六空间图形的公理4及等角定理 北师大版 必修2 含答案 2017_2018学年高中数学课下能力提升

第一章§4一、选择题1．已知点A，直线a，平面α：①A∈a，a⃘α⇒A∉α②A∈a，a∈α⇒A∈α③A∉a，aα⇒A∉α④A∈a，aα⇒Aα以上命题表述正确的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案] A[解析]①中若a与α相交，且交点为A，则不正确；②中“a∈α”符号不对；③中A 可以在α内，也可以在α外，故不正确；④符号“Aα”错．2．在空间中，下列命题成立的有________个()①两组对边都平行的四边形是平行四边形②两组对边分别相等的四边形是平行四边形③顺次连接空间四边形各边中点所得的一定是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析]②错误．3．在空间中，可以确定一个平面的条件是()A．两两相交的三条直线B．三条直线，其中一条直线与另外两条直线分别相交C．三个点D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点[答案] D[解析]A中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除A；B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除B；对于C来说，三个点的位置可能不在同一条直线上，也可能在同一条直线上，只有前者才能确定一个平面，因此，排除C；只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一条直线上，由公理1知其可以确定一个平面．4．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1和BC的中点分别是E，F，各棱所在的直线与直线EF互为异面直线的条数是()A．4 B．6C．8 D．10[答案] C[解析]AB，AD，AA1，A1B1，A1D1，D1D，D1C1，DC与直线EF都是异面直线．5．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是()A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③[答案] C[解析]①若还能作一条线，则两相交线确定一平面，从而证明AB，B1C1共面与它们异面矛盾，从而假设不正确，①正确，②④也是同样的方法证明．将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得的平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误．故选C.6．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合[答案] C[解析]∵A∈α，A∈β.∴A∈α∩β由公理3知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A写法错误．二、填空题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线CC1平行的棱的条数是________．[答案] 3[解析]与CC1平行的棱有AA1，BB1，DD1.8．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有________个．[答案]1或4[解析]四点共面时，为一个平面；四点不共面时，可作4个平面．三、解答题9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D、B、F、E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线．[解析]如图(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面．(2)正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α，又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C，∴R∈α，且R∈β，故R∈PQ.所以P、Q、R三点共线．一、选择题1．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面[答案] B[解析]对于A，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除A.对于B，由于l和m有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故B正确．2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A．45°B．60°C．90°D．120°[答案] B[解析]取A1B1的中点M，连接GM，HM.∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，H，G分别为A1B1，B1C1，B1B的中点，∴△GMH为正三角形，EF∥MG.于是∠MGH为异面直线EF与GH所成的角，即为60°角．二、填空题3．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．[答案] 3[解析]将展开图恢复成正方体后，得到AB与CD，EF与GH，AB与GH三对异面直线．4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．[答案]③④三、解答题5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线．[解析]因为点P既在平面α内又在平面AB1内，所以点P在平面α与平面AB1的交线上．同理，点A1在平面α与平面AB1的交线上．因此，P A1就是平面α与平面AB1的交线．同理可得：交线A1C1与交线PC1.所以由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线如图所示．6．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．[解析] ∵AB ∥CD ，∴AB ，CD 确定一个平面β.又∵AB ∩α＝E ，AB β，∴E ∈α，E ∈β，即E 为平面α与平面β的一个公共点．同理可证，F ，G ，H 为平面α与平面β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．7．如图，两个三角形ABC 和A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′、BB ′、CC ′交于同一点O ，且OA OA ′＝BO OB ′＝CO OC ′＝23.(1)求证：A ′B ′∥AB ，A ′C ′∥AC ，B ′C ′∥BC ；(2)求S △ABCS △A ′B ′C ′的值． [解析] (1)证明：∵AA ′与BB ′交于点O ，且AO OA ′＝BO OB ′＝23，∴AB ∥A ′B ′. 同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.(2)∵A ′B ′∥AB ，AC ∥A ′C ′且AB 和A ′B ′、AC 和A ′C ′方向相反， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.∴同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′.∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且AB A ′B ′＝AO OA ′＝23. ∴S △ABCS △A ′B ′C ′＝(23)2＝49.。

第六章 3.2A组·素养自测一、选择题1．异面直线是指( D )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[解析]对于A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异面．∴A应排除．对于B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可异面,如图,就是相交的情况,∴B应排除．对于C,如图的a,b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b,显然它们是相交直线,∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D．2．正方体ABCD－A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1PBQ是( B )A．正方形B．菱形C．矩形D．空间四边形[解析]设正方体棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为5,又四边形D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形．3．已知空间两个角α,β,α与β的两边对应平行,且α＝60°,则β等于( D )A．60°B．120°C．30°D．60°或120°[解析]由等角定理,知β与α相等或互补,故β＝60°或120°.4．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( D )A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面[解析]可能相交也可能异面,但一定不平行(否则与条件矛盾)．5．空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是( D )A ．梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．正方形[解析] 如图,因为BD ⊥AC ,且BD ＝AC ,又因为E ,F ,G ,H 分别为对应边的中点,所以FG 綊EH 綊12BD ,HG 綊EF 綊12AC ．所以FG ⊥HG ,且FG ＝HG .所以四边形EFGH 为正方形．6．异面直线a ,b ,有a ⊂α,b ⊂β且α∩β＝c ,则直线c 与a ,b 的关系是( D ) A ．c 与a ,b 都相交 B ．c 与a ,b 都不相交 C ．c 至多与a ,b 中的一条相交 D ．c 至少与a ,b 中的一条相交[解析] 若c 与a ,b 都不相交,∵c 与a 都在α内, ∴a ∥c .又c 与b 都在β内,∴b ∥c . 由基本事实4,可知a ∥b ,与已知条件矛盾． 如图,只有以下三种情况．二、填空题7．直线a 与直线b 为两条异面直线,已知直线l ∥a ,那么直线l 与直线b 的位置关系为 异面或相交 .[解析] 假设l ∥b ,又l ∥a ,根据基本事实4,可得a ∥b ,这与a 与b 异面直线相矛盾,故假设不成立,所以l 与b 异面或相交．8．(2021·广东省肇庆市期中)如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AA 1⊥AB ,AA 1⊥AC ．若AB ＝AC ＝AA 1＝1,BC ＝2,则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为 60° .[解析] 依题意,得BC ∥B 1C 1,故异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角即BC 与A 1C 所成的角．连接A1B,在△A1BC中,BC＝A1C＝A1B＝2,故∠A1CB＝60°,即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.9．一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论正确的为①③ .(填序号)[解析]把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确．三、解答题10．如图所示,在正方体ABCD－EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．[解析](1)因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又在△BEF中,∠EBF＝45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)如图,连接FH,因为HD∥EA,EA∥FB,所以HD∥FB,又HD＝FB,所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA,AF,易得FH＝HA＝AF,所以△AFH为等边三角形,又知O为AH的中点,所以∠HFO＝30°,即FO与BD所成的角为30°.B组·素养提升一、选择题1．下列说法中正确的是( B )A．若两直线无公共点,则两直线平行B．若两直线不是异面直线,则必相交或平行C．过平面外一点与平面内一点的直线,与平面内任一直线均构成异面直线D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线[解析]对于A,空间两直线无公共点,则两直线可能平行,可能异面,故A不正确；对于C,过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内过该点的直线是相交直线,故C不正确；对于D,和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线,如图的三棱锥A－BCD中,l1与l2为异面直线,BC与AC均与l1,l2相交,但BC与AC也相交,故D不正确．2．(多选)如图所示的是一个正方体的平面展开图,如果图示面为里面,将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有( ABC )A．AB与CD B．AB与GHC．EF与GH D．EF与CD题图答图[解析]将平面图形还原成正方体后如图所示,其中AB与CD异面,AB与GH异面,EF与GH异面．3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,C1D的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( A )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直[解析] 如图所示,连接BD 1,CD 1,CD 1与C 1D 交于点F ,由题意可得四边形A 1BCD 1是平行四边形,在平行四边形A 1BCD 1中,E ,F 分别是线段BC ,CD 1的中点,所以EF ∥BD 1,所以直线A 1B 与直线EF 相交,故选A ．4．空间四边形ABCD 中,AD ＝BC ＝2,E ,F 分别是AB ,CD 的中点,EF ＝3,则异面直线AD ,BC 所成的角为( C )A ．45°B ．120°C ．60°D ．60°或120°[解析] 取AC 的中点G ,连接EG ,FG .由三角形中位线可知,EG 綊12BC ,FG 綊12AD ,所以∠EGF 或其补角即为异面直线AD 与BC 所成的角．在△EGF 中,cos ∠EGF ＝EG 2＋FG 2－EF 22·EG ·FG ＝12＋12－322×1×1＝－12.所以∠EGF ＝120°.由异面直线所成角的范围可知应取其补角60°.故选C ． 二、填空题5．在四棱锥P －ABCD 中E ,F ,G ,H 分别是PA ,PC ,AB ,BC 的中点,若EF ＝2,则GH ＝ 2 . [解析] 由题意知EF 綊12AC ,GH 綊12AC ,故EF 綊GH ,故GH ＝2.6．如图,若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD 1与AA 1所成角的正弦值是33 ,异面直线BD 1与AD 所成角的正弦值是 306. [解析] 因为AA 1∥DD 1,所以∠DD 1B 即为异面直线BD 1与AA 1所成的角,连接BD ,在Rt △D 1DB 中,sin ∠DD 1B ＝DB BD 1＝2226＝33. 因为AD ∥BC ,所以∠D 1BC 即为异面直线BD 1与AD 所成的角(或其补角), 连接D 1C ,在△D 1BC 中,因为正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为2,高为4,所以D 1B ＝26,BC ＝2,D 1C ＝25,D 1B 2＝BC 2＋D 1C 2,所以∠D 1CB ＝90°, 所以sin ∠D 1BC ＝D 1C D 1B ＝2526＝306, 故异面直线BD 1与AD 所成角的正弦值是306. 三、解答题7．如图所示,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为棱AA 1,CC 1的中点．求证：(1)D 1E ∥BF ； (2)∠B 1BF ＝∠D 1EA 1．[解析] (1)取BB 1的中点M ,连接EM ,C 1M .在矩形ABB 1A 1中,易得EM ＝A 1B 1,EM ∥A 1B 1．因为A 1B 1＝C 1D 1且A 1B 1∥C 1D 1,所以EM ＝C 1D 1且EM ∥C 1D 1． 所以四边EMC 1D 1为平行四边形． 所以D 1E ∥C 1M ,在矩形BCC 1B 1中,易知MB ＝C 1F ,且MB ∥C 1F ,所以四边形C 1FBM 为平行四边形,所以C 1M ∥BF ,所以D 1E ∥BF .所以D 1E ∥BF . (2)由(1)知,ED 1∥BF ,BB 1∥EA 1,因为∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同,所以∠B 1BF ＝∠D 1EA 1．8．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱CD ,CC 1的中点．求异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小．[解析] 如图,过点M 作ME ∥DN 交CC 1于点E .连接A 1E ,则∠A 1ME 为异面直线A 1M 与DN 所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a ,则A 1M ＝32a ,ME＝54a ,A 1E ＝414a ,所以A 1M 2＋ME 2＝A 1E 2,所以∠A 1ME ＝90°,即异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°.。

点．求证：
(1)四边形 BB1M1M 为平行四边形； (2)∠BMC＝∠B1M1C1.
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[证明]
(1)在正方形 ADD1A1 中，M，M1 分别为 AD，A1D1 的中点，∴MM1＝
AA1，MM1∥AA1， 又∵AA1＝BB1，AA1∥BB1，∴MM1＝BB1，且 MM1∥BB1.∴四边形 BB1M1M 为平行四边形． (2)证法一 由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形，
＜θ≤90° . 2．范围： 0°
3．当 θ＝ 90° 时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b .
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[双基自测]
1．两条异面直线是指( )
A．分别位于两个不同平面的直线 B．空间内不相交的直线 C．某一平面内的一条直线与这一平面外的一条直线 D．空间两条既不平行也不相交的直线
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全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）
4 空间图形的基本关系与公理
空间图形的公理 4 和等角定理
第 2 课时
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考
纲
定
位
重
难
突
破
1.了解公理 4 及等角定理．
重点： 公理 4 和等角定理的应用．
2.会用公理 4 和等角定理进行简 难点： 异面直线所成的角的定义 单的推理论证． 3.了解异面直线所成的角的定 义，并会求异面直线所成的角. 及求法． 疑点： 异面直线所成角的范围易 出错.
[解析] (1)如题图，在△ABD 中，

第1课时空间图形基本关系的认识与公理1～3［核心必知]1．空间图形的基本位置关系点错误!2．空间图形的3条公理文字语言图形语言符号语言公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面)若A、B、C三点不共线，则存在唯一一个平面α使A∈α，B∈α,C∈α表文字语言图形语言符号语言公理如果一条直线若A∈l，B∈l，2上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即直线在平面内)且A∈α，B∈α,则公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线若A∈α，A∈β,且α与β不重合，则α∩β＝l，且A∈l［问题思考］1．三点确定一个平面吗？提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面,当三点不在同一条直线上时,确定一个平面．2．三条两两相交的直线，可以确定几个平面？提示：若三条直线两两相交于一点时,则可以确定一个或三个平面；若相交于三个交点时,则可以确定一个平面．讲一讲1．如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b,c相交．求证:a，b，c三线共面．[尝试解答］证明：∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面α。

如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈α，B∈α，∴ABα。

即aα，∴a，b，c三线共面．证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α、β重合．练一练1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证:直线a，b，c和l共面．证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α，如图．∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a,B∈b，则A∈α，B∈α。

而A∈l，B∈l，∴由公理2可知：lα。

∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β,同理可知lβ。

∴平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，又∵经过两条相交直线，有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合,∴直线a，b，c和l共面。