高中数学 1.4.2 空间图形的公理(公理4、定理)多媒体教学优质课件 北师大版必修2

第2课时 空间图形的公理(公理4，定理)

(教师用书独具)

●三维目标

1．知识与技能

(1)了解公理4及等角定理，会用公理4和等角定理进行简单的推理论证．

(2)了解异面直线所成的角的定义，会求异面直线所成的角．

2．过程与方法

通过学习公理4及等角定理培养学生的空间想象能力，通过异面直线所成的角让学生体会数学的转化、化归方法．

3．情感、态度与价值观

培养学生严谨的思维习惯与严肃的科学态度．

●重点难点

重点：公理4与等角定理．

难点：异面直线所成的角．

公理4表明了平行的传递性，可以作判断两条直平行的依据，其直接作用是证明等角定理，为研究异面直线所成角打基础．等角定理是定义异面直线所成角的理论基础．

(教师用书独具)

●教学建议

本节知识是上节课的继续，上节课讲了3个公理、异面直线的概念，本节课解决异面直线所成角及它的理论基础公理4、定角定理，因此教学时宜采用探究式模式，让学生以长方体为载体，通过“观察”引入公理4，通过画平行线的方式，使两条异面直线移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角时经常要使用的方法，这种把立体图形的问题转化为平面图形问题的思想方法很重要，要让学生在学习中认真体会．

●教学流程

通过问题引出公理4，等角定理及异面直线所成的角⇒通过例1及变式训练，使学生掌握公理4的应用⇒通过例2及互动探究，使学生掌握等角定理的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握如何求异面直线所成的角⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行矫正

课标解读

1.了解公理4及等角定理．

2．会用公理4和等角定理进行简单的推理论证(重点)．

3．了解异面直线所成的角的定义，并会求异面直线所成的角(重点、难点).

公理4、等角定理

【问题导思】

1．把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系呢？

2．在空间中有两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行吗？

初中几何证明的所有公理和定理

几何学是数学的一个分支，研究平面和空间中的图形、形状、大小以及它们之间的关系。在几何学中，有一些基本的公理和定理被广泛应用于证明其他几何结论。以下是初中几何中常用的公理和定理。

一、公理

1.尺规公理：任意两点可以用直尺连接，任意一点可以用剪刀间距来复原。

2.同位角公理：同位角互等。

3.平行公理：通过点外一条直线的直线，与这条直线平行的直线只有唯一一条。

4.直线偏转公理：过直线和不在直线上的一点，有且只有一条直线与该直线相交。

二、定理

1.垂直平分线定理：平分一条线段的直线必垂直于该线段。

2.三角形内角和定理：三角形内角的和为180°。

3.直角三角形定理：在直角三角形中，两个直角三角形的边长和斜边相等。

4.点到直线的距离定理：点到直线的距离等于点到该直线上垂线的距离。

5.等腰三角形定理：等腰三角形的底边中点到顶点的距离等于底边的一半。 6.等边三角形定理：等边三角形的三条边相等。

7.三角形外角定理：三角形外角等于其对应内角的和。

8.直角三角形的勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

9.海伦公式：已知三角形的三边长，可以通过海伦公式求解其面积。

10.等周定理：等周的两角相等，反之亦成立。

11.三角形中位线定理：三角形两边中点连线中位线，且平分第三边。

12.周长定理：四边形周长等于各边长的和。

13.三角形周长定理：三角形的周长等于三边长的和。

14.三角形中线定理：三角形中线等分中位线，且平分第三边。

15.三角形终边定理：一个角的终边上的点，到另一个角所在的直线的距离永远相等。

16.五边形内角和定理：五边形的内角和是540°。

17.钝角三角形的边长关系：钝角三角形两边长的平方和小于斜边长的平方。

18.三角形的相似性定理：对应角等价、对应边成比例的两个三角形为相似三角形。

19.平行线的性质定理：平行条边分别过枚角且长度成正比，则连线为平行线。 20.重叠三角形定理：如果两个角和一个边分别相等，则两个三角形相等。

高三数学一轮复习教案

1 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系

考纲传真 1.理解空间直线，平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理．

2．能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

1．平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

2．空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线 直线与平面

平面与平面

平行

关系

图形

语言

符号

语言 a∥b a∥α α∥β

相交

关系

图形

语言

符号

语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l

独有 高三数学一轮复习教案

2 关系

图形

语言

符号

语言 a，b是异面直线 a⊂α

3.异面直线所成的角

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．

(2)范围：(0，π2』．

4．平行公理

平行于同一条直线的两条直线平行．

5．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

1．(人教A版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )

①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

A．0 B．1 C．2 D．3

『解析』 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．

『答案』 C

2．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )

A．一定是异面直线 B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线

宁陕中学数学导学案

1 高一______班 姓名：_________ 学号：_______

§4.2 空间图形的公理

【学习目标】

1.预习教材P23-P25页，并完成导学案

2.掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理；

一、【自学、预学提纲】

等角定理：__________________________________________________

图形表示：

练一练：

1.已知AB//PQ，BC//QR，∠ABC=30°，则∠PQR等于（ ）

A.30° B.30°或150° C.150° D.以上结论都不对 公理1：

图形表示 符号语言： 公理2：

图形表示 符号语言：

公理3：

图形表示 符号语言： 公理4：

图形表示 符号语言： 宁陕中学数学导学案

2 2.在空间，下列命题正确的个数为（ ）

（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形；

（2）四边相等的四边形是菱形；

（3）平行于同一条直线的两条直线平行；

（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

A.1 B.2 C.3 D.4

3.判断下列说法说否正确，并说明理由。

（1）一点和一条直线确定一个平面；

（2）经过一点的两条直线确定一个平面；

（3）交于一点的三条直线确定一个平面；

（4）首尾依次相接的4条线段在同一平面内。

4.下列四个说法，错误命题的序号是 （ ）

①过三点确定一个平面；

②矩形是平面图形；

③三条直线两两相交则确定一个平面；

④两个相交平面把空间分成四个区域

二、【探究、合作、展示】

例1：在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形

练习:空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝13，求证：EFGH是梯形。