高考数学：几何综合法与向量坐标法,孰优孰劣

向量法与综合法,孰优孰劣作者：陈名树来源：《广东教育·高中》2011年第08期近几年的高考中，对于新课改地区的立体几何解答题一般都可以选择两种方法：一种综合法；一种是向量法（主要是指坐标向量法）.基于目前大部分学生计算能力不强，根据快速、不易错的标准，到底这两种方法孰优孰劣？我们在下笔之前该如何做出合理的选择？现以2011年广东高考理科数学第18题为例分析如下，供参考与研讨.如图5，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60°,PA=PD=■，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点，（1）证明：AD⊥平面DEF;（2）求二面角P-AD-B的余弦值.综合法解之如下：（1）取AD的中点G，又PA=PD，∴PG⊥AD，由题意知△ABC是等边三角形，∴BG⊥AD，又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，∴AD⊥平面PGB，∵EF∥PB，DE∥GB，∴平面DEF∥平面PGB∴AD⊥平面DEF.(2) 由（1）知∠PGB为二面角P-AD-B的平面角，在Rt△PGA中，PG2=■2-（■）2=■；在Rt△BGA中，BG2=12-（■）2=■；在△PGB中，cos∠PGB=■=-■.向量法解之如下：(1)∵AD=AB=1,∠DAB=60°,ABCD是边长为1的菱形，∴△ABD、△CBD均为边长为1的正三角形.∵E为BC的中点，∴BC⊥DE.又∵AD//BC，∴AD⊥DE.以D为原点，■，■的方向分别为X轴，Y轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则有D（0，0，0），C（-■，■，0），A（1，0，0），取AD的中点G，连PG，GB.由GB// DE，AD⊥BG，可得B（■，■，0），G（■，0，0）.∵PA=PD，∴PG⊥AD，∴可设P（■，y，x）.于是■=（0，■-y，-z），■（■，y，z）（或用■=（■，-y，-z））∴|■|2=（■-y）2+z2=4……①|■|2=■+y2+z2=4……②解得P（■，-■，1），又C（-■，■，0），∴ F（0，0，■）.■=（1，0，0）.∴ ■=（0，0，■）,■=（0，■，0）. ∵■·■=0,■·■=0 ，∴■·■，■⊥■，∴AD⊥平面DEF.(2)由(1)得■=（■，-■，1），■=（1，0，0），设面PAD的法向量为■=（x，y，z），由于■·■=■x-■y+z=0，且■·■=x=0，所以取■=（0，-1，-■）.又∵面ABD的法向量■=（0，0，1），∴cos ＜■，■>=■=■=-■.分析：本题主要考查空间中线面关系、二面角及其平面角、坐标方法的运用等基础知识，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力和运算能力.若选综合法证明（1），证AD⊥DE比较容易，但要证AD⊥DF或证AD⊥EF却有一定的困难，如果先选择做第二问求二面角，由于找中点用定义法找二面角平时训练比较多，比较容易入题，找到二面角之后再回过来看第一问，那真是“柳暗花明又一村”！若选用向量法，固定的程序：建系、写坐标、数量积、求法向量、套公式、作答.但大部分考生在第一个环节建系就被卡住了：没有现存的两两垂直的直线！即使勉强建系了也面临着P点的坐标不好确定.两种方法相比之下，综合方法优势明显.后者尽管思路人尽皆知，但由于解答程序多，出错可能性自然就大.笔者曾在高二理科班做过实验，分别找了A、B两组各10人数学水平相当的考生限定15分钟内完成此题，要求A组用向量法，B组用综合法.实验结果：A组全对2人，B组5人；做错的同学大都是计算问题，A组错法几乎分布在各个环节：写点的坐标、向量坐标、法向量、套公式.高考立体几何解答方法的选择策略高考立体几何题所占分值在20分左右，倾向于“一大一小”或“两小一大”，题目难度适中，命题形式比较稳定.因此，立体几何题向来是兵来必争之地.但近几年高考考生在立体几何这个知识点上答题情况却不是很理想，比如今年广东的这个题全省得分只有5.85分（总分13分）.面对立体几何题特别是解答题，要想在这个题上在有限的时间内拿到稳定的分数，审题之后，如何迅速决策采用综合法还是向量法或兼而用之就成为了一个关键.通过前面这道例题，我们发现：用向量法（本质是代数法）来解决中学几何问题，克服了综合法（本质是几何法）常常需要添置若干辅助线而显得思路曲折的缺点，以算代证，数形结合，因而使解题思路更加清晰、简捷，解法顺理成章.尤其是求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法.但是，我们也注意到：向量法尽管易操作但过程多，一个坐标写错就会导致“满盘皆输”，综合方法，有时只需用一个定理、作一条辅助线就可搞定.基于此，作为一个策略，笔者建议：1．题设背景不容易建系或者非坐标向量法亦不好用，没有考虑的余地应用传统的综合法解之.2．题设背景在以正方体、长方体、直棱柱、正棱锥为背景或是具备两两垂直(有时需要通过线面垂直、面面垂直的性质定理证出)的问题中，这时往往两种方法均可运用但不可急于建系解决，先要看看是否较容易证（平行、垂直）、较容易找（线线角、线面角、面面角）、较容易求（距离、体积、面积），如果综合法不可以或不方便再用向量法亦不迟.练习：1．（2011年全国新课标理）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.思路点拨：本题第（I）问可以直接证明，也可建系证明.（II）用综合法“作-证-求”二面角的平面角在此有一定难度，用向量法，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小.答案：-■.2．（2011年陕西卷理科）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；（2）设E为BC的中点，求■与■夹角的余弦值．思路点拨：（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解．答案：■.（作者单位：东莞市塘厦中学）责任编校徐国坚“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。

高考数学立体几何题大纲详解在高考数学中，立体几何题一直是许多同学感到棘手的部分。

然而，只要我们掌握了相关的知识和解题方法，就能在考试中轻松应对。

接下来，让我们详细了解一下高考数学立体几何题的大纲。

一、基础知识1、空间几何体的结构特征我们要熟悉常见的空间几何体，如棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征。

知道它们的定义、性质以及如何通过直观图和三视图来识别这些几何体。

2、表面积与体积对于不同的几何体，我们需要掌握其表面积和体积的计算公式。

例如，正方体的表面积为 6a²（a 为边长），体积为 a³；圆柱的表面积为2πr(r ＋ l)（r 为底面半径，l 为母线长），体积为πr²h 等等。

3、点、线、面的位置关系这部分包括线线平行、线线相交、线面平行、线面相交、面面平行、面面相交等关系。

要理解这些关系的定义、判定定理和性质定理。

二、空间向量在立体几何中的应用1、空间向量的概念与运算了解空间向量的定义、坐标表示以及加减乘等运算规则。

2、利用空间向量证明平行与垂直通过计算向量的数量积来判断线线、线面、面面的平行与垂直关系。

3、利用空间向量求空间角和距离例如，利用向量的夹角公式求异面直线所成的角、线面角、二面角；利用向量的模长求点到直线、点到平面的距离等。

三、解题方法1、几何法通过直观的图形观察和几何定理的运用来解题。

比如，证明线面平行时，可以通过构造平行四边形或者找线线平行来实现。

2、向量法建立空间直角坐标系，将几何问题转化为向量的运算问题。

这种方法往往计算量较大，但思路相对清晰。

四、常见题型1、证明题要求证明线线、线面、面面的平行或垂直关系。

在解题时，要根据题目所给条件，选择合适的定理和方法。

2、计算题计算几何体的表面积、体积、空间角或距离。

此类题目需要我们准确运用相关公式和方法，注意计算的准确性。

3、综合题将证明和计算结合在一起，考查我们对立体几何知识的综合运用能力。

高考数学中的向量与坐标系运算技巧高考数学考试中，向量与坐标系运算技巧是一个重要的考点。

在解答相关题目时，合理运用向量与坐标系的知识，能够帮助我们更快地得出答案。

本文将介绍一些常见的向量与坐标系运算技巧，希望能对备战高考的同学有所帮助。

一、向量的加减法在高考数学考试中，向量的加减法是必不可少的内容。

在进行向量的加减法时，我们需要明确向量的起点与终点，并按照相应的规则进行计算。

下面以一个例题来说明：例题：已知向量OA=2i+3j，向量OB=-i-4j，求向量AB的坐标表示。

解析：根据向量的定义，向量AB等于向量OB减去向量OA，即AB = OB - OA。

将向量的坐标分量相减，可以得到AB = (-1-2)i + (-4-3)j = -3i - 7j。

二、向量的数量积与数量积的性质1. 数量积的定义和性质数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要形式。

两个向量的数量积定义如下：若已知向量a = a1i + a2j，向量b = b1i + b2j，则向量a与向量b的数量积记作a·b，其计算方式为：a·b = a1b1 + a2b2。

数量积具有以下性质：(1) 交换律：a·b = b·a(2) 结合律：(ka)·b = k(a·b)(3) 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c2. 数量积的应用数量积在几何与物理中有广泛的应用。

其中，角的余弦可以通过数量积来计算，即cosθ = (a·b) / (|a| |b|)，其中θ为向量a与向量b之间的夹角。

另外，在解决向量共线、向量垂直等问题时，也可以运用数量积的性质进行计算。

三、坐标系运算技巧坐标系是高考数学中常见的概念，也是解答相关题目的基础。

在解答坐标系相关题目时，我们通常需要明确坐标系的类型（如直角坐标系、极坐标系等），并合理运用坐标系的性质进行计算。

解析几何与向量代数解析几何与向量代数是数学中的两个重要分支，它们在几何学和代数学中有着广泛的应用。

本文将重点介绍解析几何和向量代数的基本概念、性质和应用，以及它们之间的关系。

一、解析几何解析几何是几何学的一种方法，它利用坐标系统的概念和代数方法来研究几何问题。

在解析几何中，我们可以通过将点、直线、平面等几何对象与坐标系中的点和向量相对应，将几何问题转化为代数问题，从而进行分析和求解。

1.1 坐标系在解析几何中，我们通常使用笛卡尔坐标系作为基本坐标系。

笛卡尔坐标系由一个二维平面上的横轴和纵轴组成，通过将横轴和纵轴上的某一点相交得到原点，以及通过度量轴上的距离来确定点的位置。

在三维空间中，我们可以使用三维笛卡尔坐标系来描述点的位置。

1.2 点、直线和平面的表示在解析几何中，我们可以用坐标来表示点、直线和平面。

对于平面上的点，我们可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x和y分别表示点在横轴和纵轴上的坐标。

对于空间中的点，我们可以用一个有序数三元组(x, y, z)来表示。

直线可以通过一个点和一个方向向量来表示，其中方向向量表示了直线的方向和倾斜程度。

平面可以通过一个点和两个不共线的方向向量来表示。

根据点和向量的关系，我们可以使用向量来进行点和直线、平面之间的运算和推导。

1.3 距离和角度的计算在解析几何中，我们可以通过坐标计算点之间的距离和角度。

对于平面上的点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以通过勾股定理来计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)。

对于空间中的点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离可以通过三维勾股定理来计算。

角度的计算可以使用向量的点积和模长来实现。

对于平面上的两个向量a和b，它们之间的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (a·b) / (|a||b|)，其中·表示向量的点积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。

高考数学如何有效利用坐标系解决几何题高考数学中的几何题一直是考生们的一个难点，尤其是在利用坐标系解决几何题方面更是令人头疼。

然而，如果我们能够熟练地运用坐标系，就能够在解决几何题时事半功倍。

本文将探讨如何有效地利用坐标系解决高考数学中的几何题。

1. 直角坐标系的应用直角坐标系是解决几何问题时最常用的一个工具。

我们可以将平面上的点与坐标系中的点一一对应，通过坐标运算来求解。

举个例子，假设有一个点A(x1, y1)和一个点B(x2, y2)，我们可以通过计算两点间的距离来判断它们的位置关系。

如果AB的距离等于0，那么A和B 就是同一个点；如果距离大于0，那么A和B就是不同的点。

除了计算距离，直角坐标系还可以帮助我们解决平面几何中的直线和曲线问题。

例如，我们可以通过计算两点间的斜率来确定直线的斜率、直线的方程等等。

此外，坐标系还可以帮助我们判断直线的相交情况，以及曲线的图形特征等。

2. 极坐标系的应用在解决某些几何问题时，使用极坐标系比直角坐标系更加方便。

极坐标系中，我们将一个点的位置通过极径和极角来表示。

极径表示点到原点的距离，而极角表示点与极轴（通常为x轴）的夹角。

通过极坐标系，我们可以更加方便地描述圆、椭圆、双曲线等图形。

例如，对于一个圆来说，我们只需要知道它的圆心和半径即可完全确定它的位置和形状。

在利用极坐标系解决几何问题时，我们可以通过计算两点之间的极径和极角之差来确定它们的位置关系。

同时，我们还可以通过计算极坐标方程的导数来求解曲线的斜率，以及曲率等相关问题。

3. 三维坐标系的应用在高考数学中，我们不仅会遇到平面几何问题，还会涉及到空间几何问题。

针对空间几何问题，我们需要运用三维坐标系进行求解。

三维坐标系由x轴、y轴和z轴组成，用于表示空间中的点的位置。

类似于二维坐标系，我们可以通过计算两点之间的距离来确定它们的位置关系。

此外，三维坐标系还可以帮助我们解决直线、平面的方程问题，判断直线与平面的相交情况，以及与坐标轴的夹角等问题。

如何理解高中数学的向量和坐标系高中数学的向量和坐标系是数学学科中重要的概念，对于理解几何和代数的关系、解决实际问题以及深入学习数学的其他领域都至关重要。

本文将介绍向量和坐标系的定义、性质以及它们在高中数学中的应用，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。

一、向量的定义和性质向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。

在高中数学中，一般用字母加箭头（如A→）表示向量。

向量的大小表示了它的长度或者模，用符号|A→|表示；向量的方向用箭头的方向表示。

1. 向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量进行相应的运算。

假设A→和A→是两个向量，则它们的加法和减法定义如下：向量的加法：A→ + A→ = A→向量的减法：A→ - A→ = A→其中，A→表示向量A→与A→的和向量，A→表示向量A→与A→的差向量。

2. 向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积是两种重要的运算。

向量的数量积又称为点乘，表示了两个向量之间的夹角关系。

向量的向量积又称为叉乘，表示了两个向量之间的垂直关系。

向量的数量积：A→ · A→ = |A→||A→|cos A向量的向量积：A→ × A→ = |A→||A→|sinAA→其中，A表示向量A→和A→之间的夹角，A→表示垂直于A→和A→所在平面的单位向量。

二、坐标系的定义和性质坐标系是一种用来描述点的位置的工具，通常用于平面和空间的几何研究中。

在高中数学中，常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

1. 直角坐标系直角坐标系由两条相互垂直的数轴组成，分别称为A轴和A轴。

每个点在直角坐标系中都可以用一对有序数$(x, y)$来表示，A表示点在A 轴上的位置，A表示点在A轴上的位置。

直角坐标系可以被用来描述平面上的点、直线和曲线。

2. 极坐标系极坐标系是由一个原点A和一条从原点出发的射线构成的。

每个点可以用$(r, A)$表示，其中A是点到原点的距离，A是射线与某一固定射线之间的夹角。

高三数学解析几何与立体几何知识总结与应用解析几何和立体几何是高中数学中非常重要的两个分支，它们不仅在高考中占据较大的比重，而且在日常生活和工作中也有广泛的应用。

本文将从知识总结和应用两个方面进行讨论，帮助高三学生巩固解析几何和立体几何的知识，为将来的考试和实际运用做好准备。

一、解析几何知识总结1. 坐标系与向量解析几何的基础是坐标系和向量。

坐标系是通过数轴的标定，将平面或空间上的点与对应的坐标一一对应的方法。

一维坐标系为数轴，两维坐标系为平面直角坐标系，三维坐标系为空间直角坐标系。

向量由大小和方向组成，可以表示平面或空间上的位移和方向。

2. 直线与圆的性质直线是解析几何中最基本的图形，直线上的点可以用一元一次方程表示。

圆是由平面内到定点距离相等的点的集合，可以用圆心和半径表示。

掌握直线和圆的性质，可以利用它们进行图形的分析和计算。

3. 曲线与方程曲线是平面上的一组点的集合，可以通过方程来表示。

常见的二次曲线有抛物线、椭圆、双曲线等。

掌握曲线的方程，可以确定曲线的形状和性质，对应用问题进行解决。

二、立体几何知识总结1. 空间几何体空间几何体包括点、线、面以及由线和面组成的多面体。

常见的多面体有正方体、长方体、棱锥、棱台等。

掌握空间几何体的性质，可以进行图形的分析和计算。

2. 空间几何体的投影空间几何体的投影是指通过垂直于某个平面的直线，将空间几何体的影子投射到平面上形成的图形。

常见的投影有正交投影和斜投影。

掌握空间几何体的投影方法，可以在实际应用中进行物体的测量和分析。

3. 空间几何体的体积和表面积空间几何体的体积是指几何体所占据的空间大小，常用单位是立方米。

空间几何体的表面积是指几何体外表面的总面积，常用单位是平方米。

掌握计算空间几何体的体积和表面积的方法，可以在实际问题中进行数据的计算和估算。

三、解析几何与立体几何的应用1. 工程测量解析几何和立体几何在工程测量中有广泛的应用。

如通过测量矩形房间的长、宽、高，可以计算出房间的体积和表面积，从而确定材料的用量；通过测量地表和建筑物的坐标，可以进行道路和建筑物的规划和设计等。

高中数学知识点总结及公式大全向量与坐标系的运算高中数学知识点总结及公式大全：向量与坐标系的运算一、引言数学是一门抽象而又实用的学科，它是现代科学和工程技术的基石。

在高中阶段，数学的学习主要分为几个模块，其中包括向量与坐标系的运算。

本文将对这一部分知识点进行总结，并提供相关公式的全面汇总。

二、向量的基本概念向量是数学中一种重要的概念，它具有大小和方向两个要素。

在二维平面上，一个向量可以用两个有序实数表示；在三维空间中，一个向量可以用三个有序实数表示。

向量通常用小写字母加箭头表示，如a→或AB→。

三、向量的加法向量的加法是指将两个向量合并成一个新的向量。

在二维平面上，向量的加法可以用三角形法则或平行四边形法则实现。

具体而言，设向量a→和b→分别为两个向量，它们的和向量为c→，则有以下公式：c→ = a→ + b→四、向量的减法向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。

在二维平面上，向量的减法可以通过向量加法和相反向量实现。

具体而言，设向量a→和b→分别为两个向量，它们的差向量为c→，则有以下公式：c→ = a→ - b→五、向量的数量积向量的数量积是指两个向量的数值乘积与夹角的余弦值之积。

向量的数量积可以用于求夹角的余弦值、求向量的模、判断向量的正交性等。

设向量a→和b→分别为两个向量，它们的数量积为c，则有以下公式：c = |a→| × |b→| × cosθ其中，|a→|和|b→|分别表示向量a→和b→的模，θ表示两个向量的夹角。

六、向量的向标法向量的向标法是一种基于坐标轴的表示方法，通过坐标轴上的点的位置来表示向量。

在二维平面上，可以使用x轴和y轴来表示向量；在三维空间中，可以使用x轴、y轴和z轴来表示向量。

七、坐标系的建立坐标系是用于确定点的位置的一种数学工具。

在二维平面上，常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系；在三维空间中，常见的坐标系有直角坐标系和柱坐标系。

高考数学最无耻的变态得分法有哪些姓名：学校：专业：学号：高考数学最无耻的变态得分法有哪些高考数学最无耻的变态得分法有很多，这些方法都有一些根据，但并不是说是万能的，因为如果屡试不爽的话，那学习数学还有什么意义？所以以下方法仅供大家紧急时使用，不能当做做题的法宝。

高考数学最无耻的变态得分法1、三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。

省时省力!2.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。

如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直接用!用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有2分可以得!3、圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok了4、选择题中如果有算体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽!5、选择题中选项如果是依次增大的四个选项可以排除最大和最小的6、选择题中考线面关系的可以先从D项看起前面都是来浪费你时间的7、选择题中求取值范围的直接观察答案从每个选项中取与其他选项不同的特殊点带入能成立的就是答案8、数列的第一问求不出的话，那么你就一个数一个数地(也就是把1、2等)带进去算，一般是能算出通项公式的。

一般第一问的通项公式要么是等差，要么就是等比。

接着算出第一问的通项公式后，可以用这个公式套用到第二问。

即使第一问不得分，第二问肯定会得9、立体几何中第二问叫你求余弦值啥的一般都用坐标法!如果求角度则常规法简单!10、高考选择题中求条件啥的充要和既不充分也不必要这两个选项可以直接排除!考到概率超小高考数学无耻得分法1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k过程就是先联立，后算，用以下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。

高考数学如何解决复杂的向量几何问题高考数学中，向量几何问题一直是考试中的重点和难点之一。

解决复杂的向量几何问题需要掌握一定的基础知识和技巧。

本文将介绍一些解决复杂向量几何问题的具体方法和步骤。

一、向量的基本概念与性质在解决复杂的向量几何问题之前，我们首先要掌握向量的基本概念与性质。

向量有大小和方向两个要素，用有向线段来表示。

向量的几何表示可以是箭头，也可以是点标。

二、向量的运算解决复杂的向量几何问题需要熟练掌握向量的运算。

向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。

向量的数量积等于两个向量的模长之积与夹角的余弦值的乘积。

三、向量的投影在解决复杂的向量几何问题中，经常会涉及到向量的投影。

向量的投影可以分为数量投影和向量投影。

数量投影是指向量在某个方向上的投影，可以通过向量的模长与夹角的余弦值的乘积计算得到。

向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影，可以通过数量投影与投影方向的单位向量的乘积计算得到。

四、向量的共线与垂直在解决复杂的向量几何问题时，常常需要判断向量的共线与垂直关系。

两个向量共线的条件是它们平行或者其中一个是另一个的倍数。

两个向量垂直的条件是它们的数量积等于零。

五、平面向量的应用平面向量的应用广泛且重要，解决复杂的向量几何问题也需要运用平面向量的相关知识。

平面向量可以表示平面上的点，通过两个不共线的向量可以确定一个平面，并且平面上所有向量都可以表示为这两个向量的线性组合。

六、向量的夹角与方向角向量的夹角是指两个向量之间的夹角。

夹角的计算可以通过向量的内积公式得到。

向量的方向角是指向量与坐标轴正向的夹角。

在解决复杂的向量几何问题时，可以通过夹角和方向角的计算来确定向量的具体方向。

七、坐标系与向量的平移在解决复杂的向量几何问题中，常常需要运用坐标系和向量的平移。

坐标系分为直角坐标系和极坐标系，可以通过它们来确定向量的位置和方向。

向量的平移可以通过向量相加的方式进行，从而得到新的向量。

高中数学向量运算在几何证明中的运用技巧在高中数学的学习中，向量运算作为一个重要的工具，在几何证明中发挥着独特的作用。

它为我们解决几何问题提供了新的思路和方法，使得原本复杂的几何关系变得清晰明了。

向量是既有大小又有方向的量，它可以用有向线段来表示。

在几何中，向量的运算包括加法、减法、数乘以及数量积等。

这些运算有着明确的几何意义，能够帮助我们揭示图形中的位置关系和数量关系。

首先，向量加法在几何证明中的运用十分广泛。

当我们需要证明三角形的中线定理时，就可以巧妙地运用向量加法。

假设三角形 ABC，D 为 BC 边的中点，那么我们有向量 AD ＝ 1/2 （向量 AB ＋向量 AC)。

通过向量加法的平行四边形法则，将向量 AB 和向量 AC 相加，再取其一半，就得到了向量 AD，从而证明了中线定理。

向量减法同样具有重要的作用。

比如，在证明平行四边形的对角线互相平分时，我们设平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点O。

那么向量 AO ＝ 1/2 向量 AC，向量 BO ＝ 1/2 向量 BD。

而向量AC ＝向量 AB ＋向量 AD，向量 BD ＝向量 BA ＋向量 BC ＝向量AB ＋向量 AD。

通过向量的减法运算，就可以得出向量 AO ＝向量BO，从而证明了平行四边形对角线互相平分。

数乘向量在几何证明中也不可或缺。

当我们要证明共线向量的问题时，数乘向量就派上了用场。

如果存在实数λ，使得向量 a ＝λ 向量 b，那么向量 a 和向量 b 共线。

例如，在证明三点共线时，我们可以通过计算两个向量之间的数乘关系来得出结论。

向量的数量积在几何证明中的运用更是丰富多样。

对于求两条直线的夹角问题，我们可以通过计算相应向量的数量积来解决。

假设直线m 和直线 n 的方向向量分别为向量 a 和向量 b，那么它们夹角的余弦值等于向量 a 和向量 b 的数量积除以向量 a 的模长乘以向量 b 的模长。

在证明垂直关系时，向量的数量积也发挥着关键作用。

几何中的向量与其坐标表示在几何学中，向量是一个有大小和方向的物理量。

它可以用不同的方式来表示，其中一种方式是使用坐标表示。

本文将介绍几何中的向量概念，并讨论其坐标表示方法。

一、向量的定义在几何中，向量由两个点确定，其中起始点称为起点，终止点称为终点。

向量通常用箭头来表示，并以字母加上一个箭头或者写成斜体的字母来表示，比如a→或者a。

向量的大小可以通过测量其长度来确定，而方向则可以通过指向其终点的有向线段来表示。

二、向量的性质向量具有以下性质：1. 相等性：两个向量相等当且仅当它们的大小和方向都相同。

2. 平行性：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行的。

3. 反向性：对于任意向量a，存在一个向量-b，使得a和-b的大小相等而方向相反。

4. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它没有大小和方向。

5. 位移向量：位移向量表示由起点到终点的移动过程。

三、向量的坐标表示向量可以使用坐标来表示。

在二维平面上，一个向量可以表示成一个有序数对 (x, y)，其中 x 和 y 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的投影。

在三维空间中，一个向量可以表示成一个有序三元组(x, y, z)，其中x、y 和 z 分别表示向量在 x、y 和 z 轴上的投影。

四、向量的运算向量可以进行以下几种运算：1. 向量的加法：向量的加法可以通过将两个向量的对应坐标分别相加得到。

例如，(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)。

2. 向量的减法：向量的减法可以通过将第二个向量的对应坐标取负值，然后进行向量的加法得到。

例如，(x1, y1) - (x2, y2) = (x1 - x2, y1 -y2)。

3. 向量的数量积：向量的数量积（又称为内积）可以通过将两个向量的对应坐标相乘，然后将结果相加得到。

例如，(x1, y1) · (x2, y2) =x1 * x2 + y1 * y2。

4. 向量的向量积：向量的向量积（又称为叉积）可以通过计算行列式得到。

向量法在立几中的利与弊摘要】数学教学是引导学生发现问题,解决问题、解决问题时往往体现创新能力,创新来自数学问题的研究,数学问题出自数学情景.因此,创设好数学情景,找到好的切入口,引导学生观察、分析、质疑,解决问题,从而达到提高数学课堂教学的质量。

在立体几何教学中，会运用向量法，只有合理进行方法的运用才能够更好地完成立体几何知识的学习.基于这种认识，本文对向量法的运用问题展开研究，以便更好地理解和运用这种方法.【关键词】；向量法；立体几何教学；在高中数学教学中，立体几何通常被划分为两个部分教学.在学习的过程中，学生将掌握综合法和向量法.运用这两种方法，可以加强学生空间想象力和论证推理能力.但在解题的过程中，还应灵活进行解题方法的选择，才能够确保立体几何问题得到顺利解决.一、向量法在立体几何教学中的运用目的在解答高考题时，立体几何试题的设计往往可以运用综合法和向量法这两种方法进行解答.立体几何教学是学生的空间想象力、图形语言能力、论证推理能力.就目前来看，由于使用向量法可以完成程序化操作，无须进行过多思考，很多学生更倾向于使用向量法解答立体几何问题.然而，偏重使用向量法解题，并不利于学生推理论证和空间想象等能力的培养.二、综合法与向量法在立体几何教学中的运用方法对比（一）综合法的运用使用综合法解立体几何题目，要求学生拥有一定的空间构造能力，可以排除点、线、面之间的相互干扰，从而发现题目的隐含条件，并进行问题的求解.为研究综合法的运用方法，可以一道试题为例，对其解题过程展开研究.例1如右图所示，P为圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，圆锥底面与母线夹角为22.5°，底面圆上有两条平行线AB和CD，轴OP与平面PCD夹角为60°.需证明：平面PCD与平面PAB的交线与地面平行.在求解该例题时，通过分析可以发现，问题考查的是学生对空间直线与平面的位置关系的理解，需要学生拥有计算直线与平面和直线与直线夹角的知识和技能.而这种类型的几何模型通常如果利用空间直角坐标系求解，不容易完成三垂直关系的查找，也不好计算点的坐标.所以，如果使用向量法求解，将使问题更加复杂.使用综合法求解，则可以通过画辅助线求解，从而使问题得到简化.具体来讲，就是设平面PAB与PCD的交线为l，然后作图，并使l与AB平行.根据线面平行的判定定理和性质定理以及公理1，就可以证明l与底面平行.在实际做辅助线时，不少学生难以找到二面角的平面角.而使用三垂线定理，则能够帮助学生提高解题效率.在计算角时，则要将其放在三角形中，然后利用三角形知识进行角的求解.（二）向量法的运用使用向量法解答立体几何，可以直接帮助空间想象力稍差的学生摆脱点、线、面关系的困扰，也无须进行辅助线的添加，只需计算坐标就能够得知角度、距离和位置等关系.但是，使用向量法需要完成合适的空间坐标系的建立，才能够顺利完成问题的求解.在具体建立空间坐标系时，可以利用线面垂直关系、面面垂直关系、正棱锥中心与高所在直线或共顶点相互垂直的三条棱完成空间直角坐标系的构建.为研究向量法的运用方法，可以下面的试题为例，对其解题过程展开研究.例2四边形ABCD为矩形，满足AB=2BC=2.平面ABCD⊥平面PCD，△PAB为正三角形，O为CD中点，且BO⊥PA，求二面角B-PA-D的余弦值.分析例题可以发现，根据已知条件，可以D为坐标原点进行空间直角坐标系的构建.坐标系的X轴为DC所在射线，Y轴则为DC右侧与DC垂直的射线，Z轴为DA所在射线.该坐标系为右手系，由于△ADP≌△BCP，所以CP与DP相等，OP垂直于CD，所以PO平行与Y轴.经过计算，可以得出OP=2.由此，就可以得到A、P、O、B各点坐标.在对二面角B-PA-D的平面角进行求解时，可以将其转化为两个平面法向量间夹角或补角，然后写出各向量坐标，并运用向量法完成各向量坐标求解.在此基础上，完成向量间夹角的计算，就可以完成二面角的余弦值求解.在实际解题时，一些学生会认为建坐标系比较困难.针对这一问题，教师需要指导学生学会利用已知点和已知直线建系，并且完成两两垂直的三直线的查找.考虑到教科书中建立的空间直角坐标系都是右手系，学生还应该尽量建立右手系，以免对教师评分产生影响.在选取二面角时，还要根据法向量的选取方向进行二面角的选取.为避免学生在看图上出现误差，教师可以补充案例说明二面角的判断方法.在法向量方向都指向二面角外部或内部的情况下，法向量与二面角的夹角是互补关系.反之，则法向量与二面角的夹角相等.（三）方法的对比分析对比综合法和向量法的运用过程可以发现，向量法的思路更为简单，但是需要学生拥有一定的计算功底.学生在计算向量坐标时，需要确保点的坐标完全正确，才能避免后续计算不会完全徒劳.所以，向量法是利用空间向量和立体几何间的联系进行立体几何的解释，从而通过运算空间向量得到立体几何结论.而综合法则能够更好地体现立体几何课程的开设意图，可以引导学生思考立体空间中点、线、面的关系，有利于培养学生的空间想象能力.但是对于空间想象力较差的学生来讲，想要利用综合法解决立体几何问题需要花费一定的时间思考.因此，在立体几何教学中，向量法和综合法各具一定的优缺点。

空间几何中的向量与坐标在空间几何中，向量和坐标是两个重要的概念，它们在描述和解析空间中的物理量和几何关系时起着关键作用。

本文将介绍向量和坐标的定义、性质以及它们在几何中的应用。

一、向量的定义和性质向量是空间中的一个有大小和方向的量，可以用箭头来表示。

向量的大小用模表示，方向用箭头的指向表示。

在几何中，向量有两种表示方式：代数表示和几何表示。

代数表示就是使用坐标来表示向量，而几何表示则是使用箭头来表示。

向量的运算包括加法、减法和数量乘法。

向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量，向量的减法是用一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，数量乘法是将一个标量与向量的每个分量相乘得到一个新的向量。

向量的性质包括共线性、相等性和平行性。

如果两个向量的方向相同或者相反，它们就是共线的；如果两个向量的大小和方向都相等，它们就是相等的；如果两个向量的方向相同或者相反，但大小不一定相等，它们就是平行的。

二、坐标的定义和性质在空间中，我们可以引入坐标系来描述点的位置。

常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

在直角坐标系中，我们用三个坐标轴x、y和z来描述一个点的位置。

坐标是用有序数组表示的，通常用(x, y, z)来表示一个点在直角坐标系中的位置。

x、y和z分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影。

坐标之间的运算包括点的平移、旋转和缩放。

点的平移是将点沿着某个向量移动一定的距离，点的旋转是将点绕着某条轴旋转一定的角度，点的缩放是将点沿着某个方向进行放大或缩小。

坐标的性质包括唯一性和有序性。

每个点在直角坐标系中有唯一的坐标表示，坐标中的每个分量有一定的顺序。

三、向量与坐标在空间几何中的应用向量和坐标在空间几何中有着广泛的应用。

它们可以用来表示点的位置、直线的方向、平面的法向量以及物体的运动等。

在点的位置表示中，我们可以使用向量来表示两个点之间的位移或者一个点相对于坐标系原点的位置。

向量的加法可以用来得到两个点之间的位移向量，向量的减法可以用来得到一个点相对于坐标系原点的位置向量。

高中几何知识解析向量与几何的关系在高中几何学中，向量是一个十分重要的概念，它与几何的关系密切。

通过解析向量，我们可以更深入地理解几何学中的一些基本概念和定理。

本文将对向量与几何之间的关系进行详细解析，并探讨在几何学中应用向量的一些常见方法。

一、向量的基本概念在几何学中，向量是一个由方向和大小确定的量，通常表示为箭头。

向量可以通过其起点和终点来确定，并用字母加上箭头来表示，例如AB→表示向量AB。

向量的大小通常用绝对值表示，即|AB→|。

向量的方向可以通过箭头所指的方向表示，也可以用坐标轴表示向量的方向。

二、向量的运算向量具有一系列的运算法则，包括加法、减法和数乘。

向量的加法是将两个向量的相应分量相加，形成一个新的向量。

向量的减法是将被减向量的分量与减向量的分量相减，形成一个新的向量。

向量的数乘是将向量的每个分量乘以一个实数，形成一个新的向量。

三、向量的坐标表示在解析几何中，向量可以通过坐标表示。

平面上的向量可以用二维坐标表示，常用的表示方法是用尖括号表示，例如向量AB的坐标表示为<AB>. 同样地，空间中的向量可以用三维坐标表示，表示方法也是用尖括号，例如向量AB的坐标表示为<AB>.四、向量在几何中的应用1. 平行向量平行向量是指它们的方向相同或相反的向量。

在几何学中，平行向量具有一些重要的性质和定理，比如平行向量之间的加法和减法运算结果仍然是平行的向量。

2. 单位向量单位向量是指长度为1的向量。

在几何学中，单位向量常常用来表示方向和标准化量。

单位向量与其他向量的乘积结果仍然是与原向量相同方向但大小不同的向量。

3. 向量的模向量的模表示向量的大小或长度。

在几何学中，向量的模可以用勾股定理来计算，即将向量的分量平方相加后开方。

4. 向量的点积和叉积点积和叉积是向量在几何学中常用的运算。

点积表示两个向量之间的夹角和向量的长度的乘积，而叉积表示两个向量所构成的平行四边形的面积。

几何综合法与向量坐标法的使用调查分析作者：洪昌强胡小莉来源：《福建中学数学》2014年第04期《课标》要求学生“能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量法在研究几何问题中的作用”.“在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量法与综合法，从不同角度解决立体几何问题”[1].其意图表明向量是一种数学工具，具有广泛的应用，同时也为研究立体几何提供了新的视角.实际上，数学教师普遍反映现在的高中学生空间想象能力和逻辑推理能力趋下降，大多数学生在处理立体几何问题时，离开了向量坐标法举步维艰.产生这种现象的原因是什么呢？值得反省.1 调查统计笔者从浙江省台州市三所普通高中的1790名高三理科学生中，随机选取10个班，每5个班为一组，分别为甲组、乙组，甲组做题1，乙组做题2，每组测试时间均为12分钟.题1 如图1，平面PAC⊥平面ABC，ABCΔ是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O 分别为PA，PB，AC的中点，16AC =，10PAPC==.问：在ABOΔ内是否存在一点M，使PM⊥平面BOE，若存在，并求点M到OA，OB的距离.2 提出问题由表1知，题1，題2分别有89%和81%的学生选用坐标法处理.题2使用坐标法满分率仅为14%，却仍有大多数的学生坚持使用坐标法，不会或不愿用几何综合法.这表明多数学生在处理立体几何有关问题时，习惯用坐标法进行解决.学生为什么这样“喜欢”坐标法，而综合法却遭受到如此排挤？立体几何真的要让综合法“退出”吗？这是中学数学教育改革要走的路吗？这些问题值得探究.3 探究解法3.1 几何综合法对于题1，欲直接在ABOΔ内找一点M，使FM⊥平面BOE，会遇到两个较难处理的问题，一个是M点在哪里？另一个是平面/ /FG内与FM垂直的两条直线在哪里？好多学生感到束手无策，解题思路难以捉摸.从表1知，此题选用综合法的人数仅5%.与使用综合法学生座谈时，问：此题你为什么要用综合法处理？有92%的学生回答：平时做立体几何题我喜欢用综合法，综合法解题有味道.表明对学习几何感兴趣的学生还是喜欢几何综合法，可惜这样的学生人数过少.此题关键是将条件“平面PAC⊥平面ABC”转化为“平面BOE⊥平面PAC”，其中“OBAC⊥”是联接两者的媒介.从答题情况来看，学生除了心理上信奉坐标法外，暴露出学生缺乏对条件“PBAC⊥”的深入思考，以及对平面与平面垂直判定定理和性质定理理解上的缺陷，致使解题失败.对于题2，设PC，BC的中点分别为E，F，则平面OEF与平面PAB平行，线段EF就是所求的H点轨迹.再通过对图形的观察分析，因为PO⊥平面，ACAF>，所以PH与平面ABC 所成角中最大角为PFO∠，最小角为PCO∠.这样不难求得结果.由表1知，此题仅有15%的人选用综合法，与使用综合法个别学生生座谈时，问：综合法是你解决此题的首选方法吗？ 78%的学生回答：在用坐标法处理时，发现解题有困难后才改用综合法.表明大多数学生在处理立体几何问题时习惯使用坐标法，综合法被人所忽视.3.2 向量坐标法4 探究原因4.1知识因素应用向量坐标法定量地处理空间图形的位置关系与度量问题，一般的操作步骤是：第一步，建立空间直角坐标系；第二步，计算相关点坐标及各线段对应向量；第三步，通过解方程求相应平面的法向量；第四步，根据向量数量积的公式列式并计算.坐标法虽然运算要求较高，但解题过程具有程式化，这种程序性知识经过一定习题强化训练，学生在解决有关直线、平面所成夹角和长度等问题时，可以达到应付自如.正如文[2]“这是一系列近乎程序化的过程，只要有了基础的知识，代入公式就行”.这也是坐标法被大多数教师和学生所重视、所吸引的主要原因之一.综合法是利用已知条件及定理、性质、法则等已知事实，将问题的初始状态逐步转化到目标状态.立体几何问题离不开几何直观图，现实题目中，其立体图形常是以多面体或不太规则的直观图形式出现，与定理中的“图形”两者间存在一定的差异，有时甚至相距甚远.需要解题者根据题意，通过对图形的观察、比较、分析、综合、想象、判断、改造、转换等思考活动.将复杂的图形分解出基本的图形，有时根据需要作进一步整体化处理，把不规则的图形“修理”为规则图形，把不规则的位置“调整”为规则位置，把“隐藏”的几何特征“显露”在明处.然后找出满足定理的几何模型，再通过这些定理、性质实现相互间位置关系的转换.因此，综合法解立体几何问题，不仅需要智慧技能（简单操作技能和复杂操作技能），更需要认知策略（包括策略性知识和元认知）.相对坐标法来说，综合法思维灵活性大，思维含量也高，学生不易掌握和运用.4.2 教材因素题1、题2都涉及到直线、平面的平行和垂直有关问题，“平行”和“垂直”是直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系中最重要的位置关系.教科书必修2 中2.2和2.3分别安排了3课时[3]，尤其2.3涉及到4个重要几何概念，4个重要定理.尽管对两个判定定理只要求通过直观感知、操作确认方式来获得结论，在此不需要证明，其证明放在选修2-1使用向量法来完成[4].3课时的教学还是很紧张的，教学过程中势必会出现本该需要学生动手操作实验的重要环节处于走过场或干脆被取消，教材中观察、思考、探究等栏目成为一种“摆设”，学生应该训练的练习题因时间仓促被削减.结果造成学生对定义、定理、性质的理解仅停留于表面的、浅显的，所获的知识也属于低认知水平的知识.而综合法解题的主要依据和思维的动力源就是这些定理和性质，致使综合法成为无米之炊.这样势必造成学生应用综合法解立体几何问题能力的缺陷，对用综合法处理稍难的几何题会感到束手无策，对综合法的使用产生畏难心理，采取躲避的方法而选用其它方法给予解决.选修2-1的第三章空间向量与立体几何[4]，这章中的所有例题的处理方法是，教材先介绍向量法和坐标法，然后在例3探究栏目中提出：不建立坐标系，如何解决问题？在例4的思考栏目中提出：用综合法怎样解例4，试比较综合法与例4中的方法.在本章最后一节3.2的小结中指出：“解决立体几何中问题，介绍了三种方法：综合法、向量法、坐标法，如本节的例3对于具体的问题，应根据它的具体条件和特点选择合适的方法”.人教版的教材编写意图是把综合法和坐标法以同等的要求相待，让学生自己去行使选择的权利.在习题配备上，如习题3.2共有15道题目，每题至少可用两种方法进行处理，仅有一道是明显用坐标法做，其余的题目根据学生个人的实际知识水平和能力均可灵活选用.由于这些习题安排在坐标法学习之后，当时学生所学的综合法又没有及时得到深化和落实，时间相隔近一年之久，再加上部分教师对新课标下立体几何的教学要求产生误解，低估了综合法的教育价值，过度降低了综合法的要求.本章的内容又是向量法与坐标法唱主角，坐标法显然具有得天独厚的有利条件，这样坐标法进一步得到了巩固和加强.相反，综合法遭到冷落慢待，再优美的方法，若不经常使用也会渐渐枯竭.4.3 高考因素纵观浙江普通高中实施新课程改革下五年高考立体几何解答题，在设置试题时，对建立坐标系的环境给予了充分考虑，并提供了使用坐标法解题的良好背景.因此，用坐标法都能比较顺便得到解决.在参考解答所提供的解法上，第（2）问既提供了坐标法又给出综合法，而在第（1）问没有提供综合法，仅是坐标法.从所需要的知识量和能力程度上看，各年的题目用综合法处理要比坐标法要求高，这些都表明命题组的意愿是侧重坐标法进行处理.从往年高考阅卷抽样统计知，坐标法平均得分要高于综合法，这些为中学教师和学生发出信号，高考中用坐标法处理立体几何解答题要比综合法优越.平时喜欢几何的同学，用综合法解题时，有些教师反而说：“高考的题目通过建系都能做得出来，再好不要用综合法，没有必要去冒着这样的风险”.这是对有学习几何潜质的学生极大挫伤，压抑了学生的个性发展.尽管坐标法需要一定的运算量，且存在因运错出错而导致失分的可能，但他们宁愿采用坐标法.之所以多数学生这么热衷于坐标法，从高考层面来看，坐标法有助于应试.根据当前的高考阅卷评分规则，只要答案是正确的，解题过程又符合答题要求的就给满分.这无疑给高中立体几何教学带来了不良的导向——只是寻求答案的对和错，追求分数的高和低，很少思考背后隐藏的含义.因此立体几何教学中，出现过分抬高坐标法的地位和作用的现象在所难免.但这种学习过程使学生学不到高层次的学习和思考的技能，培养出来的学生只会机械模仿照搬，没有创造力，将来进入社会也很难成为一名优秀员工.5 结束语数学教学不仅让学生会解题，还要让学生在学习数学知识过程中，掌握一般的科学研究方法，培养思维能力，发展智力，这是数学教学根本任务.立体几何的主要任务，就是通过对空间几何体点、线、面位置关系及其度量关系的研究作为培养途径，提高学生空间想象能力和逻辑推证能力.“学生需要有一定的演绎推理训练，在这方面欧氏几何迄今似乎仍然是无可替代的载体，过分减弱达不到这样目标”[5].数学教育家波利亚也曾说过，一个学生不了解这个或那个特殊的几何事实并不要紧，因为在他以后的生活中，也许很少用到这个事实.但是如果他没有学会几何证明，他就没有学到证实论据的最好和最简单的实例，也错过了获得严格推理能力的最好锻炼机会.用综合法解题更能培养勇于探索的创新精神，更能释放他们的思维天性.高中立体几何教学要倡导真正具有教育价值的教育，这也是中学数学教育改革所需要走的路.因此，在当前立体几何教学中重视几何直观，对综合几何法进行推理论证的要求有所降低的背景下，我们更要认清教育改革的本质，把立体几何教学中不该出现而已出现的“单边倒”现象纠正过来，恢复综合法、坐标法各自的地位，充分发挥两种方法在立体几何中的积极作用，并把获取知识的权力交还给受教育者手中.参考文献[1]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）.北京：人民教育出版社，2003，4[2]陈武生.给过分强调用向量方法解立体几何题唱唱反调.数学通报，2006（9）：30-32[3]人民教育出版社中学数学室.普通高中课程标准实验教科书数学必修2（A版） .北京：人民教育出版社，2007[4]人民教育出版社中学数学室.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1（A版） .北京：人民教育出版社，2007[5]李文林.数学课程改革中的传统性与时代性.数学通报，2008（1）：7。

“综合法”还是“向量法”作者：陈瑶来源：《科学大众·教师版》2014年第04期摘要：解决立体几何问题有“综合法”和“向量法”，本文通过具体案例，对学生出现的问题及思维的误区进行分析总结，使得对立体几何的学习有更深刻的认识。

关键词：综合法；向量法；选择中图分类号：G633．6文献标识码：A文章编号：1006-3315（2014）04-023-002在高中学习中，立体几何被分成两个阶段进行教学。

第一部分安排在高一学习的《必修2》，第二部分安排在高二学习的《选修2-1》。

这两种解决立体几何的方法通常称为“综合法”和“向量法”。

对于一种题型，有了多种解法，无疑使学生在做题的过程中有了更多的选择，成功率也应该大大提高。

但在实践中，学生并没有因为立体几何解法的多样性而变得轻松。

这引发了笔者的思考：在考试中，到底是选择传统的“综合法”，还是选择偏重于计算的“向量法”呢？考试的时间是有限的，只有在最短的时间内作出正确的判断，缩短解题时间，才能取得考试的成功。

下面，本人就最近的一道测试题，来探讨这个问题，并加以分析。

问题如图1，一直四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2,△PAB是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD。

（1）若O是CD的中点；证明BO⊥PA；（2）求二面角B-PA-D的余弦值。

上述这道题选自2013广东深圳二模，在本年级理科统一测试中选用了此题，批改的过程中，笔者发现有相当数量的同学第一问采用的综合法，第二问采用的向量法。

也有部分同学从第一问就开始尝试向量法，但效果不尽人意。

1.综合法“小露锋芒”综合法要求学生具备较强的空间构造能力，能在短时间内剔除无关点、线、面的干扰，透过图形看到所求问题的本质，通过发掘题目中的隐含条件或者辅助线等方式，很快解决问题。

就本题而言。

第一问：要证明线线垂直，须找到线面垂直，而图形线条较分散，须连接两条辅助线OA，OP，构造平面AOP，然后证明OB⊥平面OAP，进而得到线线垂直。