Cha4-4渐近线及作图
- 格式：pdf
- 大小：190.33 KB
- 文档页数：6
下载文档原格式
合集下载
chap-4
经数学变换，两组颜色空间色度坐标的相互转换
关系为：
x=(0.490r+0.310g+0.200b)/(0.667r+1.132g+1.200b) y=(0.177r+0.812g+0.010b)/(0.667r+1.132g+1.200b)
z=(0.000r+0.010g+0.990b)/(0.667r+1.132g+1.200b)
1931 CIE-RGB系统标准色度观察者光谱三刺
激值，简称 1931 CIE-RGB系统标准观察者
用很多观察者 来实验，匹配 光谱的各个颜 色，得到很多 组不同的三刺 激值，最后取 它们三刺激值 的平均结果。
1931CIE-RGB系统的光谱三刺激值是从实验得出来
的，本来可以用于颜色测量和标定以及色度学计算， 但是实验结果得到的用来标定光谱色的原色出现了 负值(有些颜色纯度太高)，正负交替十分不便，不 宜理解。
2、颜色光的混合
调节上方 三原色光 到适应的 比例，即 可混合出 下方的待 匹配的色 光。
同色异谱：二个颜色在视觉上感觉相同，但光 谱组成却不一样。
二、颜色方程：
用数学的方程形式来描述颜色的匹配实验。 C≡R(R)+G(G)+B(B) ≡：代表匹配，即视觉上相等。 R、G、B代表)、(B)代表混合所用的三原色
在颜色转盘实验中，若处在中间位置的被匹
配的颜色很饱和，那么很难用前面的颜色转 盘实现颜色的匹配。
可把处在外圈的一种原色加到中心被匹配的
颜色上，相当于只用外周的二种颜色来与中 心的颜色匹配。
这样的话，方程 中就可能出现了 负值，但用这种 方法，可使各种 色调和饱和度的 颜色也能匹配的 出来。
4-2函数的凸性4-4作图
x
2
x
0
4．拐点
称连续函数f ( x ) 凹凸性的分界点为曲线 y = f ( x ) 的拐点．
表示法 x0 , f ( x0 )
曲线的弯曲方向——凹凸性; 改变弯曲方向的点——拐点; (1) 拐点的必要条件：
曲线的拐点必是二阶导数为零或二阶导数不存在的点．
(2) 拐点的充分条件：
若 f ( x)在 x0左右异号，则 x0 , f ( x0 )是曲线y = f ( x )
f
( x)
4( x x3
2)
,
f
( x)
8( x x4
1
x2
e 2 的图像．
2
【解】 定义域： (, ) 偶函数
(x)
1
x2
xe 2 ,
( x)
( x 1)( x 1) x2 e2
2
2
( x) 0 x1 0, ( x) 0 x2 1, x3 1
x (, 1) 1 (1, 0) 0 (0,1) 1 (1, )
A oa
曲线的纵坐标
x0 b x
切线的纵坐标
证明：
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
(
2!
)
(
x
x0
)2
介于x与x0之间
由 f ( x) 0 得 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
(2) 若f ( x ) 是[a, b]上二阶可导的凸函数，则
f ( x) cos x 2 , f ( x) sin x 0
ch4-4
−2
2 9 −5 3 −4 5 3 − 3 −2 2 9 −5 =B 1 −6 1 0 0
于是 R(A = A的列秩 = R )
( B ) =3<5, 1
故，向量组 A的秩为3，且向量组 A 线性相关. （2）由于行阶梯形 B的三个非零行的非零首元 1 在1，2，4三列， 故 a , a2, a4为向量组 A的一个最大无关组． 1 这是因为
α L 向 组 则 量 α1， 2， αn线 相 的 分 要 件 ： 性 关 充 必 条是
T 阵 αT L T 的 小 向 的 数 矩 A = (α1 ， 2 ， ,αn ) 秩 于 量 个 n.
等价定理： 等价定理：
于 行 量 , , 对 n维 向 α j = (a1 j , a2 j ,L anj )( j = 1,2L n)
线性表示；
a , 则称 A： 1, a2,L ar 为 A 的一个最大线性 0
无关向量组（简称最大无关组）．
例如，向量组
a1 = (1 ) , a2 = ( 0,1) , a3 = (1 ) ,0 ,1
T T
T
a , a2线性无关， 3 = a +a2 ; a 1 1 a , a3线性无关， 2 =−a +a3 ; a 1 1 a2, a3线性无关， 1 =−a2 +a3 . a
T T
T
1 a4 = ( −2,1 −1 ) , a5 = 2,3,0, , ,1 3
T
T
（1）求向量组 A的秩并判定 A的线性相关性； （2）求向量组 A 的一个最大无关组； （3）将 A中的其余向量用所求出的最大无关组 线性表示．
， 解 （1）以 a , a2, a , a4, a 为列向量作矩阵 A 1 3 5 用初等行变换将矩阵 A 化为行阶梯形
过四点的曲线系方程
过四点的曲线系方程在数学中，当我们谈论过特定数量点的曲线时，我们实际上是在寻找一个方程，该方程能够描述这些点之间的关系。
对于过四点的曲线，通常我们考虑的是二次曲线（如圆、椭圆、双曲线或抛物线）或更高阶的多项式曲线。
然而，需要注意的是，并非所有四个点都可以通过单一的二次曲线或多项式曲线连接。
如果我们假设这四个点不共线（即它们不在同一条直线上），那么我们可以找到一个三次多项式曲线（或更高阶）来穿过这四个点。
但是，如果我们想要一个二次曲线（例如圆或椭圆）穿过这四个点，那么这四个点必须满足特定的条件。
对于一般情况，我们可以使用拉格朗日插值法来找到一个穿过给定点的多项式曲线。
但是，请注意，拉格朗日插值并不保证生成的曲线具有特定的形状（如圆或椭圆）。
如果我们确实想要一个特定类型的曲线（例如圆），那么我们需要使用与该曲线类型相关的特定数学工具。
例如，如果我们想要找到一个穿过四个特定点的圆，我们可以使用以下步骤：1.选择三个点，并使用它们来找到一个圆。
这可以通过找到这三个点的外接圆来完成。
2.检查第四个点是否也在这个圆上。
如果不在，那么不存在一个圆可以同时穿过这四个点。
3.如果第四个点确实在圆上，那么我们找到了一个解。
但是，请注意，可能存在多个不同的圆可以同时穿过这四个点（特别是当这四个点共圆时）。
对于更复杂的曲线类型（如椭圆或双曲线），找到穿过四个特定点的曲线将需要更复杂的数学工具和技术。
然而，如果你只是想要一个多项式曲线穿过四个点，并且不关心它的具体形状，那么拉格朗日插值法是一个很好的选择。
这种方法可以生成一个穿过给定点的多项式曲线，但请注意，生成的多项式可能具有很高的阶数（特别是当给定的点数量很大时）。
水平渐近线
y=4(x-1)/X^2的水平渐近线需过程解:当x->+∞/-∞时,lim[4(x-1)/X^2]=lim4/(2x)=0=>y=0故y=4(x-1)/X^2的水平渐近线为y=0渐近线编辑词条编辑摘要摘要目录1渐近线编辑本段渐近线渐近线特点：无限接近，永不相交定义当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
例如，直线是双曲线}-的渐近线，因为双曲线上的点M到直线的距离MQ< MN；当MN无限趋近于0时，MQ也无限趋近于0。
所以按照定义，直线是该双曲线的渐近线。
同理，直线也是该双曲线的渐近线。
对于来说，如果当时，有，就把x = a叫做的垂直渐近线；如果当时，有，就把y = b 叫做的水平渐近线。
例如，y = 3是曲线xy = 3x + 2的水平渐近线。
求渐近线，可以依据以下结论：若极限存在，且极限也存在，那么曲线具有渐近线y = ax + b。
例：求的渐近线。
解：(1)x = - 1为其垂直渐近线。
(2)，即a = 1；，即b = - 1；所以y = x - 1也是其渐近线。
例如，直线是双曲线的渐近线，因为双曲线上的点M到直线的距离MQ < MN；当MN无限趋近于0时，MQ也无限趋近于0。
所以按照定义，直线是该双曲线的渐近线。
同理，直线也是该双曲线的渐近线。
对于来说，如果当时，有，就把x = a叫做的垂直渐近线；如果当时，有，就把y = b叫做的水平渐近线。
例如，y = 3是曲线xy = 3x + 2的水平渐近线。
求渐近线，可以依据以下结论：若极限存在，且极限也存在，那么曲线具有渐近线y = ax + b。
例：求的渐近线。
解：(1)x = - 1为其垂直渐近线。
(2)，即a = 1；，即b = - 1；所以y = x - 1也是其渐近线。
函数作图的基本步骤与方法(精)
(3)当x 1时, y , 所以 x 1 是一条铅垂渐近线. b2 4ac
a lim f ( x) 2 lim(1 2 )1 x x x x 1 2x 而b lim[ f ( x ) ax ] lim( x 2 x) 0 x x x 1
(5)根据以上讨论, 列表、描点并作出函数 y = ƒ(x)的 图形.
2
例32 作函数 f ( x )
1 2
e
x2 2
的图形.
解 (1)定义域 D (, ) (2)因ƒ(–x) = ƒ(x), 则ƒ(x)为偶函数, 其图形关于 y 轴对 称, 从而只讨论 ƒ(x) 在 [0, ) 的情形
y 0.4 0.3 0.2 0.1 o
•
•
–2 –1
•
1 2
5
x
例32 作函数
f ( x) x
2x x2 1
的图形.
解 (1)定义域 D (, 1) (1,1) (1, ) (2) x = ±1 为无穷间断点. 而ƒ(–x) = –ƒ(x),则ƒ(x)为奇函数, 其图形关于原点对称, 从而只讨论ƒ(x)在 (0,1) (1, ) 的情形.
x
f ( x) f ( x)
0
0
(0, 1)
1
(1, )
–
极大值
ƒ(x)
1 2
– –
拐点
–
0
(1, 1 2 e )
– +
4
(5)描出点(0,
1 2
),(1,
1 2 e
)
(6)综合上述讨论, 可画出函数 在 y 轴右侧的图形, 再按图形 关于y轴对称, 画出y轴左侧的 图形. 如左图:
函数渐近线及函数图形的描绘
使用图形计算器绘制函数图形
简单易用、无需额外设置
图形计算器的操作通常非常简单，只需要选择相应的函数 类型或输入函数表达式，就可以自动绘制出相应的图形。 用户无需进行复杂的设置或调整参数，使得绘图过程更加 快速和简便。
使用图形计算器绘制函数图形
功能相对有限
VS
相对于数学软件，图形计算器的功能 相对有限。它们通常只能绘制基本的 函数图形，如直线、二次函数、三角 函数等，而无法绘制更复杂的函数图 形或进行高级的图形定制。
功能强大、精确度高
数学软件如Matlab、Mathematica和Maple等，提供了强大的绘图工具和函数 库，可以绘制各种复杂的函数图形，包括三维图形和极坐标图形。这些软件通常 具有高精度的计算和绘图能力，能够准确地表示函数的形状和变化趋势。
使用数学软件绘制函数图形
操作简便、可视化效果好
这些软件通常具有直观的用户界面和易于操作的命令语言，使得用户可以轻松地绘制函数图形。同时，这些软件还提供了丰 富的颜色、线条样式和标记工具，使得绘制的图形更加生动和易于理解。
验证模型
通过比较函数渐近线和实际数据，可以验证数学模型的准确 性和可靠性。
在科学计算中的应用
数据拟合
在科学实验中，利用函数渐近线可以 对实验数据进行拟合，得到更准确的 结论。
理论推导
在理论推导中，函数渐近线可以作为 理论依据，帮助推导出新的科学理论。
04 函数图形的描绘工具和技 术
使用数学软件绘制函数图形
平移变换
对称变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定 的距离。
将函数图像关于原点、x轴或y轴进行 对称。
伸缩变换
将函数图像在x轴或y轴方向上伸缩一 定的比例。
函数作图知识
y arctan x
例2 ：
y
2
定义1.
如果当自变量x (有时仅当x 或x )时， 函数f ( x )以常量b为极限，即 lim f ( x ) b
x
（x 或x )
1 01 x 0
2
x
那么直线y=b称为曲线y=f(x)的水平渐近线 那么直线y=b称为曲线y=f(x)的水平渐近线.
定义2. 如果当自变量x x0 (有时仅当x x0 0或x x0 0)
时，函数 f ( x )为无穷大，即 lim f ( x )
（x x0 0 或x x0 0)
x x0
那么直线x=x0称为曲线y=f(x)的垂直渐近线.
一.函数的渐近线
例1 中.
一.函数的渐近线
例5. 求曲线y
一.函数的渐近线
1 的渐近线. x 1
如上图， lim
x 1
1 , x 1
故直线x 1为曲线y
如上图， lim ln x ,
x 0 0
1 又 lim 0， x x 1
1 的垂直渐近线. x 1 1 的水平渐近线. x 1
故直线x 0为曲线y ln x的垂直渐近线.
求出方程 f " ( x ) 0 在函数定义域内的全部实 根， 用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把 函数的定义域划分成几个凸性区间，求其拐点。 函数的定义域划分成几个凸性区间 求其拐点
( 2 ) 求函数的单调区间 , 极值 ;
求出方程 f ' ( x ) 0 在函数定义域内的全部 实根， 用这些根同函数的间断点或导数不存在的点 把函数的定义域划分成几个单调区间， 并求其极值
例2 ：
y
2
定义1.
如果当自变量x (有时仅当x 或x )时， 函数f ( x )以常量b为极限，即 lim f ( x ) b
x
（x 或x )
1 01 x 0
2
x
那么直线y=b称为曲线y=f(x)的水平渐近线 那么直线y=b称为曲线y=f(x)的水平渐近线.
定义2. 如果当自变量x x0 (有时仅当x x0 0或x x0 0)
时，函数 f ( x )为无穷大，即 lim f ( x )
（x x0 0 或x x0 0)
x x0
那么直线x=x0称为曲线y=f(x)的垂直渐近线.
一.函数的渐近线
例1 中.
一.函数的渐近线
例5. 求曲线y
一.函数的渐近线
1 的渐近线. x 1
如上图， lim
x 1
1 , x 1
故直线x 1为曲线y
如上图， lim ln x ,
x 0 0
1 又 lim 0， x x 1
1 的垂直渐近线. x 1 1 的水平渐近线. x 1
故直线x 0为曲线y ln x的垂直渐近线.
求出方程 f " ( x ) 0 在函数定义域内的全部实 根， 用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把 函数的定义域划分成几个凸性区间，求其拐点。 函数的定义域划分成几个凸性区间 求其拐点
( 2 ) 求函数的单调区间 , 极值 ;
求出方程 f ' ( x ) 0 在函数定义域内的全部 实根， 用这些根同函数的间断点或导数不存在的点 把函数的定义域划分成几个单调区间， 并求其极值
ch4-4渐近线及画图
f ( x) 2( x − 2)( x + 3) 又 Q lim = lim = 2, x →∞ x →∞ x x ( x − 1)
2( x − 2)( x + 3) lim[ − 2 x] x →∞ x −1
2( x − 2)( x + 3) − 2 x ( x − 1) = 4, = lim x →∞ x −1
3 3 (5) 拐点: A(−3 , − ) , O(0 , 0) , B(3 , ) 2 2 3 3 极值: 极小值 y( 3) = 3 极大值 y(− 3) = − 3 2 2
(6) 描点作图:
y B
-4 A
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
4( x + 1) 例2 作函数 f ( x ) = − 2 的图形 . 2 x 解 D : x ≠ 0, 非奇非偶函数 且无对称性 非奇非偶函数,且无对称性 且无对称性.
f ′( x )
f ′′( x ) f ( x)
− −
0
拐点
(−3,− 26 ) 9
− +
0
+ +
不存在
− +
极值点
−3
间 断 点
补充点 : (1 − 3 ,0), (1 + 3 ,0);
A ( −1,−2), B (1,6), y
C ( 2,1).
作图
6 B
1
− 3 − 2 −1
C
1 2
o
x
−2
A
−3
4( x + 1) f ( x) = −2 2 x
1 例3 作函数 ϕ( x ) = e 2π
(2021年整理)人教版高数必修四第5讲：三角函数图像变换(教师版)
（完整）人教版高数必修四第5讲：三角函数图像变换(教师版)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）人教版高数必修四第5讲：三角函数图像变换(教师版)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）人教版高数必修四第5讲：三角函数图像变换(教师版)的全部内容。
三角函数y A x =+sin()ωϕ的图像变换____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1结合具体实例，理解y=Asin ）（ϕω+x 的实际意义，会用“五点法”画出函数y=Asin ）（ϕω+x 的简图。
会用计算机画图，观察并研究参数ϕω,,A ,进一步明确ϕω,,A 对函数图象的影响。
2能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin ）（ϕω+x 的图象。
3教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。
1、函数图象的左右平移变换如在同一坐标系下，作出函数)3sin(π+=x y 和)4sin(π-=x y 的简图，并指出它们与y x=sin 图象之间的关系。
解析:函数)3sin(π+=x y 的周期为2π，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。
设Z x =+3π，那么Z x sin )3sin(=+π,3π-=Z x当Z 取0、ππππ2232，，，时,x 取-πππππ36237653、、、、。
广西北海市(新版)2024高考数学部编版真题(强化卷)完整试卷
广西北海市（新版）2024高考数学部编版真题(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设是等差数列，若，则数列前8项的和为A．128B．80C．64D．56第(2)题如图是国家统计局2021年11月发布的全国居民消费价格的涨跌幅情况，现有如下说法：①2021年10月份，全国居民消费价格的同比和环比均呈现增涨趋势；②2020年10月至2021年10月，全国居民消费价格同比增涨的月份个数是下跌的5倍；③从2020年10月至2021年10月中任取1个月，全国居民消费价格的同比均呈现增涨的概率为；则上述说法正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3第(3)题已知（a,b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=A．-1B．1C．2D．3第(4)题双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(5)题已知，分别为双曲线：（，）的左、右焦点，为虚轴的一个端点，为坐标原点，直线与的一条渐近线交于点，若与的面积相等，则的离心率为（）A．B．2C．或D．2或第(6)题4cos50°﹣tan40°=（ ）A．B．C．D．2﹣1第(7)题设为任一实数，表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数，例如，，，，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(8)题设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（ ）A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知非零函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，则（）A．B．C．D．第(2)题已知，，且，则（）A．，B．C ．的最小值为，最大值为4D．的最小值为12第(3)题（多选）工厂生产某零件，其尺寸X（单位：cm）服从正态分布．其中k由零件的材料决定，且．当零件尺寸大于10.3cm或小于9.7cm时认为该零件不合格，当零件尺寸大于9.9cm且小于10.1cm时认为该零件为优质零件，其余时候认为是普通零件．已知当随机变量时，，，则下列说法中正确的有（）A．k越大，预计生产出的优质零件与不合格零件的概率之比越小B．k越大，预计生产出普通零件的概率越大C．若，则生产200个零件约有9个零件不合格D．若生产出优质零件、普通零件与不合格零件的盈利分别为，则当时，每生产1000个零件预计盈利2668a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为______．第(2)题在的展开式中，所有项系数之和为________；展开式中系数最大项的系数为________．第(3)题已知函数恰有3个零点，则的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，四边形内接于⊙，过点作⊙的切线交的延长线于，已知.证明：（1）；（2）．第(2)题已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：．第(3)题各项为正数的数列如果满足：存在实数，对任意正整数n ，恒成立，且存在正整数n ，使得或成立，则称数列为“紧密数列”，k 称为“紧密数列”的“紧密度”．已知数列的各项为正数，前n 项和为，且对任意正整数n ，（A ，B ，C 为常数）恒成立．（1）当，，时，①求数列的通项公式；②证明数列是“紧密度”为3的“紧密数列”；（2）当时，已知数列和数列都为“紧密数列”，“紧密度”分别为，，且，，求实数B 的取值范围．第(4)题如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，△PAD 为等腰三角形，，E 为侧棱PD 的中点，F 为棱DC 上的动点．(1)若∥平面PAC ，试确定F 的位置，并说明理由；(2)若，求平面PBF 与平面AEF 夹角的余弦值．第(5)题已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)在和中插入k 个相同的数，构成一个新数列，，求的前45项和．。
4-4相对稳定性
相对稳定性——稳定裕度 相对稳定性——稳定裕度
相对稳定性——稳定裕度 相对稳定性——稳定裕度
对于奈氏曲线，在GH平面上，可以用奈氏曲线与(-1,j0)的 靠近程度来表征系统的相对稳定性。离(-1,j0)越近，稳定程度 Im G ( jω ) Im 越低。
0 g
ωc
-1 ω g
ωc •
• γ
Re ω g
20 Lg Gg = −6
-180° -270°
ωc ωg
ω
Kg
γ
∴ 20Lg
1 = 6 K g = 6db Gg -360°
波特图法
1) 若L(ω)穿越0dB线时，Φ(ωc) > -1800，即 闭环系统可能稳定，否则不稳定。
γ >，则 0
2 2）若Φ(ω)穿越-1800线时，L(ωg) < 0，即 K g > 0 Φ(ω) -180 L(ω 0 ，则 闭环系统可能稳定，否则不稳定。 注意：要综合考虑两个指标来判断稳定性！！ 注意：要综合考虑两个指标来判断稳定性！！ 针对最小相位系统（ γ , K g 都是正的），可以根据他 们来判断稳定性能，但含有不稳定环节 含有不稳定环节的系统则不行。 含有不稳定环节 为满足动态性能的要求，相角裕量在300～600 幅值裕量在5～15dB
波特图法
L( ω) dB
0dB
L( ω) dB
ωc
kg>0
Φ(ω ) ω
0dB rad / s
ω
kg<0
ωc
ω
rad / s
Φ(ω ) ω
0
0
ωg
γ>0
ω
rad / s
0
0
ωg
ω
高三数学选修4-4知识点
高三数学选修4-4知识点高三数学选修4-4知识点主要包括以下内容：函数的极值与最值、函数的单调性、函数的图像与拐点。
函数的极值与最值函数的极值是指函数的取值在某一区间内达到最大值或最小值的点，分为极大值和极小值。
要找到函数的极值，我们首先需要求出函数的一阶导数和二阶导数。
一阶导数可以表示函数的增减性，如果一阶导数大于0，则函数单调递增；如果一阶导数小于0，则函数单调递减。
通过求解一阶导数为0的点，可以找到函数的极值点。
二阶导数可以判断函数的凹凸性，如果二阶导数大于0，则函数为凹函数；如果二阶导数小于0，则函数为凸函数。
通过求解二阶导数为0的点，可以找到函数的拐点。
函数的最值是指函数的取值范围中的最大值或最小值。
要找到函数的最值，我们需要找出函数定义域内函数取值最大值或最小值的点，可以通过求解导数为0或导数不存在的点来获得。
函数的单调性函数的单调性是指函数在其定义域内的取值随着自变量的增大或减小而呈现递增或递减趋势。
通过求解函数的一阶导数，可以判断函数的单调性。
如果一阶导数大于0，则函数单调递增；如果一阶导数小于0，则函数单调递减。
通过找出一阶导数为0或不存在的点，可以确定函数的单调性。
函数的图像与拐点函数的图像是指将函数的自变量和因变量的取值用一个坐标系表示出来的曲线图形。
通过对函数的一阶导数和二阶导数进行分析，可以确定函数图像的走向和特点。
根据函数的一阶导数大于0或小于0的情况，可以确定函数的单调性和极值点。
根据函数的二阶导数大于0或小于0的情况，可以确定函数的凹凸性和拐点。
拐点是指函数图像上的点，在该点处函数的凹凸性发生改变。
通过求解二阶导数为0的点，可以确定函数的拐点。
综上所述，高三数学选修4-4知识点主要涉及函数的极值与最值、函数的单调性、函数的图像与拐点。
通过求解函数的导数，我们可以得出函数的极值、最值、单调性和凹凸性等性质，从而对函数的性质和图像进行深入分析。
理解和掌握这些知识点对于高三数学的学习至关重要，希望同学们能够加强练习和巩固，提高数学学习的效果。
3.6曲线的渐近线及其函数作图
§3.6 曲线的渐近线
1. 水平渐近线 2. 垂直渐近线 3. 斜渐近线
-1-
定义3.3 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L为
曲线C 的渐近线 .
例如, 双曲线
或为“纵坐标差” y
y f (x)
C M y kxb
L PN
有渐近线 但抛物线
4 (拐3点）
2 3
(极小)
3
-10-
例2 描绘函数
的图形.
解 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1
x
e
x2 2
,
2
y
1
2
e
x2 2
(1
x2
)
令 y 0得 x 0; 令 y 0得x 1
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1
2
1
2 e
于确定函数位置的点，描绘函数图形 .
-9-
例1 描绘
的图形.
解 1) 定义域为
无对称性及周期性.
2) y x2 2x xx 2
y 2x 2 2x 1
令 y 0,
令 y 0,
1 1 2 3
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y 0
0
y
0
y
2
x 1 3 (极大) 4) y 2 2
a lim [ f (x) b ],
x x
x
a lim f (x) , x x
(或x )
1. 水平渐近线 2. 垂直渐近线 3. 斜渐近线
-1-
定义3.3 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L为
曲线C 的渐近线 .
例如, 双曲线
或为“纵坐标差” y
y f (x)
C M y kxb
L PN
有渐近线 但抛物线
4 (拐3点）
2 3
(极小)
3
-10-
例2 描绘函数
的图形.
解 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1
x
e
x2 2
,
2
y
1
2
e
x2 2
(1
x2
)
令 y 0得 x 0; 令 y 0得x 1
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1
2
1
2 e
于确定函数位置的点，描绘函数图形 .
-9-
例1 描绘
的图形.
解 1) 定义域为
无对称性及周期性.
2) y x2 2x xx 2
y 2x 2 2x 1
令 y 0,
令 y 0,
1 1 2 3
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y 0
0
y
0
y
2
x 1 3 (极大) 4) y 2 2
a lim [ f (x) b ],
x x
x
a lim f (x) , x x
(或x )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(5) 作图
y
A 2 2 1
−2 D
0
3
x
C
B
( 3) y" = 6 x − 12 , 令 y" = 0 , 得 x3 = 2 .
(4)
x
( −∞ , 1)
+
1
(1 , 2)
−
2
( 2, 3 )
3 0
+
极小 值
(3 , + ∞)
+
y' y"
y
0
−
0
拐点
−
−
极大 值
−
+
+
极大值 A(1,2) ; 极小值 B( 3,−2) ; 拐点 C ( 2,0) . 补充： D ( 0, − 2 ) .
( 2) 求出 f ' ( x )、f '' ( x ) 的零点和不存在的点；
(3) 讨论单调区间、极值、凸性区间、拐点； (4) 渐近线、变化趋势； (5) 增补点、作图。
例 1. 作函数 解
f ( x) = e
−1
x
的图形．
(1) 定义域 ( −∞ , 0) U (0 ,+∞ ) 值域 (0 , 1) U (1 , + ∞ )
= e
1
1 x
< 1.
y
1
0
x
例 2. 作函数 解
y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 2 的图形．
(1) 定义域： ( −∞,+∞ ).
( 2) y' = 3 x 2 − 12 x + 9 = 3( x − 1)( x − 3)
令 y' = 0 , 解得 x1 = 1 , x2 = 3 .
2. 水平渐近线
若 lim f ( x ) = b 或 lim f ( x ) = b，则称 y = b 为 f ( x ) 的水平渐近线．
x → +∞ x → −∞
例如
y = arctan x
水平渐近线为 y = ±
π
2
二. 函数图形的描绘 函数作图的一般步骤
(1) 定义域 ( 值域 )、奇偶性、周期性、间断点、与坐标轴的交点；
f ( x)
0
−
1 −2 ( ,e ) 拐点 2
(4)
x →0
lim e
−
−1
x
= +∞
∴ 垂直渐近线为
x=0
x →0+ x →∞
lim e
−1
x
=0
lim e
−1
x
=1
∴ 水平渐近线为
y = 1.
− 1 x
1 − > 0, 当 x < 0 时， x
(5) 作图
e
−
1 x
> 1;
当 x > 0 时， e
间断点
x=0
−1 x
(2)
1 f '( x ) = 2 e x
令 f ' ' ( x ) = 0，
> 0，
得 x= 1 2
f ''( x ) =
e
−1
x
x
4
(1 − 2 x )
(3)
x
( −∞ , 0)
+ +
1 (0 , ) 2
+ +
1 2
+
1 ( , + ∞) 2
+
f '( x ) f '' ( x )
§ 4.4 渐近线及函数作图
一. 渐近线
1. 垂直渐近线
若 lim f ( x ) = ∞ 或 lim f ( x ) = ∞ ，则称 x = x0 为 y = f ( x ) 的
x → x0 + x → x0 −
垂直渐近线．
例如 y= 1 ( x + 1)( x − 3)
垂直渐近线为 x = −1，x = 3
y
A 2 2 1
−2 D
0
3
x
C
B
( 3) y" = 6 x − 12 , 令 y" = 0 , 得 x3 = 2 .
(4)
x
( −∞ , 1)
+
1
(1 , 2)
−
2
( 2, 3 )
3 0
+
极小 值
(3 , + ∞)
+
y' y"
y
0
−
0
拐点
−
−
极大 值
−
+
+
极大值 A(1,2) ; 极小值 B( 3,−2) ; 拐点 C ( 2,0) . 补充： D ( 0, − 2 ) .
( 2) 求出 f ' ( x )、f '' ( x ) 的零点和不存在的点；
(3) 讨论单调区间、极值、凸性区间、拐点； (4) 渐近线、变化趋势； (5) 增补点、作图。
例 1. 作函数 解
f ( x) = e
−1
x
的图形．
(1) 定义域 ( −∞ , 0) U (0 ,+∞ ) 值域 (0 , 1) U (1 , + ∞ )
= e
1
1 x
< 1.
y
1
0
x
例 2. 作函数 解
y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 2 的图形．
(1) 定义域： ( −∞,+∞ ).
( 2) y' = 3 x 2 − 12 x + 9 = 3( x − 1)( x − 3)
令 y' = 0 , 解得 x1 = 1 , x2 = 3 .
2. 水平渐近线
若 lim f ( x ) = b 或 lim f ( x ) = b，则称 y = b 为 f ( x ) 的水平渐近线．
x → +∞ x → −∞
例如
y = arctan x
水平渐近线为 y = ±
π
2
二. 函数图形的描绘 函数作图的一般步骤
(1) 定义域 ( 值域 )、奇偶性、周期性、间断点、与坐标轴的交点；
f ( x)
0
−
1 −2 ( ,e ) 拐点 2
(4)
x →0
lim e
−
−1
x
= +∞
∴ 垂直渐近线为
x=0
x →0+ x →∞
lim e
−1
x
=0
lim e
−1
x
=1
∴ 水平渐近线为
y = 1.
− 1 x
1 − > 0, 当 x < 0 时， x
(5) 作图
e
−
1 x
> 1;
当 x > 0 时， e
间断点
x=0
−1 x
(2)
1 f '( x ) = 2 e x
令 f ' ' ( x ) = 0，
> 0，
得 x= 1 2
f ''( x ) =
e
−1
x
x
4
(1 − 2 x )
(3)
x
( −∞ , 0)
+ +
1 (0 , ) 2
+ +
1 2
+
1 ( , + ∞) 2
+
f '( x ) f '' ( x )
§ 4.4 渐近线及函数作图
一. 渐近线
1. 垂直渐近线
若 lim f ( x ) = ∞ 或 lim f ( x ) = ∞ ，则称 x = x0 为 y = f ( x ) 的
x → x0 + x → x0 −
垂直渐近线．
例如 y= 1 ( x + 1)( x − 3)
垂直渐近线为 x = −1，x = 3