(2014·江苏宿迁，15，3分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC 与BC 相交于点D ，若BD ＝4，CD ＝2，则AB 的长是________．解析 作DE ⊥AB 于E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C＝90°，∴DE ＝CD ＝2.在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2－DE 2＝42－22＝2 3.∵CD ＝DE ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴AE ＝AC .设AB ＝x ，则AC ＝AE ＝x －2 3.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，即(x －23)2＋62＝x 2，解得x ＝4 3. 答案 4 3三、解答题11．(2012·浙江台州，20，8分)如图，为测量江两岸码头B ，D 之间的距离，从山坡上高度为50米的A 处测得码头B 的俯角∠EAB 为15°，码头D 的俯角∠EAD 为45°，点C 在线段BD 的延长线上，AC ⊥BC ，垂足为C ，求码头B ，D 的距离(结果保留整数)．解 ∵AE ∥BC ，∴∠ADC ＝∠EAD ＝45°.又∵AC ⊥CD ，∴CD ＝AC ＝50.∵AE ∥BC ，∴∠ABC ＝∠EAB ＝15°.又∵tan ∠ABC ＝AC BC ，∴BC ＝AC tan ∠ABC ＝50tan 15°≈500.27≈185.2， ∴BD ≈185.2－50≈135(米)．答：码头B ，D 的距离约为135米．12．(2014·浙江台州，21，10分)如图，某翼装飞行运动员从离水平地面高AC ＝500 m 的A 处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1 600米到达D 点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B 点．求他飞行的水平距离(结果精确到1 m)．(参考数据：sin 15°＝0.26， cos 15°＝0.97，tan 15°＝0.27)解过点D作DE⊥AC，作DF⊥BC，垂足分别为E，F.∵AC⊥BC，∴四边形ECFD是矩形，∴EC＝DF.∴AE＝AD·sin ∠ADE＝1 600sin 15°，DE＝AD·cos ∠ADE＝1 600cos 15°.∵EC＝AC－AE，∴DF＝500－1 600sin 15°.在Rt△DBF中，BF＝DF·tan∠FDB＝EC tan 15°.∴BC＝CF＋BF＝1 600·cos 15°＋(500－1 600·sin 15°)tan 15°≈1 575.答：运动员水平飞行的距离为1 575米.。

锐角三角函数基础练习题（含答案）
一、选择题
1．当为锐角时，表示的是( )
A．一个角B．一个无理数C．一个负数 D．一个正数
2．在中，，，那么( )
A．B．C． D．
3．根据图中信息，经过估算计算的结果，(精确到是( )
A．B．
C．D．
4．已知：如图，O是的外接圆，AD是O的直径，连接CD，若O的半径，，
则的值是( )
A．B．
C．D．
5．如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点E反射后照射到B点，若入射角为，于，
于，且，，则
的值为( )
A．B．
C．D．
二、填空题
6．若的补角是，则=________，________.
7．已知：如图，的一边BC与以AC为直径的O相切于点C，若
，则________.
8．________.
9．，锐角的度数为________.
10．已知：是方程的一个根，是三角形的一个内角，那么的值
为________.
参考答案
1．D 2．B 3．B 4．B 5．D
6．60°，7． 8． 9．10．。

中考数学复习《锐角三角函数》专项综合练习及详细答案一、锐角三角函数1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.（1）求之间的距离（2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.【答案】（1）120米；（2）35. 【解析】【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC=333，然后根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ︒=6012=120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，则'60A E AC ==， '30CE AA ==3在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235答：从无人机'A 上看目标D 235【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.2．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2315688t t =-++ ，(05)t <<；（3）52t =时，PEGO S 四边形取得最大值；（4）165t =时，OE OQ ⊥. 【解析】【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG=，由此构建方程即可解决问题．【详解】（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，∴AC=22108-=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ，∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°，∵CD ∥AB ，∴∠BAC=∠DCO ， ∵∠DOC=∠ACB ， ∴△DOC ∽△BCA ，∴AC AB BC OC CD OD ==， ∴61083CD OD==， ∴CD=5（cm ），OD=4（cm ），∵PB=t ，PE ⊥AB ，易知：PE=34t ，BE=54t ， 当点E 在∠BAC 的平分线上时，∵EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，∴PE=EC ，∴34t=8-54t ， ∴t=4． ∴当t 为4秒时，点E 在∠BAC 的平分线上．（2）如图，连接OE ，PC ．S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）=1414153154338838252524524t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ =281516(05)33t t t -++<<． （3）存在．∵28568(05)323S t t⎛⎫=--+<<⎪⎝⎭，∴t=52时，四边形OPEG 的面积最大，最大值为683．（4）存在．如图，连接OQ．∵OE⊥OQ，∴∠EOC+∠QOC=90°，∵∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG，∴tan∠EOC=tan∠QOG，∴EC GQOC OG=，∴358544345ttt-=-，整理得：5t2-66t+160=0，解得165t=或10（舍弃）∴当165t=秒时，OE⊥OQ．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.3．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x 米，在直角△APE 和直角△BPE 中，根据三角函数利用x 表示出AE 和BE ，根据AB=AE-BE 即可列出方程求得x 的值，再在直角△BQE 中利用三角函数求得QE 的长，则PQ 的长度即可求解．试题解析：延长PQ 交直线AB 于点E ，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x 米．在直角△APE 中，∠A=45°，则AE=PE=x 米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE 中，33米， ∵AB=AE-BE=6米，则x-33x=6， 解得：3则BE=（3）米．在直角△BEQ 中，QE=33BE=33（3+3）=（3）米． ∴3（3）3（米）．答：电线杆PQ 的高度约9米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．4．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到1cm ）？ 【答案】【解析】过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm ，再再根据DC=DE+EC 进行解答即可．5．如图，反比例函数() 0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点，点C 在第四象限，CA ∥y 轴，90ABC ∠=︒.(1)求k 的值及点B 的坐标；(2)求tanC 的值.【答案】（1）2k =，()1,2B --；（2）2.【解析】【分析】（1）先根据点A 在直线y=2x 上，求得点A 的坐标，再根据点A 在反比例函数()0k y k x=≠ 的图象上，利用待定系数法求得k 的值，再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标；（2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，根据90ABC ∠=︒ ， 90BHC ∠=︒ ，可得C ABH ∠∠=，再由已知可得AOD ABH ∠∠=，从而得C AOD ∠∠=，求出C tan 即可.【详解】（1）∵点A (1，a )在2y x =上，∴a =2，∴A (1，2)，把A (1，2)代入 k y x =得2k =， ∵反比例函数()0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ，B 两点， ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称，∴()12B --， ； （2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，∵90ABC ∠=︒ ， 90BHC ∠=︒ ，∴C ABH ∠∠=，∵CA ∥y 轴，∴BH ∥x 轴，∴AOD ABH ∠∠=，∴C AOD ∠∠=， ∴AD 22OD 1tanC tan AOD =∠===.【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD 是关键.6．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于切点为G ，连接AG 交CD 于K ．（1）求证：KE=GE ；（2）若KG 2=KD•GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= ．【解析】试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．试题解析：（1）如图1，连接OG．∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．（2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示．∵KG2=KD•GE，即，∴，又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；（3）连接OG，OC，如图3所示，∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．∵sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK-CH=t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（2）2，解得t=．设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r= t=．∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，∴FG=【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．7．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．8．（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=22．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．【答案】解：（1）（﹣4，0）；y=x+4．（2）在点P、Q运动的过程中：①当0＜t≤1时，如图1，过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ•cos∠CBF=5t•35=3t．∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，S=12PM•PE=12×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t．②当1＜t≤2时，如图2，过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t．S=1 2PM•PE=12×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t．③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=167．当2＜t＜167时，如图3，MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，S=12PM•MQ=12×4×（16﹣7t）=﹣14t+32．综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为()()225t14t0<t1S{7t16t1<t21614t322<t<7-+≤=-+≤⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．（3）①当0＜t≤1时，22749S5t14t5t55⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭，∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=75，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大．∴当t=1时，S有最大值，最大值为9．②当1＜t≤2时，22864S7t16t7t77⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭，∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=87，∴当t=87时，S有最大值，最大值为647．③当2＜t＜167时，S=﹣14t+32∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小．又∵当t=2时，S=4；当t=167时，S=0，∴0＜S＜4．综上所述，当t=87时，S有最大值，最大值为647．（4）t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．【解析】（1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sin∠DAB=2，利用特殊三角函数值，得到△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式：∵C（7，4），AB∥CD，∴D（0，4）．∵sin∠DAB=22，∴∠DAB=45°．∴OA=OD=4．∴A（﹣4，0）．设直线l的解析式为：y=kx+b，则有4k b0{b4-+==，解得：k1{b4==．∴y=x+4．∴点A坐标为（﹣4，0），直线l的解析式为：y=x+4．（2）弄清动点的运动过程分别求解：①当0＜t≤1时，如图1；②当1＜t≤2时，如图2；③当2＜t＜167时，如图3．（3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值．（4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论：①如图4，点M在线段CD上，MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4，由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t=209．②如图5，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时△QMN为等腰三角形，t=125．∴当t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类思想的应用．9．如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点F.（1）求证：DF⊥AC；（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值.【答案】(1)证明见解析; (2) tan∠3【解析】试题分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．（2）过O作OF⊥BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解．试题解析：证明:连接OD∵DE为⊙O的切线, ∴OD⊥DE∵O为AB中点, D为BC的中点∴OD‖AC∴DE⊥AC(2)过O作OF⊥BD,则BF=FD在Rt△BFO中，∠ABC=30°∴OF=12OB, BF=32OB∵BD=DC, BF=FD，∴FC=3BF=332OB在Rt△OFC中，tan∠BCO=1329332OBOFFCOB==.点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，根据已知得出OF=12OB，BF=32OB，FC=3BF=332OB是解题关键．10．如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与x轴分别相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴的交点为C，动点T在射线AB上运动，在抛物线的对称轴l上有一定点D，其纵坐标为23，l与x轴的交点为E，经过A、T、D三点作⊙M．（1）求二次函数的表达式；（2）在点T的运动过程中，①∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由；②若MT＝12AD，求点M的坐标；（3）当动点T在射线EB上运动时，过点M作MH⊥x轴于点H，设HT＝a，当OH≤x≤OT 时，求y的最大值与最小值（用含a的式子表示）．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）①在点T的运动过程中，∠DMT的度数是定值②（0，3）（3）见解析【解析】 【分析】（1）把点B 的坐标代入抛物线解析式求得系数b 的值即可；（2）①如图1，连接AD ．构造Rt △AED ，由锐角三角函数的定义知，tan ∠DAE＝．即∠DAE ＝60°，由圆周角定理推知∠DMT ＝2∠DAE ＝120°；②如图2，由已知条件MT ＝12AD ，MT ＝MD ，推知MD ＝12AD ，根据△ADT 的外接圆圆心M 在AD 的中垂线上，得到：点M 是线段AD 的中点时，此时AD 为⊙M 的直径时，MD ＝12AD ．根据点A 、D 的坐标求得点M 的坐标即可； （3）如图3，作MH ⊥x 于点H ，则AH ＝HT ＝12AT ．易得H （a ﹣1，0），T （2a ﹣1，0）．由限制性条件OH≤x≤OT 、动点T 在射线EB 上运动可以得到：0≤a ﹣1≤x≤2a ﹣1．需要分类讨论：（i ）当2111(1)211a a a -⎧⎨----⎩……，即413a <„，根据抛物线的增减性求得y的极值．（ii ）当0112111(1)211a a a a <-⎧⎪->⎨⎪--<--⎩„，即43＜a≤2时，根据抛物线的增减性求得y 的极值．（iii ）当a ﹣1＞1，即a ＞2时，根据抛物线的增减性求得y 的极值． 【详解】解：（1）把点B （3，0）代入y ＝x 2+bx ﹣3，得32+3b ﹣3＝0， 解得b ＝﹣2，则该二次函数的解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3； （2）①∠DMT 的度数是定值．理由如下： 如图1，连接AD ．∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4． ∴抛物线的对称轴是直线x ＝1． 又∵点D 的纵坐标为∴D （1，由y ＝x 2﹣2x ﹣3得到：y ＝（x ﹣3）（x+1）， ∴A （﹣1，0），B （3，0）． 在Rt △AED 中，tan ∠DAE＝DE AE ==． ∴∠DAE ＝60°．∴∠DMT ＝2∠DAE ＝120°．∴在点T 的运动过程中，∠DMT 的度数是定值；②如图2，∵MT＝12AD．又MT＝MD，∴MD＝12AD．∵△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上，∴点M是线段AD的中点时，此时AD为⊙M的直径时，MD＝12AD．∵A（﹣1，0），D（1，∴点M的坐标是（0（3）如图3，作MH⊥x于点H，则AH＝HT＝12 AT．又HT＝a，∴H（a﹣1，0），T（2a﹣1，0）．∵OH≤x≤OT，又动点T在射线EB上运动，∴0≤a﹣1≤x≤2a﹣1．∴0≤a﹣1≤2a﹣1．∴a≥1，∴2a﹣1≥1．（i）当2111(1)211aa a-⎧⎨----⎩……，即14a3剟时，当x＝a﹣1时，y最大值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a；当x＝1时，y最小值＝4．（ii）当0112111(1)211aaa a<-⎧⎪->⎨⎪--<--⎩„，即43＜a≤2时，当x＝2a﹣1时，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a．当x＝1时，y最小值＝﹣4．（iii）当a﹣1＞1，即a＞2时，当x＝2a﹣1时，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a．当x＝a﹣1时，y最小值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系；另外，解答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解．11．如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果保留整数)【答案】95m【解析】【分析】过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，求AE＝3m，在RT△MFC中，设MN＝x m，则AN＝xm．FC3xm，可得x＋33 ( x－20)，解方程可得答案..【详解】解：过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°∴CE＝FN＝20m，AE＝3设MN＝x m，则AN＝xm．FC3，在RT△MFC中MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20FC＝NE＝NA＋AE＝x＋3∵∠MCF＝30°∴FC3MF，即x＋33－20)解得：x 403 31＝60＋3答：电视塔MN的高度约为95m．【点睛】本题考核知识点：解直角三角形.解题关键点：熟记解直角三角形相关知识，包括含特殊角的直角三角形性质.12．已知：如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，连接BC交圆于点D，过点D 作⊙O的切线交AC于E．（1）求证：AE＝CE（2）如图，在弧BD上任取一点F连接AF，弦GF与AB交于H，与BC交于M，求证：∠FAB+∠FBM＝∠EDC．（3）如图，在（2）的条件下，当GH＝FH，HM＝MF时，tan∠ABC＝34，DE＝394时，N为圆上一点，连接FN交AB于L，满足∠NFH+∠CAF＝∠AHG，求LN的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4013 NL【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，得∠ADC＝90°，由切线长定理得EA＝ED，再由等角的余角相等，得到∠C＝∠EDC，进而得证结论.（2）由同角的余角相等，得到∠BAD＝∠C，再通过等量代换，角的加减进而得证结论.（3）先由条件得到AB＝26，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝43a，再由相交弦定理得到GH•HF＝BH•AH，从而求出FH，BH，AH，再由角的关系得到△HFL∽△HAF，从而求出HL，AL，BL，FL，再由相交弦定理得到LN•LF＝AL•BL，进而求出LN的长.【详解】解：（1）证明：如图1中，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵EA、ED是⊙O的切线，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∵∠C+∠EAD＝90°，∠EDC+∠EDA＝90°，∴∠C＝∠EDC，∴ED＝EC，∴AE＝EC．（2）证明：如图2中，连接AD．∵AC是切线，AB是直径，∴∠BAC＝∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∴∠BAD＝∠C，∵∠EDC＝∠C，∴∠BAD＝∠EDC，∵∠DBF＝∠DAF，∴∠FBM+∠FAB＝∠FBM+∠DAF＝∠BAD，∴∠FAB+∠FBM＝∠EDC．（3）解：如图3中，由（1）可知，DE＝AE＝EC，∵DE＝394，∴AC＝392，∵tan∠ABC＝34＝ACAB，∴39 32 4AB =,∴AB＝26，∵GH＝FH，HM＝FN，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝43a，∵GH•HF＝BH•AH，∴4a2＝43a（26﹣43a），∴a＝6，∴FH＝12，BH＝8，AH＝18，∵GH＝HF，∴AB⊥GF，∴∠AHG＝90°，∵∠NFH+∠CAF＝∠AHG，∴∠NFH+∠CAF＝90°，∵∠NFH+∠HLF＝90°，∴∠HLF＝∠CAF，∵AC∥FG，∴∠CAF＝∠AFH，∴∠HLF＝∠AFH，∵∠FHL＝∠AHF，∴△HFL∽△HAF，∴FH2＝HL•HA，∴122＝HL•18，∴HL＝8，∴AL＝10，BL＝16，FL＝∵LN•LF＝AL•BL，∴LN＝10•16，∴LN【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及到的知识有：切线的性质；切线长定理；圆周角定理；相交弦定理；相似三角形性质与判定等，熟练掌握圆的相关性质是解题关键.13．如图，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，点A ，C 分别在x 轴与y 轴的正半轴上，点A 的坐标为（4，0），点D 在边AB 上，且tan ∠AOD ＝12，点E 是射线OB 上一动点，EF ⊥x 轴于点F ，交射线OD 于点G ，过点G 作GH ∥x 轴交AE 于点H ．（1）求B ，D 两点的坐标；（2）当点E 在线段OB 上运动时，求∠HDA 的大小； （3）以点G 为圆心，GH 的长为半径画⊙G ．是否存在点E 使⊙G 与正方形OABC 的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E 的坐标．【答案】（1）B （4，4），D （4，2）；（2）45°；（3）存在，符合条件的点为（8﹣2，8﹣2）或（2，2）或42164216++⎝⎭或16421642,77⎛-- ⎝⎭，理由见解析 【解析】【分析】（1）由正方形性质知AB=OA=4，∠OAB=90°，据此得B （4，4），再由tan ∠AOD= 12得AD=12OA=2，据此可得点D 坐标； （2）由1tan 2GF GOF OF ∠==知GF=12OF ，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF ，即GF=12EF ，根据GH ∥x 轴知H 为AE 的中点，结合D 为AB 的中点知DH 是△ABE 的中位线，即HD ∥BE ，据此可得答案；（3）分⊙G 与对角线OB 和对角线AC 相切两种情况，设PG=x ，结合题意建立关于x 的方程求解可得．【详解】解：（1）∵A （4，0），∴OA＝4，∵四边形OABC为正方形，∴AB＝OA＝4，∠OAB＝90°，∴B（4，4），在Rt△OAD中，∠OAD＝90°，∵tan∠AOD＝12，∴AD＝12OA＝12×4＝2，∴D（4，2）；（2）如图1，在Rt△OFG中，∠OFG＝90°∴tan∠GOF＝GFOF ＝12，即GF＝12OF，∵四边形OABC为正方形，∴∠AOB＝∠ABO＝45°，∴OF＝EF，∴GF＝12EF，∴G为EF的中点，∵GH∥x轴交AE于H，∴H为AE的中点，∵B（4，4），D（4，2），∴D为AB的中点，∴DH是△ABE的中位线，∴HD∥BE，∴∠HDA＝∠ABO＝45°．（3）①若⊙G与对角线OB相切，如图2，当点E在线段OB上时，过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG＝2x，OF＝EF＝22x，∵OA＝4，∴AF＝4﹣22x，∵G为EF的中点，H为AE的中点，∴GH为△AFE的中位线，∴GH＝12AF＝12×（4﹣22x）＝2﹣2x，则x＝2﹣2x，解得：x＝22﹣2，∴E（8﹣42，8﹣42），如图3，当点E在线段OB的延长线上时，x2x﹣2，解得：x＝2∴E（2，2②若⊙G与对角线AC相切，如图4，当点E在线段BM上时，对角线AC，OB相交于点M，过点G 作GP ⊥OB 于点P ，设PG ＝x ，可得PE ＝x ，EG ＝FG ＝2x ， OF ＝EF ＝22x ，∵OA ＝4， ∴AF ＝4﹣22x ，∵G 为EF 的中点，H 为AE 的中点，∴GH 为△AFE 的中位线，∴GH ＝12AF ＝12×（4﹣22x ）＝2﹣2x ， 过点G 作GQ ⊥AC 于点Q ，则GQ ＝PM ＝3x ﹣22，∴3x ﹣22＝2﹣2x ，∴4227x +=， ∴42164216,E ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭； 如图5，当点E 在线段OM 上时，GQ ＝PM ＝23x ，则23x ＝22，解得4227x =，∴16421642,77E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭； 如图6，当点E 在线段OB 的延长线上时，3x ﹣22＝2x ﹣2，解得：4227x -=（舍去）； 综上所述，符合条件的点为（8﹣42，8﹣42）或（8+42，8+42）或42164216,77⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或16421642,77⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用．14．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度.（参考数据：,，）【答案】旗杆的高度约为.【解析】【分析】 在Rt △BDC 中，根据tan ∠BDC=求出BC ，接着在Rt △ADC 中，根据tan∠ADC==即可求出AB的长度【详解】解：∵在Rt△BDC中，tan∠BDC==1，∴BC=CD= 40m在Rt△ADC中，tan∠ADC==∴tan50°= =1.19∴AB7.6m答：旗杆AB的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用15．已知：如图，直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．(1)求AE的长及sin∠BEC的值；(2)求△CDE的面积．【答案】（1）2，sin∠BEC=35；（2）754【解析】【分析】（1）如图，作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B，点A坐标，继而可得∠A=∠B=45°，再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6，2，设AE=CE=x，则222-x，在Rt△CEF中，利用勾股定理求出x 的值即可求得答案；（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，根据三角形面积公式则可得S△CDE=S△AED=2，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，利用勾股定理求出y，继而可求得答案.【详解】（1）如图，作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，又∵点C是OB中点，∴OC=BC=6，CF=BF=32，设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，在Rt△CEF中，CE2=CF2+EF2，即x2=（92-x）2+（32）2，解得：x=52，故可得sin∠BEC=35CFCE，AE=52；（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，则S△CDE=S△AED=12AD•EM=12AD×AEsin∠EAM=12AD•AE×sin45°=24AD×AE，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，OC2+OD2=CD2，即62+（12-y）2=y2，解得：y=152，即AD=152，故S△CDE=S△AED=24AD×AE=754．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.。