第一轮总复习课件(理数)：第35讲 数列求和新课标高中数学

1 an
}的前n项和 ,
所以
n( n 1) 因为an=1+2+…+n= 2 1 2 1 1 an = n 1 =2( n - n 1 ),
1 1 1 故Sn=2[(1- 2 )+( 2 - 3
)+…+( -
1 n
2n 1 n 1 )]= n 1
.
3.数列1
1 2
和Sn=
1 1 ，3 4 ，5 8 1 2 n +1- 2 n .
1 )= 2
,
n 1 1 (2) an=f(0)+f( n )+…+f( n )+f(1), 1 n 1 又an=f(1)+f( n )+…+f( n )+f(0), 1 n 1 两式相加2an=[f(0)+f(1)]+[f( n )+f( n n 1 2 , +［f(1)+f(0) ］ = n 1 所以an= 4n 1 ,n 1 ∈ 1 N*, n 1 4 4 4
.
2.倒序相加法
将一个数列倒过来排序，它与原数列相 加时，若有公因式可提，并且剩余的项易于 求和，则这样的数列可用倒序相加法求和. 3.分组转化法 分析通项虽不是等差或等比数列，但它 是等差数列和等比数列的和的形式 , 则可进 行拆分，分别利用基本数列的求和公式求和， 如求{n(n+1)}前n项的和.
(4)
=⑩ (n+1)!-n! 11
;
(5)n· n!=
.
6.并项法
将数列的每两项(或多次)并到一起后，再
典例精讲
题型一 分组求和及并项法求和 例1 求和：
(1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+
…+3n-2);
(2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1· n2.
1 ，716 ，…的前n项
=n2+1- 2 n .
1 1 S=(1+3+5+…+2n-1)+( 2 + 4 1
1 +…+ 2 n
)
4. 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn=1-3+57+…+(-1)n-1(2n-1)(n∈N*) ， 则 S2008+S2009+S2010=（ B ） A.-2008 B.-2009
(1)因为an=(2n-1)+2n+(2n+1)+…+（3n-2）
3 n(2n 1 3n 2) 5 2= = n 2 n, 2 2 5 3 2 (12+22+32+…+n2)- 2 所以 S = n 1 = 6 n(n+1)(5n-2)(n∈N*).
(1+2+…+n)
(2)当n是偶数时， Sn=(12-22)+(32-42)+…+［(n-1)2-n2］ =-3-7-…-(2n-1)=
所以S
+S
+S
=-2008+2009-2010=-
5.设f(x)=
，则f(x)+f(1-x)= ，并 利用课本中推导等差数列前n项和公式的 方法,求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6) 3 2 的值为 .
1 2x 2
2 2
1 f(x)+f(1-x)= 2 x 2
= =
1 2x 2x 2 + 2 2 2x 1 2 2 = 2 .
=
1 + 21 x 2 1 2x 1 2 2x 2 + 2x 2
又设S=f(-5)+f(-4)+…+f(6),
则S=f(6)+f(5)+…+f(-5),
2 所以2S=[f(6)+f(-5)]+[f(5)+f(4)]+…+[f( 2 2
1 2
给予证明4 ;
4 an 1 (3)令bn= 16 n
,Tn=b12+b22+b32+…+bn2,
1 1 1 1 (1)因为f( 2 )+f(1- 2 )=f( 2 )+f( 2 1 1 所以f( 2 )= 4 , 1 1 1 1 令x= n ，得f( n )+f(1- n )= 2 , n 1 1 1 即f( n )+f( n )= 2 .
,
n
①
a n 1
+
,
②
1 1 n (1- )Sn= + a 2 +…+ a n - a n 1 1 . a n a ( a 1) n(a 1) 两边同除以 (1) 并整理得 a n (a 1)2 n( n 1) Sn= . 2 综上所述,Sn= a(a n 1) n(a 1) a n (a 1)2
}的前n项和Sn;
+…+
1 bnbn 2
3 与 4 的大小
1 10 2= q 3 3
(1) 依 题 意 ， 10a3=a1+9a5 ， 即
+ q 4× 9 ，
1 3
整理得9q4-10q2+1=0，解得q2= 又q>01 ，且q≠1， 1 所以q= ，此时，an=a1
3
1 或9 q2=1，
3 n n-1 · q =( ) .
1 bnbn 2
=
- (
+
)<
对n∈N*恒成立.
点评 （ 1 ）若数列的通项能转化为 an=f(n+1)-f(n) 的形式，常采用裂项
相消法求和，关键是裂项成功，如 本例第（2）（3）问. （ 2 ）使用裂项相消法求和时，要注 意正负项相消时消去了哪些项，保 留了哪些项.
题型三 错位相减法求和
题型四 倒序相加及综合应用
n 1 )+f( n )(n∈N*)的值； 1 2 (2)数列{an}满足:an=f(0)+f( n )+f( n )+… n 1 +f( n )+f(1),数列{a }是等差数列吗？请 1 1 (1)求f( 2 )和f( n
n
例4 f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)= .
新课标高中一轮总复习
理数
• 第五单元 • 数列、推理与证明
第35讲
数列求和
1. 熟练掌握等差、等比数列的求 和公式.
2. 掌握非等差、等比数列求和的 几种常见模型与方法.
1.若数列{an}为等比数列，S5=10,S10=50,则 210. S15=
2.若an=1+2+…+n，则数列{ 2n Sn= n 1 .
1 a 1 a
由①-②，得
1 1 [1 ( ) n ] a a = 1 1 a
- a n 1
n
(a=1) (a≠1).
（ 1 ） 若 数 列 {an} 为 等 差 数 列 ， 点评 {bn} 为等比数列，则数列 {anbn} 的前 n 项和可采用错位相减法求和； （ 2 ）当等比数列公比为字母时，应对 字母是否为1进行讨论. （ 3 ）将 Sn 与 qSn 相减合并同类项时，注 意错位及未合并项的正负号.
4.错位相减法
利用等比数列求和公式的推导方法求解， 一般可解决型如一个等差数列和一个等比 数列对应项相乘所得数列的求和，如求数 列{n· 3n}的前n项和. 5.裂项相消法
把数列和式中的各项分别裂开后，消去 1 一部分从而计算和的方法，它适用于通项 a a 1 1 1 1 为 的前n项求和问题，其中 {an}为等差 d a a a a 数列，如 = ( ).
备选题
已 知 数 列 f(x)=ax+b, 当 x∈[a1,b1] 时 ， f(x) 的值域为 [a2,b2] ，当 x∈[a2,b2] 时， f(x) 的值域为 [a3,b3],…,以此类推，一般的，当 x∈[an-1,bn-1]时，f(x)的值域为[an,bn]，其中 a、b为常数，a1=0,b1=1. (1)若a=1,求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)若a<0，求证：{bn-an}是等比数列.
(2)因为
1 bnbn 1
1 1
1 bn=log3 an
=
1 2
1 n(n 1)
=-log3an=n,
1 n 1
= -
1 n
,
1 n 1
所以Sn=b1+b2+…+bn
=(
1 1 - )+( 2 - 3 1 n n 1 n 1
1 )+…+( n
-
)
=1-
=
.
1 1 1 1 (3)因为 = n(n 2) = 2 ( n - n 2 ), 1 1 1 1 1 1 1 所以原式= 2 [( 1 - 3 )+( 2 - 4 )+( 3 - 5 ) 1 1 1 1 1 1 +( 4 - 6 )+…+( n 1 - n 1 )+( n - n 2 )] 1 1 1 1 2 ) = 2 (1+ 2 - n 1 - n1 1 3 1 3 n2 2 n 1 4 4
C.2009
D.2010
当n=2k(k∈Z)时，
Sn=(1-3)+(5-7)+…+[(2n-3)-(2n-1)]