七年级上册第三章整式及其加减知识点

第三章 整式及其加减思维导图减加其及式整⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧+--=-+--+=-++⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧c b a c b a c b a c b a )()(去括号法则的指数不变系数相加，字母和字母同类项时，把同类项的合并同类项法则：合并做同类项的指数也相同的项，叫母相同，并且相同字母同类项的概念：所含字整式的加减几次几项式叫做这个多项式的次数次数最高的项的次数，次数：一个多项式中，单项式叫做多项式的项项：在多项式中，每个叫做多项式定义：几个单项式的和多项式这个单项式的次数所有字母的指数和叫做次数：一个单项式中，因数系数：单项式中的数字的代数式叫做单项式定义：数与字母的乘积单项式整式的值母，就可以求出代数式数值代替代数式里的字求代数式的值：用具体题中的数量关系—用代数式表示简单问—列代数式成的式子叫做代数式符号把数和字母连接而代数式的概念：用运算代数式探索与表达规律公式数量关系运算律字母能表示什么字母表示数考点三整式特别提醒：单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．如ba234一般不写成ba23113.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．单项式的次数仅与字母有关，而与系数的指数和π的指数无关.特别提醒：（1）若单项式中的某个字母没有写指数，则这个字母的指数是1，而不是0．如2x2y 中，y的指数为1.（2）单独一个非零数的次数是0．如2的次数是0.多项式1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.4.多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数．例如：x2-5x+3的项数是3，项分别为x2，-5x，3；3a2b＋7b－2的项数是3，项分别为3a2b，7b，-2.特别提醒：（1）多项式中各单项式前的“＋”或“一”是这个单项式的性质符号，多项式中的“和”是指省略加号的代数和，故确定多项式的项时，不要忽略它们的符号.（2）一个多项式含有几项，最高次项的次数是几次就叫几次几项式.如3a2b＋7b－2的项分别是3a2b，7b，－2，共3项，最高次项的次数是3，故它是三次三项式.整式1.单项式和多项式统称为整式，即整式⎩⎨⎧多项式单项式2.代数式、整式、单项式、多项式之间的关系，如图所示：3.整式是代数式的一种类型.特别提醒：分母中含有字母的式子一定不是整式.同类项的概念所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．特别提醒：（1）判断几个项是不是同类项有两个条件：一是所含字母相同；二是相同字母的指数分别相同．同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．（2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关.（3）特别注意，几个常数也是同类项合并同类项1.把同类项合并成一项叫做合并同类项。

整式的加减培优讲义考点1.利用整体思想化简求值典例精析（2022秋•旌阳区校级期中）阅读材料：我们知道，4x ﹣2x +x ＝（4﹣2+1）x ＝3x ，类似地，我们把（a +b ）看成一个整体，则4（a +b ）﹣2（a +b ）+（a +b ）＝（4﹣2+1）（a +b ）＝3（a +b ）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把（a ﹣b ）2看成一个整体，合并3（a ﹣b ）2﹣6（a ﹣b ）2+5（a ﹣b ）2的结果是 ．（2）当x ＝1时，代数式a 2x 3+bx ﹣5的值为2，则当x ＝﹣1时，求代数式2a 2x 3+2bx ﹣10的值．拓广探索：（3）求2（3m 2+n ）﹣3（2m 2﹣mn ）﹣（4mn ﹣2m ）的值，其中m +n ＝3，mn ＝﹣9． 方法归纳整式化简求值时，若无法直接求出字母的值，且整式的 某部分与已知条件中的某部分相似，可利用整体思想解题，应用此方法， 一般先将求 值式变形为与已知条件相似或者相同，或者成倍数关系的 形式，再利用整体代入的方法求解.针对训练1.如果代数式8y 2﹣4y +6的值是﹣10，那么代数式2y 2﹣y ﹣4的值等于（ ）A ．0B ．﹣5C ．﹣8D ．8 2.对于任意的有理数a ，b ，如果满足a 2+b 3=a+b 2+3，那么我们称这一对数a ，b 为“相随数对”，记为（a ，b ）．若（m ，n ）是“相随数对”，则2[4m +（2n +1）]+m ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．33.（2022秋•黄陂区期中）当x ＝2时，代数式ax 3﹣bx ﹣1的值为﹣15，则当x ＝﹣1时，代数式16ax 2+4bx +3的值为 ．4.（2022秋•济南期末）已知m ﹣n ＝2，mn ＝﹣5，则3（mn ﹣n ）﹣（mn ﹣3m ）的值为 ．5.先化简，再求值．若m 2+3mn ＝﹣5，则代数式5m 2﹣[5m 2﹣（2m 2﹣mn ）﹣7mn +7]的值．6.（2023秋•大连期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简4（a +b ）﹣2（a +b ）+（a +b ）．解：原式＝（4﹣2+1）（a +b ）＝3（a +b ）．参照本题阅读材料的做法解答：（1）把（a ﹣b ）6看成一个整体，合并3（a ﹣b ）6﹣5（a ﹣b ）6+7（a ﹣b ）6的结果是 ．（2）已知x 2﹣2y ＝1，求3x 2﹣6y ﹣2023的值．（3）已知a ﹣2b ＝3，2b ﹣c ＝﹣4，c ﹣d ＝10，求（a ﹣c ）+（2b ﹣d ）﹣（2b ﹣c ）的值．7.（2022秋•公主岭市期中）[阅读理解]若代数式x 2+x +3的值为7，求代数式2x 2+2x ﹣3的值． 小明采用的方法如下：由题意得x 2+x +3＝7，则有x 2+x ＝4，2x 2+2x ﹣3＝2（x 2+x ）﹣3＝2×4﹣3＝5． 所以代数式2x 2+2x ﹣3的值为5．[方法运用]（1）若代数式x 2+x +1的值为10，求代数式﹣2x 2﹣2x +3的值．（2）当x ＝2时，代数式ax 3+bx +4的值为9，当x ＝﹣2时，求代数式ax 3+bx +3的值．[拓展应用]若a 2﹣ab ＝26，ab ﹣b 2＝﹣16，则代数式a 2﹣2ab +b 2的值为 ．8.（2023秋•深圳期中）在代数式求值问题中，整体思想运用十分广泛，如：已知代数式5a +3b ＝﹣4，求代数式2（a +b ）+4（2a +b ）+3的值．解法如下：原式＝2a +2b +8a +4b +3＝10a +6b +3＝2（5a +3b ）+3＝2×（﹣4）+3＝﹣5．利用整体思想，完成下面的问题：（1）已知﹣m 2＝m ，则m 2+m +1＝ ；（2）已知m ﹣n ＝2，求2（n ﹣m ）﹣4m +4n ﹣3的值．（3）已知m 2+2mn ＝﹣2，mn ﹣n 2＝﹣4，求3m 2+92mn +32n 2的值． 例.（2022秋•北京期末）我们规定：使得a ﹣b ＝2ab 成立的一对数a ，b 为“有趣数对”，记为（a ，b ）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”．（1）数对（1，13），（1.5，3），（−12，﹣1）中，是“有趣数对”的是 ；（2）若（k ，﹣3）是“有趣数对”，求k 的值；（3）若（m ，n ）是“有趣数对”，求代数式8[3mn −12m ﹣2（mn ﹣1）]﹣4（3m 2﹣n ）+12m 2的值．方法归纳三步解决“新定义”问题 (1)审题——提取信息提取关键词，明确“新定义”的概念、原理、方法、步骤和结论；(2)理解——以旧引新利用“例子”及“旧知识”理解 和正确运用“新定义”;(3)转化——迁移应用类比“新定义”中的概念、原 理、方法、步骤和结论，解决题目中需要解决的问题.针对训练1.（2022秋•桥西区校级期末）定义一种新运算：a ⊗b ＝a ﹣2b ．例如2⊗3＝2﹣2×3＝﹣4，则x ⊗（﹣y ）化简后的结果是（ ）A ．x +2yB ．2x ﹣yC ．x ﹣2yD ．2x +y 2.（2022秋•荆门期末）定义一个新运算f （a ，b ）={a +b(a ＜b)a −b(a ＞b)，已知a 2＝4，b ＝1，则f （a ，b ）＝ ．3.（2023•北碚区校级开学）对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“逊敏数”．例如：m ＝7523，满足2+3＝5，2×2+3＝7，所以7523是“逊敏数”；m ＝9624，满足2+4＝6，但2×2+4＝8≠9，所以9624不是“逊敏数”．（1）判断7431和6541是不是“逊敏数”，并说明理由；（2）若m 是“逊敏数”，且m 与12的和能被13整除，求满足条件的所有“逊敏数”m ．4.（2022秋•港北区期中）定义：若m +n ＝2，则称m 与n 是关于2的平衡数．（1）3与 是关于2的平衡数；5﹣x 与 （用含x 的整式表示）是关于2的平衡数．（2）若A ＝2x 2﹣3（x 2+x ）+4，B ＝2x ﹣[3x ﹣（4x +x 2）﹣2]，判断A 与B 是否是关于2的平衡数，并说明理由．5.（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a ＞b ＞c ．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若F(A)+G(A)16为整数，求出满足条件的所有数A ．例.（2022秋•霞浦县期中）用火柴棒按如图的方式搭图形．（1）按图示规律完成下表：图形1 2 3 4 5 … 火柴棒根数 5 9 13 …（2）按照这种方式搭下去，搭第n 个图形需要 根火柴棒．（用含n 的代数式表示）（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由．方法归纳图形变化规律问题解决图形变化规律问题可以从“形”和“数”两个角度 入手，通过逐一观察图，分析和归纳出图形或数字的变化规律，从而得出答案.这体现 了从特殊到一般的数学思想. 针对训练1.（2022秋•新城区校级期中）按一定规律排列的单项式：x 3，2x 5，3x 7，4x 9，5x 11，6x 13……第n （n ≥1，n 为正整数）个单项式是（ ）A ．nx n +1B ．nx 2n +1C ．nx 2n ﹣1D ．x 2n +12.（2022秋•泗水县期末）学校举办图画展览，需要依次把图画作品横着钉成一排（如图所示），图中圆点表示图钉，照这样的规律，当需要的图钉颗数为2022颗时，则所钉图画作品的数量为（ ）A ．1011张B ．1010张C ．1009张D ．1012张3.（2022•大同模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由相同的正方形和相同的圆组成的，正方形涂有阴影，依此规律，则第n 个图案中有 个圆．（用含有n 的代数式表示）4.如图，第1个图形需要3个棋子，第2个图形需要8个棋子，第3个图形需要15个棋子，…，按照这样规律第n 个图形需要 个棋子（用含n 的代数式表示）．5.（2023•沙县一模）用棋子摆出下列一组图形（如图），按图上所显示的规律继续摆下去，摆到第个图形时，这组图形总共用了 枚棋子．6.观察下面三行数：2，﹣4，8，﹣16，32，…①1，﹣5，7，﹣17，31，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…③（1）第①行数按什么规律排列，请直接写出第n 个数为 （n 是正整数）．（2）第②行数与第①行数有什么关系，请直接写出第②行第n 个数为 （n 是正整数）．第③行数与第①行数有什么关系，请直接写出第③行第n 个数为 （n 是正整数）．（3）取每行数的第21个数，分别设为a ，b ，c ，求12a +12b +2c 的值．。

整式及其加减是数学七年级上册的重要知识点之一，在学生学习过程中往往会遇到一些难点和易错点。

为了帮助学生更好地掌握这一知识点，本文将对人教版数学七年级上册整式及其加减考点进行详细分析和解读。

一、整式的概念及特点1. 整式的定义：整式是由若干个字母与常数通过加、减、乘、乘方等运算符号连接而成的代数表达式。

2. 整式的特点：整式和多项式的区别在于，整式中可能含有有理数指数的正整数次幂，也可能含有有理数指数的负整数次幂，并且可能含有有理数指数的零次幂。

二、整式的加减运算规则3. 整式加减的基本规则：整式的加减运算遵循同类项之间可以相加或相减的法则，即同类项可以合并为一个项。

4. 整式加减的步骤：在进行整式的加减运算时，首先要对整式中的同类项进行合并，然后按照合并后的结果进行简化，最终得到一个最简整式。

5. 整式加减的注意事项：在进行整式的加减运算时，需要注意各项系数的正负、字母的次数和字母的顺序，以免出现计算错误。

三、整式加减的常见类型题目6. 整式加减的基础练习：例如给出一个简单的整式加减题目，让学生通过合并同类项和简化整式来求解。

7. 整式加减的拓展练习：例如给出一个较复杂的整式加减题目，涉及到多个字母和多个项的加减运算，考察学生对整式加减运算规则的掌握程度。

8. 实际问题解决类题目：例如给出一个实际生活中的问题，通过建立整式模型来求解，考察学生运用整式加减进行实际问题求解的能力。

四、整式加减的解题技巧和方法9. 整式加减的化简方法：在进行整式加减运算时，可以通过扩括号、合并同类项、提取公因式等方法进行化简，从而简化整式的计算过程。

10. 整式加减的变形技巧：当遇到复杂的整式加减题目时，可以通过整理项的顺序、利用加法逆元等方法进行整式的变形，使得整式的计算更加简便。

11. 整式加减的实际问题转化方法：对于实际问题解决类的整式加减题目，可以通过建立适当的代数模型，将问题转化为整式加减的求解过程，从而更好地解决实际问题。

《第三章整式及其加减》知识归纳1。

字母表示数1）字母表示运算律.2）字母表示计算公式;字母可以表示任何数。

2。

代数式1)概念：像4+3（x-1),x+x+(x+1），a+b,ab,2(m+n)，s/t 等式子都是代数式，单独一个数或一个字母也是代数式,如—5，a,b等. 2）书写要求：①字母与字母相乘时，乘号通常简写作“ "或省略不写；数字与字母相乘时，数字在前;带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘；数字与数字相乘仍用“×”.②除法一般写成分数形式③如果代数式是积或商的形式，单位直接写在后面;如果是和或差的形式,必须先把代数式用括号括起来再写单位。

3。

整式1）单项式：表示数字和字母的积，单独的一个数或一个字母也是单项式.① 系数：单项式中的数字因数(包括其前面的符号）。

② 次数：单项式中,所有字母的指数的和;单独的数字是0次单项式。

注意：(1）单项式中数与字母之间都是乘积关系,凡字母出现在分母中的式子一定不是单项式，如1/x不是单项式；(2)单项式中不含加减运算;（3）π是常数,在单项式中相当于数字因数;（4）定义中的“数”可以是小数,也可以是分数、整数。

2）多项式：几个单项式的和；在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几项,就叫几项式；次数：多项式里，次数最高项的次数，是多项式的次数；注意：（1）确定多项式的项时，不要忽略它的符号；（2）关于某个字母的n次m项式，要求是合并同类项后的最简多项式。

3) 整式：单项式和多项式统称为整式.4）同类项:① 概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；与它们的系数大小无关，与字母顺序无关；几个常数也是同类项.②合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。

4。

整式的加减:1）整式加减是求几个整式的和或差的运算，其实质是去括号，合并同类项2）法则：几个整式相加减，用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接,然后去括号，合并同类项.3)化简求值：一是相加减化简,二是用具体数值代替整式中的字母，三是按式子的运算关系计算,计算其结果.。

七年级上册数学整式的重要知识点整式是数学中的一个重要概念，在初中数学教育中占有重要的地位。

在这篇文章中，我们将介绍七年级上册数学中整式的重要知识点，希望对学生们的数学学习有所帮助。

一、整式的定义整式是由常数和单项式相加减得到的式子。

常数可以看作是没有变量的单项式，单项式是由因数和幂次数相乘得到的式子。

例如，3、2x、2x^2、-5y等都是整式。

二、多项式的定义多项式是由多个含有变量的单项式相加、相减得到的式子。

例如，2x^2+3x+1、-5x^2+2y+7、4x^3+3x^2-2xy+5等都是多项式。

三、整式的分类整式可以根据各项的次数进行分类，分别为常数、一次、二次、三次等等。

1. 常数：次数为0的整式，例如3、-7、2p^0等等。

2. 一次：次数为1的多项式，例如3x+5y、-2xy+3等等。

3. 二次：次数为2的多项式，例如3x^2+2x-1、-4y^2+7z等等。

4. 三次：次数为3的多项式，例如x^3+2x^2-5x+3、-2xyz+3y^3+7等等。

四、整式的加减法整式的加减法与数的加减法类似，只需要将同类项合并即可。

同类项指的是次数相同、对应项系数也相同的项。

例如：(2x^2+3x-5)+(5x^2-2x+4)=7x^2+x-1(3y^3+2y-5)-(4y^3-6y+2)=-y^3+8y-7五、整式的乘法整式的乘法是将每一项都与另一式多项式的每一项进行乘法运算，然后将结果相加即可。

例如：(3x+2)(2x-5)=6x^2-x-10(2x^2+3x-1)(x-2)=2x^3-x^2-7x+2六、整式的除法整式的除法可以通过长除法来解决，将较高次数的整式作为被除式，较低次数的整式作为除数，然后逐步计算出商和余数。

例如：(3x^2-2x+1) ÷ (x-1)= 3x-2+3/(x-1)(5x^3-2x^2+7x+1) ÷ (x-2)= 5x^2+8x+23+55/(x-2)七、整式的因式分解整式的因式分解是将一个多项式拆分成多个因式相乘，其中每个因式都是一个单项式或者多项式。

北师大版数学七年级上册《第三章整式及其加减》说课稿一. 教材分析北师大版数学七年级上册《第三章整式及其加减》是学生在学习了实数、代数式等基础知识后，进一步学习整式的加减运算的重要章节。

本章主要内容包括整式的概念、加减运算、以及整式的应用。

整式作为初中数学的基础内容，不仅在学习后续章节中占有重要地位，而且对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力也具有重要作用。

本章内容分为7个小节，分别是：1. 整式的概念；2. 整式的加减运算；3. 同类项；4. 整式的乘法；5. 整式的除法；6. 整式的应用；7. 复习与总结。

其中，整式的加减运算是本章的重点，而整式的乘除法则是对整式加减运算的进一步拓展。

二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了实数、代数式等基础知识，对于整式的概念和运算有一定的理解。

但他们在整式的加减运算方面，可能还存在一些困难，如对同类项的理解、对整式加减运算的规则等。

因此，在教学过程中，需要注重对这些知识点的讲解和巩固。

三. 说教学目标根据新课程标准的要求，本节课的教学目标分为三个方面：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。

1.知识与技能：使学生掌握整式的概念，理解并掌握整式的加减运算规则，能够正确进行整式的加减运算。

2.过程与方法：通过观察、思考、讨论等方法，引导学生自主探究整式的加减运算规则，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极思考、合作交流的学习习惯，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点本节课的重难点是整式的加减运算。

其中，同类项的识别和整式加减运算的规则是学生理解和掌握的难点。

五. 说教学方法与手段为了突破本节课的重难点，我将以引导探究法为主，辅以讲解法、讨论法等教学方法。

通过引导学生观察、思考、讨论，让学生在自主探究中理解和掌握整式的加减运算规则。

同时，利用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，提高课堂教学效果。

初中数学七年级上册《整式及其加减》知识点总结一、基本概念1、单项式(1)由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式, 单独一个数或一个字母也是单项式。

(2) 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

①单项式只含有乘法，包括乘方和以数字做除数的除法，即单项式的字母不能含有字母。

②圆周率π是常数，即π的系数是π，次数是0。

③当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写。

④单项式次数只与字母指数有关。

2、多项式(1)几个单项式的和叫做多项式。

(2)每个单项式叫做多项式的项。

其中，不含字母的项，叫做常数项。

(3)一个多项式含有几项，就叫几项式。

多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。

①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是所含项的次数最高者决定的。

②多项式的每一项都包括它前面的符号。

③多项式不能出现以字母为除数的项。

3、整式（单项式与多项式统称整式）4、（补充）降幂排列与升幂排列(1)把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做降幂排列。

(2)把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做降幂排列。

①重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；②含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列。

5、同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。

所有的常数项都是同类项。

①判断同类项有两条标准：一是字母完全相同，二是相同字母的指数相同。

②同类项与所含字母的顺序无关。

③在决定两个单项式是否是同类项时，系数不起作用。

6、合并同类项(1)把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

(2)合并同类项的法则：①只有同类项才能进行合并。

②一般来说，计算过程中同类项必须合并，计算结果中不能有同类项存在。

7、去括号法则法则(1)(2)①括号前有系数时，应先用分配律把系数与括号内的每一项相乘，再去括号。