矩阵与行列式初步

矩阵与行列式算法初步知识点矩阵与行列式是线性代数的基础概念之一、矩阵可以看作是一个二维数组，具有行和列的属性。

矩阵最常见的应用是线性方程组的求解。

例如，对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，可以通过矩阵乘法Ax=b来求解线性方程组。

行列式是矩阵的一个重要属性，可以用来判断矩阵是否可逆。

一个矩阵的行列式为0表示该矩阵不可逆，否则可逆。

行列式还可以用于求解特征值和特征向量。

特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的不变性质，对于很多机器学习和深度学习算法都有重要的应用。

算法是计算机科学中的基础概念，是一种解决问题的方法或步骤。

算法设计的核心目标是解决问题的效率和正确性。

常见的算法设计技巧包括递归、分治、动态规划等。

常见的算法包括排序、图算法等。

排序算法可以将一组数据按照一定的规则进行排序，常见的排序算法有冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序等。

算法用于在一组数据中查找目标元素，常见的算法有线性、二分等。

图算法用于解决图结构相关的问题，常见的图算法有深度优先、广度优先、最短路径算法等。

在实际应用中，矩阵与行列式经常用于数据表示和运算。

例如，在机器学习中，数据通常以矩阵的形式进行表示，通过矩阵运算可以进行特征提取、模型训练等操作。

行列式的性质可以帮助我们优化计算过程，例如通过LU分解来求解线性方程组，可以减少计算量。

在计算机图形学中，矩阵与行列式用于表示和变换物体的位置和形态。

通过矩阵运算可以实现物体的平移、旋转、缩放等操作。

算法的设计与分析是计算机科学中的重要内容。

好的算法可以大大提高程序的执行效率，减少资源的使用。

算法的设计过程包括问题分析、算法设计、编码实现和性能评估等步骤。

在设计算法时，我们要考虑问题的规模、输入数据的特征以及算法的复杂度等因素。

通常，我们希望算法在求解问题时具有较高的时间和空间效率，并且给出符合问题要求的正确结果。

总之，矩阵与行列式、算法初步是计算机科学和线性代数中的重要知识点。

矩阵与行列式的基本概念矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。

本文将介绍矩阵和行列式的基本定义和性质。

一、矩阵的基本概念矩阵是由m行n列数按一定顺序排列成的矩形阵列。

一个m行n 列的矩阵可以表示为如下形式：```A = [a11 a12 a13 ... a1n][a21 a22 a23 ... a2n][... ... ... ... ...][am1 am2 am3 ... amn]```其中，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

矩阵可以进行加法和数乘运算。

两个矩阵相加的定义是：若A和B 是同阶矩阵，它们的和记作C，即C = A + B；数乘的定义是：若A是一个矩阵，k是一个实数，那么kA就是将A的每一个元素都乘以k得到的矩阵。

二、矩阵的特殊类型1. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。

2. 零矩阵：所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记作O。

3. 对角矩阵：非对角线上的元素都为零的矩阵称为对角矩阵。

例如，3×3的对角矩阵可以表示为：```D = [d11 0 0][ 0 d22 0][ 0 0 d33]```4. 单位矩阵：对角线上的元素都为1，其余元素都为零的矩阵称为单位矩阵，记作I。

三、行列式的基本概念行列式是一个方阵所特有的一个标量值。

一个n阶方阵A的行列式记作det(A)或|A|，其定义如下：```当n = 1时， |A| = a11。

当n >= 2时， |A| = a11*A11 + a12*A12 + ... + a1n*A1n，其中Aij是A中除第i行第j列的元素得到的子矩阵的行列式。

```行列式具有以下性质：1. 如果矩阵A的某一行或某一列的元素都为零，则det(A) = 0。

2. 如果矩阵A的某一行或某一列有相同的元素，则det(A) = 0。

3. 如果矩阵A中有两行或两列完全相同，则det(A) = 0。

4. 如果矩阵A的某一行（或某一列）的元素都乘以k倍，那么行列式的值也将乘以k倍。

行列式与矩阵的初等变换行列式和矩阵是线性代数中两个重要的概念，它们在代数、几何和物理等领域都有广泛的应用。

本文将介绍行列式和矩阵的概念，以及它们之间的关系，并探讨初等变换在行列式和矩阵运算中的作用。

一、行列式的定义与性质1.1 行列式的定义行列式是一个数学对象，用于表示方阵中各个元素的线性关系。

对于n阶方阵A = (aij)，其行列式记作det(A)或|A|。

1.2 行列式的性质- 行列互换：将方阵A的两行交换位置，行列式的值变号。

- 行列式倍乘：将方阵A的某一行乘以k，行列式的值乘以k。

- 行列相等：若两个方阵A和B除了某两行互换外其他行完全相等，则它们的行列式相等。

二、矩阵的初等变换2.1 矩阵的行初等变换- 互换：交换矩阵A中的两行。

- 消元：将矩阵A中的某行乘以k后加到另一行上。

- 缩放：将矩阵A中的某一行乘以k，k为非零常数。

2.2 矩阵的列初等变换列初等变换与行初等变换类似，只是变换的对象是列而非行。

三、行列式与矩阵的关系3.1 行列式的计算计算行列式的常用方法有展开法、方阵分解法和初等变换法。

其中，初等变换法是一种简便有效的计算方法。

通过对行列式进行初等变换，可以将行列式转化为更简单的形式，进而方便进行计算。

3.2 行列式与矩阵的关系行列式可以通过矩阵来计算，也可以通过矩阵的初等变换来求解。

对于n阶方阵A，其行列式等于A经过一系列行(列)初等变换后得到的方阵的行列式。

四、初等变换的应用4.1 线性方程组的求解通过初等变换可以将线性方程组转化为简化的梯形方程组，从而方便求解。

利用初等变换求解线性方程组的方法称为高斯消元法。

4.2 矩阵的求逆矩阵的逆矩阵是一个与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。

通过初等变换，可以将矩阵转化为简化的阶梯矩阵，从而求得矩阵的逆。

4.3 线性方程组的克拉默法则利用行列式的性质，可以通过克拉默法则求解线性方程组。

克拉默法则使用了行列式的概念，通过计算方程组中各个方程的行列式来求解未知数。

矩阵和行列式初步第三章矩阵和行列式初步矩阵部分一、矩阵的基本概念a11a211、矩阵定义：由m n个数排成的m行n列的表am1a12a22am2a1na2n称为m行n列矩amn阵,简称m n矩阵。

2、特殊形式矩阵：（1）n阶方阵：行数和列数相等的矩阵叫做方矩阵，简称方阵。

在矩阵A(aij)m n中，当m n时，A称为n阶方阵。

（2）行矩阵：只有一行的矩阵A a1列矩阵：只有一列的矩阵b1b2叫做列矩阵。

Bbma2an叫做行矩阵。

（3）零矩阵：元素都是零的矩阵称作零矩阵。

3、相等矩阵：对应位置上的元素相等的矩阵称作相等矩阵，记作：A=B。

4、常用特殊矩阵：10（1）对角矩阵：00（2）数量矩阵：002000n0010（3）单位矩阵：E010001（4）三角矩阵：a110A0a11a21Aam1a12a2200a22am2a1na2n称作上三角矩阵amn 00称作下三角矩阵。

amn（5）系数矩阵：二元一次方程组两个方程的系数构成的矩阵叫方程组的系数矩阵，如132，因为其有两行两列，记为A2 2 1注：矩阵可表示为Am n其中m和n分别表示行数和列数（6）增广矩阵：二元一次方程组中的方程及其常数构成的矩阵叫方程组的增广矩阵，如13215，因为其有2行3列，记为A23。

8注：增广矩阵表示时，字母A上要加一横线。

（7）行向量：1行2列的两个矩阵叫做系数矩阵的行向量。

如：（1，－2）（3，1）12列向量：2行1列的两个矩阵叫做系数矩阵的列向量。

如：3和1二、矩阵的运算法则 1、矩阵的加法、减法运算法则：将两个行数和列数都相等的矩阵的对应位置上的元素相加（相减）Cij aij bij(相减Cij aij bij)，i=1,2,3…,m；j=1,2,…,n,所得的矩阵称为两个矩阵的和（差），记作A+B（A－B）。

例1、已知A=2144，B=3612,求A+B与A－B 23注意：①矩阵的加减法运算要求两个矩阵必须行数和列数相等②必须是对应位置上元素相加减③矩阵加减法运算的结果仍旧是矩阵，而且与原来的矩阵行数和列数相等2、矩阵的数乘运算(1)法则：矩阵与一个实数的乘积为矩阵的数乘运算。

矩阵与行列式的计算与性质矩阵与行列式是线性代数中重要的数学概念，对于许多数学和工程问题的建模与求解都非常关键。

本文将介绍矩阵与行列式的基本概念，以及它们的计算方法和一些常见的性质。

一、矩阵的定义与基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一种按照行和列排列的数表。

一个m行n列的矩阵常记作A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

1.2 矩阵的分类根据矩阵的特点，可以将其分为以下几种类型：1）零矩阵：所有元素都为0的矩阵。

2）对角矩阵：只有主对角线上的元素不为零，其余元素都为零的矩阵。

3）上三角矩阵：主对角线以下的元素都为零的矩阵。

4）下三角矩阵：主对角线以上的元素都为零的矩阵。

5）方阵：行数等于列数的矩阵。

6）转置矩阵：将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。

二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的和（差）矩阵记作C=A±B，即C=[c_ij]，其中c_ij=a_ij±b_ij。

2.2 矩阵的数乘给定一个矩阵A和一个标量k，它们的数乘记作B=kA，即矩阵B 的每个元素等于k乘以矩阵A对应元素。

2.3 矩阵的乘法给定一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积矩阵C=A*B是一个m行p列的矩阵。

矩阵C的第i行第j列的元素c_ij等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素对应乘积的和。

三、行列式的定义与性质3.1 行列式的定义对于一个n阶方阵A=[a_ij]，其中a_ij是方阵A中第i行第j列的元素，方阵A的行列式记作det(A)或|A|，计算方法如下：1）当n=1时，det(A)=a_11；2）当n>1时，det(A)=a_11*A_11+a_12*A_12+...+a_1n*A_1n，其中A_11、A_12、...、A_1n是n-1阶子矩阵的行列式。

3.2 行列式的性质行列式具有以下几个重要的性质：1）行列式与转置：det(A)=det(A^T)，其中A^T表示矩阵A的转置矩阵。

行列式发展历史一、行列式的起源和发展概述行列式是线性代数中的重要概念，最早由日本数学家关孝和在18世纪末提出。

行列式的发展经历了多个阶段，逐渐形成了现代线性代数的基础。

二、行列式的起源行列式最早起源于代数学中的消元法，用于解决线性方程组的问题。

在17世纪末，法国数学家Cramer提出了Cramer法则，通过行列式的计算来求解线性方程组。

这标志着行列式作为一个独立的数学概念开始被正式研究。

三、行列式的初步发展18世纪末，日本数学家关孝和进一步发展了行列式的理论。

他提出了行列式的定义和性质，并给出了行列式的计算方法。

关孝和的研究成果为后来的数学家们提供了重要的理论基础。

四、行列式的矩阵表示19世纪初，数学家Cauchy将行列式的概念与矩阵相结合，引入了矩阵的概念。

他将行列式看作是一个方阵，通过矩阵的运算来计算行列式的值。

这一创新为后来的矩阵论奠定了基础。

五、行列式的性质和应用随着对行列式理论的深入研究，人们逐渐发现了行列式的一些重要性质。

行列式具有可加性、齐次性、交换性等基本性质，这些性质使得行列式在线性代数中具有广泛的应用。

六、行列式在线性代数中的应用行列式在线性代数中有着广泛的应用。

首先，行列式可以用来求解线性方程组的解，通过计算行列式的值，可以判断线性方程组是否有唯一解。

其次，行列式可以用来计算矩阵的逆和行列式的秩，这对于矩阵的求逆和判断线性相关性非常重要。

此外，行列式还可以用来计算向量的叉乘和面积、体积等几何量。

七、行列式的发展现状和展望目前，行列式的理论已经非常成熟，已经成为线性代数的基础知识之一。

随着计算机技术的发展，人们可以通过计算机程序来计算行列式的值，大大提高了计算的效率。

未来，行列式的研究还将与其他数学分支相结合，进一步拓展行列式的应用领域。

八、总结行列式作为线性代数中的重要概念，经历了从起源到发展的过程。

通过对行列式的研究，人们发现了行列式的性质和应用，为线性方程组的求解和矩阵运算提供了重要的工具。

矩阵初步【知识要点】 一、矩阵的概念：1、矩阵的定义：由m n ⨯个数排成的m 行、n 列的矩形数表叫做矩阵，即111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭L L L L L L L， 矩阵中的每个数ij a （1i m ≤≤，1j n ≤≤，i 、j ∈N *）叫做矩阵的元素，ij a 表示第i 行第j 列上的元素。

矩阵通常用大写字母表示：()m n ij A a ⨯=（表示m n ⨯阶矩阵），在不混淆的情况下，可简记为A ； 2、矩阵的意义：矩形数表； 3、相关概念： （1）行向量、列向量；（2）方矩阵（方阵）、方矩阵的阶； （3）单位矩阵、零矩阵。

二、矩阵的运算：1、矩阵的相等：若()ij A a =、()ij B b =是两个行数与行数相等、列数与列数相等的矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，即ij ij a b =（i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n ），称两矩阵相等，记作A B =；2、矩阵的加减：当两个矩阵A 、B 的行数与列数分别相等时，将它们对应位置上的元素相加ij ij ij c a b =+（相减ij ij ij c a b =-），i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n ，所得到的矩阵()ij c 称为矩阵A 、B 的和（差），记作A B +（A B -）；3、矩阵的数乘：设α为任意实数，我们把矩阵()ij A a =的所有元素都与α相乘所得到的矩阵()ij a α叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵，记作A α；4、矩阵的乘法：设矩阵A 是n 行、k 列的矩阵，矩阵B 是k 行、m 列的矩阵，矩阵C 是n 行、m 列的矩阵，如果矩阵C 中第i 行、第j 列的元素ij c 为A 的第i 个行向量与B 的第j 个列向量的数量积（i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n ），即1122ij i j i j ik kj c a b a b a b =+++L ，那么矩阵C 叫做矩阵A 和B 的乘积。

矩阵与行列式的基本概念与运算矩阵和行列式是线性代数中基本的概念和工具。

在数学和工程领域中，它们广泛应用于解方程组、描述线性映射和计算变换等问题。

本文将介绍矩阵和行列式的基本概念，并讨论它们的运算规则和性质。

一、矩阵的基本概念矩阵是由一组排列成矩形的数按照一定规律排列组成的数表。

具体地，一个 m×n 的矩阵由 m 行和 n 列构成，其中每个元素可以是任意实数或复数。

通常用大写字母表示矩阵，如 A、B、C，矩阵元素用小写字母表示，如 aij，表示矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素。

例如，一个 2×3 的矩阵可以表示为：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23]二、矩阵的运算1. 矩阵的加法与减法设有两个 m×n 的矩阵 A 和 B，它们可以相加或相减，其结果仍为一个 m×n 的矩阵。

加法运算的规则是将对应位置的元素相加，减法运算的规则是将对应位置的元素相减。

例如，设有两个 2×2 的矩阵 A 和 B：A = [a11 a12][a21 a22]B = [b11 b12][b21 b22]则矩阵 A 与 B 的和为：A +B = [a11+b11 a12+b12][a21+b21 a22+b22]2. 矩阵的数乘矩阵与数的乘积为将矩阵的每个元素与该数分别相乘。

例如，设有一个 2×2 的矩阵 A 和一个数 k：A = [a11 a12][a21 a22]则矩阵 A 与数 k 的乘积为：kA = [ka11 ka12][ka21 ka22]3. 矩阵的乘法设有两个矩阵 A 和 B，若矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数，则可以进行矩阵乘法运算。

矩阵乘法的规则是将矩阵 A 的每一行与矩阵 B 的每一列对应位置元素相乘，并将结果相加。

例如，设有两个 2×3 的矩阵 A 和 B：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23]B = [b11 b12 b13][b21 b22 b23][b31 b32 b33]则矩阵 A 与 B 的乘积为一个 2×3 的矩阵 C：C = [a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32a11b13+a12b23+a13b33][a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32a21b13+a22b23+a23b33]三、行列式的基本概念行列式是一个由矩阵中元素按一定规则组合而成的标量。

矩阵与行列式的运算与应用矩阵与行列式是线性代数中的重要概念，在数学和工程学科中得到广泛应用。

本文将重点讨论矩阵与行列式的运算规则以及它们在实际问题中的应用。

一、矩阵的定义与基本运算1.1 矩阵的定义矩阵是由一组数按照矩形排列形成的二维数据表，通常用大写字母表示。

一个矩阵由行和列组成，行数与列数分别称为矩阵的行数和列数。

例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

1.2 矩阵的基本运算矩阵之间可以进行加法和数乘两种基本运算。

1.2.1 矩阵的加法两个具有相同行数和列数的矩阵可以进行加法运算。

对应位置的元素相加得到结果矩阵。

例如，对于矩阵A和矩阵B：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]B = [b11 b12b21 b22b31 b32]它们的和矩阵C为：C = [a11+b11 a12+b12a21+b21 a22+b22a31+b31 a32+b32]1.2.2 矩阵的数乘矩阵与一个数相乘，即将矩阵的每个元素与该数相乘。

例如，对于矩阵A和一个数k，它们的积矩阵D为：D = [k*a11 k*a12k*a21 k*a22k*a31 k*a32]二、行列式的定义与性质2.1 行列式的定义行列式是一个数，用于描述一个方阵的某些性质。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|。

2.2 行列式的性质行列式具有以下性质：2.2.1 行列式与矩阵的转置若A为一个n阶方阵，则det(A) = det(A^T)，即行列式与矩阵的转置结果相等。

2.2.2 行列式与矩阵的乘法若A、B是两个同阶矩阵，则有det(AB) = det(A) * det(B)，即两个矩阵的乘积的行列式等于两个矩阵的行列式的乘积。

2.2.3 行列式的行列互换对于n阶方阵A，若交换A中两行（或两列），则行列式的符号改变。

三、矩阵与行列式的应用3.1 线性方程组的求解利用矩阵与行列式的运算方法，可以简化线性方程组的求解过程。

矩阵与行列式的基本知识矩阵与行列式是线性代数中的重要概念和工具，广泛应用于数学、物理、计算机科学等各个领域。

本文将介绍矩阵与行列式的基本知识，包括定义、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、矩阵的定义和性质矩阵是由m行n列元素排列成的一个矩形数表。

常用的表示方法是用大写字母表示矩阵，例如A, B, C等。

一个矩阵可以用一个m×n的数表表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵中的每个元素可以是实数、复数或者其他数域中的元素。

矩阵中的元素可以用小写字母表示，例如a11, a12等。

矩阵中的元素按照行和列的顺序排列，例如矩阵A可以表示为：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]矩阵的运算包括矩阵加法、矩阵乘法以及数乘等。

矩阵加法的定义是对应元素相加，即若A和B是同型矩阵，则它们的和A + B的定义是一个矩阵，其中的每个元素是A和B中对应元素的和。

矩阵乘法的定义是第一个矩阵的行与第二个矩阵的列的对应元素相乘并求和。

若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB的定义是一个m×p的矩阵，其中的每个元素由矩阵A的第i行和矩阵B的第j列的对应元素相乘并求和。

矩阵具有一些重要的性质，例如矩阵的转置、逆矩阵和对称矩阵等。

矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

矩阵的逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。

对于方阵（行数等于列数的矩阵），若存在逆矩阵，则称该矩阵是可逆的。

二、行列式的定义和性质行列式是一个与矩阵相关的数值。

对于一个n阶方阵，它的行列式可以用|A|表示。

行列式的定义是一个关于矩阵元素的表达式。

|a11 a12 ... a1n||a21 a22 ... a2n||... ... ... ...||an1 an2 ... ann|一个2阶方阵A的行列式可以表示为：|A| = a11 * a22 - a12 * a21行列式可以用于判断矩阵的某些性质，例如矩阵的可逆性和线性方程组的解的情况。

矩阵与行列式的关系矩阵和行列式是线性代数中的基础概念，它们之间有着密切的关系。

在本文中，我们将探讨矩阵和行列式之间的联系，以及它们在数学和实际应用中的重要性。

一、矩阵的定义和性质矩阵是由m行n列数字排列而成的矩形阵列，常用大写字母表示。

例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = (a11 a12)(a21 a22)(a31 a32)其中aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

矩阵有许多重要的性质。

首先，矩阵可以进行加法和数乘运算。

对于两个矩阵A和B，它们的加法定义为相应元素的和，数乘定义为每个元素乘以一个标量。

其次，矩阵还可以进行乘法运算。

两个矩阵A和B的乘积AB定义为A的行向量分别与B的列向量的内积。

此外，矩阵还可以进行转置、求逆和转换为行阶梯型等操作。

二、行列式的定义和性质行列式是一个与矩阵相关的数值函数，常用大写字母加竖线表示。

例如，一个3阶方阵的行列式可以表示为：|a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|行列式的计算涉及到排列组合，其具体的计算方式不在本文的讨论范围内。

但我们需要知道，行列式的值代表了矩阵所包含的信息。

如果行列式的值为0，表示矩阵不可逆，否则可逆。

行列式也有许多重要的性质。

行列式与矩阵的转置、加法、数乘以及乘积之间有着密切的关系。

行列式有一些重要的性质，例如，行列式的值是对角线元素乘积之和与反对角线元素乘积之差。

此外，对于某些特殊的矩阵，行列式的计算可以通过简化化简规则来实现。

例如，一个上三角形矩阵的行列式等于对角线元素乘积。

三、矩阵与行列式的关系矩阵和行列式之间有一个重要的关系，即给定一个n阶方阵A，其行列式的值可以表示为A的n个列向量通过线性组合所形成的矩阵。

换句话说，行列式是一个n维向量空间中n个列向量所构成的一个体积。

从几何的角度来看，矩阵可以看作是几何中的线性变换，而行列式可以看作是该线性变换造成的空间伸缩的因子。

此外，矩阵和行列式还在方程组的解法中发挥着重要的作用。

高中数学中的行列式与矩阵详尽讲解在高中数学中，行列式与矩阵是两个重要的概念。

它们既有着理论上的意义，也有着实际应用的价值。

本文将详细讲解行列式与矩阵的相关知识。

一、行列式行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来判断矩阵是否可逆。

对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)。

行列式的计算方法有很多种，其中最常用的是按照拉普拉斯展开定理进行计算。

拉普拉斯展开定理是指将一个n阶方阵的行列式展开成n个n-1阶方阵的行列式之和。

具体来说，对于一个n阶方阵A，可以选择其中的某一行或某一列，将其元素与对应的代数余子式相乘，再按照正负交错的方式相加，即可得到该行列式的值。

行列式的计算过程需要注意一些规则。

首先，行列式的值与矩阵的行列互换无关，即|A|=|A^T|。

其次，如果矩阵A的某两行（或某两列）互换位置，那么行列式的值将变为原值的相反数，即|A|=-|A'|，其中A'是A互换了两行（或两列）位置后的矩阵。

行列式在线性代数中有着广泛的应用。

例如，行列式可以用来求解线性方程组的解的个数。

当一个n阶方阵的行列式不等于0时，该方阵可逆，对应的线性方程组有唯一解；当行列式等于0时，该方阵不可逆，对应的线性方程组无解或有无穷多解。

二、矩阵矩阵是由一组数按照矩形排列而成的矩形阵列。

矩阵可以表示为m行n列的形式，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵的元素可以是实数或复数。

矩阵的加法和数乘是两个基本的运算。

对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A+B，定义为将对应位置的元素相加得到的新矩阵。

对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘记作kA，定义为将矩阵A的每个元素乘以k得到的新矩阵。

矩阵的乘法是另一个重要的运算。

对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，定义为将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列对应元素相乘，并将结果相加得到的新矩阵。

需要注意的是，两个矩阵相乘的前提是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

第8章矩阵和行列式初步考点解读1.理解矩阵的有关概念（1）矩阵的定义：由m n⨯个数(1,2,3,;1,2,3,)ija i m j n==L L，按一定次序排列成的矩阵表111212122212()nnij m nm m mna a aa a aA aa a a⨯⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎝⎭LLL L L LL，叫做一个m行n列的矩阵，简记为m n⨯矩阵.（2）在一般矩阵中，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；线性方程组11112211211222221122n nn nm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩LLL LL，矩阵A=111212122212nnm m mna a aa a aa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L LL叫做一般线性方程组的系数矩阵，A-=11121121222212nnm m ma a a ba a a ba a b⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L L LL L叫做一般线性方程组的增广矩阵；如：方程组2538x yx y-=⎧⎨+=⎩对应系数矩阵1231-⎛⎫⎪⎝⎭，其中1行2列的矩阵()()1,2,3,1-叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩阵12,31-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭叫做系数矩阵的列向量；（3）当矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵；我们把主对角线元素为1、其余元素均为零的方矩阵，如1001⎛⎫⎪⎝⎭，叫做单位矩阵.2.矩阵的运算及其性质（1）矩阵的加法，若111212122212()n n ij m nm m mn a a a a a a A a a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，111212122212()n n ij m n m m mn b b b b b b B b b b b ⨯⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭LL L LL L L，则C A B =+=111112121121212222221122n n n n m m m m mn mna b a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++++L LL L L L L.（2）矩阵的加法满足性质: 交换律,结合律.（3）数与矩阵乘法定义：以数k 乘矩阵()ij A a =的每个元素所得的矩阵()ij ka 叫做数k 与矩阵A 相乘的积，记作kA ； （4）设矩阵111211121112212221222122,,a a b b c c A B C a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.如果它们元素间的关系可以用下列等式表示：1122(1,2;1,2)ij i j i j c a b a b i j =+==，则C 叫做矩阵A 和矩阵B 的积，记作C =AB（5）矩阵A 的初等变换，指的是对A 实施如下变换：3．行列式的有关概念与性质（1）初中代数中，二元线性方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩当12210a b a b -≠时，二元线性方程组有唯一解：1221122112211221c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，为了方便记忆，引入定义a c b d =ad bc -，a c b d 叫做二阶行列式， ad bc -叫做二阶行列式的展开式；设1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =，则方程组的唯一解可表示为：xy D x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. （i ）0D ≠，方程组有唯一解；（ii ）0D =：①x y D D 、中至少有一个不为零，方程组无解； ②0x y D D ==，方程组有无穷多解.（3）三阶行列式的两种展开方法：①按对角线展开.123123123a b c b c a c a b=++321123132a b c b a c a b c---②按一行（或一列）展开.111222333a b ca b ca b c=123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c++---123321322312332()()()a b c b c b a c a c c a b a b=-+-+-(4)把三阶行列式某元素所在的行和列划去，剩下的元素组成的二阶行列式，叫做这个元素的余子式；如果用,i j分别表示某个元素所在的行数和列数，那么这个元素的余子式．补充与提高：行列式运算性质：①把行列式的某一行的所有元素乘以一个数k，等于用k乘以这个行列式；②行列式中某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号的外边；③如果行列式中某一行的元素全为0，那么这个行列式的值为0；④交换行列式的任意两行，行列式的绝对值不变，符号相反；⑤如果行列式有两行的对应元素相同，那么这个行列式的值为0；⑥如果行列式有两行的对应元素成比例，那么这个行列式的值为0；⑦如果行列式的某一行的元素都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项组成相应的行，而其余行不变的两个行列式的和；例如：111222222333a b ca ab bc ca b c'''+++=111222333a b ca b ca b c+111222333a b ca b ca b c'''.注意：红线上三元素的乘积均为正，蓝线上三元素的乘积均为负.乘以(1)i j+-所得的式子，叫做这个元素的代数余子式.（5）三阶行列式D 等于它的任意一行（或列）的所有元素分别和它们的代数余子式的乘积的和.例如：111222333a b c D a b c a b c ==222222a A b B c C ++.(6)三元线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，对应系数行列式111222333a b c D a b c a b c =,111222333x d b c D d b c d b c =，111222333y a d c D a d c a d c =，111222333z a b d D a b d a b d =.①当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②当0=0x y D D D =且，时，方程组有无穷多解；③当0x y D D D =且，不全为0时，方程组无解.(7)①三角形的面积公式: △ABC 的三个顶点坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则ABC S =△11223311121x y x y x y .②同一平面上A B C 、、三点共线的充要条件为112233111x y x y x y =0.8.1矩阵的概念例题精讲【例1】写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵：（1）3560437x y x y ++=⎧⎨=-⎩（2）214625x z y z x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩一个元素的代数余子式通常用这个元素相应的大写字母并附加相同的下标来表示【参考答案】（1）35356,43437-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ （2）1021021014,01462112115--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭8.2矩阵的运算例题精讲【例1】已知矩阵 3 0-2 1A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，矩阵-2 1 2 2B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使其满足B X A =-32．【参考答案】813320⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭【例2】已知下列矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3110146,602413,591732C B A ，计算： （1）A(B+C) (2)(B+C)A (3)BA+CA (4)从（1）（2）（3）的计算结果你能得出什么结论？ 【参考答案】（1）1198245⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭ （3）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭（4）(B+C)A= BA+CA8.3二阶行列式例题精讲【例1】展开并化简下列行列式： （1）3423- （2）245lg 2lg - 【参考答案】（1）17- （2）2lg 24lg5+【例2】判断m 取什么值时，下列关于x,y 的线性方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷解？⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--1)1()1(1)5(22y m x m y m x【参考答案】221(5)(1)(2)(3)1(1)m D m m m m m --==++-+-+221(5)2(1)(2)1(1)x m D m m m ---==-+-+11211y D m m -==++（1）1,2,3m ≠--时，方程组有唯一解； （2）13m =-或 方程组无解； （3）2m =-方程组有无穷解．8.4三阶行列式例题精讲【例1】按要求计算下列行列式（1）直接化简计算行列式D=412101423--的值； （2）按照第一行展开； （3）按照第一列展开． 【参考答案】（1）19D = （2）011110324142421D --=-+（3）01242431214141D ---=-+-【例2】通过对课本知识的学习，我们知道，对于三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a ，其中x ，y ，z是未知数，系数)3,2,1(=i c b a i i i 、、不全为零，当系数行列式D=0时，方程组无解或有无穷多解． 以下是几位同学在D =0的条件下，类比二元一次方程组的解的情况，对三元一次方程组的解的情况的一些探索结论：结论一：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组有无穷多解 结论二：当D=0，且都z y x D D D ,,不为零时，方程组有无穷多解 结论三：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组无解．可惜的是这些结论都不正确，下面分别给出了一些反例，现在请你分析一下，这些给出的方程组分别是哪个错误结论的反例，并说出你的理由．（A ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232132032z y x z y x z y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+0420202y x z y x y x （C ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+230212z y x z y x y x【参考答案】 （A ）x y z D D D D ====而方程组无解，是结论一的反例． （B ）x y z D D D D ====而方程组无穷多解，是结论三的反例． （C ）0125x y z D D D D ====- 而方程无解，是结论二的反例．过关演练2020年一模汇编——矩阵、行列式一、填空题【宝山2】已知5124=--λλ，则=λ . 【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ【杨浦2】 关于x ，y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据增广矩阵的含义，所以是211130-⎛⎫⎪⎝⎭【长宁，嘉定，金山3】行列式12 31-的值为_______.【答案】7【解析】行列式的化简，12 31-=711--32=⨯⨯）（【浦东4】若关于y x 、的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为____________．【答案】111112⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】矩阵行列式定义【松江6】若关于x y 、的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =【答案】2- 【解析】令24401m D m m==-=，2m ∴=±；令22420x m D m m mm+==-=，得0m =或2；令22201y m m D m m m+==--=，得2m =或1-；因为方程组无解，0D ∴=，x D 、y D 不同时为0，2m ∴=-二、选择题【黄浦13】方程2153x x=的解集是（ ） 【A 】{2} 【B 】{2,2}- 【C 】{1,1}- 【D 】{i,i}- 【答案】B【解析】2235,2x x -==±，解集是{2,2}-2020届高三数学一轮复习典型题专项训练6、（2019届嘉定长宁区高三二模）若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=7、（2019届普陀区高三二模）行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝ ．8、（2019届徐汇区高三二模）函数cos2sin ()3cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为9、（宝山区2018高三上期末）关于x y ，的二元一次方程组x y x y 341310+=⎧⎨-=⎩1、（2019届黄浦区高三二模）行列式1247的值为 2、（2019届闵行松江区高三二模）若x 、y 的方程组10240x my x y n +-=⎧⎨-+=⎩有无穷多组解，则11m n 的值为3、（2019届浦东新区高三二模）若行列式128012x -=，则x =4、（2019届杨浦区高三二模）函数arcsin 211xx y =-的值域是5、（2019届宝山区高三二模）方程sec 301sin x x=的解集为__________的增广矩阵为 （ ）（A ）3411310-⎛⎫⎪-⎝⎭ （B ）3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （C ）3411310⎛⎫⎪-⎝⎭ （D ）3411310⎛⎫ ⎪⎝⎭10、（奉贤区2018高三上期末）关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（ ）．A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 11、（杨浦区2018高三上期末）已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 12、（虹口区2019届高三一模）若复数sin i 1cos iz θθ-=（i 为虚数单位），则||z 的最大值为 13、（宝山区2019届高三上期末（一模））关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为12-3015⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += ．14、（奉贤区2019届高三上期末（一模））下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（ ）A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-15、（黄浦区2019届高三上期末（一模））已知三阶行列式123456789，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为16、（闵行区2019届高三上期末（一模））方程110322x =-的解为17、（浦东新区2019届高三上期末（一模））不等式2log 1021x >的解为18、（松江区2019届高三上期末（一模））若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为19、（徐汇区2019届高三上期末（一模））若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________.20、（杨浦区2019届高三上期末（一模））在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是参考答案： 二、行列式1、－12、33、34、14[,]22ππ-+ 5、,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭6、37、－148、9、C 10、ｃ 11、－16012、1213、－8 14、C 15、0 16、2log 5x = 17、(4,)+∞ 18、－1 19、－1 20、－1。

线性代数知识点梳理：行列式与矩阵运算线性代数是数学的一个重要分支，对于理解和解决现实世界中的问题具有重要意义。

在学习线性代数的过程中，行列式与矩阵运算是其中的重要组成部分。

本文将对行列式与矩阵运算的相关知识点进行梳理，帮助读者深入理解这一内容。

行列式的概念与性质行列式是一个数学工具，用于描述线性方程组的解的性质。

在代数学中，一个n阶方阵的行列式是一个确定的值，它是通过方阵中元素的线性组合而得到的。

行列式的计算方法有很多，比如拉普拉斯定理，莱布尼茨展开式等。

行列式的符号通常用竖线“| |”表示，如|A|表示矩阵A的行列式。

行列式具有一些重要的性质，例如：1.互换行（列）：如果行（列）互换，行列式取相反数。

2.行（列）成比例：如果矩阵的某一行（列）是另一行（列）的k倍，行列式的值也将乘以k。

3.行（列）相加：如果把矩阵的某一行（列）乘以k后加到另一行（列）上，行列式的值不变。

4.三角矩阵：上（下）三角矩阵行列式等于主对角线元素的乘积。

通过这些性质，我们可以简化行列式的计算，并在求解线性方程组等问题中应用行列式的性质。

矩阵运算与特殊矩阵矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它是数字或符号排成若干行和若干列的矩形阵列。

矩阵可以进行加法、数乘、乘法等运算，这些运算有着重要的数学性质。

矩阵的加法和数乘运算是比较简单的，矩阵之间的加法就是对应元素相加，数乘就是矩阵中的每个元素都乘以相同的数。

矩阵的乘法是比较复杂的，矩阵乘法遵循结合律并不满足交换律。

特殊的矩阵包括对称矩阵、反对称矩阵、单位矩阵等。

对称矩阵是转置矩阵等于自身的矩阵，反对称矩阵是转置矩阵的相反数，单位矩阵是对角元素为1，其他元素为0的矩阵。

这些特殊矩阵在数学和物理领域中有着重要的应用。

行列式与矩阵之间的关系行列式与矩阵之间有着密切的联系。

通过矩阵的初等变换，我们可以改变行列式的取值，从而简化行列式的求解。

矩阵的逆也与行列式有关，方阵可逆当且仅当其行列式不等于0。

矩阵发展历史矩阵是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，如线性代数、计算机图形学、物理学等。

本文将详细介绍矩阵的发展历史，从早期的发展到现代应用的演变。

1. 早期矩阵概念的出现矩阵的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得（Euclid），他在其著作《几何原本》中提到了类似矩阵的概念，用于解决线性方程组的问题。

然而，直到17世纪，矩阵的概念才开始逐渐发展起来。

2. 行列式的发现与矩阵运算的初步形成在17世纪，日本数学家关孝和（Seki Kowa）发现了行列式的概念，为矩阵理论的发展做出了重要贡献。

行列式的引入使得矩阵运算可以更加系统和规范地进行。

3. 矩阵理论的建立18世纪末到19世纪初，矩阵理论得到了更为系统的建立。

法国数学家凯尔（François-Joseph Servois）在1829年首次引入了矩阵的概念，并提出了矩阵的加法和乘法规则。

此后，英国数学家哈密尔顿（William Rowan Hamilton）和德国数学家凯莱（Arthur Cayley）等人也对矩阵理论进行了深入研究，为矩阵的发展奠定了基础。

4. 矩阵在线性代数中的应用矩阵在线性代数中的应用是其发展历史中的重要里程碑。

19世纪中叶，德国数学家盖尔金（Carl Gustav Jacobi）和英国数学家西尔维斯特（James Joseph Sylvester）分别独立提出了矩阵的特征值和特征向量的概念，为矩阵在线性代数中的应用打下了基础。

此后，矩阵在线性方程组、线性变换、矩阵的对角化等方面的应用逐渐得到了广泛认可。

5. 矩阵在计算机图形学中的应用随着计算机技术的迅速发展，矩阵在计算机图形学中的应用变得越来越重要。

20世纪60年代，美国数学家斯特劳斯（Ivan Sutherland）提出了矩阵变换的概念，为计算机图形学的发展做出了重要贡献。

矩阵变换可以用于实现图像的平移、旋转、缩放等操作，为计算机图形学的实现提供了基础。

矩阵与行列式的基本概念及应用知识点总结矩阵(Matrix)是现代数学的重要概念之一，它是由m行n列的数（或变量）按一定规律排列成的矩形阵列。

行列式(Determinant)是矩阵的一个重要性质，用于线性代数中求解方程组、矩阵求逆以及计算特征值等问题。

一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是由m行n列的数（或变量）按一定规律排列成的矩形阵列。

一般用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。

矩阵的元素用小写字母表示，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

1.2 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘和乘法。

矩阵的加法和减法要求矩阵的行数和列数相等，对应位置上的元素进行相加或相减。

数乘指的是矩阵中的每个元素都乘以一个常数。

矩阵的乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，乘法结果的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

1.3 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

转置后的矩阵记作A^T，即A的转置。

转置后，原矩阵的行向量变成了新矩阵的列向量，原矩阵的列向量变成了新矩阵的行向量。

二、行列式的基本概念2.1 行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数学运算。

对于一个n阶方阵A，其行列式定义为一个数D，记作|A|或det(A)。

行列式的计算方法有代数余子式法、行列式按行（列）展开法等。

2.2 行列式的性质行列式具有很多重要的性质。

其中包括行列式的可加性、行列式的数乘性、行列式的转置性质等。

这些性质在行列式的计算和应用中起到了重要的作用。

三、矩阵与行列式的应用3.1 解线性方程组矩阵与行列式在解线性方程组中有着广泛的应用。

通过行列式的性质和高斯消元法，可以快速求解线性方程组的解。

3.2 求矩阵的逆行列式的概念在求矩阵的逆中起到了关键的作用。

如果一个n阶矩阵A的行列式不等于零，那么A是可逆的，可以通过行列式的计算求解矩阵的逆。

矩阵的逆在许多应用中都有着重要的地位。

3.3 计算特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的一个重要概念。